Исследование непертурбативных эффектов в сильновзаимодействующих системах методами решёточного моделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Астраханцев Никита Юрьевич

• Астраханцев Никита Юрьевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Астраханцев Никита Юрьевич

1.2 Моделирование на решётке

1.2.1 Общие методы решёточного моделирования

1.2.2 Калибровочные теории в решёточной формулировке

1.3 Содержание диссертации

1.4 Результаты, выносимые на защиту диссертации

2 Транспортные коэффициенты в решеточной глюодинамике

2.1 Введение

2.1.1 Сдвиговая вязкость

2.1.2 Объёмная вязкость

2.1.3 Мотивация

2.2 Общие методы вычисления транспортных

коэффициентов в глюодинамике

2.2.1 Корреляционные функции и транспортные

коэффициенты

2.2.2 Сдвиговая вязкость и р12,12(ш)

2.2.3 Объёмная вязкость и ре,е(ш)

2.2.4 Решёточная форма операторов

2.2.5 Перенормировка операторов на решётке

2.2.6 Многоуровневые алгоритмы

2.2.7 Определение энтропии на решётке

2.3 Сдвиговая вязкость Би(2)-глюодинамики

при температуре 1.2 Тс

2.3.1 Измерение корреляционных функций С12,12

Би(2)

2.3.2 Определение спектральной функции р12,12(ш)

2.3.3 Результаты

2.4 Температурная зависимость сдвиговой вязкости Би(Э)-глюодинамики в

области 0.9 ^ Т/Тс ^

2,4,1 Измерение корреляционных функций С12,12

в Би(Э)-глюодинамике

2.4.2 Определение спектральной функции р12,12(ш)

параметрическим методом

2.4.3 Определение спектральной функции р12,12

методом Бакуса-Гильберта.......'

2.4.4 Результаты и сравнение с другими источниками

2.5 Температурная зависимость объёмной вязкости Би(З)-глюодннамики в области 0.9 ^ Т/Тс ^

2.5.1 Измерение корреляционных функций Се,е

в Би(З)-глюодннамике

2.5.2 Определение спектральной функции ре,е(ш) методом Бакуса-Гильберта

2.5.3 Применение Тихоновской регуляризации

2.5.4 Результаты и заключение

2.6 Выводы

3 Изучение многочастичных эффектов в графене методами квантовой теории поля на решётке

3.1 Мотивация

3.2 Модель Хаббарда в графене и ее формулировка

в квантовой теории поля

3.2.1 Геометрия

3.2.2 Гамильтониан сильной связи со взаимодействием

3.2.3 Спектр электронов в графене без взаимодействия

3.2.4 Статеумма модели

3.2.5 Пропагаторы

3.2.6 Вершины

3.3 Аналитические однопетлевые расчёты перенормировок

3.3.1 Однопетлевые поправки к пропагатору электрона

3.3.2 Однопетлевые поправки к пропагатору фотона и диэлектрической проницаемости графена

3.3.3 Обсуждение и заключение

3.4 Решёточное моделирование перенормировки статического потенциала взаимодействия

3.4.1 Введение

3.4.2 Детали расчётов

3.4.3 Перенормировка диэлектрической проницаемости из решёточных данных

3.4.4 Выводы

4 Заключение

5 Благодарности 76 А Метод Бакуса-Гильберта 77 В Тихоновская регуляризация метода Бакуса-Гильберта

.....I......I с^Т^с"^1 !■

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование непертурбативных эффектов в сильновзаимодействующих системах методами решёточного моделирования»

Введение

1.1 Исследование непертурбативных эффектов в сильновзаимодействующих системах методами решёточного моделирования

Квантовая теория поля (КТП) — это раздел современной физики элементарных частиц, в некотором смысле являющийся расширением квантовой механики, работающей с частицами, на поля, то есть на системы с бесконечно большим числом степеней свободы.

Важную роль в квантовой теории поля играет так называемая константа связи, показывающая, насколько исследуемая система отличается от совокупности невзаимодействующих полей, К примеру, в квантовой электродинамике константа связи мала и рявня а ~ 1/137, Такие системы можно очень успешно изучать петрурбативно, то есть вычислять наблюдаемые величины как ряды по степеням а. Например, магнитный момент электрона экспериментально измерен с точностью 10-14, что находится в полном согласии с расчётами квантовой электродинамики [1],

а

а

всегда больше больше предыдущих. Теории, где нельзя получить надёжный результат пертурбативно, называются сильновзанмодействующимн. Такие теории не распадаются на совокупность компонент, которые можно рассматривать почти независимо друг от друга.

Известно, что большая константа связи может приводить к кардинальному изменению свойств системы, заложенных в неё на уровне лагранжиана, от наблюдаемых в эксперименте. Кроме перенормировки «голых» параметров лагранжиана, сильное взаимодействие может приводить даже к изменению релевантных степеней свободы. Хорошим примером такого изменения является явление конфайнмента в квантовой хромо-динамике. Несмотря на то, что степенями свободы в исходном лагранжиане являются несущие цветовой заряд кварки и глюоны, при низкой температуре релевантными степенями свободы становятся бесцветные адроны.

При температурах выше - 175 МэВ [2] бесцветная адронная материя распадается на кварки и глюоны, несущие цветовой заряд, которые становятся степенями

свободы. Вещество переходит в состояние кварк-глюонной плазмы. Поскольку ранняя вселенная была очень горячей, считается, что вся материя находилась в этом состоянии. Сегодня кварк-глюонная плазма изучается в столкновениях тяжёлых ионов на Большом адронном коллайдере (ЬНС) и Релятивистском коллайдере тяжёлых ионов (ШПС). Данные, полученные в экспериментах по соударению тяжёлых ионов на 1.1 К' [3] свидетельствуют о том, что вязкость кварк-глюонной плазмы очень мала, и, в отличие от привычной плазмы, кварк-глюонная плазма является спльновзапмодействующей системой и близка к идеальной жидкости.

