Исследование структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Соболева, Дарья Владимировна

• Соболева, Дарья Владимировна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Соболева, Дарья Владимировна

Оглавление

[ исследования структуры минимального глобального аттрактор ных регулируемых систем

атические модели систем автоматического регулирования

р методов доказательства существования циклов многомерны

,тх систем

пительный алгоритм нахождения решений матричных неравенств

раммная реализация алгоритма нахождения решений матричны

з

эгательные утверждения и теоремы

Заключение Литература.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования»

Введение

Развитие современных компьютерных технологий и, в том числе, универсальных систем компьютерной математики, способствует формированию современной тенденции синтеза аналитических и численных методов при решении сложных математических проблем. Одной из таких проблем является проблема изучения структуры глобального аттрактора многомерных динамических систем и, в частности, многомерных моделей систем автоматического регулирования.

Исторически эта задача восходит к известной шестнадцатой проблеме Гильберта о нахождении максимального числа и взаимного расположения предельных циклов систем второго порядка с полиномиальными правыми частями. Благодаря усилиям нескольких поколений математиков во второй половине XX века в решении этой проблемы был достигнут существенный прогресс [8, 9, 23, 32, 70, 74, 78, 116, 119-121, 126, 127, 136-140, 143, 146, 158, 166, 179, 180]. Методам оценки числа циклов систем фазовой автоподстройки частоты посвящены работы С.С. Мамонова [60-63]. Новые аспекты этой проблемы наиболее рельефно проявились после работ С.Смейла [79], показавшего, что глобальный аттрактор динамической системы порядка выше второго, имеющей даже весьма простую структуру (например, кусочно-линейной), может содержать бесконечное число неустойчивых циклов или странный аттрактор. Автономные системы, обладающие несколькими циклами, были обнаружены, например, М.В. Келдышем при изучении флаттера крыла самолета [34], однако при этом использован метод гармонической линеаризации, не являющийся строгим и не исключающий, как хорошо известно [91], возможность ошибки. Для систем автоматического регулирования задачу, близкую к оценке числа циклов, поставил в свое время академик A.A. Воронов [22].

С вычислительной точки зрения аттракторы в нелинейных динамических системах можно разделить па возбуждающиеся из состояния равновесия и скрытые аттракторы, область притяжения которых не содержит окрестностей состояний равновесия [45]. Аттракторы, возбуждающиеся из состояния равновесия, мо-

гут быть обнаружены путем численного интегрирования системы при выборе начальных условий из малой окрестности неустойчивого состояния равновесия. Такая ситуация характерна, например, для известных систем Ван дер Поля [172174], Белоусова-Жаботинского [30, 35, 38], Лоренца [65, 147], Чуа [129, 130]. Так как область притяжения скрытого аттрактора не содержит окрестностей состояний равновесия, для его обнаружения необходимы специальные методы оценки таких областей.

Ситуация, когда система имеет как возбуждающиеся из состояния равновесия, так и скрытые аттракторы, является, в определенном смысле, промежуточной между порядком и хаосом. Выбор начальных условий в областях притяжения каждого из аттракторов выводит систему на различные колебательные режимы. В этом случае говорят, что в системе наблюдается «эффект буферности» [16, 36].

Задача обнаружения эффекта буферности и синтезирования систем, обладающих этим эффектом, оказывается весьма непростой. Разработка техники обнаружения эффекта буферности для многомерных динамических систем стимулировалась появлением обобщенного принципа Пуанкаре-Бендиксона, принадлежащего Р.Смиту [167, 168]. С использованием этого принципа в работах [16, 18, 19] были получены оценки числа циклов многомерных моделей регулируемых систем с одним нелинейным блоком.

Отметим, что интерес представляет не только оценка числа циклов нелинейной динамической системы, но и оценка областей притяжения орбитально устойчивых циклов. Предложенный в диссертации общий подход к оценке структуры глобального аттрактора (числа циклов и областей притяжения орбитально устойчивых циклов) многомерных систем автоматического регулирования приводит к необходимости решения матричных неравенств. Матричные неравенства широко применяются также в задачах теории устойчивости, теории управления, обработки сигналов, адаптивных и оптимальных систем. Вопросами разрешимости матричных неравенств занимались, например, А.Н. Чурилов, П.В. Пакшин, В.А.Якубович, А.Л. Фрадков [68, 93-97, 87, 88, 108-110]. В последние годы появилось много программных пакетов с решателями матричных неравенств, таких

как LMILab, LMITOOL, SeDuMe Interface, YALMIP и KYPD [99]. Обратим внимание на тот факт, что численные алгоритмы не позволяют получить полное описание всего множества решений линейного матричного неравенства, а находят, как правило, какое-либо одно решение.

Задача исследования структуры глобального аттрактора многомерных систем автоматического регулирования с несколькими нелинейными блоками наталкиваются также на существенные вычислительные трудности, связанные с необходимостью отыскания не отдельного решения матричного неравенства, а некоторого семейства решений, обладающих заданными свойствами. В связи с этим актуальной является задача разработки численных алгоритмов, позволяющих находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.

Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является разработка численно-аналитических методов исследования структуры глобального аттрактора (оценка числа циклов и областей притяжения орбитально устойчивых циклов) многомерных динамических систем с единственным состоянием равновесия, которые могут быть использованы при математическом моделировании колебательных процессов в многомерных системах автоматического регулирования.

Для ее достижения поставлены следующие задачи:

1. Разработать вычислительный алгоритм, позволяющий находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.

2. Разработать метод оценки числа циклов и областей притяжения устойчивых циклов многосвязных систем автоматического регулирования, удовлетворяющих обобщенному принципу Пуанкаре - Бендиксона.

3. Разработать метод оценки числа циклов многомерных динамических систем, при исследовании которых не удается применить обобщенный принцип Пуанкаре — Бендиксона.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории матриц, матричных уравнений и неравенств, теории

устойчивости, второй метод Ляпунова, частотные методы; при разработке вычислительных алгоритмов использовалась система компьютерной алгебры Maple.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. В диссертационной работе разработаны новые численно-аналитические методы анализа структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования. Научную новизну составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

- решена задача Смейла, относящаяся к теории химической кинетики биологических клеток: найдены условия, при выполнении которых в результате линейной связи между двумя нелинейными устойчивыми в целом системами порядка п, возникает система порядка 2л, почти каждое решение которой асимптотически приближается к орбитально устойчивому циклу;

- разработан и доведен до программной реализации в пакете Maple вычислительный алгоритм, позволяющий находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами;

- разработан метод оценки числа циклов и областей притяжения устойчивых циклов многосвязных систем автоматического регулирования, удовлетворяющих обобщенному принципу Пуанкаре - Бендиксона;

- разработан метод оценки числа циклов многомерных моделей систем автоматического регулирования с одним нелинейным блоком, для которых не выполнен обобщенный принцип Пуанкаре - Бендиксона.

