Релятивистские расчеты полностью дифференциальных сечений ионизации в ион-атомных столкновениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Бондарев Андрей Игоревич

• Бондарев Андрей Игоревич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Бондарев Андрей Игоревич

3.1.1 Детали вычислений

3.1.2 Трижды дифференциальные сечения ионизации

3.1.3 Дважды дифференциальные сечения ионизации

3.1.4 Однократно дифференциальные сечения ионизации

3.1.5 Полные сечения ионизации

3.2 Ионизация водородоподобного иона ксенона в столкновении с голым ядром углерода

3.2.1 Детали вычислений

3.2.2 Зависимость полной вероятности ионизации от прицельного параметра

Заключение

Список сокращений

А Преобразование нестационарного уравнения, основанное на выборе фазы волновой функции

В Стационарное уравнение Дирака в конечном базисе В-сплайнов

С Решение временного уравнения. Алгоритм Ланцоша

В Вычисление амплитуды ионизации

Е Коэффициенты Гаунта

Е Расчет в нерелятивистском пределе

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Релятивистские расчеты полностью дифференциальных сечений ионизации в ион-атомных столкновениях»

Актуальность работы

Экспериментальный прогресс последних лет в исследовании столкновений ионов с атомами и молекулами во многом связан с разработкой и применением техники COLTRIMS (cold target recoil ion momentum spectroscopy) и ее новейших усовершенствований. Благодаря этим методам стало возможно измерять полностью дифференциальные сечения ионизации в ион-атомных и ион-молекулярных столкновительных экспериментах. Полностью дифференциальные сечения ионизации позволяют получить наиболее полную информацию о динамике столкновения. Они представляют намного более строгий тест для теории, чем полные или дифференциальные только по переменным испущенного электрона сечения ионизации, успешно измеряемые уже давно. В настоящее время все имеющиеся теоретические методы, применяемые для расчетов полностью дифференциальных сечений ионизации в ион-атомных столкновениях, основаны на нерелятивистском уравнении Шредингера. Планируемые эксперименты на строящейся международной установке FAIR (facility for antiproton and ion research) по изучению полностью дифференциальных сечений ионизации в столкновениях тяжелых ионов и атомов требуют теоретического описания, учитывающего релятивистские эффекты. В настоящей диссертации представлен релятивистский метод, основанный на уравнении Дирака, для расчетов полностью диф-

ференциальных сечений ионизации в ион-атомных столкновениях. Также приводятся результаты расчетов различных дифференциальных и полных сечений ионизации, выполненных в рамках развитого метода.

Цель работы

Основными целями диссертации являются:

1. Разработка релятивистского метода расчета полностью дифференциальных сечений ионизации в ион-атомных столкновениях.

2. Применение разработанного метода к вычислению различных (от полностью дифференциальных до полных) сечений ионизации в столкновении антипротона с атомом водорода.

3. Исследование влияния релятивистских эффектов на вероятность ионизации в столкновениях с участием тяжелых мишеней.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Представлен основанный на уравнении Дирака релятивистский метод для вычисления полностью дифференциальных сечений ионизации в ион-атомных столкновениях.

2. Выполнен расчет всевозможных сечений ионизации атома водорода антипротонным ударом. На основе полученных результатов отдано пред-

почтение некоторым из уже имеющихся несогласующихся друг с другом предсказаниям других методов, основанных на уравнении Шредингера.

3. Проведено исследование влияния релятивистских эффектов на вероятность ионизации в столкновениях с участием тяжелых мишеней на примере столкновения ядра атома углерода с водородоподобным ионом ксенона.

Научная и практическая ценность работы

1. Разработан новый релятивистский метод для вычисления полностью дифференциальных сечений ионизации в ион-атомных столкновениях.

2. Выполненные с его помощью расчеты различных дифференциальных сечений ионизации атома водорода антипротонным ударом внесли ясность в причины существующего противоречия между имеющимися результатами других подходов.

3. Изучено влияние релятивистских эффектов на вероятность ионизации водородоподобного иона ксенона ядром атома углерода.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на семинарах кафедры квантовой механики физического факультета СПбГУ и семинарах "Вклад молодых ученых России в проект ФАИР" в Институте теоретической и экспериментальной физики имени А. И. Алиханова Национального исследовательского центра "Курчатовский институт". Они также были представлены на всероссий-

ской конференции в Воронеже ("XX Конференция по Фундаментальной Атомной Спектроскопии", Воронеж, Россия, 2013) и на международных конференциях в Братиславе ("6th Conference on Elementary Processes in Atomic Systems", Братислава, Словакия, 2014), Толедо ("XXIX International Conference on Photonic, Electronic, and Atomic Collisions", Толедо, Испания, 2015), Москве ("International Conference on Many Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusters and Surfaces", Москва, Россия, 2016), Палм Ков ("25th International Symposium on Ion-Atom Collisions", Палм Ков, Австралия, 2017) и Кане ("14th SPARC Topical Workshop", Кан, Франция, 2017).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. A. I. Bondarev, Y. S. Kozhedub, I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Ionization probabilities in low-energy heavy-ion collisions. // Physica Scripta, 2013, vol. T156, pp. 014054-1 - 014054-3.

2. A. I. Bondarev, I. I. Tupitsyn, I. A. Maltsev, Y. S. Kozhedub, and G. Plunien, Positron creation probabilities in low-energy heavy-ion collisions. // European Physical Journal D, 2015 vol. 69 pp. 110-1 - 110-5.

3. A. I. Bondarev, Y. S. Kozhedub, I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, G. Plunien, and Th. Stohlker, Relativistic calculations of differential ionization cross sections: Application to antiproton-hydrogen collisions. // Physical Review A, 2017, vol. 95, pp. 052709-1 - 052709-11.

4. А. I. Bondarev, Y. S. Kozhedub, I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Relativistic coupled-channel calculations of differential ionization cross sections, j j Journal of Physics: Conference Series, 2017, vol. 875, p. 092020.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, 6 приложений и содержит 96 страниц, 25 рисунков и 1 таблицу. Список литературы включает 84 наименования.

