Динамические задачи для слоистых упругих волноводов с неоднородностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Еремин, Артем Александрович

• Еремин, Артем Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Еремин, Артем Александрович

Введение

1. Постановка краевых задач динамической теории упругости

§1.1. Уравнения движения и граничные условия.

§1.2. Фундаментальные решения. Матрица Грина. Основные интегральные соотношения.

§1.3. Типичные задачи для упругих волноводов с поверхностными и внутренними неоднородностями.

2. Интегральные представления волновых полей в многослойных упругих волноводах

§2.1. Поле поверхностного источника в слоистом упругом волноводе

§2.2. Поле внутреннего точечного источника.

§2.3. Волновое поле в среде с локальными неоднородностями.

3. Метод слоистых элементов (МСЭ)

§3.1. Общая схема МСЭ.

§3.2. Особенности численной реализации метода слоистых элементов

§3.3. Верификация МСЭ

4. Волновой мониторинг слоистых композитов

§4.1. Моделирование волнового поля, возбуждаемого пьезонакладками

§4.2. Влияние анизотропии слоистого материала на направленность излучения.

5. Параметрический анализ волновых процессов в слоистых структурах с дефектами

§5.1. Энергетические характеристики гармонических волновых полей

§5.2. Резонансные явления для системы неоднородностей.

§5.3. Дифракция упругих волн на трехмерных неодиородпостях . . . 111 Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические задачи для слоистых упругих волноводов с неоднородностями»

Взаимодействие упругих воли, распространяющихся в слоистых средах с неоднородностями, является одной из важных задач, возникающих во многих областях, таких как неразрушающий контроль, сейсмология, акустоэлектро-ника, медицинские ультразвуковые исследования, фонопика, теория метама-териалов и др.

Так, одним из перспективных подходов к созданию систем волнового мониторинга состояния конструкций ответственного назначения, позволяющих осуществлять быстрый и малозатраный поиск и идентификацию дефектов, является использование методов, основанных на применении бегущих упругих волн [15,110]. Последние распространяются на существенные расстояния от источника колебаний практически без затухания и взаимодействуют с неоднородностями любого вида, что позволяет судить о наличии повреждений в исследуемой структуре. Используемые при решении задач обнаружения и идентификации дефектов (обратных задач) методы можно разделить на две категории: прямые методы, базирующиеся на анализе времени прихода сигнала, отраженного дефектом и обратные методы, основанные на применении для восстановления формы неоднородности и идентификации ее типа экспертных систем, искусственных пейросетей или теории некорректных операторных задач (см., например, обзор [114]). При этом большое значение имеет теоретико-экспериментальное исследование дифракции упругих волн на неоднородностях, положение, размеры и тип которых уже известны (прямые задачи).

Эффекты запирания и пропускания волн в структурах с периодическими системами неоднородностей, таких как фононпые кристаллы, акустические и сейсмо-метаматериалы [100], в настоящее время находят широкое применение в вибро- и сейсмозащите, при разработке акусто- и оптоэлектронных частотных фильтров. Для сред с периодической структурой анализ данных эффектов проводится на основе теории Блоха-Флоке [58], в рамках которой исходная задача для бесконечного набора препятствий сводится к задаче на собственные значения для отдельной ячейки, что позволяет в итоге получать исчерпывающую информацию о параметрах волновых процессов в периодических структурах [91,102]. Однако любое нарушение периодичности приводит к неприменимости классической теории, необходимости модификации используемых представлений, а главное, к возможному существенному изменению диапазонов запирания и пропускания. В этом случае необходим анализ экранирующих свойств отдельных препятствий или группы конечного числа препятствий.

В связи с повсеместным внедрением многослойных композитных материалов наряду с изучением динамической реакции изготовленных из них протяженных структур актуальной также является задача исследования влияния анизотропии на динамические характеристики волновых процессов. Без учета этих закономерностей точность интерпретации данных волнового мониторинга резко падает.

Ключевым этапом моделирования процесса возбуждения упругих колебаний является определение динамической реакции упругой структуры на заданное силовое (контактное) воздействие. В настоящее время в инженерной и научно-исследовательской практике для этой цели широко используются методы конечных элементов (МКЭ) и граничных интегральных уравнений (ГИУ). В низкочастотной области зачастую возможно использование упрощенных моделей, в которых воздействие источника моделируется заданными силами, распределенными по области контакта.

