Исследование некоторых физических свойств магнитных и металлических фрактальных структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.11, кандидат физико-математических наук Богданова, Софья Борисовна

• Богданова, Софья Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Богданова, Софья Борисовна

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение

ГЛАВА 1. Обобщение квазиклассического кинетического уравнения на случай фрактального объекта

1.1. «Обычное» квазиклассическое кинетическое уравнение (ККУ) для функции распределения Бозе и Ферми - частиц

1.2. Некоторые частные случаи уравнения и законы сохранения

1.3. Процессы рассеяния и их характеристики

1.4. Фрактальные объекты и их основные геометрические свойства

1.5. Дробное дифференцирование и интегральное представление дробной производной

1.6. Метрика и мера фрактального объекта

1.7. Обобщенное кинетическое уравнение для металлического фрактала

1.8. Проводимость фрактального образца

ГЛАВА 2. Теория магнитной восприимчивости магнитного фрактала

2.1. Общая теория магнитной восприимчивости

2.2. Магнитная восприимчивость обычного магнетика

2.3. Продольная восприимчивость магнитного фрактала

2.4. Численное моделирование продольной магнитной восприимчивости фрактального образца для различных значений е {ёг = \ + е)

2.5. Сравнение с «обычным» магнетиком

ГЛАВА 3. Теория теплопроводности фрактального топологически

одномерного объекта

3.1. Классическая теория теплопроводности и закон Фурье

3.2. Обобщение закона Фурье на фрактальный объект

3.3. Численное моделирование зависимости температуры от степени фрактальности физической структуры и сравнение с обычным

образцом

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование некоторых физических свойств магнитных и металлических фрактальных структур»

ВВЕДЕНИЕ.

В последнее время широкое распространение получили исследования, связанные с изучением свойств фрактальных объектов, а стремительный прорыв в этой области начался, по - видимому, с обзора [1], где впервые были сформулированы основные принципы и идеи этого нового научного направления. Подавляющее большинство результатов, описанных в этом обзоре, было получено благодаря методам численного моделирования или эксперименту [2-8].

О зависимости физических свойств фракталов от их фрактальной размерности существует масса сведений [3,8,9]. Развитие науки о фракталах позволило понять множество сложных физических явлений природы, ранее не поддававшихся математическому описанию. Отметим вкратце только некоторые основные, в число которых входят следующие: явление турбулентности, рост трещин при механических нагрузках, образование кластеров, идеи масштабной теории (скейлинга), широко применяемой при изучении магнитных фазовых переходов, а также при описании кинетики роста и динамики полимолекулярных образований.

В [10] было показано, что реальные цепи в полимерах имеют .такие же свойства, что и случайные блуждания без самопересечений (представляющие собой фрактал).

В турбулентности теория фракталов связана с теорией масштабной инвариантности Колмогорова, когда скорость турбулентного потока, являющаяся функцией пространственных переменных и времени, представляет собой фрактал, подобный броуновской кривой [11,12].

Флуктуации температуры, плотности и т.п., как функции пространственных координат, также могут быть отнесены к числу фракталов [8].

В формальной теории динамических систем были обнаружены странные аттракторы, представляющие собой решения систем дифференциальных уравнений, не заполняющих никакой области, а образующих сложную «дырявую» структуру, которая представляет собой фрактал. Фрактальная

размерность такого множества согласно гипотезе Каплана - Йорке [13] определяется главной размерностью Ляпунова.

Изучение динамических явлений на фрактальных объектах экспериментальным путем показало, что физические свойства фрактала являются сложными функциями его размерности. В том смысле, что все они зависят от его геометрии. Как отмечено в [8], и электрическое сопротивление, и диссипация электромагнитной энергии обнаруживают аномальные степенные зависимости в виде функции от приложенной частоты, а соответствующие показатели степени непосредственно связаны с теми фрактальными размерностями, которые необходимо измерить.

Из экспериментов с белками выяснилось, например, что время низкотемпературной спин-решеточной релаксации некоторых гемопротеинов описывается степенной функцией от температуры.

При этом было установлено, что теоретическая зависимость, которая приводит к целочисленному показателю степени, дает худшее согласие с экспериментом, чем, если бы, показатель степени был не целым. Этот показатель получается из гипотезы о фрактальной размерности структуры и вычисляется по алгоритму теории случайных блужданий по цепи молекулы белка.

Показательным в отношении физических свойств фракталов стало развитие в навигационных и радиолокационных системах так называемых сильно «ломаных» по определенному закону построения фракталов фрактальных антенн.

Сконструированные на основе кривой Коха или кривых Пеано [14], фрактальные антенны обеспечивают максимальное удобство при их эксплуатации [15].

При использовании фрактальных антенн была обнаружена зависимость ее технических характеристик от геометрических параметров, то есть от фрактальной размерности образца. Например, в [16] отмечается, что теоретическое представление механизма взаимодействия фрактальной приемной антенны с падающими на нее электромагнитными волнами весьма

сложно из - за отсутствия аналитического описания волновых процессов в проводнике со сложной геометрией. Поэтому для подобных объектов все основные параметры фрактальных антенн целесообразно определять путем математического моделирования.