Другой хорошо известной сильновзаимодействующей системой является грифон. представляющий представляет собой двумерную шестиугольную решётку атомов углерода и обладающий рядом примечательных свойств. Одним из них является линейный низкоэнергетический спектр квазичастиц Е = |к|, где ~ 1/300 — скорость Ферми. Взаимодействие между квазичастицами в графене приближённо описывается мгновенным кулоновеким потенциалом с эффективной константой связи ад = a/vf ~ 2.2. Благодаря ультрарелятивистскому спектру и большой константе связи существует множество аналогий между графеном и квантовой хромодинамикой.

1.2 Моделирование на решётке

Основным объектом статистической механики является статсумма (здесь для простоты рассматривается скалярное поле):

2 = Тг в-13й = У ^<р|е-вн И, (1.1)

позволяющая находить термодинамические свойства системы. Здесь интегрирование ведётся по всем полевым конфигурациям в ЗБ, Оператор е-вн можно рассматривать как оператор эволюции в «мнимом времени», называемом Евклидовым. Проведя стандартную процедуру разбиения временного интервала т = [0, в] [4], можно переписать выражение для статсуммы как интеграл по всем периодическим в Евклидовом времени полевым траекториям:

2 = J ехр (—Б(р)). (1.2)

<р(0,х)=<р(в,х)

В данной работе используется так называемая решёточная регуляризация. Пространство диекретизуетея, то есть производится переход от непрерывных координат к Дискретным х^,Ш{се:

^ Х^ДаШсе = ап^ П = 0 - 1> (1-3)

где а — шаг решётки с физической размерностью длины, N — число шагов решётки в направлении Д. Обычно три пространственных направления равны между собой (М = М-), и физический объём системы оказывается равен

V = (аНа )3. (1.4)

Размер решётки во временном направлении N может отличатьея от поскольку он связан с температурой системы

1

(1.5)

Т

аЫт

Обратный шаг 1 /а между соседними узлами пространства играет роль ультра-филетового обрезания, в инфракрасном пределе теория также регуляризуетея на масштабе 1/аМа. Регуляризация требуется и при вычислении петлевых диаграмм в квантовой теории поля в пространстве Минковекого, В простейшем случае в возникающих интегралах по импульсам вводится ультрафиолетовое обрезание Л. После проведения расчётов необходимо получить ответ, не зависящий от регуляризатора, В частности, в решёточном моделировании изучается зависимость результатов от шага решётки и пространственного размера в пределе а ^ 0 и Ма,МТ ^ ж, Таким образом, решёточная регуляризация соответствует общим представлениям квантовой теории поля.

Решёточная формулировка теории позволяет перейти от бесконечно большого к большому, но конечному количеству степеней свободы в интеграле. Поскольку в типичном решёточной вычислении это число может достигать 108, такой интеграл вычисляется методами Монте-Карло. С помощью специальных техник, описанных ниже в (1.2.1), генерируется набор конфигураций имеющих каноническое раепределение а Тогда любая наблюдаемая О(р) вычисляется простым усреднением по ансамблю конфигураций

Метод моделирования на решётке позволяет получить непертурбативные результаты, недоступные аналитическим расчётам в сильновзаимодействующих системах. В частности, на решётке было воспроизведено линейное поведение потенциала взаимодействия кварк-антикварковой пары в квантовой хромодинамике [5], то есть образование струны в фазе конфайнмента. Также был получен спектр ряда адронов из первых принципов [6].

Метод моделирования на решётке, хоть и даёт надёжные результаты, не позволяет ответить на все вопросы с точки зрения физического описания. К примеру, метод не проливает свет на механизм образования струны в кварк-антикварковой паре, а лишь даёт численный ответ. Другим недостатком метода является так называемая проблема знака: в присутствии конечного химического потенциала фермионов в трёхцветной КХД и в графене нарушается симметрия между частицами и античастицами, что приводит к неположительной фермионной мере в функциональной интеграле. Если подынтегральная мера неположительна, интеграл становится гораздо сложнее вычислять, и чем больше объём решётки, тем сильнее становятся осцилляции. Поэтому вычисления с конечным химическим потенциалом на решётках достаточного размера в данных системах пока невозможны. Наконец, даже включение фермионов без химического потенциала сильно замедляет расчёты. В частности, на текущий момент никем ещё не были получены данные по вязкости кварк-глюонной плазмы в присутствии динамических фермионов. С улучшением алгоритмов и вычислительных мощностей в будущем ситуация, возможно, улучшится.

(1.6)

1.2.1 Общие методы решёточного моделирования Взвешенная выборка

В решёточной квантовой теории поля основной задачей является оценка значений различных функций О(р) полевых переменных [р] = {рх} (здесь для простоты рассматривается скалярное поле). Среднее значение наблюдаемой записывается в виде функционального интеграла

(О) = - / VрA(р)e-S^, (1.7)

где Б(р) — решёточное действие, полагаемое вещественной функцией полевых переменных. Число степеней свободы в интеграле очень велико и может превышать 108, По этой причине единственной возможностью оценить интеграл является применение методов Монте-Карло. Самым простым способом было бы просто генерировать случайные полевые конфигурации [рп] и усреднять по ним. Однако для больших решёток подынтегральное выражение оказывается сильно локализованным вокруг некоторых определённых полевых конфигураций, и случайная генерация полей не даст репрезентативной выборки даже за очень большое количество шагов. Это известная проблема методов Монте-Карло, которые эффективно работают только в случае достаточно равномерно распределённого по области интегрирования подынтегрального выражения.

