Исследование несущей способности однородных массивных тел при объемном напряженном состоянии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Новоселов Олег Геннадьевич

• Новоселов Олег Геннадьевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Новоселов Олег Геннадьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ИССЛЕДУЕМОЙ ПРОБЛЕМЕ

ГЛАВА 2 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ

2.1 Поверхность нагружения

2.2 Принцип максимума Мизеса и постулат Друккера. Ассоциированный закон деформирования

2.3 Постановка задачи о предельном равновесии тел

2.4 Уравнение баланса мощностей

2.5 Экстремальные свойства предельных состояний деформирования

2.6 Кинематический и статический методы определения несущей способности конструкций. Сведение задачи к задаче линейного программирования

ГЛАВА 3 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЧНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ ДЛЯ МАССИВНЫХ ТЕЛ ПРИ ИХ ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

3.1 Вывод параметрических уравнений предельной поверхности для тел из однородных анизотропных материалов

3.2 Поверхности прочности для однородных изотропных тел, материал которых по-разному сопротивляется растяжению и сжатию

3.3 Поверхности прочности для однородных изотропных тел, материал которых одинаково сопротивляется растяжению и сжатию

3.4 Алгоритм построения сечений поверхности прочности для массивного тела, когда она задана параметрическими уравнениями (алгоритм А1)

3.5 Примеры, иллюстрирующие эффективность работы алгоритма А1

3.6 Построение сечений поверхности прочности для кубических тел единичных

размеров, путем решения соответствующих систем параметрических уравнений

3.6.1Примеры построения сечений предельных поверхностей для однородных изотропных кубических тел единичных размеров, материал которых по-разному сопротивляется растяжению и сжатию

3.6.2 Примеры построения сечений предельных поверхностей для кубических тел единичных размеров из легкого бетона

3.6.3 Примеры построения сечений предельных поверхностей для кубических тел единичных размеров из однородных изотропных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию

3.6.4 Примеры построения сечений предельных поверхностей для кубических тел единичных размеров из углеродистой стали

3.6.5 Выводы по работе алгоритма А1

3.7 Определение коэффициента запаса прочности кубических элементов единичных размеров при трехосном напряженном состоянии

3.7.1 Алгоритм определения коэффициента запаса прочности кубических элементов единичных размеров (Алгоритм А2)

3.7.2 Примеры, иллюстрирующие эффективность работы алгоритма А2 (изотропные тела)

3.7.3 Выводы по работе алгоритма А2

ГЛАВА 4 ОЦЕНКА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ МАССИВНЫХ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КИНЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА

4.1 Новый вариант кинематического метода определения верхней оценки предельной

нагрузки для массивных тел

4.1.1 Алгоритм определения наилучшей верхней оценки предельной нагрузки для массивных тел кинематическим методом (Алгоритм А3)

4.2 Примеры определения несущей способности куба единичных размеров из изотропного материала с одинаковыми сопротивлениями на растяжение и сжатие

4.3 Примеры определения несущей способности куба единичных размеров из изотропного материала с разными сопротивлениями на растяжение и сжатие

4.4 Определение несущей способности контрфорса подпорной стены

4.4.1 Сравнение результатов расчетов по теории предельного равновесия и по допустимым напряжениям

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложения

ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

МТ - массивное тело;

АЖКЭ - абсолютно жесткий конечный элемент; ОПР - обобщенная поверхность разрушения; ВСФ - внутренние силовые факторы; ЛП - линейное программирование;

- подвижная система координат, начало которой совпадает с центром рассматриваемой грани единичного куба, оси параллельны ребрам куба и сохраняют свои направления;

ОХУ! - система координат, куда отнесено массивное тело;

°ц, £ц = 1,3) - компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации,

соответственно

Тц, Мц (¿,у = 1,3) - силы и моменты, соответственно, действующие на грани единичного куба (ВСФ) - обобщенные силы;

¿и, Уц (I ^ У), (¿,У = 1 , 3) - скорости обобщенных перемещений;

Дvx, Аых - скорости взаимного перемещения и поворота двух соседних АЖКЭ,

соответственно, имеющих общую ОПР, относительно оси х; Дvy, ; Лvz,

аналогичные величины относительно осей у и 2, соответственно;

N - скорость диссипации внутренней энергии деформации, отнесенная к единице

площади;

ц - монотонно возрастающий параметр внешней нагрузки;

ОКЭ - объемный конечный элемент;

НДС - напряженно-деформированное состояние.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование несущей способности однородных массивных тел при объемном напряженном состоянии»

ВВЕДЕНИЕ Актуальность исследований.

Пространственные задачи механики деформируемого твердого тела имеют место, когда все три измерения тела (ширина, высота, длина) являются величинами одного порядка (например, при проектировании массивных конструкций фундаментов, конструкций тела насыпи земляного полотна или бетонной дамбы). Определение несущей способности массивных элементов конструкций, оставаясь при этом в пространствах напряжений к = 1,3) и деформаций , является трудной задачей даже при использовании современной мощной вычислительной техники. Существующие в настоящее время программные комплексы для ЭВМ, предназначенные для расчетов массивных тел на прочность, базируются, как правило, на упругой модели деформируемого твердого тела. Коммерческие программные комплексы применяются только со строгим соблюдением заложенных в их основу алгоритмов, и пользователи не имеют возможности модернизировать их в соответствии с изменяющейся расчетной практикой. Из вышесказанного, можно сделать вывод, что решения следующих проблем являются актуальными:

1. Развитие новых методов расчета массивных тел, позволяющих реалистичнее оценивать их прочностные показатели, точнее определить коэффициент запаса прочности для повышения экономичности конструкций при обеспечении их надежности.

2. Создание алгоритмов и программ для ЭВМ, альтернативных существующим расчетным комплексам, позволяющих сопоставлять результаты расчетов одних и тех же изделий различными методами.

Расчеты на прочность массивных элементов конструкций с учетом пластических деформаций позволяют реалистичнее оценивать их запас прочности и несущую способность изделия в целом, создавать равнопрочные конструкции, экономить затрачиваемый материал (грунт, бетон, металл).

Объектом исследований является массивное тело в форме куба с размерами граней 1х1х1 метр, а предметом исследований - новые методы определения прочности массивных тел и оценки их несущей способности.

Цели и задачи исследования - разработка методики определения несущей способности массивных элементов конструкций на основе модифицированного варианта кинематического метода теории предельного равновесия. В общем случае материал конструкции - однородный анизотропный. Форма элемента конструкции - произвольная (в общепринятых допустимых пределах).

Методика должна быть применима для общего случая объемного напряженного состояния объемного элемента конструкции. Для достижения этих целей необходимо решить следующие задачи:

1. получить параметрические уравнения предельной поверхности в 18-мерном пространстве внутренних силовых факторов (ВСФ) для однородных анизотропных тел;

2. разработать вариант кинематического метода, адаптированный для численного решения задач о предельном состоянии объемных элементов конструкций в общем случае их сложного сопротивления;

3. создать соответствующие алгоритмы и программы для ЭВМ, позволяющие реализовать разработанную методику расчетов о несущей способности объемных элементов конструкций в общем случае их сложного сопротивления.

Методология и методы исследований.

Данное исследование основывается на теории пластичности. Использована жестко-пластическая модель деформируемого твердого тела, кинематический метод теории предельного равновесия. Минимальное значение кинематически возможной нагрузки определяется с использованием симплекс-метода линейного программирования. При записи уравнения равновесия в форме Лангража, на базе принципа возможных перемещений, использована теорема Шаля из теоретической механики. Использованы аналитические и численные методы.

Научная новизна.

1. получены параметрические уравнения предельной поверхности в пространстве ВСФ для однородных анизотропных и изотропных (в то числе - для неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию) тел в случае их объемного напряженного состояния;

2. предложен метод определения коэффициента запаса прочности массивных элементов конструкций в общем случае их сложного сопротивления (фактические значения ВСФ сопоставляются с их соответствующими предельными комбинациями);

3. разработан вариант кинематического метода, адаптированный для численного решения задач о предельном состоянии объемных элементов конструкций в общем случае их сложного сопротивления;

4. созданы оригинальные алгоритмы и программы для ЭВМ, позволяющие эффективно решать задачи о несущей способности объемных элементов конструкций в общем случае их сложного сопротивления.

Достоверность и обоснованность.

Достоверность результатов и их обоснованность обуславливается корректным использованием положений теории пластичности, теории предельного равновесия, вычислительной математики, проверкой работы комплекса разработанных алгоритмов и программ путем решения тестовых задач. Часть результатов расчетов по предлагаемым методам сопоставлены с соответствующими экспериментальными и расчетными данными других авторов. Результаты, полученные с использованием предлагаемых методов, и соответствующие экспериментальные данные других исследователей, хорошо согласуются между собой.

Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на 16 конференциях разного уровня в период с 2014 по 2023 г., а именно на:

ежегодных научно-технических конференциях Набережночелнинского института КФУ в количестве 12 шт.,

Международных научно-практических конференциях иных образовательных

учреждений в количестве 4 шт.

Практическая ценность.

