Применение непертурбативных методов к исследованию теоретико-полевых моделей сильных, электрослабых и гравитационных взаимодействий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Зубков, Михаил Александрович

• Зубков, Михаил Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Зубков, Михаил Александрович

Введение.

Часть 1. Топологические дефекты в моделях сильного взаимодействия

1. Центральная доминантность в глюодинамике. Центральные монополи.

2. Простая центральная проекция глюодинамики.

3. Абелево представление для неабелевой петли Вильсона.

Часть 2.Монополи Намбу и физика Электрослабых взаимодействий

4. Решеточная регуляризация калибровочного и Хиггсовского секторов Стандартной Модели.

5. Монополи Намбу при конечной температуре.

6. Флуктуационная область в модели Вайнберга - Салама.

Часть 3. Решеточные формулировки квантовой гравитации

7. Двумерная гравитация. Предел слабой связи и дискретизация.

8. Четырехмерная квантовая гравитация. Дискретизация Телепараллелизма и Пуанкаре - гравитации.

9. Многомерные динамические триангуляции.

Часть 4. Возможные пути построения моделей новой физики на масштабе ТэВ

10. Малое объединение на масштабе ТэВ и ZQ симметрия Стандартной Модели.

11. Продолжение ZQ симметрии Стандартной Модели на теории техни-цвета.

12. Калибровочная теория группы Лоренца как возможный источник динамического нарушения Электрослабой симметрии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение непертурбативных методов к исследованию теоретико-полевых моделей сильных, электрослабых и гравитационных взаимодействий»

Современная теоретическая физика фундаментальных взаимодействий, на наш взгляд, имеет четыре основных направления:

1. Теория сильных взаимодействий, основанная-на квантовой Хромоди-намике;

2. Теория Электрослабых взаимодействий;

3. Квантовая гравитация;

4. Теории новой физики, появление которой ожидается на масштабе ТэВ, доступном Большому Адронному Коллайдеру.

Первое из указанных направлений занимается изучением физики сильных взаимодействий. В настоящее время считается, что КХД прекрасно описывает данный класс явлений и не нуждается в доопределении. Однако, с вычислительной точки зрения КХД - исключительно сложная наука. Ведущую роль в ее динамике играют непертурбативные явления. Одним из методов их изучения являются решеточные симуляции. Среди наиболее важных задач упомянем объяснение механизмов невылетания и спонтанного нарушения киральной симметрии.

Второе направление связано с изучением явлений, в которых играют роль Электрослабые взаимодействия. Здесь теория возмущений в Модели Вайнберга - Салама,превосходно описывает реальность при энергиях, не превышающих существенно 100 ГэВ. Однако, проблема иерархий указывает на то, что при энергиях выше 1 ТэВ может появиться новая теория, причем модель Вайнберга - Салама должна быть ее низкоэнергитиче-ским приближением. Традиционно считается, что непертурбативный анализ при изучении Электрослабых взаимодействий не требуется. Однако, известно, что при температурах, приближающихся к температуре Электрослабого фазового перехода (кроссовера), теория возмущений работать перестает. Это вызывает необходимость использования непертурбативных методов при конечной температуре. При нулевых температурах необходимость использования непертурбативных методов связана с существованием объектов, не описывающихся теорией возмущений. Это, например, - так называемые Z струны и монополи Намбу, представляющие классические неустойчивые решения уравнений движения, Масса этих объектов оценивается в районе нескольких ТэВ. Поэтому при характерных энергиях процессов, много меньших ТэВ, их появление не может внести значительного вклада в наблюдаемые величины. Ситуация существенно изменяется при приближении характерной энергии процесса к 1 ТэВ. Здесь указанные объекты начинают играть существенную роль. Поэтому и оказывается необходимым применение непертурбативных методов.

