Динамика неодномерных нелинейных волн в диспергирующих средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Белашов, Василий Юрьевич

• Белашов, Василий Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Белашов, Василий Юрьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ

В ДЛИННОВОЛНОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

§ 1. Уравнение КП и его обобщение

§ 2. Уравнение З-БМ^

Глава 2. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННЫХ

УРАВНЕНИЙ КЛАССА КП И УРАВНЕНИЯ З-ОЖ^Б

§ 1. Устойчивость решений уравнения ОКП

§ 2. Устойчивость решений уравнения З-ОМ^

Глава 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ И КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ

РЕШЕНИЙ

§ 1. Основные уравнения. Постановка задачи

§ 2. Качественный анализ и асимптотики решений

§ 3. Заключительные замечания

Глава 4. ИДЕОЛОГИЯ И РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ

ПОДХОДОВ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ УРАВНЕНИЙ

КЛАССОВ КП И З-БМ^

§ 1. Семейства явных и неявных разностных схем

1.1. Явные схемы

1.2. Неявные схемы

§ 2. Замечания о граничных условиях и

дифракционном члене уравнений

§3. Динамические спектральные методы

§ 4. Сравнительные характеристики и возможности

использования схем в численном моделировании

Глава 5. ДИНАМИКА ДВУМЕРНЫХ СОЛИТОНОВ В

ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

§ 1. Структура двумерных решений обобщенных

уравнений КП-класса

§ 2. Взаимодействие двумерных солитонов

§ 3. Влияние диссипации на эволюцию двумерных

солитонов

§ 4. Эволюция двумерных солитонов в диспергирующих средах со стохастическими флуктуациями волнового поля

4.1. Вводные замечания

4.2. Общий подход

4.3. Динамика солитонов уравнения КП

4.4. Численные результаты

§ 5. Структура и эволюция двумерных солитонов

в средах с переменной дисперсией

Глава 6. ЭВОЛЮЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН

В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

§ 1. Структура и эволюция трехмерных решений

уравнения ОКП

§ 2. Структура и эволюция трехмерных решений

уравнения 3-DNLS

§ 3. Влияние диссипации на эволюцию трехмерных

нелинейных волн

Глава 7. ПРИЛОЖЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

§ 1. Нелинейные ионно-звуковые волны в плазме

с учетом релятивистских эффектов

1.1. Нерелятивистское приближение

1.2. Слаборелятивисткие эффекты

§ 2. Нелинейные эффекты при распространении

БМЗ волн (замагниченная плазма)

§ 3. Динамика уединенных нелинейных ВГВ

на высотах F-области ионосферы

3.1. Двумерные солитоны ВГВ и перемещающиеся ионосферные возмущения электронной концентрации

3.2. Генерация солитонов ВГВ фронтами солнечного терминатора и солнечного

затмения

3.3. Генерация солитонов ВГВ сейсмическими источниками

§ 4. Динамика двумерных солитонов на поверхности

«мелкой» жидкости

4.1. Структура и эволюция двумерных солитонов гравитационных и гравитационно-капиллярных волн при изменяющемся рельефе дна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приложение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика неодномерных нелинейных волн в диспергирующих средах»

ВВЕДЕНИЕ

В последние три десятилетия в различных областях физики активно развивается новое направление - исследование нелинейных явлений и процессов, при этом переход от линейности к нелинейности есть вполне закономерный этап в развитии любого раздела физики, обусловленный необходимостью учета все более тонких деталей наблюдаемых явлений.

В системах, описываемых волновыми уравнениями, нелинейность, т.е. зависимость поведения волнового пакета от его амплитуды, генерируя гармоники с большими волновыми числами, усиливает диссипацию волновых пакетов. Если при этом в системе имеется дисперсия, определяемая как зависимость групповой скорости от волнового числа, то она, перемешивая фазы, подавляет этот процесс. В результате при равных затратах энергии уровень колебаний в диспергирующей среде значительно выше, чем в недиспергирующей. При этом на некоторых ветвях колебаний между нелинейными и дисперсионными эффектами может устанавливаться равновесие и возникают нелинейные волны и солитоны [1-4]. Под солитонами обычно понимают локализованные в пространстве стационарные (локально), устойчивые во взаимодействиях образования [5]. Они представляют собой фундаментальные структуры нелинейных волновых процессов с дисперсией и играют важную роль в широком спектре областей, относящихся к физике сплошных сред.

Разнообразие процессов, которые необходимо принимать во внимание при теоретическом изучении явлений в физических средах с дисперсией, приводит к тому, что даже гидродинамические модели в достаточно полной формулировке описываются сложными системами нелинейных уравнений в частных производных. В этом плане решающее влияние на развитие теории нелинейных волн оказала идея Кортевега и де Вриза, суть которой

состоит в возможности значительного упрощения исходных уравнений без потери основных особенностей описываемых ими явлений - путем сохранения нелинейных и дисперсионных членов с одинаковой степенью точности. При этом часто оказывается, что одни и те же уравнения описывают явления различной физической природы в самых разнообразных средах, где имеет место дисперсия.

Впервые такое упрощенное (модельное) уравнение для волн на "мелкой" воде, д(и + а идхи + Рдхи = 0, было получено Кортевегом и де Вризом в 1895 г. [6], однако сам термин "солитон" был введен лишь в 1965 г. американскими теоретиками Н.Забуски и М.Крускалом [1], которые показали, что уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ) обладает "скрытно линейными свойствами": допускает решения в виде стационарных уединенных волн -солитонов. Позже оказалось, что уравнение КдВ описывает широкий класс одномерных нелинейных физических систем с "действительной" дис-

л л

Персией, когда ю « с0кх(1 + 3 кх ) (со -фазовая скорость колебаний при | кх | —у 0, 5 - "длина" дисперсии), и помимо гидродинамики встречается в

физике плазмы, магнитогидродинамике (см., например, работы [2,3] и цитированную там литературу), теории решеток [7] и т.д., в этом смысле оно является универсальным. Если средам присущи вязкость и теплопроводность, то дисперсия является "мнимой" [о « с()кх (1 - ыкх / с0 )] и подход, предложенный Кортевегом и де Вризом, приводит к уравнению Бюргерса

-л

[8] д{и + а идхи = удхи = 0, решения которого хорошо описывают такие нестационарные процессы, как, например, образование ударных волн.

В физике плазмы, аэро- и гидродинамике несомненный интерес представляет волновая динамика неодномерных систем с нелинейностью гидродинамического типа, в которых могут существовать устойчивые стацио-

нарные структуры в виде неодномерных солитонов. Системы такого вида описываются классом уравнений

д^ + а идхи + рдхи = Ш, (В.1)

где и = функция, определяющая волновое поле; 9? = "¡К [и] - не-

который линейный функционал и. Вид правой части уравнения (В.1) определяется волновыми свойствами среды и знаком дисперсии. Например, звуковые волны в плазме со слабой дисперсией, когда волновые числа гармоник, образующих пакет, малы и удовлетворяют неравенствам

£8«1, к\»к\, (В.2) а соотношение дисперсии в линейном приближении имеет вид

ъ*с0кх[\ + к112к2х+Ь2к1), (В.З) описываются уравнением вида (В.1) с = кУ^, дхч? - V :

а, (д{у+с0 дхг - с0 5 2а> + гудху) = ±(Со / 2) д±У. (в.4)

Уравнение вида (В.4) было впервые получено в 1970 г. в работе [9] как

л

двумерное обобщение уравнения КдВ (А± = ду ) и названо по имени авторов уравнением Кадомцева-Петвиашвили (КП), позднее оно было обобще-

2 2

но на трехмерный случай (А± = ду +д2 ). Для ионного звука, например,

1 /О "*) О

когда V имеет смысл ионной скорости, Со=с5=(Тв/М) , 8 =Те/8%е п0 (М- масса иона, щ - невозмущенная электронная плотность), в правой части уравнения (В.4) стоит знак плюс (в ряде случаев для других мод дисперсия может быть положительной), такой тип волн в основном характерен для изотропных сред, но он иногда встречается и в анизотропных средах. Так, если характеристические частоты ионно-звукового волнового пакета

много больше ионной циклотронной частоты о т, то анизотропией можно пренебречь [3], если же со « шЯг, то такое пренебрежение становится недопустимым. При этом в правой части исходного уравнения движения (см. главу 1) появляется дополнительный член соЯг[ г (/ - орт оси х), а знак

второго члена в дисперсионном уравнении (В.З) меняется на минус. В этом случае тоже будем иметь уравнение класса (В.1), но с Л = к Д± дхи, известное как уравнение Захарова - Кузнецова [10].

В замагниченной плазме с >>&жпТ в области частот со«соя/ возбуждаются быстрые магнитозвуковые (БМЗ) волны, для которых, с учетом с{) = уа = Я0(4%пМ) 1/2, закон дисперсии также сводится к соотношению (В.З) и уравнение для безразмерной амплитуды поля Н = / Н0 -магнитное поле волны) также может быть записано в форме уравнения (В.4), которое после перехода в систему координат, движущуюся вдоль оси х с альфвеновской скоростью уа , примет вид [3,11]

х

д^г + \уа бш0 НдхИ- уа 8 2дхк = А±Л сЬс , (В.5)

—00

где 0 - угол между магнитным полем Н0 и кх, а

2

62= "

2ю0г.

' 2л ^

соге —

V М)

(В.6)

здесь т - масса электрона.

Для гравитационно-капиллярных волн на мелкой воде также будет справедливо уравнение вида (В.1) с = -(с0 / 2)У_1и'; а = Зс0/2Я;

Р = - с05 , где с0 = ^Н) (Н - глубина жидкости):

За Л

НА

(В.7)

а - коэффициент поверхностного натяжения; р - плотность жидкости. Обобщая уравнения (В.4), (В.5), с учетом перехода в (В.4) в систему координат, движущуюся вдоль оси х со скоростью Со, запишем уравнение КП в стандартной форме:

дх(д{и + аидхи + $дх3г^ - кА±и, (В.8)

при этом знак отношения Р / к будет определять вид дисперсии. Как видим, уравнение КП (В.8) обладает той же степенью универсальности, что и уравнение КдВ, т.е. справедливо для тех физических систем, в которых закон дисперсии в линейном приближении определяется соотношением (В.З).