Полученные параметрические уравнения предельной поверхности в пространстве ВСФ имеют теоретическую (эвристическую) значимость. Например, основу нового метода определения коэффициента запаса прочности при сложном сопротивлении элементов конструкций, когда учитываются все фактические значения ВСФ, полученные, например, с использованием теории упругости, составляют эти параметрические уравнения. Разработанные в диссертации методы могут быть развиты, например, для соответствующих расчетов композитных тел, для случаев действия различных видов нагрузок (в том числе - многоцикловых) и т.д. Существует общепринятое мнение, что расчет по допускаемым нагрузкам позволяет реалистичнее оценивать несущею возможность конструкции, чем расчет по допускаемым напряжениям. Предлагаемая в диссертации методика расчетов, соответствующие алгоритмы и программы для ЭВМ позволяют осуществить расчеты по допускаемым нагрузкам для массивных элементов конструкций в широком диапазоне рассматриваемых задач. Можно предположить, что результаты диссертации найдут применения в расчетах на практике.

Реализация результатов работы.

Разработанные методы расчетов используются в учебном процессе при подготовке бакалавров и магистров в Набережночелнинском институте КФУ по направлениям 08.03.01 и 08.04.01 «Строительство» и 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений».

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы были доложены:

• на итоговой научной конференция профессора-преподавательского состава Набережночелнинского института К(П)ФУ (г. Набережные Челны, 2014 г.);

• на Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы науки на современном этапе развития» (г. Екатеринбург, 2015 г.);

• на итоговой научной конференция профессора-преподавательского состава Набережночелнинского института К(П)ФУ (г. Набережные Челны, 2015 г.);

• на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «VII Камские чтения» (г. Набережные Челны, 2015 г.);

• на Международной научно-практической конференции «концепции фундаментальных и прикладных научных исследований» (г. Уфа, 2016 г.);

• на итоговой научной конференция профессора-преподавательского состава Набережночелнинского института К(П)ФУ (г. Набережные Челны, 2016 г.);

• на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «VIII Камские чтения» (г. Набережные Челны, 2016 г.);

• на II Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы физико-математического образования» (г. Набережные Челны, 2017 г.);

• на итоговой научной конференция профессора-преподавательского состава Набережночелнинского института К(П)ФУ (г. Набережные Челны, 2017 г.).

• на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «X Камские чтения» (г. Набережные Челны, 2018 г.);

• на итоговой научной конференция профессора-преподавательского состава Набережночелнинского института К(П)ФУ (г. Набережные Челны, 2018 г.).

• на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «XI Камские чтения» (г. Набережные Челны, 2019 г.);

• на итоговой научной конференция профессора-преподавательского состава Набережночелнинского института К(П)ФУ (г. Набережные Челны, 2019 г.).

• на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «XII Камские чтения» (г. Набережные Челны, 2020 г.);

• на Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «XIII Камские чтения» (г. Набережные Челны, 2021 г.);

• на Всероссийской научно-практической конференции студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых «XIV Камские чтения» (г. Набережные Челны, 2022 г.).

Личный вклад соискателя.

1. осуществлен вывод соответствующих систем параметрических уравнений в пространстве ВСФ для случаев однородных анизотропных, изотропных (одинаково, и неодинаково, сопротивляющихся растяжению и сжатию) тел в общем случае их объемного напряженного состояния;

2. разработан вариант кинематического метода предельного равновесия для численного решения задач о несущей способности объемных элементов конструкций в широком диапазоне исходных данных;

3. составлен алгоритм построения искомых сечений предельной поверхности в пространстве ВСФ; алгоритм определения коэффициента запаса прочности объемных элементов конструкций с учетом всех практически действующих, в общем случае, ВСФ; алгоритм определения наилучшей верхней оценки кинематически возможной нагрузки для объемных элементов конструкций в общем случае их сложного сопротивления;

4. с использованием разработанных методик и алгоритмов, и составленных на их базе программ для ЭВМ, решено множество примеров, которые оформлены в виде наглядных таблиц и графиков; приведены сравнения некоторых из этих результатов с соответствующими известными теоретическими и экспериментальными данными.

Публикации.

Основные положения диссертационной работы опубликованы в 26 научных трудах, в том числе 6 статьи в журналах из списка, рекомендованных ВАК РФ, и 4 статья в журнале из базы данных Scopus/Web of Science. В автореферате приводится список публикаций, содержащий 21 наименования. Scopus/ Web of Scienc:

1. Novoselov O.G., Timirov E.V. The development of préparation and production management methods for excavation works in construction // International Journal of Pharmacy and Technology. - 2016. - Vol. 8, No. 4. - P. 24430-24438.

2. Novoselov O.G., Timirov E.V. Increasing the Strength of the Natural Soil and the application of it in Road Construction // Revista Publicando. - 2017. - Vol. 4, No. 13. -

P. 227-235.

3. Novoselov O.G., Timirov E.V., Akhmadieva A.S. Determination of Optimal Cost and Environmental Evaluation of Highways Using a Mathematical Model // Procedia Environmental Science, Engineering and Management. - 2020. - Vol. 7, No. 4. - P. 487495.

4. Novoselov O., Sabitov L., Sibgatullin K., Sibgatullin E., Chepurnenko A. A new method for calculating volumetric structural elements in the general case of their stressstrain state // E3s Web of Conferences, International Scientific Siberian Transport Forum. 2023. Vol. 409. P.07012.

Статьи ВАК:

5. Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э., Новоселов О.Г. Предельное состояние объемных конечных элементов при трехосных напряженных состояниях. Научно-технический вестник Поволжья №3, 2015 - Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2015. С.54-58.

6. Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э., Новоселов О.Г. Построение сечений предельных поверхностей прочности для объемных конечных элементов при трехосном напряженном состоянии. Научно-технический вестник Поволжья №5, 2015. - Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2015. С.36-38.

7. Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э., Новоселов О.Г. Определение коэффициента запаса прочности объемных конечных элементов при трехосном напряженном состоянии. Научно-технический вестник Поволжья №2, 2016. -Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2016. С.24-27.

8. Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э., Новоселов О.Г. Метод определения несущей способности массивных элементов конструкций. Фундаментальные исследования. - 2017. - №10 (часть 1). С. 51-55.

9. Новоселов О.Г., Сабитов Л.С., Сибгатуллин К.Э., Сибгатуллин Э.С., Клюев А.В., Клюев С.В., Шорстова Е.С. Метод расчета массивных элементов конструкций на прочность в общем случае их напряженно-деформированного состояния (параметрические уравнения поверхности прочности) // Строительные материалы и изделия. 2023. Том 6. № 2. С. 104 - 120. https://doi.org/10.58224/2618-7183-2023-

6-2-104-120

10. Новоселов О.Г., Сабитов Л.С., Сибгатуллин К.Э., Сибгатуллин Э.С., Клюев А.В., Клюев С.В., Шорстова Е.С. Метод расчета массивных элементов конструкций на прочность в общем случае их напряженно-деформированного состояния (кинематический метод) // Строительные материалы и изделия. 2023. Том 6. № 3. С. 5 - 17. https://doi.org/10.58224/2618-7183-2023-6-3-5-17

Статьи РИНЦ:

11. Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э., Вазиева Э.Р., Новоселов О.Г. Предельные поверхности прочности для линейных и объемных элементов строительных конструкций. Итоговая научная конференция проф-препод. состава, 5 февраля 2014 г.: сборник докладов. Часть-1. Набережные Челны: Издательско-полиграфический центр НЧИ К(П)ФУ, 2014. - С.319-325.

12. Новоселов О.Г. Предельное состояние массивных тел при сложном напряженном состоянии. «VII Камские чтения»: сборник докладов Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. В 3-х ч. Часть 1. - Набережные Челны: Издательско-полиграфический центр Набережночелнинского института КФУ, 2015. С.29-32.

13. Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э., Новоселов О.Г. Построение определенных сечений поверхности прочности для массивных тел, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию. Актуальные проблемы науки на современном этапе развития: сборник статей Международной научно-практической конференции. 18 ноября 2015 г. В 2 ч. Ч.2.: Уфа: РИО МЦИИ «ОМЕГА САЙНС», 2015. С.13-16.

14. Новоселов О.Г. Прогнозирование прочности массивных тел при сложном напряженном состоянии. Концепции фундаментальных и прикладных научных исследований: сборник статей Международной научно-практической конференции. 13 марта 2016 г. В 2 ч. Ч.1.: Уфа: РИО МЦИИ «ОМЕГА САЙНС», 2015. С.8-10.

15. Новоселов О.Г. Определение несущей способности непылеватой супеси, укрепленной битумной эмульсией, при объемном напряженном состоянии. «VIII

Камские чтения»: сборник докладов Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. В 3-х ч. Часть 1. -Набережные Челны: Издательско-полиграфический центр Набережночелнинского института КФУ, 2016. С.330-333.

16. Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э., Новоселов О.Г. Способ существенного уменьшения доли энергозатрат в составе стоимости строительной продукции. «Энергосбережение. Наука и образование»: (2017; Набережные Челны): сборник докладов международной конференции, 28 ноября 2017 г. / ред. д-ра техн. наук И.Х. Исрафилова. - Набережные Челны: Издательско-полиграфический центр НЧИ К(П)ФУ, 2017. с. 751-757.

17. Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э., Новоселов О.Г. Кинематический метод определения несущей способности массивов. Актуальные проблемы физико-математического образования. Материалы II Международной научно-практической конференции. - Набережные Челны: НГПУ, 2017. С. 37-41.

18. Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э., Новоселов О.Г. Метод оценки предельного состояния объемных конечных элементов при трехосных напряженных состояниях. Актуальные проблемы физико-математического образования. Материалы II Международной научно-практической конференции. -Набережные Челны: НГПУ, 2017. С. 41-44.

19. Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э., Новоселов О.Г. Метод определения несущей способности массивов. Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация №2 (78), 2018. С. 24-35.

20. Новоселов О.Г., Сибгатуллин К.Э. Метод определения предельного состояния по прочности массивных элементов конструкций. «X Камские чтения»: Всероссийская научно-практическая конференция, 23 ноября 2018 г.: сб-к док.. -Набережные Челны: Издательско-полиграфический центр Набережночелнинского института КФУ, 2018. С. 287-292.

21. Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э., Новоселов О.Г. Математическое моделирование несущей способности массивов. Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация №2 (81), 2019.

С. 14-21.

22. Новоселов О.Г., Прогнозирование кубической прочности бетона с использованием теории пластичности. Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация №2 (85), 2020. С. 79-86.

23. Новоселов, О.Г. Решение кинематической задачи с использованием известных схем разрушения бетонных элементов / О. Г. Новоселов, Э. С. Сибгатуллин // XII Камские чтения: сборник докладов Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Набережные Челны, 20 ноября 2020 года. - КФУ, 2020. - С. 373-377.

24. Новоселов О.Г., Сибгатуллин Э.С. Сравнение экспериментальных и теоретических значений прочности легкого бетона В25. Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация №1 (87), 2021. С. 66-74.

25. Новоселов, О.Г. Сравнение результатов расчетов контрфорса по теории предельного равновесия и по допустимым напряжениям / О. Г. Новоселов, Э. С. Сибгатуллин // XIII Камские чтения: сборник докладов Всероссийской научно-практической конференции студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых, Набережные Челны, 19 ноября 2021 года. - КФУ, 2021. - С. 351-356.

26. Новоселов О.Г., Сибгатуллин Э.С., Сибгатуллин К.Э. Определение предельной несущей способности контрфорса по прочности. Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация №1 (90), 2022. С. 77-85.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа изложена на 299 страницах текста, в том числе 66 рисунков, 42 таблиц в основной части, 76 таблиц в приложениях; состоит из введения, 4 глав, заключения и выводов, списка использованной литературы (157 наименований).

Содержание работы.

Во введении обоснованы актуальность темы диссертации, научная новизна, достоверность и практическая ценность полученных результатов. Сформулированы объект, цели, задачи, методология и методы исследований. Отмечены реализация, апробация результатов работы, личный вклад соискателя, структура и объем диссертации. Приведен список публикаций, где соискатель является авторов, или соавтором.

В первой главе приведен обзор литературы в тех областях науки, к которым имеют определенные отношения, решаемые в диссертационной работе задачи.

Во второй главе приведен теоретический материал, на который основополагается тема диссертационного исследования. В данной главе рассмотрены основные положения: поверхности нагружения, принцип максимума Р. Мизеса, ассоциированный закон пластичности, уравнение баланса мощности, статический и кинематический методы, постановка задачи линейного программирования, и др.

В третьей главе диссертации изложен новый метод оценки прочности массивных тел в общем случае их сложного сопротивления. Рассмотрены однородные анизотропные и изотропные тела, одинаково, и по-разному, сопротивляющихся разрушению при растяжении и сжатии. Получены соответствующие параметрические уравнения предельной поверхности в пространстве ВСФ - девяти сил и девяти моментов для куба единичных размеров. Разработан алгоритм построения определенных сечений поверхностей прочности в пространстве ВСФ. Приведены сравнения результатов, полученных с использованием разработанных программ для ЭВМ, с соответствующими известными данными других авторов. Приведены примеры построения предельных кривых для единичного куба. Разработан метод определения коэффициента запаса прочности единичного куба при трехосном напряженном состоянии. Создан алгоритм расчета коэффициента запаса прочности. Приведены результаты соответствующих расчетов.

В четвертой главе изложен метод оценки несущей способности массивного тела. Использована жесткопластическая модель деформируемого твердого тела и кинематический метод теории предельного равновесия. Принято допущение, что процесс пластического разрушения протекает по обобщенным поверхностям разрушения, а части тела между ОПР приняты за абсолютно жесткие конечные элементы. Движение каждого из АЖКЭ в трехмерном пространстве определяется шестью обобщенными координатами, а в каждом ОПР учитывается работа восемнадцати ВСФ. С использованием принципа возможных перемещений и постулата Друккера, рассматриваемые задачи сведены к стандартной задаче линейного программирования. АЖКЭ могут иметь произвольную форму и размеры. Внешние нагрузки - произвольны.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ:

1. системы параметрических уравнений, описывающих предельные поверхности в пространстве ВСФ, для однородных анизотропных и изотропных (одинаково, и по-разному, сопротивляющихся растяжению и сжатию) тел, в общем случае их объемного напряженного состояния;

2. метод определения коэффициента запаса прочности для массивных тел при учете всех, фактически действующих, ВСФ;

3. метод оценки несущей способности массивных тел при их объемном напряженном состоянии, как развитие кинематического метода теории предельного равновесия;

4. соответствующие алгоритмы, использованные при записи программ для ЭВМ (например, алгоритм построения искомых сечений предельных поверхностей в пространстве ВСФ);

5. некоторые результаты численных расчетов, полученные с использованием предлагаемых методик, алгоритмов и созданных для ЭВМ программ.

ГЛАВА 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ИССЛЕДУЕМОЙ ПРОБЛЕМЕ

«В механике материалов очень часто используются различные критерии, характеризующие переход материала из одного состояния в другое, например, условия линейной и нелинейной упругости, прочности, пластичности и т.д. Эти критерии выражаются через напряжения или деформации и геометрически изображаются как поверхности в пространствах симметричных тензоров второго ранга. Полученным таким образом поверхностям часто присваивается обобщенный термин «предельные поверхности». Если упомянутые критерии строятся на основе чисто физических соображений, то никаких проблем, касающихся самой предельной поверхности как таковой, обычно не возникают, так как она однозначно определяется самим критерием. Однако на практике часто известны лишь экспериментальные предельные точки и требуется найти такую геометрическую поверхность, которая бы их достаточно хорошо аппроксимировала, т.е. необходимо выбрать подходящее уравнение предельной поверхности. Если такое уравнение найдено и оно достаточно универсально, то его можно назвать феноменологическим критерием состояния материала» (А. Лагздинь, А. Зилауц [65]).

Основные критерии прочности однородных изотропных материалов при их кратковременном статическом нагружении (критерии прочности по наибольшим нормальным напряжениям, по наибольшим главным удлинениям, по наибольшим касательным напряжениям, энергетический критерий прочности) широко известны и вошли в учебники (см., например, работу И.Г. Терегулова [118]). Например, согласно энергетическому критерию прочности предельная поверхность описывается уравнением (1.1) настоящей работы, которое для пластичных материалов носит название условия пластичности Мизеса:

в2х + с>2у + в2 - (охоу + оуо2 + о2ох) + 3(т\у + т*2 + т2х) = а§. (11)

Многие другие критерии состояния материалов или имеют в своей основе выше перечисленные классические критерии прочности, или написаны по аналогии с ними, путем их обобщения и расширения с учетом результатов экспериментальных исследований.

Обзоры по критериям прочности и разрушения материалов имеются в работах, авторами которых являются Г.А. Гениев, В.Н. Киссюк, Г.А. Тюпин [23], И.И. Гольденблат, В.А. Копнов [25], Л.М. Качанов [55] и др. Для ортотропных материалов часто используют критерий прочности Мизеса -Хилла (Р. Хилл [121]); уравнение предельной поверхности согласно этому критерию имеет следующий вид:

Н(о1 - о2)2 + FO2 + Go2 + 2NT22 = 1. (1.2)

Здесь оси системы координат О123 направлены по осям ортотропии материала. Коэффициенты в (1.2) определяются через прочностные характеристики материала. Например

Н = 0.5(1/4 + 1 /°т2 - 1 /°т3). (13)

где от , öj2 , от - пределы текучести материала при растяжении вдоль осей 1, 2, 3, соответственно.

Недостатком критерия (1.2) является то, что он предполагает равенство пределов текучести (прочности) при растяжении и сжатии вдоль главных осей анизотропии, что не всегда выполняется для ортотропных материалов. Этот недостаток был устранен в работе К.В. Захарова [39], который предложил критерий прочности для ортотропных материалов в виде (1.4):

«11^1 + «22^ + «33^3 + 2а2з^2°3 + 2«31а3а1 + 2«12^1^2 + 2«14^1 + , ч

(14)

2а14а2 + 2а34а3 + а44 = 0.

Дальнейшее развитие — это предельное условие получило в работе А.К. Малмейстера [72]. А.К. Малмейстер предложил уравнения предельной поверхности записать в виде (1.5):

Рав°ав+Рав убоаруб +Papy6s^apy6s^ +----= 1- (15)

Как отмечают А. Лагздинь и А. Зилауц в [65], использованию ряда (1.5) препятствует то, что число констант в нем довольно быстро растет, особенно в анизотропии, и трудно удовлетворить условие, чтобы поверхность при этом оставалась пригодной для механики материалов, т.е. была бы без петель, вогнутостей и т.д. С целью избежать этих неприятностей ряд (1.5) часто обрывают на втором члене и пользуются уравнением второй степени (1.6), что приемлемо, однако, не всегда:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Новоселов Олег Геннадьевич, 2024 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агапов, В.П. Разработка и реализация восьмиузлового конечного элемента для расчета массивных конструкций с учетом пластических деформаций / В.П. Агапов, А.В. Васильев, А.В. Соснин // Строительная механика и расчет сооружений. - 2013. - № 4(249). - С. 71-73.

