Исследование процессов переноса и энерговыделения электронов в наноструктурах методом Монте-Карло тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.04, кандидат наук Нгуен Чыонг Тхань Хиеу

• Нгуен Чыонг Тхань Хиеу
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Чыонг Тхань Хиеу

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ I

1 Упругое рассеяние I

1.1 Свойство волновой функции свободного нерелятивистского электрона

1.1.1 Волновое уравнение Дирака

1.1.2 Волновая функция Дирака для свободного нерелятивистского электрона

1.2 Теория рассеяния Мотта

1.2.1 Амплитуда рассеяния

1.2.2 Дифференциальное и полное сечения

1.3 Метод фазового сдвига

1.3.1 Аналитическое решение при малых г

1.3.2 Численное решение

1.4 Потенциал отдельного атома и "muffin-tin" потенциал

1.4.1 Обменный эффект

1.4.2 Поляризационный потенциал

1.5 Результаты вычисления

Выводы по главе

2 Неупругое рассеяние 3

2.1 Функция потерь энергии

2.1.1 Однополюсное приближение

) (

2.1.2 Алгоритм Линхарда-Пенна

2.1.3 Алгоритм Мермина-Пенна

2.2 Характеристики неупругого рассеяния

2.2.1 Обменный эффект

2.2.2 Результаты вычисления

2.3 Модифицированная формула Бете

Выводы по главе

3 Моделирование рассеяния электрона методом Монте-Карло

в приближении непрерывного замедления

3.1 Метод Монте-Карло в приближении непрерывного замедления . Г> I

3.2 Тестовые результаты

3.2.1 Коэффициент обратного рассеяния

3.2.2 Распределения энерговыделения

Выводы по главе

4 Применение модели Монте-Карло в низковольтной электроннолучевой литографии (Я

4.1 Распределение энерговыделения по глубине

4.2 Функция близости

4.3 Распределение дозы

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 71)

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

(

I

>

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование процессов переноса и энерговыделения электронов в наноструктурах методом Монте-Карло»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Данная работа посвящена исследованию процессов переноса и энерговыделения электронов в наноструктурах методом Монте-Карло (МК). Знание и понимание процессов переноса падающего потока электронов в наноструктурах чрезвычайно важны и актуальны, как в научных исследованиях, так и в практических приложениях (технология низковольтной электронографии прямой записи топологии больших интегральных схем (БИС), микротомография обратно рассеянных электронов). Детальное понимание процессов переноса и взаимодействия электронов с веществом лежит в основе широко применяющихся в настоящее время методов МК и именно это понимание определяет достоверность методов и ценность полученных результатов. В настоящее время, метод МК широко применяется для моделирования рассеяния электронов в твёрдых телах. Однако большинство реализованных в вычислительных программах моделей МК непригодны в области малых энергий и, следовательно, не могут применяться для изучения в низковольтной электронной литографии (ЭЛ), которая позволяет в настоящее время прямо записать в резисте топологию БИС без маски с суб-10 нанометровым разрешением [1, 2].

Метод МК широко применяется для изучения ЭЛ путём моделирования рассеяния электронов в резисте и подложке. Проникающий в резист, падающий электрон претерпевает ряд актов рассеяния. Из-за своей случайности, этот процесс приводит к нежелательному размыванию. Это явление называется эффектом близости, и является основным фактором ограничивающим разрешение ЭЛ. Чтобы исправить этот эффект, требуется не только знание о

процессах переноса электрона в наноструктурах, но и о распределении энерговыделения электрона в резисте в нанометровом масштабе.

При построении траектории электронов в веществе методом МК, дискретный подход с учётом каждого акта упругого и неупругого рассеяния требует не только мощного компьютера, но и огромного времени расчёта. Применение приближения непрерывного замедления (ПНЗ) в МК существенно уменьшает время вычисления. В последнее время алгоритм ПНЗ, в котором потери энергии электронов рассматриваются как непрерывный процесс, широко используется в МК вместо дискретного подхода в случаях когда требуется вычислить усреднённые характеристики переноса электронов, например, распределение выделенной энергии, инжектированного заряда, интегрального коэффициента обратного рассеяния электронов. В этих случая он применяется также как метод тестирования алгоритмов МК (PENELOPE [3], GEANT4 [1]). Метод МК в ПНЗ требует знания только двух характеристик рассеяния: сечения упругого рассеяния и тормозной способности, т.е. средней потери энергии электрона на единице пути.

Для вычисления дифференциального сечения упругого рассеяния электронов широко используется теория Мотта [5] на основе решения волнового уравнения Дирака в сферически-симметричном скалярном потенциальном поле отдельного атома. При малых энергиях должна включаться в расчёт структура твёрдого тела . В литературе почти отсутствуют расчёты упругого рассеяния электронов на остовном потенциале атомов в кристаллической решётке.

При движении в твёрдых телах электрон теряет свою энергию при неупругих столкновениях с атомами в веществе. Вычисление потери энергии электрона сталкивается со значительными трудностями, связанными со сложностью коллективных взаимодействий падающего электрона с электронами оболочек атомов и электронами валентной зоны. В настоящее время, диэлектрический подход [6-S], основанный на экспериментальных оптических дан-

ных [9] по коэффициентам преломления и поглощения фотонов, считается эффективным подходом к вычислению характеристик неупругого рассеяния с высокой точностью, особенно в области малых энергий.

Степень разработанности темы исследования. В настоящее время сечения упругого рассеяния определяются по теории Мотта с использованием модели "muffin-tin" потенциала с включением обменного и поляризационного взаимодействия электрона с атомами в веществе. Детальные исследования можно найти в работах П.Ж. Баньяна и Ж.Л. Щенфельдера, Ф. Сальвата и Р. Майоли и Ж.Д. Мартинеса.

В последние годы диэлектрический подход привлекает большое внимание исследователей при вычислении характеристик неунругого рассеяния. В этом подходе, алгоритм Пенна является одним из наиболее широко используемых алгоритмов. Этот алгоритм основывается на теории Линдхарда, которая развивается дальше Мермином, Ричей и другими.

Целью работы является исследование процессов переноса и энерговыделения электронов в наноструктурах методом МК в ПНЗ. Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Вычисление дифференциального и полного сечений упругого рассеяния электронов в твёрдых телах с использованием модели "muffin-tin" потенциала с включением обменного и поляризационного эффектов.

2. Вычисление характеристик неупругого рассеяния электронов в рамках диэлектрической теории с использованием алгоритма Пенна с помощью диэлектрической функции Мермина.

3. Вычисление энерговыделения и функции близости в ультратонком слое резиста (15 нм водорода-силсесквиоксана (HSQ)) на кремниевой подложке методом МК в ПНЗ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Показано, что при вычислении сечений упругого рассеяния электронов малых энергий в твёрдых телах необходимо использовать модель иотенциа-

ла "muffin-tin" с включением обменного и поляризационного взаимодействия электрона с атомами в веществе.

