Исследование различных типов внутренних гравитационных колебаний и волн в ионосфере методами нелинейной динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.29, кандидат физико-математических наук Тюнина, Светлана Геннадьевна

• Тюнина, Светлана Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тюнина, Светлана Геннадьевна

Введение.

Глава I. Основные уравнения, методы и их приложения к исследованию различных типов внутренних гравитационных колебаний и волн методами нелинейной динамики

§1.1 Внутренние гравитационные колебания и волны в ионосфере.

§ 1.2 Обобщённое уравнение КП.

§1.3 Методы качественного исследования нелинейных динамических систем.

Глава II. Анализ решений обобщённых уравнений КП - класса

§ 2.1 Исследование динамической системы, соответствующей обобщённому уравнению КП

2.1.1 Классификация четырёхмерных состояний равновесия.

2.1.2 Преобразования.

§2.2 Структура нелинейных волн и солитонов в средах со слабой дисперсией с учётом высшей дисперсионной поправки.

§2.3 Существование решений, соответствующих шумоподобным колебаниям. Классификация решений обобщённого уравнения КП по типу фазовых траекторий

2.3.1 Случай диссипации и неустойчивости.

2.3.2 Классификация решений.

Глава III. Исследование структуры и динамики внутренних гравитационных колебаний и волн в ионосфере

§3.1 Структура нелинейных ВГВ и солитонов в ионосфере без учёта диссипации и неустойчивости.

§3.2 Характеристики временных рядов скорости ветра в ионосфере.

3.2.1 Экспериментальные данные.

3.2.2 Характеристики временных рядов скорости западного и северного ветра.

§3.3 Динамика показателя Хёрста.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование различных типов внутренних гравитационных колебаний и волн в ионосфере методами нелинейной динамики»

В диссертационной работе методами нелинейной динамики исследуются внутренние гравитационные волны (ВГВ) и гравитационные шумоподобные колебания.

Актуальность темы исследований

Динамика ионосферы в целом определяется совокупностью всех движений в их нелинейном взаимодействии. Изменчивость параметров ионосферы и волновода Земля - ионосфера, существенно зависят от волновых возмущений на ионосферных высотах. В частности, на метеорных высотах (80-110км) выделяют как линейные, так и нелинейные движения. Поле скоростей ветра принято раскладывать в ряд на простые гармонические колебания, составляющими которого являются гравитационные волны разных периодов. К линейным и квазилинейным волнам относят преобладающий ветер, приливы, линейные ВГВ. В данном случае под гравитационными волнами понимают распространяющиеся во времени колебания внутри атмосферы, обусловленные гравитационными полями Земли и Луны. Причиной начального возмущения также является резкое изменение основных характеристик атмосферы (плотность, температура, давление, состав и движение), вызванное увеличением солнечной активности, неоднородностью подстилающей поверхности или движением солнечного терминатора. При возникновении ВГВ атмосфера, находящаяся в поле тяжести, выводится из равновесного состояния и возникают колебания плотности, давления, температуры и скорости воздуха. ВГВ имеют широкий спектр периодов (от 10 минут до 24 часов) и длин волн (от 100м до 1000 км) [1]. Менее изучены нелинейные движения, такие как нелинейные ВГВ, турбулентность и гравитационные шумоподобные колебания, представляющие собой детерминированный хаос гравитационной природы.

В большинстве случаев нельзя ограничиваться рассмотрением только линейных гравитационных волн. Наиболее адекватное описание волновых и хаотических процессов достигается учётом всех возможных особенностей среды. Математически это выражается введением соответствующих поправок в волновое уравнение. Так, например, диссипативные процессы связаны с вязкостью и теплопроводностью воздуха, они приводят к уменьшению амплитуды возмущения. Нелинейность обусловлена зависимостью поведения волнового пакета от его амплитуды, она усиливает диссипацию волновых пакетов, генерируя гармоники с большими волновыми числами. Дисперсия выражает зависимость групповой скорости от волнового числа и препятствует опрокидыванию волны. Кроме того, на движение нейтрального газа в атмосфере оказывают влияние силы теплового происхождения, приводящие к неустойчивости среды. В случае взаимного компенсирующего действия указанных процессов, образуется стационарная бегущая волна - солитон. Типичными нелинейными волновыми уравнениями, имеющими солитонные решения, являются уравнения Кортевега де Вриза, Кадомцева - Петвиашвили, Шрёдингера и sin - Гордона. Нелинейные уравнения обычно имеют несколько качественно отличающихся друг от друга решений. В случае учёта поправок, включающих производные высокого порядка, мы получим многомерные нелинейные динамические системы. Такие системы при определённых условиях имеют интересные решения в виде апериодических шумоподобных колебаний, напоминающих случайный процесс. До открытия явления детерминированного (динамического) хаоса считалось, что шумоподобные колебания обусловлены флуктуациями, погрешностями измерительной аппаратуры и другими случайными внешними факторами. Оказалось, они вызваны динамикой самой системы. В фазовом пространстве детерминированному хаосу соответствует хаотический (или странный) аттрактор.

