К теории резонанса в системах с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кондрашов, Роман Евгеньевич

• Кондрашов, Роман Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кондрашов, Роман Евгеньевич

Содержание

1 Введение

1.1 Общая характеристика работы

1.2 История вопроса

1.3 Основные результаты

2 Системы с двумя степенями свободы близкие к интегрируемым

2.1 Усредненные системы

2.2 Приведение в резонансном случае

2.2.1 Система первого приближения

2.2.2 Второе приближение

2.2.3 Вспомогательные преобразования

2.3 Модельная система

2.3.1 Состояния равновесия и их бифуркации

2.3.2 Глобальный анализ

2.3.3 Двухпараметрическое семейство

3 Анализ системы двух уравнений Дюффинга - Ван дер Поля

3.1 Автономный случай системы двух уравнений Дюффинга -Ван дер Поля

3.1.1 Решения невозмущенных уравнений. Резонансы

3.1.2 Предельные циклы в несвязанных уравнениях

3.2 Вычисление частично усредненной системы в случае /3=1

3.2.1 Вычисление частично усредненной системы первого приближения

3.2.2 Вычисление частично усредненной системы второго приближения

3.3 Вычисление частично усредненной системы в случае/? = —1 63 3.3.1 Вычисление частично усредненной системы первого

приближения

3.3.2 Вычисление частично усредненной системы второго

приближения

3.4 Исследование частично усредненных систем

3.4.1 Состояния равновесия

3.4.2 Условия существования нетривиальных резонансных структур

3.5 Существование гомоклинических структур

3.6 Численное исследование частично усредненной системы

3.6.1 Исследование в случае (3 = 1

3.6.2 Исследование в случае (3 = —1

4 Глобальное поведение решений

4.1 Ограниченность числа нетривиальных резонансов

4.2 Глобальное поведение решений системы двух уравнений Дюффинга-Ван дер Поля

4.3 Численные результаты

4.3.1 Случай (3 = 1

4.3.2 Случай (3 = -1

Приложение

Случай [3 = 1

Нахождение областей для различных резонансных уровней

Построение решений полностью усредненной системы

Построение решений частично усредненной системы

Случай (3 = -1

Нахождение областей для различных резонансных уровней

Построение решений полностью усредненной системы

Построение решений частично усредненной системы

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К теории резонанса в системах с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым»

Введение

Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, не допускают ни точного аналитического решения, ни полного качественного исследования. Обусловлено это, в первую очередь, их неинтегрируемостью, связанную, в частности, с наличием резонансов и гомоклинических структур. Поэтому важную роль играет рассмотрение классов нелинейных систем, которые малыми возмущениями отличаются от интегрируемых. Подобные системы играют фундаментальную роль в теории нелинейных колебаний. Среди таких систем наиболее изучены квазилинейные системы. Однако, при рассмотрении прикладных задач квазилинейные системы не отражают адекватно исходный процесс или явление. Поэтому необходимо рассматривать системы, близкие к нелинейным интегрируемым. Теория таких систем еще далека от завершения. Наиболее продвинуто исследование систем, близких к двумерным гамильтоновым. Это системы с одной и полутора степенями свободы.

Если говорить о системах с двумя и большим числом степеней свободы, то здесь имеются лишь частные результаты, касающиеся, например, проблемы существования и устойчивости периодических решений. Для систем с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым, в последние годы получены трехмерные усредненные системы, описывающие поведение решений исходных систем в резонансных зонах. Однако до сих пор отсутствуют примеры таких систем, для которых были бы найдены правые части усредненных систем и проведен их анализ. В связи с этим важнейшую роль играет полное исследование эталонных систем. К таким системам следует отнести системы двух слабосвязанных уравнений Дюффинга и маятниковых уравнений.

Представленные в диссертации результаты касаются анализа системы двух уравнений Дюффинга-Ван дер Поля и, в первую очередь, анализа структуры резонансных зон. Подобная система отражает основные черты систем двух связанных нелинейных осцилляторов. Действитель-

но, при отсутствии связи имеем уравнения Дюфинга-Ван дер Поля, в которых могут существовать предельные циклы и сепаратрисные контуры или петли сепаратрис седла. В невозмущенных уравнениях частоты не являются постоянными, что приводит к наличию бесконечного множества резонансов. Кроме этого, решения уравнений Дюффинга не являются гармоническими, а представляются через эллиптические функции (иначе говоря, представляются в виде специальных тригонометрических рядов). Таким образом, при исследовании системы двух слабосвязанных уравнений Дюффинга-Ван дер Поля имеют место те же проблемы, что и для общих систем двух связанных осцилляторов: существование бесконечного множества резонансов, гомоклинических структур, инвариантных торов.

Отметим, что из общих результатов следует возможность существования двумерного инвариантного тора (в четырехмерном фазовом пространстве исходной системы), который будет асимптотически устойчивым, если оба предельных цикла устойчивые.

1.1 Общая характеристика работы

Диссертация состоит из четырех глав, приложения и списка литературы. Список литературы содержит 83 наименований. Имеется 38 иллюстраций. Иллюстрации приводятся по мере их использования в основном тексте. Общий объем работы составляет 110 страниц. Главы разделены на параграфы, параграфы - на пункты.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории динамических систем, в теории колебаний, а также при исследовании конкретных моделей.

Первая глава, является вводной и содержит обзор известных результатов (необходимые сведения, результаты, касающиеся систем размерности четыре и результаты, тесно примыкающие к предмету исследования), а также постановку задачи (исходные уравнения, предмет исследования) и формулировку основных результатов диссертации. Результаты, полученные автором, содержатся во второй, третьей и четвертой главах.

Вторая глава содержит известные результаты по исследованию систем с двумя степенями свободы общего вида. В резонансных случаях приводится трехмерная усредненная система. Однако, до сих пор отсутствуют работы, в которых были найдены правые части этой системы и проведен ее анализ. В связи с этим в этой главе рассматривается модельная трехмерная усредненная система и проводится ее анализ.

В третьей главе рассматривается система двух слабо связанных уравнений Дюффинга - Ван дер Поля (с параметром г, определяющим ма-

лость связи). Для данной системы выводятся трехмерные усредненные системы, для которых проводится аналитическое исследование в двух случаях: 1) у невозмущенных нелинейных уравнений отсутствуют сепаратрисы, 2) у одного из невозмущенных уравнений имеются сепаратрисы. Проводится анализ полученных усредненных систем. Дается определение нетривиальной резонансной структуры. Показано, что резонансные структуры существенно зависят от того, совпадают ли выбранные замкнутые фазовые кривые в невозмущенных осцилляторах с уровнями, порождающими предельные циклы в несвязанных уравнениях. Рассматривается вопрос о существовании гомоклинических структур для случая 2.

