Возбуждение и распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кривонос, Александр Сергеевич

• Кривонос, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кривонос, Александр Сергеевич

Введение

1 Математическая модель, волновые процессы в композиционных анизотропных многослойных материалах

1.1 Основные соотношения теории упругости анизотропных сред

1.2 Виды анизотропии.

1.3 Постановка задачи.

1.4 Интегральное представление волновых полей.

1.5 Нормальные моды и их выделение из интегрального представления

1.6 Алгоритм построения матрицы Грина для многослойного анизотропного волновода.

1.7 Энергия упругих волн.

2 Специфические проблемы компьютерной реализации разработанной модели

2.1 Моделирование воздействия пьезонакладок, присоединенных к поверхности композитных структур.

2.2 Алгоритм поиска полюсов матрицы Грина для анизотропного волновода.

2.3 Асимптотики волновых полей в дальней зоне.

2.4 Методы расчета волновых полей.

2.5 Верификация результатов численных экспериментов

3 Анализ влияния анизотропии на характеристики волн, возбуждаемых заданными источниками колебаний

3.1 Анализ гармонических волновых полей слоистых композитов

3.2 Энергетические характеристики волновых полей в многослойных анизотропных композитах.

3.3 Распределение количества переносимой энергии по модам

3.4 Распространение нестационарных импульсов.

3.5 Влияние анизотропии на точность оценки толщины осадочных пород геофизическими методами виброзондирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Возбуждение и распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах»

Композиционные материалы представляют собой многокомпонентные материалы, состоящие, как правило, из пластичной основы - матрицы, которая армирована наполнителями, обладающими высокой прочностью. Сочетание разнородных веществ приводит к созданию нового материала, свойства которого количественно и качественно отличаются от свойств каждого из его составляющих. Изменяя состав матрицы и наполнителя, их соотношение, ориентацию наполнителя, получают широкий спектр материалов с требуемым набором свойств. Многие композиты превосходят традиционные материалы и сплавы по своим механическим свойствам обладая то же время меньшим весом. Использование композитов обычно позволяет уменьшить массу конструкции, например, летательных аппаратов, при сохранении или улучшении ее механических характеристик.

По структуре композиты делятся на несколько основных классов: волокнистые, слоистые, дисперсно-упрочненные, упрочненные частицами и на-нокомпозиты. Волокнистые композиты армированы волокнами или нитевидными кристаллами. Уже небольшое содержание наполнителя в композитах такого типа приводит к появлению качественно новых механических свойств материала. Широко варьировать свойства материала позволяет также изменение ориентации размера и концентрации волокон. При этом армирование волокнами придает материалу анизотропию механических свойств (различие свойств в разных направлениях), а за счет добавки волокон проводников материалу можно придать электропроводность вдоль заданной оси.

В слоистых композиционных материалах матрица и наполнитель расположены слоями, как, например, в особо прочном стекле, армированном несколькими слоями полимерных пленок. Слоистые композиты также могут состоять из нескольких слоев волокнистых композитов склеенных между собой, в каждом из которых армирующие волокна располагаются под разными углами. Широко распространенным примерами таких материалов являются армированные углепластики, применяемые в авиастроении, а также фанера.

Слоистые композиты -являются одним из самых многочисленных и разнообразных видов композитов. Их применение в различных областях дает значительный экономический эффект. Например, использование полимерных слоистых композитных материалов при производстве космической и авиационной техники позволяет сэкономить от 5 до 30% веса летательного аппарата.

Изучение распространения волн, а также динамического поведения композитных материалов, важно для предсказания поведения материалов под действием различных нагрузок, в том числе ударных, для определения собственных частот колебаний, при разработке методов ультразвуковой дефектоскопии или дистанционного волнового мониторинга конструкций с помощью распределенной системы пьезоактуаторов и сенсоров (SHM - structural health monitoring [82, 85]). В последние годы ультразвуковой контроль все шире применяется в промышленности, энергетике, аэрокосмической сфере, поскольку позволяет на ранних стадиях выявлять внутренние дефекты материалов, образующиеся в течение жизненного цикла, такие как микротрещины, коррозия, отслоения, полости и т.д.