Объективная необходимость исследования внутренних гравитационных волн и шумоподобных колебаний в метеорной зоне обусловлена множеством различных задач, касающихся изучения волновых!, возмущений в ионосфере. Состояние ионосферы во многом определяется динамическими процессами, происходящими в нейтральном газе. Теоретической моделью исследуемых процессов служит обобщённое уравнение КП-класса (Кадомцева-Петвиашвили) с произвольным показателем нелинейности для скорости нейтральной компоненты газа в атмосфере, имеющее решения, в частности, в виде нелинейных ВГВ и решения, соответствующие сложной динамике и хаосу.

Особый интерес представляют шумоподобные колебания как незатухающие апериодические колебания, напоминающие случайный процесс. Шумоподобные колебания в настоящее время считаются нормой динамического поведения нелинейных физических систем, в отличие от шума как помехи в информационной передаче.

В последние годы значительное число работ посвящено исследованию и прогнозированию временных радов с использованием теории динамических систем. Временной ряд значений скорости ветра характеризует движение (процесс) в ионосфере, после соответствующей обработки можно с большой точностью произвести оценку будущего значения временного ряда, что важно для решения задач, связанных с исследованиями динамики ионосферы. В связи с этим значительный интерес представляет определение характеристик временных рядов скорости ветра: показателя Хёрста, автокорреляционной функции, корреляционной размерности.

Цель диссертационной работы

Классификация четырёхмерных состояний равновесия обобщенного уравнения КП, моделирующего различные типы внутренних колебаний и волн. Получение важных физически значимых решений обобщённого уравнения КП, описывающего динамику нелинейных волновых возмущений в ионосфере, построение фазовых портретов, классификация решений обобщённого уравнения КП. Обнаружение шумоподобных колебаний (динамического хаоса) среди решений обобщённого уравнения КП. Выявление динамического хаоса во временных радах скорости ветра.

Поставленная цель включает решение следующих задач: исследование методами нелинейной динамики временных рядов горизонтальной скорости ветра в ионосфере, определение характеристик временных рядов скорости ветра: показателя Хёрста, автокорреляционной функции, корреляционной размерности, фазовой траектории. Построение графика значений горизонтальной скорости ветра в западном направлении с линией тренда, графиков динамики показателя Хёрста для северного и западного ветра. Построение графика зависимости отношения нелинейного коэффициента к коэффициенту дисперсии от высоты однородной атмосферы.

Методы исследования

Решение поставленных задач базируется на методах нелинейной динамики. Во II главе получение результатов обусловлено как широким применением методов качественного анализа, так и разработкой нового методического приёма - разделений на блоки четырёхмерных нелинейных систем - к изучению модели нелинейных волн. В III главе при обработке временных рядов использовался метод нормированного размаха или метод Хёрста. Корреляционная размерность определяется методом расчёта корреляционного интеграла.

Достоверность полученных результатов обусловлена использованием точных математических методов анализа решений обобщённого уравнения КП и соответствующих этим решениям фазовых траекторий. Используются надёжные методы нелинейной динамики. Существование решений обобщённого уравнения КП, соответствующих сложной динамике и хаосу, хорошо согласуется с фактом существования динамического хаоса в экспериментальных данных.

Основные положения, выносимые на защиту

1 .Классификация четырёхмерных состояний равновесия обобщённого уравнения Кадомцева — Петвиашвили, моделирующего различные типы внутренних колебаний и волн.

2.Фазовые портреты для ряда физически актуальных частных случаев уравнения КН. Эффективность способа изображения многомерных фазовых портретов исследуемого уравнения в проекциях на взаимно перпендикулярные плоскости.

3.Классификация решений обобщённого уравнения КП по типу соответствующих им фазовых траекторий. Новые, ранее неизвестные, типы решений этого уравнения.

4.Существование решений обобщённого уравнения КП, соответствующих детерминированному хаосу (шумоподобным колебаниям).

5.Наличие детерминированного хаоса во временных рядах скорости ветра в нижней ионосфере.