В четвертой главе показано, что для системы двух слабо связанных уравнений Дюффинга - Ван дер Поля существует не более, чем конечное множество нетривиальных резонансных структур. В этом случае на плоскости переменных действия (при достаточно малых значениях параметра е) окрестности нетривиальных резонансов не перекрываются. На основании этого устанавливается поведение решений вне области нетривиальных резонансов. В результате получено представление о глобальном поведении решений исходной системы.

Всего по теме диссертации автором опубликовано 9 работ ([36] - [42], [74], [77]) в том числе четыре в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов диссертации. Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с Морозовым А.Д. автору принадлежат доказательства всех основных результатов.

Основные результаты докладывались и обсуждались на Международной конференции И.Г. Петровского в г. Москва (2007г.), Международной конференции Л.С. Понтрягина в г. Москва (2008г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим система в г. Суздаль (2010г.), Десятом всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики в г. Нижний Новгород (2011г.).

Также были сделаны доклады на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа ННГУ им. Н.И. Лобачевского ( руководители - проф. А.Д. Морозов, проф. Л.М.Лерман).

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора А.Д. Морозова, которому автор выражает свою искреннюю признательность за постановку задачи, полезные замечания и постоянное внимание к работе.

1.2 История вопроса

Настоящая работа относится к тому кругу вопросов, который связан с качественным исследованием систем обыкновенных дифференциальных уравнений, близких к нелинейным консервативным интегрируемым. Такие системы играют фундаментальную роль в теории нелинейных колебаний. Основными методами исследования таких систем являются: метод малого параметра Пуанкаре [62], методы определения устойчивости, восходящие к работам Ляпунова [45], и методы усреднения, разработанные Крыловым, Боголюбовым и Митропольским [16], [17], [43].

Эти методы особенно эффективны в квазилинейном случае, когда уравнения движения имеют вид

где х = (#1, ...,хп), А — (п х п) постоянная матрица, £ - малый параметр, Я - периодическая по £ п - мерная вектор - функция. Именно при рассмотрении квазилинейных двумерных систем такого вида Андронову, Витту, Мандельштаму и Папалекси [5] впервые удалось применить математические методы Пуанкаре - Ляпунова и раскрыть их фундаментальное значение в области нелинейных колебаний. Так введенное Андроновым [1] понятие автоколебательной системы как системы, у которой на фазовой плоскости существует предельные циклы Пуанкаре, позволило математически адекватно описать нелинейные процессы в ламповом генераторе и, в частности, "мягкий" и "жесткий" режимы возбуждения колебаний [2] - [4]. Эти же методы были применены для описания явлений резонанса п -го рода [46] и "захватывания" колебаний [6]. Далее методы Пуанкаре - Ляпунова и методы усреднения с успехом были использованы в решении различных задач, описываемых, в частности, квазилинейными системами или так называемыми системами Ляпунова. В достаточной мере эти задачи рассмотрены в книгах Андронова, Витта, Хайкина [2], Боголюбова и Митропольского [18], [50], Малкина [47], Дж. Стокера [65], Каудерера [32], Блехмана [15], Чезари [67], Дж.Хейла [66], Бутенина [12], Моисеева [59], в работах Лоуда и Сефа [80], Страйбла и Йонулиса [64] и многих других.

Рассматриваемые системы удобно записать в виде системы, близкой к нелинейной интегрируемой гамильтоновой

х = Ах + еЩх, £)

(1.2.1)

х =--1- р. f(x. 1/)

(1.2.2)

где х = (xi,..., хп), у = (2/1, ...,уп), или в виде

i = EF1(I,e)=e(fx'e-g'ye)

(9 = w(J) + eF2(J, 0) = w(I) + ei-fx'j + gy'j),

где I = (/i,...,/n), 9 = (0i,...0n) - переменные действие - угол, со = (ui,..., о;п), а вектор - функции i7!, F2 периодические по в с периодом 27г. Исследования данной диссертации посвящены системам с двумя степенями свободы, когда п = 2.

Принципиальный момент в исследовании таких систем связан с наличием резонансов.

Говорят, что в системе (1.2.3) имеет резонанс, если для некоторого I = /о существует такой целочисленный вектор к = кт), что

MJo),fc) = ^iLi^iki = 0, \к\ 0. При этом резонанс в существенно нелинейной системе, когда о; = о;(/), называют нелинейным резонансом.

Изучению резонансных явлений в системах вида (1,2.1), (1.2.3) посвящено большое количество работ, ведущих свое начало от классических исследований Пуанкаре [62], рассмотревшего вопрос о существовании и устойчивости резонансных периодических решений. Это, например, работы Волосова и Моргунова [21], [22], которые дали методику отыскания стационарных резонансных режимов и определения их устойчивости. В [21], [22] содержится также и довольно полный обзор работ, в которых изучались резонансные явления в различных конкретных системах. В случае, когда ш = const вопросы существования и устойчивости стационарных режимов в системах вида (1.2.1) с помощью методов усреднения рассматривались Митропольским и Самойленко [51], Дж.Хейлом [66] и другими.

Наличие нелинейного резонанса в системе приводит к малым знаменателям в рядах теории возмущений и, вообще говоря, к неинтегрируемости системы в любой конечной области изменения I.