Краткое содержание работы

Первая глава посвящена описанию современных методов измерения полностью дифференциальных сечений ионизации в ион-атомных столкновениях, а также нерелятивистских подходов для их вычисления. Во второй главе изложен разработанный релятивистский подход для расчета всевозможных сечений ионизации. В третьей главе представлены результаты вычислений различных сечений ионизации для двух столкновений: антипротона с атомом водорода и голого ядра углерода с водородоподобным ионом ксенона. В заключении сформулированы основные результаты диссертации. В приложении А рассматривается преобразование нестационарного уравнения Дирака, с помощью которого можно избавиться от независящей от электронных координат части потенциала. В приложении В описывается метод решения стационарного уравнения Дирака в конечном базисе В-си л айнов. В приложении С приводятся детали решения нестационарного уравнения Дирака с помощью метода пропагации Ланцоша. Приложение D содержит подробности вычисления амплитуды ионизации. В приложении Е рассматриваются коэффициенты Гаунта, используемые при вычислении матричных элементов.

Наконец, в приложении Б описывается метод расчета в нерелятивистском пределе.

Глшзв

Современный статус эксперимента и теории

Ионизация является одним из фундаментальных процессов в атомной физике. С помощью современных техник, принадлежащих к семейству под названием "реакционный микроскоп" [1,2], стало возможно экспериментально исследовать динамику процесса ионизации на дифференциальном уровне. Одной из самых известных техник этого типа является ООЬТНШЗ. Работу такой установки можно кратко описать следующим образом: пучок снарядов пересекается под углом близким к прямому с хорошо сколлимированным пучком холодных атомов или молекул, получаемых с помощью сверхзвукового расширения газовой струи. В месте пересечения двух пучков создано слабое электростатическое поле для извлечения заряженных фрагментов мишени (возможно также включение магнитного поля с вектором индукции параллельным вектору напряженности электрического поля). За пределами этой малой области поля нет, и частицы (отданные ионы мишени и электроны) свободно двигаются к широкому детектору, который способен фиксировать координаты их попадания. Также измеряется время движения частицы от зоны реакции до детектора. Таким образом становятся извест-

ны все три компоненты импульсов отданного иона мишени и испущенного электрона. Если при этом начальные (до столкновения) импульсы мишени и снаряда известны с высокой точностью, то из законов сохранения энергии и импульса можно вычислить все три компоненты конечного импульса рассеянного снаряда. Таким образом, для использования данной техники измерения критически важно знать начальный импульс мишени (другими словами, мишень должна быть холодной). В более современных экспериментах по технике MOTRIMS (magneto-optical trap recoil ion momentum spectroscopy) это достигается охлаждением атомов мишени в магнито-оптической ловушке, в отличие от используемого в COLTRIMS сверхзвукового расширения струи газа мишени.

Измеряемые полностью дифференциальные сечения ионизации (ПДСИ) являются наиболее строгим тестом для теории и стимулируют теоретическое изучение столкновений ионов с атомами и молекулами. В настоящее время ПДСИ успешно измерены в столкновениях с участием легких мишеней, таких как атомарный гелий [3-7], литий [8-10], и молекулярный водород [11-13]. В качестве снарядов в этих экспериментах использовались ядра легких атомов (Н+, С6+ и 08+), а также многозарядные ноны золота (Аи24+, Аи53+). Для таких легких мишеней нерелятивистское описание является корректным. Однако для тяжелых мишеней релятивистскими эффектами пренебрегать нельзя, и необходимо соответствующее описание мишени. Строящийся в Дармштадте (Германия) международный ускорительный комплекс FAIR [14] будет способен работать с тяжелыми ионами вплоть до голого ядра урана и имеет широкую научную программу по исследованию электронной динамики в столкновениях тяжелых ионов и атомов [15]. Заметим, что релятивистские эффекты, связанные с быстрым движением снаряда, были

исследованы в работах [16,17] для полностью дифференциальных сечений ионизации в столкновении ядра атома углерода с атомом гелия при энергии 100 МэВ/а.е.м., для которого до сих пор существует заметное расхождение теоретических предсказаний с экспериментальными данными.

В то же время хочется отметить планируемые многообещающие столк-новительные эксперименты антипротонов с легкими атомами на ускорительном комплексе FAIR [18,19] и в Европейской организации по ядерным исследованиям ЦЕРН (от фр. CERN, Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) [20, 21]. Хотя полные сечения ионизации атомов и молекул антипротонами и связанные процессы интенсивно изучались (см., например, работы [22-34]), работ посвященных изучению дифференциальных сечений ионизации сравнительно немного [35-46]. Подробный обзор экспериментальных и теоретических исследований процессов ионизации в столкновениях антипротонов с атомами и молекулами, проведенных до 2011 года можно найти в недавней работе [47]. Несмотря на отсутствие экспериментальных данных для ПДСИ, столкновение антипротона с атомом водорода является идеальной системой для проверки различных теорий. Это связано с тем, что для этой трехчастичной системы отсутствуют каналы перезарядки (в отличие от столкновения протона с атомом водорода) и многоэлектронные эффекты (в отличие от столкновения электрона с атомом водорода).

Основанные на теории возмущений расчеты ПДСИ в столкновении антипротона с атомом водорода были выполнены в работах [48,49]. Также недавно ПДСИ для этого столкновения были вычислены с помощью нескольких непертурбативных методов [39,43,44,46]. Сначала в работе [39] был разработан метод извлечения ПДСИ из представления прицельного параметра в формализме связанных псевдосостояний (coupled pseudostate, CP). Затем

в работе [43] был представлен полностью квантовый стационарный подход, основанный на технике связанных каналов (quantum mechanical convergent close coupling, QM-CCC), для вычисления дифференциальных сечений ионизации в ион-атомных столкновениях. После этого в работе [44] была применена нестационарная техника связанных каналов (time-dependent close coupling, TDCC) для исследования влияния взаимодействия между антипротоном и протоном на ПДСИ. Наконец, в работе [46] для изучения ПДСИ был использован полуклассический подход, основанный на технике связанных каналов с волновыми пакетами (wave packet convergent close coupling, WP-CCC). Также стоит упомянуть недавнюю работу [45], где ПДСИ изучались с помощью метода классических траекторий Монте-Карло. Стоит сразу отметить, что некоторые дифференциальные сечения ионизации, предсказываемые описанными выше методами, значительно не согласуются друг с другом.

