Страгглинг-диффузионное приближение в теории переноса электронов средних энергий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.04, кандидат наук Бураков Алексей Сергеевич

• Бураков Алексей Сергеевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Бураков Алексей Сергеевич

на единице пути

3.4 Средние потери энергии на единице пути

3.5 Средний квадрат потерь энергии на единице пути

3.6 Модифицированные формулы Бете и Вавилова

для тормозной способности вещества

3.7 Модифицированная формула Бете Вавилова

3.8 Выводы

4 Страгглинг электронов в фазовом пространстве

пройденный путь - энергия

4.1 Кинетическое уравнение Больцмана с учетом

только неупругих столкновений

4.2 Решенеие уравнения Ландау

4.3 Диффузия в пространстве энергий с начальным условием в виде распределения Ландау

4.4 Страглинг приближение Бора Тер-Микаеляна

4.5 Фундаментальное решение уравнения

для плотности электронов

4.6 Выводы

5 Учет разброса по пробегам

в уравнении диффузии электронов

5.1 Диффузия в пространстве координат

5.2 Волновая модель кинетического уравнения

5.3 Учет страглинга в уравнении диффузии электронов

5.4 Тестирование по зависимости обратного рассеяния

от атомного номера вещества

5.5 Выводы

6 Прямая задача электронной микротомографии

6.1 Постановка задачи

6.2 Транспортно-малоугловая модель переноса электронов

6.3 Источник изотропизированных электронов

6.4 Краевая задача для диффузионного компонента

6.5 Энергетические спектры обратно рассеянных электронов

6.6 Многослойная мишень

6.7 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Страгглинг-диффузионное приближение в теории переноса электронов средних энергий»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Данная работа посвящена исследованию процессов переноса и энерговыделения электронов в наноструктурах методом построения аналитических моделей кинетического уравнения Больцмана из первых принципов без введения в теорию эмпирических подгоночных параметров.

Знание и понимание процессов переноса падающего потока электронов в наноструктурах чрезвычайно важны и актуальны, как в научных исследованиях, так и в практических приложениях, таких как технология низковольтной электронографии прямой записи топологии больших интегральных схем (БИС), неразрушающие методы диагностирования многослойных структур БИС.

В качестве примеров можно назвать электронную литографию (ЭЛ), которая позволяет в настоящее время прямо записать в резисте топологию БИС без маски с суб-10 нанометровым разрешением [10, 11], и микротомографию на основе обратного рассеяния электронов, которая широко применяетися для неразрушающей диагностики в технологиях микро и нано-электроники [13, 12, 14 16]. В настоящее время особенно интенсивно разрабатываются методы исследования многослойных структур на основе энергетических спектров обратно рассеянных электронов.

В теории рассеяния электронов в веществе могут быть сформулированы два основных подхода: аналитический и метод Монте-Карло (МК). Аналитический подход на основе уравнения переноса Больцмана в случае его реализации позволяет определить плотность потока электронов в фазовом про-

странстве координат, направлений движения и энергии. Определение этой функции, однако, очень сложно и сильно зависит от граничных условий.

Напротив, применение метода МК получило значительное развитие. Этому способствовала разработка более точных методов вычисления сечений упругого рассеяния по релятивистской теории Мотта [17] , и неупругого рассеяния на основе диэлектрического формализма по функции оптических потерь, и помещение полученных таблиц в базы данных NIST [18, 19]. В CERN (Европейская организация по ядерным исследованиям) разработана и помещена в открытом доступе МК программы GEANT4 [20, 21] и PENELOPA [22] предназначенная для вычисления прохождения заряженных частиц через образцы (в том числе со сложной геометрией). Однако метод МК, предоставляя картину траекторий движения электронов, не дает необходимого описания физической картины переноса на языке математических выражений, которая позволила бы увидеть существенные факторы и отбросить второстепенные при рассмотрении тех или иных наблюдаемых результатов переноса, например, спектров обратно рассеянных электронов, распределения поглощенной энергии в веществе или инжектированного заряда.

Из-за своей сложности, число исследований в рамках аналитического подхода очень ограниченно. Наиболее полный обзор аналитических подходов к моделированию уравнения Больцмана собран в монографиях [23, 24]. Интенсивные попытки решить уравнение Больцмана для электронов стандартными методами разложения по сферическим функциям, предпринятые в 1950 -1960 гг. [25], позволили вычислить распеделение выделенной энергии для плоского моноэнергетического и мононаправленного источника электронов и изотропного источника в однородной бесконечной среде [26], но не привели к успеху вычислению плотности потока во всем фазовом пространстве. Позднее B.C. Галишев показал [27], что метод сферических гармоник, хорошо работающий для 7-квантов и нейтронов, даже для двойного Pi-приближения метода описания многократногорассеяния электронов в слое конечной толщины ока-

зывается достаточно грубым.

В некоторых предельных случаях, точные аналитические решения получены только для малых углов рассеяния падающих на мишень электронов [28], или малых потерь энергии [29], или , напротив, когда плотность потока электронов становится почти изотропной по направлениям движения электронов [30]. И хотя в рамках допущенных ограничений, задачи решаются математически строго и дают в этих пределах верную физическую картину переноса электронов, в целом такой картины из отдельных фрагментов не складывается.

