Численное исследование динамики неодномерных нелинейных волновых структур солитонного типа в средах с переменной дисперсией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.29, кандидат физико-математических наук Белашова, Елена Семеновна

• Белашова, Елена Семеновна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белашова, Елена Семеновна

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ В ДЛИННОВОЛНОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ.

1.1. Вывод уравнения КП в обобщенных переменных.

1.2. Обобщение уравнения КП с учетом дисперсионных эффектов высшего порядка, диссипации, неустойчивости и стохастических флуктуаций волнового поля.

1.3. Случаи переменной дисперсии.

2. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ, КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И АСИМПТОТИКИ ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КЛАССА КП.

2.1. Устойчивость решений уравнений ОКП-класса.

2.2. Качественный анализ и асимптотики решений уравнений КП-класса.

2.2.1. Основные уравнения. Постановка задачи.

2.2.2. Качественный анализ и асимптотики решений.

2.2.3. Заключительные замечания.

3. ИДЕОЛОГИЯ И РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ ПОДХОДОВ

К ИНТЕГРИРОВАНИЮ УРАВНЕНИЙ КЛАССА КП.

3.1. Семейства явных и неявных разностных схем.

3.1.1. Явные схемы численного интегрирования.

3.1.2. Неявные схемы численного интегрирования.

3.2. Спектральные методы. Динамический спектральный метод.

3.3. Тестирование методов моделирования и их сравнительные характеристики.

4. СТРУКТУРА И ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ ВОЛНОВЫХ СТРУКТУР СОЛИТОННОГО ТИПА.

4.1. Структура и динамика взаимодействия 2D солитонных структур.

4.2. Структура и динамика взаимодействия 3D солитонных структур.

4.3. Эволюция солитонов при наличии стохастических флуктуаций волнового поля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование динамики неодномерных нелинейных волновых структур солитонного типа в средах с переменной дисперсией»

Последние три-четыре десятилетия ознаменованы бурным развитием в различных областях физики нового направления - исследования нелинейных явлений и процессов, при этом переход от линейности к нелинейности является вполне закономерным этапом в развитии любого раздела физики, что обусловлено необходимостью учета все более тонких деталей наблюдаемых явлений в реальных физических средах.

В системах, описываемых волновыми уравнениями, нелинейность, т.е. зависимость поведения волнового пакета от амплитуды, генерируя гармоники с большими волновыми числами, усиливает его диссипацию. Если при этом в системе имеется дисперсия (суть зависимость групповой скорости от волнового числа), то она, перемешивая фазы, подавляет этот процесс. В результате при равных затратах энергии уровень колебаний в диспергирующей среде значительно выше, чем в недиспергирующей. При этом на некоторых ветвях колебаний между нелинейными и дисперсионными эффектами может устанавливаться равновесие и возникают нелинейные волны и солитоны [1-5]. Под солитонами обычно понимают локализованные в пространстве стационарные (локально), устойчивые во взаимодействиях образования [6]. Они представляют собой фундаментальные волновые структуры нелинейных процессов с дисперсией и играют важную роль в широком спектре областей, относящихся к физике сплошных сред.

Разнообразие процессов, происходящих в физических средах с дисперсией, приводит к тому, что даже гидродинамические модели в достаточно полной формулировке описываются сложными системами нелинейных уравнений в частных производных. В этой связи решающее влияние на развитие теории нелинейных волн оказала идея Кортевега и де Вриза, состоящая в возможности значительного упрощения исходных уравнений без потери основных особенностей описываемых ими явлений - путем сохранения нелинейных и дисперсионных членов с одинаковой степенью точности. При этом часто оказывается, что одни и те же уравнения описывают явления различной физической природы в самых разнообразных средах, где имеет место дисперсия.

Впервые такое упрощенное (модельное) уравнение для волн на "мелкой" воде, dtu + audxu + §дгхи = 0, было получено Д. Кортевегом и Г. де Вризом в 1895 г. [7], однако сам термин "солитон" был введен лишь в 1965 г. американскими теоретиками Н. Забуски и М. Крускалом [1], которые показали, что уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) обладает "скрытно линейными свойствами", т.е. допускает решения в виде стационарных уединенных волн - солитонов. Позже оказалось, что уравнение КдВ описывает обширный класс одномерных нелинейных физических систем с дисперсией, когда со «с0кх(1 + 5 кх) (с0 - фазовая скорость колебаний при | кх\ -» 0, 8 - "длина" дисперсии), и помимо гидродинамики встречается в физике плазмы, магнитогидродинамике (см., например, работы [2-4] и цитированную там литературу), теории решеток [8] и т.д., в этом смысле оно является универсальным. Если средам присущи вязкость и теплопроводность, то дисперсия является "мнимой" [со « с0кх( 1 - ivkx /с0)] и подход, предложенный Кортевегом и де Вризом, приводит к уравнению Бюргерса л

9] дtu + аидхи = vdxti, решения которого хорошо описывают такие нестационарные процессы, как, например, образование ударных волн.

В физике атмосферы, гидросферы и плазмы особый интерес представляет динамика неодномерных систем с нелинейностью гидродинамического типа, в которых могут существовать устойчивые стационарные волновые структуры - неодномерные солитоны. Системы такого вида описываются классом уравнений [10] dtu + audxu + fidxu = 9l, (В.1) где и = - функция, определяющая волновое поле; 9? = - некоторый линейный функционал и. Вид правой части уравнения (В.1) определяется волновыми свойствами среды и знаком дисперсии. Например, звуковые волны в плазме со слабой дисперсией, когда волновые числа гармоник, образующих пакет, малы и удовлетворяют неравенствам

6«1, к2х»к\, (В.2) а соотношение дисперсии в линейном приближении имеет вид со *c0kx[\ + kll2k2x+b2kl}, (В.З) описываются уравнением вида (В. 1) с Л = к dxw = V±u: дх (a,v + с0 dxv - с0 5 2dxv + %vdxvj = ±(c0 / 2) A±v. (B.4)

Уравнение вида (B.4) было впервые получено в 1970 г. в работе [11] как л двумерное (2D) обобщение уравнения КдВ (А± = ) и названо по имени авторов уравнением Кадомцева-Петвиашвили (КП), позднее оно было

1 О обобщено на трехмерный (3D) случай (А± = +5/). Для ионного звука, например, когда v имеет смысл ионной скорости, co=cs=(Te/M)112, 8 =Те / Ые п0 (М - масса иона, щ - невозмущенная электронная плотность), в правой части (В.4) стоит знак плюс (в ряде случаев для других мод дисперсия может быть положительной), такой тип волн в основном характерен для изотропных сред, но он иногда встречается и в анизотропных средах. Так, если характеристические частоты ионно-звукового волнового пакета много больше ионной циклотронной частоты соЯ;-, то анизотропией можно пренебречь [3], если же со «соHi, то такое пренебрежение становится недопустимым. При этом в правой части исходного уравнения движения (см. [12]) появляется дополнительный член co///[i,v] (i -орт оси х), а знак второго члена в дисперсионном уравнении (В.З) меняется на минус. В этом случае тоже будем иметь уравнение класса (В.1), но с = nlS.Ldxu, известное как уравнение Захарова-Кузнецова [13].

