Рассеяние упругих волн на интерфейсной трещине произвольной в плане формы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Ехлаков, Александр Васильевич

• Ехлаков, Александр Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ехлаков, Александр Васильевич

ВВЕДЕНИЕ

1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СОСТАВНЫХ ТЕЛ С ДЕФЕКТАМИ

1.1. Математическая постановка задачи

1.2. Техника интегральных преобразований

1.3. Матрица Грина упругого изотропного полупространства

1.4. Энергия упругих волн

2. ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ В СОСТАВНОМ УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ.

2.1. Поле источника в полупространстве

2.2. Законы преломления и отражения падающих объёмных волн на границе раздела упругих сред

2.2.1. Отражение и преломление ЭН волн.

2.2.2. Отражение и преломление Р и БУ волн

3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ ВОЛН НА ИНТЕРФЕЙСНЫХ ТРЕЩИНАХ.

3.1. Вывод интегральных уравнений и их свойства

3.2. Вариационно-разностный метод решения

3.2.1. Схема метода.

3.2.2. Особенности реализации вариационно-разностного метода в задаче дифракции на трещине

3.3. Преимущества и недостатки вариационно-разностного метода

4. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ СООТНОШЕНИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ СОЕДИНЕНИЯ И ФОРМЫ ДЕФЕКТА НА ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПОЛЯ ИНТЕРФЕЙСНОЙ ТРЕЩИНЫ.

4.1. Асимптотика отражённого поля

4.2. Сопоставление диаграмм рассеяния

4.3. Сопоставление коэффициента рассеяния в зависимости от соотношения упругих свойств материалов.

4.4. Вид обобщённого коэффициента отражения.

5. АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНЫХ ПОЛЮСОВ

5.1. Резонансные полюса.

5.2. Влияние формы трещины на резонансные полюса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Рассеяние упругих волн на интерфейсной трещине произвольной в плане формы»

В области контроля материалов и конструкций ответственного назначения (химические резервуары, трубопроводы, ядерные реакторы и др.) широко применяются ультразвуковые (УЗ) методы обнаружения внутренних трещин и определения их размеров и формы. При создании этих методов возникает проблема построения эффективных математических моделей дифракции упругих волн на трещинах.

Интерпретация данных ультразвукового неразрушающего контроля традиционно базируется на лучевых методах общей теории дифракции [113]. При этом в силу асимптотической природы, лучевой подход применим только в высокочастотном диапазоне, когда длина волны зондирующего сигнала много меньше характерных размеров дефекта. С другой стороны, если размеры дефекта соизмеримы или меньше длины волны, то использование надёжных математических моделей становится особенно важным, так как отражённое поле даёт в этом случае сильно «размытое» из-за дифракции изображение, требующее специальной обработки для восстановления размеров и формы дефекта [115]. Здесь необходим строгий подход, базирующийся на точном решении соответствующих краевых задач.

В работах В.Лорда [132], К.Харуми, М.Ухида [125], П.Фел-линджера [117] для этой цели используются методы конечных (МКЭ) и граничных (МГЭ) элементов. Главным недостатком такого подхода являются слишком большие вычислительные затраты. Более выгодным является использование интегрального подхода, в рамках которого задача дифракции сводится к граничным интегральным уравнениям (ГИУ).

Высокой эффективностью обладают методы, разработанные И.И. Воровичем, В.М.Александровым, В.А.Бабешко и их учениками [5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 28, 31, 32, 33, 41], которые позволяют получать решение интегральных уравнений в полуаналитической форме, не требующей больших вычислительных затрат.

К настоящему времени для областей классической формы (круг, полоса) имеются разнообразные эффективные методы решения (А.Е.Андрейкив, Н.Ф.Морозов, В.И.Моссаковский, В.В.Пана-сюк, В.З.Партон, А.П.Поддубняк, Г.Я.Попов, А.Ф.Улитко, Bövik Р., Böstrom А., Eriksson А., Guan L., Norris А., Wirdelins Н., Krenk S., Schmidt H. и др.). Однако, при произвольной форме области, занимаемой трещиной, решение ГИУ требует значительных вычислительных затрат. Здесь обычно используются подходы, предполагающие дискретизацию на основе сеточной аппроксимации области трещины и вычисление многократных интегралов с гиперсингулярными ядрами при формировании матрицы системы, возникающей при дискретизации (Дж.Ахенбах, Д.Будрек [112], Л.Кир, В.Лин [129], К. Ал вес, Т.Ха-Дуонг [98, 99, 100]).