2. Артемьев, И.Т. Теория идеальной пластической анизотропии / И.Т. Артемьев, Д.Д. Ивлев // VII Всес. съезд по теор. и прикл. мех., Москва. - 1991. - С. 22.

3. Артемьев, И.Т. Теория идеальной пластической анизотропии / И.Т. Артемьев, Д.Д. Ивлев // Прикладная механика (Киев). - 1993. -29, N1. - С. 73-78.

4. Базлов, В.Н. Несущая способность оболочек вращения при осесимметричном нагружении / В.Н. Базлов // Сторит. мех. и расчет сооруж. - 1977. - №5. - С. 26-29.

5. Байков, А.Д. О расчете массивных конструкций с применением конечных элементов высокого порядка точности / А.Д. Байков, Н.А. Есульфович, В.П. Зарубаев // Метод конечных элементов в строительной механике. Горький. -1975. - С. 63-74.

6. Балан, Т.А. Вариант критерия прочности структурно-неоднородных материалов при сложнонапряженном состоянии / Т.А. Балан // Проблемы прочности. - 1986. - № 2. - С. 21-26.

7. Бамбура, А.Н. Экспериментальные исследования закономерности деформирования бетона при двухосном сжатии / А.Н. Бамбура, А.И. Давиденко // Строительные конструкции. - 1989. - Вып. 42. - С. 95-100.

8. Белоусов, B.C. Неассоциированный закон пластического течения пористых металлов / B.C.Белоусов // Изв. вузов. Физика. - 1994. - 37, N4. - С. 54-61.

9. Боркаускас, А.Э. Вычислительные аспекты применения методов математического программирования к расчету пластин и оболочек по предельному состоянию / А.Э. Боркаускас, Р.П. Каркаускас // Лит. мех. сборник. Вильнюс: Мин- тис. - 1971. - №2/9. - С. 47-54.

10.Буслер, Л.Э. Разрушение бетона в условиях двухосного сжатия-растяжения / Л.Э. Буслер // Новые исследования по технологии, расчету и конструированию железобетонных конструкций: сборник научных трудов / под ред. Б.А. Крылова и Н.Н. Коровина. - Москва, 1980. - С. 9-15.

11.Буханько, А.А. Деформационно-энергетический критерий разрушения жесткопластических тел / А. А. Буханько, А. Л. Григорьева, Е. П. Кочеров, А. И. Хромов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. -2009. - № 6. - С. 178-186.

12.Бухгольц, Н.Н. Основной курс теоретической механики. Часть I / Н.Н. Бухгольц. - Москва : Наука, 1972. - 468 с.

13.Бухгольц, Н.Н. Основной курс теоретической механики. Часть II. / Н.Н. Бухгольц. - Москва : Наука, 1972. - 332 с.

14.Быковцев, Г.И. Конечные деформации упругопластических сред / Г.И. Быковцев, А.В. Шитиков. - Москва : Доклады Академии наук СССР Т.311. № 1, 1990. - 59 с.

15. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. / К. Васидзу. - Москва : Мир, 1987. - 542 с.

16.Винник, А.И. Исследование напряженного состояния массивных тел на основе метода потенциала / А.И. Винник // Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев. - 1978. - вып.32. - С. 73-76.

17.Ворошко, П.П. Напряженное состояние массивных тел: автореф. дис. кандидата технических наук: (01.002). - Киевский инж.-строит. ин-т, 1970. -20 с.

18.Галлатер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлатер. - Москва : Мир, 1984. - 428 с.

19.Гвоздев, A.A. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия / A.A. Гвоздев. - Москва : Стройиздат, 1949. - 280 с.

20.Гвоздев, А.А. Прочность бетона при двухосном напряженном состоянии / А.А. Гвоздев, П.М. Бич // Бетон и железобетон. - 1974. - № 7. - С. 10-11.

21.Гвоздев, А.А. Определение величины разрушающей критической нагрузки для статически неопределимых систем, претерпевающих пластические деформации / А.А. Гвоздев // Тр. конф. по пластическим деформациям. -Москва : Изд-во АН СССР, 1938. - С. 10-17.

22.Гениев, Г.А. Вариант условия прочности бетона / Г.А. Гениев, Н.М. Аликова // Теоретические исследования в области строительной механики пространственных систем: сборник научных трудов / Под ред.: М.И. Ерхов.

- Москва : ЦНИИСК, 1976. - С. 21-27.

23.Гениев, Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона / Г.А. Гениев, В.Н. Киссюк, Г.А. Тюпин - Москва : Стройиздат, 1974. - 316 с.

24.Голованов, А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А. И. Голованов, Д. В. Бережной ; Казан. гос. ун-т им. В.И. Ульянова-Ленина. - Казань : Дас, 2001. - 300 с. - Библиогр.: с. 293-297. -400 экз. - ISBN 5-8185-0038-1.

25.Гольденблат, И.И. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов / И.И. Гольденблат, В.А. Копнов. - Москва : Машиностроение, 1968. - 192 с.

26.Горбенко, О.Д. К расчету несущей способности оболочки методом линейного программирования / О.Д. Горбенко // Прикл. механика. Воронеж.

- 1976. - С. 76- 82.

27.Горбенко, О.Д. Нелинейное программирование в расчете несущей способности оболочек вращения / О.Д. Горбенко // Изв. АН СССР, МТТ. -1978. - №1. - С. 180-183.

28.Горшков, С.А. Определение напряженно-деформированного состояния куба / С.А. Горшков // Материалы Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам, Владивосток, 15-30 апреля 2016 года / Министерство образования и науки Российской Федерации; Дальневосточный федеральный университет, Школа естественных наук. - Владивосток: Дальневосточный федеральный университет, 2016. - С. 273-274.

29. ГОСТ 1050-2013 «Металлопродукция из нелегированных конструкционных качественных и специальных сталей Взамен ГОСТ 1050— 88 и ГОСТ 4543— 71» от 28 октября 2014 // Москва: Изд-во Стандартинформ. - 2014. - 32 с.

30. Дао Кьен Тхьет Пространственное напряженно-деформированное состояние массивных тел в окрестности концентраторов напряжений: дис. кандидата технических наук: 05.23.17. - Киев. инж.-строит. ин-т., 1990. - 152 с.

31. Дмитриев, В.Г. Численно-экспериментальное моделирование нелинейного деформирования массивных слабосжимаемых тел при изменении геометрических и физических параметров / В.Г. Дмитриев, С.И. Жаворонок, Г.В. Москвитин // Материалы XX международного симпозиума «динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени А.Г. Горшкова, Ярополец, 17-21 февраля 2014 года / Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет). - Ярополец: ООО «ТР-принт», 2014. - С. 75.

32.Друккер, Д. О постулате устойчивости материала в механике сплошной среды / Д. Друккер // Механика. - 1964. - №3. - С. 115-128.

33.Ерхов, М.И Методы расчета пластин и оболочек за пределом упругости при больших прогибах / М.И. Ерхов, И.А. Монахов, В.И. Себекина // Строительная механика и расчет сооружений. - 1981. - №6. - С. 17-21.

34. Ерхов, М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций / М.И. Ерхов.

- Москва: Наука, 197. - 352 с.

35.Жабко, А.В. Теоретические и экспериментальные аспекты пластического деформирования и разрушения горных пород / А.В. Жабко // Известия Уральского государственного горного университета. - 2018. - № 1(49). - С. 68-79. - Б01 10.21440/2307-2091-2018-1-68-79.

36.Жариков, И.Ф. Паспорт прочности и уравнение связи между инвариантами напряжений и деформаций для неоднородных горных пород в объемном напряженном состоянии / В.Н. Захаров, И.Ф. Жариков, Б.К. Норель // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2015. - №2 6.

- С. 49-60.

37.Завьялов, Г.Г. Уточненные схемы МКЭ для расчета массивных конструкций / Г.Г. Завьялов, В.В. Киричевский, A.C. Сахаров // Проблемы прочности. -1978. - №6. - С. 76-82.

38.Завьялов, Г.Г. Реализация метода конечных элементов в исследовании напряженно-деформированного состояния массивных тел сложной конфигурации / Г.Г. Завьялов, В.Н. Кислоокий, А.С. Сахаров // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 1975. - вып. 26. - С. 100111.

39.Захаров, К.В. Критерии прочности для слоистых масс / К.В. Захаров // Пластические массы. - 1961. - N8. - С. 61-67.

40.Зиновьев, П.А. Инвариантно-полиномиальный критерий прочности анизотропных материалов / П.А. Зиновьев, C.B. Цветков // Известия РАН. МТТ. - 1994. - N4. - С. 140-147.

41.Ивлев, Д.Д. Теория идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев. - Москва :Наука, 1966. - 232 с.

42.Ивлев, Д.Д. Математическая теория пластичности / Д.Д. Ивлев, А.Ю. Ишлинский. - Москва : Физматлит, 2001. - 704 с.

43.Ильюшин, A.A. Пластичность / A.A. Ильюшин. - Л. : Гостеортехиздат, 1948. - 375 с.

44.Ильюшин, A.A. Приближённая теория упругопластических деформаций осесимметрических оболочек / A.A. Ильюшин // ПММ. - 1944. - 8. - С. 1524.

