Исследование взаимодействия пьезокерамических элементов с упругими волноводами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кваша, Олег Владимирович

• Кваша, Олег Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кваша, Олег Владимирович

ВВЕДЕНИЕ . G

1 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГИХ ВОЛНОВОДОВ С ПОВЕРХНОСТНЫМИ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕ

СКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ.

1.1 Уравнения и краевые задачи динамической теории упругости для сред с плоскопараллельными границами 13 • 1.2 Уравнения и краевые задачи динамической теории электроупругости

1.3 Постановка краевых задач для упругих волноводов с поверхностными полосковыми пьезоэлементами.

1.3.1 Постановка задач на основе уравнений теории упругости

1.3.2 Постановка задач на основе технических моделей волноводов

2 ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫМИ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ В УПРУГИХ ВОЛНОВОДАХ.

2.1 Матрица Грина упругого волновода.

2.2 Сведение краевых задач для упругих волноводов с поверхностными полосковыми пьезокерамическими элементами к системам иптегро-дифференциальных уравнений

2.3 Сведение краевой задачи для системы интегро-диффереициальных уравнений к системе уравнений Винера-Хопфа.

2.4 Представления волновых нолей, возбуждаемых полосковыми источниками.

2.4.1 Представление волнового поля в упругом слое в виде суперпозиции нормальных мод.

2.4.2 Асимптотические представления объёмных и реле-евскпх воли в упругом полупространстве.

2.5 Энергия упругих волн, возбуждаемых иолосковыми источниками

2.5.1 Энергия нормальных мод.

2.5.2 Энергия объёмных и релеевских волн.

1 3 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ИНТЕГРО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

3.1 Схема Галёркипа.

3.2 Метод бесконечных систем.

3.2.1 Сведение задачи к бесконеной системе линейных алгебраических уравнений. 3.2.2 Сведение бескоиепой системы линейных алгебраических уравнений к асимптотически эквивалентной конечной.

3.3 Оценка эффективности предложенных методов.

3.3.1 Схема Галёркина.

3.3.2 Метод бесконечных систем

3.4 Сравнение численных результатов с результатами других исследований.

3.4.1 Упругий слой.

3.4.2 Упругое полупространство 4 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛОСКОВЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИ

ЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ С УПРУГИМИ ВОЛНОВОДАМИ 07 4.1 Дисперсионные свойства упругого слоя и упругого слоя с пьезокерамической плёнкой

4.2 Резонансные свойства упругого слоя с поверхностным полосковым пьезоэлементом и характер распределения поступающей в слон энергии по модам.

4.3 Дисперсионные свойства упругого полупруостранства и упругого полупространства с пьезокерамичсской плёнкой. Резонансные свойства упругого полупространства с поверхностным полосковым пьезоэлементом и их связь с резонансными свойствами аналогичной системы для упругого слоя.

ФОРМИРОВАНИЕ НАПРАВЛЕННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ВЫБРАННЫХ ВОЛН В УПРУГОЙ СРЕДЕ СИСТЕМОЙ ПОЛОСКОВЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ

5.1 Методы формирования направленного излучения выбранных нормальных мод упругого слоя.

5.1.1 Максимизация амплитуд излучения заданного набора нормальных мод.

5.1.2 Максимизация контрастности излучения

5.1.3 Условия полного гашения.

5.1.4 Группа источников с одинаковым распределением базисных нагрузок.

5.2 Направленное излучение нормальных мод группой поверхностных пьезокерамических накладок.

5.2.1 Построение базисной системы нагрузок.

5.2.2 Создание направленного излучения группой поверхностных пьезокерамических источников

5.2.3 Приближённые формулы для создания направленного излучения

5.2.4 Влияние расположения и размеров пьезоисточников на эффективность направленного излучения . . . . 5.3 Формирование направленного излучения объёмных волн в упругом полупространстве.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование взаимодействия пьезокерамических элементов с упругими волноводами»

В настоящее время всё более широкое применение получают электромеханические системы с пьезокерамическими возбудителя ми упругих волн, выполненными в виде гибких поверхностных накладок или внутренних прослоек волноводных структур. Примером здесь могут служить оболочечные конструкции аэрокосмических изделий, снабженные системой сенсоров, системы активного виброгашения в салоне автомобиля или в помещении, системы прецизионного позиционирования, работающие па упругих поверхностных волнах и др. К преимуществам использования ньезокерамических пластинок относятся их лёгкость, гибкость и относительная дешевизна, поэтому конструкции, снабженные системой распределенных ньезокерамических датчиков или вибровозбудителей, относят к смарт-структурам [82].