ГлВВ8) 2

Метод расчета сечений ионизации

В диссертации изложен разработанный релятивистский, основанный на уравнении Дирака, полуклассический метод для вычисления ПДСИ в ион-атомных столкновениях. Для мишеней содержащих более одного электрона может быть использовано приближение активного электрона, в котором один из электронов (активный) участвует в процессах возбуждения и ионизации, а остальные (пассивные) электроны только создают экранирующий ядро потенциал и не участвуют в этих процессах. Волновая функция активного электрона раскладывается по базису псевдосостояний мишени. Эти псевдосостояния, представляющие связанные состояния, а также дискрети-зованные положительно- и отрицательно-энергетические дираковские континуумы, получаются диагонализацией гамильтониана мишени с использованием Б-сплайнов. Б-сплайны активно используются в различных задачах атомной физики с 1970-х годов (см. обзоры [50,51]). В частности, Б-сплайны уже были использованы для вычисления полных сечений ионизации в столкновении антипротона с атомом водорода в работах [29,31].

Разработанный метод применен к вычислению дифференциальных сечений ионизации атома водорода антипротонным ударом, где есть значительное расхождением между имеющимися теоретическими предсказаниями. А

также исследовано влияние релятивистских эффектов на полные вероятности ионизации водородоподобного иона ксенона в столкновении с голым ядром углерода.

В работе использованы атомные единицы (а.е.) Н = е = те = 1, если не утверждается другое.

2.1 Нестационарное уравнение Дирака в конечном базисном наборе

Полуклассическое приближение является хорошим описанием для высокоэнергетических ион-атомных столкновений и используется с первых лет создания квантовой механики [52, 53]. В таких столкновениях благодаря большим массам ядер их относительный импульс намного превышает средний импульс связанного электрона. Поэтому волна де Бройля и размер волнового пакета, связанные с относительным импульсом сталкивающихся ионов, малы по сравнению с размером электронной орбиты. Таким образом, можно считать, что ядра движутся по классической траектории. Кроме того, в таких столкновениях только очень малая часть кинетической энергии относительного движения ядер передается ионизованному электрону. Поэтому относительная скорость ионов остается почти неизменной и угол рассеяния очень мал. Таким образом, хорошим приближением для траектории является прямая линия, параметризуемая постоянной скоростью и прицельным параметром. Классическое описание траектории движения ядер вместе с квантовым описанием движения электрона в поле двух ядер и является полуклассическим приближением для описания ион-атомных столкновений.

Рассмотрим столкновение снаряда, который мы считаем голым ядром, с мишенью имеющей один активный электрон. В рамках полуклассического

приближения задача сводится к описанию движения релятивистского электрона в нестационарном двухцептровом потенциале ядер. Таким образом, электронная динамика описывается релятивистским нестационарным уравнением Дирака

<= Я(*)Ф(г,(, К), (2.1)

где полный Гамильтониан системы является суммой свободного дири конского гамильтониана и потенциалов взаимодействия активного электрона с мишенью и снарядом, и может быть записан как

Н(г) = Но + Ур(г), (2.2)

где

Но = с(а • р) + (Р - 1)с2 + Ут, (2.3)

а а и ^ _ матрицы Дирака. Они могут быть выражены через матрицы Паули как

в=С*), "=С-1)• (2-4)

Здесь каждый элемент является двухрядной квадратной матрицей.

Предположим, что мишень находится в начале координат, а снаряд движется по прямолинейной траектории R = Ь + •иг с постоянной скоростью V и прицельным параметром 6, так что Ь • V = 0 (см. рис. 2.1). Тогда полный двухцентровый потенциал У (г, г) записывается как

У (г, г) = Ут(г) + Ур(|г - Я(г)|). (2.5)

Заметим, что потенциал У (г, г) не включает в себя взаимодействие между снарядом и ядром мишени. В уравнении Дирака в представлении прицельного параметра (2.1) прицельный параметр Ь и скорость V входят как параметры, следовательно, вероятность ионизации является функцией этих параметров. Предположение о предопределенной прямолинейной траектории

Рис, 2,1: Мишень Т покоится в начале лабораторной системы координат (хуг); снаряд Р движется вдоль оси г с постоянной скор остью V и прицельным параметром Ь = (Ь,фь).

подразумевает, что Ь и V остаются постоянными независимо от того, учтено ли в уравнении (2.5) взаимодействие между снарядом и ядром мишени или нет. Ввиду того, что это взаимодействие не содержит электронных координат г, оно, как и любая другая функция, зависящая только от времени может быть добавлено к уравнению (2.1) или убрано из него с помощью соответствующего преобразования, основанного на выборе фазы волновой функции Ф(г,£, Д) (см. приложение А). Более того, взаимодействие между снарядом и ядром мишени не влияет на сечения не дифференциальные по переменным рассеянного снаряда. Несмотря на использование представле-

ния прицельного параметра для описания столкновения, можно получить сечения ионизации, дифференциальные в том числе по переменным рассеянного снаряда, и зависящие от учета этого взаимодействия. При этом постоянство прицельного параметра является удобным приближением для решения нестационарного уравнения Дирака (2.1) и вычисления матричных элементов (см. уравнение (2.19)).

