Непрерывные и компактные вложения весовых пространств Соболева на анизотропно нерегулярных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Трушин, Борис Викторович

• Трушин, Борис Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трушин, Борис Викторович

1 Введение

1 История вопроса.

2 Основные определения и обозначения.

3 Классы $ и 0 анизотропных нерегулярных областей

4 Регуляризация А-расстояния.

5 О вложении класса 3 в класс Я.

2 Вспомогательные утверждения

1 Поточечные оценки через первые производные.

2 Поточечные оценки через старшие производные.

3 Исправление усеченного анизотропного гибкого конуса

4 Поточечные оценки интегральных операторов.

5 Теорема Безиковича.

6 Оценки сильного и слабого типов.

7 Вспомогательные оценки.

3 Вложения пространства Соболева в пространство Лебега и в пространство непрерывных функций

1 Основные результаты.

2 Область (/-класса.

3 Степенные веса.

4 Область ^-класса.

5 Вложение в пространство Лебега на областях ¿/-класса

6 Вложение в пространство Лебега на областях ^/-класса

7 Теоремы вложения в пространство Лебега в случае s =

8 Оценки интегральных операторов.

9 Теоремы вложения в пространство непрерывных функций

4 Компактность вложения пространства Соболева в пространство Лебега

1 Область CJ-класса

2 Почти степенные веса.

3 Область ^/-класса.

4 Компактность вложения.

5 Ослабленная компактность.•.

5 Неулучшаемость теорем вложения

1 Точки вырождения

2 Необходимые условия вложения.

3 Достаточные условия отсутствия вложения.

4 Внешний пик.

5 О неулучшаемости предельного показателя.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Непрерывные и компактные вложения весовых пространств Соболева на анизотропно нерегулярных областях»

Диссертация посвящена исследованию непрерывности и компактности вложения весовых пространств Соболева па новом классе нерегулярных областей. При этом характер вырождения рассматриваемых областей не является изотропным.

1 История вопроса

Теория вложения пространств дифференцируемых функций многих действительных переменных сложилась как новое направление математики в 30-е годы прошлого века благодаря работам С.Л. Соболева, оформленных им позднее в виде монографии [36]. Эта теория изучает связи дифференциальных свойств функций в различных метриках. Кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории функций, она имеет также различные применения в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Некоторые применения даны С.Л. Соболевым в той же монографии.

С.Л.Соболев ввел изотропные пространства IV*(С) функций, определенных на области О п-мерного евклидова пространства с нормой

11^/1^)11, здесь я е Р}, р > 1,

МО|| = ^ |/(-т)Г^ - норма Лебега, обобщенная по Соболеву производная, п

М = 1

В работах С.Л. Соболева [34, 35] были доказаны общие интегральные неравенства для дифференцируемых функций нескольких переменных и даны их приложения к ряду задач математической физики. Используя доказанные им теоремы об интегралах типа потенциала, интегральные представления функций и свойства усреднений, С.Л. Соболев установил, в частности, что для областей с условием конуса (каждая внутренняя точка является вершиной расположенного внутри области конуса постоянных высоты и раствора) при п п

5---1— ^ О, зеМ, 1<р<<7<со

Р ч пространство IV.¡¡(С) вложено в пространство ЬЦ(С), а при п в-->0, з € М, 1 < р < оо V вложено в пространство С (С) функций непрерывных на области С?. Это утверждение носит название теоремы вложения С.Л. Соболева. тт п п

При л--<0 величина Р пр

Ч =-, п — ре характеризующая "максимальное" пространство Лебега, в которое может быть вложено пространство Соболева И^ при фиксированных показателях р ид, называется соболевским предельным показателем.