Если говорить о резонансах в нелинейных динамических системах, то исторически следует начать с консервативных систем и, в первую очередь, с гамильтоновых систем. Благодаря задачам небесной механики они привлекают внимание математиков на протяжении многих десятков лет. Первые попытки исследования таких систем были предприняты еще Эйлером при рассмотрении движения Луны. Впоследствии наиболее существенные результаты в этой области были получены Пуанкаре [62], [73], а в наше время - Колмогоровым [35], Арнольдом [7], [9] и Мозером [52], [53] (теория KAM). Согласно известному результату о сохранении инвариантных торов, у системы (1.2.3) в консервативном случаеп - мерные инвариантные торы / = const невозмущенной системы, соответствующие множеству, мера которого близка к единице, сохраняются при воз-

мущении. Лишь инвариантные торы, соответствующие дополнительному множеству малой меры разрушаются при возмущении. Этому дополнительному множеству малой меры соответствуют так называемые "зоны неустойчивости", содержащие резонансные уровни. В случае, когда число степеней свободы п > 2, п - мерные инвариантные торы не делят (2п — 1) - мерного пространства и поэтому фазовая точка со временем может проходить между торами и убегать, например на бесконечность (диффузия Арнольда). Оценка скорости убегания фазовой точки получена Нехоро-шевым [61]. Далее, значительное место в исследовании гамильтоновых систем занимали вопросы интегрируемости. Отметим работы Эно и Хей-леса [79], Козлова [33], Чирикова и Заславского [26]. Одним из первых указал на возможность неинтегрируемости гамильтоновых систем Пуанкаре. Основной причиной неинтегрируемости являются резонансы, а также наличие в системе двоякоасимптотических (гомоклинических по терминологии Пуанкаре) решений. Наличие таких решений в системе приводит к сложной картине поведения решений в их окрестности или, как теперь говорят, приводит к нетривиальному гиперболическому множеству, включающему счетное множество седловых периодических движений и континуальное множество устойчивых по Пуассону движений.

Только в последнее время мы стали понимать масштабы и причины трудностей, возникающих при исследовании, казалось бы, простых динамических систем. Одна из основных причин такой сложности - это возможность существования резонансов, а также гомоклинических кривых. Грубо говоря, здесь дело связано с тем, что близкие траектории в окрестности гомоклинической кривой экспоненциально по времени расходятся и, следовательно, движение является локально неустойчивым. Если при этом движение остается финитным, то экспоненциальная локальная неустойчивость приводит к сильному "перемешиванию" траекторий, и система ведет себя так, как будто бы на нее действуют случайные силы. Именно это перемешивание описали теоретически и наблюдали в численных экспериментах Чириков, Заславский и их коллеги при исследовании несложных по виду гамильтоновых систем или сохраняющих площадь отображений [26], [27], [68], [69].

Исследование резонансных структур в системах с 3/2 степенями свободы, близких к нелинейным гамильтоновым, наиболее продвинуто в работах Морозова [57]. Им также намечены основные этапы в исследовании систем с двумя степенями свободы. Особо отметим работы по исследованию вырожденных резонансов.

Следует отметить работы [8], [60], [81], [82], которые касались вопроса о влиянии отдельного резонанса на поведение двухчастотной системы общего вида. Результаты, представленные в [29], [30] и другие, касались

исследования структуры резонансных зон четырехмерных квазигамиль-тоновых систем вдоль выделенной резонансной кривой.

Примером системы с двумя степенями свободы, близкой к нелинейной гамильтоновой, является система Хенона-Хейлеса, возникающая при рассмотрении ряда галактических моделей [79]. Система Хенона-Хейлесса вошла в монографии [26], [44], [34] и учебник [63] как пример, демонстрирующий совместное существование регулярных и нерегулярных движений в гамильтоновой динамике. Неинтегрируемость системы Хенона-Хейлеса в настоящее время доказана теоретически [28]. Система типа Хенона-Хейлеса, рассматривалась в [2-5].

Система, описывающая динамику маятников (часов) на общей опоре, рассматривалась в работе Белыха и его коллег [75]. Следует отметить, что в работах Белыха был разработан метод сравнения двумерных систем для исследования нескольких классов многомерных динамических систем, позволяющий определять глобальное поведение траекторий и бифуркации интегральных многообразий, петель сепаратрис и гомо-клинических траекторий.

Задача, связанная с изучением движения упругой панели под действием осевой нагрузки и потока жидкости, направленного вдоль панели была рассмотрена в работах Холмса. Данные результаты вошли в совместную с Гукенхеймером книгу [24].

Имеются работы, в которых исследуется система двух связанных уравнений Дюффинга-Ван дер Поля (см.,например, [1.1] - [14], [76], [83]). Однако не было работ, которые были бы посвящены исследованию систем двух связанных существенно нелинейных уравнений Дюффинга-Ван дер Поля в резонансных зонах. Как известно, в таких системах существует бесчисленное множество резонансов. При неконсервативных возмущениях периодические решения могут существовать лишь для конечного подмножества резонансов. В этом случае будем говорить о нетривиальных резонансных структурах (или о нетривиальных резонансных зонах).

Список примеров, тесно связанных с приложениями и приводящихся к интересующим нас системам, можно продолжить. Некоторые из них (кроме цитированных выше работ) рассматривались в [25], [31], [55], [78]). Однако не было работ, которые были бы посвящены исследованию систем двух связанных уравнений Дюффинга-Ван дер Поля в резонансных зонах.

1.3 Основные результаты

Перейдем к описанию данной работы по главам.

и

Во второй главе рассматриваются системы с двумя степенями свободы, близкие к нелинейным интегрируемым, следующего вида

Хк + 1к{хк) = £9к{хъ хьх2), к = 1, 2, (1.3.1)

где /к, 9к ~ достаточно гладкие функции своих аргументов в областях из Я1 и Я4 соответственно, £ - малый положительный параметр. Предположим, что хотя бы одна из функций Д нелинейна. Систему (1.3.1) будем рассматривать в некоторой компактной области И = (1\ х с£2 четырехмерного фазового пространства. Здесь (¿к = {(¿г^,^) : ^ < Нк(хк,%к) < Нк(хк,%к) = суть первые интегралы несвязанных осцилляторов (е = 0), причем значениям Кк £ [/г^,/г^] соответствуют замкнутые фазовые кривые, не содержащие состояний равновесия, сепаратрис и параболических траекторий. Систему (1.3.1) в области И удобно записать в переменных действие (/, 7) - угол (в, (р)

3 = едх(р = еГ2(1,^9,<р), в = 1^1(1) — £дхт = (¿1 + гС\(1, 6*, </?), ф = ~ едх3 = ш2 + J, 0,

где <х>1(/), <^2(</) ™ частоты несвязанных осцилляторов, Г2: Сч, -периодические по 0 и (р функции с периодом 2тт.

Основными проблемами в исследовании систем вида (1.3.2) являются резонансы и гомоклинические структуры. Резонансы возникают при выполнении условия соизмеримости частота;!, невозмущенных нелинейных осцилляторов:

т(/) = ^2(/), (1.3.3)

где р,д- взаимно простые целые числа. Данное условие можно записать в следующем виде

ршг{Н 1) = ^2(/^2), (1.3.4)

где /¿1, /¿2 — значения интегралов энергии невозмущенных уравнений.