Третье направление связано с построением теории квантовой гравитации. Построение такой теории представляется важным в связи с тем, что история Вселенной как целого является экспериментом, доносящим до нас информацию о ранних этапах ее развития, когда характерные энергии соответствовали шкале, на которой квантовая гравитация может появиться. Существует огромное количество различных моделей, претендующих на описание квантовой гравитации. Среди них упомянем теорию струн, некоммутативные теории, матричные модели, петлевую квантовую гравитацию. К сожалению, на сегодняшний день невозможно сделать выбор какой - либо одной из этих моделей. Поэтому автор настоящей диссертации при изучении данной темы ограничился минимальным выбором - квантовой теорией Римановой геометрии.

Четвертое направление связано с тем, что, как было указано выше, при энергиях порядка 1 ТэВ ожидается появление новой физики. Среди моделей этой новой физики упомянем суперсимметричные модели, модели Малого Хиггса, Модели Малого Объединения, Модели Техницвета.

Текст настоящей диссертации делится на четыре части, соответствующие каждому из указанных выше направлений. Каждая из частей состоит из трех глав, в которых автор описывает результаты своих исследований задач, относящихся к данному направлению. При этом в конце каждой главы указывается список печатных работ, в которых были опубликованы эти результаты. В конце каждой из частей размещается библиография, соответствующая данной части. Исследования, относящиеся к разным частям диссертации практически независимы друг от друга. В то же время главы каждой из частей логически связаны. Поэтому в начале каждой части мы помещаем аннотацию представленной в ней работы. В конце текста диссертации в разделе Заключение указывается полный список работ, в которых опубликованы результаты настоящей диссертации.

Поскольку далее в тексте будут широко использоваться обозначения и терминология решеточных калибровочных теорий, мы их здесь кратко напомним.

Как правило, рассматриваются гиперкубические решетки, состоящие из D - мерных гиперкубов, склеенных вместе. Обычно также предполагается реализация периодических граничных условий, что сводится к тому, что система склеенных гиперкубов реализует топологию D - мерного тора. Вершины гиперкубов называются точками или узлами решетки. Ребра, соединяющие соседние точки решетки, именуются линками решетки. Квадраты, составленные из четырех узлов и четырех линков, называются плакетами.

Дуальная решетка определяется следующим образом. Ее узлы находятся в центрах гиперкубов исходной решетки. Линками соединяются узлы, лежащие в центрах соседних гиперкубов исходной решетки и т.д.

Калибровочные поля, как правило, на решетке определяются переменными, прикрепленными к л инкам. Произведение их вдоль линков одного плакета дает плакетную переменную, реализующую на решетке напряженность калибровочного поля. Скалярное поле обычно определено в узлах решетки.

Удобным формализмом для работы с Абелевыми калибровочными полями является формализм дифференциальных форм на решетке. Дифференциальная форма ранга к на решетке - это функция фк определенная на /¿-мерном кубе с/,, решетки, e.g. скалярное (калибровочное) поле - это 0-форма (1-форма). Внешняя производная с? определяется следующим образом: ф){ск+1)= £ Ф(ск). (1) ск€дск+1

Здесь Ось - ориентированная граница /с-мсрного куба Таким образом, оператор d увеличивает ранг формы на единицу; dtp - это линковая переменная, сконстрованная через переменную <£>, определенную на узлах, а d/1 - это плакетная переменная, сконструируемая из линковой переменной А.

Скалярное произведение определяется следующим образом: если (р и ф с-формы, то ((/?, ф) = ЕСк ф{рк)Ф{ск), где Т,Ск - сумма по всем кубам с^. Каждой /г-форме на .О-мерной решетке соответствует (В — &)-форма *Ф(*Ск) на дуальной решетке, *Ск - это (¿) — &)-мерный куб на дуальной решетке. Ко-дифференциал 5 = *с1* удовлетворяет правилу интегрирования по частям: (ср, 5ф) = ((1 <р,ф). Заметим, что 5Ф(ск) - это (к — 1)-форма и ¿>Ф(со) = 0.