Методы неразрушающего контроля можно разделить на пассивные и активные. В первом случае постоянные датчики фиксируют сигналы акустической эмиссии, генерируемые в процессе роста трещины, во-втором - волновые пакеты возбуждаются ультразвуковыми актуаторами и о наличии дефектов судят по зарегистрированным отраженным волнам ([73, 81, 89, 91, 94]). В них для генерации и регистрации импульсов обычно используются пьезоэлектрические элементы и/или лазеры. Пьезоактуаторы могут быть выполнены в виде прямоугольных, круглых или кольцевых накладок. Их стоимость невелика, они имеют малый размер: толщина керамических достигает 0.1 мм, а изделий на основе полимерных пленок на порядок меньше. Это дает возможность не только размещать их на поверхности исследуемых материалов, но и непосредственно интегрировать в структуру конструкций. В последнем случае для проведения мониторинга необходимо только соединить датчики с регистрирующим аппаратным комплексом, что значительно снижает объем и время проведения подготовительных работ.

Принцип действия пьезоэлементов основан на использовании обратного пьезоэлектрического эффекта: под действием электрического импульса они расширяются или сужаются, передавая колебания конструкции, к которой прикреплены. Частота генерируемых волн регулируется частотой подаваемого на элемент напряжения. Прямой пьезоэлектрический эффект, т.е. способность поляризоваться под действием механических напряжений, позволяет использовать пьезоэлементы как высокочувствительные датчики. При этом сила и частота механических напряжений прямо пропорциональны снимаемым с контактов датчика величине и частоте напряжения. К недостаткам пьезоактуаторов и пьезодатчиков относится их способность создавать или, соответственно, воспринимать па границе контакта только касательные напряжения. Поэтому, для генерации и регистрации волн с амплитудой перпендикулярной плоскости поверхности, используются лазерные виброметры и дополняющие пьезодатчики. Существуют лазерные виброметры способные измерять все три компоненты вектора перемещений поверхности, в состав которых входят несколько считывающих головок, расположенных под различными углами, но такая аппаратура в настоящее время является довольно дорогой и используется редко.

Существуют два основных подхода при проведения неразрушающе-го контроля: пульс-эхо (pulse-echo) и пустил-поймал (pitch-catch). В первом случае актуатор одновременно является и сенсором. Он генерирует синусоидальный сигнал длительностью в несколько периодов и переключается в режим сенсора, принимая отраженный от границ и дефектов сигнал. Поскольку расположение и форма границ исследуемого объекта известны, вклад отраженных от них волн вычитается из принятого сигнала, а на основании силы и формы оставшегося сигнала, используя известные направление излучения и скорость распространения волн для центральной частоты исходного импульса, делается вывод о расположении и размере дефектов. В методе pitch-catch источник и приемник пространственно разнесены, и анализируется не отраженный, а прошедший сигнал, на амплитуду, частоту и форму которого оказали влияние дефекты.

Очевидно, для практической реализации указанных методов необходимы надежные математические модели, описывающие возбуждение и распространения упругих волн в композитных материалах, основанные на решении соответствующих задач теории упругости. В зависимости от используемого математического подхода методы моделирования волновых полей, можно разделить на три большие группы

1) прямые численные методы (метод конечных элементов (МКЭ), конечно-разностная аппроксимация);

2) интегральный подход (граничные интегральные уравнения (ГИУ), метод граничных элементов (МГЭ), интегральные представления с помощью матрицы Грина);

3) асимптотические методы (лучевой метод, обобщенная лучевая теория).

Ни один из данных методов не является универсальным, область применения каждого из них имеет свои ограничения. Ниже дается их обзор и сравнительная характеристика эффективности, показывающая, что для рассматриваемого случая многослойного композита оптимальным является использование методов второго (интегрального) подхода. Приводится более подробное описание конкретного варианта интегрального подхода, который предполагается использовать в дальнейшем.