Однако, еще до результатов С.Л. Соболева был известен тот факт, что отдельные ннтегральиые неравенства справедливы при весьма слабых предположениях относительно области. Например, неравенство К. Фрид-рихса [40]

2« ( [(\7/)Чх + [ /Чх ) ./с? \¿в эо У было доказано при единственном предположении, что С? - ограниченная область, для которой верна формула Остроградского-Гаусса. В 1933 г. О. Никодим [29] предложил пример области, для которой из квадратичной суммируемости градиента не следует квадратичная суммируемость функции. В монографии Р. Куранта и Д. Гильберта [18] изложены достаточные условия, при которых верны неравенство Пуанкаре и лемма Реллиха о компактности в Ь2((3) множества, ограниченного в метрике ((У/)2 + /2)^. ив

В связи со сказанным возникла задача описания классов областей, с теми или иными свойствам операторов вложения. В ряде статей В.Г. Ма-зьи были получены необходимые и достаточные, а также более простые достаточные условия справедливости некоторых теорем вложения пространств Соболева

В случае р = 1 эти условия представляют собой изопериметриче-ские оценки, связывающие объем произвольного подмножества области и площадь всей или части его границы. Доказательства были основаны на некотором новом приеме, базирующемся на представлениях интегралов от функций и их производных в виде интегралов по множествам уровней и их оценке при помощи изопериметрических неравенств. Одновременно и независимо о г В.Г. Мазьи тот же прием был иснользоваи

Федерером и Флемингом [38] для доказательства неравенства Гальярдо с точной константой.

При р > 1 таких геометрических терминов, как объем и площадь, уже недостаточно для адекватного описания свойств области. Здесь появляются емкостные оценки, связывающие объем с р-емкостью или р-проводимостью, для измеримых подмножеств области [22, 23, 24, 25].

B.Г. Мазья [26] установил также нужные изопериметрические и емкостные оценки для ряда модельных "плохих" областей, в частности, для одиночного внешнего пика. Однако, в общем случае проверить, удовлетворяют ли все измеримые подмножества области из данного класса требуемым оценкам, довольно трудно.

C.JI. Соболев установил своп теоремы вложения с помощью интегральных представлении функций через их производные. Этот метод получил затем развитие в работах В.П.Ильина и, в частности, был перенесен на случаи представления через разности. Позднее О.В. Бесовым построены интегральные представления по гибкому рогу. Метод интегральных представлений состоит в том, что представление функции в данной точке х строится по значениям этой функции в точках ограниченного конуса (или рога) с вершиной в точке х. Тем самым создается возможность для изучения функциональных пространств функций, заданных на открытом множестве достаточно общего вида (области, звездной относительно тара, открытого множества с условием конуса, с условием А-рога, с сг-условием Джона и т.п.).

В 1980 г. Ю.Г. Решетняк перенес [32, 8] результат СЛ. Соболева о вложении И'* с L4(G) па области с условием Джона, а в 1983 г. О.В. Бесов — на области с условием гибкого конуса (см, например, [5]) с соболевским предельным показателем.

К") ^ С ||V/ |Lj(]R") || € СПМ"),

Определение А [11]. Пусть ограниченная область С С I", жо 6 С, >с > 0. Пусть каждой точке х £ С поставлены в соответствие кусочно гладкий путь, параметризованный длиной дуги

7 : [0, ¿х] -»(?, 7 (0) = х, 7 (гх) = х0 такой, что р(7(*)) = сИб! (7(<),Кп\С) $5 >Л при ¿6 [0ДС]. Тогда говорят, что область (3 удовлетворяет условию Джона.

Определение В. Пусть область О С К™, Г > 0, х > 0. Пусть каждой точке х 6 С? поставлены в соответствие кусочно гладкий путь, параметризованный длиной дуги

7: М-с;, 7(о) = * такой, что р(7(0) ^ при ¿е[0,Г]. Тогда говорят, что (3 — область с условием гибкого конуса.

Отметим, что для ограниченной области понятия области с условием Джона и области с условием гибкого конуса совпадают.

В определенном смысле класс областей с условием гибкого конуса — самый широкий класс областей, для которого верпа теорема вложения с соболевким предельным показателем. Бакли и Коскела показали [1]. что если С С Ж2 — ограниченная односвязная область и пространство \Ур(С) вложено в Ь 2Р (О) при некотором р 6 [1,2), то область С? удовлетворяет

2-р условию Джона.

Теорема вложения С.Л. Соболева обобщалась на весовые пространств Соболева в работах Чуа [44], Хурри-Сюрьянен [42, 43] и др. В 1990 г. Смит и Стегенга [33] при д = р, в 1998 г. Хайлаш и Коскела [41] при д сколь угодно близком к максимально возможному, в 2000 г. Килпелаи-неи и Малы для максимально возможного q установили [14] неравенство Соболева-Пуанкаре для областей с сг-условием Джона при s = 1.

