Двухфотонные переходы между состояниями дискретного и непрерывного спектра в кулоновском потенциале тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Крыловецкий, Александр Абрамович

• Крыловецкий, Александр Абрамович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Крыловецкий, Александр Абрамович

Введение

1 Двухфотонные переходы в дискретном спектре

1.1 Обобщенное штурмовское разложение КФГ. 1.1.1 Выражение для ядра д1кк,.

1.1.2 Разложение КФГ на резонансную и потенциальную части.

1.1.3 Двухпараметрическое импульсное представление КФГ

1.2 Матричные элементы неупругих двухфотонных переходов

1.3 Поляризуемости возбужденных состояний.

1.3.1 Точные аналитические результаты для компонент тензора поляризуемости

1.3.2 Поляризуемости ридберговских состояний.

1.3.3 Припороговая асимптотика поляризуемостей.

1.3.4 Случай низкочастотного поля.

1.4 Выводы.

2 Связанно-свободные двухфотонные переходы

2.1 Общие формулы.

2.2 Матричные элементы связанно-свободных переходов . 67 I 2.2.1 Аналитическое продолжение из непрерывного спектра.

2.2.2 Аналитическое продолжение из дискретного спектра

2.2.3 Численные результаты для двухфотонной ионизации

3 Двухфотонные переходы в непрерывном спектре

3.1 Поляризационно-угловая структура сечений двухфотонных тормозных процессов.

3.1.1 Общие формулы.

3.1.2 Парциально-волновое разложение амплитуды.

3.1.3 Эффекты циркулярного и эллиптического дихроизма в свободно-свободных переходах.

3.2 Кулоновские двухфотонные радиальные МЭ

3.2.1 Аналитические выражения для МЭ.

3.2.2 Устранение сингулярностей в амплитуде двухфотонных упругих переходов

3.3 Асимптотический анализ амплитуд неупругих двухфотонных переходов.

3.3.1 Низкочастотный предел и/р2 <С 1.

3.3.2 Высокочастотный предел ^¡р <С 1, ш/Е' 1, ш/Е ~

1) и борновское приближение.

3.4 Асимптотики сечения упругого рассеяния на потенциале II(г) в присутствии светового поля.

3.4.1 Низкочастотный предел и/р2 «С 1.

3.4.2 Упругое рассеяние в присутствии высокочастотного поля.

3.5 Численные результаты для кулоновского потенциала и обсуждение

3.5.1 Частотная и энергетическая зависимость радиальных матричных элементов.

3.5.2 Угловые распределения и дихроизм в вынужденных тормозных процессах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двухфотонные переходы между состояниями дискретного и непрерывного спектра в кулоновском потенциале»

Последовательное описание взаимодействия атомов с электромагнитным полем стало возможны с созданием квантовой теории. Изучение однофо-тонных процессов — вывод общих квантовомеханических формул для вероятностей и вычисление амплитуд излучения и поглощения световых квантов, фотоионизации, тормозного излучения в кулоновском поле — было одной из первых задач квантовой механики. Интерес к процессам в водо-родоподобных атомах обусловлен тем, что амплитуды переходов в них выражаются в аналитическом виде и эти результаты являются "реперными" в теории атомных фотопроцессов. Многофотонные процессы, некоторые из которых хотя и были рассмотрены в общем виде в 20-30-е годы прошлого века, систематически стали изучаться с середины 60-х годов, что было обусловлено прежде всего созданием лазеров. Исследование процессов в кулоновском поле имеет очевидный интерес и в этом случае, причем особое внимание привлекают двухфотонные переходы, поскольку их амплитуды и сечения ещё возможно представить в аналитическом виде. Однако несмотря на разнообразные математические подходы и обширную литературу до последнего времени не было получено замкнутых аналитических выражений для переходов между произвольными кулоновскими состояниями.

В диссертации ставится задача получить максимально простые, универсальные выражения для кулоновских матричных элементов второго порядка и амплитуд двухфотонных связанно-связанных, связанно-свободных и свободно-свободных переходов и на их основе выполнить детальное исследование двухфотонных процессов в дискретном и непрерывном спектре атома водорода и водородоподобных ионов в рамках нерелятивистского дипольного приближения. 1

I. i

Ниже во Введении дается обзор работ, имеющих отношение к теме диссертации и приводится краткое содержание ее отдельных глав.

В рамках теории возмущений по взаимодействию с лазерным полем вероятности одно- и многофотонных процессов выражаются через матричные элементы соответствующих переходов между начальным и конечным состояниями атома. Для многоэлектронных атомов возможен лишь приближенный расчет таких матричных элементов, а в случае водородопо-добных систем вычисления могут быть выполнены точно. В большинстве задач взаимодействие с полем можно считать дипольным; в этом случае радиальные матричные элементы (n'l' = I ± 1| г \nl) однофотонных переходов между начальным |nl) и конечным |n'l') состояниями дискретного спектра в атоме водорода вычисляются аналитически в виде комбинации двух гипергеометрических функций 2-^1 b\c\z) с целыми отрицательными параметрами а и Ь (гипергеометрических полиномов) и простых алгебраических факторов (известные формулы Гордона [3]): п'1 - II г |«/) = + х

Х (1 - 1)(п+п'У2 [ 2*Н-п + * + 1, -п' +1\ 21; о

1 - ОзЖ-п + I - 1, -п' + I- 21- О ], (В.1) где £ = —Апп'/(п — п')2, (a)k = Г(а + к)/Г(а) - символ Похгаммера. Здесь и ниже используются атомные единицы.

Формулы Гордона полностью описывают излучение и поглощение фотона связанным электроном в кулоновском потенциале, а аналитическое продолжение (В.1) по п' (в данном случае замена п' —> г/у/2~Ё) даёт и амплитуды {El' = I ± 1| г |nl) связанно-свободных переходов (фотоионизации или рекомбинации), которые тоже представляют собой полиномы. Хорошо известны также выражения для амплитуд (E'l' = I ± 1| г |El) свободно-свободных переходов (типа тормозного излучения), в которых наряду с членом, получаемым аналитическим продолжением по п и п', и представляющим собой уже комбинацию двух полных гипергеометрических функций 2F1, возникает дополнительное сингулярное слагаемое с дельта-функцией

5(Е — Е'). Указанные аналитические формулы и их табулированные результаты, полученные с их помощью, а также многочисленные аппроксимации для частных значений п, I и/или энергии Е широко используются в задачах классической (однофотонной) оптической спектроскопии.

Внедрение лазеров в технику оптической спектроскопии и экспериментальные исследования многофотонных процессов стимулировали аналитические расчёты сечений многофотонных (в первую очередь, двухфотон-ных) переходов в кулоновском поле. Уже на наиболее простом примере радиального матричного элемента двухфотонного связанно-связанного перехода, очевидно, что в этом случае задача принципиально усложняется необходимостью расчёта спектральных сумм. Далее ясно, что даже будучи вычисленным в замкнутом виде, матричный элемент (В.2) должен иметь гораздо более сложный функциональный вид по сравнению с (В.1), поскольку вдобавок к зависимости от квантовых чисел п, п', / он существенно (резонансным образом) зависит от непрерывного параметра — частоты и внешнего монохроматического возмущения. История аналитических расчётов амплитуд типа (В.2) для кулоновского потенциала насчитывает почти 40 лет (см., напр., [4]) и около сотни работ. Использовался целый ряд альтернативных подходов (различные модификации метода интегрирования неоднородных дифференциальных уравнений для поправочной функции 1-го порядка нестационарной теории возмущений, алгебраические подходы на основе 0(4)-симметрии кулоновской задачи и др.), но наиболее эффективным средством вычисления спектральных сумм является использование явного выражения для функции Грина уравнения Шредингера с кулоновским гамильтонианом. Для переходов меж

М^)±2(п,п\Е = Еп±и) = п'1'\г\кЬ) (Щг\п1)