Трудность аналитического решения таких задач состоит в необходимости выбора эффективной последовательности приемов при построении приближенных решений нелинейных систем, асимптотических по малому параметру. Применение метода теории возмущений сильно затруднено в неодномерном случае, так как при этом вследствие нелинейных резонан-сов, неустойчивостей, накапливающихся эффектов увеличиваются возможности возникновения сингулярностей в системе [12], что проявляется уже и в одномерных системах. Открытие Гарднером, Грином, Крускалом и Миу-рой в 1967 г. метода обратной задачи рассеяния (ОЗР) для уравнения КдВ [13] и последующее развитие этих идей (здесь особо отметим ставшую уже классической статью В.Е.Захарова и Л.Д.Фаддеева [14], а также работы [4,15-17], в которых рассматриваются неодномерные обобщения метода ОЗР) привело к бурному развитию теории нелинейных волн. В частности,

л

была доказана полная интегрируемость уравнения КП (В.8) при А± = ду [18,19], с помощью "метода одевания" [4,19,20] построено для р/к > 0 его точное двумерное солитонное решение (впервые найденное В.И.Петвиа-

швили численно в работе [21]), которое при а = -6, р = -1, к = -3 имеет вид

u(t,x,

2

Впт = Ьпт(х - КУ -\п- + (1 - ъпт)-, (В.9)

V ' V — V

уп ш

Ък+1=Ъ1*> п,т = 1,...,2К; 1 = 1,...,К

( уп , определяют амплитуды, фазы, векторы скорости и другие параметры солитонов), и найдены инварианты [4]

3] = Дм скс1у, 32 = Р = Ци2с£)сс1у,

З3 =Ж= \\}±$(дхи)2+\км>2-иъ (Лхйу, дхм> = дуи (В. 10)

связан с дивергентностью уравнения КП; 32 является следствием его трансляционной инвариантности и играет роль импульса Р, гамильтониан Ж имеет смысл энергии).

Значительный прогресс был достигнут и для ряда других точно интегрируемых моделей. В контексте рассматриваемой в диссертации проблематики наибольший интерес среди них представляет нелинейное нестационарное уравнение Шредингера с производной нелинейного члена -уравнение ЬБЖ^1 [22, 23]

idth + ¿у5х(| h |2/jj + kd2xh = 0, (В. 11)

которое описывает в области частот © « эволюцию нелинейных альфвеновских волн конечной амплитуды, распространяющихся в замаг-

1 В работе [23], где это уравнение изучалось в одномерном приближении, оно было названо "derivative nonlinear Schrodinger equation" - уравнение DNLS, этим обозначением, как уже устоявшимся в мировой литературе, с указанием пространственной размерности задачи мы и будем пользоваться в дальнейшем.

ниченнои плазме вдоль силовых линии магнитного поля с отношением кил

нетического давления к магнитному р = 4шТ / В . Здесь безразмерная функция к (х, ?) = {Ву + гВ2) / 2В011 - р [ описывает волну правой круговой поляризации, когда А, = 1, Во определяется из соотношения В0=В0х,

5 = (1 - р). Замена к' = -як* при смене знака дисперсии на обратный (X = -1) позволяет перейти к левополяризованной волне. Отметим, что уравнение (В. 11) получено из полной системы уравнений одножидкостной магнитной гидродинамики путем перехода в них к безразмерным переменным £ -»/ 2, х -» л: / гА, г± —> г±л/2 / гА, гА =уа /в системе координат, перемещающейся в положительном направлении оси х с альфве-новской скоростью с учетом дх = ду = 0.

Уравнение 1 является полностью интегрируемым, имеет беско-

нечную последовательность законов сохранения и может быть решено аналитически методом ОЗР [24]. В работе [23] эволюция альфвеновских волн в модели (В. 11) изучалась в терминах знака первого интеграла движения уравнения 1-0№Д Ж/ 2, где гамильтониан

Г00 |\ , 14

Ж = Нг| к I -И'кдх(р (к, ф = а^(/г).

При этом было установлено, что эволюция волны может приводить либо к ее рассеянию, либо к формированию одномерного альфвеновского солито-на, что определяется знаком Ж. С физической точки зрения это означает, что могут иметь место два типа нелинейной волновой динамики [23]: мо-дуляционно устойчивый случай, когда Ж > 0 и начальный импульс, теряя свою структуру, расплывается; и модуляционно неустойчивый случай (Ж< 0), когда эволюция модуляционной неустойчивости заканчивается формированием одномерного солитона [22]

h = (A / 2)1/2 [exp {-Ax) + i exp (Ax)]exp (~iA2t)cosh-2(2Ax), (B.12)

где A - амплитуда.

Уравнение (В. 11), аналогично уравнению КдВ, может быть обобщено на неодномерный случай. Так, в работах [25-27] было получено трехмерное обобщение уравнения DNLS в виде системы связанных уравнений

д

dth* +dx{^h\2h±}±id2xh± = + /г), (В.13)

где к+ = кх ± Шу ив случае отрицательной дисперсии численно получены

его решения в виде одномерных солитонов, численное исследование двумерных решений не проводилось. Точные же двумерные солитонные решения системы (В.13) могут быть, в принципе, получены методом ОЗР, аналогично случаю уравнения КП, для этого необходимо строить соответствующие Ь-А - пары Лакса [4].

Успехи теоретического изучения нелинейных физических систем, имеющих солитонные решения, стимулировали экспериментальные исследования в области физики нелинейных волн (отметим лабораторные и космические эксперименты по изучению возбуждения, эволюции и динамики взаимодействия ионно-звуковых и альфвеновских солитонов, а также структуры ударных волн в плазме [28-39]), моделирование динамики солитонов в электрических линиях [40,41], эксперименты с поверхностными и внутренними волнами во вращающихся сосудах и гидролотках [42,43] и т.д. Это, в свою очередь, поставило новые вопросы и выявило актуальность теоретического изучения таких проблем, как устойчивость неодномерных солитонов, динамика их взаимодействия, нелинейные резонансы и образование связанных состояний, учет эффектов, определяемых введением в уравнения класса (В.1) малых поправок, влияние диссипации на структуру

и эволюцию неодномерных и нелинейных волн и солитонов, эффекты самовоздействия (коллапс, самофокусировка) и т.д.

л

В работах [9,44-46] для частных случаев уравнения (В.8) с А± = ду,

соответствующих конкретным значениям коэффициентов, а в работе [47] для произвольных а, |3 и к было показано, что при отрицательной дисперсии (р/к<0) одномерные солитоны устойчивы, а при положительной (Р/к >0) неустойчивы относительно раскачки бесконечно малых возмущений. При этом в работе [9] был исследован случай очень малых к с помощью метода Крылова-Боголюбова; в работе [44] в правую часть уравнения добавлялся член дууххи и задача решалась методом варьирования действия с лагранжианом, проинтегрированным по х, и пробными функциями солитоноподобной формы; в работе [45] был использован метод ОЗР, а в [46] - метод функционала Ляпунова. В работе [47] исследование проводилось численно. Было показано, что при Р / к < 0 возмущение легко переходит из солитона в среду и расплывается во все стороны, при Р / к > 0 оно не может выйти из солитона. В области локализации возмущения скорость перемещения солитона отлична от скорости невозмущенного солитона, последнее с учетом отсутствия расплывания приводит к нарастанию возмущения.

Для двумерных и трехмерных солитонов уравнения КП вопрос исследования устойчивости существенно нетривиален. Наиболее последовательно он был решен в работах [11,48], в которых методом анализа трансформационных свойств гамильтониана (В. 10) уравнения (В.8) было показано, что двумерный солитон устойчив относительно двумерных возмущений. Что касается проблемы его устойчивости относительно изгибов всего фронта (трехмерных возмущений), то анализ линеаризированного на фоне

решения (В.9) уравнения (В.8) с п=1, 2; т=1, 2; / =1 методом теории возмущений [48] показывает, что в этом случае (сдвиг вдоль оси х) двумерный солитон неустойчив. Качественные причины неустойчивости здесь те же, что и в случае одномерного солитона [19,21]. Однако изучение малых трехмерных возмущений, соответствующих поперечному сдвигу, показывает, что в длинноволновом пределе двумерные солитоны уравнения КП (В.8) оказываются устойчивыми [48]. Следствием устойчивости двумерных соли-тонов уравнения КП относительно двумерных возмущений является то, что, как видно из выражения (В.9) при п,т= 1,..., Л^; N=4, 6, ... и из результатов численных экспериментов [49], они при взаимодействиях испытывают упругие столкновения, причем фазовые сдвиги солитонов после столкновения (хорошо известные в одномерных задачах [5]) тождественно равны нулю [4].

Характер эволюции трехмерных солитонов в модели (В.8), как было показано численно в работе [11] для БМЗ волн, определяется знаком отношения Р / к. В случае положительной дисперсии рост неустойчивости приводит к нелинейной деформации структуры фронта - выталкиванию поля из центра солитона и его росту на крыльях с образованием одного-двух коллапсирующих кавитонов [11,50,51]. При отрицательной дисперсии наблюдающаяся вначале подфокусировка волнового поля переходит затем в режим дефокусировки.

В работах [52-56] было численно изучено трехмерное обобщение уравнения (В. 11) - уравнение З-БМ^ вида

д,к + Л |2й) - Ид2хИ = А ±Нск, (В. 14)

а в работах [39,57], на основе метода анализа деформаций гамильтониана на решениях, аналитически исследована проблема устойчивости его трехмерных решений. При этом было показано, что 3-мерные волны как с левой, так и с правой круговой поляризацией в некоторой области значений

гамильтониана уравнения 3-1ЖЬ8 (В. 14) могут быть устойчивыми. Анализ результатов численных экспериментов позволил установить, что уравнение З-ОЫЬБ может иметь, наряду с коллапсирующими и затухающими со временем, 3-мерные решения в виде альфвеновских солитонов. Следует отметить, что уравнение (В. 14), в отличие от уравнения 1 -ОМ^ (В. 11), не является полностью интегрируемым [52] и, следовательно, не может быть решено аналитически методом ОЗР.

Как ясно из вышесказанного, применение для решения неодномерных

задач рассматриваемых классов такого эффективного аналитического аппарата, как методы теории возмущений и ОЗР, весьма затруднено, а в ряде случаев (например, для уравнения 3-ОМ,8) просто невозможно, так как требует введения ограничений на фиксирование классов начальных и граничных (в случае появления в задаче эффективно действующих границ) условий. В такой ситуации для получения информации о нелинейных процессах в широкой области изменения параметров необходимо использовать мощный аппарат методов вычислительной математики, развитый для решения задач физики плазмы, гидро- и газодинамики (см., например, работы [58-62] и приведенную в них достаточно полную библиографию). В контексте изучаемых проблем отметим работы [21,47,51,63,64]. Использование численных подходов имеет смысл и при решении многих практически важных задач, когда громоздкие и весьма сложные аналитические методы применять нецелесообразно. Заметим, кстати, что впервые двумерные соли-тонные решения уравнения КП и трехмерные решения уравнения З-БМ^ были получены именно при численном счете [21,52], ряд обсуждавшихся нами результатов также был получен численно (см. соответствующие ссылки).