Вариантом такого подхода является вариационно-разностный метод, предложенный Р.В.Гольдштейном, И.С.Клейном и Г.И.Эскиным [52] для решения двумерных интегральных уравнений типа свёртки. Позже В.А.Бабешко, Е.В.Глушковым и Н.В.Глушковой была сделана модификация данного метода, позволившая существенно снизить вычислительные затраты и в случае областей произвольной формы [21, 23]. Снижение численных издержек достигается за счёт использования в качестве базиса осесимметричных дельтообразных функций специального вида. Метод хорошо зарекомендовал себя при решении динамических контактных задач [23, 37], и позже был модифицирован для решения задач дифракции упругих волн на пространственных трещинах, расположенных в однородной безграничной среде [39, 43, 119, 120, 121].

Обобщение данного подхода на важный с точки зрения приложений случай интерфейсных трещин, расположенных между разнородными материалами, и является одной из целей настоящей диссертационной работы.

Другим важным для разработки адекватной модели процесса УЗ сканирования обобщением является учёт в ней источника УЗ колебаний, расположенного на поверхности тестируемого образца, т.е. переход от безграничной к полуограниченной среде.

В известных работах дифракции упругих волн на трещине исходное волновое поле считается заданным в виде плоской Р или 5 волны, падающей из бесконечности. Это позволяет исследовать зависимость коэффициента и диаграмм рассеяния от угла падения и частоты. Однако коэффициент рассеяния не описывает величину непосредственно определяемую измерениями на практике, т.к. регистрируемый эхо-сигнал зависит кроме того и от взаимного расположения и ориентации источника, приёмника и трещины. Без учёта этих факторов, а также диаграммы направленности источника, невозможно смоделировать скан-образ дефекта, получаемый на практике. Идеальным средством моделирования в этом случае является обобщённый коэффициент отражения <5Г (или аргумент электромеханической взаимности Аулда [102]), для вычисления которого падающее поле должно быть связано с источником.

В 90-е годы созданием математической модели процесса УЗ дефектоскопии, основанной на использовании коэффициента отражения Аулда активно занималась группа профессора А.Бострема

107, 108, 110, 111]. Созданная ими компьютерная модель UTDefect позволяет получать адекватные скан-образы произвольно ориентированных трещин, но только круговой и полосовой формы. Модель, созданная в результате выполнения настоящей диссертационной работы, фактически представляет собой её дальнейшее развитие, позволяющее анализировать результаты для трещин произвольной формы, в том числе и интерфейсных.

Определение размеров и формы дефекта по отражённому волновому полю является одной из основных задач УЗ дефектоскопии. При решении обратной задачи предъявляются повышенные требования к снижению вычислительных затрат. Обратные задачи относятся к классу некорректных, требующих специальной регуляризации, основанной на сужении допустимых форм трещины, что делается с помощью учёта информации о распределении резонансных полюсов рассеянного поля в комплексной плоскости частоты.

В задачах локации объектов электромагнитными волнами применяется метод сингулярных разложений [103], созданный на основе данных соображений. Для определения формы и свойств рас-сеивателя были предложены различные способы использования резонансных частот рассеяния скалярных электромагнитных и акустических волновых полей [141].

В 80-е годы данный подход был распространён на векторный случай упругих волн [104], но из-за сложности решения прямых задач эластодинамики достигнутые успехи здесь скромнее.

Имеется сообщение [128] о строго доказанном взаимно однозначном соответствии между размерами и формой трещины с одной стороны и первым резонансным полюсом и соответствующей формой рассеяния с другой. Поэтому самостоятельное значение имеет разработка методов определения резонансных полюсов рассеянного поля в зависимости от формы трещины.