В замагниченной плазме сН0 »%кпТ в области частот со«соя; возбуждаются быстрые магнитозвуковые (БМЗ) волны, для которых, с учетом c0 = vA = Н0(4ппМ) 1/2, закон дисперсии также сводится к соотношению (В.З) и уравнение для безразмерной амплитуды поля h = Н„/ Н0 (# - магнитное поле волны) также может быть записано в форме уравнения (В.4), которое после перехода в систему координат, движущуюся вдоль оси х с альфвеновской скоростью vA , примет вид [3, 4] dth + jvA sin 0 hdjt -vA6 2dxh = -±vAjALhdx, (B.5)

-00 где 0 - угол между магнитным полем Hq и кх, а

2 / cot2 0

М.

2 ^

8 =

2(4 cot2 0-^1, (В.6)

MJ здесь m - масса электрона.

Для гравитационно-капиллярных волн (ГКВ) на мелкой воде также будет справедливо уравнение вида (В.1) с = ~(с0/ 2)V±w; а = Зс0 /2#;

3 = -с05 2 [10, 12], где с0 = (gH)v2 (Н - глубина жидкости),

82Л

СВ.7)

98 а - коэффициент поверхностного натяжения; р - плотность жидкости. Обобщая уравнения (В.4), (В.5), с учетом перехода в (В.4) в систему координат, движущуюся вдоль оси х со скоростью со, запишем уравнение КП в стандартной форме: dx^dtu + audxu + ^dxuj = кД±и, (В.8) при этом знак отношения Р / к будет определять вид дисперсии. Как видим, уравнение КП (В.8) обладает той же степенью универсальности, что и уравнение КдВ, т.е. справедливо для тех физических систем, в которых закон дисперсии в линейном приближении определяется соотношением (В.З).

Трудность аналитического решения задач, описываемых представленными выше уравнениями, состоит в необходимости выбора эффективной последовательности приемов при построении приближенных решений нелинейных систем, асимптотических по малому параметру [12]. Применение метода теории возмущений сильно затруднено в неодномерном случае, так как при этом вследствие нелинейных резонансов, неустойчивостей и накапливающихся эффектов увеличиваются возможности возникновения сингулярностей в системе [14], что проявляется уже и в одномерных системах. Открытие Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой в 1967 г. метода обратной задачи рассеяния (ОЗР) для уравнения КдВ [15] и последующее развитие этих идей (здесь особо отметим ставшую уже классической статью В.Е.Захарова и Л.Д.Фаддеева [16], а также работы [5, 17-19], в которых рассматриваются неодномерные обобщения метода ОЗР) привело к бурному развитию теории нелинейных волн. В частности, была доказана полная интегрируемость уравнения КП (В.8) при Л± = ду [20, 21], с помощью "метода одевания" [5, 21, 22] построено для Р / к > 0 его точное 2D солитонное решение (впервые найденное В.И. Петвиашвили численно в работе [23]), которое при а = -6, Р = -1, к = -3 имеет вид u{t,x,y) = 2dl lndet В, Km = 5 J*-/vw>>-^-3v„2/) + (l-5 J-, (В.9)

1 v — v уп ут vK+l = -V/ *, \к+l = 5/ *; п>т = lv)2AT; / = 1,., К vn, определяют амплитуды, фазы, векторы скорости и другие параметры солитонов), и найдены инварианты [5] jjudxdy, %2=P= jju2dxdy,

33 =H= \\[Щдхи)2 + w2 -w3Jcbcdy, dxw = dyu (B.10)

3j связан с дивергентностью уравнения КП; 32 является следствием его трансляционной инвариантности и играет роль импульса Р, гамильтониан Н имеет смысл энергии).

Успехи теоретического изучения нелинейных физических систем, имеющих солитонные решения, стимулировали экспериментальные исследования в области физики нелинейных волн (отметим эксперименты с поверхностными и внутренними волнами во вращающихся сосудах и гидролотках [60, 25], радиофизические исследования внутренних гравитационных волн (ВГВ) в верхней атмосфере и ионосфере [26-30], лабораторные и космические эксперименты по изучению возбуждения, эволюции и динамики взаимодействия ионно-звуковых и альфвеновских солитонов, а также структуры ударных волн в плазме [31-42], моделирование динамики солитонов в реальных средах [43], включая электрические линии [44-46], и т.д.). Это, в свою очередь, поставило новые вопросы и выявило актуальность теоретического изучения таких проблем, как устойчивость неодномерных солитонов, динамика их взаимодействия, нелинейные резонансы и образование связанных состояний, учет эффектов, определяемых введением в уравнения класса (В.1) малых поправок, влияние диссипации на структуру и эволюцию неодномерных и нелинейных волн и солитонов, эффекты самовоздействия (коллапс, самофокусировка) и т.д.

В работах [11, 47] для уравнения (В.8) с А± = ду было показано, что при отрицательной дисперсии ((3 /к < 0) одномерные солитоны устойчивы, а при положительной (Р/к > 0) неустойчивы относительно раскачки бесконечно малых возмущений. При этом в работе [11] был исследован случай очень малых к с помощью метода Крылова-Боголюбова, в работе

47] исследование проводилось численно. Было показано, что при Р / к < О возмущение легко переходит из солитона в среду и расплывается во все стороны, при Р / к > 0 оно не может выйти из солитона. В области локализации возмущения скорость перемещения солитона отлична от скорости невозмущенного солитона, последнее с учетом отсутствия расплывания приводит к нарастанию возмущения.

Для 2D и 3D солитонов уравнения КП вопрос исследования устойчивости существенно нетривиален. Наиболее последовательно он был решен в работах [48, 49], в которых методом анализа трансформационных свойств гамильтониана (В. 10) уравнения (В.8) было показано, что 2D со-литон устойчив относительно 2D возмущений. Что касается проблемы его устойчивости относительно изгибов всего фронта (3D возмущений), то анализ линеаризированного на фоне решения (В.9) уравнения (В.8) с п=\, 2; т= 1, 2; / =1 методом теории возмущений [49] показывает, что в этом случае (сдвиг вдоль оси jc) 2D солитон неустойчив. Качественные причины неустойчивости здесь те же, что и в случае одномерного солитона [21, 23]. Однако изучение малых 3D возмущений, соответствующих поперечному сдвигу, показывает, что в длинноволновом пределе 2D солитоны уравнения КП (В.8) оказываются устойчивыми [49]. Следствием устойчивости 2D солитонов уравнения КП относительно 2D возмущений является то, что, как видно из выражения (В.9) при п, т =\,.,N; N=4,6,. и из результатов численных экспериментов [50], они при взаимодействиях испытывают упругие столкновения, причем фазовые сдвиги солитонов после столкновения (хорошо известные в одномерных задачах [6]) тождественно равны нулю [5].