45.Исламов, К.Ф. К определению несущей способности массивных тел (пространственная задача) / К.Ф. Исламов // Камские чтения: Сборник материалов 1-й Межрегиональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых: в 3 частях, Набережные Челны, 25 апреля 2009 года / Федеральное агентство по образованию, ГОУ ВПО «Камская государственная инженерно-экономическая академия». -Набережные Челны: Камская государственная инженерно-экономическая академия, 2009. - С. 145-150.

46. Исламов, К.Ф. Оценка несущей способности пластин и оболочек на основе теории предельного равновесия: дис. кандидата технических наук: 05.23.01. - Набережные Челны, 2007. - 225 с.

47.Каменярж, Я.А. Предельный анализ пластических тел и конструкций / Я.А. Каменярж. - М.: Физматлит, 1997. - 512 с.

48.Каменярж, Я.А. Условия на поверхностях разрыва в жесткопластическом анализе / Я.А. Каменярж // ПММ. - 1989. - 53, N3. - С. 506-517.

49.Карев, В.И. О разрушении осадочных горных пород в условиях сложного трехосного напряженного состояния / В.И. Карев, Д.М. Климов, Ю.Ф. Коваленко, К.Б. Устинов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2016. - № 5. - С. 15-21.

50.Карев, В.И. Экспериментальные исследования процессов деформирования, разрушения и фильтрации в горных породах / В.И. Карев, В.В. Химуля, Н.И. Шевцов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. -2021. - № 5. - С. 3-26.

51.Карпенко, Н.И. Обзор методов расчёта железобетонных конструкций при сложных напряженных состояниях с учётом физической нелинейности, анизотропии и конструктивной неоднородности. Часть 1: Разработки отечественных учёных / Н.И. Карпенко, А.М. Белостоцкий, А.С. Павлов, П.А Акимов, С.Н. Карпенко, А.Н. Петров// Фундаментальные, поисковые и прикладные исследования Российской академии архитектуры и строительных наук по научному обеспечению развития архитектуры, градостроительства и строительной отрасли Российской Федерации в 2019 году : Сборник научных трудов РААСН / Российская академия архитектуры и строительных наук. - Москва : Издательство АСВ, 2020. - С. 255-265.

52.Карпенко, Н.И. Обзор методов расчета железобетонных конструкций при сложных напряженных состояниях с учетом физической нелинейности, анизотропии и конструктивной неоднородности. Часть 2: Разработки зарубежных ученых / Н.И. Карпенко, А.М. Белостоцкий, А.С. Павлов, П.А Акимов, С.Н. Карпенко, А.Н. Петров // Фундаментальные, поисковые и

прикладные исследования Российской академии архитектуры и строительных наук по научному обеспечению развития архитектуры, градостроительства и строительной отрасли Российской Федерации в 2019 году: Сборник научных трудов РААСН / Российская академия архитектуры и строительных наук. - Москва : Издательство АСВ, 2020. - С. 266-280.

53.Карпенко, Н.И. Составной критерий прочности бетона при объемном напряженном состоянии / Н.И. Карпенко, С.Н. Карпенко // Бетон и железобетон - взгляд в будущее: Научные труды III Всероссийской (II Международной) конференции по бетону и железобетону: в 7 томах, Москва, 12-16 мая 2014 года. - Москва: Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, 2014. - С. 156165.

54.Карпенко, Н.И. Общие модели механики железобетона / Н.И. Карпенко. -Москва : Стройиздат, 1996. - 412 с.

55.Качанов, JI.M. Основы механики разрушения / JI.M. Качанов. - Москва : Наука, 1974. - 312 с.

56.Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / JI.M. Качанов. - Москва : Наука, 1969. - 420 с.

57.Каюмов, P.A. Об оценке несущей способности конструкций при произвольных условиях текучести / P.A. Каюмов // ПМТФ. - 1993. -№l. - С. 115-120.

58.Климов, Д.М. Экспериментальное исследование влияния неравнокомпонентного трехосного напряженного состояния на проницаемость горных пород / Д.М. Климов, В.И. Карев, Ю.Ф. Коваленко // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2015. - №2 6. - С. 39-48.

59.Клованич, С.Ф. Численный эксперимент по исследованию деформационных теорий пластичности бетона / С.Ф. Клованич, Д.И. Безушко // Вестник Одесской государственной академии строительства и архитектуры. - 2006. -Вып. 22. - С. 122-130.

60.Клюкин, А.А. Напряженно-деформированное состояние массивного тела вблизи податливо подкрепленной цилиндрической выработки конечной глубины: автореф. дис. кандидата технических наук: 05.23.17. - Ленингр. инт инженеров железнодорож. транспорта им. В. Н. Образцова. - Ленинград, 1990. - 23 с.

61.Клюшников, В.Д. Математическая теория пластичности / В.Д. Клюшников -Изд-во Московского университета, 1979. - 207 с.

62.Клющников, В.Д. Теория пластичности: Современное состояние и перспективы / В.Д. Клющников // VII Всес. съезд по теор. и прикл. мех. Москва. - 1991. - С. 191-192.

63.Корсун, В. И. Сопоставительный анализ критериев прочности для бетонов / В.И. Корсун, А.В. Недорезов, С.Ю. Макаренко // Современное промышленное и гражданское строительство. - 2014. - Т. 10. - № 1. - С. 6578.

64.Кузнецов, Ю.Н. Математическое программирование / Ю.Н. Кузнецов, В.И. Кузубов, А.Б. Волощенко. - Москва : Высшая школа, 1976. - 352 с.

65.Лагздинь, А. Построение выпуклых предельных поверхностей в механике материалов / А. Лагздинь, А. Зилауц // Механика композитных материалов. -1996. - Т32, N3. - С. 339-349.

66.Ле Чунг Кыонг Расчет призматических тел полуаналитическим методом конечных элементов: дис. кандидата технических наук: 01.02.03. - Киев, 1986. - 171 с.

67.Левитас, В.И. О некоторых моделях неупругого деформирования материалов. Сообщ.1. Теория пластичности, учитывающая структурные изменения / В.И. Левитас // Проблемы прочности. - 1980. - N12. - С. 70-76.

68. Лейтес, Е.С. К уточнению одного из условий прочности бетона / Е.С. Лейтес // Поведение бетонов и элементов железобетонных конструкций при воздействии различной длительности: сборник научных трудов / Под ред.: А. А. Гвоздева, С. М. Крылова. - Москва : НИИЖБ, 1980. С. 37-40.

69.Липовцев, Ю.В. Критерий хрупкого разрушения образцов и элементов конструкций / Ю.В. Липовцев // Изв. АН. МТТ. - 1994. - N2. - С. 194-198.

70. Ляв, А. Математическая теория упругости / А. Ляв. - Москва : ОНТИ НКТП СССР, 1935. - 676 с.

71.Малинин, H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести / H.H. Малинин. - Москва : Машиностроение, 1968. - 400 с.

72.Малмейстер, А.К. Геометрия теорий прочности / А.К. Малмейстер // Механика полимеров. - 1966. - N4. - С. 519-534.

73.Мелош, Р. Расчет массивных тел методами строительной механики стержневых систем / Р. Мелош. - Москва : Мир, 1967. - 226 с.

74.Милейковский, И.Е. Расчет массивных конструкций методами строительной механики пространственных систем / И.Е. Милейковский. - Москва : Государственное издательство литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1958. - 182 с.

75.Мирзабекян, Б.Ю. Определение несущей способности оболочек при помощи линейного программирования / Б.Ю. Мирзабекян, М.И. Рейтман // Инж.ж. МТТ. - 1968. - №1. - С. 122-124.

76.Наглявичус, Ю.А. Определение предельной нагрузки для пологих цилиндрических оболочек с применением математического программирования / Ю.А. Наглявичус, А.А. Чирес // Литовский механический сборник. -Вильнюс: Минтис. - 1968. - №2. - С. 68-78.

77.Никитин, И.С. Упругопластическая модель и теория скольжения для трехмерного напряженного состояния / И.С. Никитин // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2009. - № 3. - С. 171-182.

78.Нил, Б.Г. Расчет конструкций с учетом пластических свойств материалов / Б.Г. Нил. - Москва : Госстройиздат, 1961. - 316 с.

79.Новоселов, О.Г. Предельное состояние массивных тел при сложном напряженном состоянии. / О.Г. Новоселов // VII Камские чтения : Сборник докладов Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных: в 3 частях, Набережные Челны, 24 апреля

2015 года / ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», Набережночелнинский институт (филиал). - Набережные Челны: Набережночелнинский институт (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет», 2015. - С. 29-32.

80.Новоселов, О.Г. Прогнозирование кубической прочности бетона с использованием теории пластичности / О.Г. Новоселов // Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация. - 2020. - № 2(85). - С. 79-85.

81.Новоселов, О.Г. Прогнозирование прочности массивных тел при сложном напряженном состоянии / О.Г. Новоселов // Концепции фундаментальных и прикладных научных исследований : сборник статей Международной научно-практической конференции, Саратов, 13 марта 2016 года. - Саратов: Общество с ограниченной ответственностью «ОМЕГА САЙНС», 2016. - С. 8-11.

82.Ольшак, В. Неупругое поведение оболочек / В. Ольшак, А. Савчук. - Москва : Мир, 1969. - 144 с.

83.Палмер, Э. Применение динамического программирования к задаче о предельном равновесии цилиндрических оболочек / Э. Палмер // Механика. Период. сб. перев. ин. статей. - 1970. - №6. - С. 121-134.