Научная новизна

Впервые показано, что обобщённое уравнение КП, описывающее динамику нелинейных волновых возмущений в ионосфере, имеет решения, соответствующие динамическому хаосу. Предложен новый способ построения многомерных фазовых портретов (в проекциях) и впервые построены четырёхмерные фазовые портреты для частных случаев обобщённого уравнения КП. Установлено соответствие ряда четырёхмерных фазовых траекторий конкретным типам нелинейных волн, таким как кноидальные волны, солитоны с гладкими и осциллирующими "хвостами". Построена классификация четырёхмерных состояний равновесия уравнений класса Кадомцева — Петвиашвили (КП). Впервые составлена классификация решений обобщённого уравнения КП по типу фазовых траекторий. Новым результатом является также вычисление важнейших характеристик временных рядов скорости ветра: корреляционной размерности, автокорреляционной функции. Рассчитан показатель Хёрста для ряда случаев северного и западного ветра. Результаты проведённых исследований важны для понимания сложной динамики волновых возмущений в ионосфере. Именно методы нелинейной динамики, позволяющие определить важнейшие характеристики временного ряда скорости ветра, позволяют прогнозировать будущие значения и динамику временного ряда.

Применение изложенных методов исследования обобщённого уравнения КП окажется эффективным при решении широкого круга задач. Например, при изучении решений и интерпретации многомерных фазовых портретов более сложных неодномерных модельных уравнений.

В целях исследования решений обобщённого уравнения КП автором предложен новый способ изображения многомерных фазовых портретов в проекциях на взаимно перпендикулярные плоскости, составлена классификация четырёхмерных состояний равновесия, по аналогии с известной классификацией трёхмерных сос тояний равновесия.

Построены четыре четырёхмерных; (в проекциях) фазовых портрета для частных случаев обобщённого1 уравнения КП, при значениях коэффициентов /7 = 1,2 , ц = 5 = 0,у > 0,/? = 0,±Г. Для трёхмерного случая, выявлены типы особых'точек; Обобщение для произвольных коэффициентов и расчёт асимптотик выполнены совместно с В;Ю; Белашовым.,

Показано, что обобщённое уравнение КП в случае учёта диссипации и неустойчивости? имеет решения, соответствующие сложной динамике и хаосу. Составлена классификация решений обобщённого уравнения: КП по типу; фазовой траектории. ,

В п.3.2 и п.3.3 автором исследованы временные ряды, предоставленные Р. А. Ишмуратовым. Автору принадлежит, также исследование детерминированного хаоса во временных рядах скорости ветра для нижней ионосферы. Вычислены важнейшие характеристики временных рядов скорости?ветра: корреляционная размерность, автокорреляционная- функция: и показатели Хёрста для: разных. месяцев. Для расчёта характеристик временных рядов использована программа FRACTAN 4.4 [2]. Построены графики; отражающие динамику показателя Хёрста. Структура и содержание работы

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения, приложения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Тюнина, Светлана Геннадьевна

Основные выводы диссертации:

1.Построена классификация четырёхмерных состояний равновесия уравнений класса Кадомцева — Петвиашвили (КП).

2.Построены фазовые портреты для ряда физически актуальных частных случаев уравнения КП. Предложен способ изображения многомерных фазовых портретов в проекциях на взаимно перпендикулярные плоскости. Применение методов качественного и асимптотического анализа позволило расширить и углубить существовавшие представления о структуре нелинейных волн в средах со слабой дисперсией.

3.Составлена классификация решений обобщённого уравнения КП по типу соответствующих им фазовых траекторий.

4.Показано, что обобщённое уравнение КП имеет решения, соответствующие детерминированному хаосу (шумоподобным колебаниям).

5.Исследован динамический (детерминированный) хаос во временных рядах скорости западного и северного ветров в метеорной зоне D - слоя ионосферы. Вычислены стохастические характеристики временных рядов скорости ветра, такие как показатель Хёрста, корреляционная размерность, автокорреляционная функция. Построены графики изменения показателя Хёрста для западного и северного ветра. Анализ результатов позволяет делать выводы о структуре системы уравнений, описывающей внутренние гравитационные шумоподобные колебания. Соответствующая система уравнений относится к классу нелинейных диссипативных динамических систем с фазовым пространством размерностью п>3.

Представленные в диссертационной работе исследования могли бы быть продолжены обработкой большего массива измерений скорости ветра, за несколько лет. В частности, представляет интерес динамика показателя Хёрста за летний период. Желательно проведение более детальных расчётов стохастических характеристик временных рядов скорости ветра. Важно построение аттрактора динамической системы, соответствующей обобщённому уравнению КП (случай диссипации и неустойчивости).

Дальнейшее рассмотрение данной темы позволит значительно улучшить наше понимание механизмов динамики внутренних гравитационных колебаний и волн.