2. Показано, что при неупругом рассеяния электронов малых энергий наибольшая точность обеспечивается применением диэлектрического подхода, который позволяет сдвинуть нижнюю границу энергии электронов при вычислении тормозной способности и длины свободного пробега электронов в веществе до энергии возбуждения объёмных плазмонов (порядка десяти эВ).

3. Показано, что метод МК в ПНЗ может использоваться для вычисления коэффициента обратного рассеяния падающего на мишень пучка электронов с энергией до нескольких сотен эВ, и энерговыделения электрона малых энергий (порядка 2 кэВ) в ультратонком слое резиста (15 нм HSQ) на кремниевой подложке.

Научная и практическая ценность работы заключаются в том, что теоретически исследованные в работе сечения рассеяния являются основой для понимания физических процессов переноса электронов в современных электронно-эмиссионных методах анализа поверхности таких, как Оже-спект-роскопия, рентгеноэлектронная спектроскопия, а также понимания электрон-но-иучковых технологий. Построенные математические модели позволяют вычислить с высокой точностью основные характеристики рассеяния электронов в твёрдых телах, имеющих важное практическое значение как при исследовании наноструктуры, так и при использовании в изучении ЭЛ.

Методы исследования. В работе использовались методы математической физики, численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, статистические методы расчёта и обработки данных, современные методы вычислительной математики и программирования. Для расчёта дифференциальных и полных сечений упругого рассеяния электронов применялись метод фазовых сдвигов и метод Рунге-Кутта пятого порядка. Для моделирования рассеяния электронов в твёрдых телах использовался метод МК в ПНЗ.

Положения, выносимые на защиту:

1. При вычислении сечения упругого рассеяния электронов в твёрдых телах необходимо использовать модель '"muffin-tin" потенциала с включением обменного и поляризационного взаимодействия электрона с атомами в веществе.

2. При неупругом рассеяния электронов малых энергий наибольшая точность в области малых энергий обеспечивается применением диэлектрического подхода, который позволяет сдвинуть нижнюю границу энергии электронов при вычислении тормозной способности и длины свободного пробега электронов в веществе до энергии возбуждения объёмных илазмонов (порядка десяти эВ).

3. Метод МК в ПНЗ может использоваться для вычисления коэффициента обратного рассеяния падающего на мишень пучка электронов с энергией до нескольких сотен эВ, и энерговыделения электронов малых энергий (порядка 2 кэВ) в ультратонком слое резиста (15 им HSQ) на кремниевой подложке.

Достоверность результатов обусловлена строгим аналитическим обоснованием полученных теоретических положений и обеспечивается сравнением с опубликованными в литературе экспериментальными данными, а также с результатами моделирования рассеяния электронов методом МК.

Апробация результатов. Результаты диссертационного исследования докладывались на XX и XXI Международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2013 и 2014 годы), на XI Российской конференции по физике полупроводников (Санкт-Петербург, ФТИ имени Иоффе, 2013 год), на VI, IX, X, XI и XII Международных семинарах "Физико-математическое моделирование систем" (Воронеж, ВГТУ, 2009, 2012, 2013 и 2014 годы), на смотре-конкурсе научных, конструкторских и технологических работ студентов ВолгГТУ (Волгоград, ВолгГТУ, 2009 год), на 47-й и 48-й внутрпвузовских научных конференциях ВолгГТУ (Волгоград, ВолгГТУ, 2010 и 2011 годы), на

XIII, XV и XVII Региональных конференциях молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, ВолГУ, 2008, 2010 и 2012 годы), на XLVII и XLVIII Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, НГУ, 2009 и 2010 годы).

Публикации. Научные результаты работы опубликованы в следующих рецензируемых журналах: «Journal of Applied Physics», «Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena», «Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms», «Известия ВолгГТУ. Серия: Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь», а также в сборниках тезисов и материалов конференций. Всего -17 работ, из них 3 статьи в рецензируемом журнале, рекомендованном ВАК РФ, и 3 статьи в международных рецензируемых журналах, индексируемых в базе данных Web of Science и Scopus.

Соответствие паспорту научной специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 01.04.04 - «Физическая электроника», а именно пункту 1 - «Эмиссионная электроника, включая процессы на поверхности, определяющие явления эмиссии, эмиссионную спектроскопию и все виды эмиссии заряженных частиц», пункту 4 - «Физические явления в твердотельных микро- и наноструктурах, молекулярных структурах и кластерах; проводящих, полупроводниковых и тонких диэлектрических пленках и покрытиях», и пункту 6 - «Изучение физических основ плазменных и лучевых (пучковых) технологий, в том числе модификации свойств поверхности, нанесение тонких пленок и пленочных структур».

Личный вклад автора. В статьях, приведенных в конце автореферата, содержание и реализация математической модели и результаты моделирования [1-3, 6, 7] обсуждались с научным руководителем В.А. Смоляром; научные результаты [4, 5] получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованных источников. Работа из-

ложена на 83 страницах машинописного текста и включает 18 рисунков, 5 таблиц. Список использованных источников включает 92 наименования на 12 страницах.

Глава 1 Упругое рассеяние

В настоящее время теория Мотта [о] широко используется для расчёта характеристик упругого рассеяния электронов на основе решения волнового уравнения Дирака в сферически-симметричном скалярном потенциальном поле отдельного атома. Эта теория позволяет вычислить дифференциальные сечения упругого рассеяния электронов па отдельном атоме, аналитическое приближение атомного электростатического потенциала определяются моделями Томаса-Ферми-Дирака [10] или Дирака-Хартри-Фока-Слептера [И] и используется численный алгоритм [12]. Однако точность расчётных данных сильно зависит от диапазона энергий падающего электрона. При меньших энергиях необходимо учитывать наложение потенциалов соседних атомов в кристаллической решётке. Однако в литературе почти отсутствуют расчёты упругого рассеяния и поляризации электронного пучка на остовном потенциале атомов в кристаллической решётке.

Целью этой главы является вычисление дифференциального сечения электронов с энергией меньше 30 кэВ с учётом обменного и поляризационного потенциалов в рассеянии в твёрдых телах. И также предложен подход к расчёту фазового сдвига рассеянных сферических волн, на основе теории рассеяния пучка частиц силовым центром, который исходит из решения волнового уравнения Дирака для электрона в сферически-симметричном скалярном потенциальном поле. Сферически симметричное скалярное потенциальное иоле атома было рассчитано в приближении Дирака-Хартри-Фока-Слейтера [11]. В расчёте ограничено взаимодействие падающего электрона с атомами вещества сферой Винера-Зейтца.

