Разработка методов параметрической идентификации дробных дифференциальных операторов на основе математических моделей в форме разностных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Базовкина, Анна Сергеевна

• Базовкина, Анна Сергеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Базовкина, Анна Сергеевна

Содержание

Введение

Глава 1. Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с дробными производными, и постановка задачи параметрической идентификации

1.1. Математические модели в форме дифференциальных уравнений с дробными производными и их приложения

1.2. Методы параметрической идентификации динамических систем

1.3. Постановка задачи параметрической идентификации математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с дробными производными

1.4. Выводы

Глава 2. Методы идентификации процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с дробными производными, на основе асимптотических формул

2.1. Асимптотические формулы для функции типа Миттаг - Леф-флера и применение их в задаче параметрической идентификации

2.2. Метод идентификации на основе асимптотического разложения функции решения дробного уравнения

2.3. Метод минимизации невязки в задаче оценивания параметров дробных дифференциальных операторов

2.4. Метод предельного перехода для аппроксимационного решения дифференциального уравнения дробного порядка

2.5. Выводы

Глава 3. Численный метод определения параметров дробных

дифференциальных операторов на основе разностных схем

2

3.1. Построение аппроксимаций для дробных дифференциальных операторов на основе разностных схем

3.2. Построение линейно-параметрической дискретной модели в форме разностных уравнений

3.3. Итерационная процедура оценивания параметров дробного дифференциального оператора

3.4. Выводы

Глава 4. Метод параметрической идентификации систем, описываемых при помощи дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка

4.1. Математическая модель процесса аномальной диффузии

4.2. Построение линейно-параметрической дискретной модели для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка

4.3. Численный метод параметрической идентификации процесса аномальной диффузии на основе конечно-разностного уравнения

4.4. Выводы

Глава 5. Оценка погрешности вычисления параметров систем, описываемых при помощи дробных дифференциальных уравнений

5.1. Анализ и оценка погрешности вычисления параметров фрактальных систем на основе разностных уравнений

5.2. Численно-аналитические исследования погрешности вычисления среднеквадратичных оценок параметров процесса, описываемого дифференциальными уравнениями дробного порядка

5.3. Выводы

Глава 6. Разработка программного обеспечения для реализации

численных методов определения параметров дробных диффе-

ренциальных операторов

6.1. Блок-схема и алгоритм реализации методов параметрической идентификации в программном комплексе

6.2. Пользовательский интерфейс программы

6.3. Выводы

Заключение

Литература

Приложение А. Акты внедрения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов параметрической идентификации дробных дифференциальных операторов на основе математических моделей в форме разностных уравнений»

Введение

По мере развития теории математического моделирования процессов и систем существенную роль приобретает разработка новых подходов и методов прикладной и вычислительной математики. При моделировании динамических систем традиционно используются методы классического математического анализа, в частности, широкое применение находят интегро-дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных. Как известно, в классическом анализе предполагается, что интегралы и производные имеют целый порядок. В то же время, довольно давно было выявлено несоответствие некоторых наблюдаемых процессов и математических моделей, при помощи которых они описывались. Данный факт, а также необходимость применения более адекватных моделей, способных с высокой точностью описать и спрогнозировать исследуемый процесс, стали главной причиной разработки новых моделей с использованием интегро-дифференциальных соотношений дробного порядка. Использование теории дробного исчисления для описания таких моделей стало возможно благодаря тому, что практические исследования обнаружили наличие в них степенных зависимостей от времени и (или) частоты с нецелыми показателями степеней [9].

Развитие теории фракталов способствовало росту интереса к самоподобным явлениям, для которых характерно проявление степенных законов, а, следовательно, и к математическому анализу нецелых (дробных, комплексных, иррациональных) порядков. Хотя история возникновения и развития дробного исчисления насчитывает уже более трёх столетий, данная дисциплина не входит в число курсов математического анализа большинства высших учебных заведений. Между тем, дробное исчисление находит всё более широкое применение в различных областях науки, техники и естествознания, в частности, в задачах автоматического управления и обработки сигналов, в физике, электронике, механике, биологии и медицине, экономике.

Рост интереса к динамическим процессам и системам во фрактальных

5

средах за последнее время привёл к появлению новых отраслей знаний: фрактальной механики, фрактальной электродинамики, фрактальной химии и т. д. [86, 129]. Использование результатов, полученных в области нанотех-нологий, позволяет осуществить прорывы в направлении создания широкодиапазонных антенн для радиолокации, гидроакустики, телевидения и телекоммуникации, а также синтеза высокоэффективных устройств накопления энергии. Во всех перечисленных случаях положительный результат достигнут за счёт реализации префрактальных структур. Практическое применение этих идей способствовало созданию фрактальных антенн и ультраконденсаторов [90, 103, 122, 130]. Фрактальные технологии используются при формировании средств фильтрации сигналов, сжатии изображений, синтезе трёхмерных компьютерных моделей природных ландшафтов. При исследовании математических моделей префрактальных систем в частотной области необходимо использование аппарата дробного исчисления. Уточнение математических моделей процессов в различных областях науки и техники с учётом фрактальной структуры исследуемых процессов приводит к новой постановке задачи параметрической идентификации. Использование дробных порядков ин-тегро-дифференциальных операторов превращает проблемы идентификации в структурно-параметрические, так как появляется ещё одна степень свободы системы — дробный порядок интегралов и производных, входящих в уравнения математических моделей. Одной из наиболее актуальных и нерешённых к настоящему моменту задач в области дробного исчисления является развитие методов структурной и параметрической идентификации динамических систем, математические модели которых содержат интегро-дифференциаль-ные операторы дробных порядков [9].