Характер эволюции 3D солитонов в модели (В.8), как было показано численно в работах [46, 48] для БМЗ волн, определяется знаком отношения Р / к. В случае положительной дисперсии рост неустойчивости приводит к нелинейной деформации структуры фронта - выталкиванию поля из центра солитона и его росту на крыльях с образованием одного-двух коллапсирующих кавитонов [48, 51, 52]. При отрицательной дисперсии наблюдающаяся вначале подфокусировка волнового поля переходит затем в режим дефокусировки.

Как ясно из вышесказанного, применение для решения неодномерных задач рассматриваемого класса такого эффективного аналитического аппарата, как методы теории возмущений и ОЗР, весьма затруднено, а в ряде случаев просто невозможно, так как требует введения ограничений на фиксирование классов начальных и граничных (в случае появления в задаче эффективно действующих границ) условий. В такой ситуации для получения информации о нелинейных процессах в широкой области изменения параметров необходимо использовать мощный аппарат методов вычислительной математики, развитый для решения задач гидро- и газодинамики, а также физики плазмы (см., например, работы [53-57] и приведенную в них достаточно полную библиографию). В контексте изучаемых проблем отметим также работы [4, 12, 23, 47, 52, 58]. Использование численных подходов имеет смысл и при решении многих практически важных задач, когда громоздкие и весьма сложные аналитические методы применять нецелесообразно. Заметим, кстати, что впервые 2D солитонные решения уравнения КП были получены именно при численном счете [23], ряд обсуждавшихся нами результатов также был получен численно (см. соответствующие ссылки).

Следует отметить, что как аналитические, так и численные исследования "классического" уравнения КП к настоящему времени можно признать во многом практически завершенными. Однако, что касается приложений моделей КП-класса к нелинейной волновой физике конкретных физических сред, включая атмосферу, гидросферу и плазму, в особенности к задачам, целями которых является изучение тонких эффектов, связанных с реально наблюдаемыми в этих средах процессами, эти исследования еще достаточно далеки от своего завершения. Выскажем по этому поводу несколько весьма существенных замечаний, связанных напрямую с целями и задачами данной диссертационной работы.

Первое. В некоторых случаях коэффициент при третьей производной в уравнениях класса (В.1) может быть близким или даже равным нулю. Это характерно, например, для ГКВ на мелкой воде, когда Я —> (3o7pg)1/2, для БМЗ волн при 0 —> arctan(M/m)1/2 [см. формулы (В.6), (В.7)]. Такая ситуация, однако, не означает исчезновения дисперсии в среде: равновесие между нелинейными и дисперсионными членами в этом случае может быть восстановлено путем удержания следующего члена в разложении полного дисперсионного уравнения по к. Так, разложение в ряд Тейлора соотношения дисперсии для волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости со - Зет / рg)m [3] в предельном случае мелкой воды (кд « 1, 5 = (jp|/<?o)1/2) Дает соf с0к^ + 1(за-Н2)к2 +1 Я2|Я2 -a)-^(3a-tf 2)V

G = G/pg. в. 15)

Преобразование Фурье выражения (В. 15) позволяет найти для уравнения класса (В.1) дисперсионную поправку, пропорциональную пятой производной, появляющуюся в выражении для Щи]\ -уд^и, где коэффициент определяется выражением [59]

У =(с0/6)

Н2(1Н2ду±(3дН2)

В. 16)

Для волн, распространяющихся в замагниченной плазме при Н2»8тгпТ и cq-va « с, со « ш0<-, закон дисперсии в линейном приближении имеет вид [3]

-.1/2 cos2 0

1 + k2c2/al

2„2

1/21 2

Oe

ВЛ7)

Ограничимся рассмотрением лишь магнитозвуковой ветви [знак плюс в выражении (ВЛ 7)]. Разлагая уравнение (В. 17) с точностью до членов четвертого порядка по к включительно, можно получить [10, 12] откуда, аналогично случаю ГКВ, используя преобразование Фурье, нетрудно найти [10, 12]

Как видно из соотношений (В.15) и (В. 18), характер дисперсии в общем случае определяется соотношением параметров Р и у и для больших и малых к может иногда иметь разный знак. Картина, таким образом, значительно усложняется по сравнению с той, что имеет место в стандартных моделях КдВ и КП.

Заметим, что разложение, аналогичное (В. 18), формально можно произвести и для альфвеновской ветви колебаний [знак минус в дисперсионном соотношении (В. 17)], однако это не будет физически оправданно [12], так как не отвечает реальной ситуации, поскольку коэффициент при дис

1 11 персионном члене в уравнениях (В.11), (В. 14) ikrA =ikvA /(Hfji не будет к2с2 ( \ к^ ^ а>« vAk\\ + —^-(cot2 Q-m/MJ+—^-[3(т/М

2со2 8< (В. 18) cot2 01 -4cot4 o(l +cot2 о) . (В. 19) стремиться к нулю ни при каких обстоятельствах.

Второе. Пренебрежение диссипацией часто становится недопустимым и основные уравнения должны быть дополнены соответствующими членами. Например, если рассматривать ионные колебания плазмы, обратные времена которых значительно меньше электронной ленгмюровской частоты, т.е. т <<(4яи0е /ту (в этом случае при Те»Т; затухание Ландау мало), с учетом диссипативных эффектов, связанных с процессом релаксации, то в дисперсионном уравнении появится мнимый член -iv к\ и соответственно в правой части уравнений вида (В.1) и (В. 14) - член Бюргерса [9] vdx и. Как показано в работах [4, 46], v = (р0 / 2р)(с^ - с?) т ) ^ о имеет смысл коэффициента релаксационного затухания "звука", где с^ и

Со - скорости соответственно высоко- и низкочастотного "звука" (послед

1/2 няя совпадает с cs= (Te/m) ); ф(*,т) - функция, определяющая релаксационный процесс. Если же, наоборот, для ионно-звуковых волн в плазме оказывается существенным затухание Ландау, то диссипацию можно учесть, введя в уравнения соответствующий интегральный член [3]

W[u] = -L[u] = -g JJu{x')eik^~x,)dx\ -00 2я t Ю где a = с0(я/и/ 8M) .В дальнейшем, однако, учитывая рассматриваемое в диссертации гидродинамическое приближение, когда со« сс>ое» ограничимся исследованием влияния на структуру и эволюцию нелинейных волн только диссипативных процессов так называемого вязкостного типа.

Обобщение (с учетом сказанного) уравнения КП (В.8) введением дисперсионной поправки следующего порядка и члена, ответственного за затухание, было впервые проведено в работах [10, 12, 60-63] и мы его представим в главе 1.

Третье. Различного рода неустойчивости (тип которых определяется видом и параметрами среды распространения волн), приводящие обычно к быстрому нарастанию возмущений с формированием хаотической турбулентной структуры и перекачке энергии колебаний в другие степени свободы, могут быть учтены введением в левую часть уравнений КП-класса члена, пропорционального четвертой производной: 5 дх4и, который является следствием появления в соответствующем дисперсионном соотношении дополнительного мнимого слагаемого вида -id кх / с0.

