Исследование непертурбативных свойств КХД методами решеточной теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кудров Илья Евгеньевич

• Кудров Илья Евгеньевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Кудров Илья Евгеньевич

Введение

Глава 1. Метод решеточной регуляризации и его применение к

исследованию непертурбативных свойств КХД

1.1 Квантовая хромодинамика

1.2 Решеточная регуляризация

1.3 Вычисление наблюдаемых

1.4 Проблема конфайнмента и модель дуального сверхпроводника

1.5 Максимальная абелева калибровка

Глава 2. Декомпозиция статического потенциала в 8И(2)

глюодинамике

2.1 Фиксация калибровки в теории с калибровочной группой 8И(2)

2.2 Абелевы монополи в теории с калибровочной группой 8И(2)

2.3 Декомпозиция статического потенциала в теории с калибровочной группой ЭИ(2)

2.4 Результаты

Глава 3. Декомпозиция статического потенциала в других

теориях

3.1 Фиксация калибровки в теории с калибровочной группой 8И(3)

3.2 Абелевы монополи в теории с калибровочной группой ЭИ(3)

3.3 Декомпозиция статического потенциала в теории с калибровочной группой ЭИ(3)

3.4 Результаты

Глава 4. Эффекты вращения в глюодинамике

4.1 Вращение системы в решеточной регуляризации

4.2 Результаты

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование непертурбативных свойств КХД методами решеточной теории поля»

Актуальность темы

Квантовая хромодинамика (КХД) - теория сильных взаимодействий, описывающая физику ее фундаментальных частиц - кварков и глюонов, а также составных частиц - адронов. Эта теория позволяет успешное описание сильных взаимодействий, начиная с первых успехов в вычислении спектра чармония и заканчивая описанием кварк-глюонной материи, возникающей в столкновениях тяжелых ионов или протонов, описанием физики ранней вселенной, когда температура и плотность достигали очень больших значений, а также нейтронных звезд, в центре которых образуется плотная барионная материя.

КХД основана на неабелевой калибровочной симметрии Би(3). Свойством КХД, непосредственно приведшим к ее открытию в 1973 г. в качестве кандидата теории сильного взаимодействия, является асимптотическая свобода -константа связи уменьшается на малых расстояниях, а кварки и глюоны ведут себя эффективно как свободные частицы. Соответственно, константа связи увеличивается с расстоянием, и на расстоянии порядка 1 Фм принимает такие большие значения, что возможны только связанные бесцветные состояния кварков и глюонов. Последнее свойство, называемое конфайнментом, вместе с асимптотической свободой означает, что методы теории возмущений применимы в КХД только на малых расстояниях, тогда как на больших расстояниях (при низких энергиях) они не работают. Конфайнмент, спонтанное нарушение киральной симметрии, массы адронов являются низкоэнергетическими свойствами, которые, следовательно, не могут быть описаны или вычислены в теории возмущений и требуют непертурбативных методов исследования.

Как было отмечено выше, при низких энергиях константа связи сильного взаимодействия а8 становится большой и теория возмущений не работает. Для решения проблем исследования непертурбативных свойств КХД в 1974 г. К. Вильсоном были сформулированы основные положения решеточной регуляризации. Этот подход позволяет из первых принципов получить предсказания КХД, при этом контролируя погрешности вычислений - можно последовательно уменьшать как систематические так и статистические погрешности вычисле-

ний, используя больше вычислительных мощностей. В решеточной КХД были получены многие результаты при нулевой и ненулевой температуре. Например, вычислен потенциал между статическими кварками и показано, что адронная струна рвется на расстоянии ~ 1.2 Фм, вычислен спектр низколежащих адро-нов, включая спектр глюболов, вычислена температура кирального перехода и перехода конфайнмент-деконфайнмент, массы кварков и другие величины.

Наличие конфайнмента подтверждено как экспериментально, так и теоретически, сформулированы различные критерии конфайнмента, довольно точно определена температура перехода при нулевой барионной плотности. Однако, пока что механизм конфайнмента не был объяснен. Существует несколько моделей, претендующих на объяснение конфайнмента, но ни одна из них не была полностью принята. Одной из этих моделей является модель дуального сверхпроводника, предложенная Г. 'т Хофтом [1] и С. Мандельстамом [2]. Их предположение заключается в том, что вакуум КХД можно описать с помощью теории дуального сверхпроводника. Дуальность в данном случае означает, что роли (цвето-)электрического и (цвето-)магнитного полей меняются местами. В обычном сверхпроводнике происходит конденсация электрических зарядов, а магнитное поле вытесняется из сверхпроводника или сжимается в трубку. В случае КХД предполагается, что происходит конденсация цвето-магнитных зарядов - монополей, а между статическими кварками формируется трубка хромо-электрического поля. Гипотеза дуального сверхпроводника изучалась интенсивно, особенно в решеточной глюодинамике и в решеточной КХД. Получено много результатов, подтверждающих эту гипотезу, но не найдено строгое доказательство. В диссертации представлены новые результаты в пользу этой гипотезы.

Теоретические предсказания КХД были проверены во многих экспериментах. Одно из важных направлений исследований КХД - изучение фазовой диаграммы. При больших температурах и низкой барионной плотности фазовая диаграмма КХД хорошо исследована как экспериментально, например в рамках проектов RHIC и LHC, так и теоретически. Однако область фазовой диаграммы при низких температурах и больших плотностях на данный момент остается недостаточно исследованной. В последнее десятилетие можно наблюдать значительный прогресс в этом направлении, например, программа "Beam Energy Scan"(BES), которая проводится на RHIC с 2010-го года. Также в ближайшие годы планируются эксперименты CBM, BM&N и MPD в экспери-

ментальных центрах NICA (г.Дубна, Россия) и FAIR (г.Дармштадт, Германия). В них будет изучаться состояние материи при плотностях от 1 до 100 ядерных плотностей и низких температурах. Поэтому актуальной задачей на данный момент является подготовка полноценного теоретического описания материи при таких условиях.