Актуальность работы. Многие физические процессы описываются при помощи дифференциальных уравнений, в том числе и дифференциальных уравнений с производными дробного порядка. В настоящее время существует большое число книг и статей по теории и приложениям дифференциальных уравнений с дробными производными, но интерес к объектам, описыва-

6

емым ири помощи дробных дифференциальных уравнений, не ослабевает до сих пор [61, 62]. В первую очередь повышенное внимание к таким системам связано с их многочисленными приложениями в различных областях физики и математики [38, 39, 63]. При моделировании динамических процессов дробной (или фрактальной) природы зачастую необходимо решать не только прямую, но и обратную задачу. В связи с этим естественно возникает проблема параметрической идентификации данных процессов и дифференциальных операторов, с помощью которых они описываются.

Проблема параметрической идентификации применительно к системам, описываемым дифференциальными уравнениями с дробными производными, играет важную роль в математическом моделировании. Для идентификации таких систем могут быть использованы численные методы, в основе которых лежит формирование линейно-параметрической дискретной модели (ЛПДМ) [21] в форме (стохастических) разностных уравнений. Оценки коэффициентов разностного уравнения вычисляются с помощью итерационной процедуры, а на основе полученных результатов рассчитываются искомые оценки параметров математической модели. Другие методы нелинейного оценивания, например, метод Левепберга- Марквардта, также находят применение ири решении поставленной задачи, однако имеют ряд таких недостатков, как необходимость выбора начального приближения, возможность существования неединственного решения и плохая сходимость метода. В то же время преимуществом ЛПДМ является их линейность но коэффициентам и быстрая сходимость итерационной процедуры оценивания, которая не требует выбора начального приближения.

Цель диссертационной работы состоит в разработке и исследовании новых математических дискретных моделей, численных методов и программных средств для определения параметров систем, описываемых дифференциальными уравнениями дробного порядка различного вида. Эта задача решается на основе линейно-нараметрических дискретных моделей, позволяющих

развить известные численные статистические методы параметрической иден-

7

тификации динамических систем, расширив их функциональные возможности на класс нелинейных систем, в том числе так называемых „фрактальных" осцилляторов, сохранив при этом основные преимущества данных методов.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

- построение для объектов и систем, описание которых содержит дифференциальные операторы дробного порядка, линейно-нараметрических дискретных моделей, описывающих в форме разностных уравнений результаты эксперимента;

- разработка численных методов параметрической идентификации систем, описываемых дифференциальными уравнениями дробного порядка, на основе среднеквадратического оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения;

- численно-аналитические исследования сходимости и погрешности предложенных методов среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностных уравнений и погрешности вычисления оценок параметров дифференциальных уравнений с дробными производными;

- разработка программного обеспечения, реализующего численные методы определения параметров системы, описываемой дифференциальными уравнениями дробного порядка, на основе разностных уравнений.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- построены новые линейно-параметрические дискретные математические модели для систем с дробными производными, описывающие в форме разностных уравнений результаты эксперимента, и, в отличие от существующих, позволяющие осуществлять процедуру параметрической идентификации таких систем;

- разработаны новые численные методы параметрической идентификации систем, описываемых дифференциальными уравнениями дробного порядка, отличающиеся от известных новыми соотношениями между коэффициентами разностного уравнения, параметрами аппроксимирующей функции и

параметрами дифференциального уравнения с производными дробного ио-

8

рядка;

- сформулированы и доказаны теоремы сходимости новых итерационных процедур, позволяющих, в отличие от существующих, осуществлять структурно-параметрическую идентификацию процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с дробными производными;

- проведены численные исследования погрешности оценивания при помощи разработанных численных методов, но результатам которых сделаны выводы о применимости каждого из предложенных методов в зависимости от соотношения параметров задачи типа Коши для дифференциального уравнения дробного порядка;

- разработано программное обеспечение, реализующее предложенные в работе численные методы и позволяющее оптимизировать процедуру параметрической идентификации процессов, описываемых дифференциальными уравнениями дробного порядка.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы при решении задач параметрической идентификации различных процессов и систем, описываемых при помощи дифференциальных уравнений с производными дробного порядка, в задачах реологии, вязкоуиругости, аномальной диффузии в пористых (фрактальных) структурах, теории автоматического управления, физической химии, биологии и т. д.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью использования математического аппарата и вводимых гипотез и допущений, численными экспериментами исследования адекватности моделей, а также сравнением численных решений рассматриваемых задач с известными аналитическими результатами в частных случаях (когда порядок дифференциального оператора принимает целые значения).

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

- математические модели в виде линейно-параметрических дискретных

9

моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты эксперимента для процессов при различных значениях порядка дробного дифференциального оператора;

- численные методы и алгоритмы параметрической идентификации дифференциальных операторов дробного порядка на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов ЛПДМ;

- результаты численно-аналитических исследований сходимости и погрешности оценивания предложенных методов;

- прикладное программное обеспечение для решения задачи определения параметров систем, описываемых при помощи дробных дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- 3-ем Международном форуме (8-й Международ, конф. молодых учёных и студентов), г. Самара, 2007;

- 63-й научно-практической конференции студентов и магистрантов СамГТУ (г. Самара, 2008);

- Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием „Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2008);

- 4-ом Международном форуме (9-й Международ, конф. молодых учёных и студентов), г. Самара, 2008;

- 64-й научно-практической конференции студентов и магистрантов СамГТУ (г. Самара, 2009);

- Международной научной молодёжной конференции по естественным и техническим дисциплинам (г. Йошкар-Ола, 2009);

- Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием „Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2009);

- 5-ем Международном форуме (10-й Международ, конф. молодых ученых и студентов), г. Самара, 2009;

- Международной научной молодёжной конференции по естественным и

10

техническим дисциплинам (г. Йошкар-Ола, 2010);

- Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием „Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2010);

- XVII Международной конференции ио вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2011);

- Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием „Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2011);

- XII Всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Новосибирск, 2011);

- V Научно-практической конференции по математическому моделированию и компьютерным технологиям в процессах разработки месторождений (г. Уфа, 2012).