И, наконец, четвертое. В реальных средах практически всегда присутствуют как мелко, так и крупномасштабные флуктуации основных характеристик, обусловленные многочисленными причинами, имеющими как детерминированную, так и случайную природу, суммарное воздействие которых на среду носит хорошо выраженный хаотический характер. Суммарное воздействие, в результате, можно в достаточно хорошем приближении рассматривать как стохастические флуктуации волнового поля (поля различных характеристик). Такие флуктуации, естественно, оказывают непосредственное влияние на распространение детерминированных колебаний и уединенных волн, возбуждаемых в среде разнообразными источниками (например, в ионосферной плазме - солнечным терминатором, солнечными затмениями, искусственными взрывами, магнитосферными суббурями, землетрясениями и извержениями вулканов и т.д.). Влияние стохастических флуктуаций волнового поля можно учесть введением в левую часть уравнений класса КП члена вида r| (t, г), описывающего внешний "шум". Так в работе [46] был подробно, аналитически и численно, исследован одномерный случай, когда характеристические размеры солито-на ls много меньше когерентной длины шума /„ и Л^лСО- В работах [4,10, 64] изучались одномерный (1D) [г|=г|(Г, х)] и 2D [г|=л(^ Х>У)] случаи, когда ls </„. Обобщение уравнений класса КП, связанные с учетом неустой-чивостей и стохастических флуктуаций волнового поля будут представлены в главе 1.

Отметим, что точные аналитические решения рассматриваемых нами в диссертации обобщенных уравнений неизвестны, поэтому для интегрирования обобщенных нелинейных систем, учитывающих все перечисленные выше факторы, приходится широко привлекать численные методы. Что же касается аналитических подходов к изучению такого рода систем, то здесь мы ограничены возможностями использования методов качественного и асимптотического анализа решений, исследования проблемы их устойчивости и некоторых частных случаев внешних воздействий среды на структуру и динамику неодномерных нелинейных волн и солитонов [10].

Отметим следующее, во многом определяющее предпринятый в диссертации подход, обстоятельство. До сих пор во всех проводившихся исследованиях уравнений класса (В.1) коэффициенты a,p,y,v и 5, описывающие свойства рассматриваемой среды, предполагались постоянными, что объективно накладывало сильные ограничения на возможный круг изучаемых с помощью этих моделей явлений. В частности, при таком подходе, исследование динамики нелинейных волн и солитонов в неоднородных и нестационарных средах оказывалось, по сути, невозможным. В таких задачах приходилось вводить дополнительные предположения на характерные размеры неоднородностей, которые должны были быть много большими характерных длин волн рассматриваемой задачи, а также полагать процессы временной (фоновой по отношению к изучаемым волновым объектам) изменчивости в свойствах среды квазистационарными, т.е. происходящими на временах, много больших, чем характерные периоды нелинейных колебаний.

Ограничимся несколькими примерами, когда зависимость коэффициентов уравнений класса ОКП от времени и пространственных координат может играть принципиальную роль. Это, в первую очередь, задачи о распространении в атмосфере и ионосфере нелинейных волновых структур в областях резких градиентов основных параметров среды (например, области атмосферных фронтов, а также фронтов солнечного терминатора (СТ) и пятна солнечного затмения (СЗ) [46]). В гидродинамике (физике гидросферы) - это задачи, связанные с эволюцией поверхностных и внутренних уединенных волн при изменяющемся в пространстве и во времени рельефе дна [46] (задачи первого типа могут быть связаны с изучением трансформации волн при их выходе на мелководье, что, например, с практической точки зрения, важно при проектировании и строительстве гидротехнических сооружений в прибрежной зоне; задачи второго типа замыкаются, в частности, на проблему трансформации длинных волн при быстрых тектонических подвижках (вертикальных движениях) морского дна). В этих случаях высота однородной атмосферы и глубина жидкости является функцией H = H(t,x,y), а дисперсионные коэффициенты Р и у есть функции Я [см., например, формулы (В.7) и (В. 16)] (подробнее см. в разд. 1.3).

Другой пример относится к физике плазмы. В выражения для дисперсионных параметров (В.6) и (В. 19) для БМЗ волн входят альфвеновская скорость vA и угол 0 = (kAB) между волновым вектором и магнитным полем [65, 66], которые в неоднородной и/или нестационарной среде есть функции времени и координат: vA=f[B(t,r),n(t,r)] (п - плотность плазмы), 0 = f[B(t, г)]. Такого же типа ситуация имеет место и для ионно-звуковых волн в столкновительной пылевой плазме (см. [67] и разд. 1.3).

В разд. 1.3 описаны и некоторые другие случаи, когда эффекты переменной дисперсии могут оказаться весьма значимыми.

Отметим также, что и коэффициенты при диссипативном члене и члене, описывающем неустойчивость в уравнении ОКП [см. ниже уравнение (1.2.1)], v и 8, в неоднородных и нестационарных средах также могут зависеть от времени и координат [46].

Уравнения ОКП с коэффициентами, зависящими от времени и пространственных координат, являются уже системами с квазилинейными дисперсионными и диссипативными членами, которые могут быть проинтегрированы только численно, что само по себе является очень непростой задачей, требующей развития новых, весьма сложных, алгоритмов. Такого рода задачи составляют основной предмет диссертационного исследования.

Целью работы является исследование динамики неодномерных нелинейных волновых структур солитонного типа на основе уравнений класса КП, обобщенных на случай переменной в пространстве и во времени дисперсии, с учетом дисперсионных эффектов высшего порядка, процессов диссипации "вязкостного" типа и стохастических флуктуаций волнового поля; анализ устойчивости неодномерных солитонных структур и классификация решений методами асимптотического и качественного анализа; исследование приложений в физике верхней атмосферы (ионосферы) и гидросферы, задачах распространения нелинейных импульсов в электрических цепях, а также в физике замагниченной плазмы.

Соответственно могут быть сформулированы следующие задачи, решаемые в диссертации:

1) обобщение уравнения КП на случай переменной во времени и пространстве дисперсии с учетом дисперсионных эффектов высшего порядка, процессов диссипации «вязкостного» типа и стохастических флуктуаций волнового поля (уравнение ОКП);

2) исследование устойчивости 2D и 3D решений уравнения ОКП в без-диссипативном случае;

3) исследование характера асимптотик и качественный анализ решений уравнений ОКП-класса в 4D фазовом пространстве;

4) разработка методов численного интегрирования уравнений ОКП класса, позволяющих с необходимой точностью решать задачи моделирования динамики неодномерных нелинейных волновых структур с учетом эффектов, присущих реальным физическим средам;

5) приложение результатов исследований к изучению проблем: динамики 2D солитонов гравитационных и гравитационно-капиллярных волн (ГВ и ГКВ) на поверхности жидкости при изменяющемся рельефе дна; динамики 2D солитонов ВГВ на высотах F-слоя ионосферы в областях резких градиентов основных ионосферных параметров; распространения нелинейных импульсов в электрических линиях с нелинейной нагрузкой; динамики 3D БМЗ волн в неоднородной плазме, находящейся в неоднородном и/или нестационарном магнитном поле.