Пока что вычисления в решеточной КХД при ненулевой барионной плотности невозможны из-за так называемой проблемы знака. Дело в том, что основным алгоритмом для вычислений на решетке является выборка по значимости, которая требует, чтобы e—S, где S - действие (после интегрирования по фермионным степеням свободы), был неотрицательным числом. Однако в решеточной КХД с барионным химическим потенциалом e—S не является неотрицательным числом, поэтому этот алгоритм не работает. Существуют различные подходы, которые позволяют обойти эту проблему, например, перевзвешивание (reweighting), аналитическое продолжение из области мнимого химического потенциала или разложение в ряд Тэйлора по ц/Т. Все эти подходы имеют ограниченное применение в области малых ц/Т и сложности с контролем систематических погрешностей вычислений. В этой ситуации является полезным получение результатов в решеточной КХД с калибровочной группой SU(2). Эта теория имеет ряд существенных отличий от обычной КХД, но в ней тоже есть переходы киральный и конфайнмент - деконфайнмент, а также другие похожие свойства, и в ней нет проблемы знака, что делает возможным вычисления для любых значений химического потенциала.

Среди экстремальных условий, воздействию которых подвергается кварк-глюонная материя в экспериментах по соударению тяжелых ионов особый интерес представляет быстрое вращение. Экспериментальные результаты для поляризации Л, Л гиперонов дают следующую оценку средней завихрённости образовавшейся кварк-глюонной плазмы (КГП): ш = (9 ± 1)1021 с-1 [3]. Такое большое значение угловой скорости приводит к релятивистскому вращению, что может существенным образом повлиять на свойства КГП.

Существует множество теоретических работ, целью которых является изучение влияния релятивистского вращения на свойства теории сильного взаимодействия — КХД. Эти исследования выполнены с использованием различных моделей, включая модель Намбу-Йона-Лазино [4—11], модель адронного резонансного газа [12], голографического подхода к КХД [13—16] и других методов [17—19]. Несмотря на интересные результаты, полученные в этих рабо-

тах, аналитические методы изучения КХД обладают серьезными недостатками, связанными с тем, что КХД — чрезвычайно сложная теория, аналитическое изучение которой без дополнительных предположений в настоящее время невозможно. В свою очередь, дополнительные предположения приводят к неконтролируемым систематическим погрешностям в результатах. Поэтому часто сложно оценить, насколько достоверны полученные предсказания.

Указанная выше проблема отсутствует, если результаты получены в рамках решеточного моделирования КХД. Как сформулировано выше, этот метод позволяет проводить изучение свойств КХД, основываясь на первых принципах квантовой теории поля, при этом контролируя ошибки таких вычислений. В данной работе был использован именно такой метод для изучения глюодинами-ки. Стоит отметить, что первая работа по изучению свойств вращающейся КХД в решеточной регуляризации была представлена в статье [20]. Позже, используя метод решеточного моделирования, было исследовано влияние вращения на термодинамические свойства глюодинамики [21—23] и КХД [24; 25].

Приведенное выше описание активно развивающихся направлений исследований непертурбативных свойств КХД подтверждают актуальность тех задач, которые решаются в данной диссертации.

Цели работы, практическая ценность полученных результатов и структура диссертации

Основные цели и задачи работы

Целью диссертационной работы являлось получение новых результатов в исследовании непертурбативных свойств КХД методами решеточной калибровочной теории по следующим направлениям:

— Исследовать декомпозицию потенциала взаимодействия между статическими кварками в максимальной абелевой калибровке на монопольную (линейную) и безмонопольную (кулоновскую) компоненты в решеточной Зи(2) глюодинамике в пределе снятия обрезания.

— Исследовать эту декомпозицию потенциала между статическими кварками в Зи(3) глюодинамике и Зи(2) КХД.

— Исследовать переход конфайнмент - деконфайнмент в Зи(2) КХД при ненулевом кварковом химическом потенциале.

— Исследовать зависимость свободной энергии от вращения системы в Би(3) глюодинамике.

Научная новизна

— Впервые выполнено исследование декомпозиции калибровочного поля на монопольную и безмонопольную компоненты в решеточной Зи(2) глюодинамике при шаге решетки стремящемся к нулю .

— Впервые продемонстрирована декомпозиция потенциала взаимодействия статических кварков на монопольную и безмонопольную компоненты в Зи(3) глюодинамике и Зи(2) КХД.

— Впервые показано, что в Зи(2) КХД происходит переход конфайнмент -деконфайнмент при значении кваркового химического потенциала ц ~ 1100 МэВ при фиксированной температуре Т « 140 МэВ.

— Вычислен первый коэффициент в разложении свободной энергии в ряд по угловой скорости вращения системы в Зи(3) глюодинамике.

Практическая и научная значимость

Результаты данной работы позволяют учесть влияние эффектов вращения на свойства кварк-глюонной плазмы, образующейся в экспериментах по столкновению тяжелых ионов. Результаты, полученные для декомпозиции на монопольную и безмонопольную компоненты калибровочного поля указывают на слабое взаимодействие между этими компонентами как в глюодинамике, так и в теории с кварками. Другое указание заключается в том, что безмонопольная компонента не является чисто пертурбативной компонентой, т.к. она дает непертурбативный вклад в статический потенциал, соответствующий колебани-

ям адронной струны. Эти результаты могут быть полезны для модификации дуальной абелевой модели Хиггса как эффективной теории, описывающей непертурбативные свойства КХД. Также результаты диссертации указывают на то, что струна может формироваться в том числе и на малых расстояниях, такая возможность обсуждалась в [26; 27].

Основные положения, выносимые на защиту

— Аппроксимация потенциала взаимодействия между статическими кварками суммой монопольной и безмонопольной компонент улучшается как на малых, так и на больших расстояниях при уменьшении шага решетки в решеточной Зи(2) глюодинамике и не зависит от выбора решеточного действия.

— Декомпозиция потенциала взаимодействия между статическими кварками на монопольную и безмонопольную компоненты выполняется с хорошей точностью в Зи(3) глюодинамике и в Зи(2) КХД.

— В решеточной Зи(2) КХД при температуре Т « 140 МэВ переход конфайнмент-деконфайнмент происходит при значении кваркового химического потенциала ц ~ 1100 МэВ.

— В решеточной Зи(3) глюодинамике квадратичный коэффициент разложения свободной энергии системы в ряд по угловой скорости отрицателен вплоть до температуры Т* ~ 1.5ТС, а при температурах Т > Т* становится положительным.

Личный вклад автора

Автор диссертации

— Выполнил вычисление потенциала взаимодействия между статическими кварками во всех рассмотренных в диссертации теориях.

— Выполнил генерацию конфигураций решеточного калибровочного поля в решеточной Зи(2) глюодинамике с вильсоновским и улучшенным

действием и в решеточной SU(3) глюодинамике, а также частичную генерацию конфигураций в решеточной SU(2) КХД.

— Выполнил основную часть компьютерных расчетов в задаче исследования эффектов вращения в решеточной SU(3) глюодинамике.