Все перечисленные выше примеры и возможность их применения в практических целях говорят об актуальности исследования в этом направлении.

В диссертации впервые проведено изучение магнитной восприимчивости магнитного фрактала, а также процесса теплопроводности подобных структур, что характеризует новизну диссертационного исследования.

Практическая значимость работы состоит в том, что, например, построенная в диссертации теория продольной магнитной восприимчивости магнитного фрактала и предсказанные отличия от «обычного» магнетика позволяют применять их в качестве мощных поглотителей энергии радиочастотного поля (сокращенно РЧ) в приемниках и передатчиках сигналов. Это же касается и теории теплопроводности магнитных фракталов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, содержит три главы, заключение и список литературы, который насчитывает 150 наименований.

Содержание диссертации.

В первой главе диссертации дается обобщение квазиклассического кинетического уравнения (сокращенно ККУ) на случай фрактального топологически одномерного объекта.

Первый параграф посвящен выводу обычного ККУ для функции распределения частиц (или квазичастиц). Во втором параграфе рассмотрены некоторые следствия этого уравнения и законы сохранения энергии и импульса участвующих во взаимодействии частиц. Третий параграф содержит анализ процессов рассеяния и их основные характеристики, главной из которых является время релаксации. Четвертый параграф

включает в себя характеристику фрактальных объектов, их основные геометрически и физические свойства. В пятом параграфе вводится операция дробного дифференцирования и обосновывается ее применение к фрактальной физической структуре. Шестой параграф посвящен такому важному понятию, как мера фрактала и метрика. В этом параграфе дается определение метрики и ее вычисление с помощью ренормгрупповых представлений. В седьмом параграфе предложено обобщение обычного ККУ на случай фрактального образца. Как пример его применения, в восьмом параграфе дается вычисление проводимости металлического фрактала.

Вторая глава диссертации включает в себя исследование продольной магнитной восприимчивости фрактального физического образца.

В первом параграфе второй главы описывается общая теория магнитной восприимчивости обычного магнетика. Во втором параграфе формулируется и излагается теория магнитной восприимчивости обычного магнитного вещества. Третий параграф посвящен построению теории продольной магнитной восприимчивости магнитного фрактала. В четвертом параграфе проведено численное моделирование магнитной восприимчивости магнитного фрактала.

Наконец, последняя третья глава включает в себя изучение теплопроводности магнитного фрактала.

В первом параграфе третьей главы излагаются основные положения классической теории теплопроводности. Во втором параграфе дается обобщение закона Фурье на фрактальный образец и строится теория теплопроводности для фрактальной структуры. В третьем параграфе дается численное моделирование температурной зависимости фрактального топологически одномерного объекта и в последнем четвертом параграфе проводится его сравнение с «обычным» образцом.

В заключение диссертации сформулированы основные моменты проведенного исследования и кратко изложены главные результаты.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 8 статей из перечня ВАК. Основные результаты работы были доложены на 17 международных конференциях.

Объем диссертации. Диссертация содержит 129 страниц машинописного текста и списка литературы, который насчитывает 184 источника.

Заключение диссертации по теме «Физика магнитных явлений», Богданова, Софья Борисовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение диссертации подведем основные итоги проведенного исследования и отметим основные результаты, полученные выше.

1. Впервые с помощью феноменологически введенной операции дробного дифференцирования дано обобщение квазиклассического кинетического уравнения на топологически одномерное фрактальное множество размерности 1 + е.

2. Впервые с помощью обобщенного квазиклассического кинетического уравнения вычислены зависимости коэффициентов проводимости а(е) и теплопроводности к(е) фрактальных металлических топологически одномерных структур.

3. Применение обобщенного квазиклассического кинетического уравнения к ферромагнитному образцу позволило впервые вычислить продольную составляющую тензора магнитной восприимчивости фрактальной проволоки и найти ее зависимость от параметра фрактальности е, а также от температуры Т и частоты внешнего магнитного поля со (формула (8)). Для изучаемых нами четырех типов кривых (Коха, Серпинского, Пеано и Менгера) численными методами показано, что они по-разному поглощают энергию внешнего переменного поля.

4. Показано, что спектр магнонов в ферромагнитной фрактальной проволоке является не квадратичным и зависит от параметра фрактальности е.

5. Найдено решение уравнения теплопроводности в топологически одномерном фрактале в виде функции времени, координат и параметра фрактальности. Установлено, что выравнивание температуры по фрактальному образцу происходит дольше, чем по гладкому.

6. Впервые дано обоснование введения меры ц(е) на фрактале, и вычислены ее значения для исследуемых нами четырех типов фрактальных кривых: кривой Коха, Серпинского, Пеано и Менгера.