Условие резонанса (1.3.4) для исходной системы (1.3.1) означает соизмеримость частот условно-периодических движений невозмущенной системы. Резонансами обусловлены существенные особенности поведения многочастотных систем. В частности, неинтегрируемость, а также неприменимость классических асимптотических методов, например, метода усреднения по углам (см. [8]).

Отметим, что при исследовании резонансов в системе (1.3.1) возникают следующие проблемы:

1. вычисление правых частей трехмерных усредненных систем;

(1.3.2)

2. исследование трехмерных усредненных систем на полнотории.

Первая проблема связана с нахождением решений невозмущенных осцилляторов и вычислением интегралов, определяющих усредненные системы. Как известно, если функции fk(xk) в системе (1.3.1) являются полиномами степени 2 или 3, то эти решения выражаются через эллиптические функции. Если же функции fk(xk) полиномы более высокой степени, то при построении решений невозмущенных уравнений возникает нерешенная до настоящего времени проблема обращения абелевых интегралов. Поэтому исследование конкретных систем вида (1.3.1) - сложная задача.

Вторая проблема приводит к исследованию класса трехмерных систем, правые части которых периодические функции по одной из координат. В данной главе рассматривается модельная усредненная система, отражающая свойства общих систем в случае, когда резонансные уровни совпадают с уровнями, в окрестности которых у несвязанных возмущенных уравнений существую предельные циклы. Несмотря на простой вид модельной системы, в ней возможны разнообразные типы аттракторов: состояния равновесия, предельные циклы разных типов, нерегулярные аттракторы.

Рассматривается л/е - окрестность резонансной точки (Ipq, Jpq) (или в других обозначениях - окрестность точки (h\vq, которая принад-

лежит резонансной кривой (1.3.4). Движение системы (1.3.2) в окрестности = {(/, J, в, </?) : 1щ - Cyfe < I < Ipq + Сл/е, Jpq — Сл/s < J < Jpq + су/ё, 0<#<27г,0<(/?<27г} определяется частично усредненной системой (ЧУС). Вводя в системе (1.3.2) в резонансном случае резонансную фазу $ = v — (q/p)ifi и усредняя полученную систему в окрестности точки (Ipq, Jpq) по быстрой переменной <£>, придем в невырожденном случае к трехмерной частично усредненной системе [57].

U'k = Ак(У] Ipq, Jpq) + ß[PkiU! + Р^2], & = 1, 2, ц g ^

v' = biQUi + b20u2 + n\b\\u\ + b2iu\ + Qo(v; Ipq, Jpq)},

где

Лк = 7)- / Fk(Ipq, Jpqi V - Чф/Р, <p)d(p,

Z7TP J0

л2 irp

pki = — / (dFk(Ipq, Jpg, v - qtp/p, (p)/dl)d(p, 'o

27тр

■у г2жр

Pk2= 2wp] ^dFkJpq' V ~ q(p^Pj v)ldJ)diP, k = 1,2, ^ 3 ^

Qo = ö— / v - ¥>)+

¿np Jo

+ qG2{Ipq, Jpq, v - qip/p, (p)/p\d(p,

d^Ipg) qd^2(Jpq)

"штрих" означает производную по "медленному" временит = ßt, ¡1 = Ьц = (d^xCW/d/^J/Ü + l)!, b2j = +

j = 0,1. В силу невырожденности резонанса имеем ¿>10+^20 ^ 0- Фазовым пространством системы (1.3.5) является полноторий D2 х 51 (щ,и2 6

d2 с я2).

Правые части системы (1.3.5) периодические по и с наименьшим периодом 2т:/р [57]. Функции Ak(v; Ipq, Jpq), к = 1, 2, можно представить в виде [57]

Ak(v, Ipq, Jpg) — Ак(у; Ipq, Jpg

) + £*, (1.3.7)

где B\ = Bi(Ipq), B2 = B2(Jpq). Функции B\(I),B2(J) являются порождающими функциями Пуанкаре - Понтрягина для несвязанных, но возмущенных осцилляторов.

При получении усреднённой системы (1.3.5) мы пренебрегли членами 0(ß2), которые зависят как от переменных v, так и от (/?.

Преобразуем систему (1.3.5) к более удобному виду. Сделаем в (1.3.5) замену

и2 = (w- Ьющ - ßQo(v; Ipq, Jpq))/b20 (1.3.8)

и обозначим щ = и. В результате, пренебрегая членами 0(/i2), придем к системе

г/ = w + д[а2о^2 + ао2^2 + ац^тх]

и/ = Jpg) + ß[Ci{v; Ipq, Jpq)u + C2(v; /pg, JpgH (1.3.9)

г/ = Ai(v; Ipq, Jpg) + /л[Сз(г>; Jpg, JPg)u + C4(v, Ipq, Jpq)w],

где

А = b10A! + b20A2,

Ö20 = Ьц + &2Ä/&20> ß02 = W&20> «И = ~2(b2l6lo/^2o)> Ci = 6юРц - (b210/b2Q)P12 + b2QP21 - b10P22, ^ 3

c2 = (610 /620)Pi2 + P22 + Qo, C3 = P\i — biQP\2/b2o, С4 = P\2¡b2^

«20 = öu + 62i&io/Ö205 a02 = WÖ20, а11 = -2(&21&ю/&2о)- Тем самым каждой резонансной точке (/м, JM) на линии (1.3.4) сопоставляется трехмерная усредненная система (1.3.9). Решая систему

Ai{v\Im, Jpq) = 0

A2(v- Ipq, Jpq) = 0 (1.3.11)

PWl{Ipq) + № (Jpq) = 0,

находим, если это возможно, значения v = Vq. I = Ipq, </ = 7pq.

Резонанс, соответствующий точке (/м, JM) резонансной кривой (1.3.4), будем называть:

1. проходимым, если система (1.3.1.1) не имеет вещественных корней, причем \Bk\ > maxv\Ak\ хотя бы для одного значения к;

2. частично проходимым, если система (1.3.11) имеет вещественные корни, причем \Bk\ ф 0 хотя бы для одного значения к;

3. непроходимым, если система (1.3.11) имеет вещественные корни, причем \Bk\ = 0, к = 1, 2.