Для рассматриваемой дифракции на пространственных трещинах до последнего времени значения резонансных полюсов были получены только для круговых и близких к круговым (эллиптических) трещин [67, 99, 116]. В работе [43] впервые проанализировано влияние изменения формы прямоугольной трещины на распределении резонансных полюсов. В настоящей работе данные исследования продолжены в направлении усложнения сред (интерфейсные трещины между разнородными материалами) и вида трещин (система трещин).

Таким образом, целью диссертационной работы является

1) построение математической модели ультразвуковой дефектоскопии заглубленных произвольно ориентированных пространственных трещин, в случае когда неприменим лучевой метод;

2) разработка эффективного метода решения задачи дифракции на трещинах произвольной в плане формы, в том числе интерфейсных, расположенных в плоскости склейки соединения разнородных материалов;

3) создание пакета программ для быстрого параметрического анализа рассматриваемых задач;

4) численный анализ зависимости параметров отражённого волнового поля (коэффициента рассеяния, диаграмм направленности, коэффициента связи Аулда, резонансных полюсов) в зависимости от ориентации, формы трещины и соотношения упругих свойств материалов.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ехлаков, Александр Васильевич

Основные результаты диссертационной работы содержатся в публикациях [45, 46, 47, 48, 60, 61].

Работы [60, 61] выполнены без соавторов, в них содержится подробное описание методов для интерфейсных трещин и произвольно ориентированных трещин с учётом источника; получены интегральные уравнения для рассматриваемой модели и изучены их свойства, разработан и реализован метод решения, создан программный комплекс для персональной ЭВМ, проведены численные расчеты и дан анализ полученных результатов.

В работах выполненных в соавторстве научному руководителю Е.В. Глушкову и д.ф.-м.н. Н.В.Глушковой принадлежит общая постановка задачи, обсуждение полученных результатов, а также разработка метода для случая трещины в однородной среде без учёта источника (волны приходящие из бесконечности).

В работы [45, 46] вошли результаты Е.В.Глушкова и Н.В.Глушковой для резонансных полюсов рассеяния в случае одиночной трещины. Автору диссертационной работы принадлежат результаты по резонансным полюсам для системы трещин.

Кроме указанных выше, в работе [48] были доложены результаты Е.М.Шапарь по рассеянию упругих волн на приповерхностных трещинах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) В диссертационной работе построена математическая модель процесса ультразвуковой дефектоскопии заглубленных пространственных трещин произвольной ориентации и формы в однородной среде и горизонтальных интерфейсных трещин, включающая в себя описание волнового поля источника, решение задачи дифракции и анализ рассеянного поля.

2) Вариационно-разностный метод решения интегральных уравнений, эффективность которого базируется на использовании Фурье-символов интегральных операторов (работа в комплексной плоскости волновых чисел) и осесимметрических базисных функций, обобщён на случай интерфейсных трещин произвольной в плане формы.

3) Для рассматриваемой модели разработана и реализована в виде пакета прикладных программ схема определения коэффициента рассеяния, диаграмм направленности, электромеханического коэффициента связи Аулда ¿Г и резонансных полюсов рассеяния.

4) Для широкого диапазона изменения параметров проанализирована зависимость характеристик отражённого поля от формы трещины, направленности источника, соотношения упругих свойств материалов и частоты. Впервые получены вид ¿Г для трещин неклассической формы (отличной от круговой и полосовой), а также положение резонансных полюсов рассеяния в комплексной плоскости частоты для системы трещин.

5) Практическая значимость результатов связана с возможностью их использования при решении широкого круга актуальных проблем сейсмологии, акустоэлектроники, дефектоскопии материалов, соединений и конструкций.

Справка о творческом вкладе в работы, выполненные в соавторстве

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ехлаков, Александр Васильевич, 2001 год

1. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология: теория и методы. М.: Мир, 1983. Т. 1. 520 с.

2. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Изд-во "Факториал", 1998. 288 с.

3. Александров В.М., Бабешко В.А. О давлении на упругое полупространство штампа клиновидной в плане формы // ПММ. 1972. Т. 36. С. 88-93.

4. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. 272 с.

5. Бабешко В.А. К теории динамических контактных задач // Докл. АН. 1971. Т. 201. № 3. С. 556-558.

6. Бабешко В.А. Новый метод в теории пространственных смешанных динамических задач // Докл. АН. 1978. Т. 242. № 1. С. 62-65.

7. Бабешко В.А. Новый эффективный метод решения динамических контактных задач // Докл. АН. 1974. Т. 217. № 4. С. 777-780.

8. Бабешко В.А. О единственности решения интегральных уравнений динамических контактных задач // ДАН СССР. 1973. Т. 210. № 6.

9. Бабешко В.А. Обобщённый метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 254 с.

10. Бабешко В.А. Факторизация одного класса матриц-функций и её приложения // Докл. АН. 1975. Т. 223. № 5. С. 1094-1097.

11. Бабешко В.А., Бужан В.В., Горшкова Е.М., Рохлин С.И. К проблеме оценки прочности сварного шва // Докл. АН. 1997. Т. 353. № з. С. 327-329.

12. Бабешко В.А.,Бужан В.В.,Натальченко А.В.,Смирнова A.B. К проблеме неразрушающего контроля сварных соединений с дефектами // Труды III Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". В 2т. Т.1. г.Ростов-на-Дону, 1997г. 213 с.

13. Бабешко В.А.,Бужан В.В.,Натальченко A.B.,Смирнова A.B., К проблеме расчета прочности сварных конструкций // Известия высших учебных заведений, Северо-Кавказский регион, естественные науки. г.Ростов-на-Дону, 1998г. № 2. С. 12-16.

14. Бабешко В.А., Рохлин С.И., Хуанг В., Бужан В.В. К проблеме дефектоскопии сварных швов //Докл. АН. 1994. Т. 337. 6. С. 732-736.

15. Бабешко В.А., Смирнова A.B., Натальченко А.В.,Бужан В.В. Интерфейсные волны на границе соединения сварным швом с дефектами // Тезисы докладов Воронежской Школы " Современные проблемы механики и прикладной математики". г.Воронеж, 1998г. 304 с.

16. Бабешко В.А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 307. № 2. С. 324-328.

17. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных средах с неоднород-ностями // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 3. С. 74-83.

18. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Анализ волновых полей, возбуждаемых в упругом стратифицированном полупространстве, поверхностными источниками // Акустический журнал. 1986. Т. 32. Вып. 3. С. 366-371.

19. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К проблеме динамических контактных задач в произвольных областях // Известия АН СССР МТТ. 1978. № 3. С. 61-67.

20. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Методы построения матрицы Грина стратифицированного упругого полупространства // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. Т. 27. № 1. С. 93-101.

21. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1986. 343 с.

22. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. П.т. М.: Наука, 1974. 296 с.

23. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 338 с.

24. Бреховских JI.M., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.

25. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. Ч. 2. М.: Наука, 1969. 332 с.

26. Ватульян А.О., Шамшин В.М. Новый вариант граничных интегральных уравнений ж их применение к динамическим пространственным задачам теории упругости // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 462-469.

27. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

28. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // ДАН СССР. 1979. Т. 245. № 5. С. 1076-1079.

29. Ворович И.П., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 285 с.

30. Ворович И.И. Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей М.: Наука, 1979. 320 с.

31. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

32. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 296 с.

33. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. 439 с.

34. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твёрдых волноводов. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1993. 144 с.

35. Глушков Е.В. Вибрация системы массивных штампов на линейно-деформируемом основании // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 1.

36. Глушков Е.В. Распределение энергии поверхностного источника в неоднородном полупространстве // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 1. С. 94-100.

37. Глушков Е. В., Глушкова Н. В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы. // ПММ. 1996. Т. 60 Вып. 2. с. 282-289.

38. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Учебное пособие, Кубанский госуниверситет, Краснодар, 1990. 72 с.

39. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Об одной динамической контактной задаче для упругого слоя // Изв. СКНЦ ВШ. 1976. № 4. С. 106-107.

40. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Об особенностях поля напряжений в окрестности вершины клиновидной пространственнойтрещины // Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1992. № 4. С. 82-86.

41. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Резонансные частоты рассеяния упругих волн пространственными трещинами // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 866-870.

42. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Динамическая контактная задача для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 780-785.

43. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Ехлаков А. В., Шапарь Е. М. Разработка математических моделей ультразвуковой дефектоскопии на основе метода граничных интегральных уравнений

44. Тезисы Всероссийской научной конференции «Проблемы теоретической и прикладной гидродинамики», г. Краснодар: Тип. КубГАУ, 2000, с. 10.

45. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н. Показатели сингулярности упругих напряжений в точке выхода трещины на поверхность // Изв. РАН. Мех. твердого тела. 1998. № 5. С. 146-153.

46. Глушкова Н.В. Определение и учёт сингулярных составляющих в задачах теории упругости. Докт. диссертация, Краснодар, Кубанский гос.ун-т., 2000.

47. Гоголадзе В.Г. Отражение и преломление упругих волн. Общая теория граничных волн Рэлея. / / Труды Сейсмологического института АН СССР 1947, № 125. с. 1-43.

48. Гольдштейн Р.В., Клейн И.С., Эскин Г.И. Вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений трехмерных задач теории упругости // Препринт 33. ИПМ АН СССР. М. 1973. 55 с.

49. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

50. Гринченко В.Г., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова Думка, 1981. 284 с.

51. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 543 с.

52. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

53. Дьяконов М.В., Устинов Ю.А. Дифракция сдвиговых волн на бесконечной и конечной периодических системах разрезов в упругом слое // Акустический журнал. 1997. Т. 43. № 2. С. 176-181.

54. Дьяконов М.Б., Устинов Ю.А. Сдвиговые волны в упругом полубесконечном слое с разрезами // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 3. С. 421-426.

55. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. 472 с.

56. Ехлаков A.B. Применение обобщённого коэффициента отражения к определению размеров и формы пространственных трещин. Кубанский гос.ун-т. Краснодар, 2000. 24с. Деп. в ВИНИТИ 29.12.00, № 3338 - В00.

57. Ехлаков A.B. Рассеяние упругих волн пространственными интерфейсными трещинами. Кубанский гос.ун-т. Краснодар, 2001. 31с. Деп. в ВИНИТИ 15.02.01, № 409 - В2001.

58. Загускин В.Л. Численные методы решения плохо обусловленных задач. Ростов-на-Дону: Ростовский гос. ун-т, 1976. 187 с.

59. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

60. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. М.: ИЛ, 1954. 487 с.

61. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 495 с.

62. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

63. Капцов A.B., Шифрин Е.И. Решение динамических задач об эллиптической трещине в упругом пространстве с помощью аппроксимаций Паде // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 3. С. 511-519.

64. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 148 с.

65. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

66. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.: Наука, 1972.

67. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул). Минск "Наука и техника", 1978. 312 с.

68. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

69. Мелешко В.В. Закономерности установившихся волновых процессов в конечных упругих телах и волноводах. // Сб. ред. НИР и ОК., сер. 16, № 5, 1985, 194 с.

70. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974. 327 с.

71. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

72. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости, М., 1966. 707 с.

73. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: ИЛ, 1962.

74. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

75. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральнае уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312 с.

76. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

77. Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями // Уч. Зап. ЛГУ, Д., 1952.

78. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.

79. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

80. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во ЛГУ. Ленинград, 1950.

81. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955. 668 с.

82. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Физматгиз, 1961. 220 с.

83. Стренг Г. Дж., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 360 с.

84. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

85. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

86. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. М.: Мир, 1984. 360 с.

87. Умов Н.А. Избранные сочинения. М.: Д.: Гостехиздат, 1950.

88. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

89. Федорюк М.В. Асимптотика, интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.

90. Филоненко-Бородин М.М. Теория упругости. М.: Физматгиз, 1959. 364 с.

91. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. 352 с.

92. Шифрин Е.И. О приближенном решении уравнений некоторых смешанных задач теории упругости / В кн. Механика деформируемого твердого тела. Сер. Прочность и вязко- упругопла-стичность. Ред. А.Ю.Ишлинский, М.: Наука, 1986. С. 154-164.

93. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978. 280 с.

94. Alves С. Étude numérique de la diffraction d'ondes acoustiques et élastiques par une fissure plane de forme quelconque. Problèmes directs et inverses // These de doctorat de L'ecole Polytechnique, Compiegne, France. 1995.

95. Alves C.J.S., Ha Duong T. Numerical resolution of the boundary integral equations for elastic scattering by a plane crack // Int. J. Num. Mech. Eng. 1995. V. 38. P. 2347-2371.

96. J.D. Achenbach Wave Propogation in Elastic Solids. Horth-Holland, Amsterdam, 1976.

97. Auld B. A. General electromechanical reciprocity relations applied to the calculation of elastic wave scattering coefficients // J.Wave Motion 1979 № 1 P. 3-10.

98. Baum C.E. The singularity expansion method // Transient Electromagnetic Fields / Ed. L.E.Felsen. N.Y.: Springer-Verlag, 1976. P. 129-179.

99. Bollig G., Langenberg K.J. The singularity expansion method as applied to the elastodynamic scattering problem // Wave Motion. 1983. V. 5. No 4. P. 331-354.

100. Bostrom A. Acoustic scattering by a sound-hard rectangle //J. Acoust. Soc. Am. 1991. 90(6). P. 3344-3347.

101. Bostrom A., Eriksson A.S. Scattering by two penny-shaped cracks with spring boundary conditions // Proc. R. Soc. Lond. A. 1993. V. 443. P. 183-201.

102. Bostrom A. UTDefect A computer program modelling ultrasonic NDT of cracks and other defects // Div. of Mech. Chalmer University of Technology. S - 412 96 GOTEBORG, Sweden June 1995.

103. Bostrom A., Wirdelius H. Ultrasonic probe modelling and nondestructive crack detection J J J. Acoust. Soc. Am. 1995. Vol. 97. № 5. P. 2836-2848.

104. Bostrom A., Bovick P., Olsson P. A comparison of exact first order and spring boundary conditions for scattering by thin layers // Journal of Nondestructive Evaluation. 1992. V. 11, Nos. 3/4. P. P. 175-184.

105. Bovik P., Bostrom A. A complete model of ultrasonic NDE for inertial and surfacebreaking cracks //Dep. 98720, VOLVO Car Corporation, S 405 08 GOTEBORG, Sweden and Div. of Mech. Chalmers University of Technology S - 412 96 GOTEBORG, Sweden

106. Bovik P., Bostrom A. A model of ultrasonic nondestructive testing for inertial and subsurface cracks //J. Acoust. Soc. Am. 1997. Vol. 102. № 5. P. 2723-2733.

107. Budrek D.E., Achenbach J.D. Scattering from threedimensional planar cracks by the boundary integral equation method //J. Appl. Mech. 1988. Vol.55. P. 405-412.

108. Chapman R.K. A system model for the ultrasonic inspection of smooth planar cracks //J. Nondestr.Eval. 1990. V. 9. P. 197-211.

109. Ciarletta M., Passarella F., Sumbatyan M.A. Scattering of a horizontally polarized oblique wave by a surface-breaking cracks // J. Acoust. Soc. Am. 1996. 100(5). P. 2937-2941.

110. Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory. Berlin, etc.: Springer, 1992. 305 p.

111. Eriksson A.S. Natural frequencies of a penny-shaped crack with spring boundary condition // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995. V. 62. No 1. P. 59-63.

112. Fellinger P., Marklein R., Langerberg K.J. and Klaholz S. Numerical modeling of elastic wave propagation and scattering with EFIT-elastodynamic finite integration technique // Wave Motion. 1995. V. 21. P. 47-66.

113. Gaunaurd G.C., Strifors H.C. Transient resonance scattering and target identification // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1997. Vol. 50. № 3

114. Glushkov E., Glushkova N. Low cost computer models in elastodynamics. IMA Conference on Boundary Integral Methods: Theory and Applications, 15-18 September, 1997, University of Salford, UK.

