Некоторые классические задачи локальной качественной теории аналитических динамических систем второго ряда тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сагалович, Михаил Ефимович

• Сагалович, Михаил Ефимович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сагалович, Михаил Ефимович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ИЗОЛИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ.

1.1. Процесс приведения. Определение полного набора. Основные свойства полного набора

1.2. Упрощенный процесс приведения и его связь с процессом приведения.

1.3. Построение локальной схемы состояния равновесия системы (А) на основании полного набора и упрощенного полного набора

1.4. Множество всех топологических структур состояния равновесия 0 систем вида (АО

1.5. О классах топологических структур состояния равновесия О семейства систем вида (А)

1.6. О топологических структурах состояния равновесия некоторых классов ( е , h. , р

1.7. Теоремы о всех топологических структурах состояния равновесия О семейства динамических систем вида (А) приm=Z жт-з

Глава 2. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОКАЛЬНОЙ СХЕМЫ ОСОБОЙ ТОЧКИ

ДЛЯ ОДНОГО МАССА ДШЕРЕНЦИАЛЪНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Постановка задачи.

2.2. Исследование вспомогательного уравнения

2.3. Построение помеченного леса.

2.4. Метод решения проблем различения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые классические задачи локальной качественной теории аналитических динамических систем второго ряда»

Настоящая работа посвящена одной из основных проблем локальной качественной теории динамических систем на плоскости - установлению топологической структуры состояния равновесия системы двух вещественных автономных дифференциальных уравнений,,

- V ( ' d-L ) > у - I (ос,? у), где X (X, у) , Т(Х3 у) - непрерывные функции в некоторой области G евклидовой плоскости ( эс,} у - декартовы координаты)-, имеющие, по крайней мере, непрерывные частные производные первого порядка. Постановка проблемы дана в конце введения.

Интерес к динамическим системам на плоскости огромный, так как они хорошо описывают многие задачи физики, механики и техники при естественных упрощающих предположениях (см., например, [I.2-I.6, I.I7-I.2I]). Изучение их необходимо и для перехода к исследованию систем трех, четырех и т.д. автономных дифференциальных уравнений.

В настоящее время существует много работ по качественной теории в п -мерных (банаховых) пространствах, многообразиях [1.5, I.II, 1.15]. Это важные и нужные работы, большинство из которых в первую очередь носят теоретический характер. у кое-кого даже сложилось мнение, что исследования на плоскости уже в основном закончены и получать новые результаты можно достаточно легко. Автор относится к числу тех, кто не разделяет этого мнения и считает, что простота исследований на плоскости является только кажущейся. Первое мнение возникло, по-видимому, потому, что серьезные результаты в этой области получены и прекрасно изложены такими классиками качественной теории, как А.Пуанкаре, А.М.Ляпунов, И.Бендиксон, А.А.Андронов и многими другими первоклассными исследователями, результаты которых изложены, например, в [1.2, 1.3, 1.4, 1.8, I.I2, I.I3, I.I4, I.I8, I.I9, 1.20, I.2I, 1.26, 1.27]. На самом деле существует ряд нерешенных принципиальных классических задач, которые необходимо решать. Так, например, далеко от завершения качественное исследование в целом даже такой с виду "простой? системы, как

X = X, (Хзу) + Хг (Хл У) , у = У, (л, У) + уг(л, У) , где X i, YL - однородные многочлены от х и у степени L , к которой сводится большое число прикладных задач.

Впервые задача качественного исследования динамических систем второго порядка была поставлена основателями качественной теории дифференциальных уравнений А.Пуанкаре и А.М.Ляпуновым. Ими же получены первые глубокие результаты [1.20, I.I8] в этом направлении. Теория динамических систем, намеченная А.Пуанкаре, получила дальнейшее развитие в работах Д.Биркгофа, который заложил основы общей теории динамических систем f1.8] . Позднее многие результаты А.Пуанкаре, касающиеся систем вида (I), были существенно улучшены, обобщены и уточнены И.Бендиксоном [2.66]. Ими были получены общие теоремы о возможных типах траекторий, о характере множества их предельных точек, проведена классификация особых точек, В итоге была, в основном, построена так называемая "теория Пуанкаре - Бендиксона". Работа А.Дж.Шварца [2.77] посвящена распространению этой теории с плоскости на двумерные многообразия. Л.Брауэр [2.67] исследовал систему (I) для случая, когда априори не предполагаются условия, обеспечивающие единственность решения задачи Коши (от функций X(х9 у) , Y(x,y) требуется лишь непрерывность по совокупности переменных х ,у ).

Фундаментальную роль в развитии качественных исследований плоских динамических систем, в известной степени предопределившие характер этого развития, сыграли монографии В.В.Немыцкого и В.В.Степанова [I.I9], А.А.Андронова, А.А.Витта и С.ЭДайкина [I.2J, Э.А.Коддингтона и Н.Левинсона [I.I4], Г.Сансоне и Р.Конти [1.27], С.Лефшеца [I.I7], А.А.Андронова, Е.А.Леонтович, И.И.Гор-дона и А.Г.Майера [1.3, 1.4] , Ф.Хартмана [1.24].

Названные выше труды явились исходным пунктом для огромного количества статей, опубликованных в математических, физических и технических журналах.

Чтобы сформулировать постановки задач, решаемых в данной работе, и выявить природу их возникновения, приведем ряд соображений и результатов, в основном следуя [1.3].