Теме не менее, такие ограниченно верные решения широко применяются для моделирования переноса электронов посредством подбора эмпирических моделей. Модель с центром диффузии, базирующаяся на понятии о глубине полной диффузии, введеной в диффузионной модели Бете [30], развита в работах ряда исследователей [31], [32] [33]. Однако эти модели имеют ограниченные области применимости, содержат эмпирические подгоночные параметры и, следовательно, не могут применяться для изучения переноса электронов и связанных с этим эффектов в таких приложениях, которые требует знания процесса переноса электронов в практически во всем фазовом пространстве, в котором записано кинетического уравнения (КУ) Больцмана для электро-

Для преодоления математических трудностей приходится упрощать исходные уравнения, заменяя их приближенными формами. Наиболее последовательно это подход был сформулирован в работе [34], в которой применялся метод сращиваемых асимптотических разложений по малым параметрам. Кинетическое уравнение расщеплялось на ряд более простых уравнений для главных членов этих разложений. Взаимодействие между моделями в рамках этой схемы осуществляется с помощью передаваемых друг другу граничных условий, которые могут быть получены при использовании процедуры сращивания асимптотических разложений. В ряде последующих работ диффу-

зиоыыая область применимости этой модели использовалась для вычисления вероятности выхода электронов, рожденных на заданной глубине с заданной энергией основной задачи рентгеноэлектронной эмиссии [35 37].

Степень разработанности темы исследования.

Следующим этапом построения упрощенных исходных уравнений КУ было соединение в единую систему транспортного-дельта, а затем и транспортно-малоуглового приближения для сечения упругого рассеяния в интеграле упругих столкновений, и модификация малоуглового приближения для падающего на мишень пучка электронов введением в расходную часть столкновитель-ного интеграла члена, отвечающего за рассеяние на большие углы [38]. Это позволило расщепить полное КУ на два связанных между собой уравнения, каждое из которых применялось во всем фазовом пространстве. Первое из них описывало проникновение в мишень падающего пучка электронов, его малоугловое рассеяние и постепенное уменьшение интенсивности за счет рассеяния на большие углы. Второе уравнение описывало перенос в мишени уже почти изотропизированных по направлениям движения электронов. К этому уравнению применимо стандартное Р\ - приближение метода разложения по сферическим функциям при определенных условиях приводящее к диффузионному приближению [38 40]. В ряде последующих работ эта названная авторами "трансиортно-малоугловой" модель кинетического уравнения применялась для решения задач вычисления обратного рассеяния и распределения выделенной энергии в многослойных мишенях при нормальном падении пучка электронов средних энергий (10 50 кэВ) [41 44]. Однако исследования последнего времени показали, что недостатком этой модели КУ является использование в ней приближения непрерывного замедления и, следовательно, пренебрежение страгглингом (разбросом пробегов) электронов [45, 46].

Хотя эти модели все еще используются до сих пор, они не могут применяться для электронно-лучевой литографии низких энергий (<10 кэВ), а

также надо томографии, т.к. формула Резерфорда Бете и формула Бете Блоха для тормозной способности вещества, которые используются в этих моделях, действительны только для быстрых электронов, скорости которых значительно больше скоростей атомных электронов, т.е. в области больших энергий электронов.

В настоящее время сечения упругого рассеяния определяются по теории Мотта с включением обменного и поляризованного взаимодействия электрона с атомами в веществе. Детальные исследования можно найти в работах [47, 48]. Для вычисления характеристик неупругого рассеяния электронов с высокой точностью, особенно в области малых энергий применяется диэлектрический подход [49 51], основанный на экспериментальных оптических данных [52] по измерениям в широком диапазоне коэффициентов преломления и поглощения фотонов.

Целью работы является учет флуктуации энергетических потерь электронов в моделировании кинетического уравнения переноса электронов средних энергий в многослойных наноструктурах БИС для разработки неразру-шающих методов диагностирования многослойных структур БИС.

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Модификация формулы дифференциального сечения упругого рассеяния Резерфорда Бете так чтобы полное и первое транспортное сечение совпадали с вычисленными по релятивистской формуле Мотта, помещенными в базы данных ШБТ.

2. Модификация формулы Бете Вавилова для тормозной способности вещества так чтобы средние потери энергии на единице пути, вычисленные по модифицированным аналитическим формулам совпадали с результатами вычислений неупругого рассеяния электронов в рамках диэлектрической теории с использованием алгоритма Пенна и помещенными в базы данных МЯТ.

3. Вычисление страгглиига электронов путем решения уравнения диффу-

зии электронов в пространстве энергий с начальным условием - распределением Ландау.

4. Учет страгглинга электронов в рамках модели кинетического уравнения Больцмана соединяющего транспортно-малоугловое и страгглинг-диффузионное приближения в ST-SD - модели кинетического уравнения (Small-angle Ttansport and Staggling -Diffusion approximation)).

5. Приложение ST-SD - модели кинетического уравнения для решения задачи о вычислении энергетических спектров обратно рассеянных электронов.

Научная и практическая ценность работы заключается в следующих полученных в работе результатах:

1. Для моделей кинетического уравнения, в которых дифференциальное сечение рассеяния заменяется транспортным, предложен способ облегчающий подгонку аналитической формулы дифференциального сечения упругого рассеяния электронов на атомах Резерфорда-Бете, ограниченный требованием, чтобы только две интегральные формы дифференциального сечения -полное и первое транспортное сечения - совпадали с вычисленными по релятивистской формуле Мотта (формула Резерфорда-Мотта).

2. Улучшено соответствие физической реальности модифицированной формулы Бете - Вавилова для тормозной способности вещества путем замены в ней атомного номера Z эффективным атомным номером Zeff, вычисленным по методу Томаса-Ферми, что позволяет ограничиться подгонкой только двух параметров в формуле для Ieff .

