Исследование нелинейного деформирования элементов конструкций, взаимодействующих с грунтами сложной физической природы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Балафендиева, Ирина Сергеевна

• Балафендиева, Ирина Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Балафендиева, Ирина Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ В ГРУНТЕ С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

1.1. Постановка задачи

1.2. Соотношения теории пластического течения

1.3. Модифицированная инкрементальная теория Лагранжа

1.4. Конечно-элементная дискретизация

1.5. Тестовая задача об упругопластическом деформировании толстостенной трубы

1.6. Модельная задача о деформировании грунтовой насыпи под действием собственного веса и нагружения

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

2.1. Моделирование механического контакта

2.2. Контактный конечный элемент

2.3. Моделирование поэтапной выемки грунта из котлована с подпорными стенками

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

3.1. Задача по определению напряженно-деформированного и предельного состояний грунта в окрестности опоры проектируемого моста

3.2. Расчет осадки грунтового массива в зоне прокладки тоннелей метрополитена

3.3. Расчет напряженно-деформированного состояния футляра магистрального трубопровода высокого давления

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование нелинейного деформирования элементов конструкций, взаимодействующих с грунтами сложной физической природы»

ВВЕДЕНИЕ

В современных условиях повсеместно практикуется возведение строительных сооружений в грунтах, находящихся в сложных физико-геологических условиях. Поэтому создание методик расчета трехмерных объектов, взаимодействующих с грунтовыми сооружениями, является сейчас особенно актуальным.

Прогресс в развитии подземного строительства и фундаментостроения в значительной мере определяется достигнутыми к настоящему времени результатами в области математического моделирования различных процессов и физических явлений, в частности, процессов деформирования и разрушения элементов конструкций и сооружений. Существует определенный разрыв между потребностями практики и существующими СНиПами, регламентирующими деятельность проектировщиков и строительную практику, и возможностями уточненных расчетов элементов конструкций и сооружений, исходя из современных возможностей более точной постановки практических задач и их реализации на ЭВМ на основе использования численных методов.

Настоящая работа посвящена разработке и численной реализации методики решения задач по определению напряженно-деформированного состояния элементов конструкций подземных, промышленных и транспортных сооружений с учетом контактного взаимодействия с окружающим их физически нелинейно-деформируемым грунтовым массивом.

Основным направлением задач, стоящих перед механикой грунтов, является теоретический прогноз поведения грунтовых толщ под влиянием внешних и внутренних воздействий: разнообразных нагрузок от сооружений, изменения под действием природных факторов и деятельности человека условий равновесия, например, при размывах, колебаниях уровня грунтовых вод, разгрузке глубоких слоев грунта при копке строительных котлованов и др.

Задача исследования напряженно-деформированного состояния грун-

тов под действием внешних сил и собственного веса является главнейшей в механике грунтов, и ее решение для различных случаев загружения имеет непосредственное приложение в практике строительства. Для практики строительства важно знать, как распределяются напряжения в грунте при загрузке части его поверхности, при каких условиях наступает предельное напряженное состояние, после чего возникают недопустимые деформации и нарушения сплошности грунтового массива и т.п. Важную роль играет математическое моделирование, позволяющее прогнозировать и оптимизировать технологические воздействия, интерпретировать и обрабатывать опытные данные.

Моделирование грунтового массива обычно основано на его представлении как сплошной среды, обладающей особенными физико-механическими свойствами. Структурно выделяются три группы грунтов - пески, глины и скальные породы.

Одной из распространенных в инженерной практике является модель упругого деформирования грунта, в которой грунт рассматривается как сплошное, изотропное, линейно-деформируемое тело. Благодаря своей простоте и возможности использования хорошо разработанного математического аппарата сопротивления материалов и теории упругости, упругая модель широко использовалась для описания напряженно-деформированного состояния различных грунтов.

Модель упругого грунтового основания, берущая начало с работы Винклера о связи между давлением и осадкой, в дальнейшем была развита в работах многих исследований. В работе Терцаги К. [171] были заложены основы оценки деформации грунтов и осадки фундаментов, а разные подходы к расчету балок и плит, лежащих на винклеровском основании получили значительное развитие в трудах Абелева М.Ю. [1], Абелева Ю.М. [2], Власова В.З. и Леонтьева H.H. [29], Вялова С.С. [31, 32], Герсеванова Н.М. [37], Гольдштейна М.Н. [44], Далматова Б.И. [52], Денисова Н.Я. [53], Егорова К.Е. [55], Жемочкина Б.Н. и Синицина А.П. [56], Иванова H.H. [61], Крылова

4

А.Н. [69], Маслова H.H. [77, 78], Пузыревского Н.П. [98], Соловьева Е.Г. и Немова В.Г. [104], Терегулова И.Г. [110], Флорина В.А. [113, 114], Цытовича H.A. [116] и др.

Герсеванов Н.М. [37] предложил рассматривать три основные фазы напряженного состояния грунтов под фундаментами: фазу уплотнения, фазу сдвигов (пластического течения) и фазу выпирания. Далее для краевой нагрузки он получил значение, соответствующее началу возникновения фазы сдвигов в грунтах, практически равное допускаемому давлению на грунт и показал, что применение теории упругости к глинам и дисперсным пескам настолько же правоспособно, как и применение ее к стали. Флорин В.А. [113, 114] установил соотношение размеров областей пластических зон в грунте с размерами сооружения, определяющее условия применимости решений теории упругости к расчету оснований.

Для учета влияния на прочность всех трех главных напряжений рядом авторов были предложены предельные условия, содержащие первый и второй обобщенные инварианты. При этом функцию напряженности была выбрана в виде многочлена второй степени. Чтобы определить три параметра этого уравнения, было необходимо провести, по меньшей мере, три опыта при различных напряженных состояниях.

Исследования по теоретическим вопросам и методам расчета конструкций при различных условиях текучести отражены в ряде монографий и обзоров: Безухова Н.И. [18, 19], Гениева Г.А., Киссюка В.Н. и Тюпина Г.А. [36], Ильюшина A.A. [62], Каменярж ЯЛ. [63], Качанова JIM. [66], Прагер В. и Ходж Ф. [96], Проценко A.M. [97], Терегулова И.Г., Каюмова P.A. и Сибга-туллина Э.С. [109], Чирас A.A. [117] и др.

Первые работы по теории пластичности связаны с именами Сен-Венана, рассмотревшего уравнения плоской деформации, и Леви, составившего уравнения для трехмерного случая и приведшего уравнения плоской задачи к линейной форме.

Интенсивное развитие теории пластичности начинается с работ Генки, Мизеса и Прандтля, где были получены основные уравнения различных вариантов теории пластичности и решения задачи плоской деформации. Далее теория пластичности развивалась в работах видных зарубежных ученых Друккера Д. [54], Прагера В. [96], Ходжа Ф. [115], и др. Широко известны работы по теории пластичности отечественных ученых Ильюшина A.A. [62], Качанова JIM. [66] и др.

Нестационарное взаимодействие конструкции с грунтовой средой значительно усложняет задачу. Это объясняется прежде всего большим разнообразием свойств реальных грунтов и соответственно многообразием и сложностью математических моделей. Если горные породы (базальты, граниты, известняки и т.д.) характеризуются высокой прочностью связями между отдельными кристаллами и зернами среды, что обеспечивает их упругое поведение при нагрузках в тысячи и десятки тысяч атмосфер, то мягкие грунтовые среды (глины, суглинки, пески и др.) отличаются слабыми связями между частицами грунта, которые разрушаются при избыточных нагрузках порядка атмосферы [30, 49, 73]. В нормальном состоянии частицы грунта образуют скелет с множеством пор, которые заполнены газом (воздухом) или жидкостью. При нагружении происходит разрушение скелета и переукладка частиц, объем пор уменьшается, При снятии нагрузки прежняя структура не востанавливается. Поэтому одним из характерных свойств мягких грунтовых сред является пластическое поведение как сдвиговых, так и объемных деформаций.