Относительно уравнения КП необходимо сделать одно весьма существенное замечание. В некоторых случаях коэффициент при третьей производной в уравнениях класса (В.1) может быть близким или даже равным

нулю. Это характерно, например, для гравитационно-капиллярных волн

1/9

на мелкой воде, когда Я -» (За / р g) , для быстрых магнитозвуковых (БМЗ) волн при 9 -» arctan(M/zw)1/2 [см. формулы (В.6), (В.7)]. Такая ситуация, однако, не означает исчезновения дисперсии в среде: равновесие между нелинейными и дисперсионными членами в этом случае может быть восстановлено путем удержания следующего члена в разложении полного дисперсионного уравнения по к. Так, разложение в ряд Тейлора соотношения дисперсии для волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости со 2 = gktanh^k(H2 - Зст / pg)1/2| [3] в предельном случае мелкой

воды (к 8 « 1, 8 = (| р | / с0)У2) дает

ю

c0/cji + i(36-tf2)fc2 +|[я2(|я2 - а) - фа - н2)2 к'

G = G/pg.

03-15)

Преобразование Фурье выражения (В. 15) позволяет найти для уравнения класса (В.1) дисперсионную поправку, пропорциональную пятой производной, появляющуюся в выражении для Щи\: -у дх5и, где коэффициент определяется выражением [65]

Y =(с0/6)

н2(±н2-ё)-Цза-н2)'

(В.16)

Для волн, распространяющихся в замагниченной плазме при Н1 >>&тТ и Со=уа « с, со « со0/, закон дисперсии в линейном приближении имеет

вид [3]

© 12 =

vAk

2y/l + к2с2/(о2е

.2 2

(1 + cos 9)2 +

cos2 9

-,1/2

2 kZC Z +-

2 2 2 со g,- 1 + к с / <0

2 Ое

+

+

2 Л

(1-сов0)2 + к С

СОБ2е

(О О2 1 + £2с2/со02

1/2

(В.17)

Ограничимся рассмотрением лишь магнитозвуковой ветви [знак плюс в выражении (В. 17)]. Разлагая уравнение (В. 17) с точностью до членов четвертого порядка по к включительно, получаем [66,67]

со

уАк

1 + ^(сог2в-т/м) + ^г\3(т/М 2со021 ;

8со01

(В. 18)

-со12е)2-4со!4е(1+со12е

откуда, аналогично случаю гравитационно-капиллярных волн, используя преобразование Фурье, найдем [66,67]

8(0 о1

( \г

—-со^е -4со14е(1+со^е

\м ) V

(В.19)

Как видно из соотношений (В. 15) и (В. 18), характер дисперсии в общем случае определяется соотношением параметров |3 и у и для больших и малых к может иногда иметь разный знак. Картина, таким образом, значительно усложняется по сравнению с той, что имеет место в моделях КдВ и КП.

Заметим, что разложение, аналогичное (В. 18), формально можно произвести и для альфвеновской ветви колебаний [знак минус в дисперсионном соотношении (В. 17)], однако это не будет физически оправданно, так как не отвечает реальной ситуации, поскольку коэффициент при дисперсионном члене в уравнениях (В.11), (В. 14) 1кг\ - йу\ / со#г- не будет стремиться к нулю ни при каких обстоятельствах.

5

Часто пренебрежение диссипацией становится недопустимым и основные уравнения должны быть дополнены соответствующими членами. Например, если рассматривать ионные колебания плазмы, обратные времена

которых значительно меньше электронной ленгмюровской частоты, т.е.

_1 1/9

т « (4жп0е / т) (в этом случае при Те » 1] затухание Ландау мало),

с учетом диссипативных эффектов, связанных с процессом релаксации, то

в дисперсионном уравнении появится мнимый член -iv кх и соответствен-

г)

но в правой части уравнений вида (В.1) и (В. 14) - член Бюргерса [8] vdx и. Как показано в работе [3],

о

имеет смысл коэффициента релаксационного затухания "звука", где сх и Со - скорости соответственно высоко- и низкочастотного "звука" (последняя

1 /О

совпадает с cs= (Te/m) ); ф (t,т)- функция, определяющая релаксационный процесс. Если же, наоборот, для ионно-звуковых волн в плазме оказывается существенным затухание Ландау, то диссипацию можно учесть, введя в уравнения соответствующий интегральный член [3]

00 TJ 00

Щи] = -L[u] = -ст J —1*| j u(x')eik(x~x,)dx\

-00 ^^ —00

1 /9

где а = с0(пт/ 8М) . В дальнейшем, однако, учитывая рассматриваемое в диссертации гидродинамическое приближение,

когда о « со Qe, ограничимся исследованием влияния на структуру и эволюцию нелинейных волн только диссипативных процессов так называемого вязкостного типа.

Обобщив с учетом сказанного уравнение КП (В.8) введением дисперсионной поправки следующего порядка и члена, ответственного за затухание, получим уравнение [66]

дх |д¡и + а идхи - V 8хи + р дхи + у дхи^ = к А±и, ^

к =-с0/ 2,

которое обладает такой же степенью универсальности, что и уравнения КдВ и КП, и будет справедливо всегда, когда закон дисперсии имеет вид

© « с0кх [1 + к\ / 2к\ -ыкх/с0+ (-р к2х + у к4х) / с0]. (В.21)

Уравнение З-ОТМЪБ (В. 14) с учетом диссипативных процессов вязкостного типа примет вид

д.Н + зд^к^-гХд1^ -V = аА ±ИсЬс (В.22)

и для него, с учетом с = -с0 / 2, с0 = уа и формальной замены р кх = X, у = 0, с0 будет также справедливо соотношение (В.21).

Наконец, различного рода неустойчивости (тип которых определяется видом и параметрами среды распространения волн), приводящие обычно к быстрому нарастанию возмущений с формированием хаотической турбулентной структуры и перекачке энергии колебаний в другие степени свободы, могут быть учтены введением в левую часть уравнений (В.20), (В.22) члена, пропорционального четвертой производной: 5 дхи, который является следствием появления в дисперсионном соотношении (В.21) дополнительного мнимого слагаемого вида -/5 кх / с0.

Относительно введенных выше модельных уравнений необходимо отиетить следующее. Стационарные солитонные решения уравнения (В.20) при V = к = 0 впервые были получены численно Т.Кавахарой [68], который показал, что при Р > 0, у > 0 одномерный солитон приобретает осциллирующую структуру. Двумерное уравнение вида (В.20) с Р = у = 0, А± -д2у

рассматривалось впервые Е.А.Заболотской и Р.В.Хохловым при описании распространения двумерных нелинейных звуковых волн в среде с поглощением [69], а уравнение (В.20) с V = 0, А± = д2у при Р > 0, у>0, к<0

для гравитационно-капиллярных волн на мелкой воде численно исследовалось Л.А.Абрамяном и Ю.А.Степанянцем [65] с помощью метода стабилизирующего множителя, предложенного в [21] для поиска стационарных решений двумерного уравнения КП. В результате, в [65] для указанных выше значений параметров были найдены решения в виде стационарных двумерных солитонов и солитонных пар ("бисолитонов") с осциллирующими хвостами, сечения которых вдоль оси х (у = 0) оказались качественно подобными полученным для одномерного случая Кавахарой [68] и в экспериментах по моделированию нелинейных процессов, описываемых уравнением КдВ с пятой производной при Р = 0, в электрических линиях [40]. Однако остались неясными условия и динамика формирования такого типа структур, вид решений при Р < 0, у < 0 и Р > 0, у < 0 (при у < 0 использовавшийся в [65] метод расходится), вопросы устойчивости решений во всем диапазоне у < 0, Р < 0 и влияния затухания на структуру и эволюцию нелинейных волн такого типа. Трехмерное уравнение вида (В.20), имеющее широкие приложения в физике нелинейных волн с дисперсией, до появления наших работ (см. [67] и приведенные там ссылки) другими авторами не исследовалось, и проблемы, указанные для двумерных систем,

а также специфические процессы самовоздействия, описываемые трехмерным уравнением КП [11,12,70,71], являются особенно актуальными в такого рода трехмерной постановке.

Уравнение З-БЖ^ вида (В.22) при V = 0, с = 0 впервые исследовалось численно Доусон и Фонтеном [23] и аналитически - Каупом и Ньюэ-лом [24], в трехмерном случае при у = 0 - В.И.Петвиашвили и О.А.Похоте-ловым [25], однако, как уже указывалось выше, в этих работах изучались только одномерные решения без учета диссипативных процессов. Рассматривавшаяся одномерная геометрия не позволила при этом изучить эффекты самовоздействия в системе, вопросы устойчивости неодномерных решений и влияние затухания на структуру и эволюцию нелинейных альфвеновских волн.

Отметим, что точные аналитические решения рассматриваемых нами в диссертации обобщенных уравнений неизвестны, поэтому для интегрирования нелинейных систем типа (В.21) и (В.22) приходится широко привлекать численные методы. Что же касается аналитических подходов к изучению такого рода систем, то здесь мы ограничены возможностями использования методов качественного и асимптотического анализа решений, исследования проблемы их устойчивости и некоторых частных случаев внешних воздействий среды на структуру и динамику неодномерных нелинейных волн и солитонов [67].

Обозначенный выше подход к изучению неодномерных нелинейных систем класса КП и составляет основное содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, семи глав, разбитых на 23 параграфа, делящихся в свою очередь на разделы, заключения и двух приложений.

В первой главе выведены двумерное и трехмерное уравнения КП (§ 1) и уравнение З-БМ^ (§2) в безразмерном виде и форме, удобной для даль-

нейшего исследования. Уравнение КП получено из полной системы классических уравнений газодинамики, записанных для некоторых обобщенных величин - "плотности" и скорости "звука", смысл которых зависит от класса изучаемых явлений и поясняется по мере изложения. Далее, безотносительно к типу среды, следуя технике, развитой в работе [4], строятся решения в виде одномерного и двумерного солитонов КП и приводится анализ их устойчивости. Таким образом, в главе последовательно проводится идея универсальности уравнения КП и инвариантности формы его решений для сред различных типов, для которых закон дисперсии имеет вид (В.З). Затем уравнение КП в его классической форме обобщается путем введения дисперсионной поправки следующего порядка и членов, описывающих диссипацию вязкостного типа, неустойчивость и стохастические флуктуации волнового поля, и далее, путем масштабных преобразований, приводится к виду, упрощающему последующий анализ. В завершение параграфа 1 рассматриваются основные подходы к численному интегрированию "классического" уравнения КП, использовавшиеся при получении его стационарных неодномерных решений, и кратко обсуждаются их достоинства и недостатки.