Как известно, простому устойчивому (неустойчивому) состоянию равновесия системы (1.3.9) соответствует устойчивое (неустойчивое) периодическое резонансное решение исходной системы, а устойчивому (неустойчивому] предельному циклу - двумерный устоичивыи (неустоичивыи) тор.

Система (1.3.9) в общем виде (с учетом в (1.3.9) членов O(ß)) не изучена. Поведение фазовых кривых этой системы может быть достаточно сложным и, возможно, хаотическим. Чтобы прояснить проблемы, возникающие при исследовании системы вида (1.3.9), во второй главе диссертации рассмотрена упрощенная система:

v' = w

w' = pi sin г; +p2 + ßipbW + р&и) (1.3.12)

и' = рз sin v + £>4 + /j(p7W + p8u),

где р/с, к = 1..8 - параметры. Ясно, что один из этих параметров всегда можно исключить. Положим pi = —1. Рассмотрим случай р2 = Ра = О, когда несвязанные осцилляторы имеют предельные циклы для соответствующих значений I = Ipq, J = Jpq (Bi(Ipq) = 0, B2(Jpq) = 0).

Итак, получаем следующую систему

V

w

w' = — sin (г?) + n>{jp§w + pqu) и' = рз sin (v) + ¡J,(P7W +psu).

(1.3.13)

Проводится исследование системы (1.3.13): находятся состояния равновесия и изучаются их бифуркации; решается задача о глобальном поведении решений.

При численном счете, когда /1 - фиксированное число, несмотря на простой вид модельной системы в ней наблюдаются наряду с регулярными аттракторами и нерегулярные аттракторы, а также петли седло -фокуса (аттрактор Шильникова).

Ситема (1.3.13) близка к трехмерной интегрируемой консервативной системе. Сделаем в системе (1.3.13) замену и = г — р$гп. В результате получим систему

v' = w

w' = - sin (v) + ß[(Pb - РзРб)ы + P&z]

z' = р[{РзРь - РзРб + Pi - pm)w + (РзРб + Ps)z]'

(1.3.14)

Тогда невозмущенная система - это уравнение математического маятника v" + sinv = 0. Для этого уравнения стандартным образом можно перейти в колебательной и вращательной областях от переменных (w, v) к переменным действие-угол (Ь,ф). Если записать в новых переменных систему (1.3.14), то придем к системам, у которых две медленных переменные L,z и одна быстрая гр. К таким системам был применен метод усреднения. В результате в колебательной области получаем усредненную систему

L' = 8ß(p5-p3p6)[(k2(L)

KP8+P3Pg)Z,

l)K(*(L)) + E(fc(L))]/Tr

z!

(1.3.15)

а во вращательной области - систему "4(р5 - рзре)

L' = ß

z' = ¡i

ттк(Ь) W»***

, ^(РзРъ ~ РзР8 +Р7- PIP&) k(L)K(k(L))

+ {Р8+РзРб)г

(1.3.16)

где К, Е - полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно, к - их модуль.

Анализ систем (1.3.15) и (1.3.16) позволил провести глобальное исследование системы (1.3.13). Отметим, что каждому нетривиальному простому устойчивому (неустойчивому) состоянию равновесия системы (1.3.15) соответствует устойчивое (неустойчивое) периодическое решение системы (1.3.13).

В третьей главе рассматривается система двух уравнений Дюф-финга - Ван дер Поля, которая принадлежит к классу систем, близких к нелинейным интегрируемым и представляет собой систему двух слабо связанных осцилляторов

х + ах + /Зх3, = e[(pi - х2)х + р2у] g

у + 5у + 7у3 = е[(р3 - у2)у + р4х],

где РъР2)РЗ)Р4 ~ параметры, е - малый положительный параметр, ск, (3 , (5, 7 = ±1. Рассмотрим случаи, когда невозмущенные уравнения имеют ячейку D, заполненную замкнутыми фазовыми кривыми. В результате анализа получаем, что возможны 6 различных случаев, определяемых знаками параметров а, /3, 6,7: 1) (1,1,1,1), 2) (1, —1,1,1), 3) (1,1, —1, 1), 4) (1, -1,1, -1), 5) (-1,1, -1,1), 6) (1, -1, -1,1). Фазовые портреты для этих случаев показаны на рисунке.

Система уравнений (1.3.17) играет фундаментальную роль в теории нелинейных колебаний. Несмотря на это мы до сих пор далеки от понимания того, как ведут себя ее решения. Наиболее продвинуто исследование квазилинейных систем (см., например, [11]). В рассматриваемом случае невозмущенные уравнения нелинейные, и частоты не являются постоянными. Это приводит к наличию бесконечного множества резонансов. Кроме этого решения таких уравнений не являются гармоническими, а представляются через эллиптические функции. При использовании метода усреднения это приводит к значительным трудностям в вычислении

1 2 3 4 5 6

Рис. 1.3.1: Фазовые портреты невозмущенных уравнений в случаях 1-6.

усредненных систем. Наконец, невозмущенные уравнения могут иметь ячейки, заполненные замкнутыми фазовыми кривыми, в границу которых входят сепаратрисы и состояния равновесия типа седло. Для связанных уравнений (е ф 0) указанные факты привели к тому, что до сих пор отсутствует более или менее удовлетворительный глобальный анализ этих уравнений. В связи с этим нами предпринята попытка продвинуть исследование системы (1.3.17).

В диссертации рассмотрены первые два случая: (1,1,1,1) и (1, —1,1,1). Итак, рассмотрим систему

х + х ± х3 = е[(р1 — х2)х + р2у] У + У + у3 = е[(рз - У2)У

3 .г. ______п О1'3'18)

где Р1тР2^РЗ:Ра " параметры, г - малый положительный параметр. В рассматриваемых случаях, соответствующих разным знакам перед х3 в первом уравнении, невозмущенные уравнения имеют ячейку, заполненную замкнутыми фазовыми кривыми. Случай 1 будем соотносить знаку "плюс" в первом уравнении (1.3.18), а случай 2 - знаку "минус").

Основными проблемами в исследовании связанных уравнений (1.3.18) являются резонансы, определяемые в (1,3.4), где и /г2 - значения интегралов энергии

Щ{х, х) = х2 ¡2 + х2/2 ± ж4/4 = Н2(у,у) = у2/2 + у2/2 + уА/4 = Н2

(1.3.19)

уравнений Дюффинга

£ + ж±ж3 = 0, у + у + у3 = 0. (1.3.20)

Здесь (/н, Н2) е Д где Б = Ах х А2, Ах = (0, оо), Д2 = (0, оо) в случае 1 и Ах = (0, 0.25), Д2 = (0, оо) в случае 2.