Достоверность полученных результатов. Все положения, выносимые на защиту, математически строго доказаны и подтверждаются численными экспериментами.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в развитии методов исследования структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы специалистами в области теории управления, теории автоматического регулирования и не-

линейных колебаний при анализе многомерных моделей систем автоматического регулирования.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Международных научных конференциях «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)» (Россия, Москва, 2010, 2012), «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, Тула, 2008, 2011, 2012, 2013), «Dynamical System Modelling And Stability Investigation» (Украина, Киев, 2011).

В главе 1 настоящей диссертации дается обзор методов исследования структуры минимального глобального аттрактора многомерных регулируемых систем, а также разрабатывается программа в пакете компьютерной алгебры Maple, позволяющая находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.

В разделе 1.1 рассматриваются математические модели систем автоматического регулирования, сформулированы основные понятия, характеризующие системы автоматического регулирования. В разделе 1.2 дается обзор методов доказательства существования циклов многомерных автономных систем; показано, что задача оценки областей притяжения устойчивых циклов приводит к необходимости отыскания семейства решений некоторого матричного неравенства. В раздела 1.3 представлен вычислительный алгоритм, позволяющий находить данное семейство решений матричного неравенства. В разделе 1.4 приводится описание разработанного с использованием системы компьютерной алгебры Maple и языка программирования С# комплекса программ для автоматизации процедуры решения матричного неравенства. В разделе 1.5 приведены некоторые вспомогательные утверждения и теоремы, которые постоянно используются в диссертации.

В главе 2 получены эффективно проверяемые условия существования скрытых аттракторов у многосвязных систем автоматического регулирования, опирающиеся на предположение о выполнении условий обобщенного принципа Пуан-каре-Бендиксона. Указан метод синтезирования систем, обладающих любым

наперед заданным числом орбитально устойчивых циклов. На основании алгоритма, предложенного в работе, синтезирована трехсвязная система автоматического регулирования, имеющая не менее трех циклов, не менее чем два из которых орбитально устойчивы, что подтверждается численными экспериментами.

В главе 3 рассматривается класс многомерных нелинейных динамических систем с единственным состоянием равновесия, для которых не выполнены условия обобщенного принципа Пуанкаре-Бендиксона. В основу доказательства существования нескольких циклов многомерной динамической системы положена методика конструирования одновременно нескольких инвариантных торов с общими элементами границы в фазовом пространстве динамической системы, в каждом из которых содержится по крайней мере один цикл системы. Доказательство опирается на теоремы М.А. Красносельского об условиях существования неподвижных точек векторных полей. В качестве примера рассматривается односвяз-ная система автоматического регулирования, обладающая минимальным глобальным аттрактором, состоящим из трех циклов, два из которых орбитально устойчивы.

Глава 4 посвящена решению известной задачи С. Смейла (1974 г.), суть которой заключается в следующем: возможно ли получить систему порядка 2п, почти каждое решение которой асимптотически приближается к единственному орбитально устойчивому циклу, линейно связав две нелинейные устойчивые в целом системы порядка п. Найдены условия, при выполнении которых получаемая при организации линейной связи система будет иметь любое наперед заданное число асимптотически орбитально устойчивых циклов. Иными словами доказано, что в постановке, предложенной С. Смейлом, задача конструирования глобального осциллятора в принципе не может быть решена без наложения дополнительных ограничений на поведение нелинейности. Приведен пример системы шестого порядка, полученной путем организации линейной связи между двумя устойчивыми в целом системами третьего порядка, имеющей не менее трех циклов, два из которых орбитально устойчивы, что подтверждается численными экспериментами.

1 Методы исследования структуры минимального глобального аттрактора многомерных регулируемых систем

1.1 Математические модели систем автоматического регулирования

Как хорошо известно [1, 10, 11, 22, 26, 31, 50, 55, 56, 58, 64, 72, 73], в качестве основной математической модели систем автоматического управления принимается система линейных дифференциальных уравнений:

= + 2Xм*'* = 1>->п>

11

¿=1

или в векторно-матричной форме

¿г

— = Ах + Ви, у - С'х. (1.1.1)

Л

где Л = {а..}, 5 = {6;<Г}, С = {с5,.}, г',у' = 1 £ = 1,...,ти, 5 = 1,...,/ - вещественные постоянные матрицы порядков их я, пхт тл пх1 соответственно, еЯ"

- вектор фазовых переменных состояния, (и1,...,ит) еЯ" - вектор входных воздействий, (^р...,^,) еЯ1 - вектор выходных переменных. Знак (*) здесь и везде

ниже в вещественном случае означает транспонирование, а в комплексном случае

- эрмитово сопряжение.

В системе (1.1.1) векторы и, х и у являются функциями вещественного

переменного I, обозначающего время, причем £ е [¿0,Г] (Т >í0)) где (/0,Г] - отрезок времени, на котором происходит управление системой.

Описание системы управления в форме (1.1.1) называют описанием в пространстве состояний или в фазовом пространстве.

Систему (1.1.1) схематично можно представить в виде некоторого линейного блока (£), на вход которого подается сигнал и = и^) и выходом которого является сигнал = (рис. 1.1).

«(О

но

— = Ах + Ви Ж

>

у = С*х

Рисунок 1.1 - Представление системы (1.1.1) в виде линейного блока (£)

Применим преобразование Лапласа к системе (1.1.1) при нулевых начальных условиях:

Здесь !_,( ■ ) - оператор Лапласа.

Полученная формула (1.1.2) устанавливает связь между преобразованиями Лапласа входа и(/) и выхода линейного блока (Ь).

Определение 1.1 [54]. Матрица порядка гах/ Ш(р) — С* (А -р1п)~1В, где р - комплексная переменная, называется передаточной матрицей (т = 1 = 1 - передаточной функцией) системы (1.1.1) от входа м(/) к выходу

Теорема 1.1 [54]. Передаточная матрица №(р) инвариантна относительно

невырожденных линейных преобразований.

Сформулируем несколько важных понятий, характеризующих систему (1.1.1): управляемость, наблюдательность, стабилизируемость.

Определение 1.2 [54]. Система (1.1.1) называется полностью управляемой (или пара (А,В) называется полностью управляемой), если для любых векторов

х0 еЯ", х1еЯп и любых /0 существует такое управление и{{) (являющееся

(1.1.2)

кусочно-непрерывной функцией, заданной на [/0,^]), что для решения х({) системы (1.1.1) с этим управлением и с начальным условием х(/0) = х0 выполнено равенство ) = х,.