Для решения нелинейных задач используются, как правило, численные методы, к которым относится МКЭ. В настоящее время МКЭ [35, 76, 79, 103, 108] является самым популярным способом решения практических задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). С его помощью проводят расчеты по определению НДС и несущей способности реальных конструкций самых различных отраслей техники и строительства. При этом эффективно решаются задачи как общей, так и локальной прочности. Развитие метода ко-

нечных элементов на динамические и нелинейные проблемы предоставляют возможность достоверно моделировать такие сложные процессы, как разрушение, удар, потеря устойчивости, штамповка, вытяжка и т.д. Практически все задачи МДТТ получили постановку и алгоритмы решения в рамках ко-нечноэлементных методик.

МКЭ основан на замене исследуемого объекта совокупностью конечного числа дискретных элементов, связанных между собою в узлах. Непосредственный переход к расчётной схеме из соображений механики даёт возможность естественно формулировать граничные условия, произвольно располагать узлы сетки, сгущая её в местах ожидаемого большого градиента искомых величин, применять метод для исследования областей, состоящих из фрагментов различной физической природы и т.д.

Развитие метода отражено в работах зарубежных исследователей Ар-гириса Дж. [5], Вилсона Э., Айронса М. Р., Клафа Р. У., Зенкевича О. К., Одена Дж. и др. Значительный вклад в теорию метода конечных элементов содержится в отечественных работах Постнова В. А., Хархурима И. Я., Сахарова А. С., Розина Л. А., Образцова И. Ф. и др.

Литература, посвящённая теории и реализации метода конечных элементов, весьма обширна. Среди целого ряда монографий следует отметить работы [17, 35, 75, 85, 86, 87, 95, 100, 102, 105]. История метода, его современное состояние и его сравнение с другими широко используемыми численными методами отражено в обзорах [27, 88].

Существует множество публикаций, в которых обсуждаются теоретические и практические аспекты применения МКЭ. Среди них можно отметить работы [10, 41, 64, 87, 100, 117, 120, 123-125,175, 176].

Традиционно в механике деформируемого твердого тела для решения геометрически нелинейных задач получило распространение лагранжево описание среды, при этом хорошо формулируется краевая задача в дифференциальной или вариационной формах, для решения которой возможно использование различных численных методов. В рамках современных числен-

ных методов получили развитие шаговые методы, в соответствии с которыми процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний, и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки, изменением граничных условий или расчетной области и т.д.

Эти методы условно можно разделить на три подгруппы: первая -предполагает использование принципа виртуальных перемещений, в котором все величины отнесены к исходному недеформированному состоянию (глобальная лагранжева постановка); вторая - основана на том же вариационном уравнении, но в качестве базовой используется текущая метрика (модернизированная лагранжева постановка) [10, 50, 51, 59, 68, 126, 128, 131, 169]; третья - представляет собой комбинированную лагранжево-эйлерову постановку, согласно которой отслеживается поведение материальной точки (элементарного объема) в соответствии с лагранжевым методом описания среды, но в текущем состоянии ставится задача о течении среды в соответствии с эйлеровым подходом [42, 136, 149, 168]. Традиционно в механике деформируемого твердого тела для решения геометрически нелинейных задач получило распространение лагранжево описание среды, согласно которому состояние элементарного объема описывается в компонентах вектора перемещений из недеформированного состояния в деформированное и второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, также отнесенного к недеформированному объему. В этом случае хорошо формулируется краевая задача в дифференциальной или вариационной форме, для решения которой возможно использование различных численных методов. Однако подобный подход имеет существенный недостаток в задачах с конечными деформациями. Он связан со сложностью построения определяющих соотношений между используемыми тензорами напряжений и деформаций, который особенно сильно проявляется при постулировании определяющих соотношений в дифференциальной (скоростной) форме. Тогда, если течение среды описывать в эйлеровой постановке, то эти трудности можно обойти.

При решении задач с учетом пластических деформаций применяются методы линеаризации, которые делятся на две группы. К первой группе относятся метод переменной жесткости (или метод касательной жесткости) [139, 143, 146, 174], метод переменных параметров упругости [24], процедура решения которых аналогична методу Ньютона. К недостаткам этих методов относится то, что на каждой итерации приходится переопределять компоненты матрицы системы уравнений, что приводит к значительным затратам времени решения.

Во вторую группу входят методы, основанные на идее метода Ньюто-на-Рафсона решения нелинейных алгебраических задач, таких как метод упругих решений A.A. Ильюшина [25, 26, 62, 67, 118], метод начальных напряжений [138, 174], метод начальных деформаций [5, 22, 23, 24]. В этом случае т коэффициенты матрицы системы алгебраических уравнений на итерациях не изменяется, что является основным преимуществом методов второй группы. Данное обстоятельство позволяет существенно сократить время решения системы линейных алгебраических уравнений.

При решении нелинейных задач с учетом особых точек разработаны алгоритмы, предусматривающие регуляризацию уравнений и получение многозначных решений. Базовым является алгоритм на основе методов продолжения по параметру. Метод продолжения решения по параметру был сформулирован М. Лаэем (М. Lahaye) и Д. Давиденко как метод построения множества решений нелинейных уравнений, содержащих параметр. Простейший пример таких множеств - кривая в многомерном пространстве, координатами которого являются неизвестные и параметр. В основе метода лежит идея движения вдоль множества решений с использованием на каждом шаге информации о решении, полученном на предыдущих шагах. Уже Д. Давиденко отметил, что в качестве параметра продолжения решения можно использовать не только параметр задачи, но и любую из неизвестных. В [48, 137] было показано, что наилучшие вычислительные свойства обеспечиваются, если в качестве параметра продолжения используется длина вдоль кривой множест-

ва решений. На этой основе сформулирован метод продолжения по наилучшему параметру или наилучшая параметризация [48, 137]. В книге [117] показано, что метод продолжения по наилучшему параметру применим в любой математической задаче, решением которой является кривая или другое однопараметрическое множество. В [117] рассмотрены задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, интерполяция и аппроксимация кривых и др. Численная реализация метода, осуществляемая в виде шагового процесса по параметру нагрузки и получившая название метода последовательных нагружений В.В. Власова, нашла применение в работах [82, 92]. Являясь, по существу, аналогом метода Эйлера, этот метод характерен тем, что в нем не предусмотрена компенсация погрешности вычислений, вызванной линеаризацией нелинейных уравнений на каждом шаге. Поэтому достижение требуемой точности может быть получено путем уменьшения величины приращения нагрузки.

В работах [21, 72, 89, 152, 163] приводятся вариационные принципы, с помощью которых получают постановку задачи для нелинейных задач. Различные формулировки для инкрементальной теории пластичности приведены в работах [126, 147]. В [91, 155, 156] рассматриваются вариационные формулировки задачи упругопластичности в скоростях, вариационное уравнение, сформулированное как в элеровой, так и в лагранжевой формулировках, основано на введение потенциального представления скоростей напряжений. В работах содержится также двойственная формулировка, являющейся аналогом принципа Рейснера в линейной теории упругости. С использованием предположения о существовании потенциала для яуманновской производной тензора напряжений Коши-Эйлера в работах [120, 121, 122] формулируется вариационные уравнения в скоростях для геометрически нелинейных упругопластических проблем и дополнительной энергии в теории упругости. Некоторые примеры решения геометрически нелинейных упругопластических задач с использованием вариационного подхода содержаться в работах [127, 133, 146, 156].