Потенциал мишени Уг состоит из кулоновского потенциала ядра ^ис и экранирующего потенциала пассивных электронов ^сг

^г = Кис1 + Ксг- (2.6)

Эффекты конечного размера ядра, существенные для тяжелых ядер, включены в потенциал ^Пис1 с помощью подходящего распределения заряда по ядру. В данной работе использовалась модель равномерно заряженного шара с плотностью р(г) = т-^з— 0(Я1шс1 — г), в которой потенциал ядра задается выражением

,-7, г > Япис1

Кис1(г) Н Г , (2-7)

3-

2

" 2Д2 I ^ Д2 2лпис1 \ лпис1

) , Г ^ Лппс1

где Дпис1 — радиус ядра. Локальный экранирующий ядро потенциал пассивных электронов ^сг может быть получен различными приближенными методами (см., например, [54]).

Для того чтобы решить уравнение (2.1), разложим нестационарную волновую функцию К) по конечному базисному набору

В) = ^ Са(1, Ь)е—г£^уа(г), (2.8)

а

где базисные состояния ра ортонормированы. Они получены диагопали-зацпей стационарного атомного гамильтониана Н0 с использованием В-сплайпов [55,56]

(^а|#0|^а) = £а, (Ра^ъ) = ^аЪ ■ (2-9)

18

Благодаря тому что потенциал мишени Ут(г) обладает сферической симметрией, базисная функция ра(г) может быть представлена как биспинор (г) с определенным главным квантовым числом па, релятивистским угловым квантовым числом ка = (—1) 1а+^а+1/2(]а + 1/2) и проекцией полного углового момента на ось ^ да

/ ч / ч 1 ( ^пака (г)Хка^а I /о1м

Ра(Г) = (Г) = ~ I I , (2.Ю)

Рпака (г) Х-Ка1Ла (т)у

где СПаКа (г) и РПа Ка (г) — большая и малая радиальные компоненты волновой функции, соответственно, и Хяа^а ~ шаровые спиноры, а также использовано обозначение г = г/г [57]. В дальнейшем будем предполагать, что ось ^ направлена вдоль вектора V.

Базисные состояния ра описывают связанные состояния мишени, а также состояния непрерывного спектра (как дискретизованные положительно- и отрицательно-энергетические континуумы). Более того, для нескольких первых связанных состояний они очень близки к точным. Их качество и общее количество зависит от количества Б-сплайнов, использованных для диагона-лизации стационарного атомного гамильтониана (см. уравнение (2.9). Особо

Но

дится с использованием подхода дуально-кинетического баланса [58]. Благодаря этому полученный базисный набор не содержит так называемых шпу-риозных состояний, которые могут возникнуть для представления уравнения Дирака в конечном базисном наборе [59] (см. приложение В).

Подставляя уравнение (2.8) в уравнение (2.1) и пользуясь свойствами (2.9) базисных функций (2.10), получим так называемую систему связанных каналов для коэффициентов разложения волновой функции по базису

гd^аdГ1 = ^ Сь(г,ь)еКЕа-Е ^ ^|УрЫ (2-Н)

ъ

с начальными условиями, характеризующими начальное состояние активного электрона г

В частном случае основного состояния одноэлектронной мишени i = {пг = 1; щ = —1; дi = 1/2}. Заметим, что в релятивистском случае основное состояние вырождено по проекции полного углового момента, которая может также принимать противоположное значение дi = —1/2. Значение проекции полного углового момента начального состояния будет важно в дальнейшем при вычислении дифференциальных сечений ионизации.

Стоит отметить, что атомно-подобный базисный набор центрированный только на мишени (или только на снаряде) не позволяет корректно описать процессы перезарядки (захвата активного электрона снарядом). Таким образом, настоящий метод может быть использован, если вероятность процессов перезарядки мала по сравнению с вероятностью процессов возбуждений и ионизации. Это условие выполняется для столкновений с быстрыми снарядами, легкими (по сравнению с мишенью) снарядами и снарядами не имеющими связанных электронных состояний. В общем случае метод позволяет вычислять так называемую вероятность обдирки (в англоязычной литературе используется термин electron loss), т.е. сумму вероятностей ионизации и перезарядки [60].

Перейдем теперь к вычислению матричных элементов потенциала снаряда Vab(R) = Из свойств матричного элемента Vab(R) при вращении вокруг оси z следует, что можно выделить следующую зависимость:

где фъ — азимутальный угол вектора Ь. Тогда зависимость коэффициента разложения волновой функции Са(Ъ, Ь) от азимутального угла фъ тоже может

Ca(t ^ — Ж, Ь) = баг■

(2.12)

Vab (R) = Vab (1,Ъ)ег^—^фь,

(2.13)

быть факторизована

Са(г, ь) = Са(г, ь) . (2.14)

При этом Са(Ъ, Ь) удовлетворяет системе уравнений

= £ Съ(1, Ь)е *-Е ^Уаъ (I, Ь) (2.15)

с начальными условиями

Са(1 ^-Ю, 6)= . (2-16)

Таким образом, система уравнений (2.15) не содержит зависимости от угла фъ- Отметим также появление проекции полного углового момента в формуле (2.14), по которой можно восстановить эту зависимость для коэффициента Са(Ъ, Ь) уже после решения системы (2.15) с начальными условиями (2.16). Множитель е в (2.14) обеспечивает выполнение начальных условий (2.12) для коэффициента Са(Ъ, Ь).

Для вычисления матричных элементов (Ь, Ь) удобно переразложить потенциал снаряда по сферическим функциям в начало координат, где центрированы базисные функции. Пренебрегая эффектом конечного ядра для

снаряда, это переразложение можно выполнить аналитически [61

ю / \ I I

5 3

гу 7 Ю I

^ /р ^Щус1 (г)С1,*(Щ, (2.17)

1Г - Й1 г> гА ,

/=0 т= -I

где г< и г> — наименьшее и наибольше е из пары {г, Я} соответствен по, а С1т обозначает сферический тензор, который связан со сферической функцией Ут как

Ст ^^^ Ут(*)- (2-18)

Аналогичное разложение можно написать и для потенциала снаряда, учитывающего протяженность ядра. При этом угловая часть останется прежней, а радиальную можно получить численно [62]. Эффекты, связанные с

протяженностью ядра снаряда могут играть роль для процессов рождения электрон-позитронных пар в столкновениях тяжелых ионов [63,64], которые происходят при очень малых межъядерных расстояниях. Для процесса ионизации эти эффекты несущественны.

