Нелинейные вырожденные эволюционные уравнения дробного порядка: разрешимость задач оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Плеханова, Марина Васильевна

• Плеханова, Марина Васильевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Плеханова, Марина Васильевна

Содержание

Введение

Цели и задачи

Актуальность темы исследования

Степень разработанности темы исследования

Научная новизна

Теоретическая и практическая значимость работы

Методология и методы исследования

Краткий обзор основных результатов

Положения выносимые на защиту

Степень достоверности и апробация результатов

1 Классические решения

вырожденных эволюционных уравнений

1.1 Пространства функций со значениями

в банаховых пространствах

1.2 Дробные производные и некоторые их свойства

1.3 Невырожденное линейное уравнение дробного порядка

1.4 Невырожденное полулинейное уравнение дробного порядка

1.5 Дополнительная гладкость решений

1.6 Относительные резольвенты и относительная ограниченность

1.7 Вырожденное линейное уравнение дробного порядка

1.8 Вырожденные полулинейные уравнения дробного порядка

1.9 Вырожденные уравнения дробного порядка

с ограничением на образ нелинейного оператора

1.10 Некоторые случаи слабого вырождения

1.11 Вырожденные линейные уравнения целого порядка

1.12 Вырожденные полулинейные уравнения целого порядка

1.13 Вырожденные уравнения целого порядка

с ограничением на образ нелинейного оператора

2 Сильные решения

вырожденных эволюционных уравнений

2.1 Сильное решение неоднородной задачи Коши

для линейного уравнения дробного порядка

2.2 Задача Коши для полулинейного уравнения

2.3 Существование решений дополнительной гладкости

2.4 Вырожденное линейное неоднородное уравнение

2.5 Полулинейное вырожденное уравнение

2.6 Вырожденные полулинейные уравнения с ограничением

на образ нелинейного оператора

2.7 Сильные решения вырожденных линейных уравнений

целого порядка

2.8 Полулинейное вырожденное уравнение целого порядка

3 Начально-краевые задачи

для вырожденных эволюционных систем

3.1 Уравнение с многочленами

от самосопряженного эллиптического оператора

3.2 Уравнение с многочленами

при ограничении на образ нелинейного оператора

3.3 Сильные решения уравнений с многочленами

3.4 Уравнения с многочленами многих переменных от операторов дифференцирования

3.5 Уравнения с многочленами многих переменных от операторов дифференцирования при ограничении на образ нелинейного оператора

3.6 Некоторые невырожденные нелинейные уравнения

3.7 Уравнение Аллера

3.8 Некоторые вырожденные нелинейные уравнения

3.9 Примеры вырожденных линейных уравнений

3.10 Система гравитационно-гироскопических волн

3.11 Система уравнений динамики дробного вязкоупругого тела Кельвина — Фойгта

3.12 Начально-краевая задача для системы уравнений динамики жидкости Кельвина — Фойгта порядка 1

3.13 Модельный пример

4 Оптимальное управление вырожденными

эволюционными системами в банаховых пространствах

4.1 Абстрактная задача управления

4.2 Распределённое управление для линейного

невырожденного уравнения дробного порядка

4.3 Полулинейное невырожденное уравнение дробного порядка

с распределённым управлением

4.4 Распределённое управление в случае

полулинейного невырожденного уравнения целого порядка

4.5 Распределённое управление

для линейного вырожденного дробного уравнения

4.6 Неполное полулинейное вырожденное дробное уравнение

с распределённым управлением

4.7 Распределённое управление

для полулинейной вырожденной системы дробного порядка

4.8 Распределённое управление

полулинейной вырожденной системой целого порядка

4.9 Стартовое управление для линейного

невырожденного уравнения дробного порядка

4.10 Полулинейное невырожденное уравнение дробного порядка

со стартовым управлением

4.11 Стартовое управление в случае

полулинейного невырожденного уравнения целого порядка

4.12 Стартовое управление

для линейного вырожденного дробного уравнения

4.13 Неполное полулинейное вырожденное дробное уравнение

со стартовым управлением

4.14 Стартовое управление

для полулинейной вырожденной системы дробного порядка

4.15 Стартовое управление

полулинейной вырожденной системой целого порядка

4.16 Задачи без учета затрат на управление

5 Оптимальное управление решениями

начально-краевых задач

5.1 Задачи оптимального управления для линеаризованного уравнения Осколкова — Бенджамена — Бона — Махони — Бюргерса

5.2 Задача управления для уравнения «замагниченной» плазмы

5.3 Задача оптимального управления для дробного уравнения метастабильных состояний в полупроводниках

5.4 Задача оптимального управления для дробной системы гравитационно-гироскопических волн

5.5 Задача оптимального управления

для дробных уравнений Кельвина — Фойгта

5.6 Задача оптимального управления для системы

движения жидкости Кельвина — Фойгта порядка Ь = 1

Заключение

Обозначения и соглашения

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные вырожденные эволюционные уравнения дробного порядка: разрешимость задач оптимального управления»

Введение Цели и задачи

Работа посвящена исследованию вопросов однозначной разрешимости начальных задач для уравнений с дробной производной Герасимова — Капу-то [17,168]

даЬж(г) = Мх(г) + N (г, х(г), X (г),..., ж(г)(г)) + / (г), (1)

(Бх)(к)(го) = хк, к = 0,1,..., т - 1, (2)

а также задач оптимального управления для распределённых систем, состояние которых описывается соотношениями (1), (2). Здесь X, У — банаховы пространства, Ь € £(Х; У), т. е. линейный непрерывный оператор, S € £(Х; X), М € С 1(Х; У), т. е. линейный замкнутый оператор, плотно определенный в X, действующий в У, N : К х XГ+1 ^ У — нелинейный оператор, / — заданная функция, — оператор дробной производной Герасимова — Капуто, т € М, т — 1 < а < т, г € {0,1,... ,т — 1}. Помимо уравнения (1) рассматривается аналогичное уравнение с правой частью вида

ьва х(г).

Уравнение (1) исследуется в невырожденном случае (X = У, Ь = I), а также при кегЬ = {0}. Далее будем говорить соответственно о невырожденных и вырожденных эволюционных уравнениях. Задача (1), (2) представляет собой задачу Коши (5 = I в (2)) или обобщённую задачу Шоуолтера — Сидорова в вырожденном случае, когда 5 = Р — проектор на фазовое пространство соответствующего линейного однородного уравнения (^ = 0 в уравнении (1)) вдоль его подпространства вырождения. В работе получены условия существования единственного классического и сильного решений задачи (1), (2) в невырожденном и вырожденном случаях. В случае уравнения высокого целого порядка а = т € N многие результаты в нелинейном случае удается улучшить, ослабив некоторые предположения на оператор N. Для линейных уравнений с помощью функции Миттаг-Лёффлера представлен вид решения.

Полученные общие результаты используются при исследовании разрешимости начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, содержащих дробные производные Герасимова — Капуто по времени.

Помимо качественного исследования начальных задач для невырожденных и вырожденных дифференциальных уравнений дробного порядка в банаховых пространствах и начально-краевых задач для соответствующих уравнений или систем уравнений в частных производных целью диссертационной работы является также исследование разрешимости задач оптимального управления вида

ьвах(г) = Мх(г) + N(г,х(г),х{1)(г),...,х{г)(г)) + Бп(г), г е (¿о,т), (3)

где Ы — банахово пространство, Б е £(Ы; У), операторы Ь, М, N, Б описаны выше, непустое замкнутое выпуклое подмножество Ыд пространства управлений — множество допустимых управлений, J — функционал качества.

В работе получены условия существования решения задачи (3)-(6), как при обобщённом условии Шоуолтера — Сидорова, так и при начальном условии Коши с различными функционалами стоимости. Исследование опирается на результаты о существовании сильного решения задачи (1), (2). Полученные общие теоремы о разрешимости применяются при рассмотрении задач управления для конкретных систем уравнений с дробной производной по времени. Кроме задач с распределённым управлением, изучены задачи со стартовым управлением, в которых управляющее воздействие осуществляется посредством выбора данных для начального условия. Наряду с задачами с компромиссными функционалами исследуются задачи жёсткого управления, в которых затраты на управление не учитываются: J = J(х) в (6).

(Бж)(к)(^о) = хк, к = 0,1,..., т - 1,

(4)

(5)

(6)

п еЫд, J(х, п) ^ т£,

Актуальность темы исследования

Теория дробного дифференцирования в последние десятилетия активно применяется в инженерных и естественнонаучных задачах [81,99,111,220,225, 231,244,246,253,256]. Развитие теории обусловлено не только интересом к новым методам исследования [9,130,159,162,212,213,238,239], но и новыми возможностями математического моделирования сложных процессов. Математические модели, использующие аппарат дробного дифференцирования, описывают различные процессы в биологии [98], гидрогеологии [22], применяются при моделировании процессов тепло- и массопереноса в сильно неоднородных средах [248], трансзвуковых течений, при исследованиях в области физики полупроводников, в эпидемиологии, финансах и др. Хорошо зарекомендовала себя теория дробных дифференциальных уравнений при изучении вязкоупругих тел. Систематизации различных свойств и применений дробного дифференцирования посвящено множество работ, отметим монографии [97,99,106,195,199,240].

С другой стороны, актуальность задач оптимального управления и их математических аспектов сложно переоценить. Интерес к исследованиям в данной области не угасает многие столетия и подкрепляется все новыми прикладными задачами. Возможности в изучении систем, описываемых уравнениями с дробными производными, открыли новый пласт неизученных проблем по управлению такими системами [156,254].

