Исследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Рабинович, Александр Соломонович

• Рабинович, Александр Соломонович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Рабинович, Александр Соломонович

ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................4

ГЛАВА 2 НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ ТИПЫ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

2.1 Осесимметричные течения несжимаемой вязкой

жидкости...............................................................................33

2.2 Следствия уравнений Навье-Стокса в случае осевой симметрии...........................................................................36

2.3 Исследование осесимметричных решений уравнений Навье-Стокса в виде степенных рядов по радиальной координате.. 37

2.4 Три класса частных аналитических решений для уравнений Навье-Стокса............................................................39

2.5 Частное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса, экспоненциально затухающее при больших значениях радиальной координаты...............................................49

2.6 Частное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса для жидкости при наличии кавитации..................................59

ГЛАВА 3 НОВЫЕ КЛАССЫ РЕШЕНИЙ КЛАССИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЯНГА-МИЛЛСА

3.1 Стационарное сферически-симметричное решение уравнений Янга-Миллса............................................................66

3.2 Решение уравнений Янга-Миллса для нестационарных сферически-симметричных источников...........................77

3.3 Осесимметричные волновые решения уравнений Янга-Миллса....................................................................90

3.4 Решения уравнений Янга-Миллса, описывающих класс

поперечных неабелевых волн.........................................95

3.5 Неабелевые расходящиеся волны.................................108

ГЛАВА 4 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЮКАВСКОГО И КУЛОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛОВ

4.1 Совместное действие скалярного и векторного полей........120

4.2 Релятивистская частица в юкавском и кулоновском полях..127

4.3 Периодических орбит частиц в юкавском и кулоновском полях.......................................................................131

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................136

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..........................................................139

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью»

ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ

1.1 Общая характеристика работы Актуальность темы связана с той большой ролью, которую играет разработка новых математических методов для исследования недостаточно изученных физико-математических проблем и поиска аналитических подходов к изучению связанных с ними нелинейными системами дифференциальных уравнений.

Хотя существует значительное число математических методов в теории дифференциальных уравнений, в этой области имеется немало проблем, требующих для своего решения привлечения ряда новых идей.

В первую очередь это касается физических задач, описываемых системами дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью. Исследованию ряда таких проблем и связанных с ними нелинейных дифференциальных уравнений и посвящена диссертация. В ней изучаются следующие вопросы:

1) Исследование нелинейных дифференциальных уравнений Навье-

Стокса, описывающих течение вязкой несжимаемой жидкости. Уравнения Навье-Стокса являются основными уравнениями гидродинамики и им посвящено большое число работ. Однако ввиду их существенной нелинейности в их изучении превалируют численные подходы, а число полученных аналитических решений весьма мало. По этой причине в диссертационной работе большое внимание уделяется поиску частных аналитических решений, которые могли бы дать качественное представление об особенностях течения вязкой несжимаемой жидкости. При этом особый интерес может представить случай больших чисел Рейнольдса, при которых течение жидкости может стать турбулентным, а также случаи проявления в ней явления кавитации.

В диссертации исследуются следующие классы аналитических решений уравнений Навье-Стокса, имеющих осевую симметрию:

а) Исследование классов решений уравнений Навье-Стокса, представимых в виде степенных рядов по радиальной координате с коэффициентами, зависящими от времени и осевой координаты. Изучение случаев, при которых может быть определен явный вид этих коэффициентов и найдены условия сходимости данных рядов, а также случаев, при которых они приводят к решениям в замкнутой форме.

б) Исследование специальных форм для скоростей и давления в вязкой несжимаемой жидкости и приводящих к частным аналитическим решениям трехмерных уравнений Навье-Стокса. Изучение особенностей этих решений при больших числах Рейнольдса, когда становится возможным турбулентное течение вязкой жидкости. Изучение случаев течения жидкости при возникновении кавитационных явлений.