Благодарности

Автор выражает искреннюю глубокую благодарность научному руководителю проф. И. А. Молоткову за ценные советы, помощь в организационных вопросах и моральную поддержку.

Автор также благодарит О.Б.Новик, Г.В.Гивишвили, Н.И.Манаенкову, Д.Р.Шкляр, А.Н.Фахрутдинову за полезные дискуссии, сделанные замечания и рекомендации.

Основные обозначения

КП - Кадомцева-Петвиашвили (уравнение) л - коэффициент диссипации

8 - коэффициент неустойчивости

Р - коэффициент дисперсии у - коэффициент дисперсии высшего порядка р - показатель нелинейности

ВГВ - внутренние гравитационные волны

V - скорость волны h - высота однородной нейтральной атмосферы

Н - показатель Хёрста

D - корреляционная размерность

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тюнина, Светлана Геннадьевна, 2008 год

1. Каримов К. А., Лукьянов А.Е. Выделение внутренних гравитационныхволн в верхней атмосфере // Взаимодействие метеорного вещества с атмосферой Земли. Отв. ред. А. Р. Рыскулов. Фрунзе, 1978, С.25-39

2. Сычёв В. FRACTAN 4.4. http://impb.psn.rU/~sychyov/fractan/fi:actan.zip

3. Кузнецов С. П. Динамический хаос. М., 2001. -296 с.

4. Дробжев В.И., Ляджин В.А., Сомсиков В.М., Ташенов Б. Т., Курмангалиев Д. А. Лидарные исследования волновых возмущений в атмосфере, генерируемых солнечным терминатором // Оптика атмосферы. 1988.-1, №8-С. 105-110.

5. Серебренников М.Г., Первозванский А.А. Выявление скрытыхпериодичностей М.: Наука, 1965. 167 с.

6. Сидоров В.В., Фахрутдинова А.Н., Макаров В.А. Движения на метеорныхвысотах в интервале масштабов 1-7 час // Метеорное распространение радиоволн, вып. XVI. Казань, 1980, С.56-62 Э.Пинус Н.Э., Шметер СМ. Аэрология. JL: Гидромет., 1965. часть II. 351 с.

7. Гавршов Н.М., Калъченко Б.В., Кащеев Б.Л., Швед Г.М. Обнаружение связи интенсивности внутренних гравитационных волн в верхней атмосфере с фазой прилива // Изв. АН СССР Физика атмосферы и океана. -1981.-Т. 17, №7 -с.680-689.

8. И.Хайнс К.О. Атмосферные гравитационные волны // Термосферная циркуляция.-М.: Мир, 1975.-е. 85-99.

9. Белашов В.Ю. Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн на высотах F- области ионосферы // Геомагнетизм и аэрономия. 1990. Т. 30. №4. С. 637-641.

10. Lorenz Е. N. Deterministic Nonperiodic Flow// Journal of the Atmospheric Sciences 1963, v.20, №1-3, p. 130- 141

11. Клшюнтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса: Новый подход к статистической теории открытых систем. М.: Комкнига, 2007.328 с.

12. Дробжев В.И., Куделин Г.М., Нургожин Б.И. и др. Волновыевозмущения в атмосфере. Алма Ата, АН Казах.ССР, 1975. -178 с.

13. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.-319 с.

14. Сагдеев Р. 3. Коллективные процессы и ударные войны в разреженной плазме//Вопросы теории плазмы. — М.: Атомиздат, 1964, вып. 4, С. 20-80

15. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединённых вволн в слабо диспергирующих средах // ДАН СССР. 1970. Т. 192, №4. С. 753756.

16. Петвиашвили В. И. Об уравнении необыкновенного солитона//Физика плазмы, 1976, Т. 2, вып. 3, С.469-472.

17. Горшков К. А., Папко В. В. Динамические и стохастические колебания решёток солитонов//ЖЭТФ, 1977, 73, С. 178-187.

18. Абрамян Л. А., Степанянц Ю. А. О структуре двумерных солитонов в средах с аномально малой дисперсией // ЖЭТФ. 1985. Т. 88. Вып.5. С. 1616-1621.

19. Петвиашвили В.И., Похотелов О. А. Уединённые волны в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 200 с.

20. Белашов В.Ю. Уравнение КП и его обобщения. Теория, приложения. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 162 с.

21. Белашов В.Ю. О численных методах решения эволюционных уравнений типа уравнения Кадомцева Петвиашвили. Магадан: ИКИР ДВО АН СССР, 1989.-21 с.