Считаю своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность и признательность моему научному руководителю профессору Гладкову Сергею Октябриновичу, а также хочу поблагодарить всех принимавших участие в обсуждении результатов работы участников Низкоразмерного семинара Санкт - Петербургского Физико - технического института им. А.Ф. Иоффе РАН и лично председателя семинара чл. - корр. РАН Е.Л.Ивченко за полезные замечания и ценные советы, которые способствовали улучшению качества работы. Также хочу выразить благодарность д.ф.м.н. Кочерешко В.П. за внимание к работе и помощь в организации семинара.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Богданова, Софья Борисовна, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б.Мандельброт. Ижевск : РХД, 2002. 665 с.

2. Witten, Т.A. Diffusion - limited aggregation / T.A.Witten, L.A.Sander // Phys.Rev.Lett. 1983. V.27. P. 5686 - 5697.

3. Daccord, G. Fractal phenomena from chemical dissolution / G.Daccord // Nature. 1987. № 325. P. 41 -43.

4. Иванюк, Г.Ю. Фрактальные геологические среды: размерность, основные типы, генетические следствия / Г.Ю.Иванюк // Физика Земли. 1997. №3. С. 21-31.

5. Turcotte, D.L. Fractals in geology and geophysics / D.L.Turcotte. Pure and Appl. Geophys. 1989. V. 131. № 1/2. P. 171 - 196.

6. Зосимов, В.В. Фракталы в волновых процессах / В.В. Зосимов, Лямшев Л.М // УФН. 1995. Т. 165. №4. С. 361 - 402.

7. Maloy, K.I. Viscous fingering fractals in porous media / K.I.Maloy, J. Feder, T. Jossang // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 2688 - 2691.

8. Frouland, J. The fractal statistics of ocean waves // J.Frouland, J. Feder, T. Jossang // Geophys. Now. 1988. V.38. P. 369 - 374.

9. Kagan, Y.Y. Fractal dimension of brittle fracture / Y.Y.Kagan // J. Nonlinear Sci. 1991. №1. P. 1 - 16.

10.Weitz, D.A. Fractal structures formed by kinetic aggeregation of aqueous gold cooloids / D.A.Weitz, M. Oliveira // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 1433 - 1436.

11.Matsushita, M. Fractal structures of zinc metal leaves grown by electrodeposition / M. Matsushita, M. Sano, Y. Hayakawa, H. Honjo, Y. Sawada // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. № 3. P. 286 - 289.

12.Chen, J.D. Pore - scale viscous fingering in porous media // J.D.Chen, D. Wilkinson // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 1892 - 1895.

13.Schaefer, D.W. Fractal geomenry of cooloidal agregates

/ D.W.Schaefer, J.E.Martin, P. Wiltzius // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 2371 -2374.

14.Кроновер, P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р.М.Кроновер. М. : Постмаркет. 2000. 252 с.

15.Мандельброт, Б. Фракталы и хаос / Б. Мандельброт. Ижевск. РХД. 2009. 391 с.

16.Смирнов, Б.М. Физика фрактальных кластеров / Б.М.Смирнов. М.: Наука. 1991. 134с.

17.Смирнов, Б.М. Фрактальные кластеры / Б.М.Смирнов // УФН. 1986. Т. 149. Вып.2 С. 177-219.

18.0лемской, А.И. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды / А.И.Олемской, А.Д.Флат // УФН. 1993. Т. 163. №12. С. 1-50. 19.Stauffer, D. Scaling theory of percolation clusters / D. Stauffer // Physics

Reports. 1979. № 34. P. 1-74. 20.Shante, V.K. An introduction to percolation theory / V.K. Shante , S.

Kirkpatrick // Advances in Physics. 1971. № 20. P. 325 - 357. 21 .Wiener, N. Selected Papers of Norbert Wiener / Cambridge (Mass.) Society for industrial and applied mathematics. M.I.T. Press. 1964. 453 p.

22.Kirkpatrick, S. Percolation and conduction / S. Kirkpatrick // Reviews of Modern Physics. 1973. № 45. P. 574 - 588.

23.Фракталы в физике // Труды 6 межд.симпозиума по фракталам в физике. МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985г. Под ред. Л.Пьетронезе и Э.Тозатти. Пер. с англ. под ред. Я.Г. Синая и И.М.Халатникова. М.: Мир. 1988. 672 с.

24.Фракталы в прикладной физике / Под общей ред. А.Е.Дубинова. ВНИИЭФ. Арзамас-16. 1995. 216 с.

25.Фракталы и их приложения в науке й технике // Труды Всероссийской научной конференции. Тюмень, Россия, 4-5 февраля 2003. Под ред. В.Н.Осташкова. Тюмень. 2003. 198 с.

26.Фракталы и прикладная синергетика // Тезисы докладов второго междисциплинарного симпозиума. Москва, 26 - 30 ноября 2001.М.: МГОУ. 2001.200 с.

2 7. Фракталы и прикладная синергетика // Труды третьего междисциплинарного симпозиума. М.: МГОУ. 2003. 353 с.