Для описания процессов распространения упругих волн в открытых неповрежденных слоистых волноводах наряду с классическим МКЭ активно развиваются многочисленные его модификации, учитывающие волновую структуру решения (полосовые элементы - G.R. Liu [96], волновые конечные элементы - B.F. Sliorr [112]) или обеспечивающие высокий порядок аппроксимации (метод спектральных элементов - D. Komatitsch [90], A. Chakraborty [59]), что позволяет уменьшить количество элементов и дискретизировать большие области. При рассмотрении высокочастотных колебаний применим лучевой подход (В.М. Бабич, B.C. Булдырев [4], JI.M. Бреховских [9]), главным преимуществом которого является его физическая наглядность и малые вычислительные затраты, существенно возрастающие, однако, в случае многослойных сред. Другим широко распространенным подходом является метод однородных решений (модальный анализ), в рамках которого закономерности распространения упругих волн исследуются на основе разложения по собственным решениям рассматриваемых краевых задач (нормальным модам) (В.A. Auld [56], В.Т. Грипчеико, В.В. Мелешко [33] и др.).

Выбор методов и подходов, используемых для решения задач дифракции упругих волн на неоднородностях различной природы, во многом определяется диапазоном входных параметров. Так, в ограниченном диапазоне соотношений длины волны и размера неоднородности применимы аналитические асимптотические подходы: высокочастотное приближение Кирхгофа (лучевой метод) или длинноволновая аппроксимация Борна. Если же размеры препятствия и длина волны сопоставимы, используются различные прямые и полуаналитические численные методы: МКЭ и его модификации [96,98,99,103]), метод конечных разностей [92], метод однородных решений [63] и гибридные схемы, в которых волновое поле, отраженное неоднородностью, строится в виде суперпозиции нормальных мод, а неизвестные коэффициенты разложения определяются при сшивании с МКЭ решением для ограниченной области дискретизации, содержащей препятствие [116].

Дифракционные задачи также могут быть сведены к граничным интегральным уравнениям (ГИУ), что по сравнению с МКЭ приводит к системам меньшей размерности, поскольку дискретизируется только поверхность тела. На основе ГИУ решены многие важные задачи об определении динамических характеристик ограниченных упругих тел и открытых волноводов с неодно-родностями различной природы.

Среди всех типов препятствий наиболее распространенными являются трещиноподобные дефекты, наличие которых ухудшает прочностные свойства конструкций. Данное обстоятельство обуславливает большой интерес к изучению колебаний упругих тел с плоскими и трехмерными трещинами (см., например, [3,22,39,70,74,122,125]) Для решения возникающих здесь ГИУ используются методы факторизации и фиктивного поглощения [2], метод граничных элементов (МГЭ) [6,8], схема Галеркина [55] и другие подходы.

Наряду с трещинами, тонкие инородные включения также являются объектами сосредоточения напряжений. Однако, в отличие от случая трещин, динамические задачи для упругих тел с включениями изучены в меньшей степени и касаются в основном двумерных постановок для туннельных дефектов [47,50,115]. Взаимодействие гармонической волны и дискообразного жесткого включения заданной массы на основе МГЭ рассматривается в [40].

Важным частным случаем препятствий, размерность которых совпадает с размерностью краевой задачи, являются плоские цилиндрические и трехмерные полости. Так, взаимодействие нестационарной волны с полостью в анизотропной плоскости анализируется с использованием МГЭ в [118]. Трехмерные нестационарные колебания упругого тела конечных размеров, ослабленного цилипдро-копическим отверстием, изучаются с использованием граничных элементов в работе [36].

Однако при рассмотрении многослойных структур с неоднородностями применение классического метода ГИУ, основанного на матрице фундаментальных решений для плоскости или пространства, не очень удобно, что связано с необходимостью дискретизации не только внешних, но и всех внутренних границ упругого тела, поскольку столбцы данной матрицы как векторы не удовлетворяют условиям на плоскопараллельных границах, а только уравнениям движения в каждой из подобластей. В диссертационной работе применяется иная численно-аналитическая схема, основанная на использовании в качестве ядра интегральных представлений матрицы фундаментальных решений для многослойной среды в целом, названной слоистым элементом (СЭ) [79]. Условия на внутренних (интерфейсных) границах удовлетворяются в ней тождественно, поэтому остается дискретизировать только границы пеоднородностей, что позволяет в итоге существенно уменьшить размерность решаемых систем. Аналогичная схема в случае упругих полупространства или полосы используется, например, в [11,12,14,46,81] для вывода ГИУ на поверхности заглубленной неоднородности типа полости или трещины, что позволяет авторам цитируемых работ развить эффективные алгоритмы расчета динамических характеристик таких волноводов и решить задачи восстановления формы дефекта.