Методологической и теоретической базой выполненных исследований послужили работы Б.Б. Кадомцева, В.И. Петвиашвили, В.И. Карпмана, В.Ю. Белашова, в которых были развиты основные положения теории неодномерных нелинейных волновых движений, включая вопросы устойчивости решений, и выполнено её обобщение для геофизических процессов и явлений в замагниченной плазме. При изучении характера асимптотик и построении классификации решений уравнений ОКП-класса в фазовом пространстве использовались идеи и техника Т. Кавахары, А.А. Андронова, Н.Н. Баутина и др. Основой при разработке методов численного интегрирования неодномерных нелинейных уравнений послужили работы Ю.А. Березина, В.И. Петвиашвили, В.Ю. Белашова и В.Г. Маханькова.

Обозначенный подход и определил основное содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 15 разделов, делящихся в свою очередь на подразделы, и заключения.

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Белашова, Елена Семеновна

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах (приведены в хронологическом порядке):

1. Белашова Е.С. Волновые возмущения, возбуждаемые в ионосфере солнечным терминатором//Идеи, гипотезы, поиск.: Сб. статей по материалам VI науч. конф. аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета. Магадан: Изд. СМУ, 1999. - С. 23-26.

2. Белашов В.Ю., Белашова Е.С. Изучение процессов диффузии и переноса в различных средах методами вычислительного эксперимента// Новые технологии в преподавании физики: школа и вуз: Сб. аннотаций докладов II Межд. научно-методич. конф. М.: МПГУ, 2000. - С. 90.

3. Белашов В.Ю., Белашова Е.С., Аношен А.В. Идеология и реализация численных подходов к интегрированию к интегрированию уравнений КП и 3-DNLS-miaccoB. Деп. в ВИНИТИ 11.02.2003 Г., № 273-В2003. Казань: КГЭУ, 2003.-37 с.

4. Belashov V.Yu., Belashova E.S., Anoshen A.V. 2D Solitons in Media with Variable Dispersion: Structure and Evolution//30th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, July 7-11, 2003, St. Petersburg, Russia. ECA. Vol. 27A. P-2.201. //http://eps2003.ioffe.ru/public/pdfs/P-2.201-pre.pdf.

5. Belashov V.Yu., Belashova E.S. Qualitative analysis and asymptotics of solutions of the GKP-class equations with variable dispersion//New Geometry of Nature. Mathematics, Mechanics, Geophysics, Astronomy & Biology. Joint Intern. Sci. Conf., Aug. 25 - Sept. 5, 2003. Kazan State University, Russia. V.l. - P. 35-44.

6. Belashov V.Yu., Belashova E.S., Denisova A.R. Theory and numerical simulation of the internal EM fields excited by the external source in the cable lines of different assignment//Proc. XVII Intern. Wroclaw Symp. on EMC, Wroclaw, Poland, June 29-July 1, 2004. - P. 307-312.

7. Белашова Е.С. Неодномерные солитоны в средах с переменной дисперсией: структура и эволюция//Ш молодёжная научно-техн. конф. «Будущее технической науки», Н.Новгород, 26-27 мая 2004 г. Тезисы докладов. Н.Новгород: ННГТУ, 2004. - С. 273-274.

8. Belashov V.Yu., Belashova E.S., Denisova A.R. Study of propagation of current and voltage waves induced by lightning discharge in a resistive cable line with nonlinear е1етеЩз//Модели, алгоритмы и программы процессов и систем управления электрооборудованием и электрохозяйством: Межд. научно-практ. интернет-конф., Армавир, 21-22 сент. 2004 г. //http:// www.amti.ru/ konf/index.htm.

9. Белашов В.Ю., Белашова Е.С., Денисова А.Р. Исследование характеристик ВТН, распространяющихся в кабельных линиях, возбуждаемых внешними источниками ЭМ поля//В кн.: Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 12. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. -С. 217-220.

10. Белашов В.Ю., Белашова Е.С., Денисова А.Р. Исследование распространения ВТН в электрических линиях с линейной и нелинейной на-грузкой//Межд. научно-практич. интернет-конф. «Электрооборудование и электрохозяйство: процессы и системы управления - ЭЭПС-2005», посвященная 1000-летию г. Казани. // www.kgeu.ru\HayKa.

11. Белашова Е.С., Белашов В.Ю. Солитоны как математические и физические объекты. Казань: КГЭУ, 2006. - 204 с.

12. Belashov V.Yu., Belashova E.S. Nonlinear Dynamics of the 3D FMS and AlfVen Wave Beams Propagating in Plasma of Ionosphere and Magnetosphere//! 4th Gaseous Electronic Meeting - GEM-2006, Murramarang, Australia, 5-9 February, 2006. Program & Abstracts. University of Sydney, Australia, 2006.-P. III-4-1.

13. Белашов В.Ю., Белашова E.C., Денисова А.Р. Исследование распространения ВТН в электрических линиях с линейной и нелинейной на-грузкой//Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2006. № 11-12. С. 25-34.

14. Belashova E.S., Vladimirov S.V. Evolution of Solitary Waves in Complex Media with Variable Dispersion//13th Intern. Congress on Plasma Physics, Kiev, Ukraine, May 22-26, 2006. Kiev: Bogolyubov Institute for Theoretical Physics (BITP) of the National Academy of Sciences of Ukraine. Paper No. C013p. -4p.

15. Belashova E.S., Belashov V.Yu., Vladimirov S.V. Spectral Approach to Numerical Integration of the GKP-Class Equations in the Problems of

Nonlinear Wave Dynamics Simulation//13th Intern. Congress on Plasma Physics, Kiev, Ukraine, May 22-26, 2006. Kiev: Bogolyubov Institute for Theoretical Physics (BITP) of the National Academy of Sciences of Ukraine. Paper No. C154p. - 4p.

16. Belashov V.Yu., Belashova E.S., Vladimirov S.V. Dynamics of the 3D FMS Soliton-like Beam Structures Propagating in Plasma of Ionosphere and Magnetosphere//13th Intern. Congress on Plasma Physics, Kiev, Ukraine, May 22-26, 2006. Kiev: Bogolyubov Institute for Theoretical Physics (BITP) of the National Academy of Sciences of Ukraine. Paper No. C026p. - 4p.

17. Belashova E.S., Belashov V.Yu. Evolution of Solitary Waves in Complex Media with Variable Dispersion//8th Asia-Pacific Conference on Plasma Science and Technology and 19th Symposium on Plasma Science for Materials, Cairns, Australia, 2-5th July 2006. Canberra: Australian National University, 2006. - 1 p.