Следующие работы посвящены реализации МКЭ в физически и геометрически нелинейных задачах. В статьях [144, 145, 149] рассматривается вопрос физически нелинейных задач с учетом конечных деформаций в рамках инкрементального подхода. В [130, 149] используется эйлерова формулировка, в [135, 129, 142, 144, 146] - лагранжева. В работе[10] изложены основы моментной схемы метода конечных элементов, описаны алгоритмы решения задач прочности, динамики и устойчивости пластин, дисков, массивных осесимметричных и пространственных тел. При исследовании устойчивости и закритического поведения используется метод продолжения решения по параметру. Также в статье моделируется процесс деформирования тел с трещинами, железобетонных конструкций на упругопластическом основании, гибких конструкций из композитных эластомеров, приводится исследование НДС комбинированного большепролетного покрытия спортивно-зрелищного сооружения.

Работы [123, 148, 149] посвящены исследованиям конечных упругопла-стических деформациях в лагранжевой и эйлеровой формулировках. Обсуждаются недостатки и преимущества той или иной формулировок, показано, что при определенных физических соотношениях оба подхода приводят к одинаковому результату.

Вопросы точности и некоторые вычислительные аспекты МКЭ обсуждаются на примерах в статьях [143, 146, 149, 154, 167, 169, 172]. Исследованию напряженно-деформированного состояния различных конструкций с учетом геометрической нелинейности посвящены работы [39, 40, 45, 132, 138, 162, 169, 173].

В [151] исследуется большие деформации вязкоупругих и вязкоупруго-пластических геоматериалов. Используется модель Максвелла. В [119] рассматриваются задачи о больших деформациях гиперупругих-вязкопластических твердых тел в модернизированной лагранжевой постановке.

При моделировании упругопластических деформаций чаще всего ис-

пользуется теория течения. В [141, 149, 157] применяется метод проецирования на поверхность текучести при конечных деформациях. Также существует два подхода разделения полной деформации на упругую и пластическую составляющие. В работах [70, 93, 134, 143, 149] используется аддитивное предоставление, в [71, 119, 136, 150] —мультипликативное.

В настоящее время существует много расчетных комплексов и программ, основанных на МКЭ. Наиболее известными и универсальными из них являются расчетные комплексы АВАС^Ш, АЫБУЗ, Ь8-ОУЫА, Каэй-ап и др. Также имеется множество программ, предназначенных для решения специальных задач или проблем узкой направленности. Они позволяют вести расчеты сложных сооружений на воздействие различных нагрузок, в том числе решать задачи по определению напряженно-деформированного состояния систем с учетом взаимодействия грунта и конструкции.

Однако они имеют и недостатки. В частности, в расчетных комплексах при учете взаимодействия грунта и конструкции используются только те модели, которые заложены изначально, но не учитывается изменение прочности и пористости грунта в процессе деформирования. К тому же в существующих расчетных комплексах отсутствует возможность учета всех определяющих физических параметров одновременно.

При моделировании взаимодействия элементов конструкций с грунтами в ряде случаев для адекватной оценки характера деформирования используются различные методики контактного взаимодействия элементов конструкций между собой и с грунтом. Не учет контакта может привести к принципиально иному результату, в какой-то степени даже противоречащему здравому смыслу.

Теория контактного взаимодействия включает в себя различные классы задач. Среди них выделяют статические и квазистатические, где не учитываются эффекты инерции, а также контактные задачи динамики, где рассматриваются различные режимы движения взаимодействующих тел, пульсирующее, ударное нагружение и т. п. В свою очередь эти задачи подразделяются

на так называемые нормальные задачи без трения, где рассматриваются идеальные односторонние связи между телами, и задачи с трением. Для ряда случаев процесс трения аппроксимируется полным сцеплением.

Исторически первыми, основополагающими работами в теории контактных задач явились исследования Герца, где впервые было получено распределение местных напряжений в районе контакта упругих тел. И хотя постановка задачи предусматривала ряд серьезных допущений, таких, как малость пятна контакта, отсутствие трения, однородность, изотропность и идеальная упругость материала, результаты исследований до сих пор не потеряли своей теоретической и практической ценности.

Значительный вклад в развитие аналитических методов решения контактных задач внесли фундаментальные труды отечественных ученых — Н.И. Мусхелишвили, И.Н. Векуа, Н.П. Векуа, С.Г. Михлина, Л.А. Галина, И.Я. Штаермана, Д.И. Шермана, B.J1. Рвачева, а также работы зарубежных математиков и механиков К. Каттанео, Н. Губера, Р.Д. Миндлина, А. Синьо-рини. Разработанные ими методы теории функций комплексной переменной и теории сингулярных интегральных уравнений оказались достаточно эффективными для решения смешанных задач упругости. Однако круг рассмотренных примеров при этом ограничивался в основном классическими смешанными задачами о внедрении жесткого индентора (штампа) в бесконечную или полубесконечную область, цилиндрическом изгибе пластин и стержней, осесимметричном контакте пластин.

Следует также отметить основополагающие работы В.М. Абрамова, Л.А. Галина, А.Ю. Ишлинского, H.A. Кильчевского, М.Я. Леонова, А.И. Лурье, В.И. Моссаковского, Г.Н. Савина, Д.И. Шермана и пр.

С середины XX века развитие механики контактных взаимодействий шло стремительными темпами. В 1976 году вышла коллективная обзорная книга «Развитие контактных задач в СССР» под редакцией Л.А. Галина [34]. Она включает в себя работы множества соавторов, каждый из которых уже к тому времени был широко известен, а многие из них являлись основателями

научных школ. В этой монографии собраны сведения и решения более чем из 1000 источников. В ней указаны такие направления развития теории контактных взаимодействий как статические и динамические, плоские и пространственные, температурные контактные задачи, рассматриваются как упругие материалы, так и вязкоупругие.

В дальнейшем, механика контактных взаимодействий развивается высокими темпами, выходит ряд монографий, следующих авторов: В.М. Александров [4], Н.Х. Арутюнян [3, 7], Ю.П. Артюхин [6], В.А. Бабешко [8], И.И. Ворович, JI.A. Галин, А.Г. Горшков [46], И.Г. Горячева [47], В.Т. Гринченко, М.Н. Добычин, К. Джонсон, H.A. Кильчевский, Е.В. Коваленко, A.B. Ман-жиров, Е.М. Морозов [80], В.И. Моссаковский [81], С.М. Мхитарян, В.Э. Наумов, В.З. Партон, П.И. Перлин, Г.Я. Попов [94], В.Б. Поручиков, B.C. Проценко, B.JI. Рвачев [99], Б.Л. Ромалис, B.C. Саркисян [101], В.М. Сеймов, Б.Н. Сметанин, Б.В. Соболь, Д.В. Тарлаковский, А.Ф. Улитко и многие другие.

Таким образом, исходя из анализа научных публикаций в данном направлении, перед автором были поставлены следующие задачи:

- на основе определяющих соотношений между истинными напряжениями и истинными деформациями реализовать конечно-элементную методику решения трехмерных задач механики грунтов;

- на ряде линейных и нелинейных задач исследовать точность методики, провести анализ эффективности в сравнении с другими численными схемами, применяемыми в практике;

- решить новые задачи нелинейного взаимодействия трехмерных конструкций с грунтовыми средами с учетом контактного взаимодействия.

Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 177 наименований.