Условие (1.3.4) определяет на плоскости (/гх,/й2) резонансные кривые. Оказывается, для большинства точек этих кривых структура резонансных зон простая - они являются "проходимыми". Лишь для некоторых точек некоторых резонансных кривых может существовать нетривиальная структура, связанная с существованием резонансных периодических движений. В случае 2 из-за существования невозмущенных сепаратрис возможно появление гомоклинического контура.

Поясним ситуацию с возникновением резонансов на примере случая 1, когда фазовые плоскости уравнений (1.3.20) заполнены замкнутыми фазовыми кривыми. Если взять начальные условия Хо, Хо вблизи уровня энергии Н\(х,х) = /¿хо, а начальные условия для второго осциллятора

вблизи уровня -£/2(1/5 у) = ^20 так) чтобы частоты движения на этих уровнях удовлетворяли условию (1.3.4), то получим резонансную ситуацию. В этом случае мы приходим к исследованию трехмерной системы вида (1.3.9) [57], которую будем называть частично усредненной системой (ЧУС). В случае усреднения в (1.3.2) по обеим угловым координатам полученную усредненную систему будем называть полностью усредненной системой (ПУС).

В силу наличия резонансных структур возникают следующие проблемы, в частности, неинтегрируемость, а также неприменимость классических асимптотических методов - например, метода усреднения по углам (см. [8]). Указанные обстоятельства приводят к необходимости исследования поведения системы (1.3.18) в зоне выделенного резонанса и использования достаточно тонких методов анализа, позволяющих учитывать существенно резонансный характер движения.

Далее отметим, что в [36] была получена усредненная система первого приближения и указана структура системы второго приближения. Отметим, что правые части ЧУС первого и второго приближений получены в виде рядов, коэффициенты которых быстро убывают. При дальнейшем рассмотрении ЧУС в рядах оставим только первую гармонику. Верны следующие теоремы.

Теорема 1.1. В случае 1 прир и q - нечетных правые части частично усредненной системы имеют следующий вид

С3 = с31 sin (pv) + С32, С4 = С41 sin (pv),

где Cij - определенные постоянные, г = 0,1, 2, 3, j = 1, 2,3.

Теорема 1.2. В случае 1 при четных р и/или q имеем A(v\ Ipq, Jpg) = С02 и Ai(г>; Ipq, Jpq) = C04, где C02, Cqa ~ определенные постоянные.

Теорема 1.3. В случае 2 прир и q - нечетных правые части частично усредненной системы имеют следующий вид

А = с01 sin (pv) + с02, Ai = соз sin (pv) + c04, Ci = cu sin (pv) + C12, C2 = C21 sin (pv) + c22,

(1.3.21)

A = coi eos (pv) + c02, Ai = соз eos (pv) + c04, Ci = cn eos (pv) + C12, C2 = C21 eos (pv) + C22, Сз = C31 eos (pv) + c32, C4 = C41 eos (pv),

(1.3.22)

где Cij - определенные постоянные, i = 0,1, 2, 3, j = 1, 2, 3.

Теорема 1.4. В случае 2 при четных р и/или q имеем A(v; Ipq: Jpg) = CQ2 и Ai(v] IPq, Jpq) = Co4, где Cq2, cq4 - определенные постоянные.

В данной главе проводится анализ полученных частично усредненных систем на наличие состояний равновесий и устанавливается их тип.

Определение 1.1. Будем говорить, что имеет место нетривиальная резонансная структура, если усредненная в окрестности резонанса система имеет простые состояния равновесия.

В данной главе получены условия, при выполнении которых возникают нетривиальные резонансные структуры.

Резонансные структуры существенно зависят от того, совпадают ли выбранные замкнутые фазовые кривые в невозмущенных осцилляторах с уровнями, порождающими предельные циклы в несвязанных уравнениях. Решение данного вопроса связанно с понятием "синхронизации колебаний", и которому в прикладных задачах в последние годы уделяется значительное внимание (например, в связи с исследованием нейронных сетей [19]).

В заключении третьей главы рассмотрено однопараметрическое семейство (1.3.18) : в случае 1 зафиксированы параметрыр2 = 0.2, рз = 0.3, £>4 = 0.5; в случая 2 - р2 = 0.2, рз = 1.5, р4 = 0.5. Проводится анализ поведения фазовых кривых частично усредненных систем в зависимости от параметра р\.

В четвертой главе рассматривается задача о глобальном поведении решений системы двух связанных уравнений Дюффинга - Ван дер Поля (1.3.18). Показано, что не для каждой резонансной точки (Ipq, Jpq) в частично усредненной системе (1.3.9) существуют простые состояния равновесия (периодические решения соответствующего периода в исходной системе). Обозначим через Mpq множество пар (р; q), для которых такие состояния равновесия существуют. Справедлива следующая теорема

Теорема 1.5. При условии Bi(Ipq)B2(Jpq) ф 0 множество Mpq не более чем конечно.

Из данной теоремы следует, что при достаточно малых £ > 0 на плоскости переменных действия (/, J) окрестности нетривиальных резо-нансов не пересекаются. По аналогии с 3/2 степенями свободы можно говорить о глобальном поведении решений. Поведение решений системы (1.3.18) в окрестности нерезонансной точки (/о, </о) определяется системой щ = /ii?i(/o), Ù2 = ßB2(Jo) в случае, когда В1В2 ф 0. В связи с

этим динамика системы (1.3.18) вне окрестностей нетривиальных резо-нансов фактически определяется полностью усредненной системой

/ = eSi(J), (1 3 23)

которая получается в результате перехода в системе (1.3.18) к переменным действие-угол и усреднения по двум угловым координатам.

Используя (1.3.23) можно получить представление о глобальном поведении решений исходной системы (1.3.18). При отсутствии нетривиальных резонансов полностью усредненная система описывает эволюцию в исходной системе. Если на плоскости (/, J) выбрать начальные значения вне окрестностей нетривиальных резонансов, то фазовая точка системы (1.3.18) при изменении t будет двигаться так, что переменные (/, J) будут изменяться в соответствии с движением по траектории полностью усредненной системы. Далее, она либо попадает в окрестность нетривиального резонанса, либо не попадает в окрестность такого резонанса и имеет место стремление к состоянию равновесия полностью усредненной системы, или покидает рассматриваемую область. В первом случае фазовая точка либо стремится к устойчивому резонансному периодическому движению, либо проходит эту окрестность и продолжает движение по соответствующей траектории полностью усредненной системы.