115. Glushkov E.V., Glushkova N.V. On the efficient implementation of the integral equation method in elastodynamics // J. of Comp. Acoustics, Vol. 9, 2001.

116. Glushkov E., Glushkova N. and Kirillowa Je. Semi-analytical methods for solving integral equations of elastodynamics / Computational Methods in Contact Mechanics IV. Editors: L. Gaul, C.A. Brebbia; Wessex Institute of Technology, UK, 1999. P. 241-250.

117. Gridin D., Fradkin L. The high-frequency asymptotic description of pulses radiated by a circular normal transducer into an elastic half-space // J. Acoust. Soc. Am. 1998. 104(6). P. 3190-3198.

118. Guan L., Norris A. Elastic wave scattering by rectangular cracks // Int. J. Solids Structures. 1992. Vol.29 № 12. P. 1549-1565.

119. Guiggiani M., Krishnasamy J., Rudolphi T.J. and Rizzo F.J. A general algorithm for the numerical solution of hypersingular boundary integral equations //J. Appl. Mech. ASME. 1992. Y. 59. P. 604-614.

120. Harumi K., Uchida M. Computer simulation of ultrasonics and its applications //J. Nondestr. Eval. 1990. V. 9. P. 81-99.

121. Karp S.N., Karal F.C.J. The elastic field behaviour in the neighbourhood of a crack of arbitrary angle // Commun. Pure Appl. Math. 1962. V. 15. P. 413-421.

122. Krenk S., Schmidt H. Elastic wave scattering by a circular crack // Phil. Trans. Roy. Soc. London 1982. Ser.A. Vol. 308. № 1502 P. 167-198.

123. Labreuche C. Inverse obstacle scattering based on resonant frequencies / INRIA Conference on inverse problems of wave propagation and diffraction, Aix-les-Bains, France, Sept. 23 27, 1996.

124. Lin W., Keer L.M. Scattering by a planar three-dimensional crack // J. Acoust. Soc. Am. 1987 Vol.82. № 4. P. 1442-1448.

125. Liu S.W., Datta S.K. Scattering of ultrasonic wave by cracks in a plate // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1993. V. 60. June. P. 352-357.

126. Liu S.W., Rizzo F.J. A weakly singular form of the hypersingular boundary integral equations for radiation and scattering of elastic waves in three dimensions // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1993. V. 10. P. 131-144.

127. Lord W., Ludwig R. And You Z. Developments in ultrasonic modeling with finite element analysis // J. Nondestr. Eval. 1990. V. 9. R 129-143.

128. Martin P.A. Mapping flat cracks onto penny-shaped cracks: shear loadings // J. Mech. Phys. Solids. 1995. V. 43. No. 2. P. 272-294.

129. Mendelsohn D.A., Achenbach J.D., Keer L.M. Scattering of elastic waves by a surface-breaking crack // Wave Motion. 1980. V. 2. P. 277-292.

130. Press W.H. et al. Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. 1986. 818 p.

131. Rokhlin S.I., Wang Y.J. Analysis of boundary conditions for elastic wave interaction with an interface between two solids //J. Acoust. Soc. Am. 1991. 89(2). P. 503-515.

132. Schwartz L. Theorie des distributions, I-II, Paris, 1950-1951.

133. Scalia A., Sumbatyan M.A. On efficient quantitative analysis in real-time ultrasonic detection of cracks // Ultrasonics. 1999. 37. P. 239-245.

134. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. On wave propagation in elastic solids with a doubly periodic array of cracks // Wave Motion. 1997. No 25. P. 61-72.

135. Alernar J.D., Rosario E. Electromagnetic and acoustic resonance scattering theory // Wave Motion. 1983. V. 5. No 4. P. 307-329.

136. Visscher W.M. Theory of scattering of elastic waves from flat cracks of arbitrary shape // Wave Motion 1983. № 5 P. 15-32.

137. Wirdelius H., Bovik P., Bostrom A. A model for ultrasonic NDE on defect detection // 13th Int. Conference on NDE in the Nuclear and Pressure Vessel Indusrtiries, 22-25 May 1995, Kyoto, Japan.