В § 2 первой главы из полной системы уравнений одножидкостной магнитогидродинамики получено трехмерное уравнение БЖ,8 (уравнение З-БМ^) и, в одномерном приближении, рассмотрен подход к его аналитическому интегрированию методом ОЗР и приведены результаты анализа устойчивости одномерных решений в терминах знака первого интеграла движения. Затем проводится обобщение уравнения З-БМ^ введением дис-сипативного члена и уравнение путем преобразований подобия приводится к безразмерному виду, удобному для дальнейшего анализа. В завершение параграфа рассматривается один из весьма эффективных методов численного интегрирования уравнения БЖ^ в одномерном приближении и об-

суждается его применимость к моделированию динамики трехмерных решений.

Основное содержание главы 1 опубликовано в работах [39,52-57,67,72].

Во второй главе диссертации показано, что в случае пренебрежения диссипативными эффектами [в отсутствие неустойчивости и стохастических флуктуаций волнового поля для обобщенного уравнения КП (уравнение ОКП)] основные уравнения являются гамильтоновскими. На основе трансформационных свойств гамильтониана произведены оценки устойчивости решений уравнения ОКП в двумерной и трехмерной геометрии (§ 1) и уравнения З-ОМ^Б в трехмерной геометрии (§ 2) для всего диапазона изменения коэффициентов. Для уравнения ОКП (В. 16) получено, что в соответствии с теоремой Ляпунова абсолютно устойчивыми для широкого класса деформаций гамильтониана Ж будут решения при у>0, Р < 0 - в двумерном и при у > О, (3 > 0 - в трехмерном случае. Наряду с абсолютно устойчивыми выделены локально устойчивые решения, которые могут иметь место при у>0, Р > О и у<0, р<0 (двумерное уравнение) и при у > 0, р < 0 (трехмерное уравнение), найдены достаточные условия устойчивости. Для уравнения З-ОМ^ (В. 14) аналогичный анализ показал, что при А = 1, л1 = -1 - в случае правополяризованных волн и при X = -1, я = 1 -

л

в случае левополяризованных волн в плазме с р = 4тТ / В() > 1 его трехмерные решения будут устойчивы, если диффракционный коэффициент

дхм/ = /г, г/« 0.548, что является достаточ-

ным условием устойчивости. Несмотря на то, что рассмотренные для обоих уравнений классы деформаций не включают всех возможных деформаций Ж, произведенные оценки свидетельствуют об устойчивости решений в отмеченных выше случаях и, по крайней мере, могут рассматриваться как необходимые условия. Анализ ограниченности Ж на полученных численно неодномерных решениях уравнений ОКП и З-БЖ^ (главы 5, 6) подтверждает справедливость сделанных оценок.

Основное содержание главы 2 опубликовано в работах [39,57,66,67, 73].

В третьей главе методами асимптотического и качественного анализа (последние обычно применяются в теории колебаний для двумерных динамических систем, в диссертационной работе они были распространены на исследование и систематизацию фазовых портретов решений в четырехмерном фазовом пространстве) изучены характер асимптотик и структура решений обобщенных уравнений КП-класса с произвольным показателем нелинейности, имеющие широкие приложения в физике ионосферной и магнитосферной плазмы, гидро- и аэродинамике. Исследованные уравнения включали, при этом, члены, описывающие дисперсионные эффекты высшего порядка, диссипацию и неустойчивость, обусловленные широким классом причин. В результате были выделены классы волновых решений солитонного, несолитонного ("кинкового") и смешанного типов и построена их классификация в четырехмерном фазовом пространстве и по характеру асимптотик, выражения для которых выписаны в явном виде. Установлено, что решения как солитонного, так несолитонного типов могут иметь характер уединенных волновых структур и нелинейных осциллирующих волновых пакетов, что в конечном счете определяется знаками и величиной коэффициентов соответствующего уравнения.

Основное содержание главы 3 опубликовано в работах [66,67,74].

В четвертой главе изложена последовательно проводящаяся в работе идеология численных подходов к интегрированию уравнений классов КП и З-БМЬБ и представлены применяющиеся для изучения динамики солито-нов и нестационарных волновых пакетов, описываемых уравнениями вида (В.20), (В.22), в последующих главах диссертации несколько методов численного интегрирования, базирующихся на явных и неявных конечно-разностных схемах (§ 1) с аппроксимацией 0(т2 ,к2) и 0(т2 ,к4г), а также динамические спектральные методы (§ 3), состоящие в предварительном

преобразовании Фурье по пространственным координатам исходных уравнений и решении методом Рунге-Кутта получающихся при этом систем дифференциальных уравнений первого порядка. Проанализированы условия устойчивости и сравнительные характеристики схем различных типов, полученные при тестировании на точных решениях исходных уравнений. В отличие от известных численных методов интегрирования уравнений КП-класса, применявшихся для поиска стационарных решений [21,65], предложенные методы позволяют контролировать эволюцию решения и взаимодействие солитонов в динамике. Кроме того, имея высокие точностные характеристики, они менее громоздки, чем использовавшиеся в [51] и [47] метод "итерационного расщепления" и хопскотч-метод.

Рассмотрение проведено на основе двумерного уравнения КП (§ 1) и трехмерных уравнений КП и З-ОМЬБ (§ 3), обобщение этих методов на уравнения классов (В.20) и (В.22), учитывающих соответствующие поправки, элементарно и обсуждается в конце главы.

Основное содержание главы 4 опубликовано в работах [62,66,67,75-78].

В пятой главе численно исследуется динамика двумерных солитонов уравнения (В.20) при Д± =д2у. Интегрирование ведется с помощью методов, изложенных в главе 4. Рассмотрена структура двумерных решений во всей области изменения значений дисперсионных коэффициентов р и у при у=0 и с использованием результатов главы 3 оценена их устойчивость (§ 1). Получено, что при у > 0, р < 0 в результате эволюции начального импульса формируются двумерные солитоны с алгебраическими асимптотиками, близкими к асимптотикам решений обычного уравнения КП с Р / к > 0. При у > 0, р > 0 численные решения имеют вид двумерных солитонов с хвостами, осциллирующими в х- направлении и монотонно спадающими в у - направлении. При у < 0, Р < 0 из начального импульса формируются

расплывающиеся со временем волновые пакеты. Изучению взаимодействия двумерных солитонов при V = 0 посвящен §2. В численных экспериментах установлено, что при у > О, р < О имеют место упругие (во всяком случае в пределах точности численного счета) столкновения: солитоны уравнения (В.20) обмениваются амплитудами и импульсами. При у > 0, Р > 0 результаты существенно зависят от соотношения амплитуд и начального расстояния А х(0) между импульсами: при существенно различающихся амплитудах и малых А х(0) формируется один солитон, а при близких амплитудах и больших Ах(0) может образовываться двумерная структура, отвечающая связанному состоянию - бисолитону с осцилляциями на хвостах и между главными максимумами. В § 3 численно исследовано влияние диссипации вязкостного типа на эволюцию и структуру двумерных солитонов уравнения ОКП (В.20), показано, что диссипативные эффекты, помимо общего экспоненциального во времени уменьшения амплитуды волнового поля, приводят к нарушению структуры и симметрии солитонных решений. В § 4 аналитически и численно исследована эволюция двумерных солитонов КП в диспергирующих средах со стохастическими флуктуациями волнового поля, описываемыми функцией г| (?), представляющей собой внешний "шум" в случае, когда характеристические размеры солитона много меньше когерентной "длины" шума. Для белого гауссовского шума г|(0, с использованием преобразований Галилея, когда "стохастическое" уравнение может быть редуцировано к обычному ("классическому") уравнению КП, аналитически в явном виде получено решение, которое, приобретая со временем волнообразный характер, асимптотически расплывается в соответствии с законом и-Г9'2, в отличие от полученной М.Вадати [79] зависимости и~Гъ'2 для одномерного солитона уравнения КдВ. Исследование подкреплено численным моделирование стохастического уравнения КП, под-

твердившим аналитические результаты. В заключение (§ 5) численно исследована структура и эволюция двумерных солитонов уравнения КП в средах с переменной дисперсией, когда дисперсионный коэффициент Р = Р (х,у,1). При этом показано, что в случае изменяющихся в пространстве и во времени дисперсионных свойств среды структура и симметрия двумерных солитонов может существенно нарушаться вплоть до формирования сложных солитон-несолитонных решений и турбулизации поверхности и {х, у). Данный результат имеет непосредственное приложение к ди-

СС "

намике двумерных солитонов на поверхности мелкой жидкости при изменяющемся в пространстве и во времени рельефе дна (см. главу 7, § 5) и к эволюции БМЗ волны в неоднородной плазме и/или магнитном поле (глава

7, § 2).

Основное содержание главы 5 опубликовано в работах [66,67,76,80-90].

В шестой главе диссертационной работы численно изучается структура и эволюция трехмерных решений уравнений ОКП (В.20) во всей области изменения значений дисперсионных коэффициентов Р и у при у>0 (§§ 1,3) и З-БМ^ (В.22) при X = ±1, 5 = ±1, с? < 0, у>0 (§§ 2,3) в аксиально-симметричной геометрии (А± = д2 + (1 / р)<Эр). Для интегрирования используются методы, рассмотренные в главе 4. В §§ 1,2 описаны результаты численного изучения структуры решений, оценки устойчивости, а также динамика эволюции трехмерных аксиально-симметричных импульсов в пренебрежении диссипацией (у=0). Показано (§ 1), что в модели ОКП при у > 0 для формирующихся солитоноподобных структур как с алгебраическими (Р < 0), так и с осциллирующими (Р > 0) асимптотиками в случае у=0 явление коллапса не наблюдается: при р < 0 солитоноподобные импульсы в итоге расплываются, а при Р > 0 наблюдается тенденция к формированию

в асимптотике t -» со аксиально-симметричной стационарной структуры. Коллапс в модели уравнения ОКП может иметь место лишь в пределе у-» 0, ß / к > 0, v = Ö. При у < 0, ß < О, v = 0 в уравнении (В.20) решения представляют собой аксиально-симметричные осциллирующие волновые пакеты, расплывающиеся со временем.

Анализ результатов численных экспериментов для модели 3-DNLS (§2) позволил установить, что уравнение (В.22) с v=0 в зависимости от знаков и величины коэффициентов X, s, er может иметь, наряду с коллап-сирующими и затухающими со временем, 3-мерные решения в виде альф-веновских солитонов. Последнее будет иметь место при X = 1, а = -1,

а = 1, когда Ж > -0.715 Xsjhh*dx<pdr, ф = argh, а также при X = 1, s = 1 и Я = -1, ,у = -1,если а = -1, когда Ж < -0.715 Xs jhh*dx<pdr. Таким образом, показано, что 3-мерные альфвеновские волны как с левой, так и с правой круговой поляризацией в некоторой области значений гамильтониана уравнения 3-DNLS могут быть устойчивыми; детально исследована динамика формирования 3-мерных устойчивых решений в виде альфвенов-ских солитонов и рассмотрена эволюция нелинейных альфвеновских волн, коллапсирующих и затухающих со временем. В частном случае одномерного приближения (а = 0) полученные результаты согласуются с результатами работы [23] для уравнения 1-DNLS.