Основной задачей качественной теории дифференциальных уравнений является их разумная классификация. В качестве отношения эквивалентности, лежащего в основе такой классификации, в настоящее время принято отношение топологической эквивалентности. Заметим, что качественная теория дифференциальных уравнений занимается также изучением более тонких свойств интегральных кривых, чем топологические. Однако главной задачей этой теории является установление свойств траекторий, остающихся инвариантными при всевозможных топологических отображениях (гомеоморфизмах) области определения на себе.

Пусть (Ij) и (12) динамические системы вида (I), рассматриваемые в ограниченных плоских областях £гу и Gz соответственно.

Определение I. Будем говорить, что динамические системы (Ij) и (12) имеют в областях и тождественную топологическую структуру, если существует отображение Т области на область Ст2 , удовлетворяющее следующим требованиям:

1) Т есть топологическое отображение;

2) если две точки области ( G-z ) принадлежат одной и той же траектории системы (Xj) (U2))» то их образы при отображении

- -Г- -/

Т (Т ) принадлежат одной и той же траектории системы (12) CCX-j-)).

Отображение Т , удовлетворяющее условиям I), 2), будем называть "отображением, переводящим траектории системы (Ij) в траектории системы (Х2)"» или "отождествляющим отображением".

Определение 2. Траектория L (с ограниченной положительной полутраекторией L +) называется cj - орбитно-устойчивой, если для любой ее точки М и любого е > О существует такое б > о , что у всякой траектории L' , проходящей при t = t через какую-нибудь точкуМ' б - окрестности точки А1 , положительная полутраектория L'+, (соответствующая значениям i > Т ) лежит целиком в € -ок-м / * рестности положительной полутраектории LM .

Совершенно аналогично дается определение об - орбитно-устой-чивой траектории. Положительную (отрицательную) полутраекторию будем называть орбитно-устойчивой, либо орбитно-неустойчивой, если она является, либо не является полутраекторией ОУ (оС) - орбитно-устойчивой траекторией.

Всякую орбитно-неустойчивую полутраекторию, стремящуюся к состоянию равновесия, будем называть сепаратрисой этого состояния равновесия.

Определение 3. Ограниченная траектория называется орбитно-ус-тойчивой, если она и ОХ - и oi -орбитно-устойчива. Траектория, не являющаяся орбитно-устойчивой, называется орбитно-неустойчивой. Будем называть особыми траекториями все ограниченные орбитно-неустойчивые траектории и состояния равновесия, являющиеся орбитно-устойчивыми. Понятие особых траекторий впервые было введено А.А.Андроновым и Л.С.Понтрягиным [2.12]для так называемых "грубых систем". Приведенные выше определения орбитно-устойчивых и неустойчивых траекторий принадлежат Е.А.Леонтович и А.Г.Майеру [2.45] и являются естественным обобщением этих понятий С см. также [1.3, с.284] ).

Для того, чтобы внести точный и конкретный смысл в понятие установления топологической структуры разбиения на траектории, сузим класс рассматриваемых систем дифференциальных уравнений. В дальнейшем, следуя [1.3] , рассматриваются только такие динамические системы вида (I) , у которых во всякой ограниченной части области определения число особых траекторий конечно. Этот случай, являющийся одним из самых простых, интересен и с чисто математической точки зрения и представляет наибольший интерес для приложений.

Е.А.Леонтович и А.Г.Майером [2.45, 2.46, 1.3] показано, что в случае конечного числа особых траекторий топологическая структура разбиения на траектории системы (I) полностью определяется сведениями о числе, характере и взаимном расположении особых траекторий: состояний равновесия, предельных циклов, сепаратрис. Эти сведения могут быть заданы в виде некоторой конечной схемы. Иной подход к выделению особых траекторий и областей, заполненных тра-екториямфзоведение которых в определенном смысле "одинаково", использован в [2.21, 2.22, 2.74] .

Пусть В - внутренняя точка области определения & системы (I). Через К(В,е) обозначим 8 - окрестность точки В .

Определение 4. Динамическая система (I) имеет в точке В локальную топологическую структуру, если существует содержащая точку В область^/ , удовлетворяющая следующему условию: каково бы ни было £ > О , можно найти область LL' и отображение Т области И на LI' такие, что: а) областьW содержит точку В и содержится в К(В;£) ; б) Т отображает траектории в траектории и точку В саму в себя.

Область LL , обладающую указанными в определении свойствами, назовем областью локальной топологической структуры точки В .

У всякой динамической системы (I) в каждой точке, отличной от состояния равновесия, существует локальная топологическая структура и при этом всегда такая же, как и в случае семейства параллельных прямых. Если в точке, являющейся состоянием равновесия, существует локальная топологическая структура, то будем называть ее топологической структурой состояния равновесия.

Пусть Вj и Е> г - точки динамических систем (Ij) и (Ig) соответственно, в которых эти системы имеют локальные топологические структуры. Системы (Ij) и Clg)> а также точки Bi и Вz , могут совпадать.

Определение 5. Будем говорить, что локальные топологические структуры точек Вi и £>z тождественны, если какую-нибудь окрестность точки В у можно отобразить на какую-нибудь окрестность точки Bz , причем так, что переходит в bz и траектории системы (Ij) отображаются в траектории системы (12).

Таким образом, для исследования топологической структуры разбиения на траектории в первую очередь естественно установить топологическую структуру состояний равновесия, так как состояния равновесия играют фундаментальную роль в разбиении на траектории. Кроме того, установление топологической структуры состояния равновесия в ряде вопросов имеет самостоятельный интерес. Необходимо отметить, что задача установления или отсутствия предельных циклов и расположения сепаратрис принципиально более сложная, чем задача установления характера состояний равновесия. В настоящее время не существует общих регулярных методов решения этой задачи и даже сам вопрос о возможном характере таких методов остается неясным (см. [1.3 гл.6, I.I2, 2.60] ).