— Выполнил все рисунки, представленные в публикациях, содержащих основные результаты диссертации.

— Инициировал и внес определяющий вклад в исследование декомпозиции калибровочного поля на монопольную и безмонопольную компоненты в случае SU(3) глюодинамики и SU(2) КХД.

Разработал следующие высокоэффективные коды на языке программирования C++, которые были использованы для получения результатов диссертации:

— реализация алгоритмов симулированного отжига и релаксации-перерелаксации для фиксации МА калибровки в решеточной SU(2) глюодинамике и дополнительной U(1) калибровки Ландау в этой же теории.

— реализация алгоритмов размазывания APE и HYP для группы SU(2) и SU(3).

— коды для вычисления монопольной компоненты решеточного калибровочного поля в решеточной SU(2) глюодинамике и в решеточной SU(3) глюодинамике.

— адаптировал коды, доступные по адресу https://github.com/culgt/culgt.git, для фиксации МА калибровки и дополнительной U(1) x U(1) калибровки Ландау в решеточной SU(3) глюодинамике.

Цели и задачи исследования были разработаны соискателем совместно с научным руководителем.

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается использованием хорошо известных и проверенных методов и подходов к исследованию КХД. Результаты исследования согласуются с результатами, полученными ведущими научными группами в России и за рубежом. Научные результаты, представленные в диссертационной работе, были успешно апробированы на международных и

российских конференциях и опубликованы в рецензируемых научных изданиях, индексированных в базах данных Scopus и Web of Science.

Апробация

Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

— 65-я Всероссийская научная конференция МФТИ. Устный доклад. "Изучение абелевой проекции в решеточной КХД 3 апреля - 8 апреля 2023

— XVII Курчатовская междисциплинарная молодёжная научная школа. Устный доклад. Исследование конфайнмента в решеточной КХД с Nc = 2 для Vq > 0, 20-23 марта 2023

— Online workshop at Galileo Galilei Institute for theoretical physics "Phase transitions in particle physics". Устный доклад. Decomposition of the gauge field in the maximal abelian gauge, Mar 28, 2022 - Apr 01, 2022

Структура диссертации

Диссертация включает в себя Введение, 4 главы основного текста и Заключение. Объем диссертации составляет 97 страниц, включая 2 таблицы и 23 рисунка. Список цитируемой литературы содержит 95 наименований.

В главе 1 дано описание метода решеточной регуляризации в КХД и некоторых деталей его использования для изучения непертурбативных свойств КХД. В главе 2 представлены детали и результаты исследования декомпозиции калибровочного поля на монопольную и безмонопольную компоненты в SU(2) глюодинамике. Результаты получены для нескольких значений шага решетки, что позволяет сделать вывод о континуальном пределе. Глава 3 посвящена исследованию декомпозиция калибровочного поля на монопольную и безмонопольную компоненты в случае SU(3) глюодинамики и SU (2) КХД с нулевой и ненулевой кварковой плотностью. В этой главе также представлены результаты изучения перехода конфайнмент - деконфайнмент в SU(2) КХД с ненулевой

кварковой плотностью. В четвертой главе диссертации рассказано о результатах исследования Зи(3) глюодинамики с вращением.

Глава 1. Метод решеточной регуляризации и его применение к исследованию непертурбативных свойств КХД

1.1 Квантовая хромодинамика

Далее во введении объясняются основные положения решеточной регуляризации и объясняется необходимость такого подхода, описывается проблема конфайнмента в КХД, существующие подходы к решению этой проблемы, объясняется важность исследования системы с ненулевой барионной плотностью и вращением. Описываются основные алгоритмы, использующиеся в вычислениях.

Рассматривается КХД с мнимым временем после Виковского поворота £ ^ гх4. Плотность лагранжиана КХД

Сдоо = Ф(уц^ц + т)ф + Сум , (1.1)

где ф и ф - поля кварков, а

сум = ^^Тц^ТЦ^ . (1.2)

1 2

Первый член отвечает за кварки, второй член - лагранжиан Янга-Миллса, за глюоны, а взаимодействие между ними вводится за счет удлинения производной

Вц = дц + гдАц , (1.3)

называется тензором напряженности поля

Рцу = дцАу - дуАц + гд[Ац, Ау], (1.4)

Ац - калибровочное поле, которое принадлежит алгебре группы калибровочных преобразований и преобразуется при калибровочных преобразованиях следующим образом

Ац(х) = ОДАц(ж)ОД-1 + - (дцОД)ОД-1, (1.5)

9

где 0.(х) € С - калибровочное преобразование, С - группа калибровочной симметрии. Фермионные поля преобразуются как

ф'(ж) = П(ж)ф(ж). (1.6)

Группа С определена генераторами Та, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям и условию нормировки

[Та,Тъ] = г!аЪсТс, гг[ТаТъ} = Т1 ЬаЪ. (1.7)

В этой работе рассматриваются группы Зи(Ж), а конкретно Зи(2) и Зи(3), для них = 2. Калибровочное поле можно разложить по генераторам алгебры

Л = А1та (1.8)

и аналогично для тензора напряженности поля

^ = , (1.9)

где

= № — ^А; — дГЬсА№ . (1.10)

Для плотности лагранжиана получаем

£гм = 1 ^^ . (1.11)

1.2 Решеточная регуляризация

Решеточная регуляризация определяется переходом от непрерывного пространства к конечной решетке л с шагом решетки а:

X ^ Х1аШсе = ап, пц = 0,1...ЖЦ — 1, ц =1..4 , (1.12)

где - число узлов решетки в направлении ц. Фермионные поля (как и другие поля материи) теперь определены только в узлах решетки

^(п),-ф(п). (1.13)

Их производные можно дискретизовать симметричным образом

^ 2а(^(П + — П — ' (1.14)

где | - единичный вектор в направлении ц. Для вычислений в решеточной регуляризации необходимо использовать дискретизованный аналог действия,

который выражается через поля на решетке, и который должен воспроизводить действие в непрерывной теории при шаге решетки а ^ 0. Наивная дискретизация фермионного действия для свободных кварков может быть записана как

[фдЦ = а4 £ ф(п)(£ у+ ц)~ -ц) + тр(п)) , (1.15)

пе Л Ц=1

где л - множество узлов решетки. Калибровочные преобразования имеют вид

"ф(п) ^ р' (п) = и(п)ф(п),гр(п) ^ гр'(п) = гр(п)^(п^. (1.16)