2) Исследование нелинейных уравнений Янга-Миллса для описания интенсивных неабелевых полей

Как известно, уравнения Янга-Миллса занимают центральное место при описании электрослабых и сильных взаимодействий и им посвящено большое число работ. Важную роль в их изучении сыграли неабелевые сферически-симметричные решения Т. Ву и Ч. Янга, Г. „т Хоофта и А. Полякова, решение в виде неабелевых плоских волн С. Коулмена, оказавшее влияние на последующие работы в этой области и, в том числе, на данную диссертацию, нестационарные неабелевые решения С. Матиняна и Г. Саввиди, исследования Р. Гласси и В. Штрауса задачи Коши для уравнений Янга-Миллса и целый ряд других работ.

В диссертационной работе ищутся новые классы точных решений уравнений Янга-Миллса. В ней получены следующие типы решений:

а) Стационарные и нестационарные сферически-симметричные решения уравнений Янга-Миллса для классических источников поля, представляющие собой нелинейные обобщения классических максвелловских решений.

б) Осесимметричные решения Янга-Миллса в виде неабелевых волн, распространяющихся со скоростью света вдоль некоторого направления.

в) Решения уравнений Янга-Миллса в виде неабелевых расходящихся волн, распространяющихся со скоростью света.

Данные решения могут быть важны в изучении нелинейных процессов, вызываемых космическими источниками полей Янга-Миллса.

3) Исследование нелинейных динамических уравнений для релятивистских частиц, движущихся под действием юкавского и кулоновского потенциалов

Рассматривается движение релятивистской частицы в классическом приближении, находящейся под действием двух центральных сил юкавского и кулоновского типов. Для его описания используется классический лагранжиан для частицы, находящейся в электрическом поле, в который вводится также потенциал Юкавы.

Данный лагранжиан приводит к системе нелинейных динамических уравнений второго порядка. Эта система уравнений применяется к релятивистской частице, движущейся в некоторой плоскости под действием центральных сил. Проводится исследование рассматриваемых уравнений в полярных координатах и определяется их первый интеграл. Показывается, что при определенных условиях возможно движение частиц по замкнутым орбитам.

Цель работы состояла в изучении нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в ряде задач математической физики.

Для этого в работе было

- проведено исследование аналитических осесимметричных решений уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости, представимые в виде степенных рядов по радиальной координате с коэффициентами, зависящими от времени и осевой координаты;

- найдено частное аналитическое решение трехмерных уравнений Навье-Стокса специального вида и рассмотрены его особенности при больших числах Рейнольдса, когда становится возможным турбулентное течение вязкой жидкости;

- найдено частное аналитическое решение трехмерных уравнений Навье-Стокса, описывающее случай течения жидкости при появлении кавитации.

- получены и исследованы стационарные и нестационарные сферически симметричные решения уравнений Янга-Миллса с Би(2) симметрией для классических источников специального типа;

- найдены неабелевые волновые решения для описания излучений космических источников полей Янга-Миллса;

- получена и исследована нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая движение релятивистской частицы в центральном поле юкавского и кулоновского потенциалов.

Научная новизна состоит в математическом анализе нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в ряде проблем математической физики.

Найдены некоторые аналитические осесимметричные решения уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в виде

степенных рядов по радиальной координате с коэффициентами, зависящими от времени и осевой координаты.

Найдены частные точные решения трехмерных уравнений Навье-Стокса, позволяющее исследовать некоторые особенности течения вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса, когда может возникнуть турбулентность, а также при возникновении кавитации.

Получены некоторые новые типы стационарных и нестационарных сферически-симметричных решений.

Найдены некоторые осесимметричные неабелевые волновые решения и решения в виде неабелевых расходящихся волн.

Рассмотрена и исследована система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая движение релятивистской частицы под действием центральных полей юкавского и кулоновского типов.

Теоретическая и практическая значимость работы:

Полученные в диссертационной работе некоторые новые точные решения уравнений Навье-Стокса могут быть применены для анализа течений вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса, когда становится возможным появление турбулентности, а также при возникновении кавитации.