Степень разработанности темы исследования

Изучение дробных производных имеет продолжительную историю: размышления об определении производной порядка 1/2 встречаются в письмах Я. Бер-нулли к Г. Лопиталю в 1695 г. После известной задачи Абеля о таутохроне приложения дробного дифференциального исчисления в геометрии, физике, механике представили Лаплас, Фурье, Абель, Лиувилль, Риман, Грюн-вальд, Хэвисайд, Зигмунд, Курант и др. В XX веке интерес к дробному

исчислению был возрождён книгой «Дробное исчисление» (K. B. Oldham, J. Spanier) [232], в которой были систематизированы знания в этой области. В работах [82,111,199,245], среди прочего, можно найти подробный анализ развития дробного исчисления.

К настоящему времени только определений дробной производной существует несколько десятков. Отметим посвященные изучению дробных производных и смежных вопросов работы последних лет I. Podlubny [240], А. А. Ки-лбаса, С. Г. Самко, О. И. Маричева, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo [111,199], K. Nishimoto [231], А. М. Нахушева [97-99], А. В. Псху [103-107], K. Diethelm [175], M. Kostic [202] и др. Р. К. Газизовым, А. А. Касаткиным, С. Ю. Лука-щуком [14,15,45] развиваются методы группового анализа для уравнений с дробной производной Римана — Лиувилля.

Исследования разрешённых относительно старшей дробной производной Римана — Лиувилля или Капуто полулинейных уравнений в случае скалярной неизвестной функции проводились многими авторами (см. [47, 157, 174,176,190,191, 240] и др.). Аналогичные исследования для систем уравнений (в конечномерном случае) проведены в [158, 171, 199]. Отметим в этой связи также обзоры [200,201], монографию [199] и обзор к её третьей главе, монографии [175,247].

При своих исследованиях автор данной работы во многом опирается на методы теории разрешающих семейств операторов уравнений в банаховых пространствах, обобщающей теорию полугрупп операторов на случай уравнений дробного порядка. Для невырожденных уравнений Вольтерра, обобщающих уравнения дробного порядка, весьма содержательная теория разрешающих семейств операторов развита в монографии J. Prüss [242]. Для разрешённых относительно дробной производной уравнений в банаховых пространствах своё продолжение эта теория получила в работах Э. Бажлековой [159-161]. Отметим работы П. А. Киричука [49-51] о необходимых и достаточных условиях в терминах оператор-функции типа Миттаг-Лёффлера равномерной корректности линейного уравнения в банаховом пространстве, разре-

шённого относительно производной высокого порядка, результаты В. А. Костина [206] о критерии существования сильно непрерывного семейства разрешающих операторов для уравнения в банаховом пространстве, разрешённого относительно дробной производной Римана — Лиувилля, работы Я. СогепАо, У. ЬиеЬко и Р. Zabгeyko [189], А. М. А. El-Sayed [177-180], посвященные исследованию разрешимых относительно дробной производной линейных однородных уравнений в банаховых пространствах, а также исследования А. В. Глу-шака и соавторов [18-20], касающихся уравнений с различными дробными производными в банаховых пространствах. Существование и единственность решений различных классов задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений первого порядка в банаховых пространствах, разрешённых относительно производной, исследовались в монографии [237] методами теории полугрупп операторов.

В серии работ [172,173,212,255] уравнения вида (1.1) с нетривиальным оператором Ь рассматриваются при условии существования обратного оператора Ь—1 : У ^ X, который предполагается непрерывным или даже компактным. Вопросы принадлежности различным классам корректности линейных разрешённых относительно дробной производной, а также собственно вырожденных дробных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах, включая уравнения с многими дробными производными, интегральные эволюционные уравнения, изучаются в работах М. Кости-ча [202-205].

Очень большое количество работ посвящено исследованию разрешимости начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, среди которых самыми популярными у исследователей являются так называемые дробные диффузионные уравнения. Отметим работы А. Н. Герасимова [17], Р. Р. Нигматуллина [229,230], А. Н. Кочубея [67], Л. Ри]йа [185-187], Р. Мата^1 с соавторами [219-222], У. Р. ЬиеЬко, Я. СогепАо, Е. Биекшаг [167,216], I. Podlиbny [240], А. А. Килбаса, О. А. Репина [48], уже упомянутые монографии [199,247], работы А. В. Псху [104-107],

Л. Н. Ляхова [24,90,92]. Отметим, что уравнения не разрешённые относительно старшей дробной производной по времени в работах этих и многих других авторов, проводящих исследования в данном направлении, практически не встречаются.

Основные результаты данной диссертации касаются уравнений и систем уравнений, не разрешённых относительно старшей производной, которые занимают особое место в теории уравнений в частных производных. Подобными уравнениями и системами описываются многие модели математической физики. Интерес к ним со времен Пуанкаре [241], Озина [233], Ле-ре, Шаудера [209,210] во многом был обусловлен интересом к системе уравнений Навье — Стокса. Первые систематические исследования, касающиеся начально-краевых задач для таких уравнений, получены С.Л. Соболевым [120-123], поэтому такие уравнения, в частности уравнение вида (1), часто называют «уравнениями соболевского типа» или «уравнениями типа Соболева» [27,102,112]. Среди наиболее близких работ по изучению таких уравнений выделим работы М. И. Вишика [11], А. Г. Костюченко и Г. И. Эс-кина [66, 154], R. E. Showalter и T. W. Ting [251], математиков из школы С. Г. Крейна [37,38,71], А. П. Осколкова [100-102].

Отметим работы Н. А. Сидорова и его учеников — О. А. Романовой, М. В. Фалалеева [117-119]. Ими доказаны существование и единственность решения однородной задачи для уравнения (1) первого порядка с начальными значениями из некоторого подпространства для случая замкнутых, плотно определенных операторов L, M, где L фредгольмов. М. В. Фала-леевым методами теории фундаментальных решений получены условия разрешимости вырожденных линейных уравнений (1) первого порядка [133], а совместно с С. С. Орловым — исследованы вырожденные линейные интегро-дифференциальные уравнения высокого порядка [132,134].

Заметим также что R.E. Showalter [250] и Н.А. Сидоров [117] независимо друг от друга рассматривали начальную задачу

Lx(0) = Lx о (7)

для уравнений соболевского типа первого порядка, где Ь — вырожденный оператор при производной. Перекликаются с этой постановкой результаты данной работы при исследовании вырожденного уравнения с начальным условием (2) при 5 = Р (см. выше). В задачах, в которых пространство вырождения шире, чем ядро оператора Ь, естественным является именно такое начальное условие (2), оно названо здесь обобщённым условием Шоуолтера — Сидорова. Это условие эквивалентно условию Шоуолтера — Сидорова (7) в случае, когда оператор Ь не имеет М-присоединенных векторов.

В работах В. Н. Врагова и его учеников [12, 29] исследуется разрешимость начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и уравнений соболевского типа. Отметим работы А. И. Кожанова [52-59], который исследовал однозначную разрешимость ряда начально-краевых задач для различных классов линейных и нелинейных уравнений составного, а также соболевского типа, в том числе высокого порядка.

Монография Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [27] содержит систематическое изложение результатов цикла работ авторов, касающихся уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешённых относительно старшей производной по времени. В частности, с использованием методов построения приближенных решений и получения Ьр-оценок решений [25,26] изучены задача Коши и смешанные краевые задачи в четверти пространства для уравнений и систем уравнений соболевского типа.

Спектральная задача дЬм = Ми, тесно связанная с линейным уравнением (1) ^ = 0), исследовалась в работах С. Г. Пяткова, И. Е. Егорова, С. В. Попова [31,108,109], А. А. Шкаликова [152].

Многочисленные неклассические уравнения и системы уравнений математической физики, в том числе и соболевского типа, рассматриваются в работах А. Г. Свешникова, М. О. Корпусова и их соавторов [62-64,84]. Помимо вывода уравнений, описывающих различные процессы в теории полупроводников, теории плазмы и др., эти работы содержат качественное и численное

решение начально-краевых задач для таких уравнений, исследование условий разрушения решений. Многие работы при этом касаются уравнений с нелинейным оператором при старшей производной по времени.

Отметим также работы И. А. Шишмарева, Е. И. Кайкиной, П. И. На-умкина, касающиеся нелинейных уравнений соболевского типа [43,44,228], работы В. Г. Звягина, В. П. Орлова, М. В. Турбина, посвященные исследованию систем уравнений динамики вязкоупругих [36] и термовязкоупругих сред [34,35] целого порядка по времени.

Для уравнений первого порядка вида (1) в линейном случае результаты о разрешимости получены в [112,252], в полулинейном случае с нелинейностью, зависящей лишь от фазовой переменной, — в работах [113,116]. Неполное уравнение второго порядка Ьх(2)(г) = Мх(г) + N(х) методом фазового пространства исследовано в [32].

В современной математике теория оптимального управления является очень важной частью. Сфера её применения постоянно расширяется, начиная от исследования экономических моделей и заканчивая математическими моделями в физике. Бурное развитие теории управления системами с сосредоточенными параметрами во многом связано с использованием принципа максимума Л. С. Понтрягина [95]. Различные аспекты теории оптимального управления получили свое развитие в работах [3,10,41,42,155,188].

Нельзя не отметить огромное влияние на современную теорию управления динамическими системами научной школы Н. Н. Красовского (см., например, [60, 61, 68-70, 72-76, 88, 93,125,131,147, 234]), в которой получены фундаментальные результаты о задачах управления динамическими, стохастическими системами, управления и наблюдения при наличии помех, развита теория дифференциальных игр, метод динамических обратных задач.

Задачи управления для систем вида (1) первого порядка с вырожденным оператором Ь в случае конечномерных пространств X, У, Ы часто возникают при моделировании различных процессов в механике и технике. При этом соответствующая система уравнений часто называется дескрипторной

(D. G. Luenberger [217], D. Cobb [170], E. Jonckheere [198]). P. C. Muller отмечает [227], что в общем случае управление дескрипторными системами осуществляется не только функцией управления, но и её производными. Разрешимость дескрипторных систем и задачи управления для них исследуют в своих работах L. Pandolfi [235,236], Г. А. Курина [30,77-79], Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков, М. В. Булатов, А. Ю. Щеглова [4-6,148-150], F. L. Lewis [211].