3. Получено более точное описание флуктуаций энергетических потерь и разброс пройденных путей электронов во всем интервале энергий - от начальной энергии электронов до их остановки (термализации) путем решения уравнения диффузии электронов в пространстве энергий с начальным условием - распределением Ландау,

4. Предложен способ учета флуктуаций энергетических потерь электро-

нов путем корректировки транспортной длины упругого рассеяния в рамках диффузионной модели кинетического уравнения Больцмана (БТ-БЮ - модель кинетического уравнения).

5. Предложен способ вычисления энергетических спектров обратно рассеянных электронов от многослойных структур.

Методы исследования. В работе использовались методы математической физики, аналитические и численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, статистические методы расчёта и обработки данных, современные методы вычислительной математики и программирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модифицированная формула дифференциального сечения упругого рассеяния Резерфорда-Бете (формула Резерфорда-Мотта) так что полное и первое транспортное сечение совпадают с вычисленными по релятивистской формуле Мотта, помещенными в базы данных \~IST.

2. Модифицированные формулы Бете - Вавилова для тормозной способности вещества путем замены в них атомного номера 2 и средней энергии возхбуждения I эффективным атомным номером Zeff и эффективной энергией возбуждения Ieff так что средние потери энергии на единице пути, вычисленные по модифицированным аналитическим формулам совпадали с результатами вычислений неупругого рассеяния электронов в рамках диэлектрической теории с использованием алгоритма Пенна и помещенными в базы данных \~IST.

3.Решение уравнения диффузии электронов в пространстве энергий с начальным условием - распределением Ландау, описывающее флуктацию энергетических потерь и разброс пройденных путей электронов во всем интервале энергий - от начальной энергии электронов до их остановки (термализации).

4. Способ учета страгглппга электронов путем корректировки транспортной длины упругого рассеяния в рамках модели кинетического уравнения Больцмана соединяющего транспортно-малоугловое и страгглинг-диффузионное приближения (ST-SD - модель кинетического уравнения).

5. Способ вычисления энергетических спектров обратно рассеянных электронов от многослойных структур без введения в теорию подгоночных эмпирических параметров в модели кинетического уравнения, учитывающей диффузию в пространстве координат и страгглинг в пространстве пройденных путей вследствие флуктуации энергетических потерь электронов (ST-SD - модель кинетического уравнения).

Апробация результатов. Результаты диссертационного исследования докладывались на 2 Международных семинарах: Физико-математическое моделирование систем : Матер. VII 2010 г. и XIX 2015 Междунар. семинар. / Воронежский гос. техн. ун-т, Ин-т проблем химической физики РАН.

Доклады на внутривузовских научных конференциях ВолгГТУ (Волгоград, ВолгГТУ, 2010 - 2015 годы).

Публикации. Научные результаты работы опубликованы в следующих рецензируемых журналах из списка ВАК:

1. Бураков, А.С.Высокоточная предсказательная полуэмпирическая формула для средней энергии возбуждения, полученная на основе модели атомов Томаса-Ферми / A.C. Бураков, Хай Кат Чан, В.А. Смоляр, A.B. Еремин // Известия ВолгГТУ. Сер. Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь. Вып. 12. - Волгоград, 2015. - № 11 (176). -С. 7-11.

2. Бураков, A.C. Аналитические аппроксимации сечений упругого рассеяния электронов на атомах / В.А. Смоляр, A.B. Еремин, В.В. Еремин,

A.C. Бураков // Известия ВолгГТУ. Серия «Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь». Вып. 8 : межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2013. - № 23 (126). - С. 61-66.

3. Бураков, A.C., Влияние кристаллической структуры вещества на дифференциальное сечение упругого рассеяния и принципа неразличимости частиц на тормозную способность / В.А. Смоляр, A.B. Еремин, В.В. Еремин, A.C. Бураков // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2014. - Т. 19, № 3. - С. 66-72.

4. Бураков, A.C. Зависимость эффективного числа электронов и энергии ионизации атома от энергии падающих на атом электронов / В.А. Смоляр, A.C. Бураков, С.А. Курка, A.B. Еремин // Известия ВолгГТУ. Сер. Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь. Вып. 10. - Волгоград, 2014. - № 26 (153). - С. 43-47.

5. Бураков, A.C. Страглинг-диффузионное приближение кинетического уравнения переноса электронов /A.C. Бураков, В.А. Смоляр, B.C. Жал-нина, // Нелинейный мир. - 2013. - Т. И, № 1. - С. 26-31.

6. Бураков, A.C. Учёт разброса по пробегам в уравнении диффузии электронов /Бураков, A.C., В.А. Смоляр, B.C. Жалнина // Изв. ВолгГТУ. Серия «Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь». Вып. 6 : межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2012. - № 6. - С. 12-15.

7. Бураков, A.C. Энергетические спектры электронов в веществе / A.C. Бураков, В.А. Смоляр, B.C. Жалнина // Изв. ВолгГТУ. Серия "Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь". Вып. 5 : межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2011. - № 6. - С. 7-11

Всего - 9 работ, из них 7 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных

ВАК РФ, 2 статьи в материалах Международных семинаров.

Доклады на Международных семинарах:

8. Бураков A.C. Периодические свойства средней энергии возбуждения в формуле Бете-Блоха для тормозной способности вещества / A.C. Бураков, В.А. Смоляр, Хай Кат Чан // Физико-математическое моделирование систем : матер. XIV междунар. семинара (г. Воронеж, 26-27 июня 2015 г.). Часть 1 / Воронежский гос. техн. ун-т, Ин-т проблем химической физики РАН. - Воронеж, 2015. - С. 179-185.

9. Бураков, A.C. Флуктуации энергетических потерь быстрых электронов / B.C. Жалнина, A.C. Бураков, В.А. Смоляр // Физико-математическое моделирование систем : матер. VII междунар. семинара / ГОУ ВПО "Воронежский гос. техн. ун-т "[и др.]. - Воронеж, 2011. - Ч. 2. - С. 63-67.