Поэтому необходимо не случайно генерировать конфигурации, а затем на каждой вычислять ехр (—Б(р)), а подойти к задаче с другой стороны: нужно добиться того, чтобы в ансамбле конфигураций, по которым производится усреднение, конфигурации уже были распределены по Больцмановекому закону

Шс(р) = — ехр (—Б(р)). (1.8)

В таком случае задачей решёточного моделирования становится генерация большого ансамбля {[р»]} (взвешенной выборки) полевых конфигураций, распределение действия в котором аппроксимирует (1.8). Тогда значение любой наблюдаемой величины будет вычисляться как простое арифметическое среднее по ансамблю

(О)« N £ О(р»). (1-9)

Алгоритм обновления конфигураций

В процессе решёточного моделирования взвешенная выборка генерируется последовательно. Ансамбль полевых конфигураций получается путём последовательного применения алгоритма обновления, получающего следующую конфигурацию из предыдущей: [рп] ^ [рп+1 ]. Обновление является стохастическим процессом в том смысле, что переход [р] ^ [р'] происходит с некоторой вероятностиью перехода Р ([р] ^ [р'])-Вообще говоря, при реализации на компьютере обновление детерминистично. Термин вероятность перехода относится к большому числу обновлений, использующих генератор псевдослучайных чисел.

Вероятность перехода также может быть определена с использованием понятия ансамбля конфигураций. Можно сказать, что процесс обновления меняет плотность ансамбля конфигураций как

ш'([М']) = £ р(М ^ [М'])Ш([М]), (1.10)

м

что в более короткой матричной форме записывается как Ш' = РШ, если плотности рассматриваются как вектор, а вероятности перехода — как квадратная матрица. Вероятность перехода, очевидно, должна быть нормирована на единицу,

£ р(М ^ И) = 1, (1.Ц)

и

а также все элементы должны быть положительны. Это условие называется сильной эргодичностью, которое говорит, что любая конфигурация может быть однажды достигнута за достаточно большое количество шагов. Такой алгоритм обновления является Марковским процессом.

От алгоритма обновления требуется, чтобы, начав с некоторого «разумного» начального распределения Ш0 (Ш^Шс = 0) за большое число обновлений ансамбль переходил бы в канонический:

Иш РкШо = Шс. (1.12)

к^х

Отсюда следует, что канонический ансамбль — неподвижная точка преобразования обновления, Мы требуем, чтобы такая неподвижная точка была одна, иначе результат численного моделирования будет неоднозначен. Достаточным условием для уникальности неподвижной точки является условие детального баланса:

р(М ^ ИШм) = Р(И ^ М)Шс(м'). (1-13)

Таким образом, решёточное моделирование разбивается на две части. Начиная с определённой стартовой полевой конфигурации, происходят последовательные обновления, происходит термализация. Когда конфигурация термализовалась, мы сохраняем все последующие конфигурации, поскольку они будут представлять собой семплн-рование из канонического ансамбля. Далее будут приведены алгоритмы обновления, обеспечивающие условие детального баланса и сильной эргодичности.

Алгоритмы Метрополиса

Предположим, имеется набор из N различных конфигураций. Алгоритм Метрополиса предлагает использовать следующую матрицу перехода:

ра„м м])=< -иИ'с([мч) > «ум .

То есть, в процессе обновления конфигураций, мы принимаем следующую конфигурацию в цепочке, если её вес в каноническом распределении стал больше (действие —

меньше). Если же вес стал меньше, мы всё равно можем принять её, но е некоторой вероятностью, равной отношению соответствующих канонических весов. Можно видеть, что такой алгоритм обновления удовлетворяет требованию эргодичности и детального баланса. Таким образом, его можно использовать в решёточном моделировании.

Важным вопросом является то, как сгенерировать следующую в цепочке конфигурацию, которую затем можно принять или отклонить согласно алгоритму Метрополи-са. Если действие теории локально (например, в случае чистой Би(З)-глюодинамики), следующую конфигурацию можно генерировать путём изменения нескольких калибровочных переменных. Однако действие теории может быть нелокальным (как, например, в графене). Это происходит из-за введения в теорию динамических кварков и интегрирования по их полям, В таком случае становится гораздо сложнее оценить изменение действия, возникающее за счёт изменения калибровочной переменной, И для более эффективного заметания фазового пространства конфигураций производятся нелокальные изменения конфигураций.

Методы молекулярной динамики

Для того чтобы эффективно нелокально менять конфигурацию, но при этом не слишком сильно изменять канонический вес, применяются методы молекулярной динамики, Для полей ф вводятся сопряжённые импульсы р и конструируется гамильтониан

Н (р,ф) = £ рП + Б (р). (1.15)

п

Этот гамильтониан позволяет проводить классическую эволюцию во вспомогательном т

фп = Рп рп = -дБ/дфп. (1.16)

Таким образом, происходит переход в расширенное фазовое пространство и рассматривается эволюция в терминах полей и импульсов во вспомогательном времени. Алгоритм Метрополиса модифицируется соответствующим образом: вероятность принятия или отклонения конфигурации равна

Р([Р,ф]) ^ [Р',ф']) = тт(1, ехр (—Н(р',ф') + Н(р,ф))) , (1.17)

то есть, зависит от изменения гамильтониана. В начале траектории интегрирования сопряжённые импульсы семплируются из распределения Гаусса Р (р) а ехр (—2 ^п рп). Можно показать, что конфигурации, полученные в таком процессе, распределены с каноническим весом ехр (—Б (ф)).