В то же время для эффективного управления многими системами реальные объекты управления необходимо рассматривать как объекты с распределёнными параметрами, т. е. объекты, состояние которых в каждый момент времени характеризуется функциями. Возникают задачи оптимального управления для систем, состояние которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, функционально-дифференциальными или интегральными уравнениями — распределённых или, по-другому, бесконечномерных систем.

Теория оптимального управления распределёнными системами во многом развивалась под влиянием работ Ж.-Л. Лионса. В монографии [86] исследованы различные задачи оптимального управления для систем, описываемых корректными по Адамару краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных: эллиптических, гиперболических, параболических, корректных по Петровскому. Отметим также более поздние монографии таких авторов, как X. Li, J. Yong [214], H. O. Fattorini [181,182], I. Lasiecka, R. Triggiani [207,208], A. Bensoussan, G. Da Prato, M. C. Delfour, S. K. Mitter [243], также посвященные задачам управления для распределённых систем, описываемых, как правило, корректными начально-краевыми задачами для уравнений в частных производных, функционально-дифференциальных или интегральных уравнений, как линейных, так и нелинейных.

Отметим, что задачи оптимального управления для одного класса уравнений вида (1) первого порядка с нелинейностью, зависящей только от фазовой переменной, рассматривались Н. А. Манаковой [94] в случае слабого вырождения с использованием понятия слабого решения. Некоторые зада-

чи управления для систем, описываемых линейным вырожденным уравнением первого порядка в банаховом пространстве, рассматривались в работах [46,114], аналогичные задачи для уравнений второго порядка изучались в [33,146].

Работы А. В. Фурсикова [142,143] посвящены исследованию задач оптимального управления для распределённых систем, описываемых некорректными краевыми задачами. В этом случае невозможна ситуация, при которой для исследования задачи оптимального управления состояние системы выражается через управление, и функционал стоимости становится зависящим лишь от функции управления. Доказательство существования решения в таких задачах оптимального управления опирается на свойства функционала, в частности, на коэрцитивность, а также условия нетривиальности допустимых пар и компактности (в нелинейном случае).

Задача (1), (2) с вырожденным оператором Ь даже в линейном случае является некорректной. Этот факт во многом определил выбор методов исследования задач оптимального управления вида (3)-(6) в данной работе, близких к методам работ [142,143].

Управление распределёнными системами, описываемыми дробными дифференциальными уравнениями, является перспективной ветвью развития теории управления, в том числе с точки зрения математического моделирования и прикладных задач, однако работ по этой тематике пока немного, см., например, [156,254] и ссылки там. Одной из целей данной диссертационной работы является частичное восполнение этого пробела.

Научная новизна

В ходе работы были получены условия однозначной разрешимости в смысле классических, а также в смысле сильных решений начальных задач Коши и Шоуолтера — Сидорова для некоторых классов полулинейных уравнений дробного порядка в банаховых пространствах, как невырожденных, так и не разрешимых относительно дробной производной по времени. Проведенные

исследования позволили также получить теоремы о существовании и единственности решения начальных задач для вырожденных и невырожденных полулинейных уравнений высокого порядка.

Кроме того, в диссертационной работе изучены вопросы разрешимости задач оптимального управления для систем, описываемых линейными и полулинейными эволюционными уравнениями дробного порядка, как разрешёнными относительно дробной производной, так и вырожденными. В задачах рассмотрены различные функционалы стоимости: компромиссные и не зависящие от функции управления, представляющие собой степени норм функций состояния системы и управления в различных функциональных пространствах, терминальные функционалы. Исследованы различные типы управления: распределённое, стартовое, жёсткое (без учета затрат на управление). Для систем управления, состояние которых описывается линейными уравнениями, найдены достаточные условия единственности оптимального управления.

Абстрактные результаты использованы для исследования разрешимости ряда начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешённых относительно дробной или целой старшей производной по времени, а также задач оптимального управления для систем, состояние которых описывается такими начально-краевыми задачами.

Все результаты работы являются новыми. Отметим, что для полулинейных вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка начальные задачи и задачи оптимального управления, по-видимому, вообще не рассматривались другими авторами. То же касается задач оптимального управления для линейных вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка.

Во введении к каждой главе содержится подробный сравнительный анализ результатов главы с результатами работ других авторов, касающихся близких задач.

Теоретическая и практическая значимость работы

Практическая значимость и существенность теоретических выводов работы подтверждается уже тем фактом, что полученные абстрактные результаты об однозначной разрешимости начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка в банаховых пространствах использованы в данной работе при доказательстве существования единственного решения для ряда начально-краевых задач для различных уравнений в частных производных как дробного порядка по времени, так и целого высокого порядка. Кроме того, эти результаты используются для исследования разрешимости задач оптимального управления для распределённых систем, описываемых соответствующими начальными или начально-краевыми задачами для изученных классов уравнений.

Полученные результаты вносят вклад в развитие теории дифференциальных уравнений и оптимального управления. В то же время они могут быть использованы при решении прикладных задач: для корректного выбора постановки и параметров задачи, для разработки численных методов решения задач и т. д..

Методология и методы исследования

Полученные в работе результаты можно разделить на две части — об однозначной разрешимости начально-краевых задач и о разрешимости задач оптимального управления для уравнений с дробной производной по времени. В первой части исследование наряду с традиционными методами, основанными на принципе сжимающего отображения и свойствах функции Миттаг-Лёффлера, существенным образом опирается на теорию разрешающих семейств операторов вырожденных эволюционных уравнений. Условие (Ь, а)-ограниченности оператора М, используемое при рассмотрении вырожденного уравнения в банаховом пространстве, не разрешённого относительно дробной производной по времени, достаточно для существования аналитического раз-

решающего семейства операторов линейного вырожденного эволюционного уравнения дробного порядка Л^Ьи^) = Ми(£). Для построения разрешающих операторов в случае уравнения дробного порядка, как оказалось, можно использовать аналогичные используемым в теории вырожденных полугрупп операторов конструкции — контурный интеграл вокруг области, содержащей весь Ь-спектр оператора М, от его правой или левой Ь-резольвенты, умноженной уже не на экспоненту, как в случае уравнения первого порядка, а на функцию Миттаг-Лёффлера. При £ = 0 такие интегралы дают проекторы, с помощью которых вырожденное уравнение заменяется на систему двух уравнений на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых невырожденное, а второе имеет нильпотентный оператор при дробной производной.

Исследования нелинейного вырожденного уравнения используют один из двух типов условий: либо предполагается, что образ нелинейного оператора лежит в подпространстве, гомеоморфном фазовому пространству соответствующего линейного однородного уравнения, либо нелинейный оператор зависит лишь от проекций искомой функции и её производных на фазовое пространство. В работе рассмотрены уравнения типа (1) с левыми частями видов Ь^^м(^) и Д^Ьм(^) и подчеркнуто различие в определениях решения для таких уравнений и соответственно — в формулировках теорем однозначной разрешимости для них.

Часть работы, посвященная задачам оптимального управления, опирается на схему, предложенную в монографии А. В. Фурсикова [143]. В силу нетривиальности ядра оператора Ь при исследовании задач оптимального управления вида (3)-(6) не имеется возможности выразить функцию состояния через функцию управления при произвольном её выборе, и для доказательства разрешимости задачи используются свойства самого функционала, а также условия нетривиальности, коэрцитивности и для нелинейных по функции состояния систем — так называемое условие компактности. В качестве решения выбирается пара состояние-управление, минимизирую-

щая выпуклый, ограниченный снизу, полунепрерывный снизу, коэрцитивный функционал стоимости. В работе формулируются результаты о существовании оптимального управления, касающиеся как задач с абстрактным функционалом с заданными свойствами, так и задач с его конкретными формами, как правило, представляющими собой степени норм в пространствах Лебега, Соболева и в некоторых других функциональных пространствах. В тех случаях, когда функционал в задачах с линейным уравнением состояния является строго выпуклым в соответствующих пространствах, удается показать единственность решения.

Краткий обзор основных результатов

Результаты диссертационной работы представлены в пяти главах. Первая глава посвящена исследованию однозначной разрешимости начально-краевых задач для уравнений дробного порядка по времени в классическом смысле. Сначала доказана разрешимость линейного уравнения с дробной производной Герасимова — Капуто ^аг(£) = Аг(£) + ](£), £ Е [0,Т), т — 1 < а < т, в банаховом пространстве Я, с оператором А Е С(Я) и заданной функцией f (£). При этом решение выписано с помощью функции Миттаг-Лёффлера. Следующим шагом стало рассмотрение нелинейного невырожденного уравнения

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Плеханова, Марина Васильевна, 2017 год

Список литературы

[1] Баренблатт, Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах / Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина // Прикл. математика и механика. — 1960. — Т. 24, вып. 5. — С. 852-864.

[2] Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Том 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи. — М.: Наука, 1967. — 300 с.

[3] Благодатских, В. И. О выпуклости семейства решений дифференциального включения с запаздыванием / В. И. Благодатских, П. Ндии // Тр. МИАН. — 1998. — Т. 220. — С. 45-48.

[4] Бояринцев, Ю. Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю. Е. Бояринцев. — Новосибирск: Наука, 2000. — 223 с.

[5] Бояринцев, Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев. — Новосибирск: Наука, 1988. — 158 с.

[6] Бояринцев, Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы: Методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков. — Новосибирск: Наука, 1998. — 224 с.

[7] Булатов, М. В. О преобразовании алгебро-дифференциальных систем уравнений / М. В. Булатов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 1994. — Т. 34, № 3. — С. 360-372.

[8] Варга, Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями / Дж. Варга. — М.: Наука, 1977. — 624 с.

[9] Васильев, В. В. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем / В. В. Васильев, Л. А. Симак. — Киев: Академпресс, 2008. — 256 с.