Определение С. Пусть ограниченная область G С R™,

Хо Е G, a ^ 1, х > 0.

Пусть каждой точке х € G поставлены в соответствие кусочно гладкий путь

7 : [0, tx] G, 7 (0) = х, 7 (íx) = х0, |У| < 1 Для п. в. te [0, t*\ такой, что p(-y(t)) > хР при t £ [0, t*}. Тогда говорят, что область G удовлетворяет a-условию Джона.

Еще из резуль та тов В.Г. Мазьи 60-х годов стало очевидным, что величина предельного показателя в теоремах вложения при фиксированных показателях р и s существенно зависят от геометрических особенностей области. Следующая теорема наглядно иллюстрирует это утверждение.

Теорема А [14]. Пусть область G удовлетворяет а-условию Джона. а ^ 1 — 7i, b > — п, и выполнены условия п п а(п + а — 1) +1 п + Ь

1 < р ^ g < 00, 1--+ - ^ 0, 1--—----b-^ 0. р q Р q

Тогда справедлива оценка mí\\f~t\Lq,w(G)\\^C\\Vf\LPiV(G)\\, при w — р\, v = р1 и некотором С > 0, не зависящем от /.

Под весовым пространством Лебега Lpv{G) понимается множество функций, для которых конечна норма

LP,.(G)|| = И |f(xWv(x)d.v где V — неотрицательная локально суммируемая весовая функция.

В 1997 г. Д.А. Лабутин установил [19] вложение с максимальным показателем q при 5 € N для областей с условием непрерывно гибкого сг-конуса. В 1999 г. при 5 = 1 он распространил [20] этот результат на гельдеровы области.

В 2001 г. О.В. Бесов установил [3] теорему вложения Соболева с максимальным показателем д при я € N для областей с условием гибкого

Определение Ю [3]. Пусть область б С 1", т > 1, Г > 0, х > 0

Пусть каждой точке ж € С поставлены в соответствие кусочно гладкий путь

Тогда говорят, что С — область с условием гибкого а-конуса.

Отметим, что и здесь для ограниченной области понятия области с сг-условием Джона и области с условием гибкого а-конуса совпадают.

Теорема В [3]. Пусть С? — область с условием гибкого а-конуса, а ^ 1 — п, Ь ^ 0, и выполнены условия сг-конуса. у: [0,4*]-»<3, 7 (0) = х, 1 для п. в. te[0,t*] такой, что р(7(£)) > к? при ¿€[0,/*].

1 < р < д < оо, а(п + а — 1) + 1 п + Ь 0.

Р Я

Тогда имеет место вложение Р Ч и справедлива оценка

L,llB(G)|| < С ( Е \\Daf\LP,v(G)\\ + \\f\LP(G)\\ \M=» при w — рь, v = ра и некотором С > 0, не зависящем от /.

Лабутин показал [21], что в невесовом случае предельный показатель в этой теореме не может быть увеличен.

В.И. Кондратов [17] при р > 1, Гальярдо [7] при р — 1 доказали, что вложения пространства Соболева в пространство Лебега

W;(G) С Lq(G) компактно при s — — + — > 0, sgN, 1 < р < g < ОО р q для ограниченной области G с регулярной границей. Ранее Реллихом был рассмотрен [31] случай р = q. В.Г. Мазья установил (см. [26]) необходимые и достаточные условия компактности вложения при s = 1 для области G с нерегулярной границей, формулируемые в терминах емкостных и изопериметрических неравенств. В случае s ^ 2, последовательным применением теоремы, установленной для s = 1, им получены достаточные условия компактности вложения. О.В. Бесов доказал [4] теорему о компактности вложения в случае ограниченной области с условием гибкого <j-KOiiyca и почти степенными весами.

Отметим также следующую важную теорему о компактности вложения в невесовом случае.

Теорема С [41, 27, 28]. Пусть G — область конечной меры. Пусть при некоторых р ^ 1, q > 1 u s € N непрерывно вложение

W;(G) С Lq(G)

Тогда при любом г £ [1, д) вложение с ьг(о) компактно.