28.Шибков, A.A. Физика и геометрия фракталов / А.А.Шибков, М.А.Желтов, Д.В.Михлик, А.Е.Золотов. Тамбов. 2011. 136 с.

29. де Жен, П. Идеи скейлинга в физике полимеров / П. де Жен. М. : Мир. 1982г. 368 с.

30. Колмогоров, А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса / А.Н.Колмогоров // Доклады АН СССР. 1941. Т.30. С. 209 - 304.

31. Колмогоров, А.Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовском пространстве / А.Н.Колмогоров // Доклады АН СССР. 1940. Т. 26. С. 115 - 118.

32.Kaplan, J.L. Chaotic Behavior in Multidimensional Difference Equations / J.L. Kaplan, J.A.Yorke. Lect.Notes in Math. Berlin. Springer - Verlag. 1979. № 730. P. 228-237.

33.Sagan, H. Space Filling Curves / H. Sagan. Springer-Verlag. New York. 1994. 193p.

34. Кравченко, В.Ф. Современные методы аппроксимации в теории антенн / В.Ф.Кравченко, В.М.Масюк. М. : ИПРЖР. 2002г. 72с.

35.Слюсар, В. Фрактальные антенны / В. Слюсар // Электроника: Наука, Технология, Бизнес. 2007. №5. С. 78-83.

36.Потапов, A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации / А.А.Потапов. М. : Логос. 2002 . 663 с.

37.Потапов, A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации: топология выборки / А.А.Потапов. М. : Унив. Книга. 2005. 847 с.

38.Шелухин, О.И. Самоподобие и фракталы: телекоммуникационные приложения / О.И.Шелухин, A.B.Осин, С.М.Смольский. М.: Физматлит. 2008. 368 с.

39.Ландау, Л. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика / Л.Ландау, И.Лифшиц. М. : Наука. 1982. 752с.

40. Гладков, С.О. Физика композитов: термодинамические и диссипативные свойства / С.О.Гладков. М.: Наука. 1999.330 с.

41.Gladkov, S.O. Dielectric Properties of Porous Media / S.O. Gladkov. Springer Series in Materials Science. Physics and Astronomy. 59. 26lp.

42. Гладков С.О. Теоретические основы физики гетерогенных структур и нано объектов (особенности поведения в электромагнитных и акустических полях разной интенсивности). Lambert Academic Publishing. 2012. 398 с.

43. Гладков, С.О. Физика пористых структур / С.О. Гладков. М. : Наука. 1997. 175с.

44. Лифшиц, Е.М. Теоретическая физика. Т.9. Статистическая физика / Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский. М. : Наука. 1982. 447с.

45. Федер, Е. Фракталы / Е. Федер. М.: Мир. 1991. 254с.

46.Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы / М. Шредер. Ижевск: РХД. 2001. 528с.

47.Кантор, Г. Труды по теории множеств / Г. Кантор. М. : Наука. 1985. 430 с.

48.Александров, П.С. Введение в общую теорию множеств и функций / П.С. Александров. ОГИЗ : Гостехиздат. 1948. 441с.

49.Математическая энциклопедия. Т.З. Под ред. И.М.Виноградова. 19771985.

50.Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1/Г.М. Фихтенгольц. Физматгиз. 1962. 607с.

51.Дринфельд, Г.И. Дополнение к общему курсу

математического анализа / Г.И. Дринфельд. Харьков: ХГУ. 1958. 118 с.

52.Зигмунд, М. Тригонометрические ряды. T.l. / М. Зигмунд. М.: Мир. 1965.615 с.

53.Гленсдорф, П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуации / П. Гленсдорф, И.Пригожин. М. 2003. 280с.

54.Бржечка, В.Ф. О функции Больцано / В.Ф. Бржечка // УМН. 1949. Вып.4. № 2. С. 15-21.

55.Безикович, A.C. Исследование непрерывных функций в связи с вопросом об их дифференцируемости /A.C. Безикович. Мат. сборник. 1924. т.31. Вып.3-4. С. 529-556.

56.Waerden, B.L.Van der. Ein einfaches Beispiel einer nichtdifferentierbaren stetigen Function / B.L.Van der Waerden. Math.Z. 1930. № 32. 46-75 p.

57.Турбин, А.Ф. Фрактальные множества. Функции, распределения /

A.Ф.Турбин, Н.В. Працевитый. Киев: Наукова думка. 1992. 205 с.

58.Урысон, П.С. Труды по топологии и другим областям математики. Т.1 / М.: Гостехтеоретиздат. 1951. 512 с.

59.Александров, П.С. Введение в теорию размерности / П.С.Александров, Б.П.Пасынков. М.: Наука. 1973. 576 с.

60.Пасынков, Б.А. Топология и теория размерности / Б.А.Пасынков,

B.В.Федорчук. М.: Знание. 1984. 64 с.