Взаимодействие упругих волн с отдельными неоднородностями или их системами в открытых волноводах может сопровождаться явлением захвата энергии и локализация волнового процесса в окрестности препятствий, что проявляется, в частности, в виде резкого (резонансного) блокирования бегущих волн. Математически этот эффект связан с выходом точек спектра шп соответствующей краевой задачи дифракции на вещественную ось [17] и известен под названиями ловушечпых мод (trapped modes) [37,94], резонанса неоднородных волн [7], собственных решений, соответствующих изолированным вещественным точкам спектра [1,17]. Для практических приложений наряду с анализом данных'эффектов при дифракции на препятствиях в виде трещин [22,30,31,74] большое значение имеет случай объемных неоднородпо-стей, таких как полости или жесткие включения.

Многие используемые на практике композиты представляют собой многослойные структуры с резко отличающимися, анизотропными свойствами составляющих их слоев, что приводит к существенному усложнению волновых процессов в таких материалах. Несмотря на данное обстоятельство, проблема распространения упругих волн в неповрежденных анизотропных структурах исследована достаточно полно (см., например, [26,97,101,109] и цитируемые в них работы). Однако, несмотря на широкое распространение пьезоактуаторов, изучение распространения волн Лэмба, возбуждаемых ими в композитах, начато относительно недавно [111].

Основными целями диссертационной работы являются:

1) развитие методов решения динамических задач о возбуждении и распространении упругих волн в многослойных волноводах с неоднородностями различной природы и их реализация в виде пакета программ, позволяющих проводить быстрый параметрический анализ;

2) анализ динамической реакции протяженных многослойных композитных структур на заданное силовое воздействие;

3) изучение процессов возбуждения упругих волн, их распространения и. взаимодействия с поверхностными и внутренними локализованными неоднородностями (дефектами);

4) исследование влияния анизотропии композитных пластин и частоты колебаний на направление оттока волновой энергии из зоны вибровоздействия;

5) экспериментальная верификация разработанных методов;

Структура и содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Еремин, Артем Александрович

Заключение

В рамках выполнения диссертационной работы получены следующие результаты:

1. На основе интегрального подхода разработана математическая модель, описывающая распространение упругих волн, возбуждаемых поверхностными источниками в многослойных изотропных и анизотропных волноводах, и Pix дифракцию на поверхностных и внутренних неоднородностях различной природы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Еремин, Артем Александрович, 2011 год

1. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченпых телах с неодиородпостями // Изв. АН СССР. МТТ. - 1990. - № 3. - С. 74-83.

2. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред М.: Наука, 1989. - 343 с.

3. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B., Вильяме Р. Задача о вибрации упругого полупространства, содержащего систему внутренних полостей // ДАН. 2002. - Т. 386, № 1. - С. 625-628.

4. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн М.: Наука, 1972. - 456 с.

5. Баженов В.Г., Игумнов JI.A. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов М. ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 352 с.

6. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в приклад-, ных науках М.: Мир, 1984. - 494 с.

7. Бобровпицкий Ю.И., Коротков М.П. Резонапсы неоднородных воли в протяженных упругих структурах // Акустический журнал. 1991. -Т. 37, вып. 5. - С. 872-878.

8. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов М.: Мир, 1987. - 524 с.

9. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах М.: Наука, 1973. - 343 с.

10. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. В 2 ч. Ч. 2. Динамика системы материальных точек М.: Наука, 1966. - 332 с.

11. Ватульян А.О. Об определении конфигурации трещины в анизотропной среде // ПММ. 2004г. - Т. 68, №. - С. 180-188.

12. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела М. ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 224 с.