Таким образом, генерация новых полевых конфигураций происходит с помощью простой классической динамики. Алгоритм Метрополиса позволяет находить полевую конфигурацию, имеющую минимальное действие, а затем заметать релевантный фазовый объём вокруг такой конфигурации. Несмотря на свою эффективность, это наиболее трудоёмкий процесс в решёточном моделировании, который требует использования графических ускорителей и современных алгоритмов.

1.2.2 Калибровочные теории в решёточной формулировке

После того как сформулированы общие положения решёточного моделирования на примере скалярной теории, перейдём к обсуждению калибровочных теорий на решётке, В непрерывной теории калибровочные поля Лм(х) принимают значения в представлении алгебры Ли группы О. В решёточной же теории калибровочные поля имеют вид

иДх) = ехр (гаЛ^(х)) (1,18)

О

отметить, что в пертурбативных вычислениях требуется явная фиксация калибровки, кроме того, некоторые способы регуляризации ведут к нарушению калибровочной инвариантности, Ключевым же свойством моделирования на решётке является сохранение калибровочной инвариантности, которое ведёт к существенным упрощениям [7].

Калибровочные преобразования фермионных полей в решёточной теории имеют ту же форму, что и в непрерывном пределе: q(x) —> V(д)д(х), д(х) ^ д(х)УЦх), где V(х) € О. Калибровочная группа О зависит от изучаемой теории, К примеру, при моделировании кварк-глюонной плазмы О = Би(3), Фермионные билинейные комбинации, таким образом, становятся калибровочно-инвариантными, если ввести калибровочное поле и^(х). К примеру, калибровочно-инвариантная билинейная комбинация фермионных полей в соседних точках имеет вид q(x)U^(x)q(x + а/1), где ¡1 — единичный вектор в направлении Такая форма используется при построении решёточной ковариантной производной.

Для того чтобы сделать вышеупомянутую билинейную комбинацию калибровочно-инвариантной, калибровочное преобразование для полей и^(х) нужно задать в виде им(х) —> V(x)Uм(x)V^(х + а/1). Элемент решёточного калибровочного поля естественным образом ассоциируется с ребром, соединяющим точки х и х + а/1,

и

в непрерывной теории переходит в линию Вильсона Р ехр ^х^Л^(х)^ . Легко

видеть, что произведение калибровочных полей вдоль любого замкнутого решёточного контура и^. (х) калибровочно-инвариантно и является решёточным аналогом непрерывной петли Вильсона,

Наименьшими по размеру Вильеоновекими петлями на решётке являются так называемые плакеты, состоящие из четырёх рёбер, Плакет, включающий в себя по порядку точки х, х+а/, х+а/+а1, х+а 1 обозначается как р = (х; пи). Соответствующее произведение рёбер имеет вид

ир(х, пи) = и^(х)ии(х + а/)и^(х + а 1)и^(х). (1,19)

Так называемое Вильеоновекое действие представляет собой сумму по всевозможным плакетам

1

Тгир(

\ N

Здесь N — число цветов, размерность представления калибровочной группы. Воспользовавшись разложением им(х) = ехр (гаЛ^(х)) = 1 + гаЛ^(х) — ; а2Л2^(х) + О (а3), можно показать, что

Бш = — ^ £ а4Тг^(х)^(х) + О(а5), (1.21)

Бш = в £ £ (1 — ^ТгиР(х, V)) . (1.20)

т /(Ч1/ ^ '

таким образом, решёточное действие Вильсона переходит в непрерывное действие Янга-Миллса в пределе а ^ 0, В реальности, конечно, проводятся расчёты с конечным шагом решётки, что приводит к ошибкам дискретизации. Ошибки дискретизации можно уменьшить, вводя в действие дополнительные слагаемые, например, произведения калибровочных полей вдоль рёбер не плакета 1 х 1, а более сложных контуров.

1.3 Содержание диссертации

В Главе 2 обсуждается общая постановка измерения транспортных коэффициентов глюодинамики. Рассматривается сдвиговая вязкость кварк-глюонной плазмы в Би(2)-глюодинамике, Обсуждаются методы извлечения вязкости из корреляционных функций и представлены результаты расчётов при температуре Т = 1.2Тс, Далее

Би(З)

глюодинамике. Обсуждаются параметрические и непараметрические методы оценки параметров спектральной функции. Представлены результаты вычислений объёмной и сдвиговой вязкости в диапазоне температур в окрестности фазового перехода от 0.9Тс ДО 1.5Тс.

В Главе 3 проводятся аналитические расчёты в квантовой теории поля на гексагональной решётке в графене. Приводятся точные однопетлевые выражения для диэлектрической проницаемости и скорости Ферми, Проводится сравнение однопетлевых результатов с непертурбативными результатами решёточного моделирования. Численно изучается зависимость диэлектрической проницаемости в графене от расстояния между точечными источниками при различных температурах. Производится экстраполяция данных к Т = 0 и приводится сравнение с экспериментальными данными, однопетлевыми вычислениями в решёточной модели и расчётами в эффективных моделях,

В Заключении обсуждаются основные результаты диссертации, выносимые на

защиту,

В Приложении описываются непараметрические методы обращения интегрального уравнения Кубо: метод Бакуса-Гильберта и метод Тихонова,

1.4 Результаты, выносимые на защиту диссертации

• Проведено исследование спектральных функций в Би(2)-глюодинамике при температуре Т = 1.2 Тс, Изучено приложение параметрического метода обращения формулы Кубо и определение гидродинамических свойств спектральной функции, Получены точные решёточные выражения для ультрафиолетового поведения спектральной функции. Показано, что учёт точной формы ультрафиолетового поведения важен для определения сдвиговой вязкости. Обнаружено, что вязкость

Би(2) Би(З)

• Исследованы спектральные функции в Би(З)-глюодннамике, применены параметрические и непараметрические методы извлечения транспортных коэффициентов.