Таким образом, система (1.1.1) полностью управляема, если функцию

можно выбрать так, чтобы перевести объект из любого состояния в фазовом пространстве в любое другое состояние за наперед заданное время.

Известно много критериев полной управляемости системы (1.1.1) (см. например, [26]). В дальнейшем будем пользоваться следующим критерием.

Теорема 1.2 [26]. Система (1.1.1) полностью управляема (или пара (А,В)

полностью управляема), если ранг матрицы В, АВ,...,Ап~1В равен п.

Перейдем теперь к понятию полной наблюдаемости.

Определение 1.3 [54]. Система (1.1.1) называется полностью наблюдаемой (или пара (А, С) называется полностью наблюдаемой), если для любых ^ </2 и

любых троек вектор-функций (их (0)' заданных на [¿15*2] и удовлетво-

ряющих (1.1.1), из соотношений м,(/) = м2(/), ух (/) = у2 (/), (т.е. равенства входов и выходов) следует, (/) = х2 (/) (т.е. равенство состояний).

Таким образом, система (1.1.1) полностью наблюдаема, если по точным измерениям входа и выхода можно однозначно определить состояние

Сформулируем необходимое и достаточное условие полной наблюдаемости системы (1.1.1).

Теорема 1.3 [26]. Система (1.1.1) полностью наблюдаема (или пара (А,С) полностью наблюдаема), если ранг матрицы

равен п.

Отметим, что существует много критериев полной наблюдаемости системы (1.1.1), как показано, например, в [26].

Рассмотрим понятие стабилизируемости.

Определение 1.4 [54]. Система (1.1.1) называется стабилизируемой (или пара (А,В) называется стабилизируемой), если существует такое управление

и = S'y, что система (1.1.1) является асимптотически устойчивой.

Хорошо известно [26], что управляемая пара (А,В) всегда стабилизируема.

Критерий полной управляемости и полной наблюдаемости системы (1.1.1) можно сформулировать в терминах её передаточной функции W(p). Для этого введем следующее понятие.

Определение 1.5 [26]. Передаточная матрица W(p) называется невырожденной, если для любого корня р0 многочлена 5(p) = det(pIn-A) у матрицы W(p) существует такой минор ц{р) порядка, равного дефекту матрицы [А - р01п ), что выполнено lim <5 (р) /л (р) ^ 0.

Р^Ро

Замечание 1.1 [26]. В случае, когда в системе (1.1.1) вход и и выход у -

скаляры, т.е. m = 1 = 1, определение 1.5 означает, что скалярную функцию W(p)

нельзя представить в виде отношения многочленов со степенью знаменателя меньше, чем п.

Теорема 1.4. (Критерий полной управляемости и полной наблюдаемости) [54]. Для полной управляемости и полной наблюдаемости системы (1.1.1) необходимо и достаточно, чтобы передаточная функция W(p) была невырожденной.

Если м = <р(с*х), то система (1.1.1) называется системой автоматического

регулирования. Если m = 1 = 1 (В,С - и-векторы), то говорят, что система одно-связная, в случае m > 1 систему называют многосвязной. Подчеркнем, что проблемам исследования систем автоматического регулирования посвящено огромное число работ [1, 10, 11,22,26,31,50,53, 55, 56,58,64, 72, 73, 122,142].

1.2 Обзор методов доказательства существования циклов многомерных автономных систем

Предметом изучения в данной работе будут динамические системы, порожденные дифференциальными уравнениями

х = /(х), хеД". (1.2.1)

Будем предполагать, что функция /(х) везде в Я" удовлетворяет локальному

условию Липшица. Это предположение, как хорошо известно, обеспечивает существование и непрерывную зависимость решений системы (1.2.1) от начальных данных в любой компактной области П е Я".

Пусть х(/) - решение системы (1.2.1),определенное на [¿0,оо). Тогда траектория этого решения при / е [¿о»00) есть некоторая кривая Г с Я", называемая положительной полутраекторией системы. Аналогично определяется отрицательная полутраектория. Если решение х(/) определено при ¿е(-оо,оо) его траекторию будем называть полной траекторией системы. Точку Q называют со -предельной (а-предельной) точкой полутраектории Г, если существует последовательность 1п —» оо (¿п -оо) такая, что Нгпх(^) = Множество со(Г) со-предельных точек

л-> 00

всякой ограниченной полутраектории Г непусто, замкнуто, связно и состоит из полных траекторий системы (1.2.1) [90]. Аналогично утверждение справедливо и для множества а (Г) а-предельных точек. Если существует г такое,

чтох(/) = х(/ + г) для всех /е(-оо,оо), то решение х(/) называется периодическим. Траектория такого решения - замкнутая кривая в Я", которую называют циклом.

Основное внимание будет уделено исследованию структуры притягивающих множеств (аттракторов) системы (1.2.1). В настоящее время в литературе нет общепринятого строгого определения аттрактора. Мы будем понимать аттракторы так, как это принято в монографии [47].

Определение 1.6 [47]. Будем говорить, что множество К инвариантно, если x(t,K) = K, Vt> 0.

Здесь = j.x(7,;t0) х0 еЛГ|.

Определение 1.7 [47]. Будем говорить, что инвариантное множество К является локально притягивающим, если для некоторой е -окрестности этого множества выполнено соотношение

lim p(£",x(i,jc0)) = 0, Vx0 Здесь p(Kyx) - расстояние от точки jc до множества К, которое определяется по формуле p(£",:t) = infjz-A'|, где [ - | — евклидова норма в R", - множе-

ство точек х, для которых р(К,х) < е.

Определение 1.8 [47]. Будем говорить, что инвариантное множество К является глобально притягивающим, если

lim p(K,x(t,x0)) = Q, \/x0eR".

/—>+00 v 4 ''

Определение 1.9 [47]. Будем говорить, что К — аттрактор, если К является инвариантным, замкнутым, локально притягивающим множеством.

Будем говорить, что К - глобальный аттрактор, если К является инвариантным, замкнутым, глобально притягивающим множеством.

Хорошо известно, что аттракторами систем вида (1.2.1) могут быть либо точки покоя, либо циклы, либо странные хаотические аттракторы.

Простейшим примером аттрактора является все фазовое пространство R", если в нем определены траектории системы при всех значениях t> 0. Этот пример показывает, что целесообразно ввести понятие минимального аттрактора -наименьшего инвариантного множества, обладающего свойством притягиваемо-сти.