-¿^ Ек-Епти-г 0 Е (пГ\гдь{Е',г,г'У \п1) у (В.2)

В.З) ду начальным и/или конечным состояниями с фиксированным орбитальным моментом, наиболее целесообразно использование мультипольного разложения Се'

Ое{г, г') = £ г, г') У1т(г) ^(Р), (В.4)

1т где У/т(г) - сферическая функция. В этом случае задача сводится к вычислению матричных элементов типа (В.2) с радиальной функцией Грина

Эффективность использования кулоновской функции Грина (КФГ) в теории двухфотонных процессов была продемонстрирована впервые на примере расчёта динамической поляризуемости основного состояния водорода в компактной аналитической форме [5] (см. также [6]): аи{ш) = ~2 РШ, + ш) + Т(Е1з - а;) - 1], (В.5) ш где

Таким образом, в простейшем случае п = п' = 1 матричные элементы (В.2) сводятся к полной гипергеометрической функции 2-^1 с двумя целыми первыми параметрами, один из которых равен единице (неполная бета-функция [7]). Аналогичные аналитические результаты были получены и для переходов из основного в низшие возбужденные состояния с п = 2,3 [8], а также для переходов между возбужденными уровнями [8, 9] вплоть до п = 4 [10]. Во всех случаях результаты выражаются в виде комбинации функций 2-Рь однако с ростом главных квантовых чисел п и п' число функций быстро возрастает. Отметим, что, в принципе, вследствие отмеченной выше целочисленности параметров такие функции приводятся к одной из них с помощью рекуррентных соотношений. Однако соответствующий алгоритм достаточно громоздок и может быть реализован лишь компьютерными средствами [11]. Наряду с расчётами амплитуд двухфотонных переходов с конкретными значениями п и п' в ряде работ матричные элементы (В.2) анализировались для общего случая произвольных п и/или п. Здесь результаты имеют достаточно простой вид лишь для упругих (п' = п) процессов: компактное выражение для скалярной части поляризуемости состояния \п1), возникающей при расчёте логарифма Бете для лэмбовского сдвига, найдено в [12] (см. также [10] для п < 4 и [13] для п5-состояний); в работе [14] 3 независимые компоненты тензора поляризуемости для произвольного п, а также амплитуда "недиагонального" перехода \п1) ->■ \п1' = I ± 2) выражены через линейную комбинацию (пг = П — I — 1) фунКЦИЙ 2^1

Аналогичным образом, в виде комбинации ~ п гипергеометрических функций, было получено выражение для амплитуды неупругих переходов из основного состояния, |1в) —> |п1 = 0,2) [15]. Матричные элементы (В.2) для общего случая п ф п' анализировались в работах [16] - [17], однако, замкнутое выражение в терминах известных специальных функций не было получено. Использованная в [16] техника штурмовского разложения КФГ позволяет представить результат лишь в виде бесконечного ряда от произведений двух гипергеометрических полиномов (аналогичных входящим в формулы Гордона для фотоионизации), который к тому же оказывается расходящимся при частотах, превышающих потенциал ионизации \Еп\ начального состояния \п1). В [18, 19] результат записан в виде интегралов, не сводящихся к известным специальным функциям, а в работе [17], претендующей на получение результата в компактной аналитической форме, последняя имеет вид громоздкой суммы нескольких десятков специально введённых для данной задачи функций гипергеометрического типа от б параметров и 4 аргументов, которые эквивалентны тройной сумме, включающей фуНКЦИИ 2-^1 •

Анализ матричного элемента (В.2) для связанно-свободных переходов, |гй) —|Е1'), усложняется из-за наличия кулоновской функции непрерывного спектра, которая сама уже есть вырожденный гипергеометрический ряд. Тем не менее, и в этом случае амплитуда двухфотонной ионизации из основного состояния вычисляется в замкнутом аналитическом виде, но уже через полные гипергеометрические функции двух переменных — функции Аппеля ^ [20, 21] (см. также аналогичные результаты [22] для комптоновского рассеяния с ионизацией). Хотя указанные расчёты легко обобщаются и на случай низколежащих возбуждённых уровней, в общем случае замкнутые результаты для амплитуды не были получены и в конкретных расчётах для больших п (в особенности, для надпороговой ионизации, когда и > \Еп\) используются различные варианты численных алгоритмов для аналитического продолжения рядов гипергеометрического типа (см., напр., [23, 24, 25, 12]).

В главе 1 получены двухфотонные формулы Гордона — компактные аналитические выражения для матричных элементов типа (В.2) с произвольными пип'в канонически простой (насколько это возможно для столь общего случая) форме через известные специальные функции. Все полученные ранее аналитические результаты для двухфотонных диполь-ных переходов в водородном атоме являются простыми частными случаями указанных формул. Как оказалось, усложнение результатов для произвольных п, п' по сравнению со случаем основного состояния связано не с увеличением числа гипергеометрических функций 2-Р1 или функций Ап-пеля ^х, как этого можно было бы ожидать, судя по известным результатам для низколежащих уровней, а с тем, что в общем случае амплитуды выражаются в виде простой линейной комбинации произведений двух функций гипергеометрического типа. Одна из них — гипергеометрический полином порядка не выше, чем п< = тт{пг,п^.}, аналогичный полиномам в классической формуле Гордона, а другая — функция Аппеля которая для случая связанно-свободных переходов аналогична функциям, определяющим амплитуду двухфотонной ионизации из основного состояния. Для связанно-связанных переходов указанная функция Аппеля имеет целый отрицательный параметр и эквивалентна конечной сумме функций 2^1 с единичным первым параметром, аналогичных входящим в (В.5). Кроме того, в обоих случаях результат содержит также полиномиальные слагаемые с произведениями гипергеометрических полиномов одной (2-Р1) и двух (^1) переменных. Результаты радикально упрощаются для "диагональных" матричных элементов (В.2) с п' = п: в этом случае полиномиальные члены отсутствуют и ¿/(п,п, Е = Еп ± и) записывается в виде простого произведения суммы двух гипергеометрических полиномов на сумму двух полных гипергеометрических функций 2-^1

Обобщение формул Гордона на случай двухфотонных процессов оказалось возможным с использованием эффективного метода расчета, основанного на новом представлении (обобщенное штурмовское разложение) радиальной КФГ д1(Е-,г, г') в виде двойного ряда по полиномам Лагерра (или функциям Штурма 5п/(ж) (1.2) кулоновской задачи), которое содержит два произвольных (свободных) параметра а, а':

91(Е; Г, Г') = £; ¿„(и; с*, а') 5« (-) вт (Щ) . (В.б) о Vа / \а /

Принципиальным обстоятельством, придающим значительную гибкость в использовании обобщенного штурмовского разложения в различных приложениях, является факторизованная зависимость членов ряда (В.б) от г, г' и энергетического параметра и = 1/\/—2Е — ¿0. Вся зависимость от энергии Е содержится в ядре д1кк,(и;а,а'), которое не зависит от радиальных переменных и выражается через гипергеометрические функции. Рациональный выбор параметров а и а' в соответствии со спецификой конкретной задачи (например, а = п, а' — п' при анализе двухфотонных связанно-связанных переходов) позволяет в ряде случаев кардинально упростить процедуру расчета матричных элементов с д1(Е;г,г'), в частности, представить двухфотонные формулы Гордона в описанном выше замкнутом аналитическом виде через 4 функции д1кк, с различными к, к'. Таким образом, амплитуды двухфотонных процессов как бы содержатся уже в самом представлении (В.б) для д1(Е;г,г'). Существенно, что разложение (В.б) справедливо и при нецелых значениях параметра I — 7. Это позволяет получить двухпараметрическое разложение и для релятивистской КФГ в записи через функции Штурма квадрированного уравнения Дирака с кулоновским потенциалом. Для целых I и а' = а разложение (В.б) переходит в однопараметрическое представление функции Грина для нерелятивистской кулоновской задачи, полученное ранее в работе [27] (см. также [12]).