Возникает естественный вопрос: в чем же конкретно заключается задача установления топологической структуры состояния равновесия? Ниже, не умаляя общности, будем считать, что исследуемое состояние равновесия есть точка 0 = (о,о) .

Точка 0 является для системы (I) точкой покоя типа центр, если через любую точку достаточно малой окрестности точки 0 проходит замкнутая траектория системы, окружающая точку 0 . Если через все точки некоторой окрестности состояния равновесия 0 проходят только положительные (отрицательные) полутраектории, стремящиеся к нему, то такое состояние равновесия называется топологическим узлом.

Теорема I. В классе динамических систем вида (I) с конечным числом особых траекторий имеют место следующие утверждения:

1. Орбитно-устойчивое состояние равновесия 0 является центром. Любые два центра топологически эквивалентны.

2. К орбитно-неустойчивому состоянию равновесия стремится не менее двух траекторий.

3. Любые два топологических узла топологически эквивалентны.

4. Все достаточно малые окрестности данного орбитно-неустой-чивого состояния равновесия 0 системы (I), не являющегося топологическим узлом, состоят из одного и того же конечного числа эллиптических (Е ), гиперболических {Н ) и параболических (Р ) областей, примыкающих последовательно одна к другой.

Первое утверждение этой теоремы следует из теорем 44 и 63 [1.3, с.295 и 361]; второе утверждение - из леммы 5 [1.3, с.285]; третье утверждение - из леммы 3 и теоремы 61 [1.3, с.336 и 355]; и четвертое - из теорем 39 и 56 [1.3, с.275, 313].

Определение 6. Скажем, что дана локальная схема изолированного орбитно-неустойчивого, отличного от топологического узла состояния равновесия 0 системы (I), если указано число различных £- Н~ } Р- областей, примыкающих к состоянию равновесия О , и задан циклический порядок, в котором эти области расположены вокруг точки 0 .

Рассмотрим таблицу

-» г > • ' • > п у tz ъ Z , (х) где каждое cLt принимает одно из значений Е , Н или Р . Таблицы

V /-V /-»✓

0С4 , oCz , .оСп и cCj, сСg , sd назовем инверсными, если оС, = Zn , » ., . Две таблицы вида (55) будем считать тождественными, если одна из них может быть получена из другой либо круговой перестановкой своих элементов, либо переходом к инверсной таблице, либо последовательным выполнением таких операций (ср. [2.15]).

Пусть / > г 3 ' ' ' > ^ п. совокупность всех различных Е, Hj Р - областей состояния равновесия 0 системы (I), пронумерованных в соответствии с их циклическим порядком. Если каждое ьС- принимает одно из своих допустимых значений в соответствии с характером области FLl , то будем говорить, что таблица (ж) описывает локальную схему состояния равновесия о .

Определение 7. Скажем, что локальные схемы двух состояний равновесия тождественны, если тождественны описывающие их таблицы (»).

Теорема 2. В случав конечного числа особых траекторий всякое состояние равновесия системы (I) имеет определенную топологическую структуру (в смысле определения 4). Для того, чтобы топологические структуры двух орбитно-неустойчивых, отличных от топологического узла состояний равновесия системы (I) были тождественны, необходимо и достаточно, чтобы были тождественны их локальные схемы.

Это утверждение следует из теоремы 61 fl.3, с.355].

Таким образом, изучение топологической структуры состояния равновесия, или его локальной схемы, можно считать основной задачей локальной качественной теории динамических систем (I).

А.Пуанкаре [1.20] рассмотрел систему дифференциальных уравнений х=ссх + ёу + <£ (X, у) , (2) у =сх +dy +4/ (я,у), в окрестности особой точки О(о,о) » где А = ad - ёсФО; ЬР могут быть разложены в степенные ряды, начинающиеся с членов не ниже второго порядка. В частности, им было установлено, что топологическая структура особой точки О этой системы определяется линейными членами, за исключением случаям >о и а + d = О О.Перрон [2.75] отказался от предположения, 4TO^!f разлагаются в степенные ряды, рассмотрел систему (2) при условии , r=IJcf +1у! О и получил исключительно интересные результаты. И.Бендиксон [2.66] исследовал систему (2) в случае одного нулевого характеристического корня, т.е. при А~0 и а. + d =р- О Этот же случай для <£ 7 Y , имеющих только непрерывные частные про' изводные, рассмотрен в [2.10]. Существует большое количество работ, развивающих и усиливающих эти результаты (см. [1.26] ).

И.Бендиксон [2.66] изучил поведение интегральных кривых уравнения

3) т. d и л х -—= ах + о и + ¥(х,!/) , dx где/7г , ёф о , имеет тот же смысл, что ив (2).

Уравнение (3) при менее жестких ограничениях на правую часть рассмотрено О.Перроном [2.75] (вместо хп рассматривается функция Y(X) ). Уточнению и усилению этих результатов О.Перрона посвящены работы [2.7, 2.70] •

Для изучения сложных точек покоя системы (I) с аналитическими правыми частями И.Бендиксоном [2.66J был разработан аналитический метод. Этот метод основывается на одном важном общематематическом приеме, называемом разрешением особенностей или раздутием особенностей (см. [1.5] , с.17). Развитию метода Бендиксона посвящены две работы С.Лефшеца [2.71, 2.72] (см. по этому поводу [2.8] и РКМат, 1968, ПБ231). А.А.Шестаков [2.61] исследовал вопрос о распространении метода Бендиксона на многомерные аналитические системы.