Первая глава посвящена моделированию упругопластических деформаций в грунте с учетом геометрической нелинейности. Введены основные

соотношения теории упругости и теории пластического течения, а также рассмотрен алгоритм процесса продолжения рещения так называемая «модифицированная инкрементальная теория Лагранжа». Введены зависимости между истинными деформациями и истинными напряжениями по В.В. Новожилову [84]. Используется условие пластичности Губера-Мизеса. Для грунтов условием прочности служит условие Мизеса-Боткина [83]. Связь между компонентами приращений истинных напряжений и истинных деформаций представлена уравнением типа Прандтля-Рейса. Реализована методика, идеально приспособленная для решения упругопластических задач по теории течения и называемая «модифицированным инкрементальным подходом Лагранжа», в которой процесс деформирования представляется в виде последовательности равновесных состояний при соответствующих уровнях нагруже-ния. Решена тестовая задача об упругопластическом деформировании толстостенного цилиндрического образца. А также решена модельная задача деформирования грунтовой насыпи под действием собственного веса и на-гружения.

Во второй главе рассматривается построение алгоритма контактного взаимодействия, основанного на введении между частями конструкций специального контактного слоя. Рассмотрены различные варианты деформирования контактного слоя, для большей наглядности представленного двумя накладками, в зависимости от усилий воздействия подконструкций друг на друга. Получено общее разрешающее уравнение, на базе которого решена сформулированная физически нелинейная задача. Для решения задачи используется методика решения задач в приращениях, когда на шаге итерации неизвестными являются не полные поля перемещений, а их приращения. Для реализации математической модели взаимодействия накладок в рамках МКЭ определить так называемый контактный элемент. Геометрически он представляет собой линейный элемент с 8-ю узлами. Решена модельная задачи о моделировании поэтапной выемки грунта из котлована с подпорными стенками.

В третьей главе приводятся решение новых задач: задача по определению напряженно-деформированного и предельного состояний грунта в окрестности опоры проектируемого моста, расчет осадки грунтового массива в зоне прокладки тоннелей метрополитена, расчет напряженно-деформированного состояния футляра магистрального трубопровода высокого давления.

На защиту выносятся:

- методика решения двумерных и трехмерных нелинейных задач механики грунтов с сухим трением;

- методика решения двумерных и трехмерных задач взаимодействия деформируемых конструкций и сплошных сред с учетом их контакта;

- результаты решения задач взаимодействия элементов подземных транспортных сооружений с окружающим их физически нелинейным грунтом.

Основные результаты диссертации опубликованы в [11-16, 20]. Работы [11-16, 20] выполнены совместно с научным руководителем доц. Бережным Д.В., [20] - с доц. Саченковым A.A., [12, 16] - с асп. Карамовым A.B.. Бережному Д.В. принадлежит постановка задачи, постановка методики расчета, обсуждение алгоритмов и результатов расчетов. Соискателем разработана методика расчета, ее реализация, получены численные результаты, проведен их анализ, апробация.

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета во время очного обучения в аспирантуре. Отдельные результаты докладывались и обсуждались на:

- на итоговых конференциях Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, 2009-2012 г.г.);

- на Международных молодежных научных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2009-2012 г.г.);

- на Второй международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (Казань, 2009 г.);

- на Межвузовских конференциях «Математическое моделирование и крае-

вые задачи» (Самара, 2009-2010 г.г.);

- на Международных конференциях «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2009-2011 г.г.);

- на Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Москва, 2009-2012 г.г.);

- на Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2009-2012 г.г.);

- на Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук», (Зеленодольск, 2011-2012 г.г.);

- на Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2012 г.).

Полностью работа была доложена на расширенном семинаре кафедры теоретической механики и лаборатории механики оболочек К(П)ФУ (Казань, 2012 г.) и на расширенном семинаре кафедры сопротивления материалов и основ теории упругости КГ АСУ (Казань, 2013 г.).

Автор работы выражает благодарность за постоянное внимание, поддержку и неоценимую помощь научному руководителю доц. Бережному Д.В., коллективам кафедры теоретической механики и лаборатории механики оболочек К(П)ФУ.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Балафендиева, Ирина Сергеевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена разработке и численной реализации методики решения задач по определению напряженно-деформированного состояния элементов конструкций подземных, промышленных и транспортных сооружений с учетом контактного взаимодействия с окружающим их физически нелинейно-деформируемым грунтовым массивом.

Дана постановка задачи упругопластического деформирования грунтовых массивов на основе определяющих соотношений между приращениями истинных напряжений и истинных деформаций. На их основе построена конечно-элементная методика решения трехмерных задач механики грунтов. Рассмотрен критерий пластичности Мизеса-Боткина.

Рассмотрены различные варианты деформирования контактного слоя. Получено общее разрешающее уравнение, на базе которого решена сформулированная физически нелинейная задача, для решения которой использовалась методика решения задач в приращениях, когда на шаге итерации неизвестными являются приращения перемещений.

Реализована математическая модель взаимодействия накладок в рамках МКЭ при помощи так называемого контактного элемента.

Разработан и апробирован проблемно ориентированный комплекс программ на алгоритмическом языке Фортран-90, реализующий предложенную методику определения напряженно-деформированного и предельного состояний грунтов на основе метода конечных элементов.

На ряде линейных и нелинейных задач исследована точность методики, проведен анализ эффективности в сравнении с другими численными схемами, применяемыми в практике.

Решена задача по определению напряженно-деформированного и предельного состояний грунта в окрестности опоры проектируемого моста

Проведен расчет осадки грунтового массива в зоне прокладки тоннелей метрополитена.

Проведен расчет напряженно-деформированного состояния футляра магистрального трубопровода высокого давления.

Представленная в настоящей работе методика расчета позволяет эффективно решать трехмерные задачи пластического деформирования грунтовых массивов, взаимодействующих с расположенными в них конструкциями, в условиях сложного силового нагружения. Разработанная методика и созданное программное обеспечение позволяют рассчитывать широкий класс задач взаимодействия фундаментов и строительных сооружений из стали и бетона с деформируемым грунтовым основанием в физически нелинейной постановке.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Балафендиева, Ирина Сергеевна, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абелев, М.Ю. Строительство промышленных и гражданских сооружений на слабых водонасыщенных грунтах / М.Ю. Абелев. - М.: Стройиздат, 1983.-247 с.

2. Абелев, Ю.М. Возведение зданий и сооружений на насыпных грунтах / Ю.М. Абелев, В.И. Крутов. -М.: Госстройиздат, 1962. - 148 с.

3. Абрамян, Б.Л. О симметричном давлении кругового штампа на упругое полупространство при наличии сцепления / Б.Л. Абрамян, Н.Х. Арутюнян, A.A. Баблоян // Прикл. математика и механика. - 1966. - № 30. - Вып. 1. -С. 143-147.

4. Александров, В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости / В.М. Александров // Прикл. математика и механика. -1968. - № 32. - Вып. 4. - С. 472^83.

5. Аргирис, Дж. Методы упругопластического анализа / Дж. Аргирис, Д. Шарпф // Механика. - 1972. - № 4 (134). - С. 107-139.

6. Артюхин, Ю.П. Аналитические и численные методы решения интегральных уравнений в задачах упругого воздействия тел / Ю.П. Артюхин, С.А. Малкин. - Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 2007. - 292 с.

7. Арутюнян, Н.Х. Контактные задачи механики растущих тел / Н.Х. Арутюнян, A.B. Манжиров, В.Э. Наумов. - М.: Наука, 1991. - 176 с.

8. Бабешко, В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости / В.А. Бабешко. - М.: Наука, 1984.-256 с.

9. Баблоян, A.A. Об одной смешанной задаче для прямоугольника /

A.A. Баблоян, Н.О. Гулканян // Изв. АН АрмССР. Механика. - 1969. -Вып. 22. -№ 1. - С. 3-16.