1.1 Свойство волновой функции свободного нерелятивистского электрона

1.1.1 Волновое уравнение Дирака

Волновое уравнение Дирака для электрона в операторной форме имеет

вид

^ - V + агрх + а2ру + а3р: + аЛ Ф = О,

(1.1)

где а>ц (/1 = 1,2,3,4) - матрицы Дирака, V - потенциальная энергия электрона, Ф - волновая функция в виде матрицы

Ф

Ф 2(г,г) Ф3 (г,*) Ф 4(г,*)

V

/

Мы будем искать компоненты Ф¿¿(г,£) в виде

ФДг,*) = ^(г)е

—гИ7!1

Здесь полная энергия электрона

V/ — I + Е,

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Е - кинетическая энергия. Отметим, что здесь используется систему единиц, в которой постоянная Планка Н, масса покоя электрона те и скорость света в вакууме с равняется единице. Очевидно, что

¿^ФлМ) = ^ФДг,*).

(1.5)

Подставляя в левую часть уравнения (! 1) волновую функцию (! 2) и учиты-

вая (1 •")), получим следующую систему уравнений

{V/ -V + 1)ф1 + + р2ф3 (IV - V + 1)^2 + Р+Ф3 - РхФа (IV -V - 1)ф3 + Р—1р2 + РгФ\ (IV - V - 1)ф4 + Р+Ф1 - Р=Ф2

где ф^ = ф(1(г), р±=рх± гру.

О, О, О, о,

1.1.2 Волновая функция Дирака для свободного нерелятивистского электрона

Для свободного электрона, то есть в случае отсутствия внешнего силового ноля (Ф = 0), система (!.Ь) превращается в вид

(\¥+ 1)ф1+р-ф4+р=фз = 0)

(IV + 1)ф2 + р+ф3 - р:фА = 0,

(\¥ - + р_ф2 + р2фг = 0,

(IV - 1)ф4 + р+фг - р,ф2 = 0. Из двух первых уравнений системы (1 7) следует

Р-1р4+РгФз

(1.7)

Ф\ = Ф2

Р+Фз - РхФа

(1.8)

Поскольку свободные электроны описаны нлоскимп волнами, компоненты фз и ф4 имеют вид

Фз = Ае>гг, ф4 = ВегРг,

причём А и В - произвольные постоянные. Подставляя (!.'>) в (1 получаем

(1.9)

= _р-В + ргАе,рт

Ф2 =

р+А-р,В IV+ 1 '

(1.10)

,/рг

где р± = рх ± гру. Из (1 ! ()) видно, что

+ ргА

ш =

IV+1

< \р.\\в\ + \рг\\А\ к

\Р\

IV + 1

IV + 1

Для нерелятивистского электрона,

|Р| < 1,

следует

Ж+1 = 1 + £+1~2, так как Е — \р\/2 <С 1. Подставляя (1.13) и (; 12) в (

И + \В\ М + Ш

(1.12)

(1.13)

I), получаем

Аналогично,

1^11 <

Ш <

\Л\ + \В\ Ш + Ш

2 2

Таким образом, для свободного нерелятивистского электрона величины и \ф2\ значительно меньше, чем |-0з| 11 11 поэтому им можно пренебречь.

1.2 Теория рассеяния Мотта

Взаимодействие входящего в твёрдое тело электрона с составляющими вещество атомами обусловлено электростатическими силами. В результате этого взаимодействия электрон может быть рассеян, в результате чего будет изменено направление его импульса. Мы говорим здесь о так называемом упругом рассеянии, при котором не меняется внутреннее состояние атомов. Упругое рассеяние является существенным кулоновским взаимодействием с электростатическим нолем ядра, экранированного атомными электронами. Дифференциальные сечения для такого процесса могут быть рассчитаны в различных приближениях и по различным вычислительным алгоритмам.

Теория рассеяния Мотта [5] представляет дифференциальное сечение как сумма квадратов модулей амплитуд сферических волн для '"прямой" волны (сохраняющей направление спина) и "снин-флип" волны с обратным направлением спина. Амплитуды можно рассчитать на основе фазовых сдвигов сферических волн, которые были получены путём интегрирования уравнений радиальных волновых функций. Уравнения, в свою очередь, могут быть получены на основе применения принципа вариации к средней энергии системы в целом. Использование принципа вариации приводит к появлению так называемой обмена термы и экраиирующнх ядерных потенциалов в уравнении радиальных волновых функций. Обмен термы имеет важное значение лишь при низких энергиях падающих электронов, когда электрон может быть достаточно близко к рассеивающим атомам и суперпозиция его волновой функции с волновой функцией оболочковых электронов атома является значительным. При высоких энергиях этот эффект пренебрежимо мал, что значительно упрощает уравнение волновой функции. Экранирующий ядерный потенциал связывается с распределением зарядовой плотности внутри атома.

1.2.1 Амплитуда рассеяния

Свободный электрон, волновая функция которого плоской

— Р1кг

не >

надает в кристаллической решётке, воздействует с атомом вещества и рассе-вает но всем направлением, поэтому рассеянную волну на больших расстояниях от ядра атома имеет сферический вид

_ ШргЬ-е >

Г

где /(0) - амплитуда рассеяния. В действительности падающий электронный пучок обычно неполяризован. Такой пучок можно рассматривать как

^sphere

пучок, состоящий из одинакового количества электронов, спины которых соответственно параллельны и антипараллельны направлению распространения пучка.

Волновая функция, описывающая рассеяние, представляет собой суперпозицию падающей и рассеянной воли

Ф — Aplane V^sphere-На больших расстояниях тр имеет вид

ф = ékz +

ikz , f(Q)jkr

Г

При этом, электрон считается свободным, поэтому можно пренебречь компоненты 1 и \ф%1 волновой функции Дирака, только интересуют компоненты Ш и \Фа\

^ = + (М = 3,4).

Компоненты волновая функция имеют вид в зависимость от направлении снинов относительно направлении движения электрона [13]: • При антипараллельном

= eikz + М^1егкг = ]Г НМ^Г + ZTB^Gt) pi(cos°).

1=о

ос

^f = 9MfHeikr = Y^ (-C^GJ + Pfcoseyv. r i=i

(1.14)

• При параллельном

Ф? = B^jkr = £ _ pi(cos ву-*ч>

kz ,

ОС

\ —> I —> I / I \ '

1=1

ос

(1.15)

г/jf = егЬ + ¿^1егкг = J2 (-е+С^ + Pi (cos 9).

r 1=0

Здесь Pi - полиномы Лежандра, Pf - присоединённые функции Лежандра первого рода. = — I — 1, и ¿¡~ = /, причём I - орбитальное квантовое число.