М.Фроммер [2.57] предложил новый "прямой геометрический метод" определения качественной картины поведения траекторий аналитической системы (I) в малой окрестности точки покоя (с точностью до различения центра и фокуса). И.С.Куклесом, А.Ф.Андреевым и их учениками [I.I, 2.2-2.4, 2.II, 2.27, 2.28, 2.31-2.33, 2.58] произведено полное обоснование, исправление и развитие метода Фроммера. С помощью метода Фроммера Н.Б.Хаимовым [2.59] и А.Ф.Андреевым [2.1] исследована система (2), имеющая в точке 0 двухкратный нулевой характеристический корень. Аналогичные исследования с помощью метода Бендиксона проведены Н.А.Губарь [2.26] . Обобщение этих результатов на случай не аналитических^ Ч? получено В.А.Богаче-вым [2,18].

Кроме вышеупомянутых классических методов И.Бендиксона и М.Фроммера расщепления сложных точек покоя двумерных аналитических систем дифференциальных уравнений, отметим также аналитический метод А.П.Воробьева [2,20] , обоснование которого дано Э.И. Грудо [2.25], и локальный метод А.Д.Брюно [i.IO], который применим и в многомерном случае.

Рядом авторов исследовалась система дифференциальных уравнений

X = X п fX, У) , (4) у = У) j где , У^ - однородные многочлены по степенигп ъ 1 , не имеющие общих вещественных линейных множителей. Для нее получены условия центра [2.56, 2.68, 2.69], предложены способы построения качественной картины состояния равновесия 0 и всего круга Пуанкаре [2.15, 2.16, 2.62, 2.64, 2.68]. В [2.15] установлены все топологические структуры круга Пуанкаре и даны формулы для подсчета их количества. Аналогичные результаты для тангенциальных структур получены в [2.16]. Геометрическое изображение качественных картин для/7г^З приведено в [2.34 , 2.47 , 2.48 , 2.64] , в которых даны не только топологические и аффинные, но и некоторые метрические инварианты. С помощью теории алгебраических инвариантов систем дифференциальных уравнений при различных группах линейных преобразований фазовой плоскости, развитой в работах К.С.Сибирского и его учеников [1.22], для квадратичных систем получены аффинно-инвари-антные коэффициентные условия различения топологических [2.23] ,

-аффинных [1.22] и геометрических [2.24] (в [2.16] такие структуры называются тангенциальными) структур круга Пуанкаре. В работах [I.I3, 2.50] исследуются однородные дифференциальные уравнения общего вида.

В исследованиях [2.6, 2.19, 2.68, 2.69, 2.73] рассматривается задача установления условий, при которых сохраняется (или изменяется) топологическая или какая-либо иная структура изолированного орбитно-неустойчивого состояния равновесия 0 системы (4) и возмущенной системы у = Ym (х, у) - Я?(х,у) , где Хт , Ym имеют прежний смысл, а функций , Ф определены и непрерывны в некоторой окрестности изолированного состояния равновесия О системы (5) и jP , Ф = 0(Г-пг) при /&/+ / у/ — о . При этом для сохранения топологической структуры состояния равновесия 0 достаточно, чтобы в проблемах различения Фроммера, возникающих для каждого исключительного направления,имела место ситуация a) [I.I9, 2.57]. Специально проблемам различения Фроммера посвящен значительный цикл работ [2.5, 2.6, 2.9, 2.19, 2.29, 2.352.42, 2.51, 2.68, 2.73].

Из всего сказанного следует, что в основной задаче локальной качественной теории динамических систем - задаче изучения топологической структуры состояния равновесия - можно выделить два аспекта.

Первый аспект - установление всех различных (не тождественных) топологических структур состояния равновесия или всех возможных значений некоторых топологических инвариантов этих структур для определенного (сравнительно узкого) класса динамических систем.

Второй аспект - для определенного класса динамических систем построение эффективных методов, позволяющих определять топологическую структуру или некоторые топологические свойства состояния равновесия при заданных конкретных динамических системах из этого класса.

Таким образом, для исследования этих аспектов прежде всего надо сузить класс рассматриваемых динамических систем. Поэтому в настоящей работе будут рассматриваться только аналитические динамические системы, т.е. системы вида ь <*>У) + Хт+<(Л*У) + ■ ■

У =Ym (*,(/) + Y/Tl +, (Л,(/)+. = Y(X,y), где Х(&,у) , Y(X,y) - аналитические функции, т > / , Хк (я, у) , Уд. (ос., у) - однородные многочлены от X и у степени / ; точка О(о7 о) - изолированное орбитно-неустойчивое состояние равновесия, отличное от топологического узла, и

•х> у>+ Yt. °

Остановимся сначала на вопросах, связанных с первым аспектом. Среди них основной является следующая задача.

Задача Z . Для семейства динамических систем вида (А) для данного пь ь / определить множество всех различных (нетождественных) топологических структур состояния равновесия 0 .

Множество всех топологических структур состояния равновесия О семейства динамических систем (А) для каждогот>/ разобьем на классы эквивалентности (т.е.дизъюнктивные подмножества, дающие в сумме исходное множество) ( е, ft, р)т » относя к одному и тому же классу все те топологические структуры, у которых совпадают количества е. - эллиптических, А - гиперболических и р - параболических областей. Тогда с учетом определения 6 задачу % можно разбить на следующие две.