Найденные в работе новые точные решения уравнений Янга-Миллса для сферически-симметричных источников специального типа и для распространяющихся неабелевых волн могут быть применены для изучения нелинейных физических процессов, происходящих в звездах.

Проведенное в ней исследование системы нелинейных дифференциальных уравнений для релятивистских частиц, движущихся под действием центральных полей юкавского и кулоновского типа, важно для изучения динамики нуклонов и антинуклонов в полях атомных ядер.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Рабинович, Александр Соломонович

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрено несколько проблем математической физики, связанных с изучением систем дифференциальных уравнений, имеющих сильную нелинейность.

Одна из них связана с исследованием уравнений Навье-Стокса, описывающих течения вязкой жидкости. Эти уравнения играют центральную роль в гидродинамике. Однако ввиду их существенной нелинейности лишь в небольшом числе случаев удается найти точное решение. Поэтому, как правило, для их решения прибегают к численным методам. Но во многих случаях их применение сопряжено с большими сложностями: с огромным объемом вычислений, особенно при рассмотрении трехмерных задач, а также с возможностью возникновения вычислительной неустойчивости. Кроме того, применение только численных методов делает часто невозможным описать такие особенности течения вязкой жидкости, как турбулентность при больших числах Рейнольдса и ее поведение на больших интервалах времени.

Ввиду этих причин представляет особый интерес поиск новых случаев, особенно для трехмерных течений жидкости, при которых уравнения Навье-Стокса допускают аналитические решения. Такие решения могут не только прояснить некоторые особенности поведения вязких жидкостей, но и быть использованными для тестирования численных алгоритмов.

В диссертации был рассмотрены некоторые случаи трехмерного осесимметрического течения вязкой несжимаемой жидкости, в которых могут быть найдены новые аналитические решения уравнений Навье-Стокса. В результате проведенных исследований были получены следующие частные решения:

1) Компоненты скорости жидкости искались в виде рядов по степеням радиальной координаты с коэффициентами, зависящими от времени и осевой координаты. Для данных коэффициентов была получена система дифференциальных рекуррентных соотношений. Был описан класс случаев, при которых ряды являются абсолютно сходящимися, а также указаны случаи, при которых ряды становятся конечными суммами.

2) Найдено частное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса, экспоненциально затухающее при больших значениях радиальной координаты. Оно было использовано для описания некоторых особенностей турбулентного течения при больших значениях чисел Рейнольдса.

3) Найдено частное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса с синусоидальной зависимостью от осевой координаты. Оно было применено для описания некоторых случаев течения вязкой жидкости при возникновении кавитации.

Второй рассмотренный круг вопросов был связан с исследованием уравнений Янга-Миллса, играющих важную роль в современных моделях слабых и сильных взаимодействий. Так же, как и уравнения Навье-Стокса, уравнения Янга-Миллса имеют сильную нелинейность, что является большим препятствием для нахождения их точных решений.

Целью проведенного в диссертации исследования был поиск некоторых новых решений этих уравнений. Он привел к следующим результатам.

1) Получены стационарные сферически-симметричные решения классических уравнений Янга-Миллса с Би(2) симметрией.

2) Найден класс нестационарных сферически-симметричных решений классических уравнений Янга-Миллса с Би(2) симметрией.

3) Описан класс осесимметричных волновых решений уравнений Янга-Миллса с Би(2) симметрией.

4) Получены решения уравнений Янга-Миллса с Би(2) симметрией, описывающие класс поперечных неабелевых волн.

5) Найдены решения уравнений Янга-Миллса с произвольной компактной полупростой группой симметрии, описывающие класс расходящихся неабелевых волн.

Третий круг вопросов касался исследования нелинейных динамических уравнений для релятивистской частицы, движущейся под совместным действием юкавского и кулоновского потенциалов.

Исходя из принципа наименьшего действия, была определена система таких уравнений и проведено ее исследование.