Множество приложений такие системы находят в задачах дефектоскопии слоистых волноводов, где требуется формировать направление излучение одной выбранной нормольной моды в заданном частотном диапазоне [8, 9, 60, 63, 90]. Они могут быть легко смонтированы на уже1 существующие волиоводные элементы конструкции, и в силу своей лёгкости и гибкости слабо меняют её механические свойства. Волны в волноводе возбуждаются при этом касательными контактными напряжениями, возникающими на поверхностях пьезоэлементов при их продольной деформации под воздействием поперечного электрического поля. Управление излучением осуществляется изменением управляющих нолей (путём изменения напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлементов).

При разработке смарт-матсриалов и проектировании соответствующих электромеханических систем большое значение имеет создание математических моделей, адекватно описывающих протекающие в них волновые процессы. Так как поверхностные пьезокерамические элементы часто используются для наблюдения за состоянием тонкостенных элементов конструкции, в первую очередь были изучены низкочастотные изгибпые и продольные колебания, возбуждаемые ими в балках, пластинах и оболочках [54], [5G] - [59], [61], [83], [85|, [88], [89] (см. также обзоры в [54, 62, 79]). В этих моделях действие пьезоэлементов моделируется парами сосредоточенных сил, приложенных к концам областей их контакта с упругим телом (pin-force model). Величины сил вычисляются исходя из геометрических и физических свойств волновода и пьезоэлементов. I

В некоторых моделях учитывается также влияние частоты колебании и инерционные эффекты в накладках [62], [71] - [73], [92[.

Этот подход позволяет работать с первыми двумя фундаментальными модами (изгибной и продольной) упругого волновода и даёт достаточно простое и физически наглядное описание происходящих в нём волновых процессов. Тем не менее, область применимости таких моделей ограпиче-9 па. низкочастотным диапазоном, где характерные длины волн значительно больше толщины волновода. Имеются две основные причины для такого ограничения. Во-первых, сами технические модели балок, пластин и оболочек работают только в низкочастотном диапазоне и но позволяют учесть всего набора волн, возникающих в волноводе. Отчасти этот недостаток можно преодолеть, используя для волновода полную систему уравнений теории упругости [64], [79] - [81]. Во-вторых, инженерные расчеты проводятся, как правило, путем простои суперпозиции полей, возбуждаемых каждым элементом в отдельности, без учета их взаимпо-Ф го влияния и распределения контактных напряжений (сосредоточенные источники), что даёт удовлетворительные результаты только на низких частотах, а во многих практически важных случаях приводит к значительным искажениям характеристик.

Для преодоления этих ограничений требуется использовать более сложные модели как для волновода (упругий слой, полупространство, пакет слоев и так далее), так и самих пьезоэлементов и строго учитывать их взаимодействие. Последнее можно достичь путём использования метода конечных элементов (МКЭ). Это, однако, сопряжено с существенными вычислительными затратами, и, что более важно, существенно затрудняет получение физически ясной и наглядной картины волновых явлении, происходящих в системе (например, распределения энергии, поступающей в волновод от источников, по распространяющимся в нём нормальным модам). Кроме того, классическая схема метода конечных элементов неприменима в случае неограниченных упругих тел, так как предполагает дискретизацию по всей пространственной области, занимаемой волноводом. Это ограничение преодолевается введением специальных поглощающих границ, бесконечных элементов (например, полосовых элементов, иредоженных в [74] - [7GJ) или использованием гибридных схем, сочетающих в себе копечпоэлементную дискретизацию в ограниченной области волновода с разложениями по нормальным модам [77, 78]. ,.

В то же время имеется возможность получить с одной стороны физически наглядное описание волновых нолей (как в упрощённых инженерных моделях), с другой - такую же строгую количественную информацию как при использовании МКЭ. Такую возможность даёт интегральный подход, основанный на использовании интегральных представлений волновых нолей, возбуждаемых в упругом волноводе поверхностными нагрузками. Использование этих представлений совместно с условиями контакта упругого тела и пьезоэлементов и учёт специфики задачи (малая толщина пьезоэлементов в сравнении с характерными длинами волн, распространяющихся в системе) позволяет свести её к краевой задаче для системы интегро-диффереициальных уравнений относительно неизвестных контактных напряжении иод пьезоэлементами и продольных смещении их точек. После нахождения неизвестных контактных напряжений волновые поля, возбуждаемые в системе, рассчитываются при помощи интегральных представлений. Структура подынтегральных выражений в последних такова, что позволяет эффективно построить решение в виде суперпозиции воли, распространяющихся в волноводе.