Задача iJ • Для данногогпъ1 определить множество всех не7 пустых классов (e-jh-,p)rn

Задача i,z . Для каждого класса (e,h-Pp)rn , найденного в результате решения задачи , указать все различные (нетождественные) топологические структуры состояния равновесия, принадлежащие этому классу. Другими словами - определить все различные (нетождественные) таблицы вида (х), каждая из которых: I) содержит ровно р символов сС- , имеющих соответственно значенЕЯ Е ,

Н, Р ; 2) описывает локальную схему состояния равновесия О некоторой системы (А) при данном т. .

Для /71 = / задача Z решена полностью, причем различными методами [2.1, 2.26, 2.59]. Для/7г>/ задача £ решена лишь для частных случаев систем вида (I). Так как в аналитическом случае топологическая структура состояния равновесия 0 однородной системы (4) и возмущенной системы (5) тождественны [2.6, 2.58, 2.73] , а задача 1 для системы (4) решена [2.15, 2.64], то, следовательно, решение этой задачи для семейства систем вида (А), у которых Xт , У не имеют общих вещественных линейных множителей, можно считать завершенным. Случай, когда Хт » имеют общие вещественные линейные множители, при очень жестких ограничениях рассмотрен в [2.65J.

В общем случае изучены лишь отдельные локальные топологические свойства. Изложим основные из них.

В классической работе Бендиксона [2.66] показано, что: е* 2 пъР !ъ х< 2т + 2 3 = ^ где j - индекс Пуанкаре состояния равновесия 0 . Неудачная попытка улучшить оценку, полученную Бендиксоном для числа эллиптических областей, была предпринята в работах [2.49, 2.63]. Все же А.Н.Берлинскому [2.13] удалось улучшить на I оценку Бендиксо-на и показать, что дальнейшее улучшение невозможно. Им также были получены оценки: e+fb^ZrrL-i-Z; если е * о, то е+/ъ гтъ и на основании этих результатов определены все классы [2.14]. Кроме того, А.Н.Берлинским [2.17] сформулирован без доказательства результат о возможном чередовании эллиптических и гиперболических областей.

В настоящей работе получен ряд неулучшаемых оценок для числа сепаратрис состояния равновесия, параболических областей и числа всех областей, примыкающих к состоянию равновесия. На основании этих оценок полностью решена задача для всех/7г>/ , т.е. построено множество всех непустых классов (^А,/9^ и Для каждого из этих классов указана конкретная динамическая система вида (А), реализующая этот класс. Для некоторых классов (на наш взгляд наиболее интересных и важных) решена задача . Используя эти результаты, полностью решена задача Z мя/n^Z и tn-З . Для частного случая систем вида (А) (однако, более общего, чем это предполагалось в известных нам работах) получено множество всех локальных топологических структур. Необходимо заметить, что все перечисленные выше результаты А.Н.Берлинского следуют из наших результатов, как частный случай.

В работах [2.13, 2.14, 2.49, 2.66] используется по сути дела один и тот же прием, предложенный Бендиксоном [2.66]. В достаточно малой окрестности особой точки 0 рассматриваются действительные ветви кривых

Х=0, Y = 0J хХ +yY=0P xY-yX-o, X дХ/дх * YdX/dy = 0j X dY/dx * Y dY/dy^o

6)

Существует конечное число этих ветвей и все они пересекаются в точке О , Определяя минимальное число ветвей каждой из кривых, которые пересекают ту или иную (по их положению относительно осей координат) гиперболическую или эллиптическую область и оценивая общее число ветвей, делается вывод о числе эллиптических и (или) гиперболических областей.

В данной работе этот прием также используется, однако носит лишь вспомогательный характер. Это объясняется тем, что в нашем случае задача существенно усложняется, т.к. для определения параболических областей знание только циклической схемы ветвей выписанных выше кривых недостаточно, и, поэтому, требуется более подробный анализ информации о функциях Х(Л,у) и Y(X,y) .В связи с этим в качестве основного аппарата исследования нами выбран метод Фроммера. Необходимо отметить, что в данной работе метод Фроммера является не только аппаратом, но и объектом исследования, и для него автором диссертации получено ряд новых свойств (это отмечено А.Ф.Андреевым во введении к книге [i.l] , посвященной подробному изложению метода Фроммера).

В рамках второго аспекта мы будем решать следующую задачу. Рассмотрим дифференциальное уравнение п dy d jc

7) где п. г / , Y(x, у) - аналитическая функция в некоторой окрестности изолированной орбитно-неустойчивой особой точки Of о, о) .

Из теории нормальных областей Фроммера [I.I9, 2.57], а также из работа [2.58] известны все возможные локальные схемы особой точкиО: НННН, ННРНН, ННРННР, НИ, HHP, НРНР, Р . Ставится следующая задача: построить эффективный метод определения локальной схемы особой точки 0 для каждого конкретного уравнения (7). Для решения этой задачи достаточно решить проблемы различения Фроммера [I.I9, 2.57], возникающие для особой точки 0 . Известно, что метод Фроммера позволяет это сделать. Однако этот метод (применимый и к уравнениям более общего вида, чем (7)) достаточно сложный и вследствие этого не нашел широкого применения в прикладных вопросах.

На основании подготовительной теоремыВейерштрасса [1.9 ] и многоугольника Ньютона [1.25] функция у) представима в виде v) = a„ Л ( у - (*)) £У) , (8) с= 1 где £(х} у) - делитель единицы, т.е. аналитическая функция, у которой £ (о, о) = / , CJ£ (<z) - сходящиеся степенные ряд ы по целым положительным степеням X 19 Л< pt пъ , с действительными или комплексными коэффициентами, 0TL (jc) О при JC-* о .