Работа полностью докладывалась на специальном заседании кафедры „Прикладная математика и информатика" Самарского государственного технического университета.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 19 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [51-53, 57], 1 статья в сборнике научных трудов, 7 статей в сборниках трудов конференций и 7 тезисов докладов.

Внедрение. Результаты диссертационного исследования, оформленные в виде программы для ЭВМ, внедрены в производственную деятельность ООО „СамараНИПИнефть". На разработанное программное обеспечение получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ [41] в Федеральной службе ио интеллектуальной собственности.

Благодарности. Автор выражает признательность к.ф.-м.н., доценту Огородникову Евгению Николаевичу за полезные советы и плодотворное сотрудничество.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Постановка задачи и подготовка к публикации получен-

11

ных результатов в работах [54-60] проводилась совместно с соавторами, при этом решение дифференциальных уравнений в работах [54, 56-58], построение стохастических разностных уравнений, разработка метода параметрической идентификации в работе [59] представляют личный вклад автора. В работе [60] вклад автора заключается в постановке задачи, разработке метода параметрической идентификации, проведении численно-аналитических исследований предложенного метода, анализе его применимости к задачам идентификации пластовых систем. Работы [42-53] выполнены автором самостоятельно. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объём диссертации 182 страницы, из них 165 страниц текста, включая 68 рисунков и 16 таблиц. Библиография включает 130 наименований на 15 страницах.

Глава 1

Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с дробными производными, и постановка задачи параметрической идентификации

В данной главе делается обзор существующей к настоящему моменту литературы о дифференциальных уравнениях с дробными производными, их приложениях, а также методах параметрической идентификации динамических систем на основе результатов наблюдений. На основе систематизации результатов анализа формулируются научно-техническая проблема, цель и задачи диссертации. Указываются пути решения этих задач в рамках последовательной реализации основных этапов схемы математического моделирования и на основе современных компьютерных технологий.

1.1. Математические модели в форме

дифференциальных уравнений с дробными производными и их приложения

В последнее время во многих науках появляются новые структуры, для описания которых недостаточно использования обыкновенных дифференциальных уравнений. Между тем, такие структуры могут быть адекватно описаны при помощи дробного исчисления, или дробных интегро-дифференциальных операторов. Дробным исчислением принято называть область математического анализа, в которой исследуются и применяются дробные производные и интегралы любого вещественного порядка [10, 39, 63, 79, 106, 115, 117, 118]. Одним из приложений этой теории является теория дифференциальных

уравнений с дробными производными.

В физике, механике, биологии и других областях часто встречаются среды и системы, которые хорошо интерпретируются как фракталы. Примерами фракталов (или фрактальных сред) могут служить пористые среды и дробное броуновское движение. Фрактальные структуры являются следствием многих процессов и явлений необратимого роста, например таких, как диффузия, агрегирование, разрушение, перколяция, динамический хаос, растворение, образование вязких пальцев при вытеснении жидкости в пористых средах [39]. В работах [85] и [30] рассматривается применение теории фракталов в моделировании биологических систем и фильтрации нефти и газа в пластах. Отмечено, что пористые вещества ведут себя как системы с фрактальной структурой. Масштабы самоподобия такой системы составляют диапазон значений от 10 ангстрем до 100 микрон [85, 105]. При этом нефтяные и газовые коллектора содержат трещины и разломы на различных масштабных уровнях, которые могут развиваться в процессе разработки месторождения. Отсутсвие учёта подобных процессов в классической теории фильтрации может приводить к серьёзным ошибкам в расчётах продуктивности скважин. Процессы фильтрации и течения жидкости в пористой среде [86, 95] также описываются при помощи математических моделей в виде дифференциальных уравнений дробного порядка.

Уравнения, содержащие интегро-дифференциальный оператор дробного порядка, возникают при использовании дробного исчисления для описания поведения или состояния реальной физической среды или процесса. Существует широкий класс явлений и процессов, имеющих место в системах со степенной нелокальностыо, фракталыюстью или степенной памятью [80]. Дробный математический анализ является важнейшим методом для построения моделей таких систем. Примером наличия памяти может являться магнитный гистерезис. Экспериментальная физика последних лет часто подтверждает наличие памяти как общего свойства природы. Механизм памяти может

быть различным в зависимости от типа процесса, в то время как феноменоло-

14

гическое описание многих процессов с памятью может иметь одну основу [83]. Дифференциальные уравнения с дробными производными используются при описании процессов, обладающих эффектом „памяти", причём дробное исчисление в теории таких систем приобретает основополагающее значение, сопоставимое с классическим анализом применительно к механике сплошных сред [62, 73].

В последние несколько десятилетий стала очевидна востребованность дробного исчисления в различных областях науки, таких как классическая и квантовая физика, теория поля, физика твердого тела, динамика жидкости, турбулентность, общая химия, нелинейная биология, стохастический анализ, нелинейная теория управления, обработка изображений [121].