18. Belashov V.Yu., Belashova E.S., Vladimirov S.V. Dynamics of IGW and Traveling Ionospheric Disturbances in Regions with Sharp Gradients of the Ionospheric Parameters//Australian Institute of Physics 17th National Congress 2006, December 3-8, Brisbane, Australia. Australian Institute of Physics, Brisbane, Queensland, Australia, 2006. Program and Abstracts. Abstract No. WC0111.

19. Belashov V.Yu., Belashova E.S., Vladimirov S.V. Dynamics of IGW and Traveling Ionospheric Disturbances in Regions with Sharp Gradients of the Ionospheric Parameters//Australian Institute of Physics 17th National Congress 2006, December 3-8, Brisbane, Australia. Australian Institute of Physics, Brisbane, Queensland, Australia, 2006. Referreed Papers. Paper No. WC0111. - 5 P

20. Belashova E.S., Belashov V.Yu., Vladimirov S.V. Structure and Evolution of IGW and TID in Regions with Sharp Gradients of the Ionospheric Parameters// Journal of Geophysical Research, 2007. V. 112, A07302, doi:

10.1029/2006JA012220.

21. Белашова Е.С. Математическое моделирование распространения нелинейных импульсов в линиях с дисперсией и потерями// Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2007. № 5-6. - С. 35-40.

22. Белашова Е.С. Алгоритмы моделирования ВТН в линиях с нелинейной нагрузкой и потерями//Тр. II Всеросс. научно-техн. конфер. с межд. участием «Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологии», Тольятти, 16-18 мая 2007 г. Тольятти: ТГУ, 2007. Ч. 1. - С. 41-46.

23. Белашова Е.С. Динамика и трансформация солитонов ВГВ и ПИВ в областях резких градиентов основных ионосферных параметров// Геомагнетизм и аэрономия, 2008. №3,4 (принято к печати).

Основные научные результаты, полученные в диссертации, обсуждались на 3 отечественных и 10 международных конференциях и симпозиумах (при личном участии в 7 международных симпозиумах: Москва -2000; С.-Петербург - 2003; Казань - 2003, 2005; Армавир - 2004; Австралия: Маррамаранг - 2006, Брисбен - 2006). Кроме того, результаты неоднократно докладывались на научных семинарах: Общегородском научном семинаре «Теория и компьютерное моделирование нелинейных и нестационарных процессов в физических средах» (Казань, 2001-2007), семинаре ИКИ РАН (Москва, 2005); семинаре Школы физики Университета Сиднея и Австралийского национального университета (Канберра) - 2005-2006.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белашова, Елена Семеновна, 2007 год

1. Zabusky N.J., Kruskal M.D. 1.teraction of "solitons" in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. N. - 6. P. 240-243.

2. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1988. 303 с.

3. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.- 175 с.

4. Belashov V.Yu., Vladimirov S.V. Solitary Waves in Dispersive Complex Media. Theory, Simulation, Applications. Springer-Verlag GmbH & Co. KG Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 2005, 303 p.

5. Захаров B.E., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Jl.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 319 с.

6. Миура Р. Введение в теорию солитонов и метод обратной задачи рассеяния на примере уравнения Кортевега де Вриза // Солитоны в действии: Пер. с англ. под ред. А.В. Гапонова-Грехова. М.: Мир, 1981. - С. 1331.

7. Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel, and on a new type of long stationary waves// Phil. Mag. 1895. V. 39. N. 5. P. 422-443.

8. Тода M. Нелинейная решетка (цепочка Тоды)// Солитоны / Под ред. Р. Буллафа и Ф. Кодри. М.: Мир, 1983. С. 163-174.

9. Burgers J.M. Application of model system in statistical theory of free turbulence // Proc. Acad. Sci. Amsterdam, 1940. V. 43. N. 1. P. 2-12.

10. Белашов В.Ю. Уравнение КП и его обобщения. Теория, приложения. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 158 с.

11. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // ДАН СССР. 1970. Т. 192. № 4. С. 753756.

12. Белашов В.Ю. Динамика неодномерных нелинейных волн в диспергирующих средах: Дис. докт. физ.-мат. наук. М.: ИЗМИР АН, 1998. 254 с.

13. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. О трехмерных солитонах // ЖЭТФ. 1974. Т. 66. Вып. 2. С. 594-597.

14. Maslov V.P., Dobrochotov S.Yu. Multiphase asymptotics of nonlinear partial equations with a small parameter // Sov. Science Rev., 1981. OVP. 1982. -P. 221-311.

15. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. N. 19. P. 1095-1097.

16. Захаров B.E., Фаддеев JI.Д. Уравнение Кортевега де Фриса - вполне интегрируемая гамильтонова система// Функц. анализ и его приложения. 1971. Т. 5. №4.-С. 18-27.

17. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1974. Т. 3. С. 93-180.

18. Манаков С.В. Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения //УМН. 1976. Т. 31. Вып. 5(191). С. 245-246.

19. Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений // УМН. 1977. Т. 32. Вып. 6. С. 183-208.

20. Дрюма B.C. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кор-тевега-де Вриза (КдВ) // Письма в ЖЭТФ. 1973. Т. 19. Вып. 12. С. 753755.

21. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния.1 // Функц. анализ и его приложения. 1974. Т. 8. Вып. 3. С. 43-45.

22. Manakov S.V., Zakharov V.E. Bordag L.A., Its A.R. Matveev V.B. Two-dimensional solitons of the Kadomtsev-Petviashvili equation and their interaction // Phys. Lett. 1977. V. 63A. N. 3. P. 205-206.

23. Петвиашвили В.И. Об уравнении необыкновенного солитона// Физикаплазмы. 1976. Т. 2. Вып. 3. С. 469-472.

24. Нелинейные системы гидродинамического типа / Отв. ред. A.M. Обухов. М.: Наука, 1974.464 с.

25. Gear J.A., Grimshaw R. A second-order theory for solitary waves in shallow fluids // Phys. Fluids. 1983. V. 26, N. 1. P. 14-29.

26. Heisler L.H. Occurrence of giant travelling ionospheric disturbances at night. Nature, 1959.V. 183. P. 383-384.

27. Hunsucker R.D. Atmospheric gravity waves generated in the high-latitude ionosphere: A review. Rev. Geophys., 1982. V. 20. P. 293-315.

28. Hunsucker R.D. The sources of gravity waves. Nature, 1987. V. 328. P. 204-205.

29. Носке K., Schlegel K. A review of atmospheric gravity waves and traveling ionospheric disturbances: 1982-1995. Ann. Geophys., 1996. V. 14. P. 917940.

30. Belashova A. A., Belashov V.Yu., Poddelskiy I.N. Composite studies of the dynamics of wave disturbances of the ionosphere in the far-eastern USSR // Geomagn. and Aeron., 1990. V. 30. P. 543-549. (Геомагн. и аэрономия, 1990. Т. 30. №4.-С. 647-654).