10. Баженов, В.А. Моментная схема метода конечных элементов в задачах нелинейной механики сплошной среды / В.А. Баженов, A.C. Сахаров,

B.К. Цыхановский // Прикл. механика. - 2002. - № 6. - С. 24-63.

108

11. Балафендиева, И.С. Моделирование деформирования железобетонной обделки тоннеля в грунте с учетом одностороннего контактного взаимодействия ее блоков / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. - № 2 (55). Выпуск 1. -С. 8-16.

12. Балафендиева, И.С. Трехмерное деформирование железобетонной опоры мостовой переправы, расположенной в многослойном водонасыщенном грунте / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной, A.B. Карамов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, № 4 (5). - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. - С. 1995-1996.

13. Балафендиева, И.С. Расчет осадок в многослойном физически нелинейном грунте при прокладке тоннелей метрополитена / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной, Д.А. Егоров // Научно-технический вестник Поволжья. - № 2. -2012 г.-С. 23-26.

14. Балафендиева, И.С. Расчет осадки грунта в зоне прокладки тоннеля метрополитена / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной // Материалы IX Межд. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012), 25-31 мая 2012 г., Алушта. -М.: Изд-во МАИ, 2012. - С. 314-315.

15. Балафендиева, И.С. Моделирование процессов нелинейного деформирования элементов транспортных сооружений, взаимодействующих с многослойным грунтом / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Девятой Всероссийской конф. -Казань: Отечество, 2012. - С. 55-58.

16. Балафендиева, И.С. Моделирование этапов строительства подземных сооружений / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной, A.B. Карамов // Материалы XIX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 1. -М.: ООО «ТР-принт», 2013. - С. 29-30.

17. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. - М.: Стройиздат, 1982. - 447 с.

109

18. Безухов, Н.И. Теория сыпучих тел / Н.И. Безухов. - Л.: Госстройиздат, 1934.- 107 с.

19. Безухов, Н.И. Расчет за пределом упругости. Несущая способность и предельные состояния сооружений / Н.И. Безухов // Строительная механика в СССР. 1917-1967. -М.: Стройиздат, 1969. - С. 212-223.

20. Бережной, Д.В. Моделирование пластического деформирования многослойного грунта в зоне опоры многопролетного моста / Д.В. Бережной, И.С. Кузнецова, A.A. Саченков // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. физико-матем. науки.-2010.-Т. 152, кн. 1.-С. 116-125.

21. Бердичевский, В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды / В.Л. Бердичевский. - М.: Наука, 1983. - 448 с.

22. Биргер, И.А. Метод дополнительных деформации в задачах теории пластичности / И.А. Биргер // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. -1963.-№ 1.-С. 47-56.

23. Биргер, И.А. Общие алгоритмы решения задач теорий упругости, пластичности и ползучести / И.А. Биргер // В кн.: Успехи механики деформируемых сред. - М.: Наука, 1975. - С. 51-73.

24. Биргер, И.А. Термопрочность деталей машин / Под ред. И.А. Биргера, Б.Ф. Шорра. -М.; Машиностроение, 1975. -455 с.

25. Быков, Д.Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности / Д.Л. Быков // Упругость и неупругость. Вып. 4. - М.: Изд-во МГУ, 1975. -С. 119-139.

26. Быков, Д.Л. Об одном обобщении метода упругих решений / Д.Л. Быков, В.А. Шачнев // Прикл. математика и механика. - 1969. - Т. 33. -№ 2. - С. 290-298.

27. Вайнберг, Д.В. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Д.В. Вайнберг, A.C. Городецкий, В.В. Киричевский, A.C. Сахаров // Прикладная механика. - 1972. - Т. 8. - № 8. - С. 3-28.

28. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

29. Власов, В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании /В.З. Власов, H.H. Леонтьев. -М.: Физматгиз, 1960.-491 с.

30. Вовк, A.A. Поведение грунтов под действием импульсных нагрузок /

A.A. Вовк, Б.В. Замышляев и др. - Киев: Наукова думка, 1984.

31. Вялов, С.С. Прочность и ползучесть мерзлых грунтов и расчеты ледог-рунтовых ограждений / С.С. Вялов, Ю.К. Зарецкий и др. - М.: Изд-во АН СССР, 1962.-254 с.

32. Вялов, С.С. Реологические основы механики грунтов / С.С. Вялов. -М.: Высшая школа, 1978. - 447 с.

33. Галимов, К.З. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига / К.З. Галимов, Ю.П. Артюхин, С.Н. Карасев и др. - Казань. Изд-во Казан, унта, 1977.-211 с.

34. Галин, Л.А. Развитие теории контактных задач в СССР / Л.А. Галина. -М.: Наука, 1976.-496 с.

35. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. - М.: Мир. 1984.-428 с.

36. Гениев, Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона / Г.А. Гениев,

B.Н. Киссюк, Г.А. Тюпин. - М.: Стройиздат, 1974. - 316 с.

37. Герсеванов, Н.М. Теоретические основы механики грунтов и их практические применения / Н.М. Герсеванов, Д.Е. Полынин. - М.: Госстройиздат, 1948.-248 с.

38. Герсеванов, Н.М. Собрание сочинений / Н.М. Герсеванов. - М.: Строй-военмориздат, 1948. - Т. I; Т. II.

39. Голдманис, М.В. Исследование устойчивости анизотропных композитных панелей при помощи вырожденного конечного элемента оболочек в геометрически нелинейной постановке / М.В. Голдманис, Г.А. Тетере // Механика композитных материалов. - 1989. - № 4. - С. 664-670.

40. Голдманис, М.В. Исследование устойчивости оболочек вращения из волокнистых композитов в геометрически нелинейной конечно- элементной постановке / М.В. Голдманис, Г.А. Тетере // Механика композитных мате-

риалов. - 1987. - № 2. - С. 286-292.

41. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной. - Казань: Изд-во «ДАС», 2001.-301 с.

42. Голованов, А.И. Расчет больших деформаций неупругих тел в комбинированной лагранжево-эйлеровой постановке / А.И. Голованов, С.А. Кузнецов // Модели механики сплошной среды. Обзорные доклады и лекции XVI сессии Международной школы. - Казань: Изд-во Казанск. математ. об-ва, 2002. - С. 5-27.

43. Голованов, А.И. Теоретические основы вычислительной нелинейной механики деформируемых сред / А.И. Голованов, Султанов Л.У. // Курс лекций. Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 2008. - 164с.

44. Гольдштейн, М.Н. Механические свойства грунтов / М.Н. Гольдштейн. -М.: Стройиздат, 1971. -368 с.

45. Горлач, Б.А. Исследование поведения цилиндрической в начальном состоянии оболочки при конечных осесимметричных деформациях / Б.А. Горлач, H.H. Орлов // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. - Казань, 1982. - С. 25-31.

46. Горшков, А.Г. Динамические контактные задачи с подвижными границами / А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский. - М., Наука, Физматлит, 1995. -352 с.

47. Горячева, И.Г. Механика фрикционного взаимодействия / И.Г. Горячева. -М.: Наука, 2001.-478 с.

48. Григолюк, Э.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела / Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. - М.: Наука, 1988.-231 с.

49. Григорян, С.С. Об основных представлениях динамики грунтов / С.С. Григорян // ПММ. - 1960. - Т. 24. - Вып. 6. - С. 1057-1072.

50. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплош-

112

ной среды / А. Грин, Д. Адкинс. - М.: Мир, 1965. - 455 с.

51. Гурьянова, О.Н. Расчет слоистых оболочек в геометрически нелинейной постановке МКЭ: дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.04.02 / О.Н. Гурьянова. - Казань, 2000.-166 с.

52. Далматов, Б.И. Механика грунтов, основания и фундаменты / Б.И. Далматов. - Л.: Стройиздат, 1988. - 415 с.