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка изучались в работах многих авторов. В основном предметом исследования являлись диффузионные и диффузионно-волновые уравнения дробного порядка, при решении которых использовались методы интегральных преобразований, методы функционального анализа, метод разделения переменных и т. д. [73]

Ещё одним приложением теории фракталов к механике могут служить дифференциальные операторы дробного (фрактального) порядка в линейной теории вязкоуиругости [79]. Замена в соотношении между напряжением и деформацией целых производных их дробными аналогами позволяет значительно сократить количество идентифицируемых параметров модели изучаемого материала [96, 128]. Исследования переходных волновых процессов в вязкоупругих телах играют важную роль при оценке прочности и надёжности различных технических сооружений. Материалы с такими свойствами находят широкое применение в машиностроении, авиационной промышленности, строительстве, геофизике и сейсмологии. Наличие инвариантности но времени и масштабу приводит к необходимости использования реологических моделей, при описании которых применяются дробные производные [37].

В работе А. Н. Герасимова [74] для описания вязкоупругих свойств пред-

15

ложено использовать производные дробного порядка в смысле Лиувилля вместо обыкновенных производных, что является обобщением дифференциальных законов вязкоупругости. В. Вольтерра в своих работах но математическому моделированию предложил рассматривать законы наследственной упругости: связь между напряжением и деформацией в этом случае имеет вид а = Е — J Г(t — т)е{т)с1т^, где ядро интегрального оператора Г(t — г), как следует из ряда экспериментов, имеет степенной характер. Полученный в результате интегрирования степенной закон хорошо описывает ползучесть различных материалов. В случае степенной слабонолярной зависимости Г(£ —г) от разности аргументов интегральный оператор оказывается дробным интегралом Римана - Лиувилля, а его производные по времени — соответствующими дробными производными Римана - Лиувилля [89].

А. Н. Герасимов [11] предлагает новый способ построения соотношений между деформацией и напряжением, содержащий в себе закон упругости и вязкости жидкости как крайние случаи. При этом модель принимает вид a(t) = E0D$te, 0 < а < 1. При параметре а, принимающем граничные значения интервала, получаются классические законы Гука и Ныотона. Данное соотношение является реологическим уравнением состояния Скотт - Блера [4]. Обзор исследований по применению дробных производных в релаксационных процессах приведён в работе F. Mainardi и R. Gorenflo [111], где рассматриваются основные положения теории линейной вязкоупругости и релаксационных процессов с учётом концепции дробного исчисления. Описанию реологических моделей вязкоупругого тела с памятью при помощи дифференциальных уравнений в дробных производных посвящена работа [62].

Основы использования дробного исчисления в автоматическом управлении и роботике были заложены в трудах S. Manabe [112, 113]. В работах [92, 119, 120, 122] исследуются элементы управления, динамические системы и контроллеры дробного порядка, включающие в себя интегратор и дифференциатор дробных порядков.

В работе [9] рассматриваются анироксимациоиные методы моделирования динамических систем дробного и смешанного порядков. Особое внимание уделено аппроксимации сигналов обобщенными полиномами с различными системами базисных функций. Однако окончательная точка в построении численных решений и их аппроксимаций не поставлена до сих пор; подчёркивается практическая значимость и необходимость разработки новых методов параметрической идентификации для таких систем. Также в работе представлен обзор публикаций, иосвящённых приложениям дробного исчисления в различных областях.

Работа Н. Weitzner и G. М. Zaslavsky [127] посвящена применению дробных уравнений в физике, анализируется диффузия, вызванная дробными производными, по отношению к нормальной диффузии. Процесс образования вязких языков на границе раздела двух жидкостей [86] также эффективно описывается на основе дробно-дифференциальных уравнений. Статья V. Е. Tarasov [124] посвящена дробным обобщениям уравнения Лиувилля [9]. В статье V. V. Kulish и J. L. Lage [107] рассматривается использование дробного исчисления при решении задач механики вязкой диффузии жидкости [9]. Дробная методология показывает преимущества перед существующими методами в отношении первой и второй проблем Стокса [9].

В биологии и демографии известен закон Мальтуса, или закон экспоненциального роста численности популяции, дробным обобщением которого

является дифференциальное уравнение дробного порядка вида:

dau

—— = au, 1 < а < 2. dta ^

Применению дробных производных к моделированию артериальной вяз-коуиругости [9] посвящена работа D. О. Craiem и др. [94]. Показано в экспериментах, что в артериальной системе человека релаксационный отклик системы на интервале времени порядка 1 часа согласуется с дробной моделью вязко-упругого поведения с порядком производной 0,2-0,4 с погрешностью меньше 1%. Сделан вывод о том, что дробное исчисление должно рассматриваться как реальная альтернатива для моделирования проблем артериальной

17

GL

вязкоунругости.

В литературе ио дробному исчислению встречается несколько определений дробных производных, наиболее широко распространёнными из которых являются определение производной дробного порядка Римапа - Лиувилля,

Капуто и Грюнвальда - Летникова:

™ 1 d i у (х) dx .

п _ 1 t у' (х) dx , .

1 00 ( ос \

D"aty = lim - I ^ j y(t - jh) (t > a),

где D"ty — производная Римана - Лиувилля, cD%ty — производная Капуто и GLD^ty — производная Грюнвальда - Летникова.

Производная (оператор) Римана - Лиувилля (Капуто) дробного порядка определена на классе функций f(t) £ Ln[a, b] — т. с. является суммируемой функцией вместе со своими п производными на отрезке [а, Ь] [39]. Тогда D^t1 f(t) £ ЛС[а, 6] — класс абсолютно непрерывных на отрезке функций.

Решение уравнения с производной Капуто имеет место на классе функций Ll-M[a,b] при 0 < а < 2.