В заключение главы (§3) исследовано влияние диссипации (модели ОКП и 3-DNLS с v>0) на эволюцию трехмерных решений. Показано, что наличие диссипации вязкостного типа в среде, помимо уменьшения амплитуды волнового поля, оказывает влияние на структуру и симметрию трехмерных нелинейных волн в обеих моделях, а присутствие в среде стохастических колебаний волнового поля (внешний белый гауссовский шум) при любых значениях дисперсионных параметров в уравнении (В.20) (в

том числе и в случае, когда при могут формироваться трехмерные со-литоны ОКП) приводит к расплыванию уединенных нелинейных импульсов и волновых пакетов в процессе эволюции.

Основное содержание главы 6 опубликовано в работах [52-57,66,67,76, 80,81,86,91].

В седьмой главе диссертации рассматриваются приложения полученных результатов к исследованию: а) распространения нелинейных ионно-звуковых волн в плазме без магнитного поля с учетом релятивистских эффектов (§ 1); б) динамики трехмерных БМЗ, распространяющихся в замаг-ниченной плазме (§ 2); в) динамики двумерных уединенных нелинейных ВГВ, генерируемых на высотах Б-области ионосферы фронтами солнечного терминатора и солнечного затмения, а также сейсмическими источниками, и возбуждении ими перемещающихся возмущений электронной концентрации (§ 3); г) эволюции двумерных солитонов гравитационных и гравитационно-капиллярных волн на поверхности "мелкой" жидкости при изменяющемся во времени и пространстве рельефе дна. При этом, для двумерных приложений теории показано, что

а) в результате эволюции двумерного уединенного возмущения ионного звука может формироваться квазиодномерный солитон, параметры которого определяются величиной релятивистского фактора;

б) в Г-слое ионосферы под воздействием источников импульсного типа могут формироваться двумерные алгебраические либо осцилляторные солитоны ВГВ; изучено формирование под действием таких ВГВ уединенных волн электронной концентрации, причем результаты, полученные при численном моделировании волновых эффектов, связанных с движением солнечного терминатора и солнечным затмением (позволившие выделить волновые "предвестники" указанных явлений), находятся в хорошем согласии с результатами радиофизических экспериментов;

в) в результате воздействия релеевской волны от сейсмического источника на динамику плазмы Б-слоя ионосферы вызываемые сейсмическими источниками в дальней зоне от очага землетрясения колебания земной поверхности могут приводить к формированию двумерных уединенных колебаний электронной концентрации Р-слоя солитонного типа значимой амплитуды, достаточных для их регистрации некоторыми высокоточными радиофизическими методами (доплеровское зондирование, многочастотное "пассивное" наклонное зондирование сигналами удаленных пространственно-разнесенных радиостанций и т.п.);

г) в случае изменяющегося в пространстве и во времени рельефа дна структура и симметрия двумерных солитонов на поверхности "мелкой" жидкости может существенно нарушаться вплоть до формирования сложных солитон-несолитонных решений и турбулизации поверхности жидкости.

Для трехмерных приложений теории показано, что

а) в модели уравнения ОКП, описывающей динамику пучка БМЗ волн с узким угловым распределением, отсутствует явление самофокусировки пучка: в зависимости от соотношения параметров дисперсии имеет место либо рассеяние магнитного "звука", либо, после стадии подфокусировки, формируется стационарный пучок БМЗ волн;

б) в модели, описывающей динамику 3-мерного пучка БМЗ волн в за-магниченной плазме со стохастическими флуктуациями внешнего магнитного поля, независимо от когерентной "длины" внешнего шума, пучок БМЗ волн при распространении рассеивается, приобретая волновую структуру, даже в случае, когда он, в отсутствие флуктуаций поля, должен стабилизироваться. Эволюция заканчивается формированием турбулентного поля независимо от величины дисперсионных параметров и начальных интенсив-ностей пучка и шума при любом соотношении когерентной длины шума и характеристических размеров пучка.

Основное содержание главы 7 опубликовано в работах [39,52-57,66, 67,78,84,86-90,92-101].

В заключении приводится формулировка основных результатов, полученных в диссертации, и их обсуждение.

В приложении 1 исследовано алгебраическое уравнение четвертой степени (вещественность, знаки, границы областей определения корней), возникающее при анализе существования экстремумов гамильтониана

-Л

уравнения ОКП с Ах в главе 3. В приложении 2 рассмотрено разложение четырехмерных динамических систем вида (3.27), линеаризованных в окрестности особых точек с координатами (3.29), и соответствующих канонических систем на две подсистемы (приложение 2.1), и аналогичное разложение трехмерных динамических систем вида (3.34) на двумерную систему и одно уравнение (приложение 2.2), что используется в главе 3 при построении фазовых портретов решений соответственно в 4-мерном и 3-мерном фазовых пространствах.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Белашов, Василий Юрьевич

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах (приведены в хронологическом порядке):

1. Белашов В.Ю. Эволюция солитонов КдВ на "этапе нестационарности": Препринт. Магадан: СВКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1984. 11 с.

2. Белашов В.Ю. Перемещающиеся ионосферные возмущения в F-облас-ти ионосферы и их влияние на флуктуации ОНЧ радиосигналов// Ргос. IX Int. Wroclaw Symp. on EMC, Poland, Wroclaw, June 28-30, 1988. Wroclaw, 1988. V. 1. P. 181-184.

3. Белашов В.Ю. О возбуждении землетрясениями ВГВ в F-слое ионосферы // Там же. С. 227-229.

4. Белашов В.Ю. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили и его приложения: Научный отчет ИКИР ДВО РАН. Магадан: Фонды ИКИР, 1989. 48 с.

5. Белашов В.Ю. О численных методах решения эволюционных уравнений типа уравнения Кадомцева-Петвиашвили: Препринт ИКИР. Магадан, 1989. 21 с.

6. Белашов В.Ю. Динамика крупномасштабных ПИВ, возбуждаемых уединенными ВГВ в F-слое ионосферы // III Семинар КАПГ по метеорологическим эффектам в ионосфере. София: БАН, 1989. С. 12-13.

7. Белашов В.Ю. О перемещающихся ионосферных возмущениях в слое F // Ионосферные волновые возмущения. Алма-Ата: Наука, 1989. С. 120-128.

8. Belashov V.Yu. Solitary electron density waves induced by the IGW's solitons in the ionosphere// Proc. 1989 Int. Symp. on EMC, Japan, Nagoya,

Sept. 8-10,1989. Nagoya, 1989. V. 1. P. 228-229.

9. Belashova A.A., Belashov V.Yu. Large-scale wave disturbances generated by the eclipse in the ionosphere and EMC problems // Proc. 1989 Int. Symp. on EMC, Japan, Nagoya, Sept. 8-10,1989. Nagoya, 1989. V. 1. P. 226-227.

10. Белашов В.Ю., Карпман В.И. Численное исследование динамики неодномерных солитонов в слабо диспергирующих средах: Препринт ИЗ-МИРАН N 43(928). М., 1990. 24 с.

11. Белашов В.Ю. Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн на высотах F-области ионосферы // Геомагн. и аэрономия. 1990. Т. 30, N4. С. 637-641.

12. Белашов В.Ю. Динамическая модель слоя F: аспекты использования в численном моделировании // X Семинар по моделированию ионосферы. М., ВИНИТИ, 1990. С. 70.

13. Белашова А.А., Белашов В.Ю., Подбельский КН. Комплексные исследования динамики волновых ионосферных возмущений в Дальневосточном регионе СССР // Геомагн. и аэрономия. 1990. Т. 30, N4. С. 647-650.

14. Белашов В.Ю. О самофокусировке БМЗ в магнитном поле// IX Всесоюзный семинар по ОНЧ излучениям. М.: ИЗМИРАН, 1991. С. 42.

15. Belashov V.Yu., Karpman V.I. 2D and 3D disturbances dynamics in the weakly dispersive media with dissipation // XX Int. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, Italy, Pisa, July 8-12, 1991. Contributed papers. V. 6. P. 1239-1240.

16. Карпман В.И., Белашов В.Ю. О структуре двумерных осциллирующих солитонов в слабо диспергирующих средах: Препринт ИЗМИРАН N 25 (972). М„ 1991. 19 с.

17. Karpman V.I., Belashov V.Yu. Dynamics of two-dimensional solitons in weakly dispersive media // Phys. Lett. 1991. V. 154A, N. 3-4. P. 131-139.

18. Karpman V.I., Belashov V.Yu. Evolution of three-dimensional nonlinear pulses in weakly dispersive media // Ibid. P. 140-144.

19. Белашов В.Ю. Об устойчивости двумерных и трехмерных солитонов в слабо диспергирующих средах // ДАН СССР. 1991. Т. 320, N 1. С. 85-89.

20. Belashov V.Yu. The methods for numerical integration of nonlinear evolutional KP-class equations // XX Int. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, Italy, Pisa, July 8-12, 1991. Contributed papers. V. 6. P. 1241-1242.

21. Белашов В.Ю. Численное исследование динамики неодномерных нелинейных волн в слабо диспергирующих средах: Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: ИЗМИРАН, 1991.

22. Belashov V.Yu. Nonlinear effects for FMS waves propagating in magnetized plasma//Proc. of ISAP'92, Sapporo, Japan, 1992. V. 1. P. 201-204.

23. Belashov V. Yu. On stability of 2D and 3D solitons in plasma // Ibid. V. 4. P. 1181-1184.

24. Belashov V.Yu. Dissipation's effect on structure and evolution of nonlinear waves and solitons in plasma // Proc.XI Intern. Wroclaw Symp.on EMC, Wroclaw, Poland, 1992. V. 2. P. 591-596.

25. Belashov V.Yu. The solar terminator front-induced wave disturbances in the ionosphere F layer // Proc. 1992 Int. Symp. on EMC, Beijing, China, 1992. P. 141-144.

26. Belashov V.Yu. Nonlinear stabilization of fast magneto-sonic waves beam in plasma//Proc. of ICPP'92, Austria, Innsbruck, 1992. V. 1. P. 187.

27. Belashov V. Yu. 2D soliton dynamics in the weakly dispersive media with the stochastic fluctuations // Proc. of 4th Symposium on double layers, Austria,

Innsbruck, 1992. P. 88.

28. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of Alfven waves propagating in magnetized plasma // Proc.XXIV General Assembly of URSI, Kyoto, Japan, 1993. P. 657.

29. Belashov V.Yu. 2D and 3D soliton dynamics: great significance of small dispersive correction // Ibid. P. 657.

30. Belashov V.Yu. Dynamics of KP equation solitons in media with low-frequency stochastic fluctuations I I Ibid. P. 656.

31. Belashov V.Yu. Theoretical and numerical study of effects in ionospheric plasma associated with earthquakes and volcano eruptions // Proc. Intern. Workshop on EM phenomena related to earthquake prediction, Tokyo, Japan, Sept. 6-8,1993. P. 90.

32. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional AlfVen waves // Proc. NEEDS'93, Italy, 1993. P. 242.

33. Belashov V. Yu. Nonlinear dynamics of fast magneto-sonic and Alfven waves propagating in magnetized plasma // Proc. 20th Conf. Fusion'93, Lisboa, Portugal, 1993. P. 467.

34. Belashov V.Yu. Nonlinear effects for FMS waves propagating in magnetized plasma // Plasma Phys. and Controlled Fusion, 1994. V. 36, issue 10. P. 1661-1668.

35. Belashov V.Yu. Dynamics of KP equation solitons in media with low-frequency wave field stochastic fluctuations // Physics Letters A, 1995, N 4. P. 282-286.

36. Belashov V.Yu. Dynamics of nonlinear waves and solitons in plasma with wave field stochastic fluctuations // Workshop on Theory and Observations of Nonlinear Proc. in Near-Earth Environment, Warsaw, Poland, 1995. Abstracts. Warsaw, Srace Research Center, 1995. P. 4.1.

37. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional AlfVen waves in plasma // Ibid. P. 5.2.

38. Belashov V.Yu. Structure and evolution of two-dimensional electron density solitary waves caused by internal gravity waves solitons at heights of ionosphere F layer // Ibid. P. 9.3.

39. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional Alfven waves in magnetospheric plasma. // XX General Assembly of EGS, Kille, Germany, May 5-9, 1995. Annales Geophysicae Supplement, 1995. V. 13. P. 78.

40. Belashov V.Yu. Nonlinear effects for FMS waves beam propagating in the magnetosphere // Ibid. P. 79.

41. Belashov V.Yu. Soliton Evolution in Media with Variable Dispersion // XXI General Assembly of EGS, Hague, The Netherlands, May 6-10, 1996. Annales Geophysicae Supplement, 1996. V. 14. P. 147.

42. Belashov V.Yu. Theoretical and Numerical Study of Earthquake-induced Effects in Ionospheric Plasma // Ibid. P. 168.

43. Belashov V.Yu. Evolution of the 3D FMS Waves Beam in Plasma with Stochastic Fluctuations of Field // Ibid. P. 156.

44. Belashov V.Yu. The Problem of Evolution and Stability of 3D Alfven Waves Propagating in the Magnetosphere-Ionosphere Plasma along the Magnetic Field. Физика авроральных явлений, 19-й ежегодный Апатитский семинар. Тезисы докл. Препринт ПГИ № 96-01-99. Апатиты: Кольский научный центр РАН, 1996. С. 38.

45. Belashov V.Yu. Evolution of the FMS Waves in Magnetosphere-Ionosphere Plasma with Variable Dispersion // Там же. С. 37.

46. Belashov V.Yu. Evolution of the FMS Waves in Plasma with Variable Dispersion // XXV General Assembly of URSI, Lille, France, Aug. 28-Sept. 5, Abstracts. Lille, URSI, 1996. P. 475.

47. Belashov V.Yu. Theoretical Study of Seismo-Ionospheric Effects in Nearest and Farthest Zone of Earthquake Nidus // Ibid. P. 676.

48. Belashov V.Yu. Computer Simulation of the 3D FMS Waves Beam Dynamics in Plasma with Stochastic Fluctuation of Magnetic Field // Ibid. P. 474.

49. Belashov V.Yu. Dynamics of the 3D FMS Waves Beam in Plasma with Stochastic Fluctuations of Magnetic Field. Proc.1996 Int. Conf. on Plasma Physics, Nagoya, Japan, Sept. 9-13, 1996. Contributed Papers. Nagoya, 1997. V. l.P. 950-953.

50. Belashov V.Yu. Dynamics of the 3D Aliven Waves Propagating in Magnetized Plasma and Stability Problem // Ibid. P. 954-957.

51. Белашов В.Ю., Тюиина С.Г. Качественный анализ и асимптотики решений обобщенных уравнений КдВ-класса // Изв. вузов. Радиофизика. 1997. Т. XL, N 1.С. 328-344.

52. Belashov V.Yu. Seismogenic Perturbations at Heights of Ionosphere F Layer// Intern. Workshop on Seismo Electromagnetics (IWSE-97), Tokyo, Japan, March 3-5,1997. Abstracts. Tokyo, NASDA, 1997. P. 225-233.

53. Belashov V.Yu. Numerical study of dynamics of 3D ion-acoustic and FMS nonlinear waves in plasma using spectral approach // Proc. 5th Int. School/Symp. for Space Simulation, Japan, Kyoto, March 13-19, 1997. RASC, Kyoto Univ., 1997. P. 118-122.

54. Belashov V.Yu. 2D and 3D Solitons in Plasma: Structure, Stability, Dynamics // 5th Symp. on Double Layers-Potential Formation and Related Nonlinear Phenomena in Plasmas. Sendai, Tohoku University, 1997. P. 337342.

55. Белашов В.Ю. Специальные функции и алгоритмы их вычисления. Учебное пособие. Магадан, МПУ, 1997. 36 с.

56. Белашов В.Ю. Уравнение КП и его обобщения. Теория, приложения. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 158 с.

57. Белашов В.Ю., Чернова Н.М. Эффективные алгоритмы и программы вычислительной математики. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 310с.

Основные научные результаты, полученные в диссертации, обсуждались на 5 отечественных и 32 международных конференциях и симпозиумах (при личном участии в 12 международных симпозиумах: Болгария -1988, Алма-Ата - 1989, Самарканд - 1989, Польша - 1990, 1995, Дубна -1992, Япония - 1992 (в качестве председателя научной секции), 1996 (конференция и симпозиум), 1997 (совещание и симпозиум), Н.Новгород -1996). Кроме того, результаты докладывались на научных семинарах ряда ведущих институтов: ИЗМИРАН, ИПМ им. М.В.Келдыша, ОИЯИ (Дубна), ЛОМИ им. В.А.Стеклова, ИИ КазАН, ЛГУ, КГУ, ВЦ СО РАН и др. Апробация основных положений теории прошла также в период чтения лекций по проблемам динамики нелинейных волн в плазме в качестве приглашенного профессора в Университете электросвязи (Токио), Нагойском университете и Национальном институте термоядерных исследований (На-гоя) в 1992 г.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Белашов, Василий Юрьевич, 1997 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of "solitons" in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15, N. 6. P. 240-243.

2. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1988. 303 с.

3. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.175 с.

4. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков СЛ., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 319 с.

5. Миура Р. Введение в теорию солитонов и метод обратной задачи рассеяния на примере уравнения Кортевега - де Вриза // Солитоны в действии: Пер. с англ. под ред. А.В. Гапонова-Грехова. М.: Мир, 1981. С. 13-31.

6. Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel, and on a new type of long stationary waves// Phil. Mag. 1895. V. 39, N. 5. P. 422-443.

7. Тода M. Нелинейная решетка (цепочка Тоды)// Солитоны / Под ред. Р.Буллафа и Ф.Кодри. М.: Мир, 1983. С. 163-174.

8. Burgers J.M. Application of model system in statistical theory of free turbulence // Proc. Acad. Sci. Amsterdam, 1940. V. 43, N. 1. P. 2-12.

9. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // ДАН СССР. 1970. Т. 192, N4. С. 753756.

10. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. О трехмерных солитонах // ЖЭТФ. 1974. Т. 66. Вып. 2. С. 594-597.

11. Кузнецов Е.А., Мушер С.Л. Влияние коллапса звуковых волн на структуру бесстолкновительных ударных волн в замагниченной плазме // ЖЭТФ. 1986. Т. 91. Вып. 5(11). С. 1605-1619.

12. Maslov V.P., Dobrochotov S.Yu. Multiphase asymptotics of nonlinear partial equations with a small parameter // Sov. Science Rev., 1981. О VP. 1982. P. 221-311.

13. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19, N. 19. P. 1095-1097.

14. Захаров B.E., Фаддеев Л Д. Уравнение Кортевега - де Фриса - вполне интегрируемая гамильтонова система// Функц. анализ и его приложения. 1971. Т. 5, N4. С. 18-27.

15. Фаддеев Л Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1974. Т. 3. С. 93-180.

16. Манаков С.В. Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения//УМН. 1976. Т. 31. Вып. 5(191). С. 245-246.

17. Кричевер ИМ. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений//УМН. 1977. Т. 32. Вып. 6. С. 183-208.

18. Дрюма B.C. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ) //Письма в ЖЭТФ. 1973. Т. 19. Вып. 12. С. 753755.

19. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I // Функц. анализ и его приложения. 1974. Т. 8. Вып. 3. С. 43-45.

20. Manakov S.V., Zakharov V.E. Bordag L.A., Its A.R. Matveev V.B. Two-dimensional solitons of the Kadomtsev-Petviashvili equation and their interaction//Phys. Lett. 1977. V. 63A, N. 3. P. 205-206.

21. Петвиашвили В.И. Об уравнении необыкновенного солитона// Физика плазмы. 1976. Т. 2. Вып. 3. С. 469-472.

22. Mio К, Ogino Т., Minami К, Takeda S. Modified nonlinear Schrodinger equation for Alfven waves propagating along the magnetic field in cold plasmas // J. Phys. Soc. Japan, 1976. V. 41. P. 265-268.

23. Dawson S.P., Fontan C.F. Soliton decay of nonlinear Alfven waves: numerical studies // Phys. Fluids, 1988. V. 31. N 1. P. 83-89.

24. Каир D.J., Newell A.C. An exact solution for a derivative nonlinear Schrodinger equation// J. Math. Phys., 1978. V. 19. P. 798-804.

25. Petviashvili V.I., Pokhotelov O.A. Solitary waves in plasmas and the atmosphere. London: Gordon and Breach, 1992. 386 p.

26. Pokhotelov O.A., Stenflo L., Shukla P.K. Alfven solitons in the Earth's ionosphere and magnetosphere // J. Geophys. Res., 1996. V. 101. N A4. P. 79137915.