31. Nagasawa Т., Tsuruta Н., Nishida Y. Excitation of converging ion-acoustic solitons // Phys. Lett. 1980. V. 79A, N. 2. P. 71-73.

32. Nishida Y., Nagasawa T. Oblique collision of plane ion-acoustic solitons// Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45, N. 20. P. 1626-1629.

33. Каир D.J. Nonlinear resonances and colliding spherical ion-acoustic solitons //Physica. 1981. V. 2D, N. 2. P. 389-394.

34. Nagasawa Т., Nishida Y. Experiments on the ion-acoustic cylindrical solitons//Plasma Phys. 1981. V.23,N. 6. P. 575-595.

35. Nakamura Y. Experiments on ion-acoustic solitons in plasmas // IEEE Trans. Plasma Sci. 1982. V. 10,N.3.P. 180-195.

36. Temerin M., Cerny K., Lotko W., Mozer F.S. Observations of double layersand solitary waves in the auroral plasma // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48, N. 17. P. 1175-1179.

37. Алиханов С.Г., Алиновский Н.И., Долгов-Савельев Г.Г. и др. Развитие программы по ударным волнам без столкновений // Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. Vienna: IAEA, 1969. P. 47-68.

38. Paul J.W.M. Review of experimental studies of collisionless shocks propagating perpendicular to a magnetic field // Collision-Free Shocks in the Laboratory and Space. Frascati, 1969. P. 97-122.

39. Robson A.E. Experiments on oblique shock waves // Ibid. P. 159-176.

40. Еселевич В.Г., Еськов А.Г., Куртмуллаев P.X., Малютин А.И. Тонкая структура ударных волн в плазме и механизм насыщения ионнозвуковой турбулентности //ЖЭТФ. 1971. Т. 60. Вып. 5. С. 1658-1671.

41. Gal'perin Y.I. et al. The Alfven wave excited in the middle latitude magnetosphere by large scale acoustic wave which is propagated in the lower ionosphere // Izv. Earth Phys., 1986. V. 21. P. 877-886.

42. Belashov V.Yu. Dynamics of the 3D AlfVen Waves Propagating in Magnetized Plasma and Stability Problem // Proc.1996 Int. Conf. on Plasma Physics, Nagoya, Japan, Sept. 9-13, 1996. Contributed Papers. Nagoya, 1997. V. 1. P. 954-957.

43. Белашов В.Ю. Неодномерные нелинейные волны в реальных средах с дисперсией. Казань: КГЭУ, 2002. 143 с.

44. Островский JI.A. Ударные волны и солитоны // Изв. Вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19, N 5-6. С. 661-690.

45. Dieter J. Experiments on KdV solitons // J.Phys. Soc. Jap. 1982. V. 51, N. 25. P. 1686-1693.

46. Белашова E.C., Белашов В.Ю. Солитоны как математические и физические объекты. Казань: КГЭУ, 2006. 204 с.

47. Маханьков В.Г., Литвиненко Е.И., Швачка А.Б. Численное исследование устойчивости солитона уравнения Кадомцева-Петвиашвили: Препринт ОИЯИ N Р11-80-590. Дубна: ОИЯИ, 1980. 15 с.

48. Кузнецов Е.А., Мушер C.J1. Влияние коллапса звуковых волн на структуру бесстолкновительных ударных волн в замагниченной плазме // ЖЭТФ. 1986. Т. 91. Вып. 5(11).-С. 1605-1619.

49. Кузнецов Е.А., Турицын С.К. О двумерных и трехмерных солитонах в слабо диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1982. Т. 82. Вып. 5. С. 14571463.

50. Freeman N.C. Soliton interactions in two dimensions// Adv. Appl. Mech. 1980. V. 20.-P. 1-37.

51. Кузнецов E.A., Мушер С.Л., Шафаренко А.Б. Коллапс звуковых волн в средах с положительной дисперсией // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37. Вып. 5. С. 204-207.

52. Мушер C.JI. Кинетика слабой турбулентности и волновые коллапсы: Дис. докт. физ.-мат. наук. Новосибирск: ИАиЭМ СО АН СССР, 1985.

53. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975.-351 с.

54. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

55. Белашов В.Ю., Чернова Н.М. Эффективные алгоритмы и программы вычислительной математики. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 250 с.

56. Вычислительные методы физики плазмы. М.: Мир, 1974. 514 с.

57. Samarski А.А. Numerical methods in problems of low-temperature plasma// Advances in Plasma Physics. New York, 1974. V. 5. P. 185-209.

58. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. Новосибирск: Наука, 1982. 160 с.

59. Абрамян Л.А., Степанянц Ю.А. О структуре двумерных солитонов в средах с аномально малой дисперсией // ЖЭТФ. 1985. Т. 88. Вып. 5. С. 1616-1621.

60. Kawahara T.J. Oscillatory solitary waves in dispersive media // J. Phys. Soc. Jap. 1972. V. 33. N. 1. P. 260-264.

61. Карпман В.И., Белашов В.Ю. О структуре двумерных осциллирующих солитонов в слабо диспергирующих средах: Препринт ИЗМИР АН N 25 (972). М., 1991. -19 с.

62. Karpman V.I., Belashov V.Yu. Dynamics of two-dimensional solitons in weakly dispersive media//Phys. Lett. 1991. V. 154A. N. 3-4. P. 131-139.

63. Karpman V.I., Belashov V.Yu. Evolution of three-dimensional nonlinear pulses in weakly dispersive media // Phys. Lett., 1991. V. 154A. N. 3-4. P. 140-144.

64. Belashov V.Yu. Dynamics of KP equation solitons in media with low-frequency wave field stochastic fluctuations // Phys. Lett., 1995. V. 197A. P. 282-286.

65. Belashov V.Yu. Evolution of the FMS Waves in Plasma with Variable Dispersion // XXV General Assembly of URSI, Lille, France, Aug. 28-Sept. 5, Abstracts. Lille, URSI, 1996. P. 475.

66. Belashov V.Yu. Evolution of the FMS Waves in Magnetosphere-Ionosphere Plasma with Variable Dispersion // 19-й ежегодный Апатитский семинар. Тезисы докл. Препринт ПГИ № 96-01-99. Апатиты: Кольский научный центр РАН, 1996. С. 37.

67. Vladimirov S.V., Ostrikov K.N., Yu M.Y. Ion-acoustic waves in a dust-contaminated plasma // Phys. Rev. E, 1999. V. 60. N 3. P. 3257-3261.

68. Белашова E.C. Неодномерные солитоны в средах с переменной дисперсией: структура и эволюция/ЛИ молодёжная научно-техн. конф. «Будущее технической науки», Н.Новгород, 26-27 мая 2004 г. Тезисы докладов. Н.Новгород: ННГТУ, 2004. С. 273-274.

69. Belashova E.S., Vladimirov S.V. Evolution of Solitary Waves in Complex Media with Variable Dispersion//!3th Intern. Congress on Plasma Physics,

70. Kiev, Ukraine, May 22-26, 2006. Kiev: Bogolyubov Institute for Theoretical Physics (BITP) of the National Academy of Sciences of Ukraine. Paper No. C013p. 4p.