61.Пархоменко, A.C. Что такое линия / А.С.Пархоменко. М.: Государственное издательство технико - теоретической литературы. 1954. 142 с.

62.Хаусдорф, Ф. Теория множеств / Ф. Хаусдорф. М.: ОНТИ. 1937. 304 с.

63.Bahavar, J.R. Probability density for diffiision on fractals / J.R. Bahavar, J.F. Willemsen // Phys.Rev.B. 1984. Vol.30. № 11. 6778-6779 p.

64.Соколов, И.М. Размерности и другие геометрические показатели в теории протекания / И.М.Соколов // УФН. 1986. т. 150. № 2. С. 221-225.

65.Носков, М.Д. Прохождение квантовой частицы через одномерный фрактальный барьер / М.Д. Носков, A.B. Шаповалов // Известия вузов. Серия Физика. 1993. № 7. 120-127 с.

66.Кравченко, В.Ф. Применение функции Больцано к теории фрактальных антенн / Кравченко В.Ф. // ДАН РАН. 2002. т.386. № 2. С. 169-175.

67.Werner, D.H. Frequency - independent features of self-similar antennas / Werner D.H. and Werner P.L. // Radio Science. 1996. Vol.31. № 6. 3331-3343p.

6 8. Летников, A.B. Теория дифференцирования с произвольным указателем / A.B.Летников. Москва. 1868. 96 с.

69. Летников, A.B. К разъяснению главных положений теории дифференцирования с произвольным указателем / А.В .Летников. М.: Московское математическое общество, состоящее при Имп. Моск. унте. 1872. 33с.

70.Шостак, Р.Я. Историко-математические исследования. Вып.5 / Р.Я.Шостак. М.: ГИТТЛ. 1952.

71.Джрбашян, М.М. Интегральные преобразования и представления в

комплексной плоскости / Джрбашян М.М. М.:1966. 672 с.

t

72.Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. Москва. : ИЛ. 1962. 636 с.

73.Нигматуллин, P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация / P.P. Нигматуллин // Теоретическая и математическая физика. 1992. т.90. № 3. 354-368 с.

74.Wyss, W. The fractional diffusion equation / Wyss W. // J. Math. Phys. 1986. Vol.27. № 11. 2782 - 2785p.

75.Schneider, W.R. Fractional diffusion and wave equations /

Schneider W.R., Wyss W. // Ibid. 1989. Vol 30. №1. 134-144 p.

76.Бабенко, Ю.И. Применение дробного дифференцирования в задачах теории теплопроводности / Ю.И.Бабенко. Л.: Государственный институт прикладной химии. 1975. 91 с.

77. Saichev, A.I. Fractional kinetic equation: solutions and applications / A.I. Saichev, G.M.Zaslavsky // Chaos. 1997. №7. P. 753 - 764.

78. Zaslavsky, G.M. Fractional kinetic equation for Hamiltonian chaos / G.M. Zaslavsky // Physica D. 1994. №76. P. 110 - 122.

79.Zaslavsky, G.M. Fractional kinetics from pseudochaotic dynamics to Maxwellis demon / G.M. Zaslavsky, M.A.Edelman // Physica D. 2004. №193. P. 128-147.

80. Гладков, C.O. К теории одномерной и квазиодномерной теплопроводности / С.О. Гладков // ЖТФ. 1997. Т. 67. Вып. 7. С. 8 - 12.

81. Гладков, С.О. К теории гидродинамических явлений в квазиодномерных системах / С.О.Гладков // ЖТФ. 2001. Т.71. Вып. 11. С. 130-132.

82. Гладков, С.О. О некоторых специфических свойствах нового типа дискретных материалов / С.О. Гладков // Доклады РАН. 2006. Т. 408. Вып. 2. С. 182- 187.

83. Гладков, С.О. К теории квазитрехмерной теплопроводности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Вестник Московского государственного областного университета. Физика математика. 2009. № 1-2. С. 21-27.

84. Gladkov, S.О. The heat-transfer theory for quasi-n-dimensional system /

S.O.Gladkov, S.B.Bogdanova // Physica B: Condensed Matter. 2010.

«

Vol.405. 1973-1975 p.

85.Гладков, С.О. Описание свойств фрактальных антенн с помощью квазиклассического кинетического уравнения в пространстве нецелой размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды МАИ. 2011. № 47.

86.Богданова, С.Б. О продольной магнитной восприимчивости фрактальных ферродиэлектриков / С.Б.Богданова, С.О.Гладков // Известия РАН. Серия физическая. 2011. т.75. № 10. С. 1418-1422.

87.Гладков, С.О. К теории продольной магнитной восприимчивости квазитрехмерных ферромагнитных диэлектриков / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Физика твердого тела. 2012. № 1, т.54. Вып.1. С. 7073.

88.Гладков, С.О. О вычислении продольной магнитной восприимчивости фрактальной ферродиэлектриков / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Вестник Московского государственного областного университета. Физика математика. 2010. № 2. С. 76-80.