27. Pokhotelov O.A., Stenflo L., Shukla P.K. Nonlinear structures in the Earth's magnetosphere and atmosphere // Plasma Phys. Rep., 1996. V. 22. N 10. P. 852-863.

28. Nagasawa Т., Tsuruta H., Nishida Y. Excitation of converging ion-acoustic solitons // Phys. Lett. 1980. V. 79A, N. 2. P. 71-73.

29. Nishida Y., Nagasawa T. Oblique collision of plane ion-acoustic solitons// Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45, N. 20. P. 1626-1629.

30. Каир D.J. Nonlinear resonances and colliding spherical ion-acoustic solitons //Physica. 1981. V. 2D, N. 2. P. 389-394.

31. Nagasawa Т., Nishida Y. Experiments on the ion-acoustic cylindrical solitons //Plasma Phys. 1981. V. 23, N. 6. P. 575-595.

32. Nakamura Y. Experiments on ion-acoustic solitons in plasmas // IEEE Trans. Plasma Sci. 1982. V. 10, N. 3. P. 180-195.

33. Temerin M., Cerny K., Lotko W., Mozer F.S. Observations of double layers and solitary waves in the auroral plasma // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48, N. 17. P. 1175-1179.

34. Алиханов С.Г., Алиноеский Н.И., Долгов-Савельев Г.Г. и др. Развитие программы по ударным волнам без столкновений // Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. Vienna: IAEA, 1969. P. 47-68.

35. Paul J. W.M. Review of experimental studies of collisionless shocks propagating perpendicular to a magnetic field // Collision-Free Shocks in the Laboratory and Space. Frascati, 1969. P. 97-122.

36. Robson A.E. Experiments on oblique shock waves // Ibid. P. 159-176.

37. Еселевич В.Г., Есъков А.Г., Куртмуллаев P.X., Малютин A.M. Тонкая структура ударных волн в плазме и механизм насыщения ионнозву-ковой турбулентности // ЖЭТФ. 1971. Т. 60. Вып. 5. С. 1658-1671.

38. Gal'perin Y.I. et al. The Alfven wave excited in the middle latitude magnetosphere by large scale acoustic wave which is propagated in the lower ionosphere // Izv. Earth Phys., 1986. V. 21. P. 877-886.

39. Belashov V.Yu. Dynamics of the 3D Alfven Waves Propagating in Magnetized Plasma and Stability Problem // Proc.1996 Int. Conf. on Plasma Physics, Nagoya, Japan, Sept. 9-13, 1996. Contributed Papers. Nagoya, 1997. V. l.P. 954-957

40. Островский JI.А. Ударные волны и солитоны // Изв. Вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19, N 5-6. С. 661-690.

41. Dieter J. Experiments on KdV solitons // J.Phys. Soc. Jap. 1982. V. 51, N. 25. P. 1686-1693.

42. Нелинейные системы гидродинамического типа / Отв. ред. A.M. Обухов. М.: Наука, 1974. 464 с.

43. Gear J.A., Grimshaw R. A second-order theory for solitary waves in shallow fluids // Phys. Fluids. 1983. Y. 26, N. 1. P. 14-29.

44. Katyshev Yu. V., Makhankov V.G. Stability of some one-field solitons // Phys. Lett. 1976. V. 57A, N. 1. P. 10-12.

45. Захаров B.E. Неустойчивость и нелинейные колебания солитонов // -Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 22. С. 364-367.

46. Laedke E.W., Spatschek К.Н. On the applicability of the variation of action method to some one-field solitons // J. Math. Phys. 1979. V. 20, N. 9. P. 1838-1841.

47. Маханъков B.F., Литвиненко Е.И., Швачка А.Б. Численное исследование устойчивости солитона уравнения Кадомцева-Петвиашвили: Препринт ОИЯИ N Р11-80-590. Дубна: ОИЯИ, 1980. 15 с.

48. Кузнецов Е.А., Турицын С.К. О двумерных и трехмерных солитонах в слабо диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1982. Т. 82. Вып. 5. С. 14571463.

49. Freeman N.C. Soliton interactions in two dimensions// Adv. Appl. Mech. 1980. V. 20. P. 1-37.

50. Кузнецов E.A., Мушер С.Л., Шафаренко А.Б. Коллапс звуковых волн в средах с положительной дисперсией // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37. Вып. 5. С. 204-207.

51. Мушер С.Л. Кинетика слабой турбулентности и волновые коллапсы: Дис... докт. физ.-мат. наук. Новосибирск: ИАиЭМ СО АН СССР, 1985.

52. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of AlfVen waves propagating in magnetized plasma// Proc.XXIV General Assembly of URSI, Kyoto, Japan, 1993.

P. 657.

53. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional AlfVen waves // Proc. NEEDS'93, Italy, 1993. P. 242.

54. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of fast magneto-sonic and AlfVen waves propagating in magnetized plasma // Proc. 20th Conf. Fusion'93, Lisboa, Portugal, 1993. P. 467.

55. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional Alfven waves in plasma // Workshop on Theory and Observations of Nonlinear Proc. in Near-Earth Environment, Warsaw, Poland, 1995. Abstracts. Warsaw, Srace Research Center, 1995. P. 5.2.

56. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional AlfVen waves in magnetospheric plasma. // XX General Assembly of EGS, Kille, Germany, May 5-9, 1995. Annales Geophysicae Supplement, 1995. V. 13. P. 78.

57. Belashov V.Yu. The Problem of Evolution and Stability of 3D AlfVen Waves Propagating in the Magnetosphere-Ionosphere Plasma along the Magnetic Field. Физика авроральных явлений, 19-й ежегодный Апатитский семинар. Тезисы докл. Препринт ПГИ № 96-01-99. Апатиты: Кольский научный центр РАН, 1996. С. 38.

58. Вычислительные методы физики плазмы. М.: Мир, 1974. 514 с.

59. Samarski А.А. Numerical methods in problems of low-temperature plasma// Advances in Plasma Physics. New York, 1974. V. 5. P. 185-209.

60. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975. 351 с.

61. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

62. Белашов В.Ю., Чернова Н.М. Эффективные алгоритмы и программы

вычислительной математики. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 250 с.

63. Березин Ю.А. Численное исследование нелинейных волн в разреженной плазме. Новосибирск: Наука, 1977. 112 с.

64. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. Новосибирск: Наука, 1982. 160 с.

65. Абрамян Л.А., Степанянц Ю.А. О структуре двумерных солитонов в средах с аномально малой дисперсией // ЖЭТФ. 1985. Т. 88. Вып. 5. С. 1616-1621.

66. Белашов В.Ю. Численное исследование динамики неодномерных нелинейных волн в слабо диспергирующих средах: Дис... канд. физ.-мат. наук. М.: ИЗМИРАН, 1991.

67. Белашов В.Ю. Уравнение КП и его обобщения. Теория, приложения. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 158 с.

68. Kawahara T.J. Oscillatory solitary waves in dispersive media I I J. Phys. Soc. Jap. 1972. V. 33, N. 1. P. 260-264.

69. Zabolotskaya E.A., Khokhlov R. V. Quasi-plane waves in the nonlinear acoustics of confined beams // Sov. Phys. Acoust. 1969. V. 15, N. 1. P. 35-40.

70. Манин Л.Ю., Петвиашвили В.И. Самофокусировка магнитозвуковой волны поперек магнитного поля // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 38. Вып. 9. С. 427-430.

71. Турицын С.К., Фалъкович Г.Е. Устойчивость магнитоупругих солитонов и самофокусировка звука в аншферромагнетиках // ЖЭТФ. 1985. Т. 89. Вып. 1(7). С. 258-270.

72. Белашов В.Ю. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили и его приложения: Научный отчет ИКИР ДВО РАН. Магадан: Фонды ЖИР, 1989. 48 с.

73. Белашов В.Ю. Об устойчивости двумерных и трехмерных солитонов в слабо диспергирующих средах // ДАН СССР. 1991. Т. 320, N 1. С. 8589.

74. Белашов В.Ю., Тюнина С.Г. Качественный анализ и асимптотики решений обобщенных уравнений КдВ-класса // Изв. вузов. Радиофизика. 1997. Т. XL, N 1. С. 328-344.

75. Белашов В.Ю. О численных методах решения эволюционных уравнений типа уравнения Кадомцева-Петвиашвили: Препринт ИКИР. Магадан, 1989. 21 с.

76. Белашов В.Ю., Карпман В.И. Численное исследование динамики неодномерных солитонов в слабо диспергирующих средах: Препринт H3MHPAHN 43(928). М., 1990. 24 с.

77. Belashov V.Yu. The methods for numerical integration of nonlinear evolutional KP-class equations // XX Int. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, Pisa, Italy, July 8-12,1991. Contributed papers. V. 6. P. 1241-1242.

78. Belashov V.Yu. Numerical Study of Dynamics of 3D Ion-acoustic and FMS Nonlinear Waves in Plasma Using Spectral Approach // Proc. of 5th Int. School/Symp. for Space Simulation (ISSS-5), Kyoto, Japan, March 13-19, 1997. RASC, Kyoto Univ., Kyoto, Japan, 1997. P. 118-122.

79. WadatiM. Stochastic Korteweg-de Vries equation // J. Phys. Soc. Jap. 1983. V. 52. P. 2642-2648.

80. Belashov V.Yu., Karpman V.I. 2D and 3D disturbances dynamics in the weakly dispersive media with dissipation // XX Int. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, Italy, Pisa, July 8-12, 1991. Contributed papers. V. 6. P. 1239-1240.

81. Belashov V.Yu. Dissipation's effect on structure and evolution of nonlinear waves and solitons in plasma // Proc.XI Intern. Wroclaw Symp.on EMC,

Wroclaw, Poland, 1992. V. 2. P. 591-596.

82. Karpman V.I., Belashov V.Yu. Dynamics of two-dimensional solitons in weakly dispersive media//Phys. Lett. 1991. V. 154A,N. 3-4. P. 131-139.

83. Карпман В.И., Белашов В.Ю. О структуре двумерных осциллирующих со-литонов в слабо диспергирующих средах: Препринт ИЗМИРАН N 25 (972). М., 1991. 19 с.

84. Belashov V.Yu. Dynamics of KP equation solitons in media with low-frequency stochastic fluctuations // Proc.XXIV General Assembly of URSI, Kyoto, Japan, 1993. P. 656.

85. Belashov V.Yu. Dynamics of KP equation solitons in media with low-frequency wave field stochastic fluctuations // Phys. Lett. 1995. V. 197A. P. 282-286.

86. Belashov V. Yu. Dynamics of the 3D FMS waves beam in plasma with stochastic fluctuations of magnetic field // Proc. 1996 Int. Conf. on Plasma Physics, Nagoya, Japan, Sept. 9-13, 1996. Contributed Papers. Nagoya, 1997. V.l.P. 950-953.