Таким образом, матричный элемент Уаь может быть представлен в следующей форме:

Уаь(г, Ь) = Упмпьншь{г, Ь) = ^ КакМ{г, Ь) С^амеж^/Ь), 0),

1т

(2.19)

где радиальная часть задается выражением

С» £

ЯПакапькь = !

0

а угловая часть является так называемым релятивистским коэффициентом

^пака(г)Спькь(г) + ^оХо(т)Гпькь(г)], (2.20)

Гаунта

= (Х*ара\С1т\ХкФъ> = Я1т{ЗаРа\ №ъ)' (2'21)

Он может быть выражен через Э^'-символы как

9ЫиаРа; Ш = (-1) У/{23а + Шъ + 1) I ^ ' ^ ) ( ^ 1 ^

\2 0 - 2/ \-Ра т

(2.22а)

где сумма Iа + 4 + I должна быть четной, иначе

91т(ЭаРа; мь) = 0. (2.22Ь)

Часто используемый нерелятивистский коэффициент Гаунта пропорционален хорошо известному интегралу от трех сферических функций [61]. Вывод формулы (2.22) и коэффициенты Гаунта более подробно обсуждаются в приложении Е.

Заметим, что вычисление матричных элементов Уаь по формуле (2.19) производится в лабораторной системе координат 3. Однако этот наиболее

прямолинейный способ не лучший с вычислительной точки зрения. Более эффективно сначала вычислить матричные элементы в локальной системе отсчета S', в которой ось z' направлена вдоль межъядерного вектора R в каждый момент времени. После этого необходимо либо преобразовать матричные элементы C0 при переходе из локальной в лабораторную систему отсчета с помощью D-функций Вигнера (см., например, [62]), либо переписать нестационарное уравнение Дирака (2.1) в локальной системе отсчета. Так как вращающаяся система отсчета S' является неинерциальной, в гамильтониане (2.2) появляется при этом дополнительное слагаемое (см., например, [65]).

Для вычисления и хранения матричных элементов Vab удобно пользоваться свойством симметрии по отношению к смене знака проекций полных угловых моментов стоящих в обкладках волновых функций

V = (_1\{jb+lb+^b-ja-la-^a)V (0

vnaKa -¡лапь Щ-Ць = У L) Упажа^апь Щ^ь • Х^.^О)

Система уравнений (2.15) может быть удобно записана в матричной форме _

dC ~ ~

г— = М С, Mab = ег(£ а-£ b)tVab, (2.24)

где вектор С составлен из коэффициентов разложения Ca. Для решения матричного уравнения (2.24), используется метод Ланцоша [66,67]. В этом методе экспонента от матрицы аппроксимируется в подпространстве Крылова [68]. Метод пропагации Ланцоша в настоящее время стал стандартной процедурой в различных химических и физических вычислениях [69,70]. Более детальное обсуждение метода решения нестационарного уравнения (2.24) и описание алгоритма Ланцоша можно найти в приложении С.

2.2 Дифференциальные и полные сечения ионизации

Полная вероятность ионизации вычисляется как следующая сумма по положительно-энергетическим базисным состояниям:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бондарев Андрей Игоревич, 2017 год

Литература

[1] R. Dorner, V. Mergel, O. Jagutzki, L. Spielberger, J. Ullrich, R. Moshammer, and H. Schmidt-Bocking, "Cold target recoil ion momentum spectroscopy: a 'momentum microscope' to view atomic collision dynamics", Physics Reports, vol. 330, no. 2-3, pp. 95 - 192, 2000.

[2] J. Ullrich, R. Moshammer, A. Dorn, R. Dorner, L. P. H. Schmidt, and H. Schmidt-Bocking, "Recoil-ion and electron momentum spectroscopy: reaction-microscopes", Reports on Progress in Physics, vol. 66, no. 9, p. 1463, 2003.

[3] M. Schulz, R. Moshammer, D. Fischer, H. Kollmus, D. H. Madison, S. Jones, and J. Ullrich, "Three-dimensional imaging of atomic four-body processes", Nature, vol. 422, no. 6927, pp. 48-50, 2003.

[4] D. H. Madison, D. Fischer, M. Foster, M. Schulz, R. Moshammer, S. Jones, and J. Ullrich, "Probing scattering wave functions close to the nucleus", Phys. Rev. Lett., vol. 91, p. 253201, 2003.

[5] D. Fischer, R. Moshammer, M. Schulz, A. Voitkiv, and J. Ullrich, "Fully differential cross sections for the single ionization of helium by ion impact", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 36, no. 17, p. 3555, 2003.

[6] M. Foster, D. H. Madison, J. L. Peacher, and J. Ullrich, "Highly charged particle impact ionization of He", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 37, no. 19, p. 3797, 2004.

[7] H. Gassert, O. Chuluunbaatar, M. Waitz, F. Trinter, H.-K. Kim, T. Bauer, A. Laucke, C. Müller, J. Voigtsberger, M. Weller, J. Rist, M. Pitzer, S. Zeller, T. Jahnke, L. P. H. Schmidt, J. B. Williams, S. A. Zaytsev, A. A. Bulychev, K. A. Kouzakov, H. Schmidt-Böcking, R. Dörner, Y. V. Popov, and M. S. Schöffler, "Agreement of experiment and theory on the single ionization of helium by fast proton impact", Phys. Rev. Lett., vol. 116, p. 073201, 2016.

[8] D. Fischer, D. Globig, J. Goullon, M. Grieser, R. Hubele, V. L. B. de Jesus, A. Kelkar, A. LaForge, H. Lindenblatt, D. Misra, B. Najjari, K. Schneider, M. Schulz, M. Sell, and X. Wang, "Ion-lithium collision dynamics studied with a laser-cooled in-ring target", Phys. Rev. Lett., vol. 109, p. 113202, 2012.