89.Гладков, С.О. К вопросу обобщения кинетического уравнения для случая пространства нецелой размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Конденсированные среды и межфазные границы. 2011. № 4. С. 423-426.

90. Зельдович, Я.Б. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика / Я.Б.Зельдович, Д.Д.Соколов // УФН. 1985. т.146.Вып.З. С. 493-506.

91.Кравченко, A.C. Инвариантные меры самоподобных фракталов и метрические свойства самоафинных кривых / А.С.Кравченко. Дисс. К. ф. - м. н. Новосибирск. 2006. 82 с.

92.Асеев, В.В. О самоподобных жордановых кривых на плоскости / В.В.Асеев, А.В.Тетенов, А.С.Кравченко // Сиб. мат. журнал ИМ СО РАН. 2003. Т.44. № 3. С. 481 - 492.

93 .Federer, К. Geometrie Measure Theory / К. Federer. Springer - Verlag. New York. 1996.

94.Hutchinson, J. Fractals and Self Similarity / J.Hutchinson // Indiana Univ. Math. Journal. 1981. V. 30. № 5. P. 713-743.

95.Falconer, К. The geometry of fractal sets / K.Falconer. New York. Cambridge University. 1985.

96.Falconer, К. Fractal geometry: mathematical foundations and applications / K.Falconer. New York. Wiley. Chichester. 1990.

97.Mattila, P. Measures in Eucledean Spaces. Fractal and Rectifiability / P.Mattila. CUP. 1995.

98.Ker - I, Ко. On the computability of fractal dimensions and Hausdorff measure//APAL 93. 1998. P. 195-216.

99.Лифшиц, И.М. Электронная теория металлов / И.М.Лифшиц, М.Я.Азбель, М.И.Каганов. М.: Наука. 1971. 450 с.

100. Кравченко, В.Ф. Новый класс фрактальных функций в задачах анализа и синтеза антенн / В.Ф.Кравченко, В.М.Масюк. ИПРЖР. 2002. 72с.

101. А.А. Абрикосов. Введение в теорию нормальных металлов / А.А. Абрикосов. М.: Наука. 1972. 288 с.

102. Ландау, Л.Д. Курс теоретической физики. Электродинамика сплошных сред. Т. 8. / Л.Д. Ландау, Лифшиц И.М. М. : Наука. 1982. 620 с.

103. Займан, Дж. Принципы теории твердого тела / Дж. Займан. М.: Мир. 1974. 472с.

104. Киттель, У. Введение в физику твердого тела / У. Киттель. М.: Наука. 1978. 791с.

105. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. Электричество. т.З / Д. В.Сивухин. Физматлит. 2009. 656с.

106. Савельев, И.В. Курс общей физики, т.2. Электричество и магнетизм / И.В.Савельев. Наука. 1982. 496с.

107. Вонсовский, С.В. Магнетизм / С.В. Вонсовский. М. : Наука. 1984. 208 с.

108. Бозорт, Р. Ферромагнетизм / Р.Бозорт. М. : ИЛ. 1956. 784 с.

109. Тамм, И.Е. Основы теории электричества / И.Е.Тамм. М.: Наука. 1966. 624с.

110. Мак - Коннел, А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике / А. Дж. Мак -Коннел. М.: Физматгиз. 1963. 411с.

111. Гладков, С.О. К теории магнитной восприимчивости композитов / С.О.Гладков // ФТТ. 1997. Т.39. № 9. С. 1622 - 1627.

112. R. Kubo, Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems / R. Kubo // J. Phys. Soc. Jpn. 1957. № 12. 570-586p.

113. Кубо, P. Термодинамика / Р.Кубо. M.: Наука, 1977. 307с.

114. Кубо, Р. Статистическая механика / Р.Кубо. КомКнига. 2007. 450с.

115. Физическая энциклопедия. Под ред. А. М. Прохорова / М.: Советская энциклопедия, 1988.

116. Ахиезер, А.И. Спиновые волны / А.И. Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, С.В. Пелетминский. М.: Наука, 1967. 368с.

117. Ахиезер, А.И. А.И. Спиновые волны в ферромагнетиках и антиферромагнетиках / А.И.Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, М.И. Каганов. // УФН. 1960. №8. Т. 71. С. 533 -579.

118. Каганов, М.И. Природа магнетизма / Каганов М.И., Цукерник В.М. М.: Наука. 1982. 192 с.

119. Каганов, М. К теории антиферромагнетизма при низких температурах /М.Каганов, В.Цукерник //ЖЭТФ. 1958. Т. 34. С. 106.

120. Каганов, М.И. К феноменологической теории кинетических процессов в ферромагнитных диэлектриках / М.Каганов, В.Цукерник // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. С. 1610.

121. Каганов, М.И. К феноменологической теории кинетических процессов в ферромагнитных диэлектриках. II. Взаимодействие спиновых волн с фононами / М.Каганов, В.Цукерник // ЖЭТФ. 1959. Т. 36. С. 224 - 232.