В приложении приведены программы, подготовленные с использованием Maple. Для численного анализа исходной и усредненных систем наряду с Maple была использована программа WInSet [58]. Численный счет использовался в первую очередь для иллюстрации полученных теоретических результатов. С использованием пакета Maple были подготовлены программы, которые выполняли следующие функции:

• построение резонансных кривых на плоскости переменных действия;

• нахождение коэффициентов для частично усредненной системы и полностью усредненной системы;

• сохранение найденных коэффициентов частично усредненной системы в специальный файл, необходимый для построения фазовых кривых частично усредненной системы с использованием программы WInSet;

• определение значения дивергенции векторного поля частично усредненной системы и динамики ее изменения;

• определение для частично усредненной системы выполнения условий на параметры, при которых происходят бифуркации состояний равновесия;

• построение области изменения параметров исходной системы, удовлетворяющих условию существования нетривиальных резонансных структур;

• построение траекторий движения полностью усредненной системы на плоскости переменных действия.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кондрашов, Роман Евгеньевич, 2012 год

Литература

Андронов A.A. Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний // Собр. трудов A.A. Андронова. М.: Изд. АН СССР, 1956.

Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний / М.: Физматгиз, 1959; М.: Наука, 1981.

Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем/ - М.: Физматгиз, 1966.

Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости/ - М.: Физматгиз, 1967.

Андронов A.A., Витт A.A., Горелик Г.С., Мандельштам Л.И., Па-палекси С.Э., Хайкин С.Э. Новые исследования нелинейных колебаний. Полное собрание трудов Л.И. Мандельштама, 3, ИЗД-во АН СССР, 1950.

Андронов A.A., Витт A.A. К теории захватывания Ван - дер - Поля, Собрание трудов А.А.Андронов, Изд. АН СССР, 1956, 51-64.

Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН. 1963. Т. 18. №5. С. 13-40.

Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики / Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.З (Итоги науки и техники ВИНИТИ СССР). М.: Наука. 1985.

Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике/В.И.Арнольд//УМН.-1963.-Т.18,вып. 6 (114).-С.81-192.

И

12

13

14

15

16

17

18 19

20

21

Афраймович B.C., Гаврилов H.JL, Лукьянов В.И.. Шильников Л.П. Основные бифуркации динамических систем. Горький: Изд. ГГУ, 1985.

Вутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1976. 384с.

Вутенин Н.В. Элементы теории нелинейных колебаний, Субпром-гиз,1962.

Вутенин Н.В. К теории "резонанса"в механической автоколебательной системе с двумя степенями свободы //ПММ.-1950. - Т.14, вып. 1.

Вутенин Н.В. Механические автоколебательные системы с гироскопическими силами // ПММ. - 1992. - Т.6, вып.5.

Блехман И.И., Синхронизация динамических систем, изд. "Наука М.,1971.

Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1969.

Боголюбов H.H., О некоторых статистических методах в математической физике, Изд-во АН УССР, К. 1945.

Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Метод интегральных многообразий в нелинейных колебаниях. Физматгиз, М.,1958.

Борисюк Г.Н. Осцилляторные нейронные сети. Математические результаты и приложения /Г.Н. Борисюк, P.M. Борисюк, Я.Б. Казано-вич, Т.Б. Лузянина, Т.С. Турова, Г.С. Цымбалюк // Математическое моделирование. - 1992. - Т. 4. - №1. - С. 3-43. 2008,№13, рр790-803.

Волосов В.М., Моргунов Б.И. Методы осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд. МГУ, 1971. 150

Волосов В.М., Моргунов Б.И. Методы расчета стационарных резонансных колебательных и вращательных движений. Журнал вычислит. матем. и метем, физ.8; №2, 1968.

Волосов В.М., Моргунов Б.И. Методы осреднения в теории нелинейных колебательных систем.-Москва, изд-во МГУ, 1971.

[23] Гранштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.,Наука, 1971,1108 с.

[24] Гукенхеймер Дж.,Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва: Изд. 2002.

[25] Драгунов Т.Н., Морозов А.Д. К исследованию систем типа Хенона-Хейлеса // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т.2. № 1. С.43-54.

[26] Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний. // УФН. 1971, Т. 105, Вып. 1, С. 3-39.

[27] Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем / Г.М.Заславский. - М.:Наука,1984.

[28] Зиглин C.JI. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. I // Функц. анализ и его прил. 1982, Т. 16, № 3, с. 30-41.

[29] Карабанов A.A. Частичное усреднение в окрестности резонанса в системах с двумя степенями свободы, близких к интегрируемым га-мильтоновым / Квантовые группы, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Сыктывкар. 1994. С.25-32 (Труды Коми научного центра УрО РАН. №138).

[30] Карабанов A.A. Об ограниченности траекторий одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений / Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Сыктывкар. 1997. С.60-61 (Труды Коми научного центра УрО РАН. №151).

[31] Карабанов A.A., Морозов А.Д. О колебаниях двух синхронных машин, включенных в сеть неизменного напряжения // Прикладные проблемы теории колебаний. Горький: Изд. ГГУ, 1991. С.52-60.

[32] Каудерера Н. Нелинейная механика, изд.И.Л.,М.1961.

[33] Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН. 1983. Т.38. Ш. С.3-67.

[34] Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильто-новой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского университета, 1995. -432 с.

[35] Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т.98. №4. С.527-530.

[36] Кондратов P.E., Морозов А.Д. К исследованию резонансов в системе двух уравнений Дюффинга - Ван дер Поля// Нелинейная динамика, 2010, Т.6, №2, с.241-254.

[37] Кондратов P.E., Морозов А.Д. О глобальном поведении решений системы двух уравнений Дюффинга - Ван дер Поля// Нелинейная динамика, 2011, Т.7, №3, с.437-449.

[38] Кондратов P.E., Королев С.А., МорозовА.Д. К исследованию резонансов в системах с двумя степенями свободы// Межд. конф. И.Г. Петровского "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы".-М.: Сборник тезисов, 2007.-С. 146.