Соответствие паспорту научной специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 01.04.04 - «Физическая электроника», а именно

пункту 1 - «Эмиссионная электроника, включая процессы на поверхности, определяющие явления эмиссии, эмиссионную спектроскопию и все виды эмиссии заряженных частиц»,

пункту 4 - «Физические явления в твердотельных микро- и наноструктурах, молекулярных структурах и кластерах; проводящих, полупроводниковых и тонких диэлектрических пленках и покрытиях»,

пункту 6 - «Изучение физических основ плазменных и лучевых (пучковых) технологий, в том числе модификации свойств поверхности, нанесение тонких пленок и пленочных структур».

Личный вклад автора заключается в том, что им а) предложены модифицированные формулы Резерфорда-Мотта и Бете-Вавилова [1 4,7 9] ; б) предложен способ учета страгглинга электронов вследствие неупругих столкновений [6, 5]; в) совместно с научным руководителем сформулированы задачи исследования и проанализированы результаты вычислительного моделирования. Основные положения диссертации опубликованы в соавторстве с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка использованных источников. Работа изложена на 95 страницах машинописного текста и включает 25 рисунков, 1 таблицы. Список использованных источников включает 70 наименований.

Глава 1 Сечение упругого рассеяния

электрона на атоме Резерфорда Мотта

1.1 Сечение Резерфорда-Бете

Бете ввел в формулу Резерфорда единственный параметр учитывающий экранирование кулоновского поля ядра электронами атома. Кроме того, чтобы учесть некоторый вклад неуругих столкновений налетающей частица с атомными электронами, можно заменить Z2 на Z+ 1) в формуле Резерфорда . Запишем формулу Резерфорда-Бете с экранированием поля ядра атомными электронами в виде [24]

З 1

3 акв(0,Т) = А(Т)--——-—, (1.1)

ЗП у ' 7 у У(1 + 2п(Т) - сое0)2'

где

А(Т ) — r2Z ^ + 1) 1

в 2р2'

в2 - V! _ Т(Т + 2) р2 — Т(Т + 2) в - с2 = (Т + 1)2 ' р = Т (Т +2)'

где Т — Е/тес2, ге — е2/(тес2) - классический радиус электрона, те -

масса электрона, р - импульс электрона в единицах тес, Т - кинетическая

энергия электрона в единицах тес2. Параметр экранирования п в первом

приближении может быть вычислен по формуле

— 1 (х\2 — 1 ( Хс /р у — 1 / \2 Z!/3 (I о)

п 4 Vта) 4 VгВ0.885Z-V3) 4 40.885/ р2 ' 1 ' )

где импульс электрона р измеряется в единицах тс X — Хс/р приведённая длина волны электрона, Хс — Ь/ (тс) - приведённая комптоновская длина

волны электрона, ra = rB0.885Z—1/3 - радиус атома в модели атома Томаса-Ферми , rB = fr2/(e2m) = XC/а - боровский радиус, а = e2/(hc) « 1/137 -постоянная тонкой структуры. Для быстрых частицу ^ 1-

Интегрируя дифференциальное сечение (1.1) по всем углам, получаем полное сечение упругого рассеяния

2п п

Г Г даRB 1

aRn(T,n) = J J -^(^T) sin9d6d^ = 2nA(T) (1 + . (1.3)

0 0

Обозначим нормированную на единицу вероятность рассеяния в единичный телесный угол вблизи единичного вектора нового направления движения электрона (в, у)

PRB (в,п) = ^ (в,Т)= + П) . (1.4)

аRB (Т,п) дИ п(1 + 2n — cos в)2

Заметим, что вероятность J'rb(в,п) определяется единственным параметром вещества параметром экранирования 1].

Полное сечение рассеяния представляет собой произведение двух функций:

д

—aRB(в, Т) = aRB (T,n)PRB (в,п), (1.5)

При этом только одна из них - J'rb (в, п) зависит от угла рас сеяния в . Выделение зависимости от угла рассеяния в отдельную функцию делает формулу Резерфорда Бете столь привлекательной для аналитических вычислений в теории переноса.

1.2 ТранспортныеЧ сечения

В разложение интеграла по упругим столкновениям по сферическим функциям сечение упругого рассеяния входит в виде разности нулевого и /-того компонентов разложения по полиномам Лежандра, которые получили специальные названия - транспортные-/ сечения - и определяются выражениями

atr,i = j (1 — Pi (cos в)) ^ (1.6)

Первые три полинома Лежандра имеют вид

P0 = 1, P1 = cosв, P2 = 1(3cos2 в - 1).

2

Для транспортных-/ сечений Резерфорда-Бете получим

da

= /(1 - Pi (cos в)) —=

= a 2n J Prb (cos в, n)(1 - Pi (cos e))d(cos в) = apRB (n). (1-7)

где введено обозначение для /-тых компонентов разложения распределения вероятности рассеяния

i

MB,

pRRrBl (n) = J pRB(cos в,п)(1 - Pi(cos в))d(cos в). -i

Вычислим ptr,i, / = 1, 2. Подставив (1.4) в (1.8), получим Ptr,i(n) = 2n(1 + n) ln + - 2n,

Ptr,2(n) = 6n(1 + n)(1 + 2n) ln + - 12n(1 + n), (cos в) = 1 - Ptr,i (n) = 1 - 2n(1 + n)ln + - 2n,

(m) = 2 Ptr,b

1

1

(м^ = 2Ptr,1 - 6Ptr,2.