122. Каганов, М.И. Магнитная восприимчивость одноосного антиферромагнетика / М.Каганов, В.Цукерник // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. С. 524.

123. Каганов, М.И. Нерезонансное поглощение энергии переменного магнитного поля ферромагнитным диэлектриком / М.Каганов, В.Цукерник // ЖЭТФ. 1959. Т. 37. С. 823.

124. Каганов, М.И. Нерезонансное поглощение энергии переменного магнитного поля ферромагнитным диэлектриком. II. / М.Каганов, В.Цукерник //ЖЭТФ. 1960. Т. 38. С. 1320.

125. Каганов, М.И. К теории нерезонансного поглощения переменного магнитного поля ферромагнитным диэлектриком. / М.Каганов, В.Цукерник //ЖЭТФ. 1960. Т. 39. С. 518.

126. Ахиезер, А. К теории явлений переноса в металлах в сильных магнитных полях / А.Ахиезер, В.Барьяхтар, С.Пелетминский // ЖЭТФ. 1965. №48. С. 204-222.

127. Ахиезер, А. Связанные магнитоупругие волны в ферромагнетиках и ферроакустический резонанс / А.Ахиезер, В.Барьяхтар, С.Пелетминский // ЖЭТФ. 1958. № 35. С. 228.

128. Каганов, М. К термодинамике фееромагнитного состояния при низких температурах / М.Каганов, В.Цукерник // ФММ. 1957. № 5. С. 561.

129. Ахиезер, И. К теории рассеяния электромагнитных волн в ферромагнетиках / И.Ахиезер, Ю.Болотин // ЖЭТФ. 1966. № 52. С. 451.

130. Басс, Ф. Комбинационное рассеяние электромагнитных волн в ферромагнитных диэлектриках / Ф.Басс, М. Каганов. // ЖЭТФ. 1959. Т.37. С. 1390. S

131. Ахиезер, А. Квантовая электродинамика / А.Ахиезер, В.Берестецкий. М.: Наука. 1981. 432 с.

132. Ахиезер, А. К теории релаксационных процессов в ферродиэлектриках при низких температурах / А.Ахиезер, В.Барьяхтар, С.Пелетминский // ЖЭТФ. 1959. Т. 36. С. 216 - 223.

133. Абрикосов, А. А. Методы квантовой теории поля в статистической физике / А.А.Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский. Физматгиз. 1962. 444с.

134. Абрикосов, А. Основы теории металлов / А.А.Абрикосов. Физматлит. 1977. 519с.

135. Пайерлс, Р. Электронная теория металлов / Р.Пайерлс. ИЛ. 1947. 96 с.

136. Акулов, Н.С. Ферромагнетизм / Н.С.Акулов. Гостехиздат. 1939. 188 с.

137. Ашкрофт, Н. Физика твердого тела. Т.1, 2 // Н. Ашкрофт, Н. Мермин. М. : Мир, 1979. Т.1 399 с. Т.2 422 с.

138. Блейкмор, Дж. Физика твердого тела. // Дж. Блейкмор. М.: Мир. 1988. 608 с.

139. Besicovitch, A.S. Sets of fractional dimensions: On dimensional nambers of some continuous curves / A.S.Besicovitch, H.D.Ursell // J. Of the London Mathematical Society. 1937. № 12. 18 - 25p.

140. Лоскутов, А. Ю. Введение в синергетику / А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1990. 270с.

141. Божокин, С.В. Фракталы и мультифракталы / С.В. Божокин, Д.А.Паршин. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика. 2001. 128с.

142. Hurewicz, W. Dimension theory / W. Hurewicz, H. Wallman. Princeton University Press. 1941. 165 p.

143. Rogers, C.A. Hausdorf measures / C.A.Rogers. Cambridge University Press. 1970. 179 p.

144. Гладков, C.O. Особенности процесса теплопроводности в пространствах дробной размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова //

Тезисы докладов 3-й международной конференции,

посвященной 85-летию Л.Д.Кудрявцева. Москва. МФТИ. 2008. С. 230.

145. Гладков, С.О. О теплопроводности структур нецелой размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Тезисы докладов Всероссийской конференции по математике и механике 23 - 25 сентября 2008г. Томск. Томский государственный университет. 2008. С. 186.

146. Гладков, С.О. К вопросу о теплопроводности физических структур нецелой размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды пятой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 3. Самара. 2008. С. 65.

147. Гладков, С.О. О теплопроводности в пространстве фрактальной размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Сборник трудов первой международной конференции по математической физике и ее приложениям. Самара. 2008. С. 54-56.

148. Гладков, С.О. О теплопроводности физических пространств с почти целой трехмерной размерностью / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды шестой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 3. Самара. 2009. С. 52.

149. Гладков, С.О. К вопросу о спектре магнонов в ферромагнитных структурах нецелой размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды 10-й конференции «Актуальные проблемы современной науки». Часть 4-6. Самара. 2009. С. 56 - 60.