В результате этого исследования было получено, что уравнения, описывающие динамику релятивистской частицы, имеют первый интеграл. Использование его свело задачу к исследованию одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка относительно радиальной координаты частицы как функции ее угловой координаты.

Проведенные расчеты для данного нелинейного дифференциального уравнения показали, что существуют начальные условия, при которых частицы могут двигаться по периодическим орбитам. В случае, когда заряды источника кулоновского поля и частицы противоположны, имеется достаточно широкий класс таких начальных условий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рабинович, Александр Соломонович, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика, М., Наука, 1986.

2. Л. Г. Лойцянский, Механика жидкости и газа, М., Наука, 1978.

3. G. Gallavotti, Foundations of Fluid Dynamics, Berlin-Heidelberg, SpringerVerlag (2002).

4. O. A. Ladyzhenskaya, The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Gordon and Breach, New York, 1963.

5. L. Caffarelli, R. Cohn, and L. Nirenberg, Comm. Pure Appl. Math., 35, 771 (1982).

6. C. Foias, C. Guillope, and R. Temam, J. Differential Equations, 57, 440 (1985).

7. M. E. Schonbek, Comm. Partial Differential Equations, 11, 733 (1986).

8. P. Constantin, Comm. Math. Phys., 106, 311 (1986).

9. P. Constantin and C. Foias, Navier-Stokes equations, Chicago-London, The University of Chicago Press (1988).

10. C. Foias and R. Temam, J. Funct. Anal., 87, 359 (1989).

11. P. Constantin and C. Fefferman, Indiana Univ. Math. Journal, 42, 775 (1993).

12. H. Sohr, The Navier-Stokes equations, Basel, Birkhäuser Verlag (2001).

13. Ya. G. Sinai, Russ. J. Math. Phys., 11, 355 (2004).

14. Ya. G. Sinai, J. Stat. Phys., 121, 779 (2005).

15. В. В. Пухначев, ПМТФ, 44, 18 (2003).

16. В. В. Пухначев, Успехи механики,"Симметрии в уравнениях Навье-Стокса", 1, 6 (2006).

17. P. G. Drazin and W. H. Reid, Hydrodynamic Stability, Cambridge, Cambridge University Press (1981).

18. S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, New York, Dover (1981).

19. P. Manneville, Dissipative Structures and Weak Turbulence, San Diego, Academic Press (1990).

20. P. Constantin and C. Fefferman, Nonlinearity, 7, 41 (1991).

21. L. N. Trefethen, A. E. Trefethen, S. C. Reddy, and T. A. Driscoll, Science, 261, 578 (1993).

22. U. Fisch, Turbulence, Cambridge, Cambridge University Press (1995).

23. P. Holmes, J. L. Lumley, and G. Berkooz, Turbulence, Coherent Structures, Dynamical Systems and Symmetry, Cambridge, Cambridge University Press (1996).

24. C. Godreche and P. Manneville (eds.), Hydrodynamics and Nonlinear Instabilities, Cambridge, Cambridge University Press (1998).

25. Ya. G. Sinai, Physica A 263, 565 (1999).

26. G. I. Barenblatt, A. J. Chorin, and V. M. Prostokishin, J. FluidMech., 410, 263 (2000).

27. C. Foias, O. Manley, R. Rosa, and R. Temam, Navier-Stokes equations and turbulence, Cambridge, Cambridge University Press (2001).

28. C. Foias, D. Holm, and E. Titi, Physica D 152, 505 (2001).

29. P. J. Schmid and D. S. Henningson, Stability and Transition in Shear Flows, New York, Springer-Verlag (2001).

30. A. Majda and A. Bertozzi, Vorticity and incompressible flow, Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge, Cambridge University Press (2002).

31. S. Baroud, B. Plapp, Z.-S. She, and H. Swinney, Phys. Rev. Lett., 88, 114501 (2002).

32. C. Bardos, M. C. Lopes Filho, Dongjuan Niu, H. J. Nussenzveig Lopes, and E. S. Titi, SIAMJ. Math. Anal., 45. 1871 (2013).