[10] Васильев, Ф. П. Методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. — М.: Наука, 1981. — 400 с.

[11] Вишик, М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М. И. Вишик // Мат. сб. — 1956. — Т. 38, вып. 1. — С. 51-148.

[12] Врагов, В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В. Н. Врагов. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1983. — 179 с.

[13] Гаевский, Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. — М.: Мир, 1978. — 336 с.

[14] Газизов, Р. К. Симметрийный подход к дифференциальным уравнениям дробного порядка / Р. К. Газизов, А. А. Касаткин, С. Ю. Лукащук // Мат. моделирование и краевые задачи. — 2008. — № 3. — С. 59-61.

[15] Газизов, Р. К. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии / Р. К. Газизов, А. А. Касаткин, С. Ю. Лукащук // Уфимск. мат. журн. — 2012. — Т. 4, № 4. — С. 54-68.

[16] Гальперн, С. А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С. А. Гальперн // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1960. — Т. 9. — С. 401-423.

[17] Герасимов, А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения / А. Н. Герасимов // Прикл. математика и механика. — 1948. — Т. 12. — С. 529-539.

[18] Глушак, А. В. О корректности задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными / А. В. Глушак // Изв. вузов. Математика. — 2009. — № 9. — С. 13-24

[19] Глушак, А. В. О свойствах задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными / А. В. Глушак // Мат. заметки. — 2007. — Т. 82, вып. 5. — С. 665-677

[20] Глушак, А. В. О разрешимости абстрактного дифференциального уравнения дробного порядка с переменным оператором / А. В. Глушак, Х. К. Авад // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2013. — Т. 47. — С. 18-32.

[21] Глушак, А. В. Прямая и обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Адамара /

A. В. Глушак, Т. А. Манаенкова // Дифференц. уравнения. — 2011. — Т. 47, № 9. — С. 1294-1304.

[22] Головизнин, В. М. Аномальная диффузия радионуклидов в сильнонеоднородных геологических формациях / В. М. Головизнин, П. С. Кондратенко, Л. В. Матвеев и др. — М.: Наука, 2010. — 342 с.

[23] Гордиевских, Д. М. Разрешимость начально-краевых задач для некоторых систем уравнений дробного порядка по времени / Д. М. Гордиевских,

B. Е. Федоров // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. — 2015. — Т. 12. — С. 12-22.

[24] Гоц, Е. Г. Обращение преобразования Киприянова — Радона посредством дробного дифференцирования Грюнвальда — Летникова — Рисса / Е. Г. Гоц, Л. Н. Ляхов // Докл. Академии наук. — 2007. — Т. 410. —

C. 324-327.

[25] Демиденко, Г. В. Задача Коши для псевдопараболических систем / Г. В. Демиденко // Сиб. мат. журн. — 1997. — Т.38, № 6. — С.1251-1266.

[26] Демиденко, Г. В. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши — Ковалевской / Г. В. Демиденко, И. И. Матвеева // Тр. Ин-та математики СО РАН. — 1994. — Т. 26. — С.42-76.

[27] Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешённые относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. — Новосибирск: Научная книга, 1998. — 438 с.

[28] Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М. М. Джрбашян. — М.: Наука. — 1968.

[29] Джураев, Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т. Д. Джураев. — Ташкент: ФАН, 1979. — 155 с.

[30] Дмитриев, М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. — 2006. — Вып. 1. — С. 3—51.

[31] Егоров, И. Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И. Е. Егоров, С. Г. Пятков, С. В. Попов. — Новосибирск: Наука, 2000. — 336 с.

[32] Замышляева, А. А. Фазовое пространство модифицированного уравнения Буссинеска / А. А. Замышляева, Е. В. Бычков // Вестн. Южно-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. — 2012. — № 18 (277). — С. 13-19.

[33] Замышляева, А. А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи в моделях Буссинеска — Лява / А. А. Замышляева, О. Н. Цыпленкова //В сб.: XII Всеросс. совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. — М. : Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. — С. 1459-1466.

[34] Звягин, В. Г. Об одной модели термовязкоупругости Джеффриса — Ол-дройда / В. Г. Звягин, В. П. Орлов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2016. — Т. 56, № 10. — С. 1821-1830.

[35] Звягин, В. Г. Об одной параболической задаче движения термовязко-упругих сред / В. Г. Звягин, В. П. Орлов // Мат. заметки. — 2016. — Т. 99, № 3. — С. 465-469.

[36] Звягин, В. Г. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина — Фойгта / В. Г. Звягин, М. В. Турбин // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2009. — Т. 31. — С. 3-144.

[37] Зубова, С. П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярным возмущением в банаховом пространстве / С. П. Зубова // ДАН СССР. — 1982. — Т. 264, вып. 2. — С. 286-291.

[38] Зубова, С. П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмо-вым оператором при производной / С. П. Зубова, К. И. Чернышов // Дифференц. уравнения и их применения. — 1976. — Т. 14. — С. 21-39.

[39] Икези, Х. Экспериментальное исследование солитонов в плазме / Х. Ике-зи. — М.: Мир, 1981. — С. 163-184.

[40] Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967. — 624 с.

[41] Иоффе, А. Д. О минимизации интегральных функционалов / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров // Функц. анализ и его приложения. — 1969. — Т. 3, вып. 3. — С. 61-70.

[42] Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров — М.: Наука. 1974. — 480 с.

[43] Кайкина, Е. И. Задача Коши для уравнения типа Соболева со степенной нелинейностью / Е. И. Кайкина, П. И. Наумкин, И. А. Шишмарёв // Изв. РАН. Сер. мат. — 2005. — Т. 69, № 1. — С. 61-114.

[44] Кайкина, Е. И. Периодическая задача для нелинейного уравнения Соболева / Е. И. Кайкина, П. И. Наумкин, И. А. Шишмарёв // Функц. анализ и его приложения. — 2010. — Т. 44, № 3. — С. 14-26.

[45] Касаткин, А. А. Симметрийные свойства систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка / А. А. Касаткин // Уфимск. мат. журн. — 2012. — Т. 4, № 1. — С. 71-81.

[46] Келлер, А. В. Численный метод решения задач смешанного управления для систем леонтьевского типа / А. В. Келлер, А. А. Эбель // Вестн. Южно-Урал. гос. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Физика. — 2015. — Т. 7, № 4. — С. 37-45.

[47] Килбас, А. А. Нелинейные дифференциальные уравнения с дробной производной Капуто в пространстве непрерывно дифференцируемых функций / А. А. Килбас, С. А. Марзан // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 1. — С. 82-86.

[48] Килбас, А. А. Аналог задачи Бицадзе — Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной / А. А. Килбас, О. А. Репин // Дифференц. уравнения.. — 2003. — Т. 39, № 5. — С. 638-644.

[49] Киричук, П. А. Корректность абстрактной задачи Коши и оператор-нозначная функция типа Миттаг-Лёффлера / П. А. Киричук // Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки. — 1989. — № 12. — С. 10-12.

[50] Киричук, П. А. Характеризация генератора операторнозначной функции типа Миттаг-Лёффлера / П. А. Киричук. — Киев, 1988. — С. 24-33. — (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 88.45.)

[51] Киричук, П. А. Операторнозначная функция типа Миттаг-Лёффлера / П. А. Киричук, С. Г. Ткаченко. — Киев, 1987. — С. 32-52. — (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 87.68.)

[52] Кожанов, А. И. Задача с косой производной для некоторых псевдопараболических и близких к ним уравнений / А. И. Кожанов // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37, № 6. — С. 1335-1346.

[53] Кожанов, А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А. И. Кожанов. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1990. 132 с.

[54] Кожанов, А. И. Начально-краевая задача для уравнения типа обобщённого уравнения Буссинеска с нелинейным источником / А. И. Кожанов // Мат. заметки. — 1999. — Т. 65, № 1. — С. 70-75.

[55] Кожанов, А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнения теплопроводности и Аллера / А. И. Кожанов // Дифференц. уравнения. — 2004. —Т. 40, № 6. — С. 763-774.

[56] Кожанов, А. И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешённых относительно старшей производной / А. И. Кожанов // Сиб. мат. журн. — 1994. — Т. 35, № 2. — С. 359-376.

[57] Кожанов, А. И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А. И. Кожанов // ДАН СССР. — 1992. — Т. 326, № 5. — С. 781-786.

[58] Кожанов, А. И. Смешанная задача для одного класса квазилинейных эволюционных уравнений третьего порядка / А. И. Кожанов // Мат. сб. — 1982. — Т. 118, № 4. — С. 504—522.

[59] Кожанов, А. И. Смешанная задача для одного класса сильно-нелинейных уравнений соболевского типа высокого порядка / А. И. Кожанов // Докл. Акад. наук. — 2013. — Т. 451, № 5. — С. 492-494.

[60] Короткий, А. И. Реконструкция управлений в гиперболических системах / А. И. Короткий, Е. И. Грибанова // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 3. — С. 64-78.

[61] Короткий, А. И. Восстановление распределённых управлений в параболических системах динамическим методом / А. И. Короткий, Д. О. Михайлова // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2013. — Т. 19, № 1. — С. 160-169.

[62] Корпусов, М. О. О разрешимости одной начально-краевой задачи для уравнения внутренних волн / М. О. Корпусов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 1997. — Т. 37, № 5. — С. 617-620.

[63] Корпусов, М. О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях / М. О. Корпусов. — М.: Книжный дом «Либроком», 2010. — 240 с.

[64] Корпусов, М. О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях / М. О. Корпусов. — М.: Книжный дом «Либроком», 2011. — 376 с.

[65] Корпусов, М. О. Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике: Геометрические и топологические свойства линейных пространств / М. О. Корпусов, А. Г. Свешников. — М.: Красанд, 2011. — 416 с.

[66] Костюченко, А. Г. Задача Коши для уравнения Соболева — Гальперна / А. Г. Костюченко, Г. И. Эскин // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1961. — Т. 10. — С. 273-284.