150. Гладков, С.О. К теории продольной магнитной восприимчивости в магнетиках с фрактальной структурой / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды седьмой Всероссийской

конференции с международным участием

«Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 2. Самара. 2010. С. 36-38.

151. Gladkov, S.O. То theory of longitudinal magnetic susceptibility in fractal magnets / S.O. Gladkov, S.B.Bogdanova // Proceedings of 38 Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics. St.Peterburg. 2010. 236-238p.

152. Гладков, С. О. Обобщенное кинетическое уравнение для описания физических свойств металлических квазитрехмерных структур / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Материалы второй международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара. 2010. С. 59 -61.

153. Гладков, С.О. О магнитной восприимчивости фрактальных ферромагнитных структур / С.О.Гладков, С.Б.Богданова. Материалы второй международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара. 2010. С. 97 - 100.

154. Гладков, С.О. К вопросу о вычислении продольной магнитной восприимчивости фрактальных ферродиэлектриков / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Тезисы докладов 22-й международной конференции «Релаксационные явления в твердых телах». Воронеж. 2010. С. 178 -179.

155. Гладков, С.О. Об обобщении кинетического уравнения на структуры фрактальной размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Тезисы докладов 22-й международной конференции «Релаксационные явления в твердых телах». Воронеж. 2010. С. 219 -220.

156. Гладков, С.О. К вопросу исследования физических свойств фрактальных структур / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды восьмой Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 15.09-17.09.2011. С. 49 -52.

157. Gladkov, S.O. The Kinetics of Nuclear Ordered

Systems / S.O. Gladkov. Physics Reports. 1989. V. 182. № 4, 5. P. 211 -365.

158. Тябликов, C.B. Методы квантовой теории магнетизма / C.B. Тябликов. М.: Наука. 1974. 527 с.

159. Лыков, A.B.,Теория теплопроводности / А.В.Лыков. М. : Высшая школа. 1967. 600с.

160. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. М. : Наука. 1964. 487с.

161. Карслоу, Г. Теория теплопроводности / Г. Карслоу. М.-Л.: Гостехиздат. 1947. 288с.

162. Лыков, A.B. Тепломассообмен. Справочник / А.В.Лыков. М.: Энергия. 1978. 479с.

163. Юдаев, Б.Н. Теплопередача / Б.Н. Юдаев. М. : Высшая школа. 1973. 359с..

164. Михеев, М.А. Основы теплопередачи / М.А. Михеев, И.М. Михеева. М.: Энергия. 1977. 343с.

165. Седов, Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. М. : Наука. 1973. Т.1. 536с.

166. Берман, Р. Теплопроводность твердых тел / Р. Берман. М.: Мир. 1979. 286с.

167. Жуковский, B.C. Основы теории теплопередачи / В.С.Жуковский. Л.: Энергия. 1969. 224с.

168. Франк - Каменецкий, Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике / Д.А.Франк - Каменецкий. М.: Наука. 1987. 491с.

169. Крейт, Ф. Основы теплопередачи / Ф. Крейт, У. Блэк. М.: Мир. 1983. 512с.

170. Котляр, Я.М. Методы и задачи тепломассообмена / Я.М. Котляр, В.Д Совершенный, Д.С.Стриженов. М.: Машиностроение. 1987. 317с.

171. Ламб, Г. Гидродинамика / Г. Ламб. М.: Гостехиздат. 1947. 625с.

172. Кочин, Н.Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. М.: Гостехиздат. 1948. 776с.

173. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика, т.2 / Д.В.Сивухин. М.: Физматлит. 2011. 544с.

174. Свешников, А.Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г.Свешников, А.Н. Тихонов. М.: Наука. 1970. 304с.

175. Федорюк, М.В. Метод перевала / М.В. Федорюк. М.: Либроком. 1977. 368с.

176. Прилепко, А. И. Асимптотические методы и специальные функции / А. И. Прилепко, Д. Ф. Калиниченко. М.: МИФИ, 1980. 107с.

177. Копсон, Э.Т. Асимптотические разложения / Э.Т.Копсон. М.: Мир. 1966. 159с.

178. Риекстынып, Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Т.1 / Э.Я. Риекстынып. Рига: Зинатне. 1974. 390с.

179. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2 / Г.М.Фихтенгольц. Физматгиз. 1962. 807с.

180. Ландау, Л. Теоретическая физика. Гидродинамика. Т.6 / Л.Ландау, И.М.Лифшиц. М. Наука. 1986. 736с.

181. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. М.: Государственное издательство технико -теоретической литературы. 1953. 679с.

182. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. Высшая школа. 1970. 712с.

183. Зоммерфельд, А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики / А. Зоммерфельд. ИЛ. 1950. 461с.

184. Богданова, С.Б. К вопросу о теплопроводности

фрактальных топологически одномерных структур / С.Б.Богданова, С.О.Гладков // Материалы третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара. 2012. С. 69 - 71.