Свойства интегральных уравнений, возникающих при решении контактных задач теории упругости, к настоящему времени достаточно подробно исследованы [11] - [15]. Разработаны эффективные методы их решения и накоплен богатый опыт решения конкретных практических задач [39, 40].

Таким образом, подход, основанный на использовании интегральных представлений, даст удобный инструмент для качественного и быстрого количественного анализа электромеханических систем с тонкими ньезо-ф электрическими возбудителями (и сенсорами). Следует в то же время отметит!), что практическая его реализация связана с использованием достаточно сложного математического аппарата, поэтому к настоящему времени имеется сравнительно небольшое число примеров его использования для решения задач контактного взаимодействия пьезоактуаторов с упругими структурами [7, 37, 55, 70, 84, 91, 87]. Во всех указанных работах в качестве модели волновода рассматривается упругое полупространство. Проблема создания моделей электромеханических систем, работающих с волноводами конечной толщины (слой, пакет слоев), осно-* ванных на реализации интегрального подхода, до последнего времени оставалась открытой.

Таким образом, возникает необходимость разработки новых математических моделей, с существенно более широким диапазоном применимости, чем у традиционных инженерных подходов. В частности, необходим учет высших мод упругого волновода и строгое описание динамического контактного взаимодействия с ним гибких деформируемых накладок.

Разработка отвечающей указанным требованиям модели для системы полосковых пьезоактуаторов на упругом слое или полупространстве и является главной целью настоящей работы. Вспомогательными, но представляющими самостоятельный интерес задачами являются:

1) формулировка и разработка эффективных методов решения возникающих при этом краевых задач динамической теории упругости;

2) реализация разработанных методов в виде пакетов программ для быстрого параметрического анализа характеристик моделируемых систем;

3) исследование применимости традиционных и разрабатываемых моделей;

4) исследование волновых (резонансных) эффектов, принципиально недоступных в рамках традиционных, упрощённых моделей;

5) построение эффективных алгоритмов выбора управляющих параметров группы пьезоэлемептов, реализующих требуемые режимы излучения.

Диссертационная работа проводилась в рамках выполнения проектов РФФИ 03-01-00520, 04-01-00801, 0C-01-9GG07 и INTAS 05-1000008-7979.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, общим объёмом 12G стр., включающим в себя 02 рисунка и 92 наименования литературных источников.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кваша, Олег Владимирович

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в работах [21] - [29], [33] - [3G], [GO] - [G8], [8G] и получены автором совместное Е. В. Глушковым и Н. В. Глушковой. Постановку задачи и общее руководство исследованиями осуществляли Е. В. Глушков и Н. В. Глушкова. Лично автором осуществлена реализация методов решения рассмотренных задач, разработаны пакеты программ и проведены численные расчёты, дан анализ полученных результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) В диссертационной работе построена математическая модель для упругого волновода с системой поверхностных пьезокерамнческих накладок, применимая в широком частотном дипазоне и строго учитывающая их взаимное влияние.

2) Разработаны и реализованы в виде пакетов программ эффективные методы решения возникающих при этом краевых задач динамической теории упругости.

3) Проведён численный анализ волновых и энергетических эффектов, которые принципиально не описываются традиционными упрощёнными моделями, выявляиа связь резонансных свойств рассматриваемых систем с их волноводными свойствами.

4) Построены эффективные алгоритмы выбора управляющих параметров группы пьезоэлементов, реализующих требуемые режимы излучения.

Практическая значимость результатов связана с возможностью их использования при разработке смарт-материалов и проектировании соответствующих электромеханических систем, решении широкого круга актуальных проблем дефектоскопии материалов, соединений и коптр.ук-ций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кваша, Олег Владимирович, 2007 год

1. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Глушкова Н. В. Методы построения матрицы Грина стратифицированного упругого полу пространства // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1987. - Т. 27. - Вып. 1. - С. 93-101.

2. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинчепко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих тел. М.: Наука, 1986. - 343 с.

3. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. Ф. К расчету сейсмического источника с заданной направленностью излучения // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 262. - № 4. - С. 831-834.

4. Боев С. И., Сумбатян М. А. Динамическая контактная задача для упругой полуплоскости при высоких частотах колебания // Прикладная математика и механика. 1985. - Т. 49. - Вып. 6. С. 10391043.

5. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. -343 с.

6. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. - 416 с.7| Ватульян А. О., Скрипочка Л. Н. О колебаниях пьезоэлектрическое! пластины на упругом полупространстве // Дефектоскопия. 2000. -Т. 1. - С. 76-82.