Нами введен новый класс областей — области с А-анизотропным условием гибкого ст-конуса — который, по сути, является детализацией класса областей с условием гибкого а-конуса. Однако, эта детализация позволяет существенно усилить известные ранее теоремы о непрерывности и компактности весового вложения пространства Соболева в пространство Лебега.

На введенном классе областей нами построена теория вложения пространства Соболева в пространство Лебега и в пространство непрерывных функций со степенными весами, найдены достаточные условия компактности вложения в случае почти степенных весов, а также приведены примеры, показывающие, что полученные теоремы неулучшаемы. Более того, в невесовом случае при в — 1 доказано, что вложение пространства Соболева в пространство Лебега невозможно пи при каких параметрах суммируемости, если область имеет "нулевые углы" более чем степенного порядка вырождения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трушин, Борис Викторович, 2008 год

1. Buckley S., Koskela P. Sopolev-Poincaxé implies John // Math. Resereh Letteis. 1995. V. 2. P. 577-594.

2. Бесов O.B. Вложение пространств дифференцируемых функций переменной гладкости // Тр. МИАН. 1997. Т. 214. С. 25-58.

3. Бесов О.В. Теорема вложения Соболева для области с нерегулярной границей // Мат. сборник. 2001. Т. 192, №3. С. 3-26.

4. Бесов О.В. О компактности вложений весовых пространств Соболева па облатси с нерегулярной границей // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 72-93.

5. Бесов О.В., Ильин В.П. Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

6. Габидзашвияи М.А. Весовые неравенства для анизотропных потенциалов // Тр. Тбилисского матем. института. 1986. Т. 82. С. 25-36.

7. Gagliardo Е. Propriété di alcune classi di funzioni in più variabili // Rie. Mat. 1958. V. 7. P. 102-137.

8. Гусман M. Дифференцирование интегралов в Mn. M.: Мир, 1978.

9. John F. Rotation and strain // Comm. Pure Appl. Math. 1961. V. 14. P. 391-413.

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2: Пер. с англ. М.: Мир, 1965.

11. Jessen В., Marcinkiewicz J., Zygmund A. Note on the differentiability of multiple integrals // Fundamenta Math. 1935. V. 25. P. 217-234.

12. Kilpelainen Т., Maly J. Sobolev inequalities on sets with irregular boundaries // Z. Anal. Anwendungen. 2000. V. 19, №2. C. 369-380.

13. Кокияашвили B.M., Габидзашвили M.A. О весовых неравенствах для анизотропных потенциалов и целых функций // Докл. АН СССР. 1985. Т. 282, Ш. С. 1304-1306.

14. Kufner A., John О., Fucik S. Function spaces. Prague: Academia. 1977.

15. Кондратов В.И. О некоторых свойствах функций из пространства и; 11 Докл. АН СССР. 1945. Т. 48, №8. С. 563-565.

16. Курант Р., Рилъберт Д. Методы математической физики. М.: Наука, 1951.

17. Лабутин Д-А. Интегральное представление функций и вложение пространства Соболева на областях с нулевыми углами // Мат. заметки. 1997. Т. 61, №2. С. 201-219.

18. Лабутин Д-А. Вложение пространства Соболева на гельдеровых областях // Тр. МИАН. 1999. Т. 227. С. 170-179,

19. Лабутин Д.А. Неулучшаемость неравенства Соболева для класса нерегулярных областей // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 218-222.

20. Мазъя В.Г. Классы областей и теоремы вложения функциональных пространств // Докл. АН СССР. 1960. Т. 133, №3. С. 527-530.

21. Мазъя В.Г. р-проводимость и теоремы вложения некоторых функциональных пространств в пространство С // Докл. АН СССР. 1961. Т. 140, №2. С. 299-302.

22. Мазъя В.Г. Об отрицательном спектре многомерного оператора Шре-дипгера // Докл. АН СССР. 1962. Т. 144, №4. С. 721-722.

23. Мазъя В. Г. О задаче Неймана в областях с нерегулярными границами // Сиб. мат. о-ва. 1968. Т. 2. С. 1322-1350.