При больших г, функция Gf приближается выражением

где г) ¿г - фазовый сдвиг.

Подставляя (1.11)) в первое выражение (1.1!) и используя разложение плоской волны в сферической координате

1 ^ ... Л ,7Г

'2

iikz = +sin [kr -) pi(c°se)i

1=0

получаем

1

MUjkr = _

r Ar

¿ + P?(COS0), (1.17)

/=0

где

Az, = A^ sin ^fcr - + - г1 sin (kr - , B+ = B^ sin (kr - + - i1 sin (kr - . Для нахождения разложив с использованием равенства

sin в —

еw _ e~i6 2¿

(1.18)

получаем

= AZ

7Г \ / 7Г

ilkr-l — +5, —i I kr—l — +ó¡

eV 2 / _ e V 2

7Г

i I kr—l —

2i

1 2¿

г e

kr-l-

7Г

— [ Л-е^ - гМ e

-м кг-

— е V

2г

/ 7Г

-г fcr- ■/ —

. V 2

(1.19)

Так как левая часть (1.1 .) не содержит член е , то в (1.19) должно быть имеет место

А^е~г6' - г' = 0,

или

А- = г'е^".

(1.20)

Подставляя (1.20) в (1.19) и используя равенство

7Г

г — е 2 ,

получаем

К

Аналогично,

p2iöf _ 1 i(kr-l— ) p2i57 i А kr- —

—-U-le\ 2/ — -1e{ 2

(1.22)

¿1 kr-l—+<5,+ ] -i[kr-l^~+6+

tt

r ____ '2

Bt = Вт

■V

7Г\ К

!иг-'2)_;!Г2

Из требования

2 г

/ 7Г

г fcr-/ —

- гМ е V 2

2 г

/ 7Г ч -I Ат-/ —

B-±e~i5^ — il) е V 2

— г = О

следует

В- - г е

И

=

е^-^ДНЬ е

_ 1

2 2 Подставляя (1.23) и (1.22) в (1.17), учитывая (¡.21), находим

1=0

2iSl

1

P,(cos0).

(1.23)

Сейчас, аналогично, подставляя (1.Ь>) во второе выражение (1.1 1) и учитывая (1.18), имеем

9AQ)cikr = J_

г кг

£

/=i

7Г

г I fcr—I — +<5Г 2 '

-а

7Г

-¿| kr-l-+5j

2 г

+£>г

¿1 fcr-г—+<5,+

7Г :2'

7Г

—г I кт—1 — +57

— е

P/(cos0)e^. (1.24)

Чтобы член е гкг не существует в правой части (1.2 I), требуется

- = 0.

При этом имеем

1=г

Так как значение амплитуды не зависит от выбранного параметра, то имеет место

' 7Г

-Щ-+6+

или, учитывая (1.21

Отсюда следует

V ^ / = 1,

и, поэтому,

= ¿к £ (~е2г'Г + ^О ^1(С08 ^

г=1

Аналогичным способом для параллельного случаи, находим где /(9) и - амплитуды рассеяния

ос

№ = ^ Е Н+ (е2г5Г - + *Г {с215' - 1)] Р^ОВв),

1=0 ОС

f('?) = ¿E(-eЫГ+e2¡í')p'l(C0SÍ')'

/=1

(1.25)

1.2.2 Дифференциальное и полное сечения

При упругом рассеянии, вычисленном на основе решения релятивистски-инвариантного волнового уравнения Дирака, дифференциальное и полное сечения рассеяния электрона определяются выражениями [5]

^(0)Н/(0)|2 + Ш|2, (1-26)

o-el = 2tt f ^Sin0d6>. (1.27)

J о du

где амплитуды рассеяния /(#) и д{0) определяются выражениями (;/2~*). В отличие от нерелятивистской квантовой механики, здесь учитывается ориентация спинов относительно направления движения электрона.

1.3 Метод фазового сдвига

Фазовый сдвиг 8f в (I Ш) может быть определён на основе волнового уравнения Дирака для электрона в сферически симметричном скалярном потенциальном поле. Система радиальных уравнений Дирака для электрона имеет вид [12]

dGf . l + if dr

(W - У + 1 )Ff + +-l-Gf = 0,

■(W -V- 1 )Gf + + = 0.

i dr r

(1.28)

Используя замены Лина-Шермана [14]

A±(r)

I

Gf(r) = ^ cos 0f(r),

(1.29)

и их производные

d Ff dr II Ff Af + GI dr Ft r

d Gf dr d Af dr Gf Af F> dr Gf r

(1.2Ч), получаем

(W - V + 1)F? + - F+^t + S-Gf = О,

1 dr Af 1 dr г '

, dAt Ft , # ±

—(У/ -V- 1)<3± + -т^-^т + ---= О-

I ¿г « г I

Умножив первое и второе уравнения полученной системы но порядку на и получим

' (]¥ — V +1) )2 + ^^ - (Р?)2 ^ + = о,

- V -1) (с±)2 + ^^ + (с?Г)2 ^ - ^с? = о.

Вычитая первое уравнение из второго, и используя равенства

(РП2 + (Gf)2 = (АГ

2

\ Г /

2 Fl±Gf= sin 2(f)f,

находим уравнение

^L = w - V - cos 2(f>f + íj- sin 2cpf. (1.30)

dr r

В настоящее время не существует аналитического решения уравнения (i ЗП). Отметим, что правая часть уравнения (1.30) стремится к бесконечности при т —У 0 и это затрудняет получение численного решения уравнения. Численное решение этого уравнения предложенное Баньяном и Шонфельдером [12] ищется в два этапа: сначала находится приближенное аналитическое решение в области малых радиусов 0 < г ^ го методом разложения в ряд по степеням г, а затем найденное решение используется для задания граничного условия ф^{го) и нахождения численного решения для отдельного атома в области г > г0.