В то же время, существует связь между приведёнными типами производных дробного порядка, которая выражается следующим соотношением:

„Г(*-а + 1)

ot £ (n — 1, n].

В частных случаях, когда а £ (0,1) или а £ (1,2), соотношение между производными дробного порядка а Римана - Лиувилля и Капуто соответственно примет вид:

nav-cDav + У_f (a)_tk

Vaty- Daty + r(jfe _ ^ + x)t

а

Г)ы у -CDa ,__Яа)

»atV- Vaty+T{ l__a)t

Da С Qa ,__f(a) f-a ,__f (fl) Л-а

»atV- »aty+ г(1_а)* Г(2 — а) '

Формула связи между производной Римана - Лиувилля и Капуто имеет место при 0 < а < 1 и на классе функций /(£) € С2(а, Ъ) Р| Ь1[а, Ъ].

В связи со спецификой определения производных по Риману - Лиувиллю и Кануто, разный вид приобретают постановки начальных условий для дифференциальных уравнений каждого типа: в случае применения производной в смысле Кануто задаются обычные условия задачи Коши, в случае применения производной по Риману - Лиувиллю необходима постановка задачи типа Коши, которая также записывается в терминах производных и интегралов дробного порядка. Такая ситуация связана с тем, что решение дифференциального уравнения с производной Римана - Лиувилля имеет особенность в нуле и не является ограниченным в данной точке.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Базовкина, Анна Сергеевна, 2014 год

Литература

1. Беданокова С. Ю. Математическое моделирование солевого режима почв с фрактальной структурой // Вестник Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2007. № 2(15). С. 102-109.

2. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ „Колледж", 2005. 672 с.

3. Бессонов А. А., Загашвили Ю. В., Маркелов А. С. Методы и средства идентификации динамических объектов. Л: Энергоатомиздат, 1984. 280 с.

4. Бленд Д. Р. Теория линейной вязко-упругости. М: Наука, 1981. 448 с.

5. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование. М: Высш. шк, 1990. 544 с.

6. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М: Мир, 1974. 406 с.

7. Бондаренко А. Н., Ивагценко Д. С. Методы численного решения краевых задач теории аномальной диффузии // Сибирские электронные математические известия. 2008. К2 5. С. 581-594.

8. Васильев А. В. Параметрическая идентификация математических моделей линейных динамических систем нецелого порядка с производными Капуто // Електрошка та системи уиравлшня. 2010. № 2(24). С. 88-92.

9. Васильев В. В., Симак Л. А. Дробное исчисление и аиироксимационные методы в моделировании динамических систем. Киев: НАН Украины, 2008. 256 с.

10. В1рченко Н. О., Рибак В. Я. Основи дробового штегро-дифференщро-

вання. Кшв: Задруга, 2007. 361 с.

166

11. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ. 1948. Т. 12, вып.З. С. 251-260.

12. Грановский В. А., Сирая Т. Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. Л: Энергоатомиздат, 1990. 288 с.

13. Дейч А. М. Методы идентификации динамических объектов. М: Энергия, 1979. 240 с.

14. Демиденко Е. 3. Оптимизация и регрессия. М: Наука, 1989. 297 с.

15. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М: Мир, 1971. 318 с.

16. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М: Наука, 1966. 672 с.

17. Дилигенская А. Н. Идентификация объектов управления. Самара: СамГТУ, 2009. 136 с.

18. Добрынин С. А., Фельдман М. С., Фирсов Г. И. Методы автоматизированного исследования вибраций машин: Справочник. М: Машиностроение, 1987. 224 с.

19. Евланов Л. Г., Константинов В. М. Системы со случайными параметрами. М: Наука, 1976. 568 с.

20. Зотеев В. Е. Линейно-параметрические дискретные модели в форме разностных уравнений в задачах идентификации диссииативных механических систем: Дис докт. техн. наук: 05.13.18 / СамГТУ. Самара, 2009. 459 с.

21. Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация диссииативных механических систем на основе разностных уравнений. М: Машиностроение, 2009. 344 с.

22. Иващенко Д. С. К вопросу о применении классической теории разностных схем для численного решения задач теории аномальной диффузии // Тезисы докладов конференции „Современные проблемы вычислительной математики и математической физики". М: МАКС Пресс, 2009.

23. Калиткин Н. Н. Численные методы. М: Наука, 1978. 512 с.

24. Каминскас В. А., Немура А. А. Статистические методы в идентификации динамических систем. Вильнюс: Минтис, 1975. 197 с.

25. Катковник В. Я. Непараметрическая идентификация. М: Наука, 1985. 336 с.

26. Кащенко Н. М. Модель аномальной диффузии в условиях работы дренажа // Известия Калин, гос. техн. ун-та. 2011. № 20. С. 109-114.

27. Кей С. М., Марпл-мл. С. П. Современные методы спектрального анализа. Обзор // ТИИЭР. 1981. Т. 11. С. 5-51.

28. Конюхов Н. Е., Медников Ф. М., Нечаевский М. Л. Электромагнитные датчики механических величин. М: Машиностроение, 1987. 256 с.

29. Круг Г. К., Сосулин Ю. А., Фатуев В. А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М: Наука, 1977. 208 с.

30. Летников А. В., Черных В. А. Основы дробного исчисления. М: НЕФ-ТЕГАЗ, 2011. 429 с.

31. Ли Р. А. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М: Наука, 1966. 176 с.

32. Лукащук С. Ю. Идентификация параметров дифференциального уравнения субдиффузии // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всероссийской научной конференции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2005. С. 160-163.