13. Ватульян А.О., Гусева И.М., Сюнякова И.М. О фундаментальных решениях для ортотропной среды и их применении // Изв. Северо-Кавказ. науч. центра высш. шк. Сер. Естеств. науки. 1989. - № 2. - С. 81-86.

14. Ватульян А.О., Суворова O.A. Об обратной задаче для упругого слоя с полостью // Экологический вестник научных центров Черноморского сотрудничества (ЧЭС). 2005. - № 1. - С. 10-16.

15. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике М.: Наука, 1966. - 169 с.

16. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике М.: Наука, 1979. - 320 с.

17. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // ДАН СССР. 1979. - Т. 245, № 5. - С. 1076-1079.

18. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей М.: Наука, 1979. - 319 с.

19. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление М.: БИФМЛ, 1961. - 524 с.

20. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Дифракция упругих волн на наклонной трещине в слое // ПММ. 2007. - Т. 71, вып. 4. - С. 702-715.

21. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В., Жанг Ч. Резонансое блокирование бегущих волн системой трещин в упругом слое // Акустический журнал. 2009. - Т. 55, вып. 1. - С. 11-20.

22. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Еремин A.A., Михаськив В.В. Метод слоистых элементов в динамической теории упругости // ПММ. 2009. -Т. 73, вып. 4. - С. 622-634.

23. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кривонос A.C. Возбуждение и распространение упругих воли в многослойных анизотропных композитах / / ПММ. 2010. - Т. 74, вып. 3. - С. 419-432.

24. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Зеемапи В., Кваша О.В. Возбуждение упругих волн в слое пьезокерамическими накладками // Акустический журнал. 2006. - Т. 52, вып. 4. - С. 1-10.

25. Глушков Е.В., Глушкова П.В., Шапарь Е.М. О блокировании рэлеевской волны приповерхностной трещиной // ДАН. 2004. - Т. 398(6). - С. 1 - 7

26. Глушкова Н.В. Определение н учет сингулярных составляюнщх в задачах теории унругости: дис. докт. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Глушкова Наталья Вилениновна. Краснодар., 2000. - 216 с.

27. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах Киев: Наук, думка, 1981. - 284 с.

28. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции М.: Изд-во МГУ, 1992. - 182 с.

29. Загускин В.Л. Численные методы решения плохо обусловленных задач Ростов-н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1976. - 187 с.

30. Индейцев Д.А., Кузнецов Н.Г., Мотыгин О.В., Мочалова Ю.А. Локализация линейных волн СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. - 342 с.

31. Индейцев Д.А., Сергеев А.Д., Литвин С.С. Особенности резонансных колебаний упругих волноводов с инерционными включениями // Журнал технической физики. 2000. - Т. 70, вып. 8. - С. 8-15.

32. Кардовский И.В., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения для плоских задач об интерфейсных трещинах // ДАН. 2006. - Т. 410, №- 6. - С. 759-762.

33. Кит Г.С., Михаськив В.В., Хай О.М. Анализ установившихся колебаний плоского абсолютно жесткого включения в трехмерном упругом теле методом граничных элементов // ПММ. 2002. - Т. 66, вып. 5. - С. 855-863

34. Кочетков И.Д., Рогачева H.H. Контактное взаимодействие активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства // ПММ. -2005. Т. 69, вып. 5. - С. 882-895.

35. Кристенсен Р. Введение в механику композитов М.: Мир, 1982. - 334 с.

36. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости М.: Физматгиз, 1963. - 472 с.

37. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения М.: ГИФМЛ, 1963. - 359 с.

38. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости СПб.: Наука, 1999. - 382 с.

39. Ляпин A.A. О возбуждении воли в слоистой среде с локальным дефектом // ПМТФ. 1994. - Т. 35, № 5. - С. 87-91.

40. Мойсеенок А.П., Попов В.Г. Взаимодействие плоских упругих нестационарных волн с упругим включением при полном сцеплении // Изв. РАН. МТТ. 2010. - № 1. - С. 93-106.

41. Партоп В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости М.: Наука, 1977. - 312 с.

42. Петрашень Г.И. Распространение упругих воли в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями // Уч. зап. ЛГУ. -1952. № 162, вып. 25. - С. 3-189.

43. Пряхииа О.Д., Смирнова A.B. Влияние жестких включений па волпо-водпые свойства пакета упругих слоев // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. -№ 1. - С. 45-52.

44. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики -М.: Наука, 1972. 736 с.

45. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела Казань: Изд-во КазГУ, 1986. -296 с.

46. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры СПб.: Лань, 2002. - 736 с.

47. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды М.: Наука, 1987. -544 с.

48. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина М.: Мир. 1988. 352 с.

49. Auld В.A. Acoustic Fields and Waves in Solids. In 2 vol. New York: Wiley, 1973. - 431 p.

50. Barra F., Gaspard P. Scattering in periodic systems: from resonances to band structure // J. Pliys. A: Math. Gen. 1999. - Vol. 32, No. 18. - 3357.

51. Brillouin L. Wave propagation in periodic structures New York: McGraw-Hill, 1946. - 247 p.

52. Chakraborty A., Gopalakrishnan S. A spectrally formulated plate element for wave propagation analysis in anisotropic material // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2005. - Vol. 194. - P. 4425-4446.

53. Collet M., Ruzzene M., Cunefare K.A. Generation of Lamb waves through surface mounted macro-fiber composite transducers // Smart. Mater. Struct. 2011. - Vol. 20. - 025020 (14 pp).

54. Crawley E.F., De Luis J. Use of piezoelectric actuators as elements of intelligent structures // AIAA Journal. 1987. - Vol. 25. - P. 1373-1385.

55. Das S., Banerjee S., Kundu T. Elastic wave scattering in a solid half-space with a circular cylindrical hole using the Distributed Point Source Method // Int. J. Solids Struct. 2008. - Vol. 45. - P. 4498-4508.

56. Fairweather G., Karageorghis A., Martin P.A. The method of fundamental solutions for scattering and radiation problems // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2003. - Vol. 27. - P. 759-769.

57. Giurgiutiu V. Tuned Lamb wave excitation and detection with piezoelectric wafer active sensors for structural health monitoring //J. Intell. Mater. Syst. Struct. 2005. - Vol. 16. - P. 291-305.

58. Giurgiutiu V. Structural Health Monitoring with Piezoelectric Wafer Active Sensors New-York: Academic Press, 2007. - 760 p.

59. Giurgiutiu V., Santoni G. Extension of the Shear-Lag Solution for Structurally Attached Ultrasonic Active Sensors // AIAA Journal. 2009.- Vol. 47, No. 8 P. 1980-1983.

60. Glushkov E., Glushkova N., Ekhlakov A., Shapar E. An analytically based computer model for surface measurements in ultrasonic crack detection // Wave Motion. 2006. - Vol. 43. - P. 458-473.

61. Glushkov E., Glushkova N., Eremin A. Forced wave propagation and energy distribution in anisotropic laminate composites // J. Acoust. Soc. Am. -2011. Vol. 129 (5). - P. 2923-2934.

62. Glushkov E., Glushkova N., Golub M., Bostrom A. Natural resonance frequencies, wave blocking, and energy localization in an elastic half-space and waveguide with a crack // J. Acoust. Soc. America. 2006. - V. 119, N. 6. - P. 3589-3598.

63. Glushkov E., Glushkova N., Kvasha O., Seemann W. Integral equation based modeling of the interaction between piezoelectric patch actuators and an elastic substrate // Smart Mater. Struct. 2007. - Vol. 16. - P. 650-664

64. Glushkov E., Glushkova N., Lammering R., Eremin A., Neumann M.-N. Lamb wave excitation and propagation in elastic plates with surfaceobstacles: proper choice of central frequencies // Smart Mater. Struct. -2011. Vol. 20. - 015020, 11 pp.

65. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Timifeev D.V. A layered element method for simulation elastodynamic behaviour of laminate structures with defects // Advances in the Meshless Method / Tech Science Press. Duluth, USA, 2006. - 16 pp.

66. Glushkov E., Glushkova N., Wauer J. Wave propagation in an elastically supported string with point-wise defects: gap-band and pass-band effects // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. - 2011. - Vol. 91, No. 1. - P. 4-22.

67. Guzina B.B., Fata S.N., Bonnet M. On the stress-wave imaging of cavities in a semi-infinite solid // Int. J. Solids Struct. 2003. - Vol. 40. - P. 1505-1523.