Подставив (1.4) в (1.7), получим

atr,i = a(E,n)Ptr,i = A(E)

шЛ+М- 1

atr,2 = a(E,n)Ptr,i = A(E)

n/ 1 + n

1

3(1+ 2n)ln^1 + -J - 6

(1.8)

(1.9)

(1.10) (1.11)

(1.12) (1.13)

(1.14)

(1.15)

i

1.3 Сечения Резерфода-Мотта

Изменим классическую формулу Резерфорда Бете (1.1) так, чтобы она давала величины полного и первого транспортного сечений совпадающие с соответствующими сечениями, вычисленным по релятивистской формуле Мот-та в работе [53]. Назовем новую формулу формулой Резерфорда-Мотта и введем её выражением [2]

д 1 1

aRM (в, t ) = в (z, t )r2 z (z +1)-——-——-—, (не)

дП v ' 7 v ' /e v 'в2р2 (1 + 2п'м(Т) — cos в)2'

где B (Z,T) - подгоночный коэффициент, П'м (Т) - новый параметр экранирования.

Сечения Резерфорда Бете (1.1) представляют собой произведение функции, зависящей только от одной переменной п и функции, зависящей от энергии электронов Т и атомного номера вещества Z. Из формул ( ), ( ) и (1.9) (1.13) видно, что все усреднённые по углам величины, и в том числе транспортные-/ сечения, вычисленные по исходным дифференциальным сечениям Резерфорда Бете (1.1) полностью заданы, если известна величина полного сечения а и параметра экранирования п-

1.4 Транспортные сечения Резерфода-Мотта

Запишем уравнение (1.16) в виде д

aRM (в, Т) = aRM (Т, п'м )f'M (T,Vrm), (1-17)

д П

где

Тогда

aRM(T,nRM) = B(Z,T)aRB(Т, П'м)• (1-18)

aRM(T, Vrm) = B(Z,T)aRB(T,Vrm). (1.19)

Здесь полное сечение Резерфорда-Бете аЕВ (Т, п) - дается формулой ( ) с параметром экранирования Пдм5 вычисляемым из требования равенства полных и первых транспортных сечений. Потребуем равенства полных сечений

аЕм (Т,пяи ) = ам (Т). (1.20)

и первых транспортных сечений

*ЕМ (Т,Пдм ) = аМх(Т). (1.21)

Вычислим иидрикатису первого транспортного сечения

„лм/^л - аЕМ(Т) - ам1 (Т) п оо^

Рьтл (Т ) — - ,

а

(Т) ам (Т) '

где ам (Т) и ар^Т) - приведены в таблицах транспортных сечений [53]. Затем найдем параметр экранирования пем (Т), решив уравнение

— 2пем(1 + пем(Т)) 1^1 + - 2пем(Т). (1.23)

Из уравнения (1.18), учитывая (1.3), получим:

А(Т)

В (£,Т) — ам (Т)

1

(1.24)

_2цкм (1 + Пем).

В результате вместо исходной формулы Резерфорда Бете (1.1) получим модифицированную формулу Резерфорда Мотта (1.16), и будет обеспечено совпадение с соответствующими «точными» полных и первых транспортных модифицированных резерфордовских (ЯМ) сечений с релятивистскими сечениями Мотта.

На рисунке 1.1 транспортные сечения упругого рассеяния на атомах кремния вычисленные по формуле модифицированной формуле Резерфорда Бете с использованием простых аналитических подгонок для параметра экранирования ( ) и множителя ВЕ) ( ) , сравниваются с вычисленными по модифицированной формуле Резерфорда Бете с табличными данными релятивистских транспортных сечений упругого рассеяния Мотта а0, а1, а2, приведенными в работе [53].

Рис, 1.1: Полное и первое транспортное сечення упругого рассеяния электронов на атомах кремния: крестики - табличные данные |53|; сплошная .пиния - вычисление но модифицированной форму не Резерфорда-Мотта (1.16); штриховая линия - вычисление но исходной формуле Резерфорда-Бете,

1.5 Выводы

Предложена формула сечения упругого рассеяния электронов на атоме Резерфорда Мотта путем изменения в формуле Резерфорда Бете параметра экранирования пяи) и добавления множителя В) так, чтобы обеспечить совпадение полного сечения и первого транспортно сечения с такими же сечениями, полученными по релятивистской формуле Мотта.

Глава 2 Новая формула для средней энергии

возбуждения вещества, полученная методом Томаса-Ферми

2.1 Определение логарифмической средней энергия возбуждения

Теоретическое вычисление величины средней энергии возбуждения / является нетривиальной задачей, так как детали электронной структуры вещества, строение электронных оболочек и химические связи оказывают влияние на спектр энергетических состояний и энергетические потери при возбуждении атомов вещества быстрой заряженной частицей. Использование экспериментально измеренных величин средней энергии возбуждения является неизбежной необходимостью до настоящего времени [54]. Измерения основанные на экспериментах по потерям энергии для протонов, дейтронов и альфа частиц, а также оценки на основе распределения сил осцилляторов и функций диэлектрических потерь приведены в докладе ЮГШ 49 [55]. Рекомендуемые ШБТ значения средней энергии возбуждения даны в работе [56] и докладе ЮШ 37 [57].

Экспериментально измеренные величины / обнаруживают сложную зависимость от атомного номера На зависимости //2 от 2 видны периодические участки возрастания и спада около средней величины приблизительно равной 10 эВ.