Использование прямых численных методов как правило предполагает разложение искомого поля смещений по координатным функциям (конечным элементам), заданным в ячейках сетки, покрывающей (аппроксимирующей) рассматриваемый объем V. Использование определенных вариационных условий сводит дискретизированную задачу к системе линейных алгебраических уравнений с разреженной матрицей, решение которой дает неизвестные коэффициенты разложения решения по выбранному базису [27, 29].

В отличие от МКЭ, более подходящим для определения гармонических установившихся колебаний, конечно-разностные методы чаще применяются при решении нестационарных задач. При этом аппроксимация уравнений на пространственной сетке дополняется дискретизацией по времени и решение строится последовательно на временных слоях [86]. Такой подход позволяет получить наглядную картину распространения волн от источника и их трансформации при взаимодействии с границами слоев и другими неодно-родностями.

Прямые численные методы являются наиболее универсальным из трех выделенных групп, теоретически они позволяют получить приближенное численное решение для тел любой формы (например, для рельефной поверхности или для слоев переменной толщины) и произвольной неоднородности. Однако методы этой группы, как известно, являются очень затратными с точки зрения вычислительных ресурсов, причем измельчение сетки как в местах быстрого изменения решения или свойств среды (угловые точки, границы раздела контрастных слоев, область приложения нагрузки и т.п.), так и связанное с ростом частоты и уменьшением длины волны, приводит к быстрому росту размерности системы и соответственно вычислительных затрат. Кроме того, с ростом размерности системы растет и число обусловленности, что с определенного момента делает невозможным ее решение, даже при наличии необходимых вычислительных ресурсов. Особенно быстро пределы практической применимости достигаются при решении трехмерных задач. Еще одним недостатком является отсутствие физической наглядности - из полученного численного решения непосредственно не видны типы составляющих его волн. С другой стороны, прямые численные методы не требуют проведения углубленной аналитической работы, поэтому они пользуются широкой популярностью, особенно в инженерной практике, о чем свидетельствует большое количество публикуемых работ с их использованием (см., например, [64, 84, 95]).

Лучевой метод. В практической геофизике и сейсморазведке интерпретация данных наблюдения (сейсмограмм) традиционно базируется на лучевом подходе [7]. Геометрическая сейсмика изучает формы волновых фронтов, законы хода сейсмических лучей, их отражения и преломления на границах раздела и искривления в зонах плавной неоднородности в предположении об их абсолютной локальности, что равносильно допущению бесконечной малости длины волны [48]. Тем самым лучевой подход дает асимптотические результаты, справедливые для высокочастотного, т.е. коротковолнового диапазона. Главным преимуществом лучевого подхода является его физическая наглядность, позволяющая проследить для заданной точки ход каждой из приходящих в нее волн, а также самые низкие вычислительные затраты, поскольку результат получается практически в явном аналитическом виде.

Однако результаты, полученные лучевым методом, становятся неприменимыми, когда длина волны соизмерима или больше характерного размера тела, например, толщины одного из слоев композита. Кроме того, многократные переотражения между границами слоев приводят к лавинообразному росту числа приходящих лучей даже для не очень удаленных приемников. В результате построение волнового поля для слоистой среды также становится непростой задачей. Отчасти данные трудности снимаются использованием гибридных схем или обобщенным лучевым методом, когда наряду с лучами рассматриваются и нормальные моды, распространяющиеся вдоль слоев [12, 63].

Но более естественно такие асимптотические разложения выводятся из интегральных представлений для матрицы Грина многослойного волновода. В рамках интегрального подхода перемещения волнового поля и представляется в виде свертки матрицы Грина &(х) рассматриваемого пакета слоев или слоистого полупространства с возбуждающей его поверхностной нагрузкой q: и = к * q [5, 6, 17]. Сведение контурных интегралов, входящих в представление /с(х), к сумме вычетов дает искомое разложение волнового поля по нормальным модам. При этом информация об источнике входит в такое разложение автоматически через заданную функцию нагрузки q, поэтому здесь не требуется сложной процедуры сшивания с численным решением в ближней зоне. Ключевым моментом практической реализации интегрального подхода является разработка эффективных алгоритмов построения матрицы Грина для рассматриваемых волноводных структур.