68. Han J.-H., Cho K.-D., Youn S.-H., Lee I. Vibration and actuation characteristics of composite structures with a bonded piezo-ceramic actuator // Smart Mater. Struct. 1999. - Vol. 8. - P. 136-143.

69. Haskell N.A. Dispersion of Surface Waves on Multilayered Media // Bull. Seism. Soc. Am. 1953. - Vol. 43. - P. 17-34.

70. Huang H., Pamphile T., Derriso M. The effect of actuator bending on Lamb wave displacement fields generated by a piezoelectric patch // Smart Mater. Struct. 2008. - Vol. 17. - 055012 (13 pp).

71. Jacobs L.J., Whitcomb R.W. Laser Generation and Detection of Ultrasound in Concrete // Journal of Nondestructive Evaluation. 1997. - Vol. 16, No. 2. - P. 57-65.

72. Jones D.S. Boundary integrals in elastodynamics // Journal of Applied Mathematics. 1985. - Vol. 34. - P. 83-97.

73. Jones R.M. Mechanics of composite materials, Second edition -Philadelphia, USA: Taylor& Francis, 1999. 519 p.

74. Kennett B.L.N. Seismic Wave Propagation in Stratified Media Cambridge: Cambridge University Press, 1983. - 497 p.

75. Kim I.-G., Lee H.-Y., Kim J.-VV. Impact Damage Detection in Composite Laminates Using PVDF and PZT Sensor Signals // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2005. - Vol. 16. - P. 1007-1013.

76. Komatitsch D., Tromp J. Introduction to the spectral element method for three-dimensional seismic wave propagation // Geophys. J. Int. 1999. -Vol. 139. - P. 806-822.

77. Kushwaha M.S., Djafari-Rouhani B. Sonic stop-bands for periodic arrays of metallic rods: honeycomb structure // Journal of Sound and Vibration. -1998. Vol. 218(4). - P. 697-709.

78. Lee B.C., Staszewski W.J. Modelling of Lamb waves for damage detection in metallic structures: Part II. Wave interactions with damage // Smart Mater. Struct. 2003. - Vol. 12. - P. 815-824.

79. Lirn Y.-H., Varadan V.V., Varadan V.K. Finite-element modeling of the transient response of MEMS sensors // Smart Mater. Struct. 1997. - Vol. 6. - P. 53-61.

80. Linton C.M., Evans D.V. Trapped modes above a submerged horizontal plate // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1991. - Vol. 44, № 3. - P. 487-506.

81. Liu G.R. A combined finite element/strip element method for analyzing elastic wave scattering by cracks and inclusions in laminates // Computational Mechanics. 2002. - Vol. 28. - P. 76-81.

82. Liu G.R. Mesh free methods: moving beyond the finite element method, Second edition Boca Raton, USA: CRC Press, 2009. - 792 p.

83. Liu G.R., Xi Z.C. Elastic waves in anisotropic laminates Boca Raton, USA: CRC Press, 2002. - 452 p.

84. Lowe M.J., Cawley P., Kao J.Y., Diligent O. The low frequency reflection characteristics of the fundamental antisymmetric Lamb wave aO from a rectangular notch in a plate //J. Acoust. Soc Am. 2002. - Vol. 112(6) -P. 2612-2622.

85. Lowe M.J., Diligent O. Low-frequency reflection characteristics of the sO Lamb wave from a rectangular notch in a plate // J. Acoust. Soc Am. -2002. Vol. 111(1) - P. 64-74.

86. Lu M.-H., Feng L., Chen Y.-F. Phononic crystals and acoustic metamaterials // Materials Today. 2009. - Vol. 12(12). - P. 34-42.

87. Mai A.K. Wave propagation in layered composite laminates under periodic surface loads // Wave Motion. 1988. - Vol. 10. - P. 257-266.

88. Movchan A.B., Movchan N.V., Haq S. Localised vibration modes and stop bands for continuous and discrete periodic structures // Materials Science and Engineering A. 2006. - Vol. 431. - P. 175-183.

89. Ostachowicz W.M. Damage detection of structures using spectral finite element method // Computers and Structures. 2008. - Vol. 86. - P. 454-462.

90. Pagneux V., Maurel A. Lamb wave propagation in inhomogeneous elastic waveguides // Proc. R. Soc. Lond. A. 2002. - Vol. 458. - P. 1913-1930.