84.Панасенко, H.H. Математическая модель абсолютно жёсткого пространственного конечного элемента / H.H. Панасенко, А.Н. Дудченко // Изв. вузов. Сев. - Кавк. ре-гион. Техн. н. - 1994. - N3-4. - С. 214-227.

85.Панин, В.Е. Современные проблемы пластичности и прочности твёрдых тел / В.Е. Панин // Изв. вузов. Физика. - 1998. - 41, N1. - С. 7-34.

86.Перваков, В.Н. Прочность тяжелого бетона при трехосном напряженном состоянии «растяжение-сжатие-сжатие» / В.Н. Перваков // Новое в технологии, расчете и конструировании железобетонных конструкций:

сборник научных трудов / Под ред.: Б. А. Крылова. Москва : НИИЖБ, 1984. С. 90-96.

87.Покленко, В.О. Напружено-деформированное состояние массивных тел трансляционной формы: автореф. дис. кандидата технических наук: 05.23.17. - Киев, 1993. - 18 с.

88.Проценко, A.M. Предельное равновесие пологих оболочек / A.M. Проценко // Тр.УП Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. Москва : Наука. - 1970. - С. 513-517.

89.Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. -Москва : Наука, 1988. - 712 с.

90.Ржаницын, А.Р. Определение несущей способности цилиндрических сводов-оболочек с применением параметрического линейного программирования / А.Р. Ржаницын // Большепролетные оболочки, Стройиздат. - 1969. - т.1. - С. 465-484.

91.Ржаницын, А.Р. Приближённые решения задач теории пластичности / А.Р. Ржаницын // Исследования по вопр. строит. механ. и теории пластичности. Госстройиздат. - 1956. - С. 6-65.

92.Ржаницын, А.Р. Расчет оболочек методом предельного равновесия при помощи линейного программирования / А.Р. Ржаницын // Тр.У1 Всес. конференции по теории оболочек и пластинок. Наука. - 1966. - С. 656-665.

93. Савицкий, В.В. Развитие и применение численно-аналитического метода потенциала для исследования напряженно-деформированных состояний массивных тел на упругом основании: дис. кандидата технических наук: 01.02.03. - Киев, 1982. - 171 с.

94.Савула, Я.Г. Напряженно-деформированное состояние составных тонкостенных и массивных конструкций / Я.Г. Савула, И.С. Муха, И.И. Дыяк, A.B. Дубовик // Тезисы докладов II Республиканской научно-технической конференции «Механика машиностроения». - Брежнев, 1987. -8 с.

95.Саттаров, А. Исследование напряженно-деформированного состояния трехмерных призматических тел за пределом упругости: дис. кандидата физико-математических наук: 01.02.04. - Ташкент, 1984. - 166 с.

96.Свод правил: СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения : нормативно-технический материал» от 20.06.2019 // Москва: Изд-во Стандартинформ. - 2019. - 124 с.

97.Себекина, В.И. Кинематический метод определения предельного состояния оболочек с применением линейного программирования / В.И. Себекина // Тр. VII Всес. конференции по теории оболочек и пластинок, 1969. - Москва : Наука, 1970. - С. 547-550.

98.Себекина, В.И. О предельном равновесии анизотропных оболочек при осесимметричных нагрузках / В.И. Себекина // Строительная механика и расчет сооружений. - 1966. - №4. - С. 13-18.

99.Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. -Москва : Мир, 1979. - 392 с.

100. Сибгатуллин, К.Э. Метод определения предельного состояния по прочности массивных элементов конструкций / К.Э. Сибгатуллин, О.Г. Новоселов // X Камские чтения: сборник докладов Всероссийской научно-практической конференции студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых, Набережные Челны, 23 ноября 2018 года / Казанский федеральный университет, Набережночелнинский институт ; ответственный редактор Л. А. Симонова. - Набережные Челны: Издательско-полиграфический центр Набережночелнинского института КФУ, 2019. - С. 287-292

101. Сибгатуллин, К.Э. Разработка методов расчета на прочность несущих систем грузовых автомобилей с учетом пластических деформаций: дис. кандидата технических наук: 05.05.03. - Набережные Челны, 2009. - 151 с.

102. Сибгатуллин, Э.С. К расчету анизотропных тонких оболочек по теории предельных состояний/ Э.С. Сибгатуллин. - Деп. в ВИНИТИ 02.11.81, N4997. - 12 с.

103. Сибгатуллин, Э.С. Математическое моделирование прочности и несущей способности анизотропных и композитных элементов конструкций: дис. доктора физико-математических наук: 01.02.04. - Набережные Челны, 2001. - 405 с.

104. Сибгатуллин, Э.С. Несущая способность и оптимальное проектирование жёстко-пластических оболочек вращения: дис. кандидата физико-математических наук: 01.02.04. - Казань, 1986. - 241 с.

105. Сибгатуллин, Э.С. Предельные поверхности прочности для линейных и объемных элементов строительных конструкций / Э.С. Сибгатуллин, К. Э. Сибгатуллин, Э.Р. Вазиева, О.Г. Новоселов // Итоговая научная конференция 2014 года : Сборник докладов итоговой научной конференции профессорско-преподавательского состава, в 3-ех частях, Набережные Челны, 05 февраля 2014 года / Набережночелнинский институт (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет». - Набережные Челны: Набережночелнинский институт (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет», 2014. - С. 319-325.

106. Сибгатуллин, Э.С. Кинематический метод определения несущей способности массивов / Э.С. Сибгатуллин, К.Э. Сибгатуллин, О.Г. Новоселов // Актуальные проблемы физико-математического образования : Материалы II Международной научно-практической конференции, Набережные Челны, 20-22 октября 2017 года. - Набережные Челны: Набережночелнинский государственный педагогический университет, 2017. - С. 37-41.

107. Сибгатуллин, Э.С. Математическое моделирование несущей способности массивов / Э.С. Сибгатуллин, К.Э. Сибгатуллин, О.Г. Новоселов // Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация. - 2019. - № 2(81). - С. 14-21.

108. Сибгатуллин, Э.С. Метод определения несущей способности массивных элементов конструкций / Э.С. Сибгатуллин, К.Э. Сибгатуллин, О.Г. Новоселов // Фундаментальные исследования. - 2017. - №2 10-1. - С. 5155.

109. Сибгатуллин, Э.С. Метод определения несущей способности массивов / Э.С. Сибгатуллин, К.Э. Сибгатуллин, О.Г. Новоселов // Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация. - 2018. - № 2(78). - С. 24-36.

110. Сибгатуллин, Э.С. Метод оценки предельного состояния объемных конечных элементов при трехосных напряженных состояниях / Э.С. Сибгатуллин, К.Э. Сибгатуллин, О.Г. Новоселов // Актуальные проблемы физико-математического образования: Материалы II Международной научно-практической конференции, Набережные Челны, 20-22 октября 2017 года. - Набережные Челны: Набережночелнинский государственный педагогический университет, 2017. - С. 41-44.

111. Сибгатуллин, Э.С. Определение коэффициента запаса прочности объемных конечных элементов при трехосном напряженном состоянии / Э.С. Сибгатуллин, О.Г. Новоселов, К.Э. Сибгатуллин // Научно-технический вестник Поволжья. - 2016. - № 2. - С. 24-27.

112. Сибгатуллин, Э.С. Построение определенных сечений поверхности прочности для массивных тел, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию / Э.С. Сибгатуллин, О.Г. Новоселов, К.Э. Сибгатуллин // Актуальные проблемы науки на современном этапе развития: Сборник статей Международной научно-практической конференции, Екатеринбург, 18 ноября 2015 года / Ответственный редактор: Сукиасян Асатур Альбертович. - Екатеринбург: Общество с ограниченной ответственностью «ОМЕГА САЙНС», 2015. - С. 13-16.

113. Сибгатуллин, Э.С. Построение сечений предельных поверхностей прочности для объемных конечных элементов при трехосном напряженном

состоянии / Э.С. Сибгатуллин, О.Г. Новоселов, К.Э. Сибгатуллин // Научно-технический вестник Поволжья. - 2015. - № 5. - С. 36-38.

114. Сибгатуллин, Э.С. Предельное состояние объемных конечных элементов при трехосных напряженных состояниях / Э.С. Сибгатуллин, О.Г. Новоселов, К.Э. Сибгатуллин // Научно-технический вестник Поволжья. -2015. - № 3. - С. 54-58.

115. Сибгатуллин, Э.С. Оценка прочности массивных элементов конструкций / Э.С. Сибгатуллин, К.Ф. Исламов // Проектирование и исследование технических систем: межвузовский научный сборник / Федеральное агентство по образованию, ГОУ ВПО «Камская государственная инженерно-экономическая академия». - Набережные Челны : Камская государственная инженерно-экономическая академия, 2009. - С. 5-13.

116. Современные критерии прочности для бетонов при объемных напряженных состояниях / В.И. Корсун, С.Н. Карпенко, С.Ю. Макаренко, А. В. Недорезов // Строительство и реконструкция. - 2021. - № 5(97). - С. 1630.

117. Супрун, А.Н. К проблеме существования конических точек и вогнутостей на поверхности текучести металлов / А.Н. Супрун // МТТ. -1991. - N4). - С. 180-185.

118. Терегулов, И.Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности / И.Г. Терегулов. - Москва : Высшая школа, 1984. - 472 с.