Массовый член инвариантен относительно этих преобразований, однако член

гр(п)р(п + гр) ^ гр'(п)р'(п + ц) = гр(п)^(п)"^(п + ц)"Ф(п + ц) (1.17)

не инвариантен. Как и в континууме, калибровочная инвариантность достигается добавлением калибровочного поля иц(п) е С. Оно определено на ребрах - отрезках, соединяющих узлы решетки, и далее будет называться реберной переменной:

гр(п)"ф(п + гр) ^ гр(п)^ц(п)р(п + гр). (1.18)

Калибровочная инвариантность этого члена

гр' (п)и^ (п)р' (п + ц) = гр(п)П(п)^ц (п)^(п + ц)р(п + ц) = гр(п)^ц (п)р(п + гр)

(1.19)

достигается при преобразовании калибровочного поля следующего вида

и^(п) ^ иц(п) = П(п)^(п)П(п + ц). (1.20)

Калибровочное поле в противоположном направлении

и-ц(п) = (п -ц^ (1.21)

преобразуется как

и-ц(п) ^ и'-ц(п) = П(пр-ц(п)П(п - . (1.22)

Тогда дискретизованная версия фермионного действия выглядит следующим образом

ГУ г, 7 ТТЛ 4^7/ ч/Х^ (п)р(п + ц) - и_ „(п)р(п - ц) ..

Бр[р,гр] = а4}2гр(п)^у ц--^^-^ + тр(п)).

2а

пеЛ ц=1

(1.23)

Это действие инвариантно относительно калибровочных преобразований

3Р[й,й,и] = 3Е[й,й',и']. (1.24)

Однако, как будет показано позже, это действие требует модификации, чтобы правильно воспроизводить свойства КХД.

Дискретизованное решеточное действие зависит от шага решетки и должно воспроизводить континуальное действие в наивном локальном пределе а ^ 0. Для того, чтобы соотнести решеточное действие с континуальным, введем решеточное поле из алгебры

и^(п) = ехр(1аА^(п)). (1.25)

Разложение по степеням шага решетки имеет вид

иц(п) = 1 + (п) + 0(а2), V-ц(п) = 1 - (п - р) + 0(а2). (1.26) Подставляя эти выражения в решеточное действие, получаем

^[й,й,и] = ^[й,й] + 4[й,йЛ], (1.27)

4 !

Я][й,й,А] = га4^^й(п)Уц^(Л(п)й(п + р) + (п - р)й(п - р))

(1.28)

= га4{й(п)у Иц (п)й(п) + О (а)) ,

где 510 обозначает свободное решеточное фермионное действие. Таким образом, такое введение взаимодействия в решеточное действие воспроизводит удлиненную производную в континуальном действии в континуальном пределе. Глюонное действие можно дискретизовать следующим образом

Яс[Ц] = в ^ ^ КеТг[1 - М«)] , (1.29)

пбА

где в = "^тт, а и^у(п) - произведение калибровочных полей вдоль границы

плакета

и^п) = и»(п)иу(п + р)^ц(п + у)]иу(п) . (1.30)

Используя соотношение (1.25) и формулы

ехр (А) ехр (В) = ехр (А + В + 2[А,В] + • • •), (1.31)

2

Ау(п + ц) = Ау(п) + ад^Ау(п) + 0(а2), (1.32)

можно показать аналогичным образом, что это решеточное глюонное действие воспроизводит непрерывное глюонное действие в континуальном пределе. Для плакета на решетке получаем

ицу(п) = ехр (га2(д^Ау(п) - дуАц(п) + (п),Ау(п)]) + 0(а3)) = ехр (га2^у(п) + 0(а3)).

Тогда калибровочное действие переходит в

(1.33)

= в ЕЕ ^И1 - = ^ [ЕЕtr ^Н2] + 0(а2)\ .

пеЛ \пеЛ \1,у /

(1.34)

Из чего следует, что в пределе малого шага решетки решеточное действие воспроизводит действие в континууме.

Глюонное действие

Помимо вильсоновского действия (1.29) используются другие варианты глюонного действия, которые называются улучшенным глюонным действием, так как они приводят к уменьшению эффектов конечности шага решетки для физических наблюдаемых. В данной диссертации было использовано два варианта улучшенного действия - улучшенное действие, предложенное в работе [28] и улучшенное действие Симанзика [29]. Оба действия имеют одинаковый вид

^сРГ = в(со Е ^ - С1 Е ' (1.35)

Зр1,н = 1 Кв^(1 - игЯ,н), (1.36)

где ир- произведение реберных переменных иц(п) вдоль плакета и 1 х 2 прямоугольной петли соответственно. Два действия различаются значениями коэффициентов с0 и с1. Для действия из работы [28] с0 = 1, а с1 = 20^2, где

и0 = ^(1 Ьтир1) - корень четвертой степени из среднего плакета. А для действия Симанзика с0 = |, а с1 = —12.

Проблема дублеров

Теперь перейдем к описанию решеточной регуляризации фермионного действия. Но сначала следует пояснить проблемы, которые возникают при попытке дискретизовать фермионное действие. Наивное фермионное действие (1.23) можно переписать как

Бр[Ф, "Ф,и] = а4 Е лФ(п)^,аВ(п\т)ав,аъФ(т)в,ь, (1.37)

п,теЛ а,Ь,а,р

где В(п\т) - решеточный оператор Дирака

и^ (П)аЬбп+ ц,т ц (^)аЬбп—ц,т

^(п\т)ар,аЬ = £(^МиП+Ц'т 2 4 "^ + ^баб§т,п . (1.38)

ц=1

Далее индексы у оператора Дирака будем опускать. Для того, чтобы показать проблему дублеров, сделаем преобразование Фурье для оператора Дирака (1.38) для случая свободных кварков, то есть иц(п) = 1

В(р\д) = ^ егрпаВ(п\т)егдта

п,теЛ

4 . _. (1.39)

1 ___ ргЧу.а _ р _

= Щ Е е"^^ЕУц-^-+ т!) = б(р — д)В(р),

\ \ пеЛ ц=1

В(р) = т! + - 4у45т(рца), (1.40)

ц=1

а затем обратное преобразование

В-\п\т) = ш ^ В(р)—1егр(п~т)а . (1.41)

реЛ

Рассмотрим обратный пропагатор для безмассовых кварков и посмотрим на континуальный предел

>-1

т_л-11 = -Ш-1ЕцТ цзтМ _ цу ^ (1

(Р) 1т=° Ц*ИР11аУ а—о р2 • (.)