С точки зрения метода Томаса-Ферми логарифмическая средняя энергия

1п I = --0-= 1 ¡1п(\Е (т)\)п(т)4пт2((т, (2.1)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бураков Алексей Сергеевич, 2016 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ источников

[1] Бураков, A.C. Высокоточная предсказательная полуэмпирическая формула для средней энергии возбуждения, полученная на основе модели атомов Томаса-Ферми / A.C. Бураков, Хай Кат Чан, В.А. Смоляр, A.B. Еремин // Известия ВолгГТУ. Сер. «Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь». - Волгоград, 2015. - № 11. - С. 7-11.

[2] Смоляр, В.А. Аналитические аппроксимации сечений упругого рассеяния электронов на атомах / В.А. Смоляр, A.B. Еремин, В.В. Еремин, A.C. Бураков // Известия ВолгГТУ. Сер. «Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь». - Волгоград, 2013. - № 23 (126). - С. 61-66.

[3] Смоляр В.А. Влияние кристаллической структуры вещества на дифференциальное сечение упругого рассеяния и принципа неразличимости частиц на тормозную способность / В.А. Смоляр , A.B. Еремин , В.В. Еремин , A.C. Бураков // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2014. - Т. 19, № 3,- С. 66-72.

[4] Смоляр, В.А. Зависимость эффективного числа электронов и энергии ионизации атома от энергии падающих на атом электронов / В.А. Смоляр , A.C. Бураков , С.А. Курка , A.B. Ерёмин // Известия ВолгГТУ . Сер. «Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь». -Волгоград, 2014. - №26 (153). - С. 43-47.

[5] Бураков, A.C. Страглинг-диффузионное приближение кинетического

уравнения переноса электронов / A.C. Бураков , В.А. Смоляр , B.C. Жалнина // Нелинейный мир. - 2013. - Т. 11. № 1. - С. 26-31.

[6] Бураков, A.C., Смоляр В.А., Жалнина B.C. Учёт разброса по пробегам в уравнении диффузии электронов / A.C. Бураков , В.А. Смоляр , B.C. Жалнина // Известия ВолгГТУ . Сер. «Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь». - Волгоград, 2012. ..Vo 6. С. 12-15.

[7] Бураков, A.C., Смоляр В.А., Жалнина B.C. Энергетические спектры электронов в веществе / A.C. Бураков, В.А. Смоляр , B.C. Жалнина // Известия ВолгГТУ . Сер. «Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь». - Волгоград, 2011. ..Vo 6. С. 7-11

[8] Бураков, A.C. Периодические свойства средней энергии возбуждения в формуле Бете-Блоха для тормозной способности вещества / A.C. Бураков, В.А. Смоляр, Хай Кат Чан // Физико-математическое моделирование систем : матер. XIV междунар. семинара. Часть 1. Воронеж, 26-27 июня 2015, Воронежский гос. техн. ун-т, 2015. - С. 179-185.

[9] Бураков, A.C. Флуктуации энергетических потерь быстрых электронов / A.C. Бураков, В.А. Смоляр, B.C. Жалнина // Физико-математическое моделирование систем: материалы VII международного семинара, Воронеж, 2010. - С. 63 - 67.

[10] Manfrinato V. R. Sub-5keV electron-beam lithography in hydrogen silsesquioxane resist / Manfrinato V. R. , Cheong L. L., Duan H., et al. // Microelectronic Engineering. 2011,- Vol. 88(18).- P. 3070-3074.

[11] Lee B. Sub-10-nm-resolution electron-beam lithography toward very-high-density multilevel 3D nano-magnetic information devices / Lee В., Hong J., Amos N. et al. // Journal of Nanoparticle Research. 2013.- Vol. 15(6). P. 1665.

[12] Pay Э.И. Анализ формул для расчета основных характеристик отраженных электронов и сравнение с экспериментальными результатами / Pay Э.И., Дицман С.А., Зайцев С.В. et al. // Известия Российской академии наук. Серия физическая. 2013. - Т. 77.- N 8.- С. 1050. -D0I:10.7868/S036767651308036X

[13] Кошев, И. А. Восстановление энергетических спектров электронов с учетом аппаратной функции спектрометра / И. А. Кошев, И. А. Орликов-ский, Э. И. Pay, et al. // Известия РАН. сер. физич., - 2012. - Т. 76. N 9. - С. Ю70-1076.

[14] Гостев А.В. , Орликовский Н.А., Pay Э.И. et al. Усовершенствование электронного тороидального спектрометра для растрового электронного микроскопа и его новые применения в диагностике структур микро- и наноэлектроники / Гостев А.В. , Орликовский Н.А., Pay Э.И. et al. // Журнал технической физики. - 2013. - Т. 83. N 3. - С. 140-147.

[15] Kupreenko S. Yu. Determination of Thickness of Ultrathin Surface Films in Nanostructures from the Energy Spectra of Reflected Electrons Kupreenko S. Yu. , Orlikovskii N. A. , Rau E. I. et-al. // Technical Physics. - 2015. Vol.60(10). - P. 1515-1518.

[16] Афанасьев, В.П. Теория формирования энергетических спектров отраженных заряженных частиц / В.П. Афанасьев, П.С. Капля // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. -2015. N 7. - С. 66-71. D01:10.7868/S0207352815040034

[17] Bunyan P. J., Schonfelder J. L. Polarization by mercury of 100 to 2000 eV electrons // Proc. Phys. Soc. - 1965. - Vol. 85. - P. 455-462.