[9] A. C. LaForge, R. Hubele, J. Goullon, X. Wang, K. Schneider, V. L. B. de Jesus, B. Najjari, A. B. Voitkiv, M. Grieser, M. Schulz, and D. Fischer, "Initial-state selective study of ionization dynamics in ion-Li collisions", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 46, no. 3, p. 031001, 2013.

[10] R. Hubele, A. LaForge, M. Schulz, J. Goullon, X. Wang, B. Najjari, N. Ferreira, M. Grieser, V. L. B. de Jesus, R. Moshammer, K. Schneider, A. B. Voitkiv, and D. Fischer, "Polarization and interference effects in ionization of Li by ion impact", Phys. Rev. Lett., vol. 110, p. 133201, 2013.

[11] U. Chowdhury, M. Schulz, and D. H. Madison, "Differential cross sections for single ionization of H2 by 75-keV proton impact", Phys. Rev. A, vol. 83, p. 032712, 2011.

[12] K. N. Egodapitiya, S. Sharma, A. Hasan, A. C. Laforge, D. H. Madison, R. Moshammer, and M. Schulz, "Manipulating atomic fragmentation processes by controlling the projectile coherence", Phys. Rev. Lett., vol. 106, p. 153202, 2011.

[13] A. Hasan, T. Arthanayaka, B. R. Lamichhane, S. Sharma, S. Gurung, J. Remolina, S. Akula, D. H. Madison, M. F. Ciappina, R. D. Rivarola, and M. Schulz, "Fully differential study of ionization in p + H2 collisions near electron^projectile velocity matching", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 49, no. 4, p. 04LT01, 2016.

[14] "FAIR — an international Facility for Antiproton and Ion Research." http: / / www. fair- center. eu/.

[15] M. Lestinsky, V. Andrianov, B. Aurand, V. Bagnoud, D. Bernhardt, H. Beyer, S. Bishop, K. Blaum, A. Bleile, A. Borovik, F. Bosch, C. Bostock,

C. Brandau, A. Bräuning-Demian, I. Bray, T. Davinson, B. Ebinger, A. Echler, P. Egelhof, A. Ehresmann, M. Engström, C. Enss, N. Ferreira,

D. Fischer, A. Fleischmann, E. Förster, S. Fritzsche, R. Geithner, S. Geyer, J. Glorius, K. Göbel, O. Gorda, J. Goullon, P. Grabitz, R. Grisenti, A. Gumberidze, S. Hagmann, M. Heil, A. Heinz, F. Herfurth, R. Heß, P.-M. Hillenbrand, R. Hubele, P. Indelicato, A. Källberg, O. Kester, O. Kiselev, A. Knie, C. Kozhuharov, S. Kraft-Bermuth, T. Kühl, G. Lane, Y. Litvinov, D. Liesen, X. Ma, R. Märtin, R. Moshammer, A. Müller, S. Namba, P. Neumeyer, T. Nilsson, W. Nörtershausen G. Paulus, N. Petridis,

M. Reed, R. Reifarth, P. Reiß, J. Rothhardt, R. Sanchez, M. Sanjari, S. Schippers, H. Schmidt, D. Schneider, P. Scholz, R. Schuch, M. Schulz, V. Shabaev, A. Simonsson, J. Sjöholm, O. Skeppstedt, K. Sonnabend, U. Spillmann, K. Stiebing, M. Steck, T. Stöhlker, A. Surzhykov, S. Torilov, E. Träbert, M. Trassinelli, S. Trotsenko, X. Tu, I. Uschmann, P. Walker, G. Weber, D. Winters, P. Woods, H. Zhao, and Y. Zhang, "Physics book: CRYRING@ESR", Eur. Phys. J. Special Topics, vol. 225, no. 5, pp. 797-882, 2016.

[16] M. McGovern, C. T. Whelan, and H. R. J. Walters, "C^+-impact ionization of helium in the perpendicular plane: Ionization to the ground state, excitation-ionization, and relativistic effects", Phys. Rev. a, vol. 82, p. 032702, 2010.

[17] K. A. Kouzakov, S. A. Zaytsev, Y. V. Popov, and M. Takahashi, "Singly ionizing 100-MeV/amu C6++He collisions with small momentum transfer", Phys. Rev. A, vol. 86, p. 032710, 2012.

[18] "FLAIR — Facility for Low-energy Antiproton and Ion Research." http: / / www. f lairatf air. eu/.

[19] E. Widmann, "Low-energy antiprotons physics and the FLAIR facility", Physica Scripta, vol. 2015, no. T166, p. 014074, 2015.

[20] S. Maury, W. Oelert, W. Bartmann, P. Belochitskii, H. Breuker, F. Butin, C. Carli, T. Eriksson, S. Pasinelli, and G. Tranquille, "ELENA: the extra low energy anti-proton facility at CERN", Hyperfine Interactions, vol. 229, no. 1, pp. 105-115, 2014.

[21] "ASACUSA — Atomic Spectroscopy And Collisions Using Slow Antiprotons." http: //asacusa. web. cern. ch/.

[22] M. H. Martir, A. L. Ford, J. F. Reading, and R. L. Becker, "Excitation and ionisation in collisions of negatively charged projectiles with atoms", Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics, vol. 15, no. 11, p. 1729, 1982.

[23] D. R. Schultz, "Comparison of single-electron removal processes in collisions of electrons, positrons, protons, and antiprotons with hydrogen and helium", Phys. Rev. A, vol. 40, pp. 2330-2334, 1989.

[24] P. D. Fainstein, V. H. Ponce, and R. D. Rivarola, "Two-centre effects in ionization by ion impact", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 24, no. 14, p. 3091, 1991.

[25] K. A. Hall, J. F. Reading, and A. L. Ford, "Excitation and ionization of atomic hydrogen by antiprotons", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 29, no. 24, p. 6123, 1996.

[26] D. R. Schultz, P. S. Krstic, C. O. Reinhold, and J. C. Wells, "Ionization of hydrogen and hydrogenic ions by antiprotons", Phys. Rev. Lett., vol. 76, pp. 2882-2885, 1996.