[67] Кочубей, А. Н. Задача Коши для уравнения дробного порядка / А. Н. Кочубей // Дифференц. уравнения. — 1989. — Т. 25, № 8. — Р. 1359-1368.

[68] Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский. — М.: Наука, 1968. — 359 с.

[69] Красовский, Н. Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата / Н. Н. Красовский. — М.: Наука, 1985. — 520 с.

[70] Красовский, Н. Н. Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. — М.: Физматлит, 1974. — 456 с.

[71] Крейн, С. Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн, К. И. Чернышов. — Новосибирск, 1979. — 18 с. — (Препринт / Ин-т математики СО АН СССР).

[72] К решению задач о сближении управляемых систем / В. Н. Ушаков, В. И. Ухоботов, А. В. Ушаков, Г. В. Паршиков // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 2015. — Т. 291. — С. 276-291.

[73] Кряжимский, А. В. О сочетании процессов реконструкции и гарантирующего управления / А. В. Кряжимский, В. И. Максимов // Автоматика и телемеханика. — 2013. — № 8. — С. 5-21.

[74] Кряжимский, А. В. О разрешимости задач гарантирующего управления для частично наблюдаемых линейных динамических систем / А. В. Кря-жимский, Ю. С. Осипов // Тр. МИАН. — 2012. — Т. 277. — С. 152-167.

[75] Куржанский, А. Б. О задаче группового управления в условиях препятствий / А. Б. Куржанский // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2014. — Т. 20, № 3. — С. 166--179.

[76] Куржанский, А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А. Б. Куржанский. — М.: Физматлит, 1977. — 392 с.

[77] Курина, Г. А. О регулировании дескрипторной системой на бесконечном интервале / Г. А. Курина // Изв. РАН. Сер. Тех. кибернетика. — 1993. — № 6. — С.33-38.

[78] Курина, Г. А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешённым относительно производной / Г. А. Курина // Изв. РАН. Сер. Тех. кибернетика. — 1992. — № 4. — С. 20-48.

[79] Курина, Г. А. Управление с обратной связью для линейных систем, не разрешённых относительно производной / Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. — 1984. — № 6. — С. 37-41.

[80] Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. — 204 с.

[81] Летников, А. В. К разъяснению главных положений теории дифференцирования с произвольным указателем / А. В. Летников // Мат. сб. — 1872. — Т. 6, вып. 4. — С. 413-445.

[82] Летников, А. В. Об историческом развитии теории дифференцирования с произвольным указателем / А. В. Летников // Мат. сб. — 1868. — Т. 3, вып. 1. — С. 85-112.

[83] Летников, А. В. Теория дифференцирования с произвольным указателем / А. В. Летников // Мат. сб. — 1868. — Т. 3, вып. 1. — С. 1-68.

[84] Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. — М.: Физматлит, 2007. — 736 с.

[85] Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. — М.: Мир, 1972. — 588 с.

[86] Лионс, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионс. — М.: Мир, 1972. — 415 с.

[87] Лионс, Ж.-Л. Управление сингулярными распределёнными системами / Ж.-Л. Лионс. — М.: Наука, 1987. — 456 с.

[88] Лукоянов, Н. Ю. Об условиях оптимальности гарантированного результата в задачах управления системами с запаздыванием / Н. Ю. Луко-янов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2009. — Т. 15, № 3. — С. 158-169.

[89] Ляхов, Л. Н. Построение ядер Дирихле и Валле-Пуссена — Никольского для Д-бесселевых интегралов Фурье / Л. Н. Ляхов // Тр. Моск. мат. о-ва. — 2015. — Т. 76, № 1. — С. 67-84.

[90] Ляхов, Л. Н. Преобразование Киприянова — Радона / Л. Н. Ляхов // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 2005. — Т. 248. — С. 153-163.

[91] Ляхов, Л. Н. Фундаментальные решения сингулярных дифференциальных уравнений с -оператором Бесселя / Л. Н. Ляхов // Тр. МИАН. — 2012. — Т. 278. — С. 148-160.

[92] Ляхов, Л. Н. Дробные производные и интегралы и их приложения / Л. Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина. — Воронеж: Издат.-полиграф. центр Воронеж. гос. ун-та, 2011. — 102 с.

[93] Максимов, В. И. О граничном управлении распределённой системой на бесконечном промежутке времени / В. И. Максимов, Ю. С. Осипов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2016. — Т. 56, № 1. — С. 16-28.

[94] Манакова, Н. А. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа / Н. А. Манакова. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2012. — 89 с.

[95] Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — М.: Наука, 1976. — 392 с.

[96] Мельникова, И. В. Обобщённая корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы / И. В. Мельникова, М. А. Альшанский // Докл. Акад. наук. — 1995. — Т. 343, № 4. — С. 448-451.

[97] Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение / А. М. Наху-шев. — М.: Физматлит, 2003. — 272 с.

[98] Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии / А. М. Нахушев. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.

[99] Нахушев, А. М. Элементы дробного исчисления и их применение / А. М. Нахушев. — Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000. — 299 с.

[100] Осколков А. П. К теории устойчивости решений полулинейных дисси-пативных уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Записки науч. семинара ЛОМИ. — 1992. — Т. 200. — С. 139-148.

[101] Осколков, А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина — Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1988. - Т. 179. - С. 126-164.

[102] Осколков, А. П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Записки науч. семинара ЛОМИ. — 1991. — Т. 198. — С. 31-48.

[103] Псху, А. В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / А. В. Псху // Мат. сб. — 2011. — Т. 202, № 4. — С. 111-122.

[104] Псху, А. В. О краевой задаче для уравнения в частных производных дробного порядка в области с криволинейной границей / А. В. Псху // Дифференц. уравнения. — 2015. — Т. 51, № 8. — С. 1076-1082.

[105] Псху, А. В. О продолжении решений дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка / А. В. Псху // Дифференц. уравнения. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 133-136.

[106] Псху, А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка / А. В. Псху. — М.: Наука, 2005. — 199 с.

[107] Псху, А. В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка / А. В. Псху // Изв. РАН. Сер. мат. — 2009. — Т. 73, № 2. — С. 141-182.

[108] Пятков, С. Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков / С. Г. Пятков // Сиб. мат. журн. — 1989. — Т. 30, № 4. — С. 111-124.

[109] Пятков, С. Г. О некоторых свойствах собственных функций линейных пучков / С. Г. Пятков // Мат. заметки. — 1992. — Т. 51, вып. 1. — С. 141148.

[110] Руткас, А. Г. Задача Коши для уравнения + Вж(£) = ](£) / А. Г. Руткас // Дифференц. уравнения. — 1975. — Т. 11, № 11. — С. 19962010.

[111] Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

[112] Свиридюк, Г. А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свири-дюк // Успехи мат. наук. — 1994. — Т. 49, вып. 4 (298). — С. 47-74.

[113] Свиридюк, Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором / Г. А. Свиридюк // Докл. АН СССР. — 1991. — Т. 318, вып. 4. — С. 828-831.

[114] Свиридюк, Г.А. Оптимальное управление одним классом линейных вырожденных уравнений / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Докл. Акад. наук. — 1999. — Т. 364, № 3. — С. 323.

[115] Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Сиб. журн. индустр. математики. — 2005. — Т. VIII, № 2. — С. 144-151.

[116] Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. — 1990. — Т. 26, № 2. — С. 250-258.

[117] Сидоров Н. А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н. А. Сидоров // Мат. заметки. — 1984. — Т. 25, № 4. — С. 569-578.

[118] Сидоров, Н. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров, О. А. Романова // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 9. — С. 1516-1526.

[119] Сидоров, Н. А. Обобщённые решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фа-лалеев // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23, № 4. — С. 726-728.

[120] Соболев, С. Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалевской / С. Л. Соболев // Докл. АН СССР. — 1952. — Т. 82, № 2. — С. 205-208.

[121] Соболев, С. Л. Об одной новой задаче для систем уравнений в частных производных / С. Л. Соболев // Докл. АН СССР. — 1951. — Т. 81, № 6. — С. 1007-1009.

[122] Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1954. — Т. 18. — С. 350.

[123] Соболев, С. Л. О движении симметрического волчка с полостью, наполненной жидкостью / С. Л. Соболев // Прикл. механика и тех. физика. — 1960. — № 3. — С. 20-55.

[124] Солдатов, А. П. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого поряд-

ка / А. П. Солдатов, М. Х. Шхануков // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 297. — № 3. — С. 547-552.

[125] Субботина, Н. Н. Оптимальный синтез в задаче управления с липши-цевыми входными данными / Н. Н. Субботина, Т. Б. Токманцев // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. — 2008. — Т. 262. — С. 240-252.

[126] Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка / Т. Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика. 1998. — № 3. — С. 47-54.

[127] Сукачева, Т. Г. Линеаризованная модель движения вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка / Т. Г. Сукачева, М. Н. Даугавет // Сиб. журн. идустр. математики. — 2003. — Т. 6, № 4. — С. 111-118.

[128] Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / Х. Трибель. — М.: Мир, 1980.

[129] Уизем, Д. Линейные и нелинейные волны / Д. Уизем. — М.: Мир, 1977. — 591 с.

[130] Учайкин, В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 510 с.

[131] Ушаков, В. Н. Метод построения разрешающего управления задачи о сближении, основанный на притягивании к множеству разрешимости / В. Н. Ушаков, А. Р. Матвийчук , Г. В. Паршиков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2013. — Т. 19, № 2. — С. 275-284.

[132] Фалалеев, М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмо-вым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. — 2012. — Т. 5, № 2. — С. 90-102.

[133] Фалалеев, М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях секториальности и радиальности / М. В. Фалалеев // Изв. вузов. Математика. — 2006. — № 10. — С. 68-75.

[134] Фалалеев, М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Вестн. Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. — 2011. — Вып. 7, № 4 (211). — С. 100-110.