В дальнейшем считаем, что функция YC&, с/) представлена в виде (8). В этом случае можно избежать сложного метода Фроммера и предложить новый более простой метод, основанный на выявлении глубокой связи между поведением полу траекторий, стремящихся к точке 0 , и структурой рядов (А£ Сх) . Необходимо заметить, что существуют такие уравнения вида (7) (мы их будем называть особыми), которые не могут быть исследованы до конца нашим методом без переразложения функции (8).

Диссертация состоит из введения, двух глав, которые посвящены соответственно первому и второму аспектам основной задачи локальной качественной теории дифференциальных уравнений, и заключения.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Сагалович, Михаил Ефимович

Основные результаты выполненной работы сводятся к следующему.

1. На основании метода Фроммера разработаны процесс приведения и упрощенный процесс приведения, в результате применения которых иоходная система (А) расщепляется на ряд более простых так называемых приведенных уравнений. Получены основные свойства этих процессов.

2. Для семейства динамических систем (А), в процессе приведения которых не встречается особый порядок кривизны, получено множество всех локальных топологических структур.

3. Получены неулучшаемые оценки для числа сепаратрис состояния равновесия, параболических областей и числа всех областей, примыкающих к состоянию равновесия.

4. Дано полное решение задачи X для любого т* / , т.е. построено множество всех непустых классов ( е , р ) , и для каждого из этих классов указана конкретная динамическая система, реализующая этот класс.

5. Получено решение задачи Zz для классов (е , А , р )П1 , у которых е = /, /ъ — 2т. — / и е = 2 , h,=2tп.-2 •

6. При гп =2 и т =«3 получено множество всех локальных тодологических структур для всего семейства систем вида (А).

7. Для уравнения (2.1) построен новый метод определения локальной схемы особой точки 0 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследуется топологическая структура изолированного орбитно-неустойчивого состояния равновесия аналитической динамической системы на плоскости. Изучение структуры состояний равновесия играет фундаментальную роль в определении разбиения на траектории в целом. Кроме того, исследование характера состояний равновесия представляет также большой интерес для широкого круга приложений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сагалович, Михаил Ефимович, 1984 год

1.1. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений.- Минск: Вышэйшая школа, 1979. 136 с.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. 2-е изд. - М.: Физматгиз, 1959. - 916 с.

3. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Маейер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. - 568 с.

4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон М.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. - 487 с.

5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 304 с.

6. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования аналитических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. - 496 с.

7. Берж К.- Теория графов и ее применение. М.: ИЛ, 1962.- 319 с.

8. Биркгоф Дж. Динамические системы. -М.-Л.: Гостехиздат, 1941. 320 с.

9. Бохнер С., Мартин У.Т. Функции многих комплексных переменных. M.s ИЛ, 1951. - 300 с.

10. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. - 254 с.

11. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука,1970. 534 с.

12. Дголак Г. О предельных циклах. М.: Наука, 1980. -156 с.

13. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 2-е изд. - Мн.: Наука и техника, 1972. -663 с.

14. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. - 474 с.

15. Крейн С.Г., Яцкин Н.И. Линейные дифференциальные уравнения на многообразиях. Воронеж: Издательство Воронежского ун-та, 1980. - 131 с.

16. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд. - М.: Наука, 1973. - 399 с.

17. Лефлец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961. - 387 с.

18. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 471 с.

19. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. 2-е изд. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 550 с.

20. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. - 392 с.

21. Рейссинг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974. - 318 с.

22. Сибирский К.С. Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. Кишинев.: Штиница, 1976. - 268 с.

23. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. - 300 с.

24. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1970. 720 с.

25. Чеботарев Н.Г. Многоугольник Ньютона и его роль в современном развитии математики. Собр.соч. - М.: АН СССР, 1950,с.47-80.

26. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. - 477 с.

27. Sansone G., Conti R. Equazioni differenziali non lineari. Roma, 1956. - 352 p.2. С т а т ь и

28. Андреев А.Ф. Исследование поведения интегральных кривых одной системы двух дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Вестник ЛГУ, 1955, № 8, с.48-65.

29. Андреев А.Ф. 0 методе Фроммера исследования особой точки дифференциального уравнения первого порядка. Вестник ЛГУ, 1962, Л I, с.5-21.

30. Андреев А.Ф. 0 числе операций при исследовании особой точки дифференциального уравнения методом Фроммера. Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, № 9, C.II54-II76.

31. Андреев А.Ф. 0 локальной схеме состояния рановесия. -Дифференциальные уравнения, 1970, т.6, № 4, с.676-686.

32. Андреев А.Ф. Усиление одной теоремы единственности О- кривой в N% . ДАН СССР, 1962, т.146, & I, с.9-10.

33. Андреев А.Ф. О проблемах различения Фроммера. Труды четвертого Всесоюзного математического.съезда, 1964, т.2, с.393-401.

34. Андреев А.Ф. Об одной задаче Хартмана-Винтнера. -Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, В I, с.33-40.

35. Андреев А.Ф. Замечание к одной статье С.Лефшеца. -Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, 2, с.199-203.

36. Андреев А.Ф., Кузнецов В.А. Теорема единственности 0-кривой в Nz в условиях типа Осгуда. Дифференциальные уравнения, 1970, т.6, £ 9, с.1708-1712.

37. Андреев А.Ф., Пехенько И.В. О системе с одним нулевым корнем характеристического уравнения. Дифференциальные уравнения, 1977, т.13, № 5, с.944-946.