119. Терегулов, И.Г. Предельное состояние многослойных композитных оболочек / И.Г. Терегулов, Э.С. Сибгатуллин, O.A. Маркин // Механика композитных материалов. - 1988. - N4. - С. 715-720.

120. Фейенберг, С.М. Принцип предельной напряженности / С.М. Фейенберг // ГОШ. - 1948. - Т.12. - С. 63-68.

121. Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. - Москва : ГИТТЛ, 1956. - 407 с.

122. Ходж, Ф. Пластический анализ конструкций / Ф. Ходж. - Москва : Стройиздат, 1965. - 425 с.

123. Чибиряков, В.К. Обобщенный метод конечных интегральных преобразований в задачах статики и динамики массивных элементов конструкций: автореф. дис. доктора технических наук: 01.02.03. - Моск. инж.-строит. ин-т им. В. В. Куйбышева. - Москва, 1988. - 39 с.

124. Чирас, А.А. Строительная механика / А.А. Чирас. - Москва : Стройиздат, 1989. - 256 с.

125. Шапиро, Г.С. О предельном и упругопластическом состояниях конструкций / Г.С. Шапиро. - Изв. АН СССР. - Мех. - №4. - 1963.

126. Шапиро, Г.С. О поверхностях текучести для идеально пластических оболочек / Г.С. Шапиро // Проблемы механики сплошной среды. - Москва. - 1961. - С. 504-507.

127. Яшин, А.В. Критерии прочности и деформирования бетона при простом нагружении для различных видов напряженного состояния / А.В. Яшин // Расчет и конструирование железобетонных конструкций: сборник научных трудов / Под ред. А. А. Гвоздева. - Москва: НИИЖБ, 1977. - С. 4857.

128. Яшин, А.В. Макромеханика разрушения при сложных (многоосных) напряженных состояниях / А.В. Яшин // Прочностные и деформационные характеристики элементов бетонных и железобетонных конструкций: сборник научных трудов / Под ред. А. А. Гвоздева, Ю. П. Гущи. - Москва : НИИЖБ, 1981. - С. 3-29.

129. Alfirevic, I. Smooth Yield Surfaces of Isotropic Materials / I. Alfirevic, D. Zezelj, I. Skozrit // Transactions of Famen. - 2015. - №39. - P. 1-8.

130. Belytschko, T. Plane stress limit analysis by imite elements/ Т. Belytschko, G. Jr. Hodge Philip // S.End. Mech.Div.Proc.Amer.Soc. Civ.End. - 1970. -v.96.M6. - P. 931-944.

131. Cazacu, O. New yield criteria for isotropic and textured metallic materials / O. Cazacu // International Journal of Solids and Structures. - 2018. - Volumes 139-140. - P. 200-210.

132. Chen, Q. Mesoscale Modelling of Concretes Subjected to Triaxial Loadings: Mechanical Properties and Fracture Behaviour / Q. Chen, Y. Zhang, T. Zhao, Z. Wang, Z. Wang // Materials. - 2021. - № 14(1099). URL: https://doi.org/10.3390/ma14051099

133. Christensen, R.N. The Failure Theory for Isotropic Materials: Proof and Completion / R.N. Christensen // Journal of Applied Mechanics. - 2019. - № 87. URL: https://doi.org/10.1115/1.4045546

134. Christensen, R.N. The Theory of Materials Failure / R.N. Christensen // Journal of applied mathematics and mechanics. - 2013. - № 93. - P. 6-7.

135. De Borst, R. Studies in anisotropic plasticity with reference to the Hill criterion / R. De Borst, P.H. Feenstra // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1990. - 29, N2. - P. 315-336.

136. Desai, C.S. A general basis for yield, failure and potential functions in plasticity / C.S. Desai // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. - 1980. - № 4(4). - P. 361-375.

137. Drucker, D.C. Extended limit design theorems for continues media / D.C. Drucker, H.I. Creenberg, W. Prager // Quart. Appl. Math. - 1951. - № 9. - P. 381389.

138. Gu, J. A failure criterion for isotropic materials based on Mohr's failure plane theory / J. Gu, P. Chen // Mechanics Research Communications. - 2018. -№ 87. - P. 1-6.

139. Gupta, N.K. A function for representing experimental yield surfaces / N.K. Gupta, A. Meyers, A. Wichtmann // Eur. J. Mech. A. - 1995. - № 1(14). - P. 4553.

140. Hampel, T. High-performance concrete under biaxial and triaxial loads / T. Hampel, K. Speck, S. Scheerer, R. Ritter, M. Curbach // ASCE J Eng Mech. -2009. -135. - P. 1274-1280.

141. Hashiguchi, K. Subloading surface model in uncondentional plasticity / K. Hashiguchi // Int. J. Solids and Struct. - 1989. -25, N8. - P. 917-945.

142. Hill, R. A note on estimuting the yield point loads in a plastic-rigid body / R. Hill // Phil.Mag. - 1952. - v.43. - P. 353-355.

143. Hill, R. Classical plasticity: a retrospective view and a new proporsal / R. Hill // Mech. and Phys. Solids. - 1994. - № 11(42). - P. 1803-1816.

144. Hofstetter, G. Non-associative Drucker - Prager plasticity at finite strains /

G. Hofstetter, R.L. Taylor// Commun. Appl. Numer. Meth. - 1990. - 6, N8. - P. 583-589.

145. Javanmardi, P. Experimental study of triaxial behavior of concrete under lateral confining stress / P. Javanmardi // Open Civ. Eng. J. - 2017. - № 11. - P. 281-291.

146. Kawaguchi, J. Analytical study on ultimate strength of steel - concrete composite sections under biaxial bending / J. Kawaguchi, S. Morino, M. Ueda // Res. Repts Fac. Eng. Mie Univ. - 1996. - № 21. - P. 27-35.

147. Kazinczy, G. Experiments with clamped beams / G. Kazinczy // Betonszempl. 1914.-No 4.-P. 68-71; No 5.-P. 83-87; No 6.-P. 101-104.

148. Kim, C.H. Development of a new yielding criterion: The Yeh-Strat- ton criterion / C.H. Kim, H.Y. Yeh // Eng. Fract. Mech. - 1994. - № 4(47). - P. 569582.

149. Kupfer, H. Das Verhalten des Betons unter zweiachsiger Beanspruchung /

H. Kupfer // Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universitat. Dresden. - 1968. - № H.6. - P. 1515-1518.

150. Li, M. Intrinsic instability and nonuniformity of plastic deformation / M. Li, O. Richmond // Int. J. Plast. - 1997. - 13, N8-9. - P. 765-784.

151. Malecot, Y. Strength and damage of concrete under high triaxial loading / Y. Malecot, L. Daudeville, F. Dupray, C. Poinard, E. Buzaud // European Journal of Environmental and Civil Engineering. - 2010. - №14(6-7). - P. 777-803.

152. Onat, E.T. Limit analysis of shells of revolution / E.T. Onat, W. Prager. -ser. B. - Proc.Ned. Acad.: Wet-tensch, 1954. - 57 p.

153. Ottosen, N.S. Corners in plasticity-Koiter's theory revisited / N.S. Ottosen, M. Ristinmaa // Int. J. Solids and Struct. - 1996. - № 25(33). - P. 3697-3721.

154. Schröder, S. Festigkeit und Verformungseigenschaften des Betons bei zweiachsiger Druckbeanspruchung / S. Schröder, H. Opitz // BauplanungBautechnik. - 1968. - 22. Jg. Heft 4. - P. 190 - 196.

155. Theocaris, P.S. Variances in failure tensor polynomials for anisotropic bodies / P.S. Theocaris // Eng. Fract. Mech. - 1995. - № 5(51). - P. 707-733.

156. Wang, H. Behavior of mass concrete under biaxial compression tension and triaxial compression compression tension / H. Wang, Y. Song // Mater. Struct. -2009. - 42. - P. 241-249.

157. Willam, K.J. Constitutive model for the triaxial behavior of concrete / K.J. Willam, E.P. Warnke // Int. Assoc. Bridge. Struct. Eng. - 1974. - V. 19. - P. 1-31.