Хотя наивная решеточная регуляризация приводит к правильному наивному континуальному пределу, в решеточном обратном операторе Дирака, помимо полюса в р = (0,0,0,0), который соответствует одному безмассовому фермиону, имеется еще 15 полюсов

р = (п/а,0,0,0),(0,п/а,0,0),... ,(п/а,п/а,п/а,п/а). (1.43)

Поэтому наивная дискретизация фермионного действия дает 15 лишних дублеров.

Вильсоновское действие

Чтобы решить проблему с дублерами, необходимо сделать правильный полюс при р = (0,0,0,0) выделенным, этого можно достичь, если в операторе Дирака в импульсном представлении будет дополнительный член

.4 4

1 , ч 1

Г)(р) = т! + - ЕУц81п(ру1а) + 1- — соз(ру1а)), (1.44) а а

Ц=1 Ц=1

который исчезает для р = 0 и добавляет дополнительный вклад 2/а для каждой компоненты п/а. Этот член действует как дополнительный массовый член т + 2, где I - количество компонент с рц = п/а. Для свободного случая виль-соновского решеточного действия этот дополнительный член можно получить обратным преобразованием Фурье. Добавляя калибровочные поля, можно сделать его калибровочно-инвариантным

Еи^х (п)аь Ьп+ц,то 2Ьа1, Ьп,т + иц (п)аь Ьп—ц,т . ,

2^ • (1.45) =1

Множитель а в начале показывает, что этот член исчезает в пределе а — 0. Добавляя этот член в наивное решеточное фермионное действие (1.23), и

используя более компактные обозначения, получаем для вильсоновского решеточного оператора Дирака

0()(п\т)ав,аЪ = (т(/) + - ) барбаЬ§п,т — Е ^ — Уц)аР^(П)аЬ¿п+ц,т ,

V Ч 2а ц=±1

(1.46)

где у—ц = —у ц, ц = 1, 2,3,4.

Фермионы Когута-Сасскинда

Одно из важных свойств КХД - киральная симметрия - симметрия между правыми и левыми фермионами

1 + у5 1 — у5 /

Фд = Ф, Фь = —^Ф • (1.47)

Динамический член ФИФ инвариантен относительно киральных поворотов

Ф' = е''ау5Ф, Ф' = Фе}ауъ , (1.48)

а массовый член явно нарушает эту симметрию

тФ'Ф' = тФег2аТ5Ф . (1.49)

Инвариантность динамического члена следует из соотношения

£у| + У|Я = 0 . (1.50)

В решеточной регуляризации не любое действие сохраняет киральную симметрию даже для безмассовых кварков, например, действие Вильсона (1.44) нарушает соотношение (1.50). Проблема в члене, который был добавлен для избавления от дублеров. Поэтому даже для безмассовых кварков киральная симметрия нарушается при конечном шаге решетки. При конечном шаге решетки эта проблема не может быть решена путем добавления члена, избавляющего от дублеров другим способом, это более фундаментальная проблема, отображенная в теореме Нильсена-Ниномии [30]. Она утверждает, что невозможно

сконструировать локальное решеточное фермионное действие, которое удовлетворяет (1.50) и не содержит дублеров. Поэтому были предложены другие варианты действия. В диссертации для изучения теории с фермионами использовалось действие Когута-Сасскинда [31].

[х, X] = а4 Е Х(п)(£ Пц(Я) ^<»>*(" + А) —^(" — А*(п — А) + тх(п}),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кудров Илья Евгеньевич, 2023 год

Список литературы

1. G. 't Hooft. Gauge Fields with Unified Weak, Electromagnetic, and Strong Interactions / G. 't Hooft // High Energy Physics, Proceedings of the EPS International Conference, Palermo. — 1975. — P. 1225.

2. Mandelstam, S. Vortices and quark confinement in non-Abelian gauge theories / S. Mandelstam // Phys. Rep. - 1976. - Vol. C23. - P. 245-249.

3. Global A hyperon polarization in nuclear collisions: evidence for the most vortical fluid / L. Adamczyk, J. K. Adkins, G. Agakishev, [et al.] // Nature. -2017. - Vol. 548. - P. 62-65. - arXiv: 1701.06657 [nucl-ex].

4. Ebihara, S. Boundary effects and gapped dispersion in rotating fermionic matter / S. Ebihara, K. Fukushima, K. Mameda // Phys. Lett. B. - 2017. -Vol. 764. - P. 94-99. - arXiv: 1608.00336 [hep-ph].

5. Chernodub, M. Interacting fermions in rotation: chiral symmetry restoration, moment of inertia and thermodynamics / M. Chernodub, S. Gongyo // JHEP. - 2017. - Vol. 01. - P. 136. - arXiv: 1611.02598 [hep-th].

6. Jiang, Y. Pairing Phase Transitions of Matter under Rotation / Y. Jiang, J. Liao // Phys. Rev. Lett. - 2016. - Vol. 117, no. 19. - P. 192302. arXiv: 1606.03808 [hep-ph].

7. Zhang, H. Mesonic Condensation in Isospin Matter under Rotation / H. Zhang, D. Hou, J. Liao // Chin. Phys. C. - 2020. - Vol. 44, no. 11. - P. 111001. -arXiv: 1812.11787 [hep-ph].

8. Quark matter under rotation in the NJL model with vector interaction / X. Wang [et al.] // Phys. Rev. D. - 2019. - Vol. 99, no. 1. - P. 016018. -arXiv: 1808.01931 [hep-ph].

9. Chernodub, M. N. Inhomogeneous confining-deconfining phases in rotating plasmas / M. N. Chernodub // Phys. Rev. D. - 2021. - Vol. 103, no. 5. -P. 054027. - arXiv: 2012.04924 [hep-ph].

10. Gluodynamics and deconfinement phase transition under rotation from holography / X. Chen [et al.] // JHEP. - 2021. - Vol. 07. - P. 132. - arXiv: 2010.14478 [hep-ph].

11. Sadooghi, N. Inverse magnetorotational catalysis and the phase diagram of a rotating hot and magnetized quark matter / N. Sadooghi, S. M. A. Tabatabaee Mehr, F. Taghinavaz // Phys. Rev. D. — 2021. Vol. 104, no. 11. - P. 116022. - arXiv: 2108.12760 [hep-ph].

12. Fujimoto, Y. Deconfining Phase Boundary of Rapidly Rotating Hot and Dense Matter and Analysis of Moment of Inertia / Y. Fujimoto, K. Fukushima, Y. Hi-daka // Phys. Lett. B. - 2021. - Jan. - Vol. 816. - P. 136184. - arXiv: 2101.09173 [hep-ph].