[135] Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В. Е. Федоров // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12, № 3. — С. 173-200.

[136] Федоров, В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Мат. сб. — 2004. — Т. 195, № 8. — С. 131-160.

[137] Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле — Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. мат. журн. — 2005. — Т. 46, № 2. — С. 426-448.

[138] Федоров, В. Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 12. — С. 1646-1649.

[139] Федоров, В. Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2009. — № 20 (158). — Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — С. 12-19.

[140] Федоров, В. Е. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений с дробной производной по времени / В. Е. Федоров, Д. М. Гор-диевских // Изв. вузов. Математика. — 2015. — № 1. — С. 71-83.

[141] Федоров, В. Е. Один класс вырожденных дробных эволюционных систем в банаховых пространствах / В. Е. Федоров, А. Дебуш // Диффе-ренц. уравнения. — 2013. — Т. 49, № 12. — С. 1616-1622.

[142] Фурсиков, А.В. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье — Стокса и Эйлера / А.В. Фурсиков // Мат. сб. — 1981. — Т. 115, № 2. — С. 281-307.

[143] Фурсиков, А.В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения / А.В. Фурсиков. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 350 с.

[144] Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 830 с.

[145] Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн. — М.: Мир, 1985. — 280 с.

[146] Цыпленкова, О.Н. Оптимальное управление решениями задачи Коши для одного класса уравнений соболевского типа высокого порядка / О. Н. Цыпленкова, А. А. Замышляева // Вырожденные полугруппы и пропа-гаторы уравнений соболевского типа: материалы докл. Междунар. симпозиума. Отв. ред. А. А. Замышляева. — Челябинск: Южно-Урал. гос. ун-т, 2014. — С. 85-90.

[147] Ченцов, А. Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач / А. Г. Ченцов. — Екатеринбург: Наука, 1993. — 232 с.

[148] Чистяков, В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков. — Новосибирск: Наука, 1996. — 278 с.

[149] Чистяков, В. Ф. О понятии индекса алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков // Уравнения соболевского типа: сб. науч. тр. — Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. — С. 156-177.

[150] Чистяков, В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. — Новосибирск: Наука, 2003. — 320 с.

[151] Чудновский, А. Ф. Теплофизика почв / А. Ф. Чудновский. — М.: Наука, 1976. — 352 с.

[152] Шкаликов, А. А. Как определить оператор Орра — Зоммерфельда? /

A. А. Шкаликов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 1998. — № 4. — С. 36-43.

[153] Эдвардс, Р. Функциональный анализ / Р. Эдвардс. — М.: Мир, 1969. — 1072 с.

[154] Эскин, Г. И. О единственности решения задачи Коши для уравнений не типа Ковалевской / Г. И. Эскин // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1961. — Т. 10. — С. 285-295.

[155] Якубович, В. А. К абстрактной теории оптимального управления. IV /

B. А. Якубович // Сиб. мат. журн. — 1979. — Т. 20, № 5. — С. 1131-1159.

[156] Agrawal, O. P. A quadratic numerical scheme for fractional optimal control problems / O. P. Agrawal // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. — 2008. — Vol. 130, no. 1. — P. 011010.

[157] Al-Bassam, M. A. Some existence theorems on differential equations of generalized order / M. A. Al-Bassam // Journal fiir die reine und angewandte Mathematik. — 1965. — Vol. 218, no. 1. — P. 70-78.

[158] An extension of Picard — Lindelof theorem to fractional differential equations / N. Hayek, J. Trujillo, M. Rivero, B. Bonilla, J. C. Moreno // Applied Analysis. — 1999. — Vol. 70, no. 3,4. — P. 347-361.

[159] Bajlekova, E. G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces / E. G. Bajlekova. — PhD thesis. — Eindhoven: Eindhoven University of Technology, University Press Facilities, 2001. — 107 p.

[160] Bajlekova, E. G. Perturbation properties for abstract evaluation equations of fractional order / E. G. Bajlekova. // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 1999. — Vol. 2, no. 4. — P. 359-366.

[161] Bajlekova, E. G. The abstract Cauchy problem for the fractional evolution equation / E. G. Bajlekova. // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 1998. — Vol. 1, no. 3. — P. 255-270.

[162] Balachandran, K. Existence of solutions of abstract fractional integrodifferential equations of Sobolev type / K. Balachandran, S. Kiruthika // Computers and Mathematics with Applications. — 2012. — Vol. 64, no. 10. — P. 3406-3413.

[163] Barrett, J. H. Differential equations of non-integer order / J. H. Barret // Canadian Journal of Mathematics. — 1954. — Vol. 6, no. 4. — P. 529-541.

[164] Benjamin, T. B. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems / T. B. Benjamin, J. L. Bona, J. J. Mahony // Philosophical Transactions of the Royal Society A. — 1972. — Vol. 272, no. 1220. — P. 4778.

[165] Berens, H. A Cauchy problem for a generalized wave equation / H. Berens, U. Westphal // Ada Sci. Math. (Szeged). — 1968. — Vol. 29, no. 1-2. — P. 93-106.

[166] Biler, P. Long time behaviour of the generalized Benjamin — Bona — Mahony equation in two space dimensions / P. Biler // Differential and Integral Equations. — 1992. — Vol. 5, no. 4. — P. 891-901.

[167] Buckwar, E. Invariance of a partial differential equation of fractional order under the Lie group of scaling transformations / E. Buckwar, Y. F. Luchko //

Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1998. — Vol. 227, no. 1. — P. 81-97.

[168] Caputo, M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequancy independent. II / M. Caputo // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. — 1967. — Vol. 13. — P. 529-539.

[169] Chen, Yu. Remark of the global existence for the generalized Benjamin — Bona — Mahony equations in arbitrary dimension / Yu. Chen // Applied Analysis. — 1988. — Vol. 30, no. 1-3. — P. 1-15.

[170] Cobb, D. Descriptor variable systems and optimal state regulation / D. Cobb // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1983. — Vol. 28. — P. 601-611.

[171] Daftardar-Gejji, V. Analysis of a system of fractional differential equations / V. Daftardar-Gejji, A. Babakhani // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2004. — Vol. 293, no. 2. — P. 511-522.

[172] Debbouche, A. Sobolev type fractional abstract evolution equations with nonlocal conditions and optimal multi-controls / A. Debbouche, J. J. Nieto // Applied Mathematics and Computation. — 2014. — Vol. 245. — P. 74-85.

[173] Debbouche, A. Sobolev type fractional dynamic equations and optimal multi-integral controls with fractional nonlocal conditions / A. Debbouche, D. F. M. Torres // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2015. — Vol. 18. — P. 95-121.

[174] Delbosko, D. Existence and uniqueness for a nonlinear fractional differential equation / D. Delbosko, L. Rodino // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1996. — Vol. 204, no. 2. — P. 609-625.

[175] Diethelm, K. The Analysis of Fractional Differential Equations. An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type. — Berlin; Heidelberg: Springer, 2010. — 247 p.

[176] Dlethelm, K. Analysis of fractional differential equations / K. Dlethelm, N. J. Ford // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2002. — Vol. 265, no. 2. — P. 229-248.

[177] El-Sayed, A. M. A. Fractional differential-difference equations / A. M. A. El-Sayed // Journal of Fractional Calculus. — 1996. — Vol. 10. — P. 101-107.

[178] El-Sayed, A. M. A. Fractional order diffusion-wave equation / A. M. A. El-Sayed // International Journal of Theoretical Physics. — 1996. — Vol. 35, no. 2. — P. 311-322.

[179] El-Sayed, A. M. A. Fractional order evolution equations / A. M. A. El-Sayed // Journal of Fractional Calculus. — 1995. — Vol. 7. — P. 89-100.

[180] El-Sayed, A. M. A. Nonlinear functional-differential equations of arbitrary order / A. M. A. El-Sayed // Nonlinear Analysis. — 1998. — Vol. 33, no. 2. — P. 18-86.

[181] Fattorini, H. O. Infinite-Dimensional Linear Control Systems. The Time Optimal and Norm Optimal Problems / H. O. Fattorini. — North-Holland Mathematical Studies, 201. — Amsterdam: Elsevier Science B. V., 2005. — 332 p.

[182] Fattorini, H. O. Infinite-Dimensional Optimization and Control Theory / H. O. Fattorini. — Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 62. — Cambrige: Cambridge University Press, 1999. — 816 p.

[183] Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi. — New York etc.: Marcel Dekker Inc., 1999. — 324 p.

[184] Favini, A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations / A. Favini, A. Yagi // Annali di Matematica Pura ed Applicata. — 1993. — Vol. CLXIII. — P. 353-384.

[185] Fujita, Y. Cauchy problems of fractional order and stable processes / Y. Fujita // Japan Journal of Applied Mathematics. — 1990. — Vol. 7, no. 3. — P. 459-476.

[186] Fujita, Y. Integro-differential equations which interpolate the heat equation and the wave equation / Y. Fujita // Osaka Journal of Mathematics. — 1990. — Vol. 27, no. 2. — P. 309-321.

[187] Fujita, Y. Integro-differential equations which interpolate the heat equation and the wave equation. II / Y. Fujita // Osaka Journal of Mathematics. — 1990. — Vol. 27, no. 4. — P. 797-804.

[188] Gamkrelidze, R. V. Discovery of maximum principle / R. V. Gamkrelidze // Journal of Dynamical and Control Systems. — 1999. — Vol. 5, no. 4. — C. 437451.

[189] Gorenflo, R. On solvability of linear fractional differential equations in Banach spaces, / R. Gorenflo, Y. F. Luchko, P. P. Zabreiko // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 1999. — Vol. 2, no. 2. — P. 163-176.

[190] Gorenflo, R. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order / R. Gorenflo, F. Mainardi. — CISM Courses and Lectures. — Vol. 378. — Berlin : Springer-Verlag, 1997. — P. 223-276.