7. Викторов И. А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966. - 168 с.9| Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны. М.: Наука, 1981. -287 с.

8. Владимиров В. С. Обобщённые функции в математической физике.- М.: Наука, 1979. 320 с.

9. Ворович И. И., Бабсшко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. -320 с.

10. Ворович И. И. Резонансные свойства упругой, неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 245. - № 5. - С. 1076-1079.

11. Ворович И. И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 245.- № 4. С. 817-820.

12. Ворович И. И., Александров В. М., Бабсшко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. - 456 с.

13. Ворович И. И., Бабсшко В. А., Пряхина О. Д. Динамика, массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мнр, 1999. - 247 с.

14. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. - 648 с.

15. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Кириллова Е. В. Динамическая контактная задача для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // Прикладная математика и механика, 1992. - Т. 56. - Вып. 5.- С. 780-785.

16. Глушков Е. В., Глушкова Н. В. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Краснодар: Кубанск. гос. ун-т, 1990. - 72 с.

17. Глушков Е. В., Глушкова Н. В. К определению динамической контактной жёсткости упругого слоя // Прикладная математика и механика. 1990. - Т. 54. - Вып. 3. - С. 474-479.

18. Глушкова H. В. Определение и учёт сингулярных составляющих в задачах теории упругости. Диссертация на соискание ученой стенеин доктора физико-математических наук. Краснодар: Кубанск. гос. ун-т, 2000. - 220 с.

19. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Зеемапн В., Кваша О. В. Возбуждение упругих волн в слое пьезокерамическими накладками // Акустический журнал. 2006. - Т. 52. - № 4. - С. 470-479.

20. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Кваша О. В. Решение динамической контактной задачи для упругого слоя с пьезокерамическими поверхностными накладками. Краснодар: Кубанск. гос. ун-т, 2005. - 40 с.- Деп. в ВИНИТИ 13.07.05, №1015-В2005.t

21. Глушкова Н. В., Кваша О. В. Смешанные задачи механики деформируемого тела. Материалы V Российской конференции с международным участием (г. Саратов, 23-25 августа, 2005 г.) / Под ред. акад. Н. Ф. Морозова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - С. 92-95.

22. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М: Машиностроение, 1980. - 411 с.

23. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. - 294 с.

24. Зоммерфельд А. Электродинамика. М.: Ии. Лит., 1958. - 502 с.

25. Кочетков И. Д., Рогачева Н. Н. Контактное взаимодействие активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства // Прикладная математика и механика. 2005. - Т. G9. - Вып. 5. - С. 882895.

26. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. - 688 с.

27. Развитие теории контактных задач в СССР / Под ред. Л. А. Галина.- М.: Наука, 1976. 493 с.

28. Механика контактных взаимодействий / Под ред. И. И. Воровича и В. А. Бабешко. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 672 с.

29. Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчет, технология и применение) / Под ред. Г. Мэттыоза. М.: Радио и связь, 1981.- 472 с.

30. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 е.

31. Партон В. 3., Кудрявцев В. А. Электромагпитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. - 472 с.

32. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 2. Специальные функции. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 664 с.

33. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. - 504 с.

34. Тимошенко С. П., Войновский-Кригср С. Пластинки и оболочки. -М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

35. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 576 с.48| Тихонов А. Н., Арсспип В. Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979. 288 с.

36. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972. 736 с.

37. Федорюк М. В. Асимптотика, интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.- 544 с.

38. Федорюк М'. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. - 368 с.

39. Хан X. Теория упругости. М.: Мир, 1988. - 344 с.

40. Achenbach J. D. Wave Propagation in Elastic Solids. Amsterdam: North-Holland, 1973. - 425 p.

41. Banks H. Т., Smith R. C. and Wang Ynn The Modelling of Piezoceramie Patch Interactions with Shells, Plates, and Beams // Quarterly of Applied Mathematics. 1995. - Vol. LIII. - No. 2. - P. 353-381.

42. Bostrom A. and Zhang B. In-Plane P-SV Waves from a Piezoelectric Strip Actuator: Exact Versus Effective Boundary Condition Solutions // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 2005. - Vol. 52. - No. 9. - P. 1594-1600.

43. Crawley Е. F. and cle Luis J. Use of Piezoelectric Actuators as Elements of Intelligent Structures // AIAA Journal. 1987. - Vol. 25. - No. 10. -P. 1373-1385.