53. Денисов, Н.Я. Природа прочности и деформации грунтов / Н.Я. Денисов. -М.: Стройиздат, 1972.-279 с.

54. Друккер, Д. Пластичность, течение и разрушение / Д. Друккер // Неупругие свойства композиционных материалов. - М.: Наука, 1978. - С. 9-32.

55. Егоров, К.Е. Вопросы теории и практики расчета оснований конечной толщины / К.Е. Егоров. -М.: Госстройиздат, 1961. - 189 с.

56. Жемочкин, Б.Н. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании / Б.Н. Жемочкин, А.П. Синицын. - М.: Госстройиздат, 1962. -240 с.

57. Зарецкий, Ю.К. Лекции по современной механике грунтов / Ю.К. Зарецкий. - Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского университета, 1989. -600 с.

58. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975.-542 с.

59. Зуданс, 3. Исследование упруго-пластических деформаций сосудов давления методом конечных элементов / 3. Зуданс // Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Сер. В. Конструирование и технология машиностроения. Ч. 1. - 1970. -№ 2. - С. 33-43.

60. Зуев, H.H. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов / H.H. Зуев, Э.Н. Князев, А.Б. Костриченко, В.И. Шалашилин // Изв. РАН. МТТ. - 1997. -№ 6. - С. 136-147.

61. Иванов, H.H. Уплотнение малосвязных грунтов взрывами / H.H. Иванов. -М.: Недра, 1983.-229 с.

62. Ильюшин, A.A. Пластичность / A.A. Ильюшин. - М.: Гостеортехиздат, 1948.-375 с.

63. Каменярж, Я.А. Предельный анализ пластических тел и конструкций / Я.А. Каменярж. - М.: Наука, 1997. - 512 с.

64. Капустин, С.А. Численный анализ нелинейных квазистатических процессов деформирования составных конструкций / С.А. Капустин // Прикл. проблемы прочности и пластичности. - Горький. - 1979. - Вып. 10. - С. 6880.

65. Кац, A.M. Теория упругости / A.M. Кац. - М.: Гостехтеоретиздат, 1956.

66. Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. - М.: Наука, 1969.-420 с.

67. Клюшников, В.Д. Метод упругих решений в теории пластического течения / В.Д. Клюшников // Журн. прикл. механ. и техн. физики. - 1965. -№ 1.-С. 133-135.

68. Коробейников, С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел / С.Н. Коробейников. - Новосибирск, 2000. - 262 с. (63)

69. Крылов, А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. - Л.: Изд-во АН СССР, 1931. - 154с.

70. Кукуджанов, В.Н. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела / В.Н. Кукуджанов, В.И. Кондауров // Проблемы динамики упругопластических сред. - М.: Мир, 1975. - С. 39-84.

71. Левитас, В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении / В.И. Левитас. - Киев: Наукова думка, 1987. - 232 с.

72. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1980.-536 с.

73. Ляхов, Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах / Г.М. Ляхов. -М.: Наука, 1982.

74. Малинин, H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести / H.H. Малинин. - М.: Наука, 1981. - 208 с.

75. Мазуров, П.А. Вариационные принципы фильтрации несжимаемой

жидкости в средах с двойной пористостью / П.А. Мазуров // ПММ. - М., 1993. -№1. - С.65-70.

76. Маскет, М. Течение однородных жидкостей в пористой среде / М. Маскет. - M.-JL: Гостехиздат, 1949. - 628с.

77. Маслов, H.H. Длительная устойчивость и деформация смещения подпорных сооружений / H.H. Маслов. -М.: Энергия, 1968. - 160 с.

78. Маслов, H.H. Основы механики грунтов и инженерной геологии / H.H. Маслов. - М.: Высшая школа, 1968. - 624 с.

79. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин // - М.: Наука, 1970. - 512 с.

80. Морозов, Е.М. Контактные задачи механики разрушения / Е.М. Морозов, М.В. Зернин M.B. - М.: Машиностроение, 1999. - 544 с.

81. Моссаковский, В.И. Контактные задачи математической теории упругости / В.И. Моссаковский, Н.Е. Качаловская, Голикова. - Киев: Наукова думка, 1985.- 176 с.

82. Никиреев, В.М. К решению нелинейных уравнений строительной механики методом последовательных нагружений / В.М. Никиреев // Строительная механика и расчет сооружений. - 1970. - № 3. - С. 61-62.

83. Николаевский, В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. - М.: Недра, 1984. - 232 с.

84. Новожилов, В.В. Основы нелинейной теории упругости. - M.-JL: Гостехиздат, 1948. - 211 с.

85. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз//-М.: Мир, 1981.-304 с.

86. Образцов, И.Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И.Ф. Образцов, JI.M. Савельев, Х.С. Хазанов. - М.: Высшая школа, 1985. - 392 с.

87. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. - М.: Мир, 1976. - 464 с.

88. Оден, Дж. Определение конечных деформаций упругих тел на основе

метода конечных элементов / Дж. Оден, Дж. Кей. - Д.: Судостроение, 1974. -Т. 1. - С. 52-80.

89. Паймушин, В.Н. О двух постановках упругопластических задач механики деформируемых тел и теоретическое определение места образования шейки в образцах при растяжении / В.Н. Паймушин // ПММ, 2011, т.75. -вып.4. -с.635-659.

90. Паймушин, В.Н. Исследование уравнений теории упругости и пластичности при произвольных перемещениях и деформациях / В.Н. Паймушин // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 2. С. 67-80.

91. Пежина, П. Вариационные проблемы теории вязкопластичности при больших деформациях / П. Пежина, А. Балтов // Теорет. и прикл. механика. -1973.-Т. 4.-№4.-С. 19-28.

92. Петров, В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек / В.В. Петров. - Саратов: Изд-во сарат ун-та, 1975. -173 с.

93. Поздеев, A.A. Остаточные напряжения: Теория и приложения /

A.A. Поздеев, Ю.Я. Няшин, П.В. Трусов // - М.: Наука, 1982. - 112 с.

94. Попов, Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания / Г.Я. Попов // - Киев-Одесса: Вища школа, 1982. - 168 с.

95. Постнов, В.А. Численные методы расчёта судовых конструкций /

B.А. Постнов // - Л.: Судостроение, 1977. - 279 с.

96. Прагер, В. Теория идеально-пластических тел / В. Прагер, Ф. Ходж // -М.: Изд-во иностр. лит., 1956. - 398 с.

97. Проценко, A.M. Теория упруго-идеально-пластических тел / A.M. Проценко. - М.: Наука, 1982. - 288 с.

98. Пузыревский, Н.П. Фундаменты / Н.П. Пузыревский. - М.-Л.: Госстрой-издат, 1934. - 516 с.

99. Рвачев, В.Л. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей / В.Л. Рвачев, B.C. Проценко. - Киев: Наук, думка, 1977. - 236 с. ЮО.Розин, Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системе

мам / JI.А. Розин - М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

101. Саркисян, B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос /

B.C. Саркисян. - Ереван: Ереван, ун-т, 1983. - 260 с.

102. Сахаров, A.C. Метод конечных элементов в пространственной задаче теории упругости / A.C. Сахаров, В.В. Киричевский, Г.Г. Завьялов. - Ворошиловград, 1982. - 99 с.

ЮЗ.Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. -М.: Мир, 1979.-392 с.

104. Соловьев, Е.Г. Расчет балок и плит на упругом основании с использованием ЭЦВМ / Е.Г. Соловьев, В.Г.Немов. - Казань: Казанский инженерно-строительный институт, 1974.

105. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. -М.: Мир, 1977.-349 с.