[39] Кондратов P.E. О глобальном поведении решений системы двух уравнений Дюффинга-Ван дер Поля//Труды конф. "Модели, методы и программные средства Н.Новгород, изд-во Нижегородского ун-та, 2007, с. 208.

[40] Кондратов P.E., Морозов А.Д. К исследованию некоторых классов трехмерных систем, возникающих в теории нелинейного резонанса// Межд. конф. JI.C. Понтрягина "Дифф. уравн. и топология".-М.: Тезисы докладов, 2008.-С. 144.

[41] Кондратов P.E., Королев С.А., Морозов А.Д. О неконсервативных системах с двумя степенями свободы, близких к интегрируемым// Тезисы докл. Межд. Конф. по дифф. уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2-7 июля 2010, с. 109.

[42] Кондратов P.E. К исследованию систем двух уравнений Дюффинга Ван дер Поля// Вестник ННГУ им.Н.И. Лобачевского, Т.4 №5. 2011.

[43] Крылов И.М., Боголюбов H.H., Введение в нелинейную механику, Изд-во АН УССР, К., 1937.

[44] Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

[45] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения, Гостезиз-дат, 1950.

[46] Мандельштам Л.И., Папалекси И.Д., О резонансных явлениях при делении частоты. Полн, собр. трудов Л.И.Мандельштама,т.И,изд.АН СССР, 1947, 7-12.

Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. Го-стехиздат, М., 1956.

Медведев B.C. О достаточных условиях отсутствия интегральных циклов у динамических систем на многообразиях / В.С.Медведев // Дифференциальные уравнения. - 1970. -Т.6, вып.З.- С.454-466.

Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях/ В.К. Мельников// Тр. Моск. мат. об-ва, 1963. Т.12. С.3-52.

Митропольский Ю.А., Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний, Изд-во "НаукаМ.,1964.

Митропольский Ю.А., Самойленко A.M., О квазипериодических колебаниях в нелинейных системах, Украинский математич. ж. 24, №2, 1972, 179.

Мозер Ю. Об инвариантных кривых сохраняющего площадь отображения колца в себя / Ю.Мозер // Сб.переводов Математика.-1963.-6:5.-0.51-67.

Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения / Ю.Мозер // УМН. -1968. -Т.23, №4. -С.179-238.

Морозов А.Д. О полном качественном исследовании уравнения Дюффинга // Дифф. уравнения. 1976. Т.12. №2. С.241-255.

Морозов А.Д. К исследованию резонансов в системах нелинейных слабо связанных осцилляторов / Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький: Изд. ГГУ. 1984. С.147-158.

Морозов А.Д. Глобальный анализ в теории нелинейных колебаний. Нижний Новгород: Изд. ННГУ, 1995.

Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах.-Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2005. 420 с.

Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. "Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем".-Москва-Ижевск: Изд-во Инст. компьют.исслед., 2003.-304 с.

[59] Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики, Физ-матгиз,М.,1969.

[60] Нейштадт А.И. О прохождении через резонансы в двухчастотной задаче // ДАН СССР. 1975. Т.221. №2. С.301-304.

[61] Нехорошев H.H. О поведении Гамильтоновыхсистем, близких к интегрируемым, Функц. анализ и его приложения, 5, вып.4, 1971, 82-83.

[62] Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т.1-3. В кн.: Избр. труды. Т.1-2. М.: Наука, 1971, 1972.

[63] Рабиновнич М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

[64] Страбл Р., Йонулис С., Общее возмущенное решение уравнения Дюффинга с гармонической силой, сб.Механика, №4 (86), 1964,3-21.

|65] Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах.Изд.И.Л.,М.1953.

[66] Хейл Дж., Колебания в нелинейных системах, "Мир М.,1966.

|67] Чезари Л. Ассимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений, "Мир М.,1964.

[68] Чириков Б.В. Резонансные процессы в магнитных ловушках /Б.В.Чириков //Атомная энергия.-1959.-Т.6,№ 6.-С.630-638.

[69] Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности /Б.В.Чириков.-Препринт ИЯФ СО АН СССР.-Новосибирск,1969.

[70] Шильников Л.П. "О существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса"/ Л.П. Шильников// ДАН СССР.-1967.-Т.172, No. 1.-С.54-57.

[71] Шильников Л.П. "К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус"/ Л.П. Шильников// Матем. сб.,- 1970.-Т.81, No. 1.-С.92-103.

[72] Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа // Ма-тем. сб. 1967. Т.74. №3. С.378-397.

Birkhoff G.D. Collected Mathematical Papers/ V/2/New York: Amer.Math.Soc., 1950. - 334p.

Dragunov T.N., Kondrashov R.E., Morozov A.D. On visualization of resonance structures in dynamical systems with two degrees of freedom//Proceedings of 3-rd Int. Conf. on Nonlinear Dynamics, 2010, Kharkov, Ukraine, pp.62-66.

Belykh V.N., Pankratova E.V., Chaotic dynamics of two Van der Pol-Duffing oscillators with huygens coupling//Regul. Chaotic Dyn., 2010, vol. 15, No. 2-3,pp. 274-284.

Kuznetsov A.P., Stankevich N.V., Turukina L.V. "Coupled van der Pol-Duffing oscillators: Phase dynamics and structure of synchronization tongues".ScienceDirect, 2009, №14, pp 1203-1215.

Morozov A.D., Kondrashov R.E. On resonances in systems of two weakly connected oscillators// Regul. Chaotic Dyn., 2009, vol. 14, No. 2, pp. 237-247.

Chicone C. Periodic solutions of a system of coupled oscillators near resonance // SIAM Journal of Mathematical analysis, 26(5), 1995. P.1257-1283.

Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion; some numerical experiments // Astr. J. 1964. V.69. P. 73-79.

Loud W.S.,Setha P.R., Some Explicit Estimates for Domains of attaction., J. of Diff.Equations,2,1966,158-172.

Neishtadt A. Averaging, capture into resonances and chaos in nonlinear systems. In: Campbell D.(ed.). CHAOS/XAOC. AIR New York, P.261-275.

Neishtadt A. Scattering by resonances // Celestian Mechanics and Dynamical Astronomy. 1997. V.65. Pp. 1-20.

Rompala K., Rand R., Howland H. Dynamics of tree coupled van der Pole oscillators with application to circadian rhythms// Communications in Nonlinear Sci and Numerical Simulation, 12 (2007), pp. 794-803.