13. Golubtsova, A. A. Heavy quarks in rotating plasma via holography / A. A. Gol-ubtsova, E. Gourgoulhon, M. K. Usova // Nucl. Phys. B. - 2022. Vol. 979. - P. 115786. -arXiv: 2107.11672 [hep-th].

14. Phase diagram of holographic thermal dense QCD matter with rotation / Y.-Q. Zhao [h gp.] // JHEP. — 2023. — t. 04. — c. 115. — arXiv: 2212.14662 [hep-ph].

15. Golubtsova, A. A. Probing the holographic model of N=4 SYM rotating quark-gluon plasma / A. A. Golubtsova, N. S. Tsegelnik // Phys. Rev. D. -2023. - Vol. 107, no. 10. - P. 106017. - arXiv: 2211.11722 [hep-th].

16. Braga, N. R. F. Configuration entropy of a rotating quark-gluon plasma from holography / N. R. F. Braga, L. F. Ferreira, O. C. Junqueira. — 2023. Jan. — arXiv: 2301.01322 [hep-th].

17. Chernodub, M. N. Fractal thermodynamics and ninionic statistics of coherent rotational states: realization via imaginary angular rotation in imaginary time formalism / M. N. Chernodub. — 2022. — Oct. — arXiv: 2210.05651 [quant-ph].

18. Chernodub, M. N. Instantons in rotating finite-temperature Yang-Mills gas / M. N. Chernodub. - 2022. - Aug. - arXiv: 2208.04808 [hep-th].

19. Chen, S. Perturbative Confinement in Thermal Yang-Mills Theories Induced by Imaginary Angular Velocity / S. Chen, K. Fukushima, Y. Shimada // Phys. Rev. Lett. - 2022. - Vol. 129, no. 24. - P. 242002. - arXiv: 2207.12665 [hep-ph].

20. Yamamoto, A. Lattice QCD in rotating frames / A. Yamamoto, Y. Hirono // Phys. Rev. Lett. -2013. - Vol. 111. - P. 081601. - arXiv: 1303.6292 [hep-lat].

21. Study of the Confinement/Deconfinement Phase Transition in Rotating Lattice SU(3) Gluodynamics / V. V. Braguta [et al.] // JETP Lett. - 2020. Vol. 112, no. 1. - P. 6-12.

22. Influence of relativistic rotation on the confinement-deconfinement transition in gluodynamics / V. V. Braguta [et al.] // Phys. Rev. D. — 2021. — Vol. 103, no. 9. - P. 094515. - arXiv: 2102.05084 [hep-lat].

23. Chernodub, M. N. Inhomogeneity of a rotating gluon plasma and the Tol-man-Ehrenfest law in imaginary time: Lattice results for fast imaginary rotation / M. N. Chernodub, V. A. Goy, A. V. Molochkov // Phys. Rev. D. -2023. - Vol. 107, no. 11. - P. 114502. - arXiv: 2209.15534 [hep-lat].

24. Thermal phase transitions in rotating QCD with dynamical quarks / V. V. Braguta [et al.] // PoS. - 2023. - Vol. LATTICE2022. - P. 190. -arXiv: 2212.03224 [hep-lat].

25. Lattice study of the confinement/deconfinement transition in rotating gluodynamics / V. Braguta [et al.] // PoS. - 2022. - Vol. LATTICE2021.

P. 125. - arXiv: 2110.12302 [hep-lat].

26. Confinement and short distance physics / M. N. Chernodub [et al.] // Phys. Lett. B. - 2000. - Vol. 475. - P. 303-310. - arXiv: hep-ph/0003006.

27. Short strings and new physics perspectives in QCD / M. N. Chernodub [et al.] // NATO Sci. Ser. C. - 2000. - Vol. 553. - P. 369-380. arXiv: hep-lat/9912028.

28. Lepage, G. P. On the viability of lattice perturbation theory / G. P. Lepage, P. B. Mackenzie // Phys. Rev. D. - 1993. - Vol. 48. - P. 2250-2264. -arXiv: hep-lat/9209022.

29. Sheikholeslami, B. Improved Continuum Limit Lattice Action for QCD with Wilson Fermions / B. Sheikholeslami, R. Wohlert // Nucl. Phys. B. - 1985. -Vol. 259. P. 572.

30. Nielsen, H. B. No Go Theorem for Regularizing Chiral Fermions / H. B. Nielsen, M. Ninomiya // Phys. Lett. B. - 1981. - Vol. 105.

P. 219 223.

31. Kogut, J. B. Hamiltonian Formulation of Wilson's Lattice Gauge Theories / J. B. Kogut, L. Susskind // Phys. Rev. D. - 1975. - Vol. 11. - P. 395-408.

32. High precision lattice QCD confronts experiment / C. T. H. Davies [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2004. — t. 92. — c. 022001. — arXiv: hep-lat/0304004.

33. Gattringer, C. Quantum chromodynamics on the lattice / C. Gattringer, C. B. Lang. — Springer 2010.

34. Glueball Masses and String Tension in Lattice QCD / M. Albanese [et al.] // Phys. Lett. B. - 1987. - Vol. 192. - P. 163-169.

35. Hasenfratz, A. Flavor symmetry and the static potential with hypercubic blocking / A. Hasenfratz, F. Knechtli // Phys. Rev. D. - 2001. - Vol. 64.

P. 034504. - arXiv: hep-lat/0103029.

36. Dosch, H. G. The Area Law of the Wilson Loop and Vacuum Field Correlators / H. G. Dosch, Y. A. Simonov // Phys. Lett. B. - 1988. - Vol. 205. -P. 339 344.

37. Baker, M. Dual QCD: A Review / M. Baker, J. S. Ball, F. Zachariasen // Phys. Rept. - 1991. - Vol. 209. - P. 73-127.

38. Bonati, C. Detecting monopoles on the lattice / C. Bonati, A. Di Giacomo, M. D'Elia // Phys. Rev. D. - 2010. - Vol. 82. - P. 094509. - arXiv: 1009.2425 [hep-lat].

39. 't Hooft, G. Magnetic Monopoles in Unified Gauge Theories / G. 't Hooft // Nucl. Phys. B / ed. by J. C. Taylor. - 1974. - Vol. 79. - P. 276-284.

40. Polyakov, A. M. Particle Spectrum in Quantum Field Theory / A. M. Polyakov // JETP Lett. / ed. by J. C. Taylor. - 1974. - Vol. 20. -P. 194-195.