В разделе 1.1 изложен вывод разложения (В.б) и исследованы некоторые свойства нового представления КФГ. В частности, получено двухпа-раметрическое представление КФГ Ое{Р, р') в импульсном пространстве, обобщающее известный результат Швингера, а также разложение (Те(г, г') на "резонансную" (содержащую полюсы при Е = Еп) и "потенциальную" (гладко зависящую от энергии и вещественную при вещественных Е) части.

С использованием разложения (В.6) в разделе 1.2 получены двухфо-тонные формулы Гордона для амплитуд связанно-связанных переходов. В разделе 1.3 детально проанализирован случай п' = п: вычислены элементы штарковской матрицы уровня с произвольным п и получены простые формулы для скалярной, векторной и тензорной поляризуемостей, наиболее естественно обобщающие (В.5), а также проведено исследование ридбер-говских и припороговых асимптотик поляризуемостей.

В главе 2 рассмотрены связанно-свободные двухфотонные переходы. В разделе 2.1 приведены общие формулы для сечений двухфотонных процессов, в которых происходит переход электрона между дискретным и непрерывным спектром, в записи через радиальные матричные элементы. В разделе 2.2 рассчитываются аналитические выражения для радиальных матричных элементов связанно-свободных переходов. Хотя такие расчеты нельзя провести так же, как для связанно-связанных переходов, окончательные выражения имеют вид двухфотонных формул Гордона, т.е. амплитуды связанно-свободных переходов выражаются через ядро обобщенной КФГ (В.6) с учетом замены п' -¥ iZ/p. В разделе 2.2.1 этот результат получен с помощью аналитического продолжения по энергии конечного состояния амплитуды переходов в непрерывном спектре, а в разделе 2.2.2 — из выражения для амплитуды переходов в дискретном спектре.

Задача о переходах между состояниями непрерывного спектра в расчетном отношении является наиболее общей, поскольку в этом случае осциллирующие волновые функции как начального, так и конечного состояния выражаются через полную вырожденную гипергеометрическую функцию (а не полином). Амплитуду двухфотонных переходов в кулоновском континууме удается выразить лишь в виде интегралов от гипергеометрической функции. Свободно-свободными переходами определяются процессы рассеяния электронов на атомах и ионах, сопровождающиеся излучением и поглощением фотонов. Начало квантовому описанию таких процессов положило исследование Зоммерфельдом (1931 г.) спонтанного тормозного излучения (BremsstraЫung, ВгЭ) при рассеянии электрона на кулоновском центре [28]. В нерелятивистском дипольном приближении сечение ВгБ с испусканием фотона с частотой и и вектором поляризации е в направлении к da а3 р' и\М\2 (В.7) dujdQpxlQk (2тг)4 р определяется матричным элементом (МЭ)

М = (В.8) перехода между состояниями непрерывного спектра ф^ и ф^ электрона в статическом атомном потенциале U(r). Здесь а - постоянная тонкой структуры. При рассеянии на кулоновском центре трехмерный МЭ Ai вычисляется через гипергеометрические функции 2-^1 [28, 29]. Более того, в этом случае оказывается возможным аналитически проинтегрировать сечение (В.7) по направлениям рассеянного электрона и выразить спектральное распределение BrS da/dw в замкнутой форме через производную квадрата модуля функции 2F1 по аргументу (формула Зоммерфель-да [28, 3]). Для потенциала U(r) общего вида расчет сечения (В.7) состоит в использовании мультипольного разложения функций ф^ (см. ниже (3.9)). В этом случае парциальное разложение амплитуды Л4, удобное для анализа поляризационно-угловой зависимости сечения, имеет вид [30]

М = Q(p,p', 9) (е* • р) + Q(p',p, в) (е* • р'), (В.9) о 2 00

Q(p,p', в) = i—== ^ Е) + vW tí eiAl+dl+ll(E',E)] P/1}(cos0). (B.10)

Здесь Д/± = 5i±\(p') + 6¿(p), Si(p) - фазы рассеяния на потенциале U(r), P¡Ü(x) = (d/dx)Pl(x) - производная полинома Лежандра Pi(x), Е' = р'2/2т = E—u,a,din(E', Е) - радиальные МЭ оператора импульса (см. (3.31)). Спектральное распределение der/du также записывается в виде парциального ряда i о 2 3 00 = (s',s)|2 + (в.и)

1 — 1

В кулоновском случае этот ряд удается просуммировать непосредственно (см. [31], где аналитически вычислена сумма ряда (В. 11), записанного с использованием оператора взаимодействия в «форме ускорения») и воспроизвести формулу Зоммерфельда. Хотя для кулоновского BrS такой подход имеет скорее методический интерес, для потенциала U(г) общего вида парциально-волновой анализ является единственным способом упрощения общих формул (В.7), (В.8) без дополнительных приближений.

Наряду с обычным BrS, при рассеянии электрона на силовом центре возможен и процесс одновременного излучения двух спонтанных фотонов (двойное тормозное излучение, 2BrS), который в общем виде был впервые рассмотрен Гайтлером и Нордгеймом в 1934 г. [32] как радиационная поправка к обычному BrS. В 1985 г. спонтанное 2BrS было зарегистрировано экспериментально: в [33] и последовавших за ней работах [34] методом совпадений измерены дифференциальные сечения излучения двух тормозных фотонов при рассеянии электронов с энергией ~ 70 Кэв на тонких мишенях. В экспериментах [35] спонтанное 2BrS наблюдалось для электронов с энергией ~ 10 Кэв. Первые теоретические расчеты сечения 2BrS при рассеянии электрона на ядре были выполнены в релятивистском борновском приближении [36]. Точный учет действия кулоновского поля на электрон в процессе 2BrS возможен в рамках нерелятивистского дипольного приближения. С использованием кулоновской функции Грина (КФГ) амплитуду 2BrS удается представить в виде интегралов от гипергеометрической функции 2-fi (двухфотонный аналог результатов [28, 29] для М в (В.8)). Различные способы расчета двухфотонных амплитуд (с разными представлениями КФГ), использованные разными авторами, приводят к количественно эквивалентным, но различным по форме выражениям [22, 38, 39]. В частности, в [39] в амплитуде выделены внеинтегральные («борновские») слагаемые, значительно упрощающие анализ предельных случаев. Следует отметить предложенный Королем [40] эффективный приближенный метод расчета амплитуды 2ВгЗ, основанный на учете в од-нофотонных МЭ с?/211{Е2, Е1), входящих в составной МЭ двухфотонного перехода, лишь вклада от 6 - образных сингулярностей, возникающих при Е2 У Е\. В дальнейшем этот метод был распространен на недипольные расчеты [41] и на релятивистский случай [42]. Точные аналитические выражения для нерелятивистской амплитуды 2ВгЭ с учетом эффектов запаздывания получены в [43, 44]. Кроме перечисленных результатов для кулоновского потенциала, численные расчеты спонтанного 2ВгБ были выполнены также для рассеяния электронов на нейтральных атомах: как в рамках модели потенциального рассеяния [45], так и при учете поляризационного тормозного излучения атомным остовом [46].