Измерена температурная зависимость сдвиговой и объёмной вязкостей в интеграле от 0.9 Тс до 1.5 Тс, Обнаружено согласие с экспериментальными данными и с некоторыми эффективными моделями [9, 10, 11, 12], а также сильное отклонение от пертурбативных расчётов,

•

графена. Проведены аналитические однопетлевые расчёты перенормировок скорости Ферми, диэлектрической проницаемости и массы квазичастиц. Расчёты проведены с учётом конечного размера решётки, конечной температуры и химического потенциала. Обнаружено согласие однопетлевых расчётов перенормировки диэлектрической проницаемости с предварительными результатами моделирования Монте-Карло, а также однопетлевых расчётов перенормировки скорости Ферми с экспериментальными данными [13],

•

тодами решёточного моделирования. Проведены расчёты диэлектрической проницаемости на различных расстояниях и температурах. Обнаружено, что в пределе Т = 0 диэлектрическая проницаемость равна е = 2.24 ± 0.02 при г = 0 и затем растёт, достигая плато в 4.20 ± 0.66, что находится в согласии с точными однопетлевыми расчётами на гексагональной решётке, а также с экспериментальными данными. Обнаружено несогласие результатов с двухпетлевыми расчётами, то есть возможное сокращение поправок в более высоких порядках теории возмущений [14],

По теме исследования, описанного в диссертации, опубликовано 7 статей в ведущих реферируемых научных журналах. Результаты, представленные в диссертации, многократно докладывались на международных конференциях и семинарах.

Результаты, представленные в диссертации, были доложены на международных конференциях и семинарах:

ГлВВ8) 2

Транспортные коэффициенты в решеточной глюодинамике

2.1 Введение

Считается, что в рамках гидродинамического приближения можно описать временную эволюцию кварк-глюонной плазмы, рождающейся в экспериментах по соударению тяжёлых ионов. Такого рода эксперименты проводятся на установках RHIC и LHC и в будущем планируются на установках FAIR и NICA, Для гидродинамического описания прежде всего требуется построить разложение тензора энергии-импульса по градиентам скорости. Два лидирующих члена этого разложения можно записать следующим образом:

где р — давление, е — плотность энергии. Ведущий порядок (первая скобка) описывает идеальную жидкость. Следующий порядок разложения по градиентам включает в себя диссипацию и параметризуется двумя коэффициентами: сдвиговой вязкостью п и объёмной вязкостью (. Сдвиговая вязкость отвечает за диссипацию, возникающую при наличии градиента скоростей, а объёмная вязкость — диссипацию при сжатии или расширении жидкости. Несмотря на свои успех и простоту, гидродинамика является эффективной теорией, учитывающей корректно низкоэнергетические степени свободы. Такие параметры, как транспортные коэффициенты, должны быть введены в теорию извне, то есть определены либо из эксперимента, либо теоретически,

2.1.1 Сдвиговая вязкость

В экспериментах по столкновению тяжёлых ионов измеряется несферичность потока рождённых частиц. Коэффициенты несферичности в рамках гидродинамиче-

T^ = [(е + p)u"uv + ] + [nV<Muv) + ZД^Vaua] , y« = , Д^ = - u^uv,

V^uv) = VMuv + Vvu^ - V«ua,

•a

3

(2.1) (2.2)

(2.3)

20

Q,

10

5

0,

о

2

Рт [GeV]

3

4

Рис, 2,1: Значение ^-несферичности в зависимости от поперечного импульса pT для гидродинамических моделей с различными отношениями n/s. Изображение было получено в 1151.

еких моделей можно связать с транспортными коэффициентами кварк-глюошюй плазмы и таким образом извлечь их. Последние данные по столкновению тяжёлых ионов с LHC |15| устанавливают ограничение на отношение сдвиговой вязкости к плотности энтропии n/s < 2.5 х 4П ~ 0.2, Таким образом, кварк-глюонная плазма обладает очень малой сдвиговой вязкостью. На Рис, 2,1 показано значение несферичности потока частиц в зависимости от pT в моделях с различными отношениями n/s. Видно, что гидродинамика действительно хорошо описывает результаты эксперимента.

n/s

AdS/CFT соответствия [16]: n/s > 1/4п Это ограничение насыщается в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса в режиме сильной связи, где n/s = 1/4п |17|. Таким образом, оказывается, что кварк-хлхооххххая плазма но своим свойствам близка к идеальной жидкости, поскольку не превосходит минимально возможное значение 2.5

n/s

сказанными дня кварк-глюошюй плазмы из AdS/CFT соответствия. Из Рис. 2.2 видно, что кварк-глюохшая плазма наиболее близка к идеальххой жидкости.

С другой стороны, ххертурбативххое вычисление сдвиговой вязкости даёт:

где с — фиксированная константа, близкая к 1.0 [18], а g — константа связи. При as ~ 0.15 пертурбативный расчёт даёт n/s ~ 2.0, что сильно расходится с экспери-меххтальххыми данными. Таким образом, моделирование сдвиговой вязкости из первых принципов хха решётке представляется первоочередной задачей, поскольку решёточная постановка позволяет ххеххертурбативххо учесть все многочастичные эффекты и преодолеть трудности ххертурбативххых расчётов.

s / leading-log g4 log 1 /g'

с

(2.4)

Рис, 2,2: Зависимость n/s от нормированной температуры для различных веществ.