24. Мазъя В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

25. Maz'ya V.G., Poborchi S.V. Differentiable functions on bad domains. Singapore a.o.: World Scientific, 1997.

26. Мазъя В.Г., Поборчий C.B. Теоремы вложения и продолжения для функций в нелипшицевых областях. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006.

27. Nikodym О. Sur une classe de fonctions considérées dans le problème de Diiichlet // Fundam. Mat. 1933. V. 21. P. 129-150.

28. Поборчий C.B. Некоторые контрпримеры к теоремам вложения для пространств Соболева // Вестник СПбГУ. 1998. вып. 4, №22. С. 49-58.

29. Rdlich F. Ein Satz über mittlere Konvergenz // Nachr. Akad. Wiss. Cöttingcn. 1930. S. 30-35.

30. Решетняк Ю.Г. Интегральные представления функций в областях с негладкой границей // Сиб. мат. журнал. 1980. Т. 21, №6. С. 108-116.

31. Smith W., Stegenga D.A. Holder domains and Poincare domains // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. V. 319. P. 67-100.

32. Соболев С.Л. О некоторых оценках, относящихся к семействам функций, имеющих производные, интегрируемые с квадратом // Докл. АН СССР. 1936. Т. 1. С. 267-270.

33. Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анализа // Мат. сб. 1938. Т. 4, №3. С. 471—497.

34. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Д.: Изд-во ЛГУ, 1950; 2-е изд. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962; 3-е изд. М.: Наука, 1988.

35. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

36. Federer Н., Fleming IV.Н. Normal and integral currents // Ant. Math. 1960. V. 72. P. 458-520.

37. Fefferman C. Characterizations of bounded mean oscillation // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V. 77. P. 587-588.

38. Friedrichs K. Spektraltheorie halbbcschrankter Operatoren und Anwendung auf die Spektralzerlegung von Differentialoperatoren // Math. Ann. 1934. B. 109. S. 465-487. 685-713.

39. Hajlash P., Koskela P. Isoperimetric inequalities and imbedding theorems in irregular domains // J. London Math. Soc. (2). 1998. V. 58, №185. P. 425-450.

40. Hurri R. The weighted Poincsré inequalities // Math. Scand. 1990. V. 67. P. 145-160.

41. Hurri-Syrjänen R. An improved Poincaré inequality // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. V. 120. P. 213-232.

42. Chua S.K. Weighted Sobolev inequalit ies on domains satisfying the chain condition // Proc. Amer. Math. Soc. 1993. V. 117. P. 449-457.Публикации автора

43. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространство Ор-лича для области с нерегулярной границей // Тр. XLV науч. копф. "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". 2002. Ч. VII. С. 15.

44. Трушин Б, В. Вложение пространства Соболева в пространство Ор-лича и в ВМО со степенными весами // Докл. РАН. 2003. Т. 391, №5. С. 602-604.

45. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространства Ор-лича и ВМО со степенными весами // Тр. МИАН. 2003. Т. 243. С. 334-345.

46. Трушин Б.В. Теорема вложения Соболева для некоторого класса областей // Международная конф. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", поев, столетию С.М. Никольского. 2005. С. 85.

47. Трушин Б.В. Теоремы вложения для некоторого класса областей // Тр. XLVIII науч. конф. "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". 2005. Ч. VII. С. 21-22.

48. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространства Ор-лича для области с нерегулярной границей // Мат. заметки. 2006. Т. 79. №5. С. 767-778.

49. Трушин Б.В. Теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропных нерегулярных областей / / Материалы Международной конф. "Теория функций и вычислительные методы", поев. 60-летию со дня рождения проф. Н. Темиргалиева. 2007. С. 211-213.

50. Трушин Б.В. О вложении пространства Соболева в пространство Лебега для класса анизотропных нерегулярных областей // Евраз. мат. журнал. 2007. №2. С. 64-70.

51. Трушин Б. В. Теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропных нерегулярных областей // Докл. РАН. 2008. Т. 418, №3. С. 313-316.

52. Трушин Б.В. Теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропных нерегулярных областей // Тр. МИАН. 2008. Т. 260. С. 297-319.