71. Белашов В.Ю., Белашова E.C., Аношен A.B. Идеология и реализация численных подходов к интегрированию к интегрированию уравнений КП и 3-DNLS-KJiaccoB. Деп. в ВИНИТИ 11.02.2003 Г., № 273-В2003. Казань: КГЭУ, 2003.-37 с.

72. Белашова Е.С. Математическое моделирование распространения нелинейных импульсов в линиях с дисперсией и потерями// Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2007. № 5-6. С. 35-40.

73. Белашов В.Ю., Белашова Е.С., Денисова А.Р. Исследование распространения ВТН в электрических линиях с линейной и нелинейной нагруз-кой//Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2006. № 11-12. С. 25-34.

74. Belashova E.S., Belashov V.Yu., Vladimirov S.V. Structure and Evolution of IGW and TID in Regions with Sharp Gradients of the Ionospheric Parameters// Journal of Geophysical Research, 2007. V. 112, A07302, doi: 10.1029/ 2006JA012220.

75. Белашова E.C. Динамика и трансформация солитонов ВГВ и ПИВ в областях резких градиентов основных ионосферных параметров// Геомагнетизм и аэрономия, 2007. № 3,4 (принято к печати).

76. Березин Ю.А., Карпман В.И. О нелинейной эволюции возмущений в плазме и других диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1966. Т. 51. Вып. 5(11). -С. 1557-1568.

77. Турицын С.К., Фалькович Г.Е. Устойчивость магнитоупругих солитонов и самофокусировка звука в антиферромагнетиках // ЖЭТФ. 1985. Т. 89. Вып. 1(7). С. 258-270.

78. Zabolotskaya Е.А., Khokhlov R.V. Quasi-plane waves in the nonlinear acoustics of confined beams // Sov. Phys. Acoust. 1969. V. 15. N. 1. P. 35-40.

79. Белашов В.Ю. Об устойчивости двумерных и трехмерных солитонов в слабо диспергирующих средах // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 1. С. 85-89.

80. Белашов В.Ю., Тюнина С.Г. Качественный анализ и асимптотики решений обобщенных уравнений КдВ-класса // Изв. вузов. Радиофизика. 1997. Т. XL. № 1.-С. 328-344.

81. Эрроусмит Д.К., Плейс К.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1986. 243 с.

82. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.

83. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.-568 с.

84. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1949. 526 с.

85. Kawahara Т. Formation of saturated solitons in a nonlinear dispersive system with instability and dissipation // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. N.5. P. 381-383.

86. Belashov V.Yu. The methods for numerical integration of nonlinear evolutional KP-class equations // XX Int. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, Pisa, Italy, July 8-12, 1991. Contributed papers. V. 6.-P. 1241-1242.

87. Белашов В.Ю. О численных методах решения эволюционных уравнений типа уравнения Кадомцева-Петвиашвили: Препринт ЖИР. Магадан,1989.-21 с.

88. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.-592 с.

89. Шагалов А.Г. Численное решение обобщенных уравнений самофокусировки вистлеров: Препринт ИЗМИР АН N 3 8(512). М., 1984. 14 с.

90. Данилов Ю.А., Петвиашвили В.И. Солитоны в плазме // Итоги науки• и техники. Физика плазмы. М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 4. С. 5-47.

91. Петвиашвили В.И. Два типа трехмерных солитонов // Труды II меж-дунар. конф. по теории плазмы. Киев, 1974. С. 24-28.

92. Хэррис Ф.Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИЭР. 1978. Т. 66. № 1. С. 60-96.

93. Березин Ю.А. О численных решениях уравнения Кортевега де Ври-^ за// Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1973. Т.4. № 2. С. 20-31.

94. Белашов В.Ю. О самофокусировке БМЗ в магнитном поле// IX Всесоюзный семинар по ОНЧ излучениям. М.: ИЗМОТАН, 1991. С. 42.

95. Belashov V.Yu. Nonlinear effects for FMS waves propagating in magnetized plasma // Plasma Phys. Control. Fusion. 1994. V. 36. P. 1661-1669.

96. Wadati M. Stochastic Korteweg-de Vries equation // J. Phys. Soc. Jap. 1983. V. 52.-P. 2642-2648.

97. Белашов В.Ю. Эволюция солитонов КдВ на "этапе нестационарности": Препринт. Магадан: СВКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1984. 11 с.

98. Курбацкий В.Г. Качество электроэнергии и электромагнитная совместимость технических средств в электрических сетях. Учебное пособие. Братск: Изд-во БрГТУ, 1999. 160 с.

99. Вене Э.Ф. Влияние электромагнитных полей на экранированные кабели / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1982. 185 с.

100. Дубышкин А.В., Колли Я Н. Наведение ЭДС в длинной линии поперечной плоской электромагнитной волной // Электричество, 1993. № 9. -С. 28-36.

101. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1980. 432 с.

102. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

103. Люк Ю. Специальные функции и их аппроксимации / Пер. с англ. под ред. К.И. Бабенко. М.: Мир, 1980. 608 с.

104. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. 392 с.

105. Тихонов A.M., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-736 с.

106. Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. Специальные функции: теория, алгоритмы вычисления. Казань: КГЭУ, 2002. - 93 с.

107. Белашов В.Ю., Денисова А.Р. Воздействие внешних электромагнитных полей на проводящие линии // Научно-технический форум с международным участием «Высокие технологии -2004»: Матер, докл. Ижевск, 2004.-С. 23-30.

108. Савина О.Н., Ерухимов JI.M. О возможности существования внутренней гравитационной волны в безграничной изотермической атмосфере // Геомагн. и аэрономия, 1981. Т. 21. № 4. С. 679-682.

109. Belashov V.Yu. On two-dimensional IGW solitons in the ionosphere F layer, Geod. Geoph. Veroff. R. III. 1987. 2 p.

110. Белашов В.Ю. О перемещающихся ионосферных возмущениях в слое F // Ионосферные волновые возмущения. Алма-Ата: Наука, 1989. С. 120-128.

111. Белашов В.Ю. Динамика крупномасштабных ПИВ, возбуждаемых уединенными ВГВ в F-слое ионосферы // III Семинар КАПГ по метеорологическим эффектам в ионосфере. София: БАН, 1989. С. 12-13.

112. Белашов В.Ю. Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн на высотах F-области ионосферы // Геомагн. и аэрономия, 1990. Т. 30. №4.-С. 637-641.

113. Манин Л.Ю., Петвиашвили В.И. Самофокусировка магнитозвуковой волны поперек магнитного поля // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 38. Вып. 9. -С. 427-430.

114. Литвак А.Г., Петрова Т.А., Сергеев A.M., Юнаковский А.Д. Об одном типе самовоздействия волн в плазме // Физика плазмы. 1983. Т. 9. № 3. С. 495-500.