Норма определяется как ||а||2 = (а,а); тогда, например, + 2тг1\\2 предполагает суммирование по всем линкам. означает сумму по всем конфигурациям целых чисел I, прикрепленных к линкам с\.

Действие для калибровочных полей инвариантно относительно калибровочных преобразований А' = А + ¿а, <р' = 4-а благодаря свойству (I2 = <52 == 0. Решеточный лапласиан определяется как Д = сМ + ¿>с1.

Часть I

Топологические дефекты в моделях сильного взаимодействия

Одним из наиболее важных явлений физики сильных взаимодействий является невылетание цвета. Материал настоящей части диссертации относится к описанию конфайнмента с точки зрения различных Абелевых проекций теории. Мы изучаем КХД без динамических фермионов. В первой главе рассматриваются свойства центральных вихрей в Максимальной Центральной Проекции глюодинамики. Демонстрируется их связь с явлением невылетания, изучаются перколяционные свойства. Вводится новое понятие - центральный монополь. Показано, что в теории при конечной температуре Центральные монополи и центральные вихри сконденсированы в фазе конфайнмента. Во второй главе вводится понятие простой центральной проекции, являющейся альтернативным методом выделения центральных вихрей из полевых конфигураций неабелевых калибровочных теорий. Рассматриваются фрактальные свойства вихрей и центральных монополей в этой проекции. Демонстрируется связь этих объектов с конфайнментом. В третьей главе решается техническая задача об Абелевом представлении для неабелевой петли Вильсона, которое может быть полезно при исследовании различных абелевых проекций. Получено Абелево представление для неабелевой петли Вильсона на решетке, являющееся аналогом непрерывной формулы Дьяконова - Петрова. Разрешается вопрос о справедливости непрерывного представления, связанный с определением меры по калибровочным преобразованиям.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Зубков, Михаил Александрович

3.6 Выводы

Таким образом, нами выведено Абелево представление (3.41) для 5С/(ЛГ) петли Вильсона на решетке. Это представление содержит комплексно - значное линковое поле, являющееся функцией матричных элементов Зи(Ы) калибровочного поля. (3.41) обладает 11(1) калибровочной симметрией. Действительная часть отмеченного линкового поля может рассматриваться как соответствующее калибровочное поле. Мнимая часть зануляется в непрерывном пределе.

Неабелева теорема Стокса на решетке следует естественным образом из (3.41). Она может быть использована для вычисления магнитного потока заключенного внутри контура соответствующего петле Вильсона. Непрерывный предел выведенного выражения совпадает с исходным выражением, полученным Дьяконовым и Петровым, но с мерой интегрирования, отличающейся от общепринятой, и определенной в (3.61). Именно непонимание того, что мера интегрирования имеет такой вид и привела авторов [46] к неправильному выводу об ошибочности представления (3.2).

3.7 Публикации

Результаты настоящей главы опубликованы в работе:

Abelian representation of nonAbelian Wilson loop and nonAbelian Stokes theorem on the lattice", M.A. Zubkov, Phys.Rev.D68:054503,2003, [hep-lat/0212001]

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Зубков, Михаил Александрович, 2011 год

1. L.Del Debbio et al, Phys.Rev. D55 (1997) 2298.

2. L.Del Debbio et al, hep-lat/9802003.

3. A.S. Kronfeld, M.L. Laursen, G. Schierholz, U.J. Wiese, Phys.Lett. 198B (1987) 516.

4. M.G. Alford and F.Wilczek, Phys.Rev.Lett., 62 (1989) 1071; M.G. Alford, J. March-Russel and F.Wilczek, Nucl.Phys., B337 (1990) 695; J. Preskill and L.M. Krauss, Nucl.Phys., B341 (1990) 50.