33. Льюнг Л. Идентификация систем — теория для пользователя. М: Наука, 1991. 432 с.

34. Марил-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М: Мир, 1990. 584 с.

35. Марченко И. Г., Марченко И. И. Аномальная температурная зависимость диффузии в кристаллах во внешних периодических нолях // Письма в ЖЭТФ. 2012. Т. 95, вып.З. С. 153-158.

36. Мейланов Р. П., Янполов М. С. Особенности фазовой траектории „фрактального" осциллятора // Письма в ЖТХ. 2002. Т. 28, № 1. С. 67-73.

37. Мирзаджанзаде А. X., Хасанов М. М., Бахтизин Р. Н. Моделирование процессов нефтегазодобычи. Нелинейность, неравновесность, неопределённость. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 368 с.

38. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М: Высшая школа, 1995. 301 с.

39. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М: Физматлит, 2003. 272 с.

40. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // ТМФ. 1992. Т. 90, ШЗ. С. 354-368.

41. Овсиенко А. С. Программа для определения параметров дифференциальных операторов на основе разностных уравнений "Estimation". Роспатент. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013619694 от 14.10.2013.

42. Овсиенко А. С. Определение параметров дробной динамической модели с двумя дробными производными на основе разностного уравнения // Тезисы докладов Международной научной молодёжной конфе-

169

ренции но естественнонаучным и техническим дисциплинам. Йошкар-Ола: МарГТУ, 2009. С. 89.

43. Овсиенко А. С. Разработка и исследование стохастических разностных уравнений для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с дробными производными // Тезисы докладов XXXV Самарской областной студенческой научной конференции. Часть 1. Самара, 2009. Самара: СамГТУ, 2009. С. 144.

44. Овсиенко А. С. Построение линейно-параметрических дискретных моделей для параметрической идентификации фрактальных осцилляторов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 4. Самара: СамГТУ, 2010. С. 152-156.

45. Овсиенко А. С. Построение разностных уравнений для параметрической идентификации систем, содержащих дробные дифференциальные операторы // Актуальные проблемы современной науки: Труды 5-го Международного форума (10-й Международ, конф. молодых учёных и студентов). Естественные науки. Части 1—3: Математика. Математическое моделирование. Механика. Самара: СамГТУ, 2010. С. 156-161.

46. Овсиенко А. С. Решение задачи параметрической идентификации фрактальных осцилляторов порядка (0,1) на основе разностных уравнений // Тезисы докладов Международной научной молодёжной конференции по естественнонаучным и техническим дисциплинам. Йошкар-Ола: МарГТУ, 2010. С. 27-28.

47. Овсиенко А. С. Применение математического моделирования для решения задачи определения параметров дробных дифференциальных операторов // Тезисы докладов XVII Международной конференции но вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, 2011. МАИ: МАИ-ПРИНТ, 2011. С. 135-137.

170

48. Овсиенко А. С. Разработка метода идентификации параметров дробного дифференциального оператора // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 2. Самара: СамГТУ, 2011. С. 195-201.

49. Овсиенко А. С. Разработка численного метода оценивания параметров дифференциального уравнения дробного порядка // Тезисы докладов XII Всероссийской конф. молодых учёных по мат. моделированию и информационным технологиям. Самара: СамГТУ, 2011. С. 22.

50. Овсиенко А. С. Метод параметрической идентификации процесса аномальной диффузии на границе застойной зоны и области радиального стока скважины // Тезисы докладов V научно-нракт. конф. по мат. моделированию и компьютерным технологиям в процессах разработки месторождений. М: Нефтяное хозяйство, 2012. С. 37.

51. Овсиенко А. С. Параметрическая идентификация задачи типа Коши для одного дробного дифференциального уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 1(26). С. 157-165.

52. Овсиенко А. С. Идентификация параметров процесса аномальной диффузии на основе разностных уравнений // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18 т. С. 65-73.

53. Овсиенко А. С. Разработка методов идентификации параметров дифференциальных уравнений с дробной производной Римана - Лиувил-ля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 1(34). С. 134-144.

54. Овсиенко А. С., Зотеев В. Е. Построение стохастических разностных уравнений для параметрической идентификации систем, описываемых специальным уравнением Риккати // Труды 3-го Международного форума (8-й Международ, конф. молодых ученых и студентов). Естествен-

171

ные науки. Части 1-2: Математика. Математическое моделирование. Самара: СамГТУ, 2007. С. 162-167.

55. Овсиенко А. С., Зотеев В. Е. Достаточное условие сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения // Актуальные проблемы современной науки: Труды 4-го Международного форума (9-й Международ, конф. молодых ученых и студентов). Естественные науки. Части 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. Самара: СамГТУ, 2008. С. 114-120.

56. Овсиенко А. С., Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация систем, описываемых специальным уравнением Риккати, на основе стохастических разностных уравнений // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 4. Самара: СамГТУ, 2008. С. 71-79.

57. Овсиенко А. С., Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация специального уравнения Рикатти на основе стохастических разностных уравнений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2008. № 1(16). С. 171-184.

58. Овсиенко А. С., Зотеев В. Е. Построение стохастических разностных уравнений для параметрической идентификации систем, описываемых специальным уравнением Риккати // Тезисы докладов XXXIV Самарской областной студенческой научной конференции. Часть 1. Самара,

2008. Самара: СамГТУ, 2008. С. 115.

59. Овсиенко А. С., Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация дробных осцилляторов на основе разностных уравнений // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 4. Самара: СамГТУ,

2009. С. 61-68.