Наряду со спонтанным излучением, значительный интерес к многоквантовым тормозным процессам был стимулирован лазерными экспериментами, что позволило наблюдать вынужденные процессы многофотонного тормозного излучения и поглощения в оптической области частот. Первые измерения сечений свободно-свободных переходов в присутствии интенсивной лазерной волны были выполнены в работах [47, 48]. Такого рода эксперименты неоднократно проводились и в дальнейшем для различных атомных мишеней при разных энергиях электронного пучка и геометрии опыта (см., напр., [49] и обзор [50]). Весьма общих результатов в теоретическом описании многофотонных переходов в непрерывном спектре удается достичь в рамках борновского и низкочастотного приближений. В борнов-ском случае сечение йа11 п-фотонного вынужденного излучения (п < 0) и поглощения (п > 0) в лазерном поле с амплитудой .Р, вектором поляризации е и частотой и имеет простой вид (формула Бункина-Фёдорова [51]; см. также [52]): где «1п - функция Бесселя, йсгв ~ борновское сечение упругого рассеяния в отсутствие световой волны, а импульсы р и р'п в начальном и конечном состоянии связаны законом сохранения энергии: (р^2 — р2)/2 = пси. Как показано в [53], в низкочастотном пределе (и —> 0) борновский ряд может быть просуммирован точно, так что даже для медленных электронов при Ни Е сечение йсгп также имеет факторизованный вид (В. 12) с заменой ¿ав на точное сечение упругого рассеяния йа^ в отсутствие светового поля. Отметим, что хотя были предложены различные варианты вывода низкочастотной асимптотики <1ап (см., напр., [54, 55]), вопрос о границах применимости приближения Кролла-Ватсона [53], пренебрегающего воздействием лазерного поля на динамику взаимодействия медленного электрона с атомным потенциалом, до настоящего времени является предметом дискуссий [56, 57, 58]. В [59] выражение для ¿ап получено в приближении, в котором движение электрона описывается классически, а процесс излучения и поглощения - квантовомеханически. Различные варианты обобщения результатов [51, 53] с учетом эффектов сильного лазерного поля см., напр., в обзоре [60], однако точный учет рассеивающего потенциала возможен лишь в рамках теории возмущений по полю волны. В частности, для кулоновского двойного тормозного излучения и поглощения такой расчет полностью аналогичен случаю спонтанного 2ВгБ [37, 38, 39]. Однако при упругом переизлучении фотонов возникает особая ситуация: оба МЭ, определяющие амплитуду перехода, оказываются расходящимися, так что получение конечного результата требует устранения расходимостей [61, 39]. Кроме чисто вынужденных переходов, индуцируемых интенсивным лазерным полем, оно может существенно модифицировать и процесс спонтанного ВгБ. В борновском приближении этот вопрос исследован в [62]. Более детальный учет эффектов атомного (кулоновского) потенциала выполнен в [63, 64]. Укажем также работы [65, 66], в которых рассматривались «комбинированные» двухфотонные тормозные процессы комптоновского типа - поглощение электроном лазерного фотона с последующим спонтанным ВгЭ в поле ядра.

Ввиду трудностей экспериментального измерения поляризационных характеристик спонтанного ВгЭ, в работах по спонтанным тормозным процессам анализируется, в основном, энергетическая и угловая зависимость сечений. Напротив, в случае вынужденных процессов возможность контролируемого изменения лазерной поляризации открывает новые возможности в исследовании свободно-свободных переходов, что делает актуальным анализ поляризационных эффектов в тормозных процессах. Обобщение результатов Кролла-Ватсона [53] на случай эллиптической поляризации лазерного излучения обсуждается в [57, 67]. В работах [68, 69] показано существенное различие сечений одно- и двухфотонного рассеяния для случаев линейной и циркулярной лазерной поляризации при рассеянии электронов на атомах водорода [68] и гелия [69]. Однако наиболее ярким поляризационным эффектом является эффект дихроизма, состоящий в различии сечений при изменении знака степени циркулярной поляризации фотонов. В [30] установлено, что дифференциальное сечение однофотонного ВгБ при рассеянии электрона на ядре существенно различается для фотонов с правой и левой циркулярной поляризацией (циркулярный дихроизм, СБ). Общий анализ СБ в тормозном излучении при рассеянии электрона на атоме с ненулевым угловым моментом выполнен в [70]. Поляризационная зависимость поправок к упругому кулоновскому рассеянию, обусловленных влиянием световой волны, исследована в [39, 61]. Эффект СБ оказывается чувствительным к энергии электрона и частоте фотона и исчезает как в борновском, так и в низкочастотном пределах, а также при малых углах рассеяния. Вне указанных областей СБ имеет заметную величину и вполне доступен экспериментально. Укажем, что СБ в фотопроцессах с неполяри-зованными атомными мишенями является существенно квантовым, интерференционным эффектом и, в частности, отсутствует при классическом анализе ВгЭ в сильном лазерном поле [71]; в то же время численный квантовый расчёт однофотонного кулоновского ВгЭ вне рамок теории возмущений по лазерному полю [72] указывает на значительный СБ. В работах [73] рассмотрено рассеяние электрона на атоме водорода в присутствии двух полей, с линейной и циркулярной поляризациями. При наличии двух полей возникновение дихроичных эффектов достаточно очевидно и в этом случае при определенной геометрии полей СБ отличен от нуля и для быстрых (борновских) электронов, а также в полном сечении рассеяния.

Как уже отмечалось, для корректного описания поляризационных эффектов первое борновское приближение недостаточно и необходим более точный учёт взаимодействия электрона с мишенью, что для процессов с двумя и более фотонами представляет значительные трудности уже в рамках теории возмущений по взаимодействию электрона с излучением. Ввиду наличия в задаче нескольких векторных параметров, в первую очередь представляет интерес выделение динамических (зависящих от энергий и структуры потенциала) и кинематических (зависящих от поляризации фотонов и геометрии задачи) факторов в общих выражениях для сечений.

Глава 3 посвящена рассмотрению свободно-свободных двухфотонных переходов. В разделе 3.1.1 выполнен парциально-волновой анализ сечений двухфотонных свободно-свободных переходов, применимый как для потенциального рассеяния в поле и (г), так и на атоме с ненулевым угловым моментом. Общие результаты проиллюстрированы аналитическими и численными расчетами для рассеяния на кулоновском потенциале. В разделе 3.1 проведено максимально возможное аналитическое упрощение амплитуды двухфотонных дипольных переходов для случая центрального потенциала и (г), обобщающее результаты (В.9, В.10) для однофотонного ВгБ. В отличие от двучленного выражения (В.9), двухфотонная амплитуда для общего случая различных фотонов записывается в виде суммы пяти произведений инвариантных (не зависящих от поляризации фотонов) атомных параметров и скалярных произведений векторов поляризации фотонов и начального и конечного импульсов электрона. Аналогично (В. 10), параметры представлены в виде ряда из произведений радиальных МЭ второго порядка, М^1±1, между состояниями континуума с фиксированными значениями орбитальных моментов I и V и полиномов Лежандра от угла рассеяния в. Такая форма представления амплитуды позволяет получить явные выражения для атомных параметров, описывающих дихроичные поляризационные явления, зависящие от знака спиральности фотонов (раздел 3.1.3), и, в частности, показать, что при вынужденных двухфотонных процессах наряду с СБ возникает новый дихроичный эффект - эллиптический дихроизм (ЕБ), исчезающий в случае чисто циркулярной поляризации лазерного поля. Проанализированы оптимальные условия для наблюдения CD и ED. (Общие результаты для сечения 2BrS на атоме с ненулевым полным угловым моментом j в форме с разделенными динамическими и кинематическими частями приведены в Приложении III). В разделе 3.1 рассмотрены упругие двухфотонные переходы и показано, что сингулярности, возникающие в М^ при сближении энергий конечного и начального состояний Е' —> Е, компенсируются при вычислении инвариантных параметров Qf, для которых получены явные аналитические выражения. В разделе 3.2 (см. также Приложение IV) получены замкнутые аналитические выражения для кулоновских МЭ Мщ в виде суммы МЭ d^i^E', Е) обычного BrS и однократного интеграла от функции 2-Р1. В разделах 3.3 и 3.4 исследованы предельные области малых и больших частот фотонов и найдены простые асимптотики амплитуд неупругого (разд. 3.3) и упругого (разд. 3.4) рассеяния для центрального поля U(r). Частотная и энергетическая зависимость кулоновских радиальных МЭ, а также точность приближенных методов расчета обсуждаются в разделе 3.5.1. В разделе 3.5.2 приведены результаты для угловых распределений и поляризационной зависимости процессов вынужденного двухфотонного излучения и поглощения и сравнение численной величины сечений одно- и двухфотонных тормозных переходов.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Крыловецкий, Александр Абрамович

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей работе:

1. Исследованы общие свойства (разложение на резонансную и потенциальную части, переход к импульсному представлению) обобщенного штур-мовского разложения кулоновской функции Грина с двумя свободными параметрами и на его основе развита техника расчетов амплитуд двухфо-тонных переходов в кулоновском поле.