33. K. R. Rajagopal and A. S. Gupta, Int. J. Eng. Sci, 19, 1009 (1981).

34. E. D. Siggia, J. FluidMech., 107, 37 (1981).

35. W. H. Hui, J. Appl. Math. Phys, 38, 689 (1987).

36. C Childress, G. R. Terley, E. A. Spiegel, and W. R. Young, J. Fluid Mech., 203, 1 (1989).

37. C. Y. Wang, Ann. Rev. Fluid Mech, 23, 159 (1991).

38. Vincent and M. Meneguzzi, J. Fluid Mech., 225, 1, (1991).

39. O. P. Chandna and E. O. Oku-Ukpong, Int. J. Math. and Math. Sci., 17, 155 (1994).

40. F. Labropulu, Acta Mechanica, 141, 11 (2000).

41. H. G. Choe and J. Lewis, J. Funct. Anal., 175, 348 (2000).

42. D. Chae and J. Lee, Nonlinear Anal., 46, 727 (2001).

43. M. Jamil, Int. J. Nonlin. Sci, 9, 296 (2010).

44. D. Li, Ya. G. Sinai, Adv. Math., 229, 1976 (2012).

45. R. Temam Navier-Stokes equations. Theory and Numerical Analysis, Amsterdam-New York-Oxford, North-Holland Publishing Company (1977).

46. J. Kim and P. Moin, J. Comput. Phys., 59, 308 (1985).

47. J. B. Bell, P. Colella, and H. M. Glaz, J. Comput. Phys., 85, 257 (1989).

48. G. E. Kamiadakis, M. Israeli, and S. A. Orszag, J. Comput. Phys., 97, 414 (1991).

49. P. M. Gresho, Ann. Rev. Fluid Mech., 23, 413 (1991).

50. H. Chen, S. Chen, and W. H. Matthaeus, Phys. Rev. A 45, R5339 (1992).

51. S.-C. Chang, J. Comput. Phys., 119, 295 (1996).

52. L. Tobiska and R. Verfurth, SIAMJ. Numer. Anal., 33, 107 (1996).

53. P. M. Gresho and R. L. Sani, Incompressible Flow and the Finite Element Method, John Wiley, Chichester, 1998.

54. C. E. Baumann and J. T. Oden, Int. J. Numer. Methods Fluids, 31, 79 (1999).

55. Kh. Khadra, Ph. Angot, S. Pameix, and J.-P. Caltagirone, Int. J. Numer. Methods Fluids, 34, 651 (2000).

56. K. Ohkitany and G. Gibbon, Phys. Fluids, 12, 3181 (2000).

57. D. L. Brown, R. Cortez, M. L. Minion, J. Comput. Phys., 168, 464 (2001).

58. T. Chung, Computational Fluid Dynamics, Cambridge, Cambridge University Press (2001).

59. P. Wesseling, Principles of Computational Fluid Dynamics, BerlinHeidelberg, Springer-Verlag (2001).

60. J. H. Ferziger and M. Peric, Computational Method for Fluid Dynamics, Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag (2002).

61. Д.С. Кузнецов, Специальные функции, М., Высшая школа, 1965.

62. M. Cannone and F. Planchon, Commun, Partial Differ. Equations, 21, 179 (1996).

63. J. Malek, J. Necas, M. Pokorny, and M. E. Shonbek, Math, Nachr., 199, 97 (1999).

64. M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover (1964).

65. C. E. Brennon, Cavitation and Bubble Dynamics, Oxford, Oxford University Press (1995).

66. A. G. Terentiev, I. N. Kirschner, and J. S. Uhlman, The Hydrodynamics of Cavitating Flows, Backbone Publishing Company, Paramus (2011).

67. G. Seregin and V. Sverak, Arch. Ration.Mech. Anal. 163, 65 (2002).

68. A. S. Rabinowitch, "On axially symmetric solutions of the Navier-Stokes equations", International Journal of Advanced Mathematical Sciences, 1(4), 199-206 (2013).