[191] Gorenflo, R. Fractional oscillations and Mittag-Leffler functions / R. Gorenflo, F. Mainardi // University Kuwait, International Workshop on the Recent Advances in Applied Mathematics (Kuwait, RAAM'96), Kuwait, 1996. — P. 193-208.

[192] Gorenflo, R. Random walk models for space-fractional diffusion processes / R. Gorenflo, F. Mainardi // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 1998. — Vol. 1, no. 2. — P. 167-191.

[193] Guo, B. On inhomogeneous GBBM equations / B. Guo, Ch. Miao // Journal of Partial Differential Equations. — 1995. — Vol. 8, no. 3. — P. 193-204.

[194] Hagen, T. On a class of nonlinear BBM-like equations / T. Hagen, J. Turi // Computational and Applied Mathematics. — 1998. — Vol. 17, no. 2. — P. 161172.

[195] Hilfer, R. Applications of Fractional Calculus in Physics / R. Hilfer. — Singapore: WSPC, 2000. — 465 p.

[196] Ibis, B. Applications of fractional differential transform method to fractional differential-algebraic equations / B. Ibis, M. Bayram, A. Goksel Agargiin // European Journal of Pure and Applied Mathematics. — 2011. — Vol. 4, no. 2. — P. 129-141.

[197] Jaishankar, A. Power-law rheology in the bulk and the interface: quasi-properties and fractional constitutive equations / A. Jaishankar, G. H. McKinley // Proceedings of the Royal Society. — A 469: 20120284. — Accepted 26.09.2012.

[198] Jonckheere, E. Variational calculus for descriptor problems / E. Jonckheere // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1988. — Vol. 33. — P. 491-495.

[199] Kilbas, A. A. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo. — Amsterdam; Boston; Heidelberg: Elsevier Science Publishing, 2006. — 541 p.

[200] Kilbas, A. A. Differential equation of fractional order: methods, results and problems. I / A. A. Kilbas, J. J. Trujillo // Applied Analysis. — 2001. — Vol. 78, no. 1-2. — P. 153-192.

[201] Kilbas, A. A. Differential equation of fractional order: methods, results and problems. II / A. A. Kilbas, J. J. Trujillo // Applied Analysis. — 2002. — Vol. 81, no. 2. — P. 435-493.

[202] Kostic, M. Abstract Volterra Integro-Differential Equations / M. Kostic. — Boca Raton: CRC Press, 2015. — 458 p.

[203] Kostic, M. Degenerate k-regularized (Ci, C2)-existence and uniqueness families / M. KostiC // CUBO A Mathematical Journal. - 2015. - Vol. 17. -P. 15-41.

[204] KostiC, M. Degenerate multi-term fractional differential equations in locally convex spaces / M. Kostic // Publications de l'Institut Mathematique. Nouvelle serie. -2016. - Vol. 1000. - P. 49-75.

[205] Kostic, M. Degenerate fractional differential equations in locally convex spaces with a-regular pair of operators / M. Kostic, V. E. Fedorov // Ufa Mathematical Journal. - 2016. - Vol. 8. - P. 100-113.

[206] Kostin, V. A. The Cauchy problem for an abstract differential equation with fractional derivatives / V. A. Kostin // Doklady Mathematics. - 1992. -Vol. 326, no. 4. - P. 597-600.

[207] Lasiecka, L. Control Theory for Partial Differential Equations: Continuous and Approximation Theories. I. Abastract Parabolic Systems/ L. Lasiecka, R. Triggiani. - Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 74. -Cambrige: Cambridge University Press, 2000. - 650 p.

[208] Lasiecka, L. Control Theory for Partial Differential Equations: Continuous and Approximation Theories. II. Abastract Hyperbolic-like Systems over a Finite Time Horizon / L. Lasiecka, R. Triggiani. - Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 75. - Cambrige: Cambridge University Press, 2000. - 1071 p.

[209] Leray, J. Essai sur le mouvement plans d'un liquide visqueux que limitent des parois / J. Leray // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. Ser. IX. - 1934. - Vol. XIII, fasc. 4. - P. 331-418.

[210] Leray, J. Topologie et equations fonctionnelles / J. Leray, J. Schauder // Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure. Ser. 3. - 1934. -Vol. 51. - P. 45-78.

[211] Lewis, F. L. A survey of linear singular systems / F. L. Lewis // Circuits, Systems and Signal Processing. — 1986. — Vol. 5, no. 1. — P. 3-36.

[212] Li, F. Existence of mild solutions for fractional integrodifferential equations of Sobolev type with nonlocal conditions / F. Li, J. Liang, H. K. Xu // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2012. — Vol. 391. — P. 510-525.

[213] Li, K. Fractional resolvents and fractional evolution equations / K. Li, J. Peng // Applied Mathematics Letters. — 2012. — Vol. 25. — P. 808-812.

[214] Li, X. Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems / X. Li. J. Yong. — Systems & Control: Foundations & Applications. — Birkhauser: Boston; Basel; Berlin, 1995. — xii+450 p.

[215] Luchko, Y. F. An operational method for solving fractional differential equations with the Caputo derivatives / Y. F. Luchko, R. Gorenflo // Acta Mathematica Vietnam. — 1999. — Vol. 24, no. 2. — P. 207-233.

[216] Luchko, Y. F. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order / Y. F. Luchko, R. Gorenflo // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 1998. — Vol. 1, no. 1. — P. 63-78.

[217] Luenberger, D. G. Dynamic equations in descriptor form / D. G. Luenberger // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1977. — Vol. 22. — P. 312-321.

[218] Lyapunov — Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. — Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publisher, 2002. — 568 p.

[219] Mainardi, F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation / F. Mainardi // Applied Mathematics Letters. — 1996. — Vol. 9, no. 6. — P. 23-28.

[220] Mainardi, F. The time fractional diffusion-wave equations / F. Mainardi // Radiophysics and Quantum Electronics. — 1995. — Vol. 38. — P. 13-24.

[221] Mainardi, F. The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation / F. Mainardi, Y. F. Luchko, G. Pagnini // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2001. — Vol. 4, no. 2. — P. 153-192.

[222] Mainardi, F. Fractional diffusive waves / F. Mainardi, P. Paradisi // Journal of Computational Acoustics. — 2001. — Vol. 9, no. 4. — P. 1417-1436.

[223] Mei, M. Lq-decay rates of solutions for Benjamin — Bona — Mahony — Burgers equations / M. Mei // Journal of Differential Equations. — 1999. — Vol. 158, no. 2. — P. 314-340.

[224] Melnikova, I. V. Abstract Cauchy Problems: Three Approahes / I. V. Melnikova, A. Filinkov. — Monograph and Surveys in Pure and Applied Mathematics. — Boca Raton; London; New York; Washington: Chapman & Hall / CRC, 2001. — xii+242 p.

[225] Metzler, R. The random walk's guide to anomalous diffusion: A fractional dynamic approach / R. Metzler, J. Klafter // Physical Reports. — 2000. — Vol. 339. — P. 1-77.

[226] Miller, K. S. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations / K. S. Miller, B. Ross. — New York: John Wiley & Sons, 1993. — 384 p.

[227] Miiller, P.C. Linear control design of linear descriptor systems / P. C. Muller // 14th Triennial World Congress. — Beijing, 1999. — P. 31-36.

[228] Naumkin, P. I. Large-time asymptotic behaviour of a step for the Benjamin — Bona — Mahony — Burgers equation / P. I. Naumkin // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Section A. — 1996. — Vol. 126, no. 1. — P. 1-18.

[229] Nigmatullin, R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry / R. R. Nigmatullin // Physica Status Solidi B. - 1986. - Vol. 133. - P. 425-430.

[230] Nigmatullin, R. R. To the theoretical explanation of the «universal» response / R. R. Nigmatullin // Physica Status Solidi B. — 1984. — Vol. 123, no. 2. — P. 739-745.

[231] Nishimoto, K. Fractional Calculus and Its Applications / K. Nishimoto. — Koriyama: Nihon University, 1990. — 284 p.

[232] Oldham, K. B. The Fractional Calculus / K. B. Oldham, J. Spanier. — Boston: Academic Press, 1974. — 234 p.

[233] Oseen, C. W. Hydrodynamik / C. W. Oseen. — Leipzig: Akad. Verl.-Ges., 1927. — 337 p.

[234] Osipov, Yu. S. Inverse problem of ordinary differential equations: dynamical solutions / Yu. S. Osipov, A. V. Kryazhimskii. — Amsterdam: Gordon and Breach, 1995. — 625 p.

[235] Pandolfi, L. Controllability and stabilization for linear systems of algebraic and differential equations / L. Pandolfi // Journal of Optimization Theory and Applications. — 1980. — Vol. 30, no. 4. — P. 601-620.

[236] Pandolfi, L. On the regulator problem for linear degenerate control systems / L. Pandolfi // Journal of Optimization Theory and Applications. — 1981. — Vol. 33, no. 2. — P. 241-254.

[237] Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / A. Pazy. — N. Y.: Springer-Verlag, 1983. — 279 p.

[238] Peng, J. Cauchy problems for fractional differential equations with Riemann — Liouville fractional derivatives / J. Peng, K. Li, J. Jia // Journal of Functional Analysis. — 2012. — Vol. 263. — P. 476-510.

[239] Peng, J. A novel characteristic of solution operator for the fractional abstract Cauchy problem / J. Peng, K. Li // Journal Mathematical Analysis and Applications. — 2012. — Vol. 385. — P. 786-796

[240] Podlubny, I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny. — San Diego; Boston: Academic Press, 1999. — 340 p.

[241] Poincare, H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'unmouvement de rotation / H. Poincare // Acta Mathematica. — 1885. — Vol. 7. — P. 259-380.

[242] Priiss, J. Evolutionary Integral Equations and Applications / J. Priiss. — Basel: Springer, 1993.