2. Получены замкнутые аналитические выражения (в записи через гипергеометрические функции) для амплитуд связанно-связанных и связанно-свободных двухфотонных переходов в атоме водорода из произвольного начального состояния \п1), обобщающие известные (однофотонные) формулы Гордона.

3. Найдены явные выражения для компонент тензора динамической поляризуемости ап1т(и) состояний с произвольным п через функцию 2-^1 специального вида, зависящую лишь от I и и = Нш/\Еп\, и полиномы /пг(сй) частоты й.

4. Найдены простые аналитические асимптотики для параметров, описывающих динамический эффект Штарка в ридберговской, припороговой и низкочастотной области.

5. Выделена поляризационно-угловая зависимость в амплитуде двухфо-тонного рассеяния на произвольном центральном потенциале и (г) и найдены явные выражения для инвариантных динамических параметров.

6. Получены замкнутые выражения для кулоновских парциальных амплитуд двухфотонных переходов в непрерывном спектре, найдены их асимптотики и аналитически устранены сингулярности, возникающие при упругом рассеянии.

7. Выполнен количественный расчет эффектов дихроизма в двойном тормозном излучении и поглощении.

Автор выражает глубокую благодарность Н.Л. Манакову за руководство работой, С.И. Мармо — за полезное обсуждение и ценные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Крыловецкий, Александр Абрамович, 2003 год

1. Gordon W. // Ann. Phys. (Leipzig) - 1929. - V. 2. - P. 1031.

2. Бете Г. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами / Г. Бете, Э. Солпитер Москва: Физматгиз - 1960. - 562 с.

3. Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский Москва: Наука, 1980. - 720 с.

4. Mittleman М.Н. Coherent scattering of photons by atomic hydrogen /М.Н. Mittleman, F. Wolfe// Phys. Rev. 1962. - V. 128. - P. 26862687.

5. Gavrila M. Elastic scattering of photons by a hydrogen atom / M. Gavrila // Phys. Rev. 1967. - V. 163. - P. 147-156.

6. Vetchinkin S.I. The Coulomb-Green's function calculation of the second-order interaction of a hydrogen atom with the radiation field / S.I. Vetchinkin, S.V. Khristenko // Chem. Phys. Lett. 1967. - V. 1. - P. 437-440.

7. Христенко С.В. Применение кулоновской функции Грина к расчету взаимодействия атома водорода с полем световой волны во втором порядке теории возмущений / С.В. Христенко, С.И. Ветчинкин // Опт. и спектр. 1968. - Т. 25. - С. 650-657.

8. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи: В 3 т: пер с англ Н.Я. Виленкина. М.: Наука. — Т.1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. - 1973. - 294 с.

9. Зон Б.А. Двухфотонные связанно-связанные переходы в кулоновском поле / Б.А. Зон, H.JI. Манаков, Л.П. Рапопорт // ЖЭТФ 1968. - Т. 55. - С. 924.

10. Gavrila М. Rayleigh scattering from n=2 states of atomic hydrogen / M. Gavrila // Z. Phys. A 1979. - V. 293. - P. 269-279.

11. Florescu V. Two-photon emissionn in the 3s->ls and 3d->ls transitions of hydrogenlike atoms /V. Florescu // Phys. Rev. A 1984. - V. 30. - P. 2441-2448.

12. Maquet A. Use of the Coulomb Green's function in atomic calculations /А. Maquet // Phys. Rev. A 1977. - V. 15. - P. 1088-1108.

13. Преображенский M.A. Точные нерелятивистские выражения тензора рассеяния света атомами /М.А. Преображенский // ЖЭТФ 1997. -Т. 111.-С. 816-831.

14. Broad J.Т. Calculation of two-photon processes in hydrogen with an L2 basis /J.T. Broad // Phys. Rev. A 1985. - V. 31. - P. 1494-1514.

15. Yahontov V. Light-shift calculation in the ns-states of hydrodgenic systems / V. Yahontov, K. Jungmann // Z. Phys. 1996. - V. D 38. - P. 141-152.

16. Krylovetsky A.A. Quadratic Stark effect and dipole dynamic polarizabilities of hydrogen-like levels / A.A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Laser Physics. 1997. - V. 7, №3. - P.781-794.

17. Costescu A. Simpler formulae for the two-photon transitions in hydrogenic atoms /А. Costescu, I. Brandus, N. Mezincescu // J. Phys. В 1985. -V. 18. - P. L11-L16.

18. Florescu V. Systematic study of ls-ns and ls-nd two-photon transitions of hydrogenlike atoms /V. Florescu, S. Patrascu, O. Stoican // Phys. Rev. A -1987. V. 36. - P. 2155-2166.

19. Karule E. On the evaluation of transition matrix elements for multiphoton processes in atomic hydrogen /Е. Karule //J. Phys. В 1971. - V. 4. -P. L67.

20. Marian T.A. Bound-bound two-photon transition matrix elements for the hydrogen atom in the dipole approximation / T.A. Marian // Phys. Rev. A 1989. - V. 39. - P. 3816-3824.

21. Игнатьев А.И. Двухфотонные процессы в кулоновском поле в диполь-ном приближении / А.И. Игнатьев // ЖЭТФ 1976. - Т. 70. - С. 484-492.

22. Gazeau J.P. Four Euclidean conformal group in atomic calculations: Exact analytical expressions for the bound-bound two-photon transition matrix elements in the H atom / J.P. Gazeau // J. Math. Phys. 1978. - V. 19. - P. 1041-1048.

23. Рапопорт Jl.П. Двухфотонная ионизация атома водорода / Л.П. Рапопорт, Б.А. Зон, Н.Л. Манаков // ЖЭТФ 1969. - Т. 56. - С. 400.

24. Klarsfeld S. Two-photon ionization of atomic hydrogen in the ground state // Lett. Nuovo Cim. 1970. - V. 3. - P. 395-398.

25. Горшков В.Г. Рассеяние рентгеновских лучей на атоме водорода /В.Г. Горшков, B.C. Поликанов // Письма ЖЭТФ 1969. - Т. 9. - С. 464468.

26. Gavrila М. Compton scattering of photons by bound K-shell electrons / M. Gavrila // Lett. Nuovo Cim. 1969. - V. 2. - P. 180-184.

27. Gavrila M. Compton Scattering by K-Shell Electrons. II. Nonrelativistic Dipole Approximation / M. Gavrila // Phys. Rev. A 1972. - V. 6. - P. 1360-1367.

28. Karule E. Two-photon ionisation of atomic hydrogen simultaneously with one-photon ionisation / E. Karule //J. Phys. В 1978. - V. 11. - P. 441-448.

29. Karule E. Transformed Coulomb Green function Sturmian expansion / E. Karule, R.H. Pratt // J. Phys. В 1991. - V. 24. - P. 1585-1592.

30. Klarsfeld S. Pade approximants and multiphonon ionisation of atomic hydrogen /S. Klarsfeld, A. Maquet // J. Phys. В 1979. - V. 12. - P. L553-L556.

31. Klarsfeld S. Analytic continuation of sturmian expansions for two-photon ionization /S. Klarsfeld, A. Maquet // Phys. Lett. A 1979. - V. 73. - P. 100-102.