1.3.1 Аналитическое решение при малых г

При малых г, функция (ftf может быть разложена в ряд Тейлора

<t>f = <¡>f{r) ~ <р% + tp^r + pf2r2 + <p±r\ (1.31)

В дальнейших преобразованием используются тригонометрические соотношения

cos 2(f)f = cos 2сpfQ cos 2 (pfr + pf2r2 + p%r3)

— sin 2ipfQ sin 2 (ipfxr + pf2r2 + pf3r3) , sin 2(pf = sin 2p^ cos 2 [pfr + <-pfr2 +

+ cos 2pf0 sin 2 (ipfxr + pf2r2 + <^r3) , cos 2 (^r + pf2r2 + ipfzr3) = cos 2(pf[r cos 2 (</?/2^2 + ^/з7"3)

— sin 2<pfxr sin 2 (^i7"2 + vf^) > sin 2 + c/^r2 + í/?gr3) = sin 2pfxr cos 2 (pf2r2 + c^r3)

+ cos 2pfxr sin 2 (cpf2r2 + <^/зг3) '

Используя приближение

sin а; ~ х ——, 6

ж2

cosa: ~ 1--,

2

для х <С 1, и пренебрегая членами со степенями г4 и выше, имеем

cos.

sin 2 (<pf2r2 + p±r3) ~ 2<p%r2 + 2p%r\

Отсюда следует

cos2 (<р±г + ípf2r2 + V^r3) =1-2 {<Pn)2r2 - 4

£

3

sin 2 (tpfr + p>f2r2 + </>±r3) = + 2<¿f2r2 + 2 - ? (^)3 ) r3,

и поэтому

сое 2ф^ = соэ 2<^ (1-2 (</^)2 г2 -

эт

сое 2^

С другой стороны, при малых г потенциальная энергия электрона V может быть представлена в виде

V = У(г) ~ — (г^о + VIг + V2г2 + v■¿r3) = — + VI + -и2г + vsг2. (1.32)

Подставляя (I 32) и полученные разложения в (1 Зп), учитывая производную приближения (1.31)

(1.33)

^ = у* + 2 + 3 <^3г2,

имеем

+ 2 (р^г + 3 (рр3г2 — IV — — — VI — V2 г — г*

- соз2^ (1 - 2 V - 4(^|г3)

+ эш 2(р±г + 2р%г2 + 2 ^ - | ( ^ 8Ш 2^ (1-2 (<я5)2 Г2 - 4<^2г3

+

+ сое 2(р

ю

2у>± + 2^2г + 2 (<р?3 - \ г2

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г в этом выражении,

получаем коэффициенты в разложении (Í .3

(t + О = —^ + — sin 2^,

Г Г

,± —лит i 0/7±,„± 0,„±

^ — г»! — cos + 2£fipfl cos 2^,

= — v2r + 2(/?цГ sin — (va)2 т sin + 2£f(pf2r cos 2(pf0, 3^r2 = - -u3r2 + 2 (^a)2 r2 cos 2<P/o + 2^r2 sin 2<^ю ~ ^tfti^7"2 sin 2(¿>±

ю

3

0 =4(¿>/1 <pt2i* cos 2y>± + 2 (Vf3 - H J r3 sin 2^. Отсюда следует

sin 2^=^, (1.34)

1 — 2£f cos 2(ft)

2 (l-¿feos 2^)

+ 2</>± (1 - sin + 2 (<^)2 (l - cos2^f0

Ví3 = 5 ;Т7±7717Г7± •

cos 2ipl0

(1.37)

Таким образом, зная коэффициенты (и = 0,1,2,3) функции У в разложении (1 32), мы можем определить значения коэффициенты [у — 0,1, 2, 3) функции ф^ при малых г с использованием разложения (1.31). Значения коэффициентов г^ зависят от конкретной формы используемого потенциала.

1.3.2 Численное решение

Зная (/^(го), где г о - некоторое малое значение г, мы можем вычислить значение ф^(г) на больших г путём численного решения уравнения (! 30) методом Кэша-Карпа [15] (метод Рунге-Кутта пятого порядка). В отличее от

Баньяна и Шонфельдера [12], мы используем радиус Вигнера-Зейтца г3 в качестве верхнего предела радиуса г, так как в настоящей работе мы рассматриваем рассеяние электронов в твёрдых телах. В качестве значения параметра Го использовался радиус ядра атома

г о

1.2 • 10~5ЛГ1/3 (Á),

(1.38)

где Ах - атомная масса.

Для определения значения фазового сдвига 8f при больших г, разделив первое уравнение (! /2Ч) на Gf, и опять используя замену Лина-Шермана (i 29), получаем

1 Н Г7± i _l /±

(W — V + l) tan <f>f + + = 0. (1.39)

Gf dr

r

При больших г, функция кроме может быть приближаться выражением (1.1<)), также может быть приближённо представлена в виде

Gf ~ ji(kr) eos 8f — щ(кг) eos 8f,

(1.40)

где - функции Бесселя, щ - функции Неймана. Учитывая соотношение

//0е) = ~МХ) - /тО),

X

где /(ж) понимается ](х) ог п(х), мы получаем

1 dGf _ j¡{kr) - п[(кг) tan 5

± ■

(1.41)

Gf dr ji(kr) — ni (kr) tan 8f Подставляя (1.П) в (1.39), окончательно находим формулу фазового сдвига рассеянных сферических волн на больших расстояниях от рассевающего атома, и полагая V(r ^ rs) = 0, получим

tan^ =

kji+i(kr) -ji(kr) (W + l)tan <(>f-\ 1+1+ef r

kni+i{kr) - m(kr) (W + 1) tan <pf 1 + 1 +if] j.-L r

25

(1.42)

1.4 Потенциал отдельного атома и "muffin-tin" потенциал

При рассеянии на отдельном атоме, потенциальная энергия электрона У(г) — = — предполагается сферически-симметричной, где ср(г)

- сферически-симметричный потенциал отдельного атома, вычисленный в релятивистски-инвариантном приближении Дирака-Хартри-Фока-Слейтера (ДХФС) [11], в котором учитывается спин-орбитальное взаимодействие электронов атома

где Z - атомный номер, значения коэффициентов Л{ и аг определяются аналитической процедурой подгонки к значениям потенциала, найденным методом самосогласованного поля ДХФС, их значения для элементов от Z — 1 до Z — 92 приводятся в [11]. Потенциал ДХФС дает более точное сечение упругого рассеяния, так как это потенциал происходит от самосогласованных вычислений и, следовательно, более точно описывает атомную структуру. Отметим, что здесь и далее используется атомная система единиц, в которой масса покоя электрона те, постоянная Планка h и элементарный заряд е равняются единице.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Чыонг Тхань Хиеу, 2014 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ источников

[1] Manfrinato, V. R. Sub-5keV electron-beam lithography in hydrogen silsesquioxane resist / V. R. Manfrinato, L. L. Cheong, H. Duan, et al. // Microelectronic Engineering, 2011. - Vol. 88, № 10. - P. 3070-3074.

[2] Lee, B. Sub-10-nm-resolution electron-beam lithography toward very-high-density multilevel 3D nano-magnetic information devices / B. Lee, J. Hong, N. Amos, et al. // Journal of Nanoparticle Research, 2013. - Vol. 15, № 6. -R 1665.

[3] Penelope-2011: A code system for monte carlo simulation of electron and photon transport / [URL] http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/ detail/nea-1525.

[4] Kieft, E. Refinement of Monte Carlo simulations of electron-specimen interaction in low-voltage SEM / E. Kieft, E. Bosch // Journal of Physics D: Applied Physics, 2008. - Vol. 41, № 21. - P. 215310.