87. Belashov V.Yu. Dynamics of nonlinear waves and solitons in plasma with wave field stochastic fluctuations. Workshop on Theory and Observations of Nonlinear Proc. in Near-Earth Environment, Warsaw, Poland, 1995. Abstracts. Warsaw, Srace Research Senter, 1995. P. 4.1.

88. Belashov V.Yu. Evolution of the FMS Waves in Plasma with Variable Dispersion // XXV General Assembly of URSI, Lille, France, Aug. 28-Sept. 5, Abstracts. Lille, URSI, 1996. P. 475.

89. Belashov V.Yu. Evolution of the FMS Waves in Magnetosphere-Ionosphere Plasma with Variable Dispersion // Физика авроральных явлений, 19-й ежегодный Апатитский семинар. Тезисы докл.. Препринт ПГИ № 9601-99. Апатиты: Кольский научный центр РАН, 1996. С. 37.

90. Belashov V.Yu. Soliton Evolution in Media with Variable Dispersion // XXI General Assembly of EGS, Hague, The Netherlands, May 6-10, 1996. Annates Geophysicae Supplement, 1996. V.14. P. 91.

91. Karpman V.I., Belashov V.Yu. Evolution of three-dimensional nonlinear pulses in weakly dispersive media // Phys. Lett. 1991. V. 154A, N. 3-4. P. 140144.

92. Belashov V.Yu. Nonlinear effects for FMS waves propagating in magnetized plasma//Plasma Phys. Control. Fusion. 1994. V. 36. P. 1661-1669.

93. Белашов В.Ю. О перемещающихся ионосферных возмущениях в слое F// Ионосферные волновые возмущения. Алма-Ата: Наука, 1989. С. 120-128.

94. Белашов В.Ю. Динамика крупномасштабных ПИВ, возбуждаемых уединенными ВГВ в F-слое ионосферы // III Семинар КАПГ по метеорологическим эффектам в ионосфере. София: БАН, 1989. С. 12-13.

95. Белашов В.Ю. Перемещающиеся ионосферные возмущения в F-облас-ти ионосферы и их влияние на флуктуации ОНЧ радиосигналов// Ргос. IX Int. Wroclaw Symp. on EMC, Poland, Wroclaw, June 28-30, 1988. Wroclaw, 1988. V. 1. P. 181-184.

96. Белашов В.Ю. О возбуждении землетрясениями ВГВ в F-слое ионосферы. Там же. С. 227-229.

97. Белашов В.Ю. О самофокусировке БМЗ в магнитном поле// IX Всесоюзный семинар по ОНЧ излучениям. М.: ИЗМИРАН, 1991. С. 42.

98. Belashov V.Yu. Solitary electron density waves induced by the IGW's solitons in the ionosphere // Proc. 1989 Int. Symp. on EMC, Japan, Nagoya, Sept. 8-10, 1989. Nagoya, 1989. V. 1. P. 228-229.

99. Белашов В.Ю. Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн

на высотах F-области ионосферы // Геомагн. и аэрономия. 1990. Т. 30, N4. С. 637-641.

100. Белашов В.Ю. Динамическая модель слоя F: аспекты использования в численном моделировании // X Семинар по моделированию ионосферы. М., ВИНИТИ, 1990. С. 70.

101. Belashova A.A., Belashov V.Yu. Large-scale wave disturbances generated by the eclipse in the ionosphere and EMC problems // Proc. 1989 Int. Symp. on EMC, Japan, Nagoya, Sept. 8-10, 1989. Nagoya, 1989. V. 1. P. 226-227.

102. Березин Ю.А., Карпман В.И. О нелинейной эволюции возмущений в плазме и других диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1966. Т. 51. Вып. 5(11). С. 1557-1568.

103. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солито-нов. М.: Наука, 1986. 527 с.

104. Спектор МД. Устойчивость кноидальных волн в средах с отрицательной и положительной дисперсией// ЖЭТФ. 1988. Т. 94. Вып. 1. С. 186202.

105. Infeld Е., Rowlands G., Hen М. Three dimensional stability of Korteweg-de Vries waves and solitons //ActaPhys. Polon. 1978. V. 54A. P. 131-139.

106. Infeld E. Three dimensional stability of Korteweg-de Vries waves and solitons. III. Lagrangian methods, K-deV with positive dispersion // Acta Phys. Polon. 1981. V. 60A. P. 623-628.

107. Михайловский А.Б., Макурин С.В., Смоляков A.M. Устойчивость нелинейных периодических волн в слабо-диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1985. Т. 89. Вып. 5(11). С. 1603-1623.

108. Бурцев С.П. Неустойчивость периодической цепочки двумерных со-литонов // ЖЭТФ. 1985. Т. 88. Вып. 5. С. 1609-1615.

109. Белашов В.Ю. Специальные функции и алгоритмы их вычисления. Учебное пособие. Магадан: МПУ, 1997. 36 с.

110. Зайцев А. А. О формировании стационарных нелинейных волн суперпозицией солитонов // ДАН СССР. 1983. Т. 272. N 3. С. 583-587.

ill .Данилов Ю.А., Петвиашвили В.И. Солитоны в плазме // Итоги науки и техники. Физика плазмы. М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 4. С. 5-47.

112. Петвиашвили В.И. Два типа трехмерных солитонов // Труды II между нар. конф. по теории плазмы. Киев, 1974. С. 24-28.

\\3.Marchuk G.I. On the theory of the spliting-up method // Numerical solution of partial differential equations. II. SYNSPADE-1970. N.Y.- L.: Academic press, 1971. P. 16-24.

114. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М: Наука, 1980. 536 с.

115. Мушер С.Л., Шафаренко А.В. Метод численного моделирования волновых коллапсов в средах со слабой дисперсией. Частное сообщение, 1986.

116. Dawson S.P., Fontdn C.F. Extension of the Ablowitz-Ladik Method to the Derivative Nonlinear Schrodinger Equation// J. Comput. Phys., 1988. V. 76. P. 192-200.

117. ПоттерД Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. 392 с.

118. Эрроусмит Д.К., Плейс К.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1986. 243 с.

119. Баутин И.И., Леонтович ЕА. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.

120. Андронов АА., Витт АА., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.568 с.

121 .Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. M.-JI.: ОГИЗ Гостехиздат, 1949. 526 с.

122. Kawahara Т. Formation of saturated solitons in a nonlinear dispersive system with instability and dissipation // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51, N.5. P. 381383.

123. Самарский A.A., Николаев E.C. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

124. Шагалов А.Г. Численное решение обобщенных уравнений самофокусировки вистлеров: Препринт ИЗМИРАН N 38(512). М., 1984. 14 с.

125. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. 831 с.

12в.Хэррис Ф.Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИЭР. 1978. Т. 66, N 1. С. 60-96.

127. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 632 с.

128. Березин Ю.А. О численных решениях уравнения Кортевега - де Вриза// Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1973. Т. 4, N2. С. 20-31.

129. Грудницкий В.Г., Прохорчук Ю.А. Один прием построения разностных схем с произвольным порядком аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных // ДАН СССР. 1997. Т. 234, N 6. С. 1249-1252.

130.Мозес Г. Обобщение обратной задачи рассеяния для одномерного уравнения Шредингера и соответствующие приложения к уравнению Кортевега - де Вриза. Вариационный принцип // Солитоны в действии: Пер. с англ. под ред. A.B. Гапонова-Грехова. М., Мир, 1980. С. 32-44.

131 .Белашов В.Ю. Эволюция солитоиов КдВ на "этапе нестационарности": Препринт. Магадан: СВКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1984. 11 с.

132. Nejon Y. A two-dimensional ion acoustic solitary wave in a weakly relativis-tic plasma // J. Plasma Phys. 1987. V. 38. Part 3. P. 439-444.

133. Taniuti Т., Wei C.C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation, I//J.Phys. Soc. Japan. 1968. V. 24. P. 941-946.

134. Washimi H., Taniuti T. Propagation of ion-acoustic solitary waves of small amplitude // Phys. Rev. Lett. 1966. V. 17, N. 17. P. 966-971.

135. Das G.C., Paul S.N. Ion-acoustic solitary waves in relativistic plasmas // Phys. Fluids. 1985. V. 28. P. 823-837.

136. Vette J.I. Particles and Fields in the Magnetosphere / Ed. B.M. McCormac, Reidel, 1970. 305 p.

137. Shukla P.K., Yu M.Y., Tsintsadze N.L. Intense solitary laser pulse propagation in a plasma // Phys. Fluids. 1984. V. 27. P. 327-334.

W&.Arons J. Some problems of pulsar physics// Space Sci. Rev. 1979. V. 24. P. 417-510.

139. СагдеееР.З. Вопросы теории плазмы. М., Атомиздат, 1964. Т. 4. 319 с.

140. Temerin М., Сегпу К., Lotko W., Mozed F.S. Observations of double layers and solitary waves in the auroral plasma // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48, N. 17. P. 1175-1179.

141. Кузнецов E.A., Мушер С.Л., Шафаренко A.B. Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике // Тр. 2-й Междунар. рабочей группы. Киев, 1983. Ч. I. Киев, 1985. С. 352-359.

142. Литвак А.Г., Петрова ТА., Сергеев A.M., Юнаковский А.Д. Об одном типе самовоздействия волн в плазме // Физика плазмы. 1983. Т. 9, N 3. С. 495-500.

143. Белашова А.А., Белашов В.Ю., Подбельский КН. Комплексные иссле-

дования динамики волновых ионосферных возмущений в Дальневосточном регионе СССР // Геомагн. и аэрономия. 1990. Т. 30, N4. С. 647-650.

144. Belashov V.Yu. Seismogenic Perturbations at Heights of Ionosphere F Layer // Intern. Workshop on Seismo Electromagnetics (IWSE-97), Tokyo, Japan, March 3-5,1997. Tokyo, NASDA, 1997. P. 225-233.

145.Belashov V.Yu. Theoretical and numerical study of effects in ionospheric plasma associated with earthquakes and volcano eruptions // Abstracts of the Intern. Workshop on Electromagnetic Phenomena Relared to Earthquake Prediction, Tokyo, Japan, Sept. 6-8, 1993. Tokyo, Univ. of Electro-Communication, 1993. P. 90.

146. Belashov V.Yu. Some Results of Common Analysis of Ionospheric and Seismic Data Obtained in the Periods of Seismic Activity on the Russian North East Station Network // Intern. Workshop on Seismo Electromagnetics (IWSE-97), Tokyo, Japan, March 3-5, 1997. Tokyo, NASDA, 1997. P. 234238.