44. Crawley E. F. and Lazarus К. B. Induced Strain Actuation of Isotropic and Anisotropic Plate // AIAA Journal. 1989. - Vol. 29. - No. 6. -P. 944-951.

45. Diaz Valdes S. H. and Soutis C. Health Monitoring of Composites Using Lamb Waves Generated by Piezoelectric Devices // Plastics, Rubber and Composites. 2000. - Vol. 29. - No. 9. - P. 475-491.

46. Dimitriadis E. K., Fuller C. R., Rogers C. A. Piezoelectric Actuators for Distributed Vibration Excitation of Thin Plates // Journal of Vibration and Acoustics (Transactions of the ASME). -1991. Vol. 113. P. 100-107.

47. Ginrgiutiu. V. and Zagrai A. N. Characterization of Piezoelectric Wafer Active Sensors // Journal of Intelligent Material Systems and Stuructures. 2000. - Vol. 11. - P. 959-975.

48. Giurgiutiu V. and Cue A. Embedded Non-destructive Evaluation for Structural Health Monitoring, Damage Detection, and Failure Prevention // The Shock and Vibration Digest, 2005. - Vol. 37. - No. 2. - P. 83-105.

49. Giurgiutiu V. Lamb Wave Generation with Piezoelectric Wafer Active Sensors for Structural Health Monitoring // Proceedings of the SPIE. -2003. Vol. 5056. - P. 111-122.

50. Glushkov E. V. and Glushkova N. V. Blocking Property of Energy Vortices in Elastic Waveguides // Journal of the Acoustical Society of America. 1997. - Vol. 102. - No. 3. - P. 1356-1360.

51. IEEE Standard on Piezoelectricity. ANSI/IEEE Std 176-1987.

52. Liang C., Sun F. P. and Rogers C. A. An Impedance Method for Dynamic Analysis of Active Material Systems // Journal of Vibration and Acoustics (Transactions of the ASME). 1994. - Vol. 116. - P. 120128.

53. Liang C., Sun F. P. and Rogers C. A. Coupled Electro-Mechanical Analysis of Adaptive Material Systems Determination of the Actuator

54. Power Consumption and System Energy Transfer // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 1994. - Vol. 5. - P. 12-20.

55. Liang C., Sun F. P. and Rogers C. A. Electro-Mechanical Impedance Modeling of Active Material Systems // Smart Materials and Struct ures. 1996. - Vol. 5. - P. 171-186.

56. Liu G. R. A Combined Finite Element/Strip Element Method for Analyzing Elastic Wave Scattering by Cracks and Inclusions 111 Laminates // Computational Mechanics. 2002. - Vol. 28. - P. 76-81.

57. Liu G. R. and Achenbach J. D. A Strip Element Method for Stress Analysis of Anisotropic Linearly Elastic Solids // Transactions of the ASME. 1994. - Vol. 61. - P. 270-277.

58. Liu G. R. and Achenbach J. D. Strip Element Method to Analyze Wave Scattering by Cracks 111 Anisotropic Laminated Plates // Journal of Applied Mechanics. 1995. - Vol. 62. - P. 607-613.

59. Raghavan A. and Cesnik С. E. S. Finite-Dimensional Piezoelectric Transducer Modeling for Guided Wave Based Structural Health Monitoring // Smart Materials and Structures. 2005. - Vol. 14. -P. 1448-1461.

60. Rogers C. A. Intelligent Material Systems The Dawn Of A New Materials Age // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 1993. - Vol. 4. - P. 4-12.

61. Seemann W. A Linear Ultrasonic Traveling Wave Motor of the Ring Type // Smart Materials and Structures. 1996. - Vol. 5. - P. 361-368.

62. Seemann W. Stresses in a Thin Piezoelectric Element Bonded to a Half-Space // Applied Mechanics Reviews. 1997. - Vol. 50. - No. 11. - P. 204209.

63. Sonti V. R., Kim S. J. and Jones J. D. Equivalent Forces and Wavenumber Spectra of Shaped Piezoelectric Actuators // Journal of Sound and Vibration. 1995. - Vol. 187(1). - P. 111-131.

64. Zhang В., Bostrom A. and Niklasson A. J. Antiplane Shear Waves from a Piezoelectric Strip Actuator: Exact Versus Effective Boundary Condition Solutions // Smart Materials and Structures. 2004. - Vol. 13. - P. 101-1G8.

65. Zhou S.-W., Liang C. and Rogers C. A. An Impedancc-Baesed System Modeling Approach for Induced Strain Actuator-Driven Structures // Journal of Vibration and Acoustics. 199G. - Vol. 118. - P. 323-331.