[27] J. S. Cohen, "Molecular effects on antiproton capture by H2 and the states of pp formed", Phys. Rev. A, vol. 56, pp. 3583-3596, 1997.

[28] K. Sakimoto, "Excitation and ionization in p + H collisions calculated by direct numerical solution using Laguerre meshes", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 33, no. 22, p. 5165, 2000.

[29] J. Azuma, N. Toshima, K. Hino, and A. Igarashi, "5-spline expansion of scattering equations for ionization of atomic hydrogen by antiproton impact", Phys. Rev. A, vol. 64, p. 062704, 2001.

[30] N. Toshima, "Two- and one-center close-coupling calculations for ionization of atomic hydrogen by antiproton impact", Phys. Rev. A, vol. 64, p. 024701, 2001.

[31] S. Sahoo, S. C. Mukherjee, and H. R. J. Walters, "Ionization of atomic hydrogen and He+ by slow antiprotons", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 37, no. 16, p. 3227, 2004.

[32] X. Guan and K. Bartschat, "Complete breakup of the helium atom by proton and antiproton impact", Phys. Rev. Lett., vol. 103, p. 213201, 2009.

[33] A. Liihr and A. Saenz, "Collisions of antiprotons with hydrogen molecular ions", Phys. Rev. A, vol. 80, p. 022705, 2009.

[34] T. G. Winter, "Ionization and excitation in collisions between antiprotons and H(1s ) atoms studied with Sturmian bases", Phys. Rev. A, vol. 83, p. 022709, 2011.

[35] E. Y. Sidky and C. D. Lin, "Quantum mechanical calculation of ejected electron spectra for ion-atom collisions", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 31, no. 13, p. 2949, 1998.

[36] A. Igarashi, S. Nakazaki, and A. Ohsaki, "Ionization of atomic hydrogen by antiproton impact", Phys. Rev. A, vol. 61, p. 062712, 2000.

[37] B. Pons, "Monocentric close-coupling expansion to provide ejected electron distributions for ionization in atomic collisions", Phys. Rev. Lett., vol. 84, pp. 4569-4572, 2000.

[38] B. Pons, "Ability of monocentric close-coupling expansions to describe ionization in atomic collisions", Phys. Rev. A, vol. 63, p. 012704, 2000.

[39] M. McGovern, D. Assafrâo, J. R. Mohallem, C. T. Whelan, and H. R. J. Walters, "Differential and total cross sections for antiproton-impact ionization of atomic hydrogen and helium", Phys. Rev. A, vol. 79, p. 042707, 2009.

[40] M. McGovern, D. Assafrâo, J. R. Mohallem, C. T. Whelan, and H. R. J. Walters, "Fully differential cross sections for heavy particle impact ionization", Journal of Physics: Conference Series, vol. 194, no. 1, p. 012042,

2009.

[41] M. McGovern, D. Assafrâo, J. R. Mohallem, C. T. Whelan, and H. R. J. Walters, "Pseudostate methods and differential cross sections for antiproton ionization of atomic hydrogen and helium", Phys. Rev. A, vol. 81, p. 032708,

2010.

[42] M. McGovern, D. Assafrâo, J. R. Mohallem, C. T. Whelan, and H. R. J. Walters, "Coincidence studies with antiprotons", Journal of Physics: Conference Series, vol. 212, no. 1, p. 012029, 2010.

[43] I. B. Abdurakhmanov, A. S. Kadyrov, I. Bray, and A. T. Stelbovics, "Differential ionization in antiproton-hydrogen collisions within the convergent-close-coupling approach", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 44, no. 16, p. 165203, 2011.

[44] M. F. Ciappina, T.-G. Lee, M. S. Pindzola, and J. Colgan, "Nucleus-nucleus effects in differential cross sections for antiproton-impact ionization of H atoms", Phys. Rev. A, vol. 88, p. 042714, 2013.

[45] L. Sarkadi and L. Gulyâs, "Classical-trajectory Monte Carlo model calculations for the antiproton-induced ionization of atomic hydrogen at low impact energy", Phys. Rev. A, vol. 90, p. 022702, 2014.

[46] I. B. Abdurakhmanov, A. S. Kadyrov, and I. Bray, "Wave-packet continuum-discretization approach to ion-atom collisions: Nonrearrangement scattering", Phys. Rev. A, vol. 94, p. 022703, 2016.

[47] T. Kirchner and H. Knudsen, "Current status of antiproton impact ionization of atoms and molecules: theoretical and experimental perspectives", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 44, no. 12, p. 122001, 2011.

[48] S. Jones and D. H. Madison, "Scaling behavior of the fully differential cross section for ionization of hydrogen atoms by the impact of fast elementary charged particles", Phys. Rev. A, vol. 65, p. 052727, 2002.

[49] A. B. Voitkiv and J. Ullrich, "Three-body Coulomb dynamics in hydrogen ionization by protons and antiprotons at intermediate collision velocities", Phys. Rev. A, vol. 67, p. 062703, 2003.

[50] J. Sapirstein and W. R. Johnson, "The use of basis splines in theoretical atomic physics", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 29, no. 22, p. 5213, 1996.

[51] H. Bachau, E. Cormier, P. Decleva, J. E. Hansen, and F. Martin, "Applications of 5-splines in atomic and molecular physics", Reports on Progress in Physics, vol. 64, no. 12, p. 1815, 2001.

[52] H. Brinkman and H. Kramers, "Zur Theorie der Einfangung von Elektronen durch a-Teilchen", Proc. Acad. Sci. Amsterdam, vol. 33, p. 973, 1930.

[53] J. Frame, "On the mathematical equivalence of two ways of regarding the excitation of an atom by a fast moving a-particle", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 27, no. 4, pp. 511-517, 1931.

[54] А. V. Malyshev, А. V. Volotka, D. A. Glazov, I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, and G. Plunien, "QED calculation of the ground-state energy of berylliumlike ions", Phys. Rev. A, vol. 90, p. 062517, 2014.