5. L.Del Debbio et al, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 63 (1998) 552.

6. A.V. Pochinsky, M.I. Polikarpov and B.N. Yurchenko, Phys.Lett. A154 (1991) 194;

7. A.A. Abrikosov, Sov.Phys. JETP 32 (1957) 1442; H.B. Nielsen and P.Olesen, Nucl.Phys. B61 (1973) 45.

8. Y. Matsubara, S. Ejiri, T. Suzuki, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 34 (1994) 176

9. T. G. Kovacs, E.T. Tomboulis, hep-lat/9808046

10. A.S. Kronfeld, M.L. Laursen, G. Schierholz, U.J. Wiese Phys. Lett. B 1981987) 516

11. M.I. Polikarpov, U.J. Wiese, M.A. Zubkov, Phys. Lett. B 309 (1993) 133

12. G. Boyb, et. al. Nucl. Phys. B469 (1996) 419

13. J. Greensite, Talk at Confinement 2000, Osaka, Japan, March 7-10, 2000; hep-lat/0005001.

14. L. Del Debbio, M. Faber, J. Giedt, J. Greensite, and S. Olejnik, Phys. Rev. D 58 (1998) 094501.

15. V.G. Bornyakov, D.A. Komarov, M.I. Polikarpov, and A.I. Veselov, Talk at Confinement 2000, Osaka, Japan, March 7-10, 2000; hep-lat/0002017.

16. Ph. de Forcrand and M. D'Elia, Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 4582; C. Alexandrou, M. M. D'Elia, and Ph. de Forcrand, hep-lat/9907028.

17. M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik, and D. Yamada, hep-lat/9912002.

18. G.E. Volovik, Pisma Zh. Eksp. Teor. Phys. 70 (1999) 776; cond-mat/9911374.

19. M.C. Ogilvie, Nucl. Phys. Proc. Suppl., 73 (1999), 542: hep-lat/9809167

20. M.N.Chernodub, M.I. Polikarpov, and A.I.Veselov, Phys. Lett. B 399 (1997) 267; hep-lat/9610007.

21. G.S. Bali, V.G. Bornyakov, M. Müller-Preussker, and K. Schilling, Phys. Rev. D 54 (1996) 2863; hep-lat/9603012

22. M. Faber, J. Greensite, and S. Olejnik, HEP, 9901:008 (1999); hep-lat/9810008

23. T. G. Kovacs and E.T. Tomboulis, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 73 (1999) 566; hep-lat/9808046

24. A.S. Kronfeld, M.L. Laursen, G. Schierholz, and U.J. Wiese, Phys. Lett. B 198 (1987) 516

25. T.L. Ivanenko, A.V. Pochinsky, and M.I. Polikarpov, Phys. Lett. B 302 (1993) 458

26. J. Ambj0rn, J. Geidt, and J. Greensite, hep-lat/9907021

27. M. Faber, J. Greensite, and S. Olejnik, hep-lat/0005017

28. L. Streit, Functional Integrals for Quantum Theory, in H. Latal and W. Schweiger (Eds.), "Methods of Quantization", Lecture Notes in Physics LNP 572, Springer-Verlag, (Berlin, Heidelberg 2001)

29. M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, and V.I. Zakharov, Nucl. Phys. B 592 (2001) 107; hep-lat/0003138

30. V. Dzhunushaliev, D. Singleton, hep-th/9912194

31. F.Lenz, S.Woerlen, hep-th/0010099

32. M. Faber, J. Greensite, and S. Olejnik, in "Confinement, Topology, and other Non-Perturbative Aspects of QCD", NATO Advanced Research Workshop, Stara Lesna, Slovakia, 2002

33. F. V. Gubarev, A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn and V. I. Zakharov, Phys. Lett. B574, 136 (2003).