[5] Mott, N. F. The Scattering of Fast Electrons by Atomic Nuclei / N. F. Mott // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1929. - Vol. 124, № 794. - P. 425-442.

[6] Lindhard, J. On the properties of a gas of charged particles / J. Lindhard //Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 1954. - Vol. 28, № 8.

[7] Ritchie, R. H. Interaction of Charged Particles with a Degenerate Fermi-

Dirac Electron Gas / R. H. Ritchie // Physical Review, 1959. - Vol. 114, № 3. - P. 644-654.

[8] Pines, D. Elementary Excitations in Solids / D. Pines. - New York: Benjamin, 1963.

[9] Palik, E. D. Handbook of Optical Constants of Solids, Vol. I. / E. D. Palik.

- Boston: Academic, 1998.

[10] Bonham, R. A. Analytical Expressions for Potentials of Neutral Thomas—Fermi—Dirac Atoms and for the Corresponding Atomic Scattering Factors for X Rays and Electrons / R. A. Bonham, T. G. Strand // The Journal of Chemical Physics, 1963. - Vol. 39, № 9. - P. 2200.

[11] Salvat, F. Analytical Dirac-Hartree-Fock-Slater screening function for atoms (Z-l-92) / F. Salvat, J. Martnez, R. Mayol, et al. // Physical Review A, 1987. - Vol. 36, № 2. - P. 467-474.

[12] Bunyan, P. J. Polarization by mercury of 100 to 2000 eV electrons / P. J. Bunyan, J. L. Schonfelder // Proceedings of the Physical Society, 1965. -Vol. 85, № 3. - P. 455-462.

[13] Mott, N. F. The theory of atomic collisions / N. F. Mott, H. S. W. Massey.

- Oxford: Clarendon Press, 1965.

[14] Lin, S.-R. Elastic scattering of relativistic electrons by screened atomic nuclei / S.-R. Lin, N. Sherman, J. K. Percus //Nuclear Physics, 1963. - Vol. 45. -P. 492-504.

[15] Cash, J. R. A variable order Runge-Kutta method for initial value problems with rapidly varying right-hand sides / J. R. Cash, A. H. Karp // ACM Transactions on Mathematical Software, 1990. - Vol. 16, № 3. - P. 201-222.

[16] Raith, H. Komplexe Atomstreuamplituden fur die elastische Elektronenstreuung an Festkorperatomen / H. Raith / / Acta Crystallographica Section A: Crystal Physics, Diffraction, Theoretical and General Crystallography, 1968. - Vol. 24, № 1. - P. 85-93.

[17] Furness, J. B. Semiphenomenological optical model for electron scattering on atoms / J. B. Furness, I. E. McCarthy // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics, 1973. - Vol. 6, № 11. - P. 2280 -2291.

[18] Salvat, F. Optical-model potential for electron and positron elastic scattering by atoms / F. Salvat //Physical Review A, 2003. - Vol. 68, № 1. - P. 012708.

[19] Schwerdtfeger, P. Table of experimental and calculated static dipole polarizabilities for the electronic ground states of the neutral elements (in atomic units) / P. Schwerdtfeger. - 2012. - [URL] http://ctcp.massey. ac.nz/dipole-polarizabilities

[20] Mittleman, M. H. Effects of the Pauli principle on the scattering of high-energy electrons by atoms / M. H. Mittleman, K. M. Watson //Annals of Physics, 1960. - Vol. 10, № 2. - P. 268-279.

[21] Salvat, F. elsepa—Dirac partial-wave calculation of elastic scattering of electrons and positrons by atoms, positive ions and molecules / F. Salvat, A. Jablonski, C. J. Powell // Computer Physics Communications, 2005. -Vol. 165, № 2. - P. 157-190.

[22] Netlib. - [URL] http://netlib.org.

[23] Fink, M. Theoretical electron scattering amplitudes and spin polarizations / M. Fink, J. Ingram // Atomic Data and Nuclear Data Tables, 1972. - Vol. 4, № 72. - P. 129-207.

[24] Riley, M. E. Theoretical electron-atom elastic scattering cross sections /

M. E. Riley, C. J. MacCallum, F. Biggs // Atomic Data and Nuclear Data Tables, 1975. - Vol. 15, № 5. - R 443-476.

[25] Mayol, R. Total and Transport Cross Sections for Elastic Scattering of Electrons By Atoms / R. Mayol, F. Salvat // Atomic Data and Nuclear Data Tables, 1997. - Vol. 65, № 1. - R 55-154.

[26] Salvat, F. Elastic scattering of electrons and positrons by atoms. Schrödinger and Dirac partial wave analysis / F. Salvat, R. Mayol // Computer Physics Communications, 1993. - Vol. 74, № 3. - P. 358-374.

[27] Bakaleinikov, L. Differential and total elastic cross section / L. Bakaleinikov, Y. Polovko. - 1998. - [URL] http://www.ioffe.ru/ES/Elastic

[28] Bethe, H. Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie / H. Bethe // Annalen der Physik, 1930. - Vol. 397, № 3. - P. 325-400.

[29] Penn, D. Electron mean-free-path calculations using a model dielectric function / D. Penn //Physical Review B, 1987. - Vol. 35, № 2. - P. 482-486.

[30] Shinotsuka, H. Calculations of electron stopping powers for 41 elemental solids over the 50eV to 30keV range with the full Penn algorithm / H. Shinotsuka, S. Tanuma, C. Powell, et al. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms, 2012. - Vol. 270. - P. 75-92.

[31] Tung, C. Electron slowing-down spectra in aluminum metal / C. Tung, R. Ritchie //Physical Review B, 1977. - Vol. 16, № 10. - P. 4302-4313.'

[32] Mao, S. F. Electron inelastic scattering and secondary electron emission calculated without the single pole approximation / S. F. Mao, Y. G. Li,

R. G. Zeng, et al. //Journal of Applied Physics, 2008. - Vol. 104, № 11. -P. 114907.

[33] Jensen, K. 0. Monte Carlo simulation of the transport of fast electrons and positrons in solids / K. O. Jensen, A. B. Walker //Surface Science, 1993. -Vol. 292, № 1-2. - P. 83-97.

[34] Nguyen-Truong, H. T. Energy-loss function including damping and prediction of plasmon lifetime. / H. T. Nguyen-Truong // Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena, 2014. - Vol. 193. - P. 79-85.

[35] Mermin, N. Lindhard Dielectric Function in the Relaxation-Time Approximation / N. Mermin // Physical Review B, 1970. - Vol. 1, № 5. - P. 2362-2363.