22. Белашов В.Ю., Карпман В.И. Численное исследование динамики неодномерных солитонов в слабо диспергирующих средах.-М.: ИЗМИРАН, 1990.-24 с. Препринт №43(928)

23. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.- 175 с.

24. Захаров В. Е. , Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортвега де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система.// Функциональный анализ и его приложения. 1971, Т.5, №4. С. 18-27.

25. Тюнина С.Г. Постановка задачи и методика качественного исследования обобщённых уравнений КдВ и КП //Идеи, гипотезы, поиск Сб. эссе поматериалам III научной конф. аспирантов МПУ.- Магадан: Изд.МПУ, Вып.Ш, ч.4. 1996.-34с.

26. Белашов В.Ю., Тюнина С.Г. Качественный анализ и асимптотики решений обобщённых уравнений КдВ-класса // Изв.ВУЗов. Радиофизика.- 1997. Т. XL, № 1. - С. 328-344.

27. Тюнина С. Г. К исследованию обобщённого уравнения КП-класса, описывающего нелинейные волны в ионосфере // Северо-Восток России: Расшир. тез. докл. регион, науч. конф. Магадан, 1998. - Т. 2. - С. 220.

28. Тюнина С.Г. Классификация состояний равновесия обобщённого четырёхмерного волнового уравнения.// Региональная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по физике. Владивосток: Изд. Дальневост. ун-та. 2003. - С. 22.

29. Тюнина С.Г. Методы анализа решений обобщённых уравнений КП-класса.: Метод, пособ. Магадан: Изд. СМУ, 2005. - 36 с.

30. Андронов A. A., Bumrn А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Наука, 1981.-568 с.

31. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984. -176 с.

32. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1990. -488 с.

33. Эрроусмит Д. К., Плейс К. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986.-243 с.

34. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн.-М.:Наука, 1984.-432 с.

35. Справочник по физическим параметрам атмосферы. Гидромет., JL, 1970.-с.106

36. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. М.: УРСС, 2006.

37. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. -М.: Наука, 1997. 255 с.

38. Дмитриев А. С., Кислое В. Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.- 277 с.

39. Вельский Ю. Л., Дмитриев А. С. Передача информации с помощью детерминированного хаоса//Радиотехника и электроника. Т. 38, вып. № 7. 1993, С.1310-1315.

40. Емец С. В., Старков С. О. Цифровые методы генерации и передачи информации при использовании хаоса// Радиотехника и электроника. Т. 45, №4.-2000, С. 462-470.

41. Беляев Н. В. Физическая модель генератора хаоса с нелинейным элементом и управляемой нелинейностью// Естественные и техническиенауки, № 2, 2008, С. 47-54

42. Беляев Н. В., Маэ/ашк А. П. Генератор хаотических колебаний. Решение о выдаче патента; заявка № 2006113576/22(014868). Приоритет от 21.04.2006

43. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику: учебное руководство. М.: Наука, 1990 - 272 с.

44. ЪЪ. Дмитриев А. С. Детерминированный хаос и информационные технологии "Компьютерра" № 47, 1998.

45. Ватолин Д. Применение фракталов в машинной графике.// Computerworld-Россия. 1995. № 15.

46. Тюнина С. Г., Тюнин О.Н. Метод оценки периодических зависимостей в дискретных измерениях// Северо-Восток России: Расшир. тез. докл. регион, науч. конф. Магадан: 1998. Т. 1. С. 284

47. Пиковский А. С., Рабинович М. И. О странных аттракторах в физике// Нелинейные волны. М., 1979. - С. 176-191.

48. Паркер Т. С., Чжуа JI. О. Введение в теорию хаотических систем для инженеров// Труды Института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. Т. 75, № 8. М: Мир, 1987. - С. 6-40.

49. Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И. Динамический хаос и структуры // ФИЗИКА: интеграция науки и техники. М.:3нание, 1988. -С.З - 19

50. Статистические свойства интернет трафика. http://www.chem.msu.ru/ms/vmgu/032

51. Тюнина С. Г., Ишмуратов Р. А. Исследование динамического хаоса во временных рядах скорости ветра для нижней ионосферы.//Естественные и технические науки, № 1,2008, С. 226-234

52. Каримов К. А., Лукьянов А.Е. Статистические характеристики ВГВ вметеорной зоне. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1979. Т. 15, №8, С.877 880.

53. Дробжев В.И. Экспериментальные доказательства теории внутренних гравитационных волн. В кн. Волновые возмущения в атмосфере. Алма — Ата, АН Казах.ССР, 1980, С.33-47.

54. Казимировский Э. С., Кокоуров В.Д. Движения в ионосфере. Новосибирск: Наука, 1979.- 344 с.