Минимальным глобальным аттрактором системы (1.2.1), имеющей неустойчивое состояние равновесия и предельный цикл, является множество, состоящее из точки покоя и предельного цикла. Если система (1.2.1) имеет единственное со-

стояние равновесия и несколько предельных циклов, среди которых чередуются устойчивые и неустойчивые, то минимальным глобальным аттрактором является множество, состоящее из точки покоя и всех предельных циклов системы

Рисунок 1.2- Минимальный глобальный аттрактор, состоящий из точки покоя и нескольких предельных циклов системы на плоскости

Такую структуру может иметь, например, минимальный глобальный аттрактор системы второго порядка. Для его обнаружения аналитическими методами можно воспользоваться приемом, предложенным в [138, §1.4]. Суть данного метода состоит в следующем: строится система концентрических колец, границы которых поочередно пересекаются траекториями системы наружу и вовнутрь, и применяется принцип Пуанкаре-Бендиксона, утверждающий, что если система (1.2.1) имеет ограниченную при (¿-»-оо ) полутраекторию, со-предельное (а-

предельное) множество которой не содержит состояний равновесия системы, то оно состоит из единственного периодического решения системы (1.2.1).

Теорема Пуанкаре-Бендиксона перестает быть справедливой для систем порядка выше второго [135, 164]. Для доказательства существования циклов многомерных динамических систем используются различные приемы. Например, метод априорных оценок [43], топологические методы [125, 169]. По-видимому, истори-

(рис. 1.2).

чески первым и одним из наиболее известных приемов доказательства существования циклов систем вида (1.2.1) порядка п>Ъ является принцип тора. Этот принцип был впервые применен К.О. Фридрихсом для трехмерной системы [134].

Через С будем обозначать открытое ограниченное множество в Я" с границей ЭС?, а через (7 - его замыкание. В каждой точке х е 5(7 может быть определен вектор единичной нормали к поверхности п(х) так, что и(х)- непрерывная функция х. Будем говорить, что поверхность <9(7 бесконтактна для траекторий системы (1.1.1), если для любого х е дС выполнено /*(х)/г(х) Ф 0. Будем также говорить, что бесконтактная поверхность дй пересекается вовнутрь теми траекториями системы (1.1.1), которые ее встречают, если из условия х(^0) ед(/ следует, что х(/)еС при />/0, и наружу, если из условия х(^0)е5С следует, что

х(/)еД" \в при ¿>/0.

Поясним суть принципа тора. В фазовом пространстве системы (1.2.1) строится область, гомеоморфная (;* -1) -мерному тору, положительно инвариантная

для ее решений и не содержащая точек покоя системы (1.2.1). Если траектории, начинающиеся в некотором трансверсальном (бесконтактном) сечении 5 тора, возвращаются в него за конечный промежуток времени, то построенная область содержит замкнутую траекторию системы (1.2.1), являющуюся циклом.

Применение принципа тора позволило последователям К.О. Фридрихса получить условия существования циклов некоторых трехмерных систем [12, 17, 20, 21, 71, 72, 104, 131, 153-155, 157, 161, 176]. Однако следует подчеркнуть, что процедура явного конструирования инвариантного тора даже для системы третьего порядка - трудоемкая процедура, связанная с большим объемом вычислений и требующая достаточно развитого воображения. При этом сложность состоит не только в построении инвариантного тора, но и отыскании достаточных условий для существования сечения, обладающего свойством «трансверсальности».

Как было отмечено во введении, при исследовании структуры глобального аттрактора системы (1.2.1) интерес представляет задача оценки числа циклов и областей их притяжения для изучаемой системы. Следует отметить, что ни один

из методов, упомянутых выше, не позволяет получить оценки числа циклов многомерных систем, а также найти области их притяжения. Существенный прогресс в решении данной задачи стал возможен благодаря появлению обобщенного принципа Пуанкаре-Бендиксона, предложенного P.A. Смитом [167, 168]. Следуя работам [167, 168], сформулируем обобщенный принцип Пуанкаре-Бендиксона для системы (1.2.1).

Пусть выполнены следующие предположения.

Предположение 1.1. Существуют положительные постоянные Я, е, и пе-особая п х п -матрица Н = Н*, имеющая ровно два отрицательных собственных значения, такие, что для произвольных х, и х2 из R" выполнено

{b-xjhtfixj-дх2) + цх1 -х2)]<-б -х212. (1.2.2)

Предположение 1.2. Существует открытое ограниченное множество DcR" такое, что его граница 8D пересекается вовнутрь всеми траекториями системы (1.2.1), которые ее встречают.

Формулируемые ниже утверждения справедливы в предположении, что х = 0 - единственное состояние равновесия системы (1.2.1).

Теорема 1.5 [167]. Пусть выполнено предположение 1.1. Тогда если система (1.1.1) имеет ограниченную полутраекторию Г, для которой 0£со(Г), то й)(Г) состоит из единственной периодической траектории этой системы.

Теорема 1.6 [167]. Пусть выполнены предположения 1.1 и 1.2, причем множество D не содержит точку х = 0. Тогда любая полутраектория системы (1.1.1) в D сходится при t оо к замкнутой траектории этой системы и D содержит по крайней мере одну замкнутую траекторию, которая орбитально устойчива. Если к тому же функция /(х) аналитическая в R" (то есть разлагается в сходящийся ряд по степеням (х-х0) в окрестности любой точки х0 е R"), то D содержит только конечное число замкнутых траекторий, по крайней мере одна из которых орбитально асимптотически устойчива.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Соболева, Дарья Владимировна, 2013 год

Литература

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. - М.: Изд-во АН СССР, 1963.- 140 с.

2. Алиев Ф.А., Бордюг Б.А., Ларин В.Б. Спектральный метод решения матричных алгебраических уравнений Риккати // ДАН СССР. - 1987. - Т. 209. - № 4. - С. 783-787.

3. Альтшуллер Д., Проскурников A.B., Якубович В.А. Частотные критерии дихотомии и абсолютной устойчивости для интегральных уравнений с квадратичными связями, содержащими запаздывания // Докл. РАН. - 2004. - Т. 339. -№ 6. - С. 747-752.

4. Аоки М. Введение в методы оптимизации. - М.: Наука, 1977. - 344 с.

5. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. - М.: Физматлит, 2007. - 280 с.

6. Барабанов А.Е. Факторизация матричных полиномов с ограничением на степени // Автоматика и телемеханика. - 1997. - № 3. - С. 86-100.

7. Баркин А.И., Зеленцовский А.Л., Пакшин П.В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. - М.: Изд-во МАИ, 1992.-304 с.

8. Баутин H.H. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Математический сборник. - 1952. - Т. 30 (72). - С. 181-196.