32. Klarsfeld S. Pade-sturmian approach to multiphoton ionization in hydrogenlike atoms /S. Klarsfeld, A. Maquet // Phys. Lett. A 1980.- V. 78. P. 40-42.

33. Fainshtein A.G. Use of Coulomb Green function for the calculation of above-threshold multiphoton transitions / A.G. Fainshtein, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Phys. Lett. A 1984. - V. 104. - P. 347-350.

34. Heller E.J. Theory of J-matrix Green's functions with applications to atomic polarizability and phase-shift error bounds /E.J. Heller // Phys. Rev. A 1975. - V. 12. - P. 1222-1231.

35. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры /А. Зоммерфельд: В 2 т: пер. с нем. А.Н. Матвеева и Б.В. Медведева; Под ред. Я.А. Смородин-ского. М.: Гостехиздат. - Т. 2. - 1956. - 694 с.

36. Manakov N.L. Circular dichroism in laser-assisted electron-atom scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.V. Volovich // Phys. Lett. A 1995. - V. 27. - P. 42-48.

37. Manakov N.L. Photon polarization effects in bremsstrahlung and laserassisted electron-atom scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.V. Volovich // J. Electr. Spectr. and Rel. Phen. 1996. - V. 79. - P. 327-330.

38. Biedenharn L.C. A Note on Sommerfeld's Bremsstrahlung Formula / L.C. Biedenharn // Phys. Rev. 1956. - V. 102. - P. 262-263.

39. Heitler W. / W. Heitler, L. Nordheim // Physica 1934. - V. 1. - P. 1059.

40. Altman J.C. Double atomic-field bremsstrahlung /J.C. Altman, C.A. Quarles // Phys. Rev. A 1985. - V. 31. - P. 2744-2746.

41. Hippler R. Two-photon bremsstrahlung of free atoms / R. Hippler // Phys. Rev. Lett. -1991. V. 66. - P. 2197-2199.

42. Смирнов А.И. Двойное тормозное излучение / А.И. Смирнов // Яд. физика 1977. - Т. 25. - С. 1030-1035.

43. Gavrila М. Two-photon free-free transitions in a Coulomb potential /М. Gavrila, A. Maquet, V. Veniard // Phys. Rev. A 1985. - V. 32. - P. 2537-2540.

44. Манаков H.JI. Резерфордовское рассеяние в присутствии монохроматической световой волны / Н.Л. Манаков, С.И. Мармо, А.Г. Файн-штейн // ЖЭТФ 1995. - Т. 108. - С. 1569-1588.

45. Korol A.V. Methods of the approximate treatment of the two-photon bremsstrahlung in point Coulomb field /A.V. Korol //J. Phys. В 1995. - V. 28. - P. 3873-3889.

46. Korol A.V. Method of approximate treatment of the non-relativistic nondipole two-photon bremsstrahlung in a central field /A.V. Korol //J. Phys. В 1996. - V. 29. - P. 3257-3277.

47. Fedorova T.A. Method of approximate treatment of the relativistic compound free-free matrix elements /Т.А. Fedorova, A.V. Korol, I.A. Solovjev // J. Phys. В 2000. - V. 33. - P. 5007-5025.

48. Korol A.V. Non-relativistic non-dipole two-photon bremsstrahlung in a Coulomb field /A.V. Korol// J. Phys. В 1997. - V. 30. - P. 413.

49. Dondera M. Nonrelativistic two-photon electron bremsstrahlung in a , Coulomb field, including retardation /М. Dondera, V. Florescu // Phys.

50. Rev. A 1998. - V. 58. - P. 2016-2022.

51. Korol A.V. Calculation of the parameters of the "ordinary" two-photon bremsstrahlung for a 8.82 keV electron on He, Ne, Ar, Kr and Xe /A.V. Korol// J. Phys. В 1994. - V. 27. - P. 155-175.

52. Kracke G. Two-photon bremsstrahlung in electron collisions with noble gas atoms /G. Kracke, G. Alber, J.S. Briggs // J. Phys. В 1993. - V. 26. - P. L561-L566.

53. Two-photon free-free transitions in laser-assisted electron-hydrogen scattering /G. Kracke, J.S. Briggs, A. Dubois, A. Maquet, V. Veniard // J. Phys. В 1994. - V. 27. - P. 3241-3257.

54. Andrick D. Measurement of free-free transitions in e~ — Ar scattering /D. Andrick, L. Langhaus // J. Phys. В 1976. - V. 9. - P. L459-L462.k

55. Direct observation of multiphoton processes in laser-induced free-free transitions /А. Weingartshofer, J.K. Holmes, G. Caudle, E.M. Clarke, H. Kruger// Phys. Rev. Lett. 1977. - V. 39. - P. 269-270.

56. Wallbank B. Differential cross sections for laser-assisted elastic electron scattering from argon /В. Wallbank, J.K. Holmes// J. Phys. В 1994. -V. 27. - P. 5405-5418.

57. Wallbank B. Low-energy electron helium scattering in a C02 laser field /В. Wallbank, J.K. Holmes// J. Phys. В - 1996. - V. 29. - P. 5881.

58. Mason N.J. Laser-assisted electron-atom collisions / N.J. Mason // Rep. Progr. Phys. 1993. - V. 56. - P. 1275-1346.

59. Бункин Ф.В. Тормозной эффект в сильном поле излучения /Ф.В. Бун-кин, М.В. Федоров // ЖЭТФ -1965. Т. 49. - С. 1215-1221.

60. Бункин Ф.В. Взаимодействие интенсивного оптического излучения со свободными электронами / Ф.В. Бункин, А.Е. Казаков, М.В. Федоров // УФН 1972. - Т. 107. - С. 559-593.

61. Kroll N.M. Charged-particle scattering in the presence of a strong electromagnetic wave /N.M. Kroll, K.M. Watson // Phys. Rev. A 1973. - V. 8. - P. 804-809.

62. Mittleman M.H. Potential scattering of charged particles in the field of a low-frequency laser /М.Н. Mittleman // Phys. Rev. A 1979. - V. 19. -P. 134-138.

63. Rosenberg L. Intermediate-and strong-coupling approximations for scattering in a laser field / L. Rosenberg // Phys. Rev. A 1981. - V. 23.- P. 2283-2292.

64. Geltman S. Laser-assisted collisions: The Kroll-Watson formula and bremsstrahlung theory / S. Geltman // Phys. Rev. A 1996. - V. 53. P. 3473-3483.

65. Geltman S. Low-energy laser-assisted electron-helium collisions / S. Geltman // Phys. Rev. A 1997. - V. 55. P. 3755-3759.

66. Madsen L.B. A simple test of theories of laser-assisted electron-atom scattering / L.B. Madsen, K. Taulbjerg // J. Phys. В 1998. - V. 31.- P. 4701-4716.

67. Kylstra N.J. Laser-assisted, low-energy electron-potential scattering in a C02 laser field / N.J. Kylstra, C.J. Joachain // Phys. Rev. A 1998. -V. 58. - P. R26-R29.

68. Kylstra N.J. Low-energy electron-He scattering in a low-frequency laser field / N.J. Kylstra, C.J. Joachain // Phys. Rev. A 1999. - V. 60. - P. 2255-2268.

69. Берсон И.Я. Полуклассическое приближение для вынужденного тормозного излучения / И.Я. Берсон // ЖЭТФ 1981. - Т. 80. - С.1727-1736.

70. Ehlotzky F. Electron-atom collisions in a laser field / F. Ehlotzky, A. Jaron, J.Z. Kaminski // Phys. Rep. 1998. - V. 297. - P. 63-153.

71. Fainshtein A.G. Light-induced radiative corrections to the Rutherford formula for Coulomb scattering / A.G. Fainshtein, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Phys. Lett. A 1994. - V. 195. - P. 358-361.