34. J. Ambjorn, J. Jurkiewicz, Y. Watabiki, Nucl.Phys. B454 (1995) 313-342

35. A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn, V. I. Zakharov, Phys.Rev. D71 (2005) 054511

36. M. Creutz, Quarks, gluons and lattices, Cambridge University Press, (Cambridge, 1985).

37. J.Fingberg, U.Heller, F.Karsch, hep-lat/9208012

38. B.B. Mandelbrot, "Fractals Form, Chance and Dimension" (Freeman, San Francisco, 1977)

39. D.A. Russel, J.D. Hanson, and E. Ott, Phys. Rev. Lett. 45, (1980), 1175 P. Grassberger and I. Procaccia Phys. Rev. Lett. 50 (1983), 346

40. M.I. Polikarpov Phys.Lett. B 236 (1990), 61;

41. T.L. Ivanenko, A.V. Pochinsky, and M.I.Polikarpov, Phys. Lett. B252 (1990), 631

42. V.G. Bornyakov, M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, T. Suzuki, A.I. Veselov, and V.I Zakharov, Anatomy of the lattice magnetic monopoles, hep-lat/0103032 and Phys. Lett. B.41. 't Hooft Nucl. Phys.B 190, 455 (1981).

43. M.I. Polikarpov Nucl. Phys. Proc. Suppl. 53, 134 (1997).

44. D. Diakonov, V. Petrov, Phys. Lett. В 224, 131 (1989).

45. D. Diakonov, V. Petrov hep-th/0008004.

46. K.-I. Kondo, Y. Taira,hep-th/9911242.

47. M.Faber, A. N. Ivanov, N. I. Troitskaya M. Zach, Phys. Rev. D 62, 025019 (2000).1. Часть II

48. Монополи Намбу и физика Электрослабых взаимодействий

49. Решеточная регуляризация калибровочного и Хиггсовского секторов Стандартной Модели

50. Решеточная формулировка Стандартной Модели без динамических фермионов

51. Решеточные калибровочные поля (определенные на линках решетки):

52. Г е 377(3), /7 е 577(2), ei0eU( 1). (4.1)

53. Скалярный дублет Фа, а = 1,2 (определенный на узлах решетки). Действие имеет вид:1. S = Sg + SH, (4.2)где мы обозначаем посредством Sg калибровочную часть действия, а действие для скалярного поля обозначено Sh• Мы выбираем £># в виде

54. SH = T, \ихуе~^Фу Фя|2 + £ К(|Ф,|), (4.3)ху Xгде V(r) потенциал, имеющий минимум при ненулевом значении г = \fyj2.

55. Аналог непрерывного преобразования (10.2) решеточное преобразование:1. U -> Ue~i7rN, в 0 + ttN,1. Г Ге^/3^, (4.4)где N произвольная целочисленная линковая переменная. Она представляет трехмерную гиперповерхность на дуальной решетке.

56. Для численных исследований модели с Zq симметрией мы выбираем следующее решеточное действие:

57. Наивно (4.5) имеет тот же непрерывный предел, что и следующее действие (при соответствующем выборе констант Щ):si = £ mi-\TvUp)plaquettesз2°(1 œség$( l-iReTrrp)}, (4.6)

58. Однако, (4.5) сохраняет симметрию (4.4) в то время, как (4.6) нет.

59. Гх = ei0»(x)a^ JJx — егЛм(а:)^ ei0Xifi eiBfi(x)a (4 g)

60. Здесь а длина ребра решетки. Следует отметить, что при таком опреде1. В ~лении поле В^ = где В^ общепринятое в литературе обозначение для 17(1) - поля. В непрерывном пределе (4.5) должно перейти в= I 2 х Е С?-.3 ¿92 г>з

61. X Е Щ + Лтг2 х £ Л» .}, (4.9)1. УЗ г>э

62. Здесь ^ = = - д^Вг) = 27^-, С^ = фА,- - с^-Ди = — с^С^ — 2С;, С7-. Мы также имеем соответствие между плакетными переменными и напряженностями поля:11. ТгГ1. Тг1 1. ТгСЛ1. Тг1--С>4.соб шхг/и/ = 11. С«4.4.10)

63. Теперь для установления соответствия между константами непрерывной теории <71,2,3 и ¡3 следует подставить выражения для напряженностей поля в (4.5) и сравнить с (4.9). Имеем:91т; х 2/3,1. Таким образом,1. ЫФмг = =ая =921. Л = "Г =72 033 ^ 5'14.11)11.1

64. Рис. 4.1: Фазовая диаграмма в плоскости (/3,7).