69. A. S. Rabinowitch, "On some classes of nonstationary axially symmetric solutions to the Navier-Stokes equations", Journal of Mathematical Physics, 55(9), 093102-1 - 093102-11 (2014).

70. A. S. Rabinowitch, "On a particular analytical solution to the 3D Navier-Stokes equations and its peculiarity for high Reynolds numbers", Journal of Mathematical Physics, 56(9), 093101-1 - 093101-8 (2015).

71. A. S. Rabinowitch, "On a particular solution to the 3D Navier-Stokes equations for liquids with cavitation" Journal of Mathematical Physics, 57(8), 083103-1 - 083103-6 (2016).

72. А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, М., Наука, 1988.

73. Л. Райдер, Квантовая теория поля, М., Мир, 1987.

74. P. Frampton, Gauge Field Theories, Wiley-VCH (2008).

75. S. R. Coleman, Phys. Lett. B 70, 59 (1977).

76. W. B. Campbell and T. A. Morgan, Phys. Lett. B 84, 87 (1979).

77. R. Gueven, Phys. Rev. D 19, 471 (1979).

78. S.-Y. Lo, P. Desmond, and E. Covacs, Phys. Lett. B, 90, 419 (1980).

79. M. Basler and A. Hädicke, Phys. Lett. B, 144, 83 (1984).

80. C. H. Oh and R. J. Teh, J. Math. Phys, 26, 841 (1985).

81. P. A. Raczka, Phys. Lett. B, 177, 60 (1986).

83. S. G. Matinyan, E. B. Prokhorenko, and G. K Savvidy, Nuclear Physics B, 298, 414 (1988).

84. T. S. Biro, S. G. Matinyan, and B. Müller. Chaos and Gauge Field Theory, Singapore, World Scientific (1994).

85. J. P. Blaizot and E. Ianku, Phys. Lett. B, 326, 138 (1994).

86. A. S. Rabinowitch, "Modified Yang-Mills Theory and Electroweak

Interactions". International Journal of Theoretical Physics, 39(10), 2457-2466 (2000).

87. А. С. Рабинович, "О нелинейной теории сильных электромагнитных полей", Новейшие проблемы теории поля, Казань, КГУ, 2005, 5, 205-212 (2005).

88. A. S. Rabinowitch, "Yang-Mills Equations and Nonlinear Electrodynamics", Russian Journal of Mathematical Physics, 12(3), 379-385 (2005).

89. А. С. Рабинович, "О нелинейной электродинамике с уравнениями Янга-Миллса", Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Физика, 13, 68-77 (2005).

90. А. С. Рабинович, "Точные осесимметричные волновые решения уравнений Янга-Миллса", Теоретическая и математическая физика, 148(2), 243-248 (2006).

91. A. S. Rabinowitch, "On non-Abelian expanding waves", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 40(48), 14575-14579 (2007).

92. A. S. Rabinowitch, "On a new class of non-Abelian expanding waves", Physics Letters B, 664(4-5), 295-300 (2008).

93. A. S. Rabinowitch, "Yang-Mills Fields of Nonstationary Spherical Objects with Big Charges", Russian Journal of Mathematical Physics, 15(3), 389-394 (2008).

94. A. S. Rabinowitch, Nonlinear Physical Fields and Anomalous Phenomena, New York, Nova Science Publishers, 2009, 245 p.

95. A. S. Rabinowitch, "On New Solutions of Classical Yang-Mills Equations with Cylindrical Sources", Applied Mathematics. 1(1), 1-7 (2010).

96. А. С. Рабинович, С. Ю. Абакумов. "Нелинейная модель атмосферы Земли с учетом ракетных и спутниковых данных", Вестник РУДН, сер. Математика. Информатика. Физика, 3, 129-137 (2012).

97. A. S. Rabinowitch, S. Yu. Abakumov, "A new model of the Earth atmosphere with strong electric fields described by means of the Yang-Mills theory", Теоретическая физика: Материалы международной конференции. М., МГОУ, 94-103 (2012).