72. Карапетян P.B. Спонтанное тормозное излучение электрона в поле интенсивной электромагнитной волны /Р.В. Карапетян, М.В. Федоров // ЖЭТФ 1978. - Т. 75. - С. 816-826.

73. Daniele R. /R. Daniele, Е. Fiordilino // Nuovo Cim. D 1996. - V. 18. -P. 547.

74. Florescu A. Laser-modified electron bremsstrahlung in a Coulomb field / A. Florescu, V. Florescu // Phys. Rev. A 2000. - V. 61. - P. 033406.

75. Крайнов В.П. Тормозное излучение медленного электрона на куло-новском центре во внешнем электромагнитном поле /В.П. Крайнов, С.П. Рощупкин // ЖЭТФ 1983. - Т. 84. - С. 1302-1309.

76. Florescu A. Inelastic electron scattering from a Coulomb potential in a laser field / A. Florescu, V. Florescu // Phys. Lett. A 1997. - V. 226. -P. 280-288.

77. Mittleman M.H. Inelastic electron-atom scattering in the presence of an elliptically polarized low-frequency laser field / M.H. Mittleman // J. Phys. В 1993. - V. 26. - P. 2709-2717.

78. Fainstein P.D. Polarization dependence of laser-assisted electron-atom elastic collisions / P.D. Fainstein, A. Maquet //J. Phys. В 1994. -V. 27. - P. 5563-5571.

79. Light polarization effects in laser-assisted elastic electron-helium collisions: « a Sturmian approach / D. Khalil, O.E. Akramine, A. Makhoute, A.

80. Manakov N.L. A new technique in the theory of angular distributions in atomic processes: the angular distribution of photoelectrons in single and double photoionization /N.L. Manakov, S.I. Marmo, A.V. Meremianin// J. Phys. В 1996. - V. 29. - P. 2711.

81. Балакин А.А. Тормозное излучение в сильном лазерном поле / А.А. Балакин, Г.М. Фрайман // ЖЭТФ 2001. - Т. 120. - С. 797-810.

82. Рапопорт Л.П. Резонансы и дихроизм при рассеянии электрона в интенсивном лазерном поле на кулоновском потенциале /Л.П. Рапопорт, А.С. Корнев // ЖЭТФ 1999. - Т. 116. - С. 1241-1250.

83. Rapoport L.P. Threshold effects and dichroism in scattering of an electronin intense laser field on a Coulomb potential / L.P. Rapoport, A.S. Kornev // J. Phys. В 2000. - V. 33. - P. 87-93.

84. Cionga A. Circular dichroism in free-free transitions of high-energy electron-atom scattering /А. Cionga, F. Ehlotzky G. Zloh // Phys. Rev. A 2000. - V.62. - P. 063406.

85. Cionga A. Circular dichroism in differential and integrated cross sections of free-free transitions in high-energy electron-atom scattering /А. Cionga, F. Ehlotzky G. Zloh // J. Phys. В 2000. - V. 33. - P. 4939-4956.

86. Generalized Sturmian expansions of Coulomb Green's functions and two-photon Gordon formula / N.L. Manakov, A. Maquet, S.I. Marmo, C. Szymanowski // Phys. Lett. A 1998. - V. 237. - P. 234-239.

87. Запрягаев С.А. Теория многозарядных ионов с одним и двумя электронами / С.А. Запрягаев, H.JI. Манаков, В.Г. Пальчиков Моска: Энергоатомиздат, 1985. - 142 с.

88. Manakov N.L. Atoms in a laser-field / N.L. Manakov, V.D. Ovsiannikov, L.P. Rapoport // Phys. Rep. 1986. - V. 141. - P. 319-433.

89. Maquet A. The Coulomb Green's function and multiphoton calculations /А. Maquet, V. Véniard, T. A. Marian // J. Phys. В 1998. - V. 31. -P. 3743-3764.

90. Hostler L. Coulomb Green function in f-dimensional space / L. Hostler // J. Math. Phys. 1970. - V. 11. - P. 2966.

91. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи: В 3 т: пер с англ Н.Я. Виленкина. М.: Наука. — Т.2: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. - 1974. - 295 с.

92. Манаков H.JI. Аналитическое продолжение кулоновских функций Грина в область непрерывного спектра / H.JI. Манаков, С.И. Мар-мо, А.Г. Файнштейн // ТМФ 1984. - Т. 59. - С. 49-57.

93. Arnous E. Stimulated radiative corrections in hydrogen in the presence of a strong laser field /Е. Arnous, J. Bastian, A. Maquet // Phys. Rev. A -1983.- V. 27. P. 977-995.

94. Зон Б.А. / Б.А. Зон, H.JI. Манаков, Л.П. Рапопорт // Яд. физ. 1972. ' - Т. 15. - С. 282.

95. Manakov N.L. Sturmian expansions of the relativistic Coulomb Green function / N.L. Manakov, L.P. Rapoport, S. A. Zapryagaev // Phys. Lett. ,f A 1973. - V. 43. - P. 139-140.

96. Schwinger J. Coulomb Green's function /J. Schwinger// J. Math. Phys. -1964. V. 5. - P. 1606-1608.

97. Hostler L.C. //J. Math. Phys. 1964. - V. 5. - P. 1235.

98. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи: В 3 т: пер с англ Н.Я. Виленкина. М.: Наука. — Т.З: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. - 1974. -299 с.

99. Рарр R. Bound and resonant states in Coulomb-like potentials /R. Papp// J. Phys. A 1987. - V. 20. - P. 153-162.

100. Пресняков Л.П. Возбуждение многозарядных ионов электронным ударом. / Л.П. Пресняков, A.M. Урнов // ЖЭТФ 1975. - Т. 68. - С. 61-68.

101. Greene С. General form of the quantum-defect theory /С. Greene, U. Fano, G. Strinati // Phys. Rev. A 1979. - V. 19. - P. 1485-1509.

102. Chernov V.E. Exact analytic relation between quantum defects and ^ * scattering phases with applications to Green's functions in quantum defecttheory / V.E. Chernov, N.L. Manakov, A.F. Starace // Eur. Phys. Journ. D 2000. - V. 8. - P. 347-359.

103. Dorman C. Measurement of high conversion efficiency to 123.6-nm radiation in a four-wave-mixing scheme enhanced by electromagnetically induced transparency /С. Dorman, I. Kucukkara, J.P. Marangos// Phys. Rev. A 2000. - V. 61. - P. 013802.

104. Zhang G.Z. Nonlinear generation of extreme-ultraviolet radiation in atomic hydrogen using electromagnetically induced transparency /G.Z. Zhang, D.W. Tokaryk, B.P. Stoicheff// Phys. Rev. A 1997. - V. 56. -P. 813-819.

105. Elliptic dichroism and angular distribution of electrons in two-photon ionization of atoms /N.L. Manakov, A. Maquet, S.I. Marmo, V. V^niard, G. Ferrante // J. Phys. В 1999. - V. 32. - P. 3747-3768.

106. Зон Б.А. Спектр водородоподобного атома в поле лазерного излучения / Б.А. Зон, H.JI. Манаков, Л.П. Рапопорт / Опт. и спектр. 1975. -Т. 38. - С. 13.

107. Варшалович Д.А. Квантовая теория углового момента / Д.А. Варша-лович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский Ленинград: Наука, 1975 -450 с.

108. Манаков Н.Л. Динамическая поляризуемость и рассеяние высокочастотного излучения водородоподобными атомами / Н.Л. Манаков, В.А. Свиридов, А.Г. Файнштейн // ЖЭТФ -1989. Т. 95. - С. 790-799.

109. Гавриленко В.П. Спектр водородоподобного атома в поле высокочастотного излучения: аналитическое решение / В.П. Гавриленко // ЖЭТФ 1986. - Т. 90. - С. 857-865.

110. Beigman I.L. On dynamic polarizability of Rydberg states averaged over the angular quantum numbers /I.L. Beigman, L.A. Bureeva, R.H. Pratt// J. Phys. В 1994. - V. 27. - P. 5833-5840.