65. Модель без включения SU(3) полей 4.2.1 Определение модели

66. Потенциал для скалярного поля мы рассматриваем в Лондоновском пределе, то есть в пределе бесконечной затравочной массы Хиггса. Мы выбираем действие в виде

67. S = Р Е ((l-|Tri7pcos0p) + £(l-cos20p)) +plaquettes1. Е Фх\2 + У(|Ф|). (4.13)ху

68. S = Р Е ((1-!TWpcos6Ü + Í(1-COS20p) +plaquettes4.14)ж у

69. Здесь мы в качестве унитарной калибровки использовали Ф\ = const, Ф2 = О, а не общепринятый выбор Ф2 = const, Ф1 = 0. )

70. Мы также исследуем обычную SU(2) х U(l) модель с действием

71. S9 = Р Е ((1-%TtUp)+3(1-casOp)) +plaquettes4.15)хукоторое также приводит к 9w ~ тг/6.

72. Следующие переменные рассматриваются как рождающие квант U( 1) поля, Z бозон, и W - бозон:

73. Аху = = -ArgE^ + <9жу. mod 2тг,

74. Злу = = sin AïgU^l + 0ху. mod 2тг,1. Wxy = = иЦе~1е**. (4.16)

75. Здесь, представляет направление (ху). После фиксации унитарной калибровки остается U(l) симметрия:1. UXy ^ QxUxyQyi

76. Оху вху + ау/2-ах/2, (4.17)где дх — diag(e"*T/2, Поля A, Z, и W преобразуются следующимобразом:1. Аху АХу OLy OLx,1. ZXy ^ ZXy 31. WXy Wxye~ia(4.18)

77. Аем = A-Z' + 2sin20WZ', (4.19)25 20 3" 1.0 0 01т 0 6, Р - 2.3 о т-2.0, Р -1.4 ау- 2.0, Р - 2.31I11. JIII1

78. Рис. 4.2: V/, (а) в трех точках, принадлежащих трем разным фазам модели.8" Ю ■1. Т-'-г1. П 1 г ±1IIII1у -О 6, Р- 2.3 о у-2.0. Р-1.4 о у 2.0, Р - 2.3-а-—-*■------------<012345678

79. Рис. 4.3: Уд(а) в трех тот1ках, принадлежащих трем разным фазам модели.где = -АгфЦ + ^.гаос12тг.

80. Как и любая другая компактная калибровочная теория, наша модель содержит монополи.

81. Мы исследуем два вида монополей. /(1) монополи, извлеченные из 20 определяются как

82. Эгв = ^-*с1(^20.тод27г). (4.20)27Г

83. Кроме того, мы строим монополи из поля А. В следующей главе будет показано, что они могут рассматриваться как квантовые монополи Намбу.за = ^* (1(с1 А.то<\2тг).4.21)2.5

84. Рис. 4.4: Действие S = (S)/(6ßL4)

85. Плотность монополей определяется как:1. Elinks blink I4.22)4L4где Ь размер решетки. Для того, чтобы выявить динамику внешних заряженных частиц, мы рассматриваем Петли Вильсона в представлениях левополяризованных и правополяризованных лептонов:

86. Здесь I обозначает замкнутый контур на решетке. Мы рассматриваем следующие величины, построенные из прямоугольных петель Вильсона размераaxa:

87. Линейное поведение У(а) означало бы существование струны с ненулевым натяжением между соответствующими зарядами.42.2 Численные результаты

88. В наших исследованиях мы используем решетки ЬА для Ь = 6, Ь = 12, и Ь = 16 с симметричными граничными условиями. Ниже представлены результаты исследования модели с действием (4.13).