9. Баутин H.H. Оценка числа алгебраических предельных циклов системы

х - Р{х,^ У - Q{x,y) с алгебраическими правыми частями //Дифференциальные уравнения. - 1980. - ТЛ 6. - № 2. - С. 362.

10. Беля К.К. Нелинейные колебания в системах автоматического регулирования и управления. - М.: Машгиз, 1962. - 263 с.

11. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - Издание третье, испр. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1975. - 768 с.

12. Блинчевский B.C. Существование периодического решения у одной автономной системы дифференциальных уравнений // Математический сборник. -I960. -Т.50 (92). -№1. - С. 117-126.

13. Бондаренко В.А., Пихтарников А.Л., Фрадков A.JI. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного объекта с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 1979. -№12. - С.95-103.

14. Брагин В.О., Нагайцев В.И., Кузнецов Н.В., Леонов Г.А. Алгоритмы поиска скрытых колебаний в нелинейных системах. Проблемы Айзермана, Калмана и цепи Чуа // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2011. - №4. - С. 336.

15. Буркин И.М. О структуре минимального глобального аттрактора многомерных систем с единственным положением равновесия // Дифференциальные уравнения. - 1997.- Т. 33. - №3. - С. 418-420.

16. Буркин И.М. О явлении буферности в многомерных динамических системах // Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т. 38. - №5. - С. 585-595.

17. Буркин И.М., Якубович В.А. Частотные условия существования двух почти периодических решений у нелинейной системы автоматического регулирования // Сибирский математический журнал. - 1975. - Т. XVI. - №5. - С. 916-924.

18. Буркин И.М., Якушин O.A. Колебания с жестким возбуждением и феномен буферности в многомерных моделях регулируемых систем // Известия Тул-ГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2005. - Вып. 1. -С. 24-31.

19. Буркин И.М., Якушин O.A. О многомерном варианте тринадцатой проблемы Смейла // Известия ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2004. - Вып. 1. - С. 12-29.

20. Вайсборд Э.М. О существовании периодического решения и об ограниченности в целом решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка // Изв. вузов. Математика. - 1959. - №4. - С.38-49.

21. Вайсборд Э.М. О существовании периодического решения у нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка // Математический сборник. -1962. - Т.56 (98). - №1. - С.37-42.

22. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления: особые линейные и нелинейные системы. - 2-е изд., перераб. - М.: Энергоиздат, 1981. -303 с.

23. Гайко В.А. Глобальные бифуркации предельных циклов и 16-я проблема Гильберта. - Минск: Университетское, 2002. - 167 с.

24. Гелиг А.Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. - Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1982. - 190 с.

25. Гелиг А.Х., Кузнецов Н.В., Михеева H.H. Устойчивость импульсных систем управления // Тр. 6-го СПб. Симпозиума по теории адаптивных систем. -1999, 7-9 сент. - Т.2. - С. 50-53.

26. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 400 с.

27. Дмитриев Ю.А. Абсолютная устойчивость автоматических систем с одним импульсным регулятором // ДАН СССР. - 1965. - Т. 160. - № 3. - С. 511-514.

28. Дмитриев Ю.А. Частотные условия абсолютной устойчивости импульсных автоматических систем с одним нелинейным блоком // ДАН СССР. - 1965. -Т. 164.-№2.-С. 263-266.

29. Егоров А. И. Уравнения Риккати. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 320 с.

30. Жаботинский A.M. Концентрационные колебания. - М.: Наука, 1974. -179 с.

31. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. - Л.: Судпромгиз, 1959. - 327 с.

32. Ильяшенко Ю.С. Столетняя история 16-й проблемы Гильбер-та//Фундаментальная математика сегодня. - М. НЦМО. 2003. - С. 135-212.

33. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. -М.: Наука, 1976.-650 с.

34. Келдыш М.В. Избранные труды. Механика. - М.: Наука. 1985. - С. 475490.

35. Колебания и бегущие волны в химических системах/Под ред. Р. Филда, М. Бургер. - М.: Мир, 1988. - 720 с.

36. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Явление буферности в резонансных системах нелинейных гиперболических уравнений // Успехи математических наук. - 2000. - Т. 55. - Вып. 2. - С. 95-120.

37. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. - Киев: Наук, думка, 1989. -208 с.

38. Корзухин М. Д., Жаботинский А. М. Математическое моделирование химических и экологических автоколебательных систем. -М.: Наука, 1965.

39. Красносельский A.M. Неограниченные последовательности циклов в автономных системах управления // Автоматика и телемеханика. - 1999. - №8. -С. 74-84.

40. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1966.-331 с.

41. Кривдина JI.H. Синтез цифровых регуляторов на основе линейных матричных неравенств: диссертация кандидата физико-математических наук: 05.13.01 / Кривдина Лариса Николаевна. - Нижний Новгород, 2009. - 109 с.

42. Кучера В. Матричное уравнение Риккати // Экспресс-информация. Техн. киберн,- 1973.-№ 16.

43. Ларин В.Б. Методы решения алгебраических уравнений Риккати // Изв. АН СССР, сер. Техническая кибернетика. - 1983. -№ 2. - С. 186-199.

44. Левит М.В. Частотный критерий абсолютной стохастической устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений Ито // УМН. - 1972. -Т. 27. -№ 4(166). - С. 215-216.

45. Леонов Г.А. Алгоритмы поиска скрытых колебаний в нелинейных системах. Проблемы Айзермана, Калмана и цепи Чуа/ В. О. Брагин [и др.] // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2011. - № 4. - С. 3-36.

46. Леонов Г.А. Второй метод Ляпунова в теории фазовой синхронизации // Прикладная математика и механика. - 1976. - Т. 40. - № 2. - С. 238-244.

47. Леонов Г.А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. - СПб.: Издательство С.-Петербургского университета. 2004. - 144 с.

48. Леонов Г.А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 10. - С. 47-86.

49. Леонов Г.А. Эффективные методы поиска периодических колебаний в динамических системах// Прикладная математика и механика. - Т. 24. - Вып. 10, 2010.-С. 37-73.

50. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний: В 2 ч. 4.1. Многомерные аналоги уравнения Ван-дер-Поля и динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. - СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1992. - 368 с.

51. Леонов Г.А., Нагайцев В.И., Кузнецов Н.В. Алгоритмы локализации аттракторов Чуа на основе метода гармонической линеаризации// ДАН. Математика. - 2010. - Т.433. - №3. - С. 323-326.

52. Леонов Г.А., Селеджи С.М. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике. - СПб.: Невский диалект, 2002. - 112 с.

53. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. - СПб.: Наука, 2000. - 400 с.

54. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем. - СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 2002. - 308 с.

55. Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. - М.: Физматлит, 1962.-483 с.

56. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления.-М.: Мир, 1967.-с. 183.

57. Либерзон М.Р. О некоторых исследованиях по абсолютной устойчивости динамических систем // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 10. - С. 86120.

58. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автомтического регулирования. -Л.; М.: ГИТТЛ, 1951.-218 с.

59. Майгарин Б.Ж., Касимов Е.К. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления // Изв. АН Казахской ССР. Сер. физико-матем. - 1978. - № 3. -С. 42-48.

60. Мамонов С.С. Динамика системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с фильтрами первого порядка. Вестник Новосибирского государственного университета. Сер. Математика, механика, информатика. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2011.-Т. 11, вып. 1.-С. 70-81.

61. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравпений.1 / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 5. - С. 637-646.

62. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений.Н / С.С. Мамонов // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 8. - С. 1075-1084.

63. Мамонов С.С., Ионова И.В. Существование циклов второго рода системы фазовой автоподстройки частоты. Вестник РАЕН. Дифференциальные уравнения. - Москва, 2013. - Т.13-№ 4. - С. 45-50.

64. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления/Под ред. Р. А. Нелепина. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975.-448 с.

65. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.-424 с.

66. Немыцкий В.В. Колебательные режимы многомерных динамических систем // Труды Междунар. симп. по нелинейным колебаниям. - Киев, 1963. - Т. 2. -С. 308-314.

67. Пакшин П.В. Устойчивость одного класса нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. - 1977. - № 4. - С. 27-36.

68. Пакшин П.В., Поздяев В.В. Условия разрешимости системы линейных матричных неравенств второго порядка // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. - №5. - С. 5-14.

69. Пакшин П.В., Угриновский В.А. Стохастические задачи абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 11. - С. 122-159.

70. Петровский И.Г., Ландис Е.М. О числе предельных циклов уравнения

— = —где Q(x,y) - многочлены 2-й степени // Математический

dx Q(x,y)

сборник. - 1955. - Т. 37(79). - № 2. - С. 209-250.

71. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1964. - 367 с.

72. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. - М.: Наука, 1970.-456 с.

73. Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. - М.: Физматгиз, 1960. - с. 792.

74. Проблемы Гильберта/ Под ред. П.С. Александрова. - М.: Наука, 1969. -240 с.

75. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: В 2-х кн. Пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 320 с.

76. Рябов A.B. Робастная стабилизация линейных дискретных систем со статической обратной связью по выходу: диссертация кандидата технических наук: 05.13.01 / Рябов Антон Владимирович. - Нижний Новгород, 2007. - 96 с.

77. Сагитов М.С. Об одной модификации метода Шура решения матричного алгебраического уравнения Риккати // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1992. - Т. 32, № 3. - С. 348-357.

78. Сибирский К. С. Число предельных циклов в окрестности особой точки // Дифференциальные уравнения. - 1965. -№ 1. - С. 36-47.

79. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи математических наук. - 1970. - Т. 25.-№ 1.-С. 113-185.

80. Смейл С. Математическая модель взаимодействия двух клеток, использующая уравнения Тыоринга // Бифуркация рождения цикла и ее приложения. -М.: Мир, 1980.-С. 271-283.

81. Спасский P.A. Инвариантность и абсолютная устойчивость одного класса систем управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2004. - № 5. -С. 5-9.

82. Томберг Э. А., Якубович В. А. Об одной задаче Смейла // Сибирский математический журнал. - 2000. - Т. 41. - № 4. - С. 926-928.

83. Томберг Э. А., Якубович В. А. Условия автоколебаний в нелинейных системах // Сибирский математический журнал. - 1989. - Т. 30. - № 4. - С. 180194.

84. Фомин В.Н. Операторные методы теории линейной фильтрации случайных процессов. - СПб.: Изд-во СПбУ, 1996. - 306 с.

85. Фрадков А. JI. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта // Сибирский математический журнал, - 1976.-Т. 17.-№ 2.-С. 436-445.

86. Фрадков А. Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта// Автоматика и телемеханика. — 1974. — № 12. - С.96-103.

87. Фрадков А.Л. Теоремы двойственности в некоторых выпуклых экстремальных задачах//Сибирский математический журнал. - 1973. - Т. 14. - № 2. -С. 355-383.

88. Фрадков А.Л., Якубович В.А. S-процедура и соотношение двойственности в невыпуклых квадратичного программирования//Вестник Ленинградского университета. - 1973. -№ 1. - С. 71-76.

89. Халил Х.К. Нелинейные системы. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. - 832 с.

90. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978.-720 с.

91. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1955. - 456 с.

92. Численные методы решения алгебраических уравнений Риккати / Ф. А. Алиев, Б. А. Бордюг, В. Б. Ларин. - Киев: ИМ, 1981. - 42 с.

93. Чурилов А.Н. О разрешимости матричных неравенств// Математические заметки. - 1984. - Т. 36. - № 5. - С. 725-732.

94. Чурилов А.Н. О разрешимости некоторых матричных неравенств// Вестник Ленинградского университета. - 1980. - № 7. - С. 51-55.

95. Чурилов А.Н. О решениях квадратичного матричного уравнения, встречающегося при исследовании дискретных систем управления//Известия вузов. Математика. - 1986. ~№ 11. - С. 59-65.

96. Чурилов А.Н. О решениях квадратичного матричного уравнения// Нелинейные колебания и теория управления. Ижевск: Изд-во Удмуртского университета. - 1978. - Вып. 2. - С. 24-33.

97. Чурилов А.Н. Экстремальные решения обобщенных неравенств Лурье// Нелинейные колебания и теория управления. - Устинов: Изд-во Удмуртского университета. - 1985. - С. 11-19.

98. Чурилов А.Н. Об оценках функционала, встречающегося при исследовании дискретных систем управления // Изв. ВУЗов. Математика. - 1984. - № 9. -С. 59-65.

99. Чурилов А.Н., Гессен A.B. Исследование линейных матричных неравенств. Путеводитель по программным пакетам. - СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2004. - 148 с.

100. Шепелявый А.И. Абсолютная неустойчивость нелинейных амплитудно-импульсных систем управления. Частотные критерии // Автоматика и телемеханика. - 1972. - № 6. - С. 49-56.

101. Шепелявый А.И. О качественном исследовании устойчивости в целом и неустойчивости амплитудно-импульсных систем // ДАН СССР. - 1970. - Т. 190. -№5.-С. 1044-1047.

102. Шепелявый А.И. Частотные критерии устойчивости в целом и неустойчивости широтно-импульсных систем управления // Вест. Ленинград, ун-та. Сер. Математика. Механика. Астрономия. - 1972. - Вып. 3. С. 77-85.

103. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 428 с.

104. Широкорад Б.В. О существовании цикла вне условий абсолютной устойчивости трехмерной системы // Автоматика и телемеханика. - 1958. - Т. 19. -№10.

105. Якубович В.А. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления. II. Системы с нестационарными нелинейностями. Круговой критерий. Автоматика и телемеханика. - 1971. - № 6. - С. 25-34.

106. Якубович В.А. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления. I. Общие частотные критерии // Автоматика и телемеханика. - 1970. -№ 12.-С. 5-14.

107. Якубович В.А. Минимизация квадратичных функционалов при квадратичных ограничениях и необходимость частотного условия абсолютной устойчивости нелинейных систем управления // ДАН СССР. - 1973. - Т. 209. - С. 10391042.

108. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // Докл. АН СССР. - 1962. -Т. 143.-№6.-С. 1304-1307.

109. Якубович В.А. Решение одной алгебраической задачи, встречающейся в теории управления // Докл. АН СССР. - 1970. - Т. 193. - №. 1. - С. 57-61.

110. Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сибирский математический журнал. - 1973. - Т. 14. - №2. - С. 384-420.

111. Якубович В.А. Частотные условия автоколебаний в нелинейных системах с одной стационарной нелинейностью // Сибирский математический журнал. - 1973.-Т.14.-№5.-С.1100-1129.

112. Ait Rami M., El Ghaoui L. LMI optimization for nonstandard Riccati equation arising in stochastic control // IEEE Trans. Automat. Control. 1996. V. 41. PP. 1666-1671.

113. Ait Rami M., Zhou X.Y. Linear matrix inequalities, Riccati equations, an indefinite stochastic linear quadratic controls // IEEE Trans. Automat. Control. 2000. V. 45. PP. 1131-1143.

114. Anderson B.D.O., Hitz K.L., Diem N.D. Recursive algorithm for spectral factorization // IEEE Trans, on Autom. Contr. 1974. V. AC-6. PP. 742-750.

115. Andrievsky D.R., Churilov A.N., Fradkov A.L. Feedback Kalman-Yakubovich Lemma and its applications to adaptive control // Proc. 35th IEEE Conf. Dec. Control, Kobe, 11-13 Dec., 1996. PP. 4537-4542.

116. Andronova E.A. Some topological structures of quadratic systems with at least four limit cycles //Amer. Math. Soc. Transl. Vol. 200. (2) 2000. PP. 197-204.

117. Barabanov A.E. Canonical matrix factorization and polynomial Riccati equations // European Journal of Control. 1997. № 1. PP. 47-67.

118. Barabanov N.E. Extension of Yakubovich - Kalman lemma and quadratic stabilization of uncertain systems // Proc. of ECC. 1995. (Roma). V. 2. PP. 1775-1780.

119. Bautin N.N. On the number of limit cycles which appear with the variation of coefficients from equilibrium state of the type focus or center // American Math. Society Translations. № 100 (1954). PP. 1-19; Reprinted in: Stability and Dynamical Systems, American Mathematical Society Translation Series 1, vol. 5 (1962). PP. 396-413.

120. Blows T.R., Lloyd N.G, Kalenge M.C. Some cubic systems with several limit cycles //Nonlinearity. 1988. № 1. PP. 653-659.

121. Blows T.R., Lloyd N.G. The number of limit cycles of certain polynomial differential equations. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. 1984. A 98. PP. 215-239.

122. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E. and Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in control and system theory. Philadelphia.: SIAM, 1994, 193 p.

123. Brocket R.W., Lee H.B, Frequency-domain instability criteria for time-varying and nonlinear systems // Proc. Of the IEEE. 1967. V. 55, № 5. PP. 604-619.

124. Buehler M., Koditschek D., Kindlmann P. Planning and control of robotic juggling and catching tasks // International Journal of Robotics Research 13 (1994), № 2. PP. 101-118.

125. Byrnes C.I. On the Topology of Liapunov Functions for Dissipative Periodic Processes// Emergent Problems in Nonlinear Systems and Control, 2009, pp. 125-139.

126. Chavarriga J., Grau M. Some open Problems Related to 16th Hilbert Problem // Scientific. Ser. A. Math. Sei. 2003. V. 9. PP. 1-26.

127. Chen L., Wang M. The relative position and number of limit cycles of the quadratic differential systems// Scientia Sinica. 1979. V.23. №2. PP. 751-758.

128. Chevallereau C., Abba G., Aoustin Y., Plestan F., Westervelt E. R., Canudas-de-Wit C., Grizzle J. W. Rabbit: A testbed for advanced control theory//IEEE Control Systems Magazine 23 (2003), №5, 57-79.

129. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family//IEEE Trans. Circuits and Syst. CAS-33,1986, pt. 1,2, pp. 1073-1118.

130. Chua's circuit: A paradigm for chaos. Ed. by Madan R.N.- Singapore: World scientific, 1993. 1088 p.

131. Dai, Lo Sheng. On the existence, uniqueness, and global asymptotic stability of the periodic solution of the modified Michaelis Menten mechanism //J. Differential Equations 31 (1979), N 3, pp. 392-417.

132. Efimov D.V., Fradkov A.L. Oscillatority Conditions for Nonlinear Systems with Delay // Proc. IEEE DCD - ECC 2005. Seville, 2005. PP. 6245-6249.

133. Fradkov A.L., Hill D.J. Exponential feedback passivity and stabilizability of nonlinear systems //Automatica. 1998. №6. PP. 697-703.

134. Friedrichs K.O. On nonlinear vibrations of third order // Institute for Math. And Mech. New York Univers. 1946. PP. 65-103.

135. Fuller F.B. Note on trajectories in a solid torus//Ann. of Math. vol. 56 (1952). PP. 438-439.

136. Gassul A., Llibre J. Limit cycles for a class of Abel equations //J. Math. Anal. 1990., №21. PP. 1235-1244.

137. Gassul A., Llibre J. Limit cycles for a class of Abel equations//! Math. Anal. 1990., №21. PP. 1235-1244.

138. Ilyashenko Ju. Jakovenko S. Around Hilbert sixteen problem. Concerning the Hilbert 16th problem. Amer. Math. Soc. Transl. 1995. Series 2. 165. PP. 1-23.

139. Itenberg I., Shustin E. Singular points and limit cycles of planar polynomial vector field. Duke Math. J. 2000. V.102. № 1. PP. 1-37.

140. James E.M., Lloyd N.G. A cubic system with eight small-amplitude limit cycles. Preprint University college of Walls, Abrystwyth, 1990. P.163-171.