38. Андреев А.Ф., Степанова Т.В. О числе подстановок Фроммера, достаточных для выявления всех ТО-кривых уравнения Х(х,у) dy = Y(JC. ,у) dх , Дифференциальные уравнения, 1968, т.4, В 9, с.1559-1573.

39. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы. ДАН СССР, 1937, т.14, № 5, с.247-250.

40. Берлинский А.Н. О числе эллиптических областей, примыкающих к особой точке. ДАН СССР, 1967, т.178, В 4, с.759-762.

41. Берлинский А.Н. К вопросу о структуре окрестности особой точки двумерной автономной системы. ДАН СССР, 1969, т.187, В 3, с.502-505.

42. Берлинский А.Н. К топологии семейства интегральных кривых однородного дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения, 1972, т.8, № 3, с.395-405.

43. Берлинский А.Н. О структуре круга Пуанкаре однородного дифференциального уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения, 1977, т.13, В 12, с.2135-2140.

44. Берлинский А.Н. О структуре окрестности особой точки /I системы. - В сб. Функциональный анализ и некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Саранск, 1976, с.100-103.

45. Богачев В.А. Исследование особой точки на плоскости в случае двух нулевых корней. Дифференциальные уравнения, 1971,т.7, J£ 9, с.1560-1567.

46. Виноград Р.Э., Гробман Д.М. К проблемам различения Фроммера. УМН, 1957, т.12, 5(77), с.191-195.

47. Воробьев А.П. Поведение интегральных кривых в окрестности бесконечно удаленной точки. Известия АН БССР, сер. физ.-техн.наук, 1962, № 2, с.20-30.

48. Врублевская И.Н. О геометрической эквивалентности траекторий и полутраекторий динамических систем. Математический сборник, 1957, 42(84), с.361-424.

49. Врублевская И.Н. Некоторые критерии эквивалентности траекторий и полутраекторий динамических систем. ДАН СССР, 1954, т,97, № 2, с.197-200.

50. Вулпе Н.И., Сибирский К.С. Аффинно-инвариантные коэффициентные условия топологического различения квадратичной системы. Математические исследования, Кишинев, 1975, т.10, Н> 3,с.15-28.

51. Вулпе Н.И., Сибирский К.С. Геометрическая классификаций квадратичной дифференциальной системы. Дифференциальные уравнения, 1977, т.13, 5, с.803-814.

52. Грудо Э.И. Обоснование одного метода исследования сложной особой точки автономной системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Известия АН БССР, сер. физ.-матем. наук, 1972, 2, с.23-31.

53. Губарь Н.А. Исследование методом Бендиксона топологической структуры расположения траекторий в окрестности особой точки одной динамической системы. Известия вузов. Радиофизика, 1959, т.2, $ 6, с.931-941.

54. Куклес И.С. О методе Фроммера. Известия АН УзССР, сер. физ.-матем.наук, 1957, № 4, с.32-49.

55. Куклес И.С. О методе Фроммера исследования особой точки. ДАН СССР, 1957, т.117, Jf> 3, с.367-370.

56. Куклес И.С. О первой и второй проблемах различения Фроммера. Известия вузов. Математика, 1959, В 2, c.IOI-117.

57. Куклес И.С. Об условиях единственности для нормальной области второго рода. Труды Самаркандского гос.ун-та им.А.Навои. Новая серия, 1962, в.119, с.71-85.

58. Куклес И.С. О некоторых проблемах качественной теории дифференциальных уравнений. Труды четвертого Всесоюзного математического съезда, 1964, т.2, с.456-467.

59. Куклес И.С., Груз Д.М. О характеристиках, входящих в начало с нулевыми и бесконечными порядками и мерами кривизны. -Известия АН УзССР, сер. физ.-матем.наук, 1958, В I, с.15-27.

60. Куклес И.С., Суяршаев A.M. Обобщенный метод Фроммера. Известия вузов. Математика, I960, # 3, с.173-187.

61. Латипов X.Р. Исследования характеристик одного дифференциального уравнения в целом на всей плоскости. Труды Самаркандского гос.ун-та им,А.Навои. Новая серия, 1962, в.119, с.87-90.

62. Левитин Р.С. К первой проблеме различения Фроммера в случае неединственности. ДАН БССР, 1968, т.12, № 2, с.101-104.

63. Левитин Р.С. Теоремы единственности и неединственности первой проблемы Фроммера для возмущений из класса Осгуда. -ДАН БССР, 1968, т.12, Jfe 3, с.202-204.

64. Левитин Р.С. Теорема единственности первой проблемы различения Фроммера для возмущений из класса Осгуда. ДАН БССР, 1968, т.12, J6 10, с.863-865.

65. Левитин Р.С. Первая проблема различения Фроммера для возмущений из класса Осгуда и Тамаркина. Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, В 7, с.1236-1246.

66. Левитин P.O. К первой проблеме различения Фроммера для возмущений из классов Осгуда и Тамаркина. ДАН БССР, 1970, т.14, № 5, с.402-403.

67. Левитин Р.С. О единственности 0-кривых в нормальной области второгорода. Дифференциальные уравнения, 1973, т.9, № 3, с.437-448.

68. Левитин Р.С., Травницкая И.В. О единственности 0-кри-вых в A/z . ДАН БССР, 1970, т.14, № 2, с.101-104.

69. Левитин Р.С., Сагалович М.Е. О проблемах различения для обобщенного уравнения Брио и Буке. ДАН БССР, 1974, т.18, № 7, с.597-600.