111. Христенко С.В. Дипольная динамическая поляризуемость атома водорода / С.В. Христенко, С.И. Ветчинкин // Опт. и спектр. 1969.Т. 26. - С. 310-313.

112. Delone N.B. Quasiclassical dipole matrix elements for atomic continuum states /N.B. Delone, S.P. Goreslavsky, V.P. Krainov// J. Phys. В 1989.- V. 22. P. 2941-2945.

113. Davydkin V.A. Oscillator strenghts, polarizabilities, and hyperpolarizabi-lities of Rydberg states / V.A. Davydkin, V.D. Ovsiannikov, B.A. Zon // Laser Phys. 1993. - V. 3. - P. 449-461.

114. Манаков H.JI. Теория возмущений для квазиэнергетического спектра атомов в интенсивном монохроматическом поле / H.JT. Манаков, В.Д. Овсянников, Л.П. Рапопорт // ЖЭТФ 1976. - V. 70. - Р. 1697-1712.

115. Переломов A.M. Группа Лоренца как группа динамической симметрии атома водорода / A.M. Переломов, B.C. Попов // ЖЭТФ 1966.- Т. 50. С. 179-198.

116. Фирсова Н.Е. О некоторых свойствах обощенных спектральных задач, связанных с уравнением Шредингера. /Н.Е. Фирсова, А.И. Шерстюк // ТМФ 1989. - Т. 81. - С. 59-68.

117. Szmytkowski R. The continuum Schrodinger-Coulomb and Dirac-Coulomb Sturmian functions JR. Szmytkowski// J. Phys. A 1998. - V. 31. - P. 4963-4990, 7415.

118. Шерстюк А.И. Спектральные разложения функций Грина в непрерывном спектре по функциям штурмовского типа / А.И. Шерстюк // Опт. и спектр. 1999. - Т. 87. - С. 765-773.

119. Moiseyev N. Quantum theory of resonances: calculating energies, widths and cross-sections by complex scaling / N. Moiseyev // Phys. Rep. 1998.- V. 302. P. 212-293.

120. Yamani H.A. L2 discretizations of the continuum: Radial kinetic energy and Coulomb Hamiltonian /Н.А. Yamani, W.P. Reinchardt// Phys. Rev. A 1975. - V. 11. - P. 1144-1156.

121. Maquet A. Stark ionization in dc and ac fields: An L2 complex-coordinate approach /А. Maquet, S.I. Chu, W.P. Reinhardt// Phys. Rev. A 1983.- V. 27. P. 2946-2970.

122. R.M. Potvliege, R. Shakeshaft, in Atoms in Intense Laser Fields, ed. by M. Gavrila, Academic Press, New York (1992), p. 373.

123. Gersbacher R. Resonances in helium photoionisation /R. Gersbacher, J.T. Broad // J. Phys. В 1990. - V. 23. - P. 365-384.

124. Dube L.J. Sturmian discretisation. II. The off-shell Coulomb wavefunction /L.J. Dub£, J.T. Broad// J. Phys. В 1990. - V. 23. - P. 1711-1732.

125. Manakov N.L. Invariant representations of finite rotation matrices and some applications /N.L. Manakov, A.V. Meremianin, A.F. Starace // Phys. Rev. A 1998. - V. 57. - P. 3233-3244.

126. Briggs J.S. Differential cross sections for photo-double-ionization of the helium atom /J.S. Briggs, V. Schmidt // J. Phys. В 2000. - V. 33. - P. R1-R48.

127. Манаков H.JI. Поляризационно-угловая структура и эллиптический дихроизм сечений трехфотонных связанно-связанных переходов в атомах / Н.Л. Манаков, А.В. Меремьянин // ЖЭТФ 1997. - Т. 112. -С. 1984-2000.

128. Ландау Л.Д. Квантовая механика /Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц -Москва: Наука, 1974. 767 с.

129. Biedenharn L.C. Quantum Calculation of Coulomb Excitation. I /L.C. Biedenharn, J.L. McHale, R.M. Thaler // Phys. Rev. 1955. - V. 100. -P. 376-393.

130. Эффекты высших порядков теории возмущений для сдвига и ширины атомных уровней в световом поле / H.JI. Манаков, М.А. Преображенский, Л.П. Рапопорт, А.Г. Файнштейн// ЖЭТФ 1978. - Т. 75. - С. 1243-1260.

131. Sil N.C. Integrals involving products of Coulomb functions and inverse powers of the radial coordinate /N.C. Sil, М.А. Crees, M.J. Seaton // J. Phys. В 1984. - V. 17. P. 1-20.

132. Chang C. Mixed-gauge representation of the matter-radiation interaction: application to free-free two-photon transitions /C. Chang, E.J. Robinson // J. Phys. В 1987. - V. 20. - P. 963-970.

133. Madajczyk J.L. Singular part of the hydrogen dipole matrix element / J.L. Madajczyk, M. Trippenbach // J. Phys. A 1989. - V. 22. - P. 2369.

134. Veniard V. Continuum-continuum dipole transitions in femtosecond-laser-pulse excitation of atomic hydrogen / V. Veniard, B. Piraux// Phys. Rev. A 1990. - V. 41. - P. 4019-4034.

135. Effects on observables of the singularity in the multiphoton free free dipole matrix elements /Т. Mercouris, Y. Komninos, S. Dionissopoulou, C.A. Nicolaides // J. Phys. В - 1996. - V. 29. - P. L13.

136. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик Москва: Наука, 1971. - 1100 с.

137. Крайнов В.П. Излучательные процессы в атомной физике / В.П. Крайнов, Б.М. Смирнов Москва: Высшая школа, 1983.

138. Gavrila М. Free-free transitions in intense high-frequency laser fields /М. Gavrila, J.Z. Kamiñski // Phys. Rev. Lett. 1984. - V. 52. - P. 613.

139. Popov A.M. Strong-field atomic stabilization: numerical simulation and analytical modelling /A.M. Popov, O.V. Tikhonova, E.A. Volkova // J. Phys. В 2003. - V. 36. - P. R125-R165.

140. Волкова E.A. Стабилизация циркулярных состояний атома водорода в сильном поле /Е.А. Волкова, A.M. Попов, О.В. Тихонова // ЖЭТФ 1999. - Т.116. - С. 1929-1940.

141. Oh S.D. Positiveness and monotonicity of continuum-continuum Coulomb dipole matrix elements /S.D. Oh, R.H. Pratt // Phys. Rev. A 1992. -V. 45. - P. 1583-1586.

142. Shaffer C.D. Zeros in (inverse) bremsstrahlung matrix elements /C.D. Shaffer, R.H. Pratt, S.D. Oh // Phys. Rev. A 1998. - V. 57. - P. 227-234.

143. Deng Z. Effect of Coherent Continuum-Continuum Relaxation and Saturation in Multiphoton Ionization /Z. Deng, J.H. Eberly // Phys. Rev. Lett. 1984. - V. 53. - P. 1810-1813.(1985).

144. Semiclassical matrix elements, essential-states models and perturbation theory of above-threshold ionisation /М. Trippenbach, K. Rzazewski, M.V. Fedorov, A.E. Kazakov// J. Phys. В 1989. - V. 22. - P. 11931206.

145. Tikhonova O.V. Continuum-interference mechanism of strong-field atomic stabilization /O.V. Tikhonova, A.M. Popov, M.V. Fedorov// Phys. Rev. A 2002. - V. 65. - P. 053404.

146. Chiral electron pairs from double photoionization /J. Berakdar, H. Klar, A. Huetz, P. Selles// J. Phys. В 1993. - V. 26. - P. 1463-1478.

147. Hostler L. Coulomb Green function and the Furry approximation / L. Hostler // J. Math.Phys. 1964. - V. 5. - P. 591-611.