60. Овсиенко А. С., Попков В. И. Математическое моделирование пластовых систем и их параметрическая идентификация // Тр. СамараНИПИ-нефть. 2012. Выпуск 2. С. 120-127.

61. Огородников Е. Н. Некоторые аспекты теории начальных задач для дифференциальных уравнений с производными Римана - Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 5(21). С. 10-23.

62. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Реологические модели вязкоуиругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. № 1(22). С. 255-268.

63. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Постановка и решение задач типа Коши для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана —Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 1(20). С. 24-36.

64. Пановко А. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л: Машиностроение, 1976. 320 с.

65. Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М: Физматгиз, 1960. 194 с.

66. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. М: Наука, 1991. 256 с.

67. Петухов А. А., Ревизников Д. Л. Алгоритмы численного решения дробно-дифференциальных уравнений // Вестник МАИ. 2009. Т. 16, №6. С. 228-234.

68. Петухов А. А., Ревизников Д. Л., Сластушенский Ю. В. Описание аномальной диффузии с использованием дробно-дифференциальных

уравнений и метода дискретных элементов // Тезисы докладов XVII Международной конференции но вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, 2011. МАИ: МАИ-ПРИНТ, 2011. С. 601-602.

69. Писаренко Г. С. Колебания механических систем с учётом несовершенной упругости материала. Киев: Наукова думка, 1970. 380 с.

70. Писаренко Г. С., Матвеев В. А., Яковлев А. П. Методы определения характеристик колебаний упругих систем. Киев: Наукова думка, 1976. 88 с.

71. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. А. Виброноглощающие свойства конструкционных материалов: Справочник. Киев: Наукова думка, 1971. 376 с.

72. Попова Д. Н. Численные методы параметрической идентификации диссииативных динамических систем на основе разностных уравнений: Дис. канд. техн. наук: 05.13.18 / СамГТУ. Самара, 2009. 262 с.

73. Псху А. В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка: Дис докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. Нальчик, 2007. 190 с.

74. Работнов Ю. Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ. 1948. Т. 12, вып. 1. С. 53-62.

75. Радченко В. П. Энергетический подход к прогнозированию ползучести и длительной прочности материалов в стохастической постановке // Проблемы прочности. 1992. № 2. С. 34-40.

76. Райбман Н. С., Чадеев В. М. Построение моделей производства. М: Энергия, 1975. 375 с.

77. Самарин Ю. П. О применении стохастических уравнений в теории ползучести материалов // Изв. АН СССР. МТТ. 1974. № 1. С. 88-94.

78. Самарин Ю. П. Построение экспоненциальных аппроксимаций для кривых ползучести методом последовательного выделения экспоненциальных слагаемых // Проблемы прочности. 1974. № 9. С. 24-27.

79. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

80. Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференциро-ванием дробного порядка: Дис докт. физ.-мат. наук: 01.04.02 / М. МГУ, 2011. 298 с.

81. Уткин С. Г. Статистика и кинематика аномально-диффузионных процессов: Дис канд. физ.-мат. наук: 01.04.03 / РГБ ОД. Н.Новгород, 2005. 128 с.

82. Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН. 2003. Т. 173, №8. С. 847-876.

83. Учайкин В. В. Дробно-дифференциальная модель динамической памяти // Сборник научно-популярных статей-победителей конкурса РФФИ 2006 года. М: Октопус, 2007. Т. 10. С. 25-41.

84. Цыикин Я. 3. Основы информационной теории идентификации. М: Наука, 1984. 320 с.

85. Черных В. А. Математические концепции гидрогеомеханики. М: РУДН, 2013. 447 с.

86. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 528 с.

87. Штейнберг Ш. Е. Идентификация в системах управления. М: Энерго-атомиздат, 1987. 80 с.

88. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М: Мир, 1975. 684 с.

89. Яшагин Н. С. Математическое моделирование и исследование осцил-ляционных явлений в системах с памятью на основе аппарата дробного интегро-дифференцирования: Дис канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / СамГТУ. Самара, 2011. 186 с.

90. Aparicio R., Hajimiri A. Capacity Limits and Matching Properties of Integrated Capacitors // IEEE Journal of solid state circuits. 2002. Vol. 3(37). Pp. 384-393.

91. Barrett J. H. Differential equation of non-integer order // Canad. J. Math. 1954. Vol. 6, no. 4. Pp. 529-541.

92. Chen Y., Petras I., Xue D. Fractional Order Control - A Tutorial // American Control Conference, Hyatt Regency Riverfront. St. Louis, MO, USA: June 10-12, 2009. Pp. 1397-1411.

93. Cois O., Oustaloup A., Battaglia E., Battaglia J.-L. Non integer model from modal decomposition for time domain system identification // Proceedings of Symposium on System Identification, Vol. 3. SYSID 2000, 2000. P. 989.

94. Craiem D. O., Rojo F. J., Atienza J. M. et al. Fractional Calculus applied to model arterial viscoelasticity // Latin American Applied Research. 2008. Vol. 38. Pp. 141-145.

95. Cueto-Felgueroso L., Juanes R. A phase field model of unsaturated flow // Water Resour. Res. Vol. 45. 2009.

96. Cupial P. Some approaches to the analysis of nonproportionally damped

viscoelastic structures // Proc.Int.Symp.on Dynamics of Continua: D.Besdo

176

and R.Bogacz (eds), Sept.9-13 1996, Physikzentrum Bad Honnef. -Physikzentrum Bad Honnef. 1996. Pp. 93-102.

97. Dorcak L., Gonzalez E. A., Terpak J. et al. Identidication of Fractional-Order Dynamical Systems Based on Nonlinear Function Optimization // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2013. Vol. 89, No 2. Pp. 225-250.