[36] Nguyen-Truong, H. T. Determination of the maximum energy loss for electron stopping power calculations and its effect on backscattering electron yield in Monte-Carlo simulations applying continuous slowing-down approximation / H. T. Nguyen-Truong //Journal of Applied Physics, 2013. -Vol. 114, № 16. - P. 163513.

[37] Shiles, E. Self-consistency and sum-rule tests in the Kramers-Kronig analysis of optical data: Applications to aluminum / E. Shiles, T. Sasaki, M. Inokuti, et al. //Physical Review B, 1980. - Vol. 22, № 4. - P. 1612-1628.

[38] Hippler, R. Plane wave born calculations of K-shell ionization at low velocities / R. Hippler //Physics Letters A, 1990. - Vol. 144, № 2. - P. 81-85.

[39] Ashley, J. C. Calculations of mean free paths and stopping powers of low energy electrons (<= 10 keV) in solids using a statistical model / J. C. Ashley, C. J. Tung, R. H. Ritchie, et al. //IEEE Transactions on Nuclear Science, 1976. - Vol. 23, № 6. - P. 1833-1837.

[40] Ashley, J. Electron inelastic mean free paths and energy losses in solids / J. Ashley, C. Tung, R. Ritchie //Surface Science, 1979. - Vol. 81, № 2. - P. 409-426.

[41] Ashley, J. Interaction of low-energy electrons with condensed matter: stopping powers and inelastic mean free paths from optical data / J. Ashley // Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena, 1988. - Vol. 46, № 1. - P. 199-214.

[42] Ashley, J. Energy loss rate and inelastic mean free path of low-energy electrons and positrons in condensed matter / J. Ashley // Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena, 1990. - Vol. 50, № 2. - P. 323-334.

[43] Tanuma, S. Calculations of electorn inelastic mean free paths. II. Data for 27 elements over the 50-2000 eV range / S. Tanuma, C. J. Powell, D. R. Penn //Surface and Interface Analysis, 1991. - Vol. 17, № 13. - P. 911-926.

[44] Werner, W. S. Electron inelastic mean free path measured by elastic peak electron spectroscopy for 24 solids between 50 and 3400 eV / W. S. Werner, C. Tomastik, T. Cabela, et al. //Surface Science, 2000. - Vol. 470, № 1-2. -P. L123-L128.

[45] Werner, W. S. Elastic electron reflection for determination of the inelastic mean free path of medium energy electrons in 24 elemental solids for energies between 50 and 3400 eV / W. S. Werner, C. Tomastik, T. Cabela, et al. // Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena, 2001. - Vol. 113, № 2-3. - P. 127-135.

[46] Tanuma, S. Calculations of stopping powers of 100 eV to 30 keV electrons in 10 elemental solids / S. Tanuma, C. J. Powell, D. R. Penn //Surface and Interface Analysis, 2005. - Vol. 37, № 11. - P. 978-988.

[47] Akkerman, A. Ion and electron track-structure and its effects in silicon: model and calculations / A. Akkerman, J. Barak, D. Emfietzoglou //Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms, 2005. - Vol. 227, № 3. - P. 319-336.

[48] Ziaja, B. Ionization by impact electrons in solids: Electron mean free path fitted over a wide energy range / B. Ziaja, R. a. London, J. Hajdu // Journal of Applied Physics, 2006. - Vol. 99, № 3. - P. 033514.

[49] Tanuma, S. Estimation of inelastic mean free paths in au and cu from their elastic peak intensity ratios without imfp values of reference material in the 200 - 5000 ev energy range / S. Tanuma, H. Yoshikawa, N. Okamoto et al. // Journal of Surface Analysis. - 2008. - Vol. 15.. - P. 195.

[50] Tanuma, S. Calculations of electron inelastic mean free paths. IX. Data for 41 elemental solids over the 50 eV to 30 keV range / S. Tanuma, C. J. Powell, D. R. Penn // Surface and Interface Analysis, 2011. - Vol. 43, № 3. - P. 689-713.

[51] Gobeli, G. Direct and Indirect Excitation Processes in Photoelectric Emission from Silicon / G. Gobeli, F. Allen //Physical Review, 1962. - Vol. 127, № 1. - P. 141-149.

[52] Sze, S. Range-energy relation of hot electrons in gold / S. Sze, J. Moll, T. Sugano // Solid-State Electronics, 1964. - Vol. 7, № 7. - P. 509-523.

[53] Kane, E. Electron Scattering by Pair Production in Silicon / E. Kane // Physical Review, 1967. - Vol. 159, № 3. - P. 624-631.

[54] Palmberg, P. W. Auger Electron Spectroscopy of fee Metal Surfaces / P. W. Palmberg //Journal of Applied Physics, 1968. - Vol. 39, № 5. - P. 2425.

[55] Baer, Y. Determination of the electron escape depth in gold by means

of ESCA / Y. Baer, P. F. Heden, J. Hedman, et al. 11 Solid State Communications, 1970. - Vol. 8, № 18. - P. 1479-1481.

[56] Kanter, H. Slow-Electron Mean Free Paths in Aluminum, Silver, and Gold / H. Kanter //Physical Review B, 1970. - Vol. 1, № 2. - P. 522-536.

[57] Kanter, H. Electron Mean Free Path near 2 keV in Aluminum / H. Kanter //Physical Review B, 1970. - Vol. 1, № 5. - P. 2357-2358.

[58] Henke, B. Ultrasoft-X-Ray Reflection, Refraction, and Production of Photoelectrons (100-1000-eV Region) / B. Henke //Physical Review A, 1972. - Vol. 6, № 1. - P. 94-104.

[59] Klasson, M. Escape Depths of X-ray Excited Electrons / M. Klasson, J. Hedman, A. Berndtsson, et al. // Physica Scripta, 1972. - Vol. 5, № 1-2. - P. 93-95.

[60] Pierce, D. Electronic Structure of Amorphous Si from Photoemission and Optical Studies / D. Pierce, W. Spicer //Physical Review B, 1972. - Vol. 5, № 8. - P. 3017-3029.

[61] Seah, M. Quantitative Auger electron spectroscopy and electron ranges / M. Seah //Surface Science, 1972. - Vol. 32, № 3. - P. 703-728.

[62] Klasson, M. Electron escape depth in silicon / M. Klasson, A. Berndtsson, J. Hedman, et al. // Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena, 1974. - Vol. 3, № 6. - P. 427-434.

[63] Pierce, D. Hot-electron scattering length by measurement of spin polarization / D. Pierce, H. Siegmann //Physical Review B, 1974. - Vol. 9, № 10. - P. 4035-4037.

[64] Callcott, T. Volume and surface photoemission processes from plasmon

resonance fields / T. Callcott, E. Arakawa // Physical Review B, 1975. -Vol. 11, № 8. - P. 2750-2758.