[55] W. R. Johnson, S. A. Blundell, and J. Sapirstein, "Finite basis sets for the Dirac equation constructed from 5-splines", Phys. Rev. A, vol. 37, pp. 307315, 1988.

[56] A. I. Bondarev, Y. S. Kozhedub, I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, and G. Plunien, "Ionization probabilities in low-energy heavy-ion collisions", Physica Scripta, vol. 2013, no. T156, p. 014054, 2013.

[57] M. E. Rose, Relativistic Electron Theory (Wiley, New York, 1961).

[58] V. M. Shabaev, 1.1. Tupitsyn, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, "Dual kinetic balance approach to basis-set expansions for the Dirac equation", Phys. Rev. Lett., vol. 93, p. 130405, 2004.

[59] И. И. Тупицын и В. M. Шабаев, "Ложные состояния уравнения Дирака в конечном базисе", Оптика и спектроскопия, т. 105, № 2, стр. 203-209, 2008.

[60] И. Ю. Толстихина и В. П. Шевелько, "Столкновительные процессы с участием тяжёлых многоэлектронных ионов при взаимодействии с нейтральными атомами", Yen. физ. наук, т. 183, № 3, стр. 225-255, 2013.

[61] Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента (Наука, Ленинград, 1975).

[62] I. I. Tupitsyn, Y. S. Kozhedub, V. М. Shabaev, G. В. Deyneka, S. Hagmann, С. Kozhuharov, G. Plunien, and T. Stohlker, "Relativistic calculations of the

charge-transfer probabilities and cross sections for low-energy collisions of H-like ions with bare nuclei", Phys. Rev. A, vol. 82, p. 042701, 2010.

[63] I. A. Maltsev, V. M. Shabaev, 1.1. Tupitsyn, A. I. Bondarev, Y. S. Kozhedub, G. Plunien, and T. Stohlker, "Electron-positron pair creation in low-energy collisions of heavy bare nuclei", Phys. Rev. A, vol. 91, p. 032708, 2015.

[64] A. I. Bondarev, 1.1. Tupitsyn, I. A. Maltsev, Y. S. Kozhedub, and G. Plunien, "Positron creation probabilities in low-energy heavy-ion collisions", Eur. Phys. J. D, vol. 69, no. 4, p. 110, 2015.

[65] I. A. Maltsev, G. B. Deyneka, 1.1. Tupitsyn, V. M. Shabaev, Y. S. Kozhedub, G. Plunien, and T. Stohlker, "Relativistic calculations of charge transfer probabilities in U92+-U91+(1s) collisions using the basis set of cubic Hermite splines", Physica Scripta, vol. 2013, no. T156, p. 014056, 2013.

[66] T. J. Park and J. C. Light, "Unitary quantum time evolution by iterative Lanczos reduction", The Journal of Chemical Physics, vol. 85, no. 10, pp. 5870-5876, 1986.

[67] C. Leforestier, R. Bisseling, C. Cerjan, M. Feit, R. Friesner, A. Guldberg, A. Hammerich, G. Jolicard, W. Karrlein, H.-D. Meyer, N. Lipkin, O. Roncero, and R. Kosloff, "A comparison of different propagation schemes for the time dependent Schrodinger equation", Journal of Computational Physics, vol. 94, no. 1, pp. 59 - 80, 1991.

[68] C. Moler and C. V. Loan, "Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix, twenty-five years later", SI AM Review, vol. 45, no. 1, pp. 3-49, 2003.

[69] J. Feist, S. Nagele, R. Pazourek, E. Persson, B. I. Schneider, L. A. Collins, and J. Burgdorfer, "Nonsequential two-photon double ionization of helium", Phys. Rev. A, vol. 77, p. 043420, 2008.

[70] N. V. Golubev and A. I. Kuleff, "Control of charge migration in molecules by ultrashort laser pulses", Phys. Rev. A, vol. 91, p. 051401, 2015.

[71] I. B. Abdurakhmanov, A. S. Kadyrov, I. Bray, and A. T. Stelbovics, "Coupled-channel integral-equation approach to antiproton-hydrogen collisions", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 44, no. 7, p. 075204, 2011.

[72] J. Eichler and T. Stohlker, "Radiative electron capture in relativistic ion-atom collisions and the photoelectric effect in hydrogen-like high-Z systems", Physics Reports, vol. 439, no. 1-2, pp. 1 - 99, 2007.

[73] F. Salvat, J. Fernández-Varea, and W. Williamson Jr., "Accurate numerical solution of the radial Schrodinger and Dirac wave equations", Computer Physics Communications, vol. 90, no. 1, pp. 151 - 168, 1995.

[74] M. R. C. McDowell and J. P. Coleman, Introduction to the theory of ionatom collisions (North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1970).

[75] J. Eichler and W. E. Meyerhof, Relativistic Atomic Collisions (Academic Press, San Diego, 1995).

[76] M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1972).

[77] H. Bethe, "Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie", Annalen der Physik, vol. 397, no. 3, pp. 325-400, 1930.

[78] A. Lahmam-Bennani, "Recent developments and new trends in (e, 2 e) and (e, 3 e) studies", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, vol. 24, no. 10, p. 2401, 1991.

[79] D. Dewangan and J. Eichler, "Charge exchange in energetic ion-atom collisions", Physics Reports, vol. 247, no. 2-4, pp. 59-219, 1994.

_6_

[80] H. R. J. Walters and C. T. Whelan, "Ionization of He by C , e-, and e+", Phys. Rev. A, vol. 85, p. 062701, 2012.

[81] E. Anderson, Z. Bai, C. Bischof, S. Blackford, J. Demmel, J. Dongarra, J. Du Croz, A. Greenbaum, S. Hammarling, A. McKenney, and D. Sorensen, LAPACK Users' Guide (Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1999).

[82] C. de Boor, A practical guide to splines (Springer, New York, 1978).

[83] I. Grant, "Relativistic calculation of atomic structures", Advances in Physics, vol. 19, no. 82, pp. 747-811, 1970.

[84] A. de-Shalit and I. Talmi, Nuclear shell theory (Academic Press, New York, 1963).