91. Pak R.Y.S., Guzina B.B. Three-Dimensional Green's Functions for a Multilayered Half-Space in Displacement Potentials // Journal of Engineering Mechanics. 2002. - Vol. 128, No. 4. - P. 449-461

92. Peng C., Toksoz M.N. An optimal absorbing boundary conditions for elastic waves // Geophysics. 1995. - Vol. 60. - P. 296-301.

93. Prada C., Balogun O., Murray T.W. Laser-based ultrasonic generation and detection of zero-group velocity Lamb waves in thin plates // Applied Physics Letters. 2005. - Vol. 87. - 3 pp.

94. Raghavan A., Cesnik C.E.S. Finite-dimensional piezoelectric transducer modeling for guided wave based structural health monitoring // Smart Mater. Struct. 2005. - No. 14. - P. 1448-1461.

95. Rokhlin S.I., Wang L. Ultrasonic waves in layered anisotropic media: characterization of multidirectional composites // Int. J. Solids Struct. -2002. No. 39. - P. 5529-5545.

96. Rose J.L. A Baseline and Vision of Ultrasonic Guided Wave Inspection Potential // Journal of Pressure Vessel Technology. 2002. - Vol. 124. - P. 273-282.

97. Salas K.I., Cesnik C.E.S. Guided wave structural health monitoring using CLoVER transducers in composite materials // Smart Mater. Struct. -2010. Vol. 19. - 015014. - 25 pp.i

98. Shorr B.F. The Wave Finite Element Method Berlin: Springer, 2004. -352 p.

99. Staszewski W. J., Lee B. C., Mallet L., Scarpa F. Structural health monitoring using scanning laser vibromefcry: I. Lamb wave sensing // Smart Mater. Struct. 2004. - Vol. 13. - P. 251-60.

100. Su Z., Ye L., Lu Y. Guided Lamb waves for identification of damage in composite structures: A review // Journal of Sound and Vibration. 2006.- Vol. 295. P. 753-780.

101. Tadeu A., Mendes P.A., Antonio J. The simulation of 3D elastic scattering-produced by thin rigid inclusions using the traction boundary element method // Computers and Structures. 2006. - Vol. 84. - P. 2244-2253.

102. Velichko A., Wilcox P.D. A generalized approach for efficient finite element modeling of elastodynamic scattering in two and three dimensions // J. Acoust. Soc. Am. 2010. - Vol. 128(3). - P. 1004-1014

103. Wang C.-Y., Achenbach J.D. Elastodynamic fundamental solutions for anisotropic solids // Geophysical Journal International. 1994. - Vol. 118(2). - P. 384-392.

104. Wang C.-Y., Achenbach J.D., Hirose S. Two-dimensional time domain BEM for scattering of elastic waves in solids of general anisotropy // Int. J. Solids Struct. 1996. - Vol. 33(26). - P. 3843-3864.

105. Wang X.D., Huang G.L. The electromechanical behavior of a piezoelectric actuator bonded to an anisotropic elastic medium // Int. J. Solids Struct.- 2001. Vol. 38. - P. 4721-4740.

106. Wang X., Lu Y., Tang J. Damage detection using piezoelectric transducersand the Lamb wave approach: I. System analysis // Smart Mater. Struct. -2008. Vol. 17. - 025033. - 15pp.

107. Wang L., Yuan F.G. Group velocity and characteristic wave curves of Lamb waves in composites: Modeling and experiments // Composites Science and Technology. 2007. - No. 67. - P. 1370-1384.

108. Wen P.H., Aliabadi M.H., Rooke D.P. Cracks in three dimensions: A dynamic dual boundary element analysis // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1998. - Vol. 167(1-2). - P. 139-151.

109. Wong H.L. Effect of surface topography on the diffraction of P, SV and Rayleigh waves // Bull. Seismol. Soc. Am. 1982. - Vol. 72. - P. 1167-1183.

110. Wrobel L.C., Aliabadi M.H. The Boundary Element Method New York: Wiley, 2002. - 1066 p.

111. Wünsche M., Zhang Ch., Sladek J., Sladek V., Hirose S. Interface Crack in Anisotropic Solids under Impact Loading // Key Engineering Materials. -2007. Vols. 348 - 349. - P. 73-76.