41. 't Hooft, G. Topology of the Gauge Condition and New Confinement Phases in Nonabelian Gauge Theories / G. 't Hooft // Nucl. Phys. B. - 1981. -Vol. 190. - P. 455-478.

42. Monopoles, abelian projection and gauge invariance / C. Bonati [et al.] // Phys. Rev. D. - 2010. - Vol. 81. - P. 085022. - arXiv: 1002 . 3874 [hep-lat].

43. Confinement and monopoles in lattice QCD / L. Del Debbio [et al.] // Physics Letters B. - 1991. - Vol. 267, no. 2. - P. 254-260.

44. Monopole condensation and color confinement / A. Kronfeld [et al.] // Physics Letters B. - 1987. - Vol. 198, no. 4. - P. 516-520.

45. Kirkpatrick, S. Optimization by Simulated Annealing / S. Kirkpatrick, C. D. G. Jr., M. P. Vecchi // Science. — 1983. — t. 220.

46. DeGrand, T. A. Topological excitations and Monte Carlo simulation of Abelian gauge theory / T. A. DeGrand, D. Toussaint // Physical Review D. — 1980. -Vol. 22. - P. 2478-2489.

47. Smit, J. Monopoles and confinement / J. Smit, A. J. van der Sijs // Nuclear Physics B. - 1991. - Vol. 355, no. 3. - P. 603-648.

48. New features of the maximal Abelian projection / V. G. Bornyakov [et al.] // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. / ed. by C. Alexandrou, H. Panagopoulos, G. Schierholz. - 2006. - Vol. 153. - P. 25-32. - arXiv: hep-lat/0512003.

49. Dual superconductor scenario of confinement: A Systematic study of Gribov copy effects / G. S. Bali [et al.] // Phys. Rev. D. - 1996. - Vol. 54.

P. 2863-2875. - arXiv: hep-lat/9603012.

50. Fingberg, J. Scaling and asymptotic scaling in the SU(2) gauge theory / J. Fingberg, U. M. Heller, F. Karsch // Nucl. Phys. B. - 1993. - Vol. 392.

P. 493-517. - arXiv: hep-lat/9208012.

51. Bornyakov, V. Continuum limit in Abelian projected SU(2) lattice gauge theory / V. Bornyakov, M. Muller-Preussker // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. / ed. by M. Muller-Preussker [et al.]. - 2002. - Vol. 106. - P. 646-648. -arXiv: hep-lat/0110209.

52. Forcrand, P. de. On the relevance of center vortices to QCD / P. de Forcrand, M. D'Elia // Phys. Rev. Lett. - 1999. - Vol. 82. - P. 4582-4585. - arXiv: hep-lat/9901020.

53. Cabibbo, N. A new method for updating SU(N) matrices in computer simulations of gauge theories / N. Cabibbo, E. Marinari // Physics Letters B. 1982. - Vol. 119, no. 4. - P. 387-390.

54. Schröck, M. Coulomb, Landau and Maximally Abelian Gauge Fixing in Lattice QCD with Multi-GPUs / M. Schröck, H. Vogt // Comput. Phys. Commun. -2013. - Vol. 184. - P. 1907-1919. - arXiv: 1212.5221 [hep-lat].

55. Suzuki, T. Possible evidence for Abelian dominance in quark confinement / T. Suzuki, I. Yotsuyanagi // Phys. Rev. D. - 1990. - Dec. - Vol. 42, issue 12. P. 4257 4260.

56. Abelian dominance in SU (2) color confinement / S. Hioki [et al.] // Physics Letters B. - 1991. - Vol. 272, no. 3. - P. 326-332.

57. Sakumichi, N. Perfect Abelian dominance of quark confinement in SU(3) QCD / N. Sakumichi, H. Suganuma // Phys. Rev. D. - 2014. - Vol. 90, no. 11. - P. 111501. - arXiv: 1406.2215 [hep-lat].

58. Chernodub, M. N. Abelian projections and monopoles / M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov. — 1997. — June. — arXiv: hep-th/9710205.

59. Haymaker, R. W. Confinement studies in lattice QCD / R. W. Haymaker // Phys. Rept. / ed. by F. Cooper, G. B. West. - 1999. - Vol. 315.

P. 153-173. - arXiv: hep-lat/9809094.

60. Greensite, J. The Confinement problem in lattice gauge theory / J. Greensite // Prog. Part. Nucl. Phys. - 2003. - Vol. 51. - P. 1. - arXiv: hep-lat/0301023.

61. Shiba, H. Monopoles and string tension in SU(2) QCD / H. Shiba, T. Suzuki // Phys. Lett. B. - 1994. - Vol. 333. - P. 461-466. - arXiv: hep-lat/ 9404015.

62. Stack, J. D. String tension from monopoles in SU(2) lattice gauge theory / J. D. Stack, S. D. Neiman, R. J. Wensley // Phys. Rev. D. - 1994. Vol. 50. - P. 3399-3405. - arXiv: hep-lat/9404014.

63. Cho, Y. M. Restricted gauge theory / Y. M. Cho // Phys. Rev. D. - 1980. -Feb. Vol. 21, issue 4. P. 1080 1088.

64. Duan, Y.-S. SU(2) Gauge Theory and Electrodynamics with N Magnetic Monopoles / Y.-S. Duan, M.-L. Ge // Sci. Sin. - 1979. - Vol. 9, no. 11.

65. Faddeev, L. Spin-charge separation, conformal covariance and the SU(2) Yang-Mills theory / L. Faddeev, A. J. Niemi // Nuclear Physics B. — 2007. -Vol. 776, no. 1. - P. 38-65.

66. Shabanov, S. V. An Effective action for monopoles and knot solitons in Yang-Mills theory / S. V. Shabanov // Phys. Lett. B. - 1999. - Vol. 458. -P. 322-330. - arXiv: hep-th/9903223.

67. Shabanov, S. V. Yang-Mills theory as an Abelian theory without gauge fixing / S. V. Shabanov // Phys. Lett. B. - 1999. - Vol. 463. - P. 263-272. arXiv: hep-th/9907182.

68. Kondo, K. .-I. Yang-Mills theory constructed from Cho-Faddeev-Niemi decomposition / K. .-I. Kondo, T. Murakami, T. Shinohara // Prog. Theor. Phys. -2006. - Vol. 115. - P. 201-216. - arXiv: hep-th/0504107.

69. Lattice construction of Cho-Faddeev-Niemi decomposition and gauge invariant monopole / S. Kato [et al.] // Phys. Lett. B. - 2006. - Vol. 632.