141. Laub A.J. Shur method for solving algebraic Riccati equations // IEEE Trans, on Autom. Contr. 1979. V. AC-24. PP. 913-920.

142. Leonov G.A., Burkin I.M., Shepelijavyi A.I. Frequency Methods in Oscillation Theory. Kluwer Academic Publishers. 1996. 404 p.

143. Leonov G.A., Ilyin, L.V., Komarchev I.A. Cycles of two-dimensional quadratic systems. Analytical methods and computer experiments. 1997. 18 p. (Preprint, TR-97-12/ Department of Informatics. Inix. Paris-12).

144. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Vagaitsev V.I. Localization of hidden Chua's attractors// Physics Letters Section A, Vol. 375, Issue 23, 2011. PP. 2230-2233.

145. Levin S. Dispersion and population interactions. The American Naturalist, Vol. 108, №. 960 (Mar. - Apr., 1974). PP. 207-228.

146. Li J. Hilbert's 16th problem and bifurcations of planar polynomial vector fields // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 2003. V. 13, № 1. PP. 47-106.

147. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J.Atmos.Sci., 1963.V.20 PP.65

-75.

148. Mahalanabis A. K., Purkayastha S. Frequency-Domain Criteria for Stability of a Class of Nonlinear Stochastic Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. V. 18, N 3. PP. 266-270.

149. Megretsky A. Necessary and sufficient conditions of stability: A multiloop generalization of the circle criterion // IEEE Trans. Automat. Control. 1993. V. 38, № 5. PP. 753-756.

150. Megretsky A., Khammash M. Lagrange multipliers method in robust control the 1-setting // Proc. of 1994'th Amer. Control Conf., 1994. PP. 3171-3175.

151. Michelsen M. On the eigenvalue-eigenvector method for solution of the stationary matrix Riccati equation // IEEE Trans, on Autom. Contr. 1979. V. AC-24, № 3. PP. 481-488.

152. Morari M. Some control problems in the process industries // In Essays on control: perspectives in the theory and applications. Eds. H.L. Trentelman. J. C., Willems J.C. Progress in System and Control Theory. 1993. V. 14. PP. 55-77.

153. Noldus E. A counterpart of Popov's theorem for the existence of periodic solutions//Int. J. Control. 1971. Vol.13. N4. PP. 705-719.

154. Noldus E. A frequency domain approach to the problem of the existence of periodic motion in autonomous nonlinear feedback systems // Z. Angew. Math, and Mech. 1969. N 3. PP. 167-177.

155. Noldus E. Autonomous periodic motion in nonlinear feedback systems// IEEE Trans. Automat. Control. 1974. Vol. AC-19. N 4. PP. 381-387.

156. Rasvan V. A new dissipativity criterion - towards Yakubovich oscillations // Int. J. of Robust & Nonlinear Control: 2007. Vol. 17, Issue 5-6. PP. 483-495.

157. Rauch L.L. Oscillations of a third order nonlinear autonomous system// Contribution to the theory of non-oscillation. Prinston, 1950. PP. 39-88.

158. Reyn J.A. Bibliography of the Qualitative Theory of Quadratic Systems of Differential Equations in the Plane. Delft: Delft University, 1994. Report №94-02, pp. 320.

159. Rossler O.E. An Equation for Continuous Chaos // Physics Letters. 1976. V.57A.5. PP. 397 -398.

160. Sanchez L.A. The torus principle for three-dimensional analytic autonomous systems having negative divergence// Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, Volume 44, Issue 7,2001, pp. 943-956.

161. Savkin A.V., Petersen I. R. Minimax optimal control of uncertain systems with structured uncertainty // Int. J. of Robust and Nonlinear Control. 1995. V. 5, № 2.PP. 119-138.

162. Savkin A.V., Petersen I. R. Nonlinear versus linear control in the absolute stabilizability of uncertain systems with structured uncertainty // Proc. of 32nd IEEE Conf, on Decision & Control. San-Antonio, 1993. PP. 122-127.

163. Schaal S., Atkeson C. G. Open loop stable control strategies for robot juggling // IEEE International Conference on Robotics and Automation, vol. 3, 1993, pp. 913-918.

164. Schweitzer P.A. Counter examples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations //Ann. Math. 1974. V. 100. PP. 386-400.

165. Shamma J. S. Robust stability of time-varying systems using time- varying quadratic forms // Systems & Control Letters. 1995. V. 24. PP. 13-17.

166. Shi S. A method of constructing cycles without contact around a weak focus// J. Differential Equations. 1981. V. 41. № 3. PP. 301-312.

167. Smith R.A. Orbital stability for ordinary differential equations. // J. Diff. Equations. 1987. Vol.69. №2. PP. 265-287.

168. Smith R.A. The Poincare-Bendixon theorem for certain differential equations of higher order// Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1979. Vol. 83. Sect. A. PP. 153-172.

169. Stan G.-B., Sepulchre, R. Analysis of Interconnected Oscillators by Dissipa-tivity Theory// IEEE Transactions on Automatic Control, 2006, Vol. 52, Issue 2, pp. 256-270.

170. Taga G., Yamaguchi Y., Shimizu H. Self-organized control of bipedal locomotion by neural oscillators in unpredictable environment // Biological Cybernetics 65 (1991), №3, 147-159.

171. Turing A. M. The chemical basis of morphogenesis, Phil. Trans. Roy. Soc., 1925. PP. 37-72.

172. Van der Pol B. Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance. (Reception with reactive triode) // Phil. Mag. 3. 1927. PP. 65-80.

173. Van der Pol B. On relaxation oscillation // Phil, mag., 2. 1926. PP. 978-992.

174. Van der Pol B. Theory of the amplitude of free and forced triode vibration // Radio Rev. Vol. 1. 1920. PP.701-710.

175. Westervelt E. R., Grizzle J. W., Canudas-de-Wit C. Switching and PI control of walking motions of planar biped walkers // IEEE Trans, on Automatic Control 48 (2002), №2, 308-312.

176. Williamson D. Periodic motion in a class of nth-order autonomous differential equations// Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 53, Mar. 1976, pp. 669-679.

177. Wonham W. M. A Liapunov method for the estimation of statistical averages //J. Differential Equations. 1966. V. 2. PP. 365-377.

178. Zavala-Rio A., Brogliato B. On the control of a one degree-of-freedom juggling robot. Dynamics and Control 9 (1999), pp. 67-90.

179. Zoladek H. Quadratic systems with center and their perturbations// J. Differential Equations. 1994. V.109. № 2. PP. 223-273.

180. Zoladek H. Eleven small limit cycles in a cubic vector field//Nonlinearity. 1995. №8. PP. 843-860.