2.1.2 Объёмная вязкость

В работе |19|, использующей точные правила сумм КХД, решёточные данные по е — 3р и простую модельную спектральную функцию, было показано, что объёмная вязкость резко возрастает при приближении к точке фазового перехода и достигает (/в ~ 1.0. Существование пика в окрестности Тс является одним из важнейших свойств объёмной вязкости КХД. О существовании пика объёмной вязкости кроме |19| говорит ряд феноменологических работ, включающих партоппые модели и модель Намбу-Иопа-Лазипио 120, 21, 22, 23, 24|, Этот факт примечателен, поскольку газ бесструктурных точечных частиц имеет пренебрежимо малую объёмную вязкость в перелятивистском и ультрарелятивистском пределах |25|, По этой причине объёмная вязкость часто пе учитывается в расчётах, а учитывается лишь сдвиговая вязкость. Более того, в лидирующем приближении результат пертурбативпых вычислений |26| даёт очень малое значение объёмной вязкости, С точностью до 10% в пределах 0.06 ^ а3 ^ 0.3 выполняется соотношение

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Астраханцев Никита Юрьевич, 2019 год

Литература

[1] D, Hanneke, S, Fogwell, and G, Gabrielse, New measurement of the electron magnetic moment and the fine structure constant, Phys. Rev. Lett., 100:120801, Mar 2008,

[2] D, Wenman, Cms physics technical design report: Addendum on high density qcd with heavy ions. Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics, 34(ll):2307-2455, 11 2007.

[3] Huichao Song, Qgp viscosity at rhic and the lhc - a 2012 status report. Nuclear Physics A, 904-905:114c - 121c, 2013. The Quark Matter 2012.

[4] Joseph I. Kapusta and Charles Gale. Finite-Temperature Field Theory: Principles and Applications. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, 2 edition, 2006.

[5] Howard D. Trottier. String breaking by dynamical fermions in three-dimensional lattice QCD. Phys. Rev., D60:034506, 1999.

[6] C. Morningstar, A. Bell, J. Bulava, E. Engelson, J. Foley, K. J. Juge, D. Lenkner, M. Peardon, S. Wallace, and C. H. Wong. The excited hadron spectrum in lattice QCD using a new method of estimating quark propagation. AIP Conf. Proc., 1257:779-783, 2010.

[7] Kimball A. Milton. NonAbelian finite element gauge theory. Nucl. Phy-s., B152:101 111. 1995.

[8] N. Yu. Astrakhantsev, V. V. Braguta, and A. Yu. Kotov, Study of shear viscosity of SU(2)-gluodvnamies within lattice simulation, JEEP, 09:082, 2015,

[9] N. Astrakhantsev, Viktor Braguta, and And rev Kotov, Temperature dependence of shear viscosity of SU(3)-gluodvnamies within lattice simulation. JEEP, 04:101, 2017.

[10] Victor Braguta, Nikita Astrakhantsev, and And rev Yurvevieh Kotov. Temperature

SU(3)

Web Conf., 164:07046, 2017.

[11] N. Astrakhantsev, V. Braguta, and A. Kotov. Temperature dependence of shear

SU(3)

2017.

[12] Astrakhantsev, N.Yu,, Braguta, V.V., and Kotov, A. Yu, Temperature dependence of bulk viscosity of su(3)- gluodvnamies within lattice simulation, EPJ Web Conf.., 182:02008, 2018.

[13] N. Yu. Astrakhantsev, V. V. Braguta, and M, I. Katsnelson. Many-body effects in graphene beyond the Dirac model with Coulomb interaction. Phys. Rev., B92(24):245105, 2015.

[14] N. Yu. Astrakhantsev, V. V. Braguta, M. I. Katsnelson, A. A. Nikolaev, and M. V. Ulybvshev, Quantum Monte Carlo study of electrostatic potential in graphene. Phys. Rev., B97(3):035102, 2018.

[15] Derek A. Teanev. Viscous Hydrodynamics and the Quark Gluon Plasma. In Rudolph C. Hwa and Xin-Nian Wang, editors, Quark-gluon plasma 4, pages 207-266. 2010.

[16] P. Kovtun, Dan T. Son, and Andrei O. Starinets. Viscosity in strongly interacting quantum field theories from black hole physics. Phys. Rev. Lett., 94:111601, 2005.

[17] G. Policastro, Dan T. Son, and Andrei O. Starinets. The Shear viscosity of strongly coupled N=4 supersymmetrie Yang-Mills plasma. Phys. Rev. Lett., 87:081601, 2001.

[18] Peter Broekwav Arnold, Guy D Moore, and Laurence G. Yaffe. Transport coefficients in high temperature gauge theories. 2. Beyond leading log. JEEP, 05:051, 2003.

[19] Dmitri Kharzeev and Kirill Tuchin. Bulk viscosity of QCD matter near the critical temperature. JEEP, 09:093, 2008.

[20] Kinkar Saha, Sabvasaehi Ghosh, Sudipa Upadhava, and Soumitra Maitv, Transport coefficients in a finite volume Polvakov-Nambu-Jona-Lasinio model. Phys. Rev., D97(ll):116020, 2018.

[21] Subhasis Samanta, Sabvasaehi Ghosh, and Bedangadas Mohantv, Finite size effect of hadronic matter on its transport coefficients. J. Phys., G45(7):075101, 2018.

[22] Pracheta Singha, Aman Abhishek, Guru Kadam, Sabvasaehi Ghosh, and Hiranmava Mishra. Calculations of Shear, Bulk viscosities and Electrical conductivity in Polvakov-Quark-Meson model. 2017.

[23] V. Ozvenehuk, O. Linnvk, M. I. Gorenstein, E. L. Bratkovskava, and W. Cassing. Shear and bulk viscosities of strongly interacting "infinite" parton-hadron matter within the parton-hadron-string dynamics transport approach. Phys. Rev., C87(6):064903, 2013.