98. Dorcak L., Lesco V., Kostial I. Identification of Fractional-Order Dynamical Systems. 2002. Vol. 89, No 2. Pp. 62-68.

99. Dzielinski A., Sierociuk D., Sarwas G. et al. Identification of the Fractional-Order Systems: A Frequency Domain Approach // Acta Montanistica Slovaca. 2011. Vol. Rocnik 16, No 1. Pp. 26-33.

100. Engler H. Similarity solutions for a class of hyperbolic integrodifferential equations // Differential Integral Eqn-s 10, No 5. 1997. Pp. 815-840.

101. Fujita Y. Integrodifferential equation which interpolates the heat and the wave equations // Osaka J. Math. 1990. Vol. 27. Pp. 797-804.

102. Gonzalez E., Dorcak L., Valsa J. et al. Modeling and Identification of Fractional-Order Dynamical System // Proceedings of the 11th International Multidisciplinary GeoConference at the Albena Resort in Bulgaria. Vol. 2. 2011. Pp. 553-560.

103. Jesus I. S., Machado J. A. T. Development of fractional order capacitors based on electrolyte processes // Nonlinea Dyn. 2002. Vol. 3(49). Pp. 363-367.

104. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Transactions of the ASME-Journal of Basic Engineering 82 (Series D). 1960. Pp. 35-45.

105. Katz A. J., Thompson A. H. Fractal sandstone pores: implications for conductivity and pore formation // Phys.Rev.Lett. 1985. Vol. 54. Pp. 1325-1328.

106. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.

107. Kulish V. V., Lage J. L. Application of Fractional Calculus to Fluid Mechanics // Journal of Fluids Engineering. 2002. Vol. 124. Pp. 803-805.

108. Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusionwave phenomena // Chaos, Solitons Fractals 7. 1996. Pp. 1461-1477.

109. Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation // Applied Mathematics Letters 9, No 6. 1996. Pp. 23-28.

110. Mainardi F. Fractional calculus: some basic problems in continuum and statistical mechanics // Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics (Eds. A. Carpinteri, F. Mainardi). 1997. Pp. 291-348.

111. Mainardi F., Gorenflo R. Time-fractional derivatives in relaxation processes: a tutorial survey. 2008. 40 pp.

112. Manabe S. The Non-integer Integral and its Application to Control Systems // ETJ of Japan. 1961. Vol. 3/4(6). Pp. 83-87.

113. Manabe S. The System Design by the Use of a Model Consisting of a Saturation and Nonlinear Integrals // ETJ of Japan. 1963. Vol. 3/4(8). Pp. 147-150.

114. Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: A fractional dynamic approach // Phys.Rep. 2000. Vol. 339. Pp. 1-77.

115. Miller K. S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New York: Jon Wiley &; Sons.Inc., 1993. 366 pp.

116. Nazarian P., Haeri M. Identification^ of Fractional Order Model Structures Using Conversion of Infinite Terms of a Response to Finite Terms // ELECO 2011 7th International Conference on Electrical and Electronics Engineering, 1-4 December, Bursa, TURKEY. 2011. Pp. 370-374.

117. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus: Teory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. San Diego: Academic Press, 1974. 234 pp.

118. Podlubny I. Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, some methods of their solution and some of their applications. San Diego: Academic Press, 1999. 340 pp.

119. Podlubny I. Fractional-Order Systems and PIXD» -Controllers 11 IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. Vol. 1(44). Pp. 208-214.

120. Podlubny I., Dorsak L., Kostial I. On Fractional Derivatives, Fractional-Order Dynamic Systems and PID-controllers // Proc of the 36th CDC. San Diego. Pp. 4985-4990.

121. Rami E.-N. A. Cosmology with Fractional Action Principle // Romanian Reports in Physics. 2007. Vol. 3(59). Pp. 763-771.

122. Samavati H., Hajimiri A., Shahani A. R. et al. Fractal Capacitors // IEEE Journal of solid-state circuits. 1998. Vol. 33(12). Pp. 2035-2041.

123. Sierociuk D., Dzielinski A. Fractional Kalman Filter algorithm for states, parameters and order of fractional sysytem estimation // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2006. Vol. 16. Pp. 129-140.

124. Tarasov V. E. Fractional Liouville and BBJKI Equations // Journal of Physics: Conference Series 7. 2005. Pp. 17-33.

125. Vinagre B. M., Feliu V. Modeling and control of dynamic system using fractional calculus: Application to electrochemical processes and flexible struc-

179

tures // Proceedings of 41st IEEE Conference on Decision and Control. Las Vegas: 2002.

126. Vinagre B. M., Podlubny I., Hernandez A., Feliu V. Some approximations of fractional order operators used in control theory and applications // Fractional Calculus Applied Analysis, vol. 3, no. 3. 2000. Pp. 945-950.

127. Weitzner H., Zaslavsky G. M. Some applications of fractional equations // Comm. Nonlin. Sci. and Nu-mer. Simul. Vol. 8. 2003. Pp. 273-281.

128. Welch S. W. J., Rorrer R. A. L., Duren R. G. Application of time-based fractional calculus method to viscoelastic creep and stress relaxation of materials // Mech.Time-Dependent Materials. 1999. Vol. 3, no.3. Pp. 279-303.

129. West B. J., Bologna M., Grigolini P. Physics of Fractal Operators. Verlag: Springer, 2003. 354 pp.

130. Westerlund S., Extam L. Capacitor theory // Dielectric and Electrical Insulation, IEEE Transactions on. 1994. Vol. 1(5). Pp. 826-839.