[18] Berger M. J., Coursey J. S., Zucker M. A., Chang, J. Stopping-Power and Range Tables for Electrons, Protons, and Helium Ions /Berger M. J., Coursey

J. S., Zucker M. A., Chang, J. // National Institute of Standards and Technology (NIST) Gaithersburg, Maryland, USA. - URL: nist.gov/pml/ data/star/index.cfm/ (дата обращения 14.03.2016)

[19] NIST Electron Elastic-Scattering Cross-Section Database: Version 3.2

- URL: http://www.nist.gov/srd/nist64.cfm (дата обращения 14.03.2016)

[20] Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. - 2003. -Vol. 506(3). - P. 205-340. - URL: sciencedirect.com/science/journal/ 01689002/506 (дата обращения 14.03.2016)

[21] J. Allison K. Amako ; J. Apostolakis ; H. Araujo Geant4 developments and applications / J. Allison, K. Amako et-al. // IEEE Transactions on Nuclear Science - 2006. -- Vol. 53(1). P. 270-278. - URL:D01:10.1109/TNS. 2006. 869826 (дата обращения 14.03.2016)

[22] Penelope-2011: A code system for monte carlo simulation of electron and photon transport - URL: http://www.oecd-nea.org/tools/abstract/ detail/nea-1525 (дата обращения 14.03.2016).

[23] Кольчужкин A. M. Введение в теорию прохождения частиц через вещество / А. М. Кольчужкин, В.В. Учайкин - М.: Атомиздат, 1978. - 256 с.

[24] Клашников Н. П. Столкновения быстрых заряженных частиц в твердых телах / Н. П. Клашников, В. С. Ремизович, М. И. Рязанов - М.: Атомиздат, 1980. - 272 с.

[25] Spencer, L. V. Theory of electron penetration / L. V. Spencer // Phys. Rev.

- 1955 Vol. 98(6). - P. 1597-1616.

[26] Spencer, L. V. Energy dissipation by fast electrons / L. V. Spencer // Nationa Bureau of Standards Monograph 1 -1959. 70 p.

[27] Галишев B.C. Метод модифицированных сферических гармоник в теории многократного рассеяния частиц. /B.C. Галишев. - М.: Атомиздат, 1980. - 134 с.

[28] Компанеец А.С. Многократное рассеяние тонких пучков быстрых электронов // Журнал эксперим. и теор. физики. - 2013. -Т. - вып. 12. - С. 1059-1062.

[29] Ландау Л.Д. Собрание трудов, т.1 / Л.Д. Ландау - М.: Наука, 1969.

[30] Bethe, Н. Multiple scattering of fast charged particles / H. Bethe, M. E. Rose, L. P. Smith // Proc. Amer. Phil. Soc. - 1938.-Vol.78(4). - P. 573-583.

[31] Archard G. B. Backseattering of electrons / G. B. Archard //J. Appl. Phys. - 1961. - V. 32(6). - P. 1505-1509.

[32] Kanaya K. Penetration and energy-loss theory of electrons in solid targets / K. Kanaya, S. Okayama // J. Appl. Phys. - 1972. - V. (5). - P. 43-58.

[33] Dapor M. Penetration of an electron beam in a solid material: a simple model and a numerical simulation / M. Dapor // Physics Letters A. - V. 143(3). -P. 160-164.

[34] Бакалейников Л.А. Пограничные слои в задаче релаксации пучка электронов средних энергий в полубесконечных тяжелых мишенях / Бакалейников Л.А., Тропп Э.А. // ЖТФ. - 1986. - Т.56. - N 1. - С. 16-25.

[35] Bakaleinikov L.A. Simulation of X-ray induced electron emission at the absorption edge. / L.A. Bakaleinikov, K.Ju. Pogrebitsky, E. A. Tropp, etal // The Nucleus - 1997. - V.34(l-2). - P. 1-9.

[36] Бакалейников Л.А. Аналитический и численный подходы к расчету функции выхода электронов средних энергий из однородных образцов. / Л.А. Бакалейников, Е.Ю. Флегонтова, К.Ю. Погребицкий, Hwack-Joo Lee, Yang-Koo Cho, Hyun-Min Park, Yong-Won Song // ЖТФ - 2001. -T.71. - № 7. - C.14-20.

[37] Л.А. Бакалейников Расчет функции выхода и фотоэмиссии электронов средних энергий из образцов типа „слой на подложке" / Л.А. Бакалейников, К.Ю. Погребицкий, Е.Ю. Флегонтова, Yang-Koo Cho, Hyun-Min Park // ЖТФ -2002. - T.72. Л" 9 С. 119-129.

[38] Smolyar V. A. Transport-smallangle approximation in the kinetic theory of middle-energy electrons / Smolyar V. A. // Ukrainskii Fizicheskii Zhurnal. - 1988. - Vol. 33(7). - P. 1072-1077.

[39] Smolar V. Electron backscattering abd penetration in the small-angle and transport approximation model / Smolar V. // Vacuum. - 1990. - Vol. 41(7-9). - P. 1718-1720.

[40] Смоляр В.А. Транспортные модели в теории переноса электронов средних энергий. Автореферат дисс. д-ра физ.-мат. наук. -М., 1994. -30 с. URL: dlib.rsl.ru/viewer/01000759629#?page=l (дата обращения 14.03.2016)

[41] Smolar V. Backscattering and transmission for normal incidence of electrons in the smsall-angle and transport approximation / V. Smolar // Vacuum. -1994. Vol.45(5). - P. 609-615 .

[42] Смоляр В.А. Распределение выделенной энергии и инжектированного заряда при нормальном падении на мишень пучка быстрых электронов. / В.А. Смоляр, А.В. Еремин, В.В. Еремин // Журнал технической физики. - 2002. - Т. 72. - N. 4 - С. 46-52.