89. WL(0 = (ИеТгП {xy)eiUxye-ie*y), WR(Z) = (Ren^gj e~2i9xy).4.23)

90. VR,L(a) = -logW*'L(a x a)/a.4.24)05 0.4 0.3 Po.; о. о2.5

91. Рис. 4.5: Плотность электромагнитных монополей. Уменьшается в фазе Хиггса.

92. Рис. 4.6: Плотность U( 1) монополей. Она уменьшается, когда поведение правых внешних частиц не проявляет удерживающих сил.

93. Фазовая структура модели проявляется также в поведении среднего действия S = (S)/(6ßLA), представленного на рис. 4.4. Оно оказывается неоднородным в некоторой окрестности линии фазового перехода.

94. Следует отметить, что SU(2) модель Хиггса имеет сходную фазовую структуру за исключением отсутствия в ней линии фазового перехода, разделяющего фазы I и II. Известно, что в этой модели две фазы в действи

95. Различие между моделями с действием (4.15) и (4.13) иллюстрируется поведением плотности монополей, вычисленной в обеих моделях и представленной на рис. 4.7.20 1.5 г- 1.0 0.5

96. П.О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Р

97. Рис. 4.8: Фазовая диаграмма модели в плоскости (Р, 7).

98. Модель с включением ££/(3) переменных 4.3.1 Исследуемая модель и вычисляемые величины

99. Мы рассматриваем модель с действием для калибровочного поля (4.5). Потенциал для скалярного поля рассматривается в его простейшем виде в Лондоновском пределе. После фиксации унитарной калибровки имеем:4.25)ху

100. Так же как и для модели без цветных полей мы строим величины, соответствующие полям А, полю Z бозона и полю И^ - бозона:1. Аху = = -{-0ху. тос127г,

101. КУ = — —Ащи^.у + 0ху. тос12тг, №Ху = = (4.26)

102. Здесь ¡и представляет направление (ху).

103. Для того, чтобы извлекать необходимую информацию из 311(3) полей мы используем так называемую непрямую Максимальную Центральную1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 * 1 1

104. Phase 1 1 1 1 1 Phase III —1 1.1,1, * ! 1 1 1 1 1 .и Ж Phase II .1.1. 1 ,проекцию (см. главу 1).

105. Максимальная* Центральная проекция делает линковые матрицы Г возможно более близкими к элементам центра Z$ группы 5(7(3): ¿?3 = {diag(e^7ri^iV, е(2тге/з)лг где N е {1,0,-1}. Эта процедура работает следующим образом.

106. Прежде всего, максимизируем функционал

107. Qi= Е(|Гц| + |Г22| + |Гзз|) (4.27)linksпо отношению к калибровочным преобразованиям Тху —> glVxygy, фиксируя Максимальную4Абелеву проекцию.

108. Далее, делаем полученные линковые матрицы возможно более близкими к центру SU(3), делая фазы диагональных элементов максимально близкими друг к другу. Это достигается минимизацией (функционала

109. Qi = £ {1 cos(Arg(rn> - Arg(r22)). + [1 - cos(Arg(rn) - Arg(r33))]links1 cos(Arg(r22) - Arg(r33)).}. (4.28)'по отношению к калибровочным преобразованиям. Это калибровочное условие инвариантно относительно, центральной' подгруппы Z3 группы*517(3).

110. Arg(I?n) + Arg(r22) + Arg(r33))/3 6 . тг/З, тг/З],

111. Аг8(Гц) + Arg(Г22) + Аг6(Г33))/3 е .тг/3,тг], (Аг§(Гп) + Аг6(Г22) + Агё(Г33))/3 е ] тг, -тг/З]. (4.29)

112. Другими словами, N = 0 если Г близка к 1, /V = 1 если Г близка ,к е27гг/3 и N = — 1 если Г близка к е-27гг/3.

113. Рис. 4.9: У/Да) вычисленный при (3 — 0.7. Здесь потенциалы извлекаются из И^иагк5(левые кварки), (левые лептоны), и УУ^ (правые лептоны).1. ■2тг 3г2 wху "2тг . 3К