[24] Eudv Marty, Elena Bratkovskava, Wolfgang Cassing, Jorg Aichelin, and Hamza Berrehrah. Transport coefficients from the Nambu-Jona-Lasinio model for SU(3)/. Phys. Rev., C88:045204, 2013.

[25] Steven Weinberg. Entropy generation and the survival of protogalaxies in an expanding universe. The Astrophysical Journal, 168:175, 1971.

[26] Peter Brockway Arnold, Caglar Dogan, and Guv D, Moore, The Bulk Viscosity of High-Temperature QCD, Phy.s. Rev., D74:085021, 2006.

[27] Alex Büchel. Bulk viscosity of gauge theory plasma at strong coupling. Phys. Lett., B663:286-289, 2008.

[28] Yingru Xu, Jonah E. Bernhard, Steifen A. Bass, Marlene Nahrgang, and Shanshan Cao. Data-driven analysis for the temperature and momentum dependence of the heavv-quark dilfusion coefficient in relativistie heavv-ion collisions. Phys. Rev. C, 97:014907, Jan 2018.

[29] Harvey B. Meyer. A Calculation of the bulk viscosity in SU(3) gluodynamies, Phys. Rev. Lett., 100:162001, 2008.

[30] Harvey B. Meyer. A Calculation of the shear viscosity in SU(3) gluodynamies. Phys. Rev., D76:101701, 2007.

[31] A. Nakamura and S. Sakai. Viscosities of hot gluon: A Lattice QCD study. Nucl. Phys., A77 1:77") 778. 2006.

[32] Ryogo Kubo. Statistical-mechanical theory of irreversible processes, i. general theory and simple applications to magnetic and conduction problems. Journal of the Physical Society of Japan, 12(6):570-586, 1957.

[33] Harvey B. Meyer. Cutoff Effects on Energy-Momentum Tensor Correlators in Lattice Gauge Theory. JEEP, 06:077, 2009.

[34] Harvey B. Meyer. Transport Properties of the Quark-Gluon Plasma: A Lattice QCD Perspective. Eur. Phys. J., A47:86, 2011.

[35] Harvey B. Meyer. Finite temperature sum rules in lattice gauge theory. Nucl. Phys., B795:230-242, 2008.

[36] J. Engels, F. Karsch, and K. Redlich. Scaling properties of the energy density in SU(2) lattice gauge theory. Nucl. Phys., B435:295-310, 1995.

[37] Harvey B. Meyer. Glueball regge trajectories. PhD thesis, Oxford U,, 2004.

[38] F. Karsch, J. Engels, and T. Scheideler. Direct determination of the gauge coupling derivatives for the energy density in lattice QCD. Nucl. Phys. Proc. Suppl, 63:427-429, 1998. [,427(1997)].

[39] M. Asakawa, T. Hatsuda, and Y. Nakahara. Maximum entropy analysis of the spectral functions in lattice QCD. Prog. Part. Nucl. Phys., 46:459-508, 2001.

[40] Pavel Kovtun and Andrei Starinets. Thermal spectral functions of strongly coupled N=4 supersymmetrie Yang-Mills theory. Phys. Rev. Lett., 96:131601, 2006.

[41] Harvey B. Meyer. Energy-momentum tensor correlators and viscosity. PoS, LATTICE2008:017, 2008.

[42] V, V, Braguta and A, Yu, Kotov, Calculation of the viscosity of su(2) gluodvnamies with the lattice simulation. JETP Letters, 98(3):127-129, Oct 2013.

[43] Steffen A. Bass, Jonah E. Bernhard, and J. Scott Moreland. Determination of Quark-Gluon-Plasma Parameters from a Global Bavesian Analysis. Nucl. Phys., A967:67-73, 2017.

[44] Gert Aarts and Jose Maria Martinez Eesco. Transport coefficients, spectral functions and the lattice. JEEP, 04:053, 2002.

[45] George Backus and Freeman Gilbert. The resolving power of gross earth data. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 16(2):169-205.

[46] Bastian B. Brandt, Anthony Francis, Harvey B. Meyer, and Daniel Robaina, Pion quasiparticle in the low-temperature phase of QCD. Phys. Rev., D92(9):094510, 2015.

[47] Bastian B. Brandt, Anthony Francis, Benjamin Jager, and Harvey B. Meyer. Charge transport and vector meson dissociation across the thermal phase transition in lattice QCD with two light quark flavors. Phys. Rev., D93(5):054510, 2016.

[48] Atsushi Nakamura and Sunao Sakai. Transport coefficients of gluon plasma. Phys. Rev. Lett., 94:072305, 2005.

[49] Simon W Mages, Szabolcs Borsanvi, Zoltan Fodor, Andreas Sehafer, and Kalman Szabo, Shear Viscosity from Lattice QCD. PoS, LATTICE2014:232, 2015.

[50] Nicolai Christiansen, Michael Haas, Jan M. Pawlowski, and Nils Strodthoff, Transport Coefficients in Yang-Mills Theory and QCD. Phys. Rev. Lett., 115(11):112002, 2015.

[51] Stefano Capitani, Martin Liiseher, Rainer Sommer, and Hartmut Wittig, Non-perturbative quark mass renormalization in quenched lattice QCD. Nucl. Phys., B544:669-698, 1999. [Erratum: Nucl. Phvs.B582,762(2000)].

[52] J. I. Kapusta and Charles Gale. Finite-temperature field theory: Principles and applications. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, 2011.

[53] Hamza Berrehrah, Elena Bratkovskava, Thorsten Steinert, and Wolfgang Cassing. A dynamical quasiparticle approach for the QGP bulk and transport properties. Int. J. Mod. Phys., E25(07):1642003, 2016.