Используемые здесь методы и подходы [37, 40,46, 47, 59, 68, 79, 74], как правило, восходят к матричным алгоритмам Томсона-Хаскела-Петрашеня [45, 71, 88], предложенным еще в 50-е годы для пакета изотропных упругих слоев (см., например, обзор [12]). В рамках данного подхода построение дисперсионных соотношений для нормальных мод сводится к поиску нулей определителя матрицы, формируемой из граничных условий между слоями, а собственные формы нормальных мод выражаются через соответствующие собственные векторы этой матрицы.

В 1980-90х годах в работах A. H. Nayfeh, J. L. Rose, M. J. S. Lowe [66, 74, 79] данные алгоритмы были обобщены на случай анизотропных слоистых волноводов, и к настоящему времени они являются основным инструментом модального анализа для таких структур. Конкретные характеристики волн Лэмба, полученные в рамках данного подхода для используемых на практике композитов, приводятся, например, в работах [61, 62, 83, 90, 91]. Так, L. Wang в своей работе [91] приводит полярные и дисперсионные кривые для фазовых и групповых скоростей волн Лэмба для слоистых композитов, а К. Balasubramaniam [62] сравнивает результаты расчета направленности потока энергии поверхностных волн, генерируемых лазерным лучом, с экспериментальными данными. Результаты из последних двух работ были использованы для верификации компьютерной реализации алгоритма, описываемого в диссертации.

В большинстве работ, однако, рассматриваются только собственные решения (нормальные моды) без учета источника колебаний. Учет источника приводит к необходимости численного или асимптотического анализа интегральных представлений, поэтому число таких публикаций существенно меньше. Здесь можно указать на работы S. I. Rokhlin, P. Wilcox и A. Velichko [83, 90], которые также используют интегральный подход для построения волновых полей в анизотропных композиционных панелях. Но в первом случае рассматриваются только волны идущие поперек пластины (нет волн Лэм-ба), а во втором не используется матричный алгоритм построения фундаментальных решений, поскольку анизотропные слои заменяются приближенным осредненным однородным слоем.

Методы численного и асимптотического анализа контурных интегралов, возникающих в динамических задачах теории упругости для многослойных структур разрабатывались в работах И. И. Воровича, В. М. Александрова, В. А. Бабешко, Г. Я. Попова, С. М. Айзиковича, Е. В. Глушкова, Н. В. Глушковой, О. Д. Пряхиной и др. В них же были предложены численно устойчивые алгоритмы формирования матрицы Грина для большого числа слоев. В диссертационной работе данные подходы обобщены на случай анизотропных сред. Численная устойчивость разработанных алгоритмов построения матрицы Грина обеспечивается аналитическим выделением экспоненциально растущих составляющих и выносом их за рамки численных процедур.

В рамках интегрального подхода решаются также и задачи модального анализа: полюса Фурье-символа К матрицы Грина к являются волновыми числами, а вычеты в них - собственными формами нормальных мод. Интегральные представления используются также при определении динамической реакции на заданное силовое (контактное) воздействие. Смещения поверхности в области приложения нагрузки, необходимые для анализа динамической реакции материала, определяются путем численного интегрирования, либо (при заданных смещениях в зоне контакта) задача сводится к интегральному уравнению типа свертки относительно неизвестных контактных напряжений q [17].

В диссертации дается описание реализации интегрального подхода для решения задач волнового мониторинга слоистых композитов, т.е. многослойных волноводов с произвольной анизотропией составляющих слоев.

Структура и содержание диссертации Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кривонос, Александр Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В ходе выполнения диссертационной работы был разработан и реализован метод расчета динамического поведения анизотропных многослойных композитных материалов под действием заданных силовых нагрузок, позволяющий проводить быстрый параметрический анализ их динамической реакции, а также амплитудных и энергетических характеристик возбуждаемых волновых полей.

Проведены численные исследования характерных особенностей влияния анизотропии свойств используемых на практике углепластиков на волновые и энергетические характеристики ультразвуковых сигналов, возбуждаемых в них современными средствами активного неразрушающего контроля. Возможности разработанной модели продемонстрированы также на примере оценки толщины осадочных пород методом сейсмозондирования с учетом их реальной анизотропии.