[243] Representation and Control of Infinite Dimensional Systems / A. Bensoussan, G. Da Prato, M. C. Delfour. S. K. Mitter. — Second Edition. — Birkhauser: Boston; Basel; Berlin, 2007. — xxvi+575 p.

[244] Ross, B. Fractional Calculus and Its Applications / B. Ross. — Proc. of the International Conf., held at the University of New Haven, June 1974. — Lecture Notes in Mathematics. Vol. 457. — Springer, 1975. — 381 p.

[245] Ross, B. The development of Fractional Calculus 1695-1900 / B. Ross // Historia Mathematica. — 1977. — Vol. 4. — P. 75-89.

[246] Saichev, A. I. Fractional kinetic equations: Solutions and applications / A. I. Saichev, G. M. Zaslavsky // Chaos. — 1997. — Vol. 7. — P. 753-764.

[247] Samko, S. G. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications / S. G. Samko, A. A. Kilbasa, O. I. Marichev. — Philadelfia: Gordon and Breach Science Publishers, 1993. — 1006 p.

[248] Shlesinger, M. F. Strange kinetics / M. F. Shlesinger, G. M. Zaslavsky, J. Klafter // Nature. — 1993. — Vol. 336. — P. 31-37.

[249] Showalter, R. E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / R. E. Showalter // SIAM Journal of Mathematical Analysis. — 1975. — Vol. 6, no. 1. — P. 25-42.

[250] Showalter, R. E. The Sobolev type equations. I / R. E Showalter // Applied Analysis. — 1975. — Vol. 5, no. 1. — P. 15-22.

[251] Showalter, R. E. Pseudoparabolic partial differential equations / R. E Showalter, T. W. Ting // SIAM Journal of Mathematical Analysis. — 1970. — Vol. 1, no. 1. — P. 1-26.

[252] Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. — Utrecht; Boston: VSP, 2003. — vii+216 p.

[253] Tarasov, V. E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media / V. E. Tarasov. — New York: Springer, 2011. — 450 p.

[254] Wang, J. Time optimal control problem of a class of fractional distributed systems / J. Wang // International Journal of Dynamical Systems and Differential Equations. — 2011. — Vol. 3, no. 3. — P. 363-382.

[255] Wang, J. Controllability of Sobolev type fractional evolution systems / J. Wang, M. Feckan, Y. Zhou // Dynamics of Partial Differential Equations. — 2014. — Vol. 11. — P. 71-87.

[256] West, J. B. Physics of Fractal Operators / J. B. West, M. Bologna, P. Grigolini. — New York: Springer, 2003. — 354 p.

[257] Zaczkiewicz, Z. Representation of solutions for fractional differential-algebraic systems with delays / Z. Zaczkiewicz // Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences. — 2010. — P. 58, iss. 4. — P. 607612.

[258] Zurigat, M. Analytical approximate solutions of systems of fractional algebraic-differential equations by homotopy analysis method / M. Zurigat, S. Momani, A. Alawneh // Computers & Mathematics with Applications. — 2010. — P. 59, iss. 3. — P. 1227-1235.

Публикации автора диссертации

[259] Plekhanova, M. V. Distributed control problems for a class of degenerate semilinear evolution equations / M. V. Plekhanova // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2017. — Vol. 312. — P. 39-46.

[260] Plekhanova, M. V. Optimal control for quasilinear degenerate systems of higher order / M. V. Plekhanova // Journal of Mathematical Sciences. — 2016. — Vol. 219, no. 2. — Р. 236-244.

[261] Plekhanova, M. V. Sobolev type equations of time-fractional order with periodical boundary conditions / M. V. Plekhanova // International Conference on Analysis and Applied Mathematics (ICAAM 2016). AIP Conf. Proc. — 2016. — Vol. 1759. — P. 020101-1-020101-4.

[262] Plekhanova, M. V. Strong solutions of quasilinear equations in Banach spaces not solvable with respect to the highest-order derivative / M. V. Plekhanova // Discrete and Continuous Dynamical systems. Series S. — 2016. — Vol. 9, no. 3. — Р. 833-847.

[263] Plekhanova, M. V. Nonlinear equations with degenerate operator at fractional Caputo derivative / M. V. Plekhanova // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2016. — In press. doi: 10.1002/mma.3830.

[264] Plekhanova M. V. Mixed control problem for the linearized quasi-stationary phase field system of equations / M. V. Plekhanova // Materials Science Forum. — 2016. — Vol. 845. — P. 170-173.

[265] Плеханова, М. В. Сильные решения нелинейного вырожденного эволюционного уравнения дробного порядка / М. В. Плеханова // Сиб. журн. чистой и приклад. математики. — 2016. — Т. 16, № 3. — C. 61-74.

[266] Плеханова, М. В. Квазилинейные уравнения, не разрешимые относительно старшей производной по времени / М. В. Плеханова // Сиб. мат. журн. — 2015. — Т. 56, №4. — С. 909-921.

[267] Давыдов, П. Н. Численное решение линеаризованной системы Осколко-ва / П. Н. Давыдов, М. В. Плеханова // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.: Математика. - 2015. - Т. 12. - С. 23-34.

[268] Федоров, В.Е. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной / В. Е. Федоров, Д. М. Гор-диевских, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. — 2015. — Т. 51, № 10. — С. 1367-1375.

[269] Плеханова, М. В. Об управляемости вырожденных распределённых систем / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Уфимск. мат. журн. — 2014. — Т. 6, № 2. — С. 78-98.

[270] Плеханова, М. В. Стартовое управление вырожденными линейными распределёнными системами / М. В. Плеханова // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.: Математика. — 2013. — Т. 6, № 4. — С. 53-69.

[271] Омельченко, Е. А. Численное решение линеаризованной системы уравнений фазового поля с запаздыванием / Е. А. Омельченко, М. В. Плеханова, П. Н. Давыдов // Вестн. Южно-Урал. гос. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Физика. — 2013. — Т.5, № 2. — С. 45-52.

[272] Плеханова, М. В. Задачи с жёстким смешанным управлением для линеаризованного уравнения Буссинеска / М. В. Плеханова, А. Ф. Исламо-ва // Дифференц. уравнения. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 565-576.

[273] Плеханова, М. В. О разрешимости задач смешанного оптимального управления линейными распределёнными системами / М. В. Плеханова, А. Ф. Исламова // Изв. вузов. Математика. — 2011. — № 7. — С. 37-47.

[274] Федоров, В. Е. Задача стартового управления для класса полулинейных распределённых систем соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2011. — Т. 17, № 1. — С. 259-267.

[275] Плеханова, М. В. О существовании и единственности решений задач оптимального управления линейными распределёнными системами, не разрешёнными относительно производной по времени / М. В. Плеханова,

B. Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. мат. - 2011. - Т. 75, № 2. - С. 177-194.

[276] Fedorov, V. E. Solvability of start control problems for semilinear distributed Sobolev type systems / V. E. Fedorov, M. V. Plekhanova // International Journal of Mathematical Modelling and Numerical Optimisation. — 2010. — Vol. 1, no. 3. — P. 153-167.

[277] Плеханова, М. В. Критерий оптимальности в задаче управления для линейного уравнения соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 2. —

C. 37-44.

[278] Плеханова, М. В. Задачи стартового управления для линейных уравнений соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Вестн. Южно-Урал. гос. ун-та. Сер.: Математика. Физика. Химия. — 2005. — № 6. — С. 43-49.

[279] Федоров, В. Е. Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Вычислит. технологии. — 2004. — Т. 9, № 2. — С. 92-102.

[280] Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 11. — С. 1548-1556.

[281] Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 5. — C. 40-44.

[282] Плеханова, М. В. Разрешимость задач управления для вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка / М. В. Плеханова // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 2, вып. 1. — С. 53-66.

[283] Плеханова, М. В. Задачи стартового управления для эволюционных уравнений дробного порядка / М. В. Плеханова // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 3. — С. 16-37.

[284] Плеханова М. В. Численное исследование задачи жёсткого управления линеаризованной квазистационарной системой уравнений фазового поля / М. В. Плеханова, Г. Д. Байбулатова // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 2. — С. 44-59.

[285] Шуклина, А. Ф. Задачи смешанного управления для системы Соболева / А. Ф. Шуклина, М. В. Плеханова // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 2. — С. 78-85.

[286] Плеханова, М. В. Метод условного градиента для одной задачи жёсткого управления вырожденной эволюционной системой / М. В. Плеханова, Г. Д. Байбулатова // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 1. — С. 81-93.

[287] Плеханова М. В. Системы оптимальности для вырожденных распределённых задач управления / М. В. Плеханова // Вестник Челяб. гос. унта. — 2013. — № 28. — Математика. Механика. Информатика. Вып. 16. — С. 60-70.

[288] Плеханова М. В., Федоров В. Е. Оптимальное управление вырожденными распределёнными системами. — Челябинск: Издат центр Южно-Урал. гос. ун-та, 2013. — 172 с.

[289] Плеханова, М.В. Оптимальное управление полулинейными системами соболевского типа в задачах без учета затрат на управления / М. В. Плеханова, Е. С. Зорина // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2012. — № 26 (280). — Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — С. 80-89.

[290] Плеханова, М. В. Задача со смешанным управлением для одного класса линейных уравнений соболевского типа / М. В. Плеханова, А. Ф. Ис-ламова // Вестник Челяб. гос. ун-та. — 2010. — № 23. — Математика. Механика. Информатика. Вып. 12. — С. 49-58.

[291] Плеханова, М. В. Исследование линеаризованной системы уравнений Буссинеска методами теории вырожденных полугрупп / М. В. Плеханова, А. Ф. Исламова // Вестник Челяб. гос. ун-та. — 2009. — № 20 (158). — Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — С. 62-70.

[292] Плеханова, М. В. Совокупность соотношений, характеризующее оптимальное управление для уравнений соболевского типа / М. В. Плеханова // Вестник Челяб. гос. ун-та. — 2003. — № 1 (7). — Математика. Механика. Информатика. — С. 108-118.