[54] Huichao Song. QGP viscosity at RHIC and the LHC - a 2012 status report. Nucl. Phys., A904-905:114e-121e, 2013.

[55] Frithjof Karsch, Dmitri Kharzeev, and Kirill Tuchin. Universal properties of bulk viscosity near the QCD phase transition. Phys. Lett., B663:217-221, 2008.

[56] Paolo Benincasa, Alex Buchel, and Andrei O. Starinets. Sound waves in strongly coupled non-conformal gauge theory plasma. Nucl. Phys., B733:160-187, 2006.

[57] G, Boyd, J, Engels, F, Karseh, E, Laermann, C, Legeland, M, Lutgemeier, and B, Petersson, Thermodynamics of SU(3) lattice gauge theory, Nucl. Phys., B469:419-444, 1996.

[58] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov. Electric field effect in atomieally thin carbon films. Science, 306 (5696) :666-669, 2004.

[59] A K. N. Geim and K.S. Novoselov. The rise of graphene. 6:183-91, 04 2007.

[60] P. E. Wallace. The band theory of graphite. Phys. Rev., 71:622-634, May 1947.

[61] J. W. McClure. Diamagnetism of graphite. Phys. Rev., 104:666-671, Nov 1956.

[62] Gordon W. Semenoff, Condensed-matter simulation of a three-dimensional anomaly. Phys. Rev. Lett., 53:2449-2452, Dec 1984.

[63] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, and A. A. Firsov. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene. Nature, 438:197, 2005.

[64] Yuanbo Zhang, Yan-Wen Tan, Horst L Stormer, and Philip Kim. Experimental observation of the quantum hall effect and berry's phase in graphene. 438:201-4, 12 2005.

[65] M.I. Katsnelson and K.S. Novoselov. Graphene: New bridge between condensed matter physics and quantum electrodynamics. Solid State Communications, 143(1):3 - 13, 2007. Exploring graphene.

[66] C. W. J. Beenakker. Colloquium: Andreev reflection and klein tunneling in graphene. Rev. Mod. Phys., 80:1337-1354, Oct 2008.

[67] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. E. Peres, K. S. Novoselov, and A. K. Geim. The electronic properties of graphene. Rev. Mod. Phys., 81:109-162, Jan 2009.

[68] M.A.H. Vozmediano, M.I. Katsnelson, and F. Guinea. Gauge fields in graphene. Physics Reports, 496(4): 109 - 148, 2010.

[69] Valeri N. Kotov, Bruno Uchoa, Vitor M. Pereira, F. Guinea, and A. H. Castro Neto. Electron-electron interactions in graphene: Current status and perspectives. Rev. Mod. Phys., 84:1067-1125, Jul 2012.

[70] J. Gonzalez, F. Guinea, and M. A. H. Vozmediano. NonFermi liquid behavior of electrons in the half filled honeycomb lattice (A Eenormalization group approach). Nucl. Phys., B424:595-618, 1994.

[71] Daniel Cunha Elias, Eoman Gorbachev, Alexander Mavorov, S V. Morozov, Alexander Zhukov, P Blake, L A. Ponomarenko, Irina Grigorieva, K S. Novoselov, Francisco Guinea, and A K. Geim. Dirac cones reshaped by interaction effects in suspended graphene. 8, 04 2011.

[72] G, L, Yu, E, Jalil, Branson Belle, Alexander S, Mavorov, Peter Blake, Frederick Sehedin, Sergey V, Morozov, Leonid A, Ponomarenko, F, Chiappini, S, Wiedmann, Uli Zeitler, Mikhail I, Katsnelson, A, K, Geim, Kostva S, Novoselov, and Daniel C, Elias, Interaction phenomena in graphene seen through quantum capacitance. Proceedings of the National Academy of Sciences, 110(9):3282-3286, 2 2013. 102JW Times Cited:0 Cited References Count: 34.

[73] Nuno Peres. Graphene: New physics in two dimensions. 40, 05 2009.

[74] T. O. Wehling, E. §a§ioglu, C. Friedrich, A. I. Lichtenstein, M. I. Katsnelson, and S. Bliigel, Strength of effective coulomb interactions in graphene and graphite. Phys. Rev. Lett., 106:236805, Jun 2011.

[75] M. V. Ulybvshev, P. V. Buividovieh, M. I. Katsnelson, and M. I. Polikarpov, Monte carlo study of the semimetal-insulator phase transition in monolayer graphene with a realistic interelectron interaction potential. Phys. Rev. Lett., 111:056801, Jul 2013.

[76] P. V. Buividovieh and M. I. Polikarpov. Monte carlo study of the electron transport properties of monolayer graphene within the tight-binding model. Phys. Rev. B, 86:245117, Dec 2012.

[77] Dominik Smith and Lorenz von Smekal. Monte carlo simulation of the tight-binding model of graphene with partially screened coulomb interactions. Phys. Rev. B, 89:195429, May 2014.

[78] Johannes Hofmann, Edwin Barnes, and S. Das Sarma. Why does graphene behave as a weakly interacting system? Phys. Rev. Lett., 113:105502, Sep 2014.

[79] D. L. Bovda, V. V. Braguta, M. I. Katsnelson, and M. V. Ulybvshev. Many-body effects on graphene conductivity: Quantum Monte Carlo calculations. Phys. Rev., B94(8):085421, 2016.

[80] V. V. Braguta, S. N. Valgushev, A. A. Nikolaev, M. I. Polikarpov, and M. V. Ulybvshev. Interaction of static charges in graphene within Monte-Carlo simulation. Phys. Rev., B89(19):195401, 2014.

[81] I. Sodemann and M. M. Fogler. Interaction corrections to the polarization function of graphene. Phys. Rev. B, 86:115408, Sep 2012.