106. Султанов, Л.У. Исследование больших вязкоупругопластических деформаций в трехмерной постановке МКЭ: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 2005.-С. 116-119.

107. Султанов, Л.У. Расчет больших деформаций упругих тел МКЭ / Л.У. Султанов /7 Студенты Зеленодольску: городская научн.-практ. конф. / сб. докл. - Зеленодольск: 2003. - С. 53-64.

108.Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. - М.: Мир, 1980. - 512 с.

109.Терегулов, И.Г. Расчет конструкций по теории предельного равновесия / И.Г Терегулов, P.A. Каюмов, Э.С. Сибгатуллин. - Казань: ФЭН, 2003. -180 с.

110. Терегулов, И.Г. Предельное состояние плит, лежащих на деформируемом основании / И.Г. Терегулов, Э.Р. Терегулова, В.Г. Низамеев, P.A. Каюмов // Известия ТулГУ. Естественные науки. - 2008. - Т. 2. -

C. 108-111.

111. Уилкинс, М.Л. Расчет упругопластических течений / М.Л. Уилкинс // Вычислительные истоды в гидродинамике. -М.: Мир, 1967. - С. 212-263.

117

112. Флорин, В.А. Основы механики грунтов / В.А. Флорин. - М.: Госстрой-издат, 1959.-Т. 1.-357 с.

113. Флорин, В.А. Основы механики грунтов / В.А. Флорин - М.: Госстрой-издат, 1961.-Т. 2.-544 с.

114.Ходж, Ф.Г. Расчет конструкций с учетом пластических деформаций / Ф.Г. Ходж. - М.: Машгиз, 1965.-380 с.

115.Цытович, Н.А. Механика грунтов / Н.А. Цытович. - М.: Высшая школа, 1983.-288 с.

116.Чирас, А.А. Методы линейного программирования при расчетах одномерных упруго-пластических систем / А.А. Чирас. - Д.: Стройиздат, 1969. -198 с.

И7.Шалашилин, В.И. Метод продолжения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике / В.И. Шалашилин, Е.Б. Кузнецов. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 224 с.

118. Шевченко, Ю.Н. Метод упругих решений в теории пластического течения при неизотермических процессах нагружения / Ю.Н. Шевченко // Тепловые напряжения в элементах конструкций: Респ. межвед. сб. - 1975. -Вып. 15.-С. 45-49.

119. Arif, A.F.M. Performance of a finite element procedure for hyperelastic- vis-coelastic large deformation problems / A.F.M. Arif, T. Pervez, M.M. Pervez // Int. J. of Solids and Structures. - 2000. - V. 34. - P. 89-112.

120.Atluri, S.N. New general and complementary energy theorems, finite strain, rate sensitive inelasticity and finite elements: Some computational studies / S.N. Atluri, H. Murakawa // In: Nonlinear finite elem. anal, in struct, mech.: Proc. Europ. US workshop. (Bochum, 1980). - Bochum, 1981. - P. 28-48.

121. Atluri, S.N. On some new general and complementary energy theorems for the rate problems in finite strain, classical elastoplasticity / S.N. Atluri // J. Struct. Mech. - 1980.-V. 8. -№ 1.-P.61-92.

122. Atluri, S.N. Rate complementary energy principles, finite strain plasticity problems and finite element / S.N. Atluri // In: Var. meth. mech. solids.: Proc.

118

IUTAM symp. (Evanston, 1978). - Oxford etc. 1980. - P. 363-367.

123. Bathe, K.J. Elastic-plastic large deformation static and dynamic analysis / K.J. Bathe, H. Özdemir // Comput and Struct. - 1976. - V. 6. - № 2. - P. 81-92.

124. Bathe, K.J. Finite element formation for large deformation dynamic analysis / K.J. Bathe, E. Ramm, E.L. Wilson // In. J. for Numer. Meth. in Eng. - 1975. -V. 9.-P. 353-386.

125. Bathe, K.J. Finite element procedures in engineering analysis / K.J. Bathe. -Englewood Cliffs, NJ, USA: Prentice-Hall, 1982.

126.Capurso, M. On the incremental solution of elasto-piastic continue in the rang on large displacements / M. Capurso // Mechanica. - 1970. - V. 5. - № 2. - P. 98106.

127. Charter, E. Finite plastic deformation of a circular membrane under hydrostatic pressure. Strainrate effects / E. Charter, K.W. Neale. // Intern. J. Mech. Sei. -1983. -V. 25. - № 4. - P. 235-244.

128. Cheng, J.H. An analysis of metal forming processes using large deformation elastic-plastic formulations / J.H. Cheng, N. Kikuchi // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1985. - V. 49. - № 1. - P. 71-108.

129.Clebsch, A. Theorie de I'elasticite des corps solides / A. Clebsch. - Paris, 1883.

130.Dems, K. Physically and geometrically nonlinear analysis finite elements // K. Dems, M. Kleiber // Pozpr. inz. - 1976. - V. 24. - № 4. - P. 771-786.

131.Dieterle, K. Anwendung der Methode der finiten Elemente zum naherung / K. Dieterle // Sweisen Berechnen grosser Formanderungen beim Flanschstauchen. -Industr. Anz., 1975. - Bd. 97. -№ 98. - S. 2080-2081.

132.Dinis, L.M.S. Elasto-viscoplastic and elasto-piastic large-deformation analysis of thin plates and shells / L.M.S. Dinis, D.R.J. Owen // Intern. J. Numer. Meth. Eng.-1982.-V. 18. -№ 4. - P. 591-606.

133.Duszek, M.K. On minimum principles in finite plasticity / M.K. Duszek // Bull. Acad. pol. sei. Ser. sei. techn. - 1973. -V. 21. -№ 2. - P. 131-138.

134. Fish, J. Computational aspects of incrementally objective algorithms for large

119

deformation plasticity / J. Fish, K. Shek // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1999. -V. 44.-№6.-P. 839-851.

135.Gadala, M.S. Geometric and material nonlinearity problems / M.S. Gadala, G.A.E. Oravas, M.A. Dokainish // In: Numer. meth. non-linear problems: Proc. Intern, conf. Swansea. - 1980. - V. 1. - P. 317-331.

136.Gouveia, P.P.A. Finite element modeling of cold forward extrusion using updated Lagrangian and combined Eulerian-Lagrangian formulations / P.P.A. Gouveia, J.M.C. Rodrigues, P.A.F. Martins // J. of Materials Processing Technology. - 1998. - № 80-81. - P. 647-652.

137.Grigolyuk, E.I. Problems of Nonlinear Deformation / E.I. Grigolyuk, V.I. Shalashilin. - Dordrecht et al.: Kluwer, 1991. - 262p.

138. Gupta, A.K. Elasto-plastic analysis of three-dimensional structures using the isoparametric element / A.K. Gupta, B. Mohraz, W.C. Schnobrich // Nucl. Eng. and Des. - 1972. - V. 22. - № 2. - P. 305-317.

139.Hibbit, H.D. A finite element formulation for problems of large strain and large displacement / H.D. Hibbit, P.V. Marcal, J.R. Rice // Int. J. Solids Stuct. -1970.-V. 6.-P. 1069-1086.

140.Hofmeister, L.D. Large strain, elasto plastic finite element analysis / L.D. Hofmeister, G.A. Greenbaum, D.A. Evensen // AIAA J. - 1971. - V. 9. -№7.-P. 1248-1254.

141. Hughes, T.J.R. Finite rotation effects in numerical integration of rate constitutive equations arising in large-deformation analysis / T.J.R. Hughes, J. Winget // Int. J. Numer. Methods Eng. - 1980. - V. 15. - P. 1862-1867.