98. А. С. Рабинович, С. Ю. Абакумов, "Нелинейная модель ионосферы Земли", Сборник трудов XV Всероссийской научно-технической конференции "Новые информационные технологии", М., МГУПИ, 49-54 (2012).

99. A. S. Rabinowitch, S. Yu. Abakumov, "A new model of the earth atmosphere with strong electric fields described by means of the Yang-Mills theory", Теоретическая физика. Материалы международной конференции, М., МГОУ, 94-103 (2012).

100. А. С. Рабинович, С. Ю. Абакумов, "Исследование нелинейной модели верхней ионосферы Земли с учетом данных космических аппаратов", Вестник МГОУ, сер. Физика-Математика, 3, 56-63 (2012).

101. A. S. Rabinowitch, S. Yu. Abakumov, "Nonlinear Model of the Earth Ionospheric Region F Based on Yang-Mills Theory", Труды XLVIII Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники, М., РУДН, 30-33 (2012).

102. A. S. Rabinowitch, "On Yang-Mills Equations with Classical Sources". Труды XLVIII Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники, М., РУДН, 92-96 (2012).

103. А. С. Рабинович, "О нестационарных решениях уравнений Янга-Миллса", Вестник РУДН, сер. Математика. Информатика. Физика, 1, 274-283 (2013).

104. A. S. Rabinowitch, "New wave solutions of the Yang-Mills equations with axially symmetric sources", International Journal of Advanced Mathematical Sciences, 1(3), 109-121 (2013).

104. A. S. Rabinowitch, "Quantum Yang-Mills Fields in the Superconductive Vacuum", Труды IL Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники, М., РУДН, 15-18 (2013).

105. А. С. Рабинович, Математические основы малоизученных аномальных физических явлений (2-е изд.), М., УРСС, Кн. дом "Либроком", 2015, 328 с.

106. T. Ericson, W. Weise, Pions and Nuclei, Oxford, Clarendon Press, 1988,

107. А. И. Наумов, Физика атомного ядра и элементарных частиц, М., Просвещение, 1984.

108. L, Shiff, Phys. Rev, 84, 1 (1951).

109. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля, М., Наука, 1967.

110. A. S. Rabinowitch, "Relativistic Theory of Nuclear Forces", International Journal of Theoretical Physics, 33(10), 2049-2056 (1994).

111. A. S. Rabinowitch, "Binding Energies of Nuclei", International Journal of Theoretical Physics, 36(2), 533-544 (1997).

112. A. S. Rabinowitch, "Nuclear Forces and Neutron Stars", International Journal of Theoretical Physics, 37(5), 1477-1489 (1998).

113. A. S. Rabinowitch, "Generalized Einstein gravitational theory with vacuum vectorial field", Classical and Quantum Gravity, 20(7), 1389-1402 (2003).

114. А, С. Рабинович, "Об одном нелинейном обобщении мезонной теории Юкавы ядерных сил", Вестник РУДН, сер. Математика. Физика. Информатика, 3, 92-98 (2008).

115. А. С. Рабинович, "Об одном обобщении уравнения Дирака для описания кварковой структуры нуклонов", Известия высших учебных заведений. Физика, 51(8), 44-49 (2008).

116. А. С. Рабинович, М. А. Крамской, "Исследование периодических орбит нуклонов и антинуклонов в нелинейном поле ядерных сил", Вестник МГУПИ, 29, 112-122 (2010).

117. А. С. Рабинович, М. А. Крамской, "Периодические орбиты релятивистского антипротона в нелинейном ядерном поле", Вестник МГОУ, сер. Физика-Математика, 2, 44-52 (2011).

118. А. С. Рабинович, М. А Крамской, "Исследование замкнутых орбит нуклонов и антинуклонов, движущихся в нелинейных ядерных полях". Теоретическая физика: Материалы международной конференции. М., МГОУ, 232-242 (2012).