70. Левитин Р.С., Сагалович М.Е. Локальный фазовый портрет обобщенного уравнения Брио и Буке. ДАН БССР, 1974, т.18, J£ II, с.991-994.

71. Леонтович Е.А., Майер А.Г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории. ДАН СССР, 1937, т.14, № 5, с.251-254.

72. Леонтович Е.А., Майер А.Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории. ДАН СССР, 1955,т.103, В 4, с.557-560. к• ах +$хц+сц

73. Лягина Л.С. Интегральные кривые уравненияeXy+fyf УМН, 1951, 6:2(42), с.171-183.

74. Малышев Ю.В. Исследования дифференциальных уравнений, близких к однородным. Вестник МГУ, сер. мат.чмех., 1965, Jfc I,с.15-27.

75. Морозов В.В. О кривых, определяемых дифференциальным уравнением. Труды Казанского института инженеров коммунального строительства, 1936, т.4, с.7-13.

76. Немыцкий В.В., Потлов В.В. Общая теория однородных уравнений с непрерывными правыми частями. Ученые зап. Рязанского пед.ин-та, 1963, т.35, с.162-189.

77. Никоненко В.В. О существовании и единственности 0-кри-вых в нормальных областях. Дифференциальные уравнения, 1972,т.8, № 6, C.II26-II29.

78. Сагалович М.Е. О топологической структуре окрестности особой точки дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения, 1975, т.II, 1 II, с.2011-2018.

79. Сагалович М.Е. Об одном методе решения проблем различения Фроммера. Редкол.ж. "Дифференциальные уравнения", Деп. в ВИНИТИ 6 сентября 1977 г., 3609-77.

80. Сагалович М.Е. О локальной топологической структуре изолированного состояния равновесия. В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький: Горьк.ун-т им.Н.И.Лобачевского,1978, вып.2, с.28-30.

81. Сагалович М.Е. О классах локальных топологических структур состояния равновесия. Дифференциальные уравнения,1979, т.15, № 2, с.360-362.

82. Садовский А.П. Критерий существования центра для системы с однородными правыми частями. ДАН БССР, 1980, т.24, 7, с.585-587.

83. Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер. УМН, 1941, в.9, с.212-250.

84. Хаимов Н.Б. Некоторые теоремы об особых точках первой группы. Уч.зап.физ.-матем.ф-та Сталинобадского педагогического и учительского ин-та, 1952, т.1, с.45-113.

85. Хаимов Н.Б. Исследования уравнения, правая часть которого содержит линейные члены. Уч.зап.физ.-матем.ф-та Сталинобадского педагогического и учительского ин-та, 1952, т.2, № 3, с.3-31.

86. Черкас Л.А. Методы оценки числа предельных циклов автономных систем. Дифференциальные уравнения, 1977, т.13, $ 5, с.779-802.

87. Шестаков А.А. О распространении метода Бендиксона для двумерной системы на многомерные аналитические системы. Дифференциальные уравнения, 1970, т.6, £ 6, с.1708-1712.

88. Шилов Г.Е. Интегральные кривые однородного уравнения первого порядка. УМН, 1950, 5:5(39), с.193-203.

89. Argemi J. Sur le nombre de regions nodales fermees appartenant a un point singulier multiple.- C.R. Acad. Sc. Paris, 1965, t. 260, p. 2397-2398.

90. Argemi J. Sur les points singuliers multiples de2systernes dynamiques dans R . Ann. di Math, pure ed appl. Ser IV, 1968, 79, p. 35-69.

91. Argemi J., Barugola A., Cathala J.C. Etude qualitative d'un systeme dynamique dans le voisinage d'un point singulier non elementaire. Abh. Akad. Wiss. DDR, 1977, №3, p. 41-53.

92. Bendixson I. Sur les courbes definies par des equations differentielles. Acta Math., 1901, 24, p. 1-88.

93. Brouwer L. On continuous vector distributions, I, II, and III. Verh.Nederl; Acad. Wetersch. Afd. Natuurk., Sec. 1,1909, №11, p. 850-858; 1910,-U°12, p. 716-734; 1910, №13, p. 171-186.

94. Forster H. Uber das Verhalten der Intergalkurven einer gewohnlichen Differentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung eines singularen Punktes.- Math. Zeitschr., 1938, 43, S. 271-320.

95. Frommer M. Uber das Auftreten von Wirbeln und Strudeln in der Umgebung rationalen Unbestimmtheitsstellen. Math. Ann., 1934, vol. 109, № 3, p. 395-424.

96. Hartman P., Winter A. On the asymptotic behavior of the solutions of a nonlinear differential equations. Amer. J. Math., 1946, vol. 68, №2, p. 301-308.

97. Lefschetz S. On a theorem of Bendixson. Boletin de la Sociedad Mathematica Mexicana, 1956, vol. 1, segunda serie, 1T°1, p. 13-27.

98. Lefschetz S. On a theorem of Bendixson. J. of Differential Equat., 1968, 4, №1, p. 66-1 ОСЬ.

99. Lonn E.R. Uber singulare Punkte gewohnlicher Differentialgleichungen. Math. Zeitschr., 1939, 44, S. 507-530.

100. Perron 0. Uber die Gestalt der Integralkurven einer Differentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung eines singularen Punktes. Math. Zeitschr., 1922, 15, S. 121-146; 1923, 16, S. 273-295.

101. Schwartz A.I. A generalization of a Poincare-Bendixson theorem to closed two-dimentional manifolds.- Amer. J. Math., 1963, 85, p. 453-458.