142.Kawahara, M. Large strain, elasto-plastic numerical analysis by means of finite element metbod / M. Kawahara, K. Horii // Trans. Jap. Soc. Civ. Eng. - 1972. -V. 3.-№2.-P. 154-155.(133)

143. Kawahara, M. Large strain, viscoelastic and elasto-viscoplastic numerical analysis by means of the finite element method / M. Kawahara // Arch. mech. sto-sow. - 1975. - V. 27. - № 3. - P. 417^43.

144.Kitagawa, H. An incremental finite element analysis of two-dimensional large

120

strain and large displacement problems for elasto-plastic material / H. Kitagawa., Y. Tomita // Proc. 21st Jap. nat. congr. appl. mech. (Tokyo, 1971). - Tokyo, 1973. -V.21.-P. 243-255.

145.Kitagawa, H. An incremental theory of large strain and large displacement problems and its finite-element formulation / H. Kitagawa, Y. Seguchi, Y. Tomita // Ing. Arch. - 1972. -Bd. 41. -№ 3. - P. 213-224.

146.Klee, K.D. On numerical treatment of large elastic-visco-plastic deformations / K.D. Klee, J. Paulun // Arch. mech. stosow. - 1980. - v. 32. - № 3. _ p. 333345.

147.Kleiber, M. Finite elements in nonlinear mechanics and large deformation elasto-plasticity / M. Kleiber // Probl. non-lineaires mech.: Symp. fr.-pol., (Craco-vie, 1977). - Varsovie. - 1980. - P. 273-296.

148. Kleiber, M. Lagrangian and eulerian finite element formulation for large strain elasto-plasticity / M. Kleiber // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. - 1975. -V. 23 -№ 3. - P. 109-126.

149.McMeeking, R.M. Finite-element formulations for problems of large elastic-plastic deformation / R.M. McMeeking, J.R. Rice // Int. J. Solids Stuct. - 1975. -V. 11. -№ 5.-P. 601-616.

150.Moran, B. Formulation of implicit finite element methods for multiplicative finite deformation plasticity / B. Moran, M. Ortiz, C.F. Shih // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1990. - V. 29 - № 3. - P. 483-515.

151.Moresi, L. A Lagrangian integration point finite element method for large deformation modeling of viscoelastic geomaterials / L. Moresi, F. Dufour, H.B. Muhlhafrs // J. of Comput. Physics. - 2003. - V. 184. - P. 476-497.

152.Mroz, Z. A note on variational principles in coupled termo-plasticity / Z. Mroz, B. Raniecki // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. - 1975. - V. 23. -№ 3. - P. 225-231.

153.Murnaghan, F.D. Finite deformation of an elastic solid / F.D. Murnaghan. -Second Edition, N.Y., 1967.

154.Nactegaal, J.C. Some computational aspect of elastic-plastic large strain anal-

ysis / J.C. Nactegaal, J.E. De Long // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1981. - V. 17. -№ l.-P. 15—41.

155.Neale, K.W. A general variational theorem for the rate problem in elasto-plasticity / K.W. Neale // Intern. J. Solids and Struct. - 1972. - V. 8. - № 7. -P. 865-876.

156. Neale, K.W. On the application of a variational principle for large displacement elastic-plastic problems / K.W. Neale // Var. meth. mech. solids: Proc. IUTAM symp. (Evanston (111), 1978). - Oxford etc, 1980. - P. 374-377.

157. Ortiz, M. Accuracy and stability of integration algorithms for elastoplastic constitutive relations / M. Ortiz, E.P. Popov // Int. J. Numer. Methods Eng. - 1985. -V.21.-P. 1561-1576.

158. Ortiz, M. An analysis of a new class of integration algorithms for elastoplastic constitutive relations / M. Ortiz , J.C. Simo // Int. J. Numer. Methods Eng. - 1985. -V. 23.-P. 353-366.

159. Owen, D.R.J. Anisotropic elasto-plastic finite element analysis of thick and thin plates and shells / D.R.J. Owen, J.A. Figueiras // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1983. - V. 19. - № 4. - P. 541-566.

160.Pinsky, P.M. Numerical integration of rate constitutive equations in finite deformation analysis / P.M. Pinsky, M. Ortiz, K.S. Pister // Comp. Methods Appl. Mech. Eng. - 1983. - V. 40. - P. 137-158.

161. Reed, K.W. Analysis of large quasistatic deformations of inelastic bodies by a new hybrid-stress finite element algorithm / K.W. Reed, S.N. Atluri // Cormput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1983. - V. 39. - P. 245-295.

162. Rubin, M.B. Calculation of hyperelastic response of finite deformed elastic-viscoplastic materials / M.B. Rubin, A. Attia // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1996. -V. 395.-№2.-P. 309-320.

163. Sandhu, R.S. Variational methods in continuum mechanics / R.S. Sandhu, K.S. Pister// Var. meth. eng. Southampton. - 1973. -V. l.-P. 1/13-1/25.

164. Simo, J.C. A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation and the multiplicative decomposition: Part I. Continuum formu-

lation / J.C. Simo 11 Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1988 - V.66. - № 2. -P. 199-219.

165. Simo, J.C. Remarks on rate constitutive equations for finite deformation problems: computational implications / J.C. Simo, K.S. Pister // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1984. -V. 46 -№ 2. - P. 211-215.

166. Simo, J.S. A unified approach to finite deformation elastoplastic analysis lased on the use of hyperelastic constitutive equations / J.S. Simo, M. Ortiz // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1985. - V. 49. - № 2. - P. 221-245.

167. Stolarski, H. On the equivalence of mode decomposition and mixed finite element based on the Hellinger-Reissner principle. Part I: Theory. Part II: Applications / H. Stolarski, T. Belytschko // Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng. -1986. - V. 58. - № 3. - P. 249-284.

168.Synka, J. A novel mixed Eulerian-Lagrangian finite-element method for steady-state hot rolling processes / J. Synka, A. Kainz // Int. J. of Mech. Sc. -2003. - V. 45. - P. 2043-2060.

169. Taylor, L.M. Some computational aspect of large deformation, rate-dependent plasticity problems / L.M. Taylor, E.B. Becker // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1983. - V. 41. -№ 3. - P. 251-277.

170. Terzaghi, K. Erdbaumechanik auf bodenphysikalischer Grundlage / K. Terzaghi. - Wien: Manzische Buchdruckerei, 1925. - 399p.

171.Tvergaard, V. Effect of large elastic strains on cavitation instability predictions for elastic-plastic solids / V. Tvergaard // Int. J. of Solids and Structures. -1999. - V. 36. - P. 5453-5466.

172. Wolf, J.P. Alternate hybrid stress finite element model / J.P. Wolf // Int. J. for Numer. Meth. in Eng. - 1975. - V. 9. -№ 3. - P. 601-615.

173. Yamada, Y. Nonlinear matrices, their implication and applications in inelastic large deformation analysis / Y. Yamada // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. -1982. -V. 33. -№ 1-3. - P. 417-437.

174. Yamada, Y. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite element method / Y. Yamada, N. Yoshimura,

T. Sakura // Int. J. Mech. Sci. - 1968. - V. 10. - № 2. - P. 343-354.

175.Zienkiewicz, O.C. Elasto-plastic solution of engineering problems «initial stress», finite element approach / O.C. Zienkiewicz, S. Valliapan, I. King // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1969. - V. 1. - № 1. - P. 75-100.

176. Zienkiewicz, O.C. The Finite element method. Fifth edition. V. 1: The basis / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. - Butterworth-Heinemann. - 2000. - 689 p.

177. Zienkiewicz O.C. The Finite element method. Fifth edition. V. 2: Solid mechanics / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. - Butterworth-Heinemann. - 2000. -459 p.