[43] Smolyar V.A. The distribution of liberated energy and ijected charge under normal incidence of a fast electron beam on a target / V,A. Smolyar, A.V. Eremin, V.V. Eremin // Technical Physics - 2002. T. 47. - N 4. - 419-425. - URL: DOI: 10.1134/1.1470588 (дата обращения 14.03.2016)

[44] Smolyar V. A. A diffusion model for propagation and backscattering of a moderate-energy ion beam incident onto a semi-infinite target / Smolyar, V. A.; Davidyan, A. P. // Journal of Communications Technology and Electronics - 2005 - Vol.50(10). - P. 1196-1202.

[45] Смоляр В.А. Учет разброоса по пробегам в уравнении диффузии электронов / Смоляр В.А., Жалнина B.C., Бураков А.С. // Известия ВолгГ-ТУ - 2012 Т. 6. X 6. С. 12-15.

[46] Смоляр В.А. Страглинг -диффузионное приближение кинетического уравнения переноса электронов / Смоляр В.А., Жалнина B.C., Бураков А.С. // Нелинейный Мир - 2013 - Т.11. X 1. С. 26-31.

[47] Jablonski A. Comparison of Electron Elastic-Scattering Cross Sections Calculated from Two Commonly Used Atomic Potentials / A. Jablonski, F. Salvat, C. J. Powell // J. Phys. Chem. Ref. Data - 2004. - Vol. 33(2). -P. 409-451.

[48] Salvat, F. Klsepa Dime partial-wave calculation of elastic scattering of electrons and positrons by atoms, positive ions and molecules / F. Salvat, A. Jablonski, C. J. Powell // Computer Physics Communications, -2005. -Vol. 165(2). - P. 157-190.

[49] Lindhard J. On the properties of a gas of charged particles / J. Lindhard // Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. - 1954. - Vol. 28(8).

[50] Ritchie, R. H. Interaction of Charged Particles with a Degenerate Fermi-Dirac

Electron Gas / R. H. Ritchie // Physical Review. - 1959. - Vol. 114(3). - P. 644-654.

[51] Pines D. Elementary Excitations in Solids / D. Pines. - New York: Benjamin, 1963.

[52] Palik, E. D. Handbook of Optical Constants of Solids, Vol. I. / E. D. Palik. - Boston: Academic, 1998.

[53] Salvat F. Total and transport cdoss sections for elastic scattering of electrons by atoms / F. Salvat, R. Mayol // Atomic Data and Nuclear Data Tables. -1997. - Vol.65(l). - P. 55-154. doi : 10.1006/adnd. 1997.0734

[54] K.A. Olive et al. (Particle Data Group), Chin. Phys. C38, 090001 (2014) -URL:D0I:10.1088/1674-1137/38/9/090001

[55] Stopping Powers and Ranges for Protons and Alpha Particles, ICRU Report No. 49 (1993)

[56] Seltzer S.M. Evaluation of the collision stopping power of elements and compounds for electrons and positrons / S.M. Seltzer and M.J. Berger // Int. J. of Applied Rad. - 1982. - Vol.33. - P. 1189-1218.

[57] ICRU Report 37, International Comission on Radiation and Measurements, Bethesda, 1984. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B Beam Interactions with Materials and Atoms. - Vol. 12(1). - P. 187-188

[58] Vasiliev B. V. Virial theorem and some properties of the electron gas in metals / B. V. Vasiliev, V. L. Lyuboshits // UFN - 1994 - T. 164. -N4.-P. 367-374.

[59] Hans A. Bethe, Intermediate Quantum Mechanics. / Published by W.A. Benjamin, New York, 1964 - 276 p.

[60] Salvat F. Analytical Dirac-Hartree-Fock-Slater screening function for atoms (Z 1 92) / F. Salvat, J. Martnez, R. Mayol, et al. // Physical Review A. -1987. - Vol. 36(2) - P. 467-474.

[61] Ahlen S. P. Theoretical and experimental aspects of the energy loss of relativistic heavily ionising particles / S. P. Ahlen // Rev. Modern Phys.

- 1980. - Vol. 52(1), - P. 121-173.

[62] Bethe, H. Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie / H. Bethe // Annalen der Physik. - 1930. - Vol. 397, № 3. - P. 325-400

[63] Shinotsuka, H. Calculations of electron stopping powers for 41 elemental solids over the 50eV to 30keV range with the full Penn algorithm / H. Shinotsuka, S. Tanuma, C. Powell, et al. // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms, 2012. - Vol. 270. - P. 75-92.

[64] Вавилов, B.C. Действие излучений на полупроводники / B.C. Вавилов -М.: Гиз. Физ. Мат., 1963. - 264 с.

[65] Salvat F. Workshop / F. Salvat, J.M. Fernandes-Varea, J. Sempau

- //1. Proc. Barcelona, Spain, 4-7 June 2006, OECD 2006, NEA N 6222.2. - URL:https://¥¥¥.oecd-nea.org/tools/abstract/detail/ nea-1525 (дата обращения 14.03.2016).

[66] В. А. Смоляр, Н. П. Михеев, Транспортно-диффузионное приближение в теории переноса электронов,// Украинский Физический журнал. 30, No.1.-140-143 (1985).

[67] В.А. Смоляр, Обратное рассеяние, прохождение и энерговыделение в пластине, бомбардируемой пучком электронов,// Радиотехника и электроника, 30, No.ll, 2221-2228 (1985)

[68] Бор Н. Прохождение атомных частиц через вещество / Н. Бор; пер. с англ. М.: Издательство иностранной литературы. - 1950. - 147 с.

[69] Тер-Микаелян М.Л. К теории многократного рассеяния / М.Л. Тер-Микаелян // Журн. Эксперим. и теор. физ. - 1959. - Т. 36. - N 1. С. 253-257.

[70] Карслоу Г Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. М.: Наука. 1964. 489 с.