Приложения

Приложение 1

Численные результаты расчетов с использованием алгоритма А1 для однородного изотропного материала, по-разному сопротивляющегося растяжению и сжатию (предельные комбинации сил и моментов)

Таблица 1.1

Т11 Т12 Т22 Т23 Т31 Т33

1 2 3 4 5 6

-0,37198 -3,^-12 0,718036 -3,^-12 -3,^-12 -1,96Б-11

-0,24536 -3,^-12 0,697981 -3,^-12 -3,18E-12 -1,99E-11

-0,12153 -3,^-12 0,664802 -3,^-12 -3,12E-12 -1,96E-11

-0,00185 -3,^-12 0,61886 -3,^-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,112372 -3,^-12 0,56066 -3,^-12 -3,18E-12 -1,99E-11

0,219887 -3,^-12 0,490839 -3,^-12 -3,^-12 -1,96Б-11

0,319514 -3,^-12 0,410163 -3,^-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,410163 -3,^-12 0,319514 -3,^-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,490839 -3,^-12 0,219887 -3,^-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,56066 -3,^-12 0,112372 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,61886 -3,^-12 -0,00185 -3,^-12 -3,^-12 -1,96Б-11

0,664802 -3,^-12 -0,12153 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,697981 -3,^-12 -0,24536 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,718036 -3,^-12 -0,37198 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,724745 -3,13E-12 -0,5 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,718036 -3,^-12 -0,62802 -3,^-12 -3,^-12 -1,96Б-11

0,697981 -3,13E-12 -0,75464 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,664802 -3,13E-12 -0,87847 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,61886 -2,10E-13 -0,99815 5,32E-14 -2,07E-13 1,09E-12

0,56066 -3,13E-12 -1,11237 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,490839 -3,^-12 -1,21989 -3,^-12 -3,^-12 -1,96Б-11

0,410163 -3,13E-12 -1,31951 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,319514 -3,13E-12 -1,41016 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,219887 -3,13E-12 -1,49084 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

0,112372 -3,18E-12 -1,56066 -3,18E-12 -3,18E-12 -1,99E-11

-0,00185 -3,^-12 -1,61886 -3,^-12 -3,^-12 -1,96Б-11

-0,12153 -3,13E-12 -1,6648 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

-0,24536 -3,13E-12 -1,69798 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

-0,37198 -3,13E-12 -1,71804 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

-0,5 -3,13E-12 -1,72474 -3,12E-12 -3,12E-12 -1,96E-11

-0,62802 -3,^-12 -1,71804 -3,^-12 -3,^-12 -1,99Б-11

-0,75464 -3,18E-12 -1,69798 -3,18E-12 -3,18E-12 -1,99E-11

-0,87847 -2,46E-10 -1,6648 -2,31E-10 -2,41E-10 -1,02E-09

Т11 Т12 Т22 Т23 Т31 Т33

1 2 3 4 5 6

-0,99815 -1,72Е-10 -1,61886 -1,61Е-10 -1,69Е-10 -7,10Е-10

-1,11237 -3,13Е-12 -1,56066 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,21989 -3,13Е-12 -1,49084 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,31951 -3,13Е-12 -1,41016 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,41016 -3,13Е-12 -1,31951 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,49084 -2,06Е-13 -1,21989 -2,80Е-13 -2,14Е-13 -1,52Е-12

-1,56066 -3,13Е-12 -1,11237 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,61886 -3,13Е-12 -0,99815 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,6648 -1,86Е-13 -0,87847 -2,29Е-13 -1,70Е-13 -1,35Е-12

-1,69798 -3,13Е-12 -0,75464 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,71804 -3,13Е-12 -0,62802 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,72474 -3,13Е-12 -0,5 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,71804 -3,13Е-12 -0,37198 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,69798 -3,13Е-12 -0,24536 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,6648 -3,13Е-12 -0,12153 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,61886 -3,13Е-12 -0,00185 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,56066 -3,13Е-12 0,112372 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,49084 -2,35Е-13 0,219887 -2,37Е-13 -2,28Е-13 -1,30Е-12

-1,41016 -3,13Е-12 0,319514 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,31951 -3,13Е-12 0,410163 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,21989 -3,13Е-12 0,490839 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-1,11237 -3,13Е-12 0,56066 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-0,99815 -3,13Е-12 0,61886 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-0,87847 -3,13Е-12 0,664802 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

-0,75464 -3,18Е-12 0,697981 -3,18Е-12 -3,18Е-12 -1,99Е-11

-0,62802 -2,20Е-13 0,718036 -2,87Е-13 -2,23Е-13 -1,55Е-12

-0,5 -3,13Е-12 0,724745 -3,12Е-12 -3,12Е-12 -1,96Е-11

Таблица 1.2

Мп М12 М13 М21 М22 М23 М31 М32 М33

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0+300'0 o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o o+aoo'o

6 8 L 9 ç p e г i

lin ZZ]A[ lzP4 nH zlH UH

1'\ ийшгдех эинэжко'п'осГц

e61

М11 М12 М13 М21 М22 М23 М31 М32 М33

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

Таблица 1.3

Т11 Т12 Т22 Т23 Т31 Т33

1 2 3 4 5 6

0,102968 0,2630 -5,11Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,11Е-10

0,38954 0,1770 -5,11Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,11Е-10

0,505788 0,1160 -5,11Е-10 -5,68Е-11 -5,68Е-11 -5,11Е-10

0,558645 0,0765 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

0,586042 0,0489 -5,13Е-10 -5,70Е-11 -5,70Е-11 -5,13Е-10

0,601771 0,0287 -5,11Е-10 -5,68Е-11 -5,68Е-11 -5,11Е-10

0,611507 0,0130 -5,13Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,13Е-10

0,617871 0,0004 -5,11Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,11Е-10

0,622191 -0,0103 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

0,625191 -0,0195 -5,50Е-10 -6,36Е-11 -6,36Е-11 -5,50Е-10

0,627289 -0,0277 -7,04Е-10 -9,09Е-11 -9,09Е-11 -7,04Е-10

0,628735 -0,0352 -3,32Е-08 -5,83Е-09 -5,83Е-09 -3,32Е-08

0,62968 -0,0422 -9,79Е-10 -1,41Е-10 -1,41Е-10 -9,80Е-10

0,630215 -0,0490 -1,06Е-09 -1,56Е-10 -1,56Е-10 -1,06Е-09

0,630388 -0,0556 -1,09Е-09 -1,61Е-10 -1,61Е-10 -1,09Е-09

0,630215 -0,0622 -1,06Е-09 -1,56Е-10 -1,56Е-10 -1,06Е-09

0,62968 -0,0689 -9,76Е-10 -1,41Е-10 -1,41Е-10 -9,76Е-10

0,628734 -0,0759 -8,54Е-10 -1,18Е-10 -1,18Е-10 -8,54Е-10

Т11 Т12 Т22 Т23 Т31 Т33

1 2 3 4 5 6

0,627289 -0,0834 -3,32Е-08 -5,83Е-09 -5,83Е-09 -3,32Е-08

0,625191 -0,0916 -5,52Е-10 -6,37Е-11 -6,37Е-11 -5,52Е-10

0,622191 -0,1010 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

0,617871 -0,1110 -5,13Е-10 -5,70Е-11 -5,70Е-11 -5,13Е-10

0,611507 -0,1240 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

0,601771 -0,1400 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

0,586042 -0,1600 -5,13Е-10 -5,70Е-11 -5,70Е-11 -5,13Е-10

0,558645 -0,1880 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

0,505788 -0,2280 -5,12Е-10 -5,70Е-11 -5,70Е-11 -5,12Е-10

0,38954 -0,2880 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

0,102968 -0,3740 -5,11Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,11Е-10

-0,5 -0,4320 -5,11Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,11Е-10

-1,10297 -0,3740 -5,11Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,11Е-10

-1,38954 -0,2880 -5,11Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,11Е-10

-1,50579 -0,2280 -5,11Е-10 -5,68Е-11 -5,68Е-11 -5,11Е-10

-1,55865 -0,1880 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

-1,58604 -0,1600 -5,12Е-10 -5,70Е-11 -5,70Е-11 -5,12Е-10

-1,60177 -0,1400 -5,11Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,11Е-10

-1,61151 -0,1240 -5,13Е-10 -5,70Е-11 -5,70Е-11 -5,13Е-10

-1,61787 -0,1110 -5,12Е-10 -5,70Е-11 -5,70Е-11 -5,12Е-10

-1,62219 -0,1010 -5,12Е-10 -5,70Е-11 -5,70Е-11 -5,12Е-10

-1,62519 -0,0916 -5,49Е-10 -6,36Е-11 -6,36Е-11 -5,49Е-10

-1,62729 -0,0834 -7,05Е-10 -9,10Е-11 -9,10Е-11 -7,05Е-10

-1,62873 -0,0759 -8,54Е-10 -1,18Е-10 -1,18Е-10 -8,54Е-10

-1,62968 -0,0689 -9,76Е-10 -1,41Е-10 -1,41Е-10 -9,76Е-10

-1,63021 -0,0622 -1,06Е-09 -1,56Е-10 -1,56Е-10 -1,06Е-09

-1,63039 -0,0556 -1,09Е-09 -1,61Е-10 -1,61Е-10 -1,09Е-09

-1,63021 -0,0490 -1,06Е-09 -1,56Е-10 -1,56Е-10 -1,06Е-09

-1,62968 -0,0422 -9,82Е-10 -1,41Е-10 -1,41Е-10 -9,82Е-10

-1,62873 -0,0352 -8,55Е-10 -1,18Е-10 -1,18Е-10 -8,55Е-10

-1,62729 -0,0277 -7,06Е-10 -9,08Е-11 -9,08Е-11 -7,05Е-10

-1,62519 -0,0195 -5,50Е-10 -6,35Е-11 -6,35Е-11 -5,50Е-10

-1,62219 -0,0103 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

-1,61787 0,0004 -3,32Е-08 -5,83Е-09 -5,83Е-09 -3,32Е-08

-1,61151 0,0130 -5,13Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,13Е-10

-1,60177 0,0287 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

-1,58604 0,0489 -3,32Е-08 -5,83Е-09 -5,83Е-09 -3,32Е-08

-1,55865 0,0765 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

-1,50579 0,1160 -5,11Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,11Е-10

-1,38954 0,1770 -5,12Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,12Е-10

Т11 Т12 Т22 Т23 Т31 Т33

1 2 3 4 5 6

-1,10297 0,2630 -3,32Е-08 -5,83Е-09 -5,83Е-09 -3,32Е-08

-0,5 0,3210 -5,11Е-10 -5,69Е-11 -5,69Е-11 -5,11Е-10

Таблица 1.4

Мц М12 М13 М21 М22 М23 М31 М32 М33

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0

0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0 0,00Е+0