Работа выполнена при поддержке Аналитической ведомственной целевой программы Минобрнауки, проект № 2.1.1/1231 и гранта РФФИ № 0701-00307.

Примечание. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в работах [21, 22, 23, 24, 31] и получены автором совместно с Е. В. Глушковым и Н. В. Глушковой. Постановку задачи и общее руководство исследованием осуществляли Е. В. Глушков и Н. В. Глушкова. Автором диссертации осуществлена реализация методов решения рассмотренных задач, разработаны пакеты программ, проведены численные расчеты и дан анализ полученных результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кривонос, Александр Сергеевич, 2010 год

1. Александров К.С., Продайвода Г.Т. Анизотропия упругих свойств минералов и горных пород. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2000. — 354 с.

2. Алексеев А. С. Михайленко Б. Г. Решение задачи Лэмба для вертикально-неоднородного упругого полупространства//Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976. - № 12.

3. Амензаде Ю. А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. - 272 с.

4. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. - 415 с.

5. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Методы построения матрицы Грина стратифицированного упругого полупространства // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. - Т. 27. № 1. С. 93-101.

6. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

7. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод: Линейные и нелинейные волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 272 с.

8. Балакирев М. К., Гилинский И. А. Волны в пьезокристаллах. М.: Наука, 1982. 240 с.

9. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.

10. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987, 524 с.

11. Бреховских JI. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. - 343 с.

12. Бреховских Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. - 416 с.

13. Буланов И.М., Воробей В.В. Технология ракетных и аэрокосмических конструкций из композитных материалов. М.: МГТУ им Н.Э. Баумана, 1998. 516 с.

14. Ватульян А.О. Контактные задачи со сцеплением для анизотропного слоя // ПММ. 1977. - Т. 41. Вып. 4. С. 727-734.

15. Вержбицкий В.М. Численные методы, М.: Высшая школа, 2001. 382 с.

16. Владимиров B.C. Обобщенные функции. М.: Наука, 1989. - 422 с.

17. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

19. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Интегральные преобразования в зада- чах теории упругости. -Краснодар, КубГУ, 1990. 57 с.

20. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Еремин A.A. Михаськив В.В., Метод слоистых элементов в динамической теории упругости // ПММ. 2009.

21. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кривонос A.C. Возбуждение и распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах. // ПММ. Том 74. Вып. 3, 2010. С. 419-432

22. Глушков Е.В., Сыромятников П.В. Анализ волновых полей, возбуждаемых поверхностным гармоническим источником в анизотропном полупространстве // Краснодар, 1985, 11 с. Рукопись представлена Кубанским госуниверситетом, Деп. в ВИНИТИ 07.08.85, № 5861-85.

23. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. - 294 с.

24. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. - 442 с.

25. Емельяненко П.Ф., Яковлева Е.Б. Петрография магматических и метаморфических пород. — М.: Изд-во МГУ, 1985. 248 с.

26. Зенкевич О. С., Морган К. Конечные элементы в аппроксимации. М.: Мир, 1986. - 313 с.

27. Красильников В. А., Крылов В. В. Введение в физическую акустику. -М.: Наука, 1984. 403 с.

28. Кривонос A.C. Энергетические характеристики упругих волн в многослойных анизотропных композитах // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2009, № 3. С. 64-71.

29. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 334 с.

30. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физмат-гиз, 1963. - 411 с.

31. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1976. 315 с.

32. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., Методы функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

33. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - 416 с.

34. Лёвшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны. М.: Физматгиз, 1963. - 269 с.

35. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике.- М.: Наука, 1972. 348 с.

36. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. М.: Наука, 1978.

37. Молотков Л. А., Смирнов Н.С. К вопросу о колебании пачки тонких слоев между двумя упругими полупространствами // Вопросы динамики теории распространения сейсмических волн. Л., 1971.

38. Нагорный C.B., Черкасова И.В. Нахождение акустических осей в кристаллах при помощи приведения тензора Кристоффеля к верхней форме Хессенберга. Краснодар. 1984. - 19 с. Рукопись представлена Кубанским госуниверситетом, Деп. в ВИНИТИ 06.07.84, № 4763-84.

39. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 325 с.

40. Партон В. 3., Кудряыцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. - 472 с.

41. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312 с.

42. Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями // Уч. Зап. ЛГУ, iL, 1952.

43. Попов Г.Я. К решению задач механики и математической физики для слоистых сред// Изв. АН СССР. Механика. 1978. - № 2.

44. Приварников А. К. Пространственная деформация многослойного основания // Устойчивость и прочность конструкций. Днепропетровск: Изд-во Днепр, ун-та, 1973.

45. Сейсморазведка. Справочник геофизика / Под ред. И.И.Гурвича, В.П.Номоконова. М.: Недра, 1981.

46. Сиротин Ю.И., Шаскальская М.П. Основы кристаллофизики. Учебное пособие. М.: Наука, 1979. 640 с.

47. Снеддон И., Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955. 668 с.

48. Сыромятников П.В. Энергия электроупругих волн, возбуждаемых поверхностным гармоническим источником в пьезоэлектрической полуограниченной среде. Дне. . канд. физ.-мат. наук, 01.02.04, Кубанский госуниверситет, 1996 г. - 228 с.

49. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. -576 с.

50. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972. 736 с.

51. Умов H.A. Избранные сочинения. М.: Гостехиздат, 1950. - 517 с.

52. Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965.

53. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

54. Хан X. Теория упругости. М.: Мир, 1988. - 344 с.

55. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного, Гостехиздат, 1954.

56. Шевляков Ю. А. Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред. Киев; Одесса: Вища школа, 1977. - 245 с.

57. Achenbach J. D. Wave Propagation in Elastic Solids. Amsterdam: North-Holland, 1973. - 425 p.

58. K. Balasubramaniam, On a numerical truncation algorithm for transfermatrix method // J. Acoust. Soc. Am. 2000. 107(2), p. 1053-1056.

59. Balasubramaniam K., Krishnamurthy C.V., Ultrasonic guided wave energy behavior in laminated anisotropic plates // Journal of Sound and Vibration. 2006. V. 296. P. 968-978.

60. Cerveny V., Molotkov L.A., Psencik I. Ray method in Seismology. Praha: Univerzita Karlova, 1977.

61. Chang J., Zheng C., Ni Q.-Q. The ultrasonic wave propagation in composite material and its characteristic evaluation //Composite Structures. 2006. 75 P. 451-456.

62. Cheng A., Murray T. W., Achenbach J. D. Laser-generated ultrasonic waves in layered plates: simulation and measurement // Center for Quality Engineering and Failure Prevention Northwestern University, Evanston, IL 60208-3020, 2003.

63. Ditri J. J., Rose J. L. Excitation of guided waves in generally anisotropic layers using finite sources // Journal of Applied Mechanics. 1994. 61, 330-338.

64. Dominguez J. Boundary elements in dynamics // Comput. Mech. Publ., Southampton and Elsevier Appl. Sci, London, 1993.

65. Dunkin J. W. Computations of modal solutions in layered elastic media at high frequencies. Bull. Seism. Soc. Amer. - 1965. - V. 55. - P. 335 - 358.

66. Giurgiutiu V., Lamb wave generation with piezoelectric wafer active sensors for structural health monitoring // Proc. SPIE. 2003. Paper No. 5056-17.

67. Hahn H. T., Erian A. Armanios, Paul A. Lagace. Composite Materials: Fatigue and Fracture. ASTM, 1997. 557.

68. Haskell N. A. The dispersion of surface waves on multilayered media, Bull. Seism. Soc. Amer. 1953. 43, 17-34.

69. Berthelot J.-M., Sefrani Y. Damping analysis of unidirectional glass and Kevlar fibre composites// Composites Science and Technology Volume 64, Issue 9, July 2004, Pages 1261-1278.

70. Lemistre M., Balageas D. Structural Health Monitoring System Based on Diffracted Lamb Wave Analysis by Multiresolution Processing // Smart Materials and Structures, 2001. V. 10. No. 3. P. 504-511.