[65] Flitsch, R. Electron mean escape depths from x—ray photoelectron spectra of thermally oxidized silicon dioxide films on silicon / R. Flitsch // Journal of Vacuum Science and Technology, 1975. - Vol. 12, № 1. - P. 305.

[66] Lindau, I. Determination of the escape depth of photoemitted electrons in gold in the energy range 25-75 eV by use of synchrotron radiation / I. Lindau, P. Pianetta, K. Yu, et al. // Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena, 1976. - Vol. 8, № 5. - P. 487-491.

[67] Eastman, D. Direct Determination of Lifetime and Energy Dispersion for the Empty A_{1} Conduction Band of Copper / D. Eastman, J. Knapp, F. Himpsel //Physical Review Letters, 1978. - Vol. 41, № 12. - P. 825-828.

[68] Knapp, J. Experimental energy band dispersions and lifetimes for valence and conduction bands of copper using angle-resolved photoemission / J. Knapp, F. Himpsel, D. Eastman //Physical Review B, 1979. - Vol. 19, № 10. - P. 4952-4964.

[69] Himpsel, F. High energy final bands in Cu / F. Himpsel, W. Eberhardt // Solid State Communications, 1979. - Vol. 31, № 10. - P. 747-749.

[70] Burke, M. A. The inelastic mean free paths of auger electrons in thin films of copper and nickel / M. A. Burke, J. J. Schreurs // Surface and Interface Analysis, 1982. - Vol. 4, № 2. - P. 42-46.

[71] Gergely, G. Experimental measurements of the surface excitation parameters of Cu, Au, Ni, Ag, Ge and Pd based on Si and other reference standard materials / G. Gergely, M. Menyhard, S. Gurban, et al. // Surface and Interface Analysis, 2004. - Vol. 36, № 8. - P. 1098-1101.

[72] Tanuma, S. Experimental determination of electron inelastic mean free paths in 13 elemental solids in the 50 to 5000 eV energy range by elastic-peak electron spectroscopy / S. Tanuma, T. Shiratori, T. Kimura, et al. //Surface and Interface Analysis, 2005. - Vol. 37, № 11. - P. 833-845.

[73] Joy, D. C. A database of electron-solid interactions / D. C. Joy. - 2008. -[URL] http: //web.utk. edu/~srcutk/htm/interact .htm.

[74] Rao-Sahib, T. S. X-ray continuum from thick elemental targets for 10-50-keV electrons / T. S. Rao-Sahib //Journal of Applied Physics, 1974. - Vol. 45, № 11. - P. 5060.

[75] Love, G. A versatile atomic number correction for electron-probe microanalysis / G. Love, M. G. Cox, V. D. Scott // Journal of Physics D: Applied Physics, 1978. - Vol. 11, № 1. - P. 7-21.

[76] Joy, D. C. An empirical stopping power relationship for low-energy electrons / D. C. Joy, S. Luo //Scanning, 1989. - Vol. 11, № 4. - P. 176-180.

[77] Fernandez-Varea, J. M. Inelastic scattering of electrons in solids from a generalized oscillator strength model using optical and photoelectric data / J. M. Fernandez-Varea, R. Mayol, D. Liljequist, et al. //Journal of Physics: Condensed Matter, 1993. - Vol. 5, № 22. - P. 3593-3610.

[78] Zhenyu, T. An empirical energy loss equation of electrons / T. Zhenyu, H. Yancai //Scanning, 2006. - Vol. 24, № 1. - P. 46-51.

[79] Jablonski, A. Modified predictive formula for the electron stopping power / A. Jablonski, S. Tanuma, C. J. Powell //Journal of Applied Physics, 2008. - Vol. 103, № 6. - P. 063708.

[80] Seltzer, S. M. Evaluation of the collision stopping power of elements and compounds for electrons and positrons / S. M. Seltzer, M. J. Berger //The

International Journal of Applied Radiation and Isotopes, 1982. - Vol. 33, № 11. - P. 1189-1218.

[81] Berger, M. J. Tables of energy losses and ranges of electrons and positrons / M. J. Berger, S. M. Seltzer. - 1964. - [URL] http://ntrs.nasa.gov/ archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19650002905.pdf.

[82] Akkerman, A. Characteristics of electron inelastic interactions in organic compounds and water over the energy range 20-10 000 eV / A. Akkerman, E. Akkerman //Journal of Applied Physics, 1999. - Vol. 86, № 10. - P. 5809.

[83] Zommer, L. The backscattering factor for systems with a buried layer / L. Zommer, A. Jablonski // Journal of Physics D: Applied Physics, 2008. -Vol. 41, № 5. - P. 055501.

[84] Spencer, L. Theory of Electron Penetration / L. Spencer //Physical Review, 1955. - Vol. 98, № 6. - P. 1597-1615.

[85] Rio, D. Study on line edge roughness for electron beam acceleration voltages from 50 to 5 kV / D. Rio, C. Constancias, M. Saied, et al. // Journal of Vacuum Science & Technology B: Microelectronics and Nanometer Structures, 2009. - Vol. 27, № 6. - P. 2512.

[86] Chang, T. H. P. Proximity effect in electron-beam lithography / T. H. P. Chang // Journal of Vacuum Science and Technology, 1975. - Vol. 12, № 6.

- P. 1271.

[87] Aizaki, N.-A. Proximity effect dependence on substrate material / N.-A. Aizaki //Journal of Vacuum Science and Technology, 1979. - Vol. 16, № 6.

- P. 1726.

[88] Dal'zotto, B. Advances on proximity effect measurement and correction in

electron beam lithography / B. Dal'zotto, H. Dugourd, M. Lerme, et al. // Microelectronic Engineering, 1985. - Vol. 3, № 1-4. - P. 105-110.

4

[89] Fretwell, T. Curve fitting to Monte Carlo data for the determination of proximity effect correction parameters / T. Fretwell, R. Gurung, P. Jones // Microelectronic Engineering, 1992. - Vol. 17, № 1-4. - P. 389-394.

[90] Fretwell, T. Energy intensity distributions of 30keV electrons on Indium Phosphide: experiment and simulation / T. Fretwell, P. Jones // Microelectronic Engineering, 1994. - Vol. 23, № 1-4. - P. 97-99.

[91] Cord, B. Limiting factors in sub-10 nm scanning-electron-beam lithography / B. Cord, J. Yang, H. Duan, et al. //Journal of Vacuum Science & Technology B: Microelectronics and Nanometer Structures, 2009. - Vol. 27, № 6. - P. 2616.

[92] Kyser, D. F. Monte Carlo simulation of spatially distributed beams in electron-beam lithography / D. F. Kyser //Journal of Vacuum Science and Technology, 1975. - Vol. 12, № 6. - P. 1305.