P. 326-332. - arXiv: hep-lat/0509069.

70. Quark confinement: Dual superconductor picture based on a non-Abelian Stokes theorem and reformulations of Yang Mills theory / K.-I. Kondo [et al.] // Phys. Rept. - 2015. - Vol. 579. - P. 1-226. - arXiv: 1409.1599 [hep-th].

71. Kato, S. Gauge-independent "Abelian" and magnetic-monopole dominance, and the dual Meissner effect in lattice SU(2) Yang-Mills theory / S. Kato, K.-I. Kondo, A. Shibata // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 91, no. 3.

P. 034506. - arXiv: 1407.2808 [hep-lat].

72. Biddle, J. C. Static quark potential from center vortices in the presence of dynamical fermions / J. C. Biddle, W. Kamleh, D. B. Leinweber // Phys. Rev. D. - 2022. - Vol. 106, no. 5. - P. 054505. - arXiv: 2206 . 00844 [hep-lat].

73. Kronfeld, A. S. Topology and Dynamics of the Confinement Mechanism / A. S. Kronfeld, G. Schierholz, U. J. Wiese // Nucl. Phys. B. - 1987. Vol. 293. - P. 461-478.

74. Brandstaeter, F. Color comfinement, abelian dominance and the dynamics of magnetic monopoles in SU (3) gauge theory / F. Brandstaeter, G. Schierholz, U.-J. Wiese // Physics Letters B. - 1991. - Vol. 272, no. 3. - P. 319-325.

75. Bornyakov, V. Glueball and gluelump spectrum in Abelian projected QCD / V. Bornyakov, G. Schierholz, T. Streuer // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. / ed. by M. Muller-Preussker [et al.]. - 2002. - Vol. 106. - P. 676-678. arXiv: hep-lat/0111018.

76. Dynamics of monopoles and flux tubes in two flavor dynamical QCD / V. G. Bornyakov [et al.] // Phys. Rev. D. - 2004. - Vol. 70. - P. 074511. -arXiv: hep-lat/0310011.

77. Ohata, H. Gluonic excitation energies and Abelian dominance in SU(3) QCD / H. Ohata, H. Suganuma // Phys. Rev. D. - 2020. - Vol. 102, no. 1.

P. 014512. - arXiv: 2003.05203 [hep-lat].

78. Finite temperature QCD with two flavors of nonperturbatively improved Wilson fermions / V. G. Bornyakov [et al.] // Phys. Rev. D. - 2005. - Vol. 71. -P. 114504. - arXiv: hep-lat/0401014.

79. Necco, S. The N(f) = 0 heavy quark potential from short to intermediate distances / S. Necco, R. Sommer // Nucl. Phys. B. - 2002. - Vol. 622. -P. 328-346. - arXiv: hep-lat/0108008.

80. Stack, J. D. The Maximal Abelian gauge, monopoles, and vortices in SU(3) lattice gauge theory / J. D. Stack, W. W. Tucker, R. J. Wensley // Nucl. Phys. B. - 2002. - Vol. 639. - P. 203-222. - arXiv: hep-lat/0110196.

81. Golubich, R. Thickness and Color Structure of Center Vortices in Gluonic SU(2) QCD / R. Golubich, M. Faber // Particles. - 2020. - Vol. 3, no. 2. -P. 444-455.

82. Faddeev, L. D. Partially dual variables in SU(2) Yang-Mills theory / L. D. Fad-deev, A. J. Niemi // Phys. Rev. Lett. - 1999. - Vol. 82. - P. 1624-1627. -arXiv: hep-th/9807069.

83. Study of the phase diagram of dense two-color QCD within lattice simulation / V. V. Braguta [et al.] // Phys. Rev. D. - 2016. - Vol. 94, no. 11.

P. 114510. - arXiv: 1605.04090 [hep-lat].

84. The chiral and deconfinement aspects of the QCD transition / A. Bazavov [et al.] // Phys. Rev. D. - 2012. - Vol. 85. - P. 054503. - arXiv: 1111.1710 [hep-lat].

85. Decomposition of the static potential in the Maximal Abelian gauge / V. Bornyakov [et al.]. - 2022. - Aug. - arXiv: 2201.04035 [hep-lat].

86. Negative moment of inertia and rotational instability of gluon plasma / V. V. Braguta [et al.]. - 2023. - Mar. - arXiv: 2303.03147 [hep-lat].

87. Curci, G. Symanzik's improved lagrangian for lattice gauge theory / G. Curci, P. Menotti, G. Paffuti // Physics Letters B. - 1983. - Vol. 130, no. 3.

P. 205 208.

88. Luscher, M. Computation of the action for on-shell improved lattice gauge theories at weak coupling / M. Luscher, P. Weisz // Physics Letters B. 1985. - Vol. 158, no. 3. - P. 250-254.

89. Thermodynamics of SU(3) lattice gauge theory / G. Boyd [et al.] // Nucl. Phys. B. - 1996. - Vol. 469. - P. 419-444. - arXiv: hep-lat/9602007.

90. Loncar, J. Negative-Inertia Converters: Devices Manifesting Negative Mass and Negative Moment of Inertia / J. Loncar, B. Igrec, D. Babic // Symmetry. - 2022. - Mar. - Vol. 14, no. 3. - P. 529.

91. Chernodub, M. N. Rotating Casimir systems: magnetic-field-enhanced perpetual motion, possible realization in doped nanotubes, and laws of thermodynamics / M. N. Chernodub // Phys. Rev. D. - 2013. - Vol. 87, no. 2. -P. 025021. - arXiv: 1207.3052 [quant-ph].

92. Flachi, A. Quantum vacuum, rotation, and nonlinear fields / A. Flachi, M. Edmonds // Phys. Rev. D. - 2023. - Vol. 107, no. 2. - P. 025008. - arXiv: 2212.02776 [hep-th].

93. Whiting, B. F. Action principle and partition function for the gravitational field in black-hole topologies / B. F. Whiting, J. W. York Jr // Physical Review Letters. - 1988. - Vol. 61, no. 12. - P. 1336.

94. Prestidge, T. Dynamic and thermodynamic stability and negative modes in Schwarzschild-anti-de Sitter black holes / T. Prestidge // Phys. Rev. D. -2000. - Mar. - Vol. 61, issue 8. - P. 084002.

95. Reall, H. S. Classical and thermodynamic stability of black branes / H. S. Re-all // Phys. Rev. D. - 2001. - July. - Vol. 64, issue 4. - P. 044005.