71. Lowe M. J.S. Matrix techniques for modeling ultrasonic waves in multilayered media // IEEE Trans Ultrason Ferroelectr Freq Control. 1995. V. 42. N 4. P. 525-542.

72. Manolis G.D., Bescos D.E. Boundary element methods in Elastodynamics, Unwin-Human (Chapman h Hall), London, 1988.

73. Masterts J. E. Characterisation of impact damage development in graphite/epoxy laminates // Fractgraphy of Modern Engeniring Materials: Composites and Metals. Philadelphia. 1987. pp. 238-258.

74. Moulin E., Assaad J., Delebarre Ch., Osmont D., Modeling of Lamb waves generated by integrated transducers in composite plates using a coupled finite element-normal modes expansion method //J. Acoust. Soc. Am. 2000. V. 107. № 1. P. 87-94.

75. Murillo C. A., Thorel L., Caicedo B. Spectral analysis of surface waves method to assess shear wave velocity within centrifuge models // Journal of Applied Geophysics. Vol. 68. Issue 2. 2009. P. 135-145

76. Nayfeh A.H. The general problem of elastic wave propagation in multilayered anisotropic media //J. Acoust. Soc. Am. 1991. V. 89. N 4. P. 1521-1531.

77. Osama M. Analysis of dispersed multi-mode signals of the SASW method using the multiple filter/crosscorrelation technique // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. Vol 13. Issue 1. 1994. P. 13-24

78. Raghavan, A., Cesnik, C. E. S. Finite-dimensional Piezoelectric Transducer Modeling for Guided Wave Based Structural Health Monitoring // Smart Materials and Structures, 2005. V. 14. No. 6. P. 1448- 1461.

79. Raghavan A., Cesnik C.E.S. Review of Guided-wave Structural Health Monitoring // The Shock and Vibration Digest, 2007. V. 39. No. 2. P. 91114.

80. Rokhlin S. I. , Wang L. Ultrasonic waves in layered anisotropic media: characterization of multidirectional composites. Int. J. Solis and Structures 2002. 39, p. 5529-5545.

81. Su Zh., Ye Lin, Lu Ye, Guided Lamb waves for identification of damage in composite structures: A review // Journal of Sound and Vibration. 2006. 295 P. 753-780.

82. Tanaka M., Matsumoyo T. Transient elastodynamic boundary element formulations based on the time-stepping scheme // Int. J. Pres. and Pip. 1990. V. 42. No 1. P. 89-93.

83. Tanura K. Stroh Formalism and Rayleigh Waves. Springer. 2007. 159.

84. Thomson W. T. Transmission of elastic waves through a stratified medium, J. Appl. Phys. 1950. 21, 89-93 .

85. Veidt, M., Liu, T., Kitipornchai, S. Flexural Waves Transmitted by Rectangular Piezoceramic Transducers // Smart Materials and Structures, 2001. V. 10. No. 4. P. 681-688.

86. Velichko A., Wilcox P. Modeling the excitation of guided waves in generally anisotropic multilayered media // Acoustical Society of America, 2007. 121(1). P. 60-69.

87. Wang, C. H., Rose, J. T., Chang, F-K. A Computerized Time-reversal Method for Structural Health Monitoring // Proceedings of the SPIE, 2003. No. 5046. P. 48-58.

88. Wang L., Yuan F.G., Group velocity and characteristic wave curves of Lamb waves in composites: Modeling and experiments // Composites Science and Technology. 2007. V. 67. P. 1370-1384.

89. Wang X.D., Huang G.L. The electromechanical behavior of a piezoelectric actuator bonded to an anisotropic elastic medium // International Journal of solids and Structures. 2001. V. 38. P. 4721-4740.

90. Wilcox P. Acoustic Fields from PVDF Interdigital Transducers // IEE Proceedings: Science, Measurement and Technology, 1998. V. 145 No. 5. P. 250-259.

91. Zak A., Krawczuk M., Ostachowicz W. Propagation of in-plane elasticwaves in a composite panel // Finite Elements in Analysis and Design 2006. 43 p.145 154.