Численный анализ моделей аномальной кинетики методом Монте-Карло тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Саенко, Вячеслав Владимирович

• Саенко, Вячеслав Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Саенко, Вячеслав Владимирович

Введение

1 Моделирование траектории частицы и оценка плотности распределения

1.1. Модель аномальной диффузии.

1.2. Алгоритмы моделирования траектории частицы.

1.3. Гистограммная оценка плотности распределения.

1.4. Локальная оценка плотности распределения.

1.5. Сопоставление алгоритмов гистограммной и локальной оценок плотности распределения.

1.0. Выводы.

2 Асимптотический анализ полуаналитическим методом Монте-Карло

2.1. Представление скачкообразного случайного процесса в виде случайной суммы.'

2.2. Уравнение для плотности распределения.

2.3. Оценка плотности дробно-устойчивых распределений . 5<

2.3.1. Вычисление устойчивых плотностей методом Монте-Карло.

2.3.2. Вычисление ДУ плотностей методом Монте-Карло

2/1. Вычисление квантилей ДУ распределений

2.5. Оценка параметров ДУ распределений

2.5.1. Случай известного параметра масштаба.

ОГЛАШЕНИЕЦ

2.5.2. Случай неизвестного параметра масштаба.G

2.G. ДУ распределения в физике плазмы.G

2.7. Выводы.

3 Нормальная кинетика. Мезодиффузия

3.1. Кинетическое уравнение.

3.2. Телеграфное уравнение.

3.3. Трехмерное блуждание частицы в среде с плоской симметрией.

3.4. Анизотропное блуждание.

3.5. Фронтовой всплеск.

3.G. Выводы.

4 Аномальная кинетика

4.1. Полеты Леви и пыль Леви

4.2. Интегральное уравнение процесса блуждании конечнойоростью и ловушками.

4.3. Ширина диффузионного пакета и её оценка методом Монте-Карло.

4.4. Супердиффузия

4.4.1. Уравнение супердиффузии.

4.4.2. ВЕЛчпсление momcietob распределения методом Монте-Карло.

4.4.3. Аномальная киЕЕетпка с ловушкамЕ! ноказателЕ>ноЕЧ) ТЕша а<1.

4.4.4. АномальЕЕая киЕЕетЕЕка с ловуЕЕЕкамЕЕ ЕюказательЕЮЕЧ) типа q > 1.

4.5. Субдиффузия.

4.5.1. УравнсЕЕЕЕе субдиффузии.

4.5.2. Учет влияния конечной скорости.

ОГЛАВЛЕНИЕ

4.G. Аномальная кинетика с ловушками и пробегами степенного тина.

4.7. Выводы.

5 Диффузия на фракталах

5.1. Диффузия на фракталах.

5.2. Алгоритм моделирования.

5.3. Статистическая оценка плотности.

5.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный анализ моделей аномальной кинетики методом Монте-Карло»

Актуальность работы

Интерес, вызванный к проблеме аномальной кинетики объясняется тем, что за последние несколько десятилетий при изучении переноса химических элементов в геологических формациях [1], изучении прыжковой проводимости в легированных полупроводниках [2], изучении переноса, происходящих в ДНК [3, <1|, изучении переноса вещества во внешних силовых полях [5], при анализе поведения цен акций на биржах [G, 7] выяснилось, что они не укладываются в рамки классической теории случайных процессов.

Проведенные исследовании показали, что ширина диффузионного пакета Д(t), в таких процессах, описывается зависимостью

7>0. (!) где t - время. Явления переноса, в которых наблюдается зависимость (1) получили название процессы аномального переноса или аномальной диффузии. Эта зависимость описывает более обширный класс диффузионных моделей, в который входит и нормальная диффузия с показателем 7 = 1/2. В зависимости от показателя 7 аномальная диффузии разделяется на: субдиффузию (7 < 1/2), и супердиффузию - (7 > 1/2).

На сегодняшний день существует много работ, посвященных рассмотрению как субдиффузионных процессов, наблюдаемых при броуновском движении [8], при переносе в пористых системах (1, 9], на гребешковых структурах [10], при переносе заряда в аморфных полупроводниках [11, 12], при росте полимеров [13], динамики в полимерных структурах [14, 15], так и процессам сунердпффузнп, возникающих при блуждании в неоднородном поле скоростей [1G, 17, 18, 19, 20, 21], наблюдаемых в поведении цен на биржах [G, 7], проявляющихся в динамики частиц в Гамильтоновских системах [22, 23], в поведении животных при поиске нищи [24], описывающих перенос вещества в пористых средах [25], блуждание частицы под действием внешнего ноля [2G, 27, 28], перенос в турбулентной плазме [29], в определенных областях вращающихся потоков [30], диффузию в турбулентных потоках [31], динамику в хаотических системах [32], блуждание в полимерных цепях [33], а так же возникающих в квантовой оптике [34], и даже при движении бактерий [35].

Для решения проблемы аномальной диффузии применяются различные методы, основные на обобщении броуновского движения [8, 30], использующие уравнение Ланжевена [19, 27. 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43], обобщенное уравнение Ланжевена [18, 44, 45], основанные на обобщении обыкновенного уравнения диффузии [40], на использовании статистической термодинамики [17, 48, 49, 50], с: применением метода Монте-Карло [51], а также основанные на модели скачкообразного случайного процесса, более известного в западной литературе иод аббревиатурой CTRW (Continuous Time Random Walk), [1, 2, 5, 1G, 20, 25, 52, 53, 54, 55, 5G, 57, 58, 59, GO, Gl], Выбирая в этой модели степенное распределение пробегов и времен покоя, в этих работах показано, что такой процесс блужданий описывается уравнениями в дробных производных.

В связи с этим появился большой интерес к уравнениям в дробных производных, стали интенсивно развиваться методы их решения. Применяя определения и свойства производных и интегралов дробного порядка, описанных в книге [62, 03], появился ряд работ, в которых рассматриваются дробное уравнение диффузии [9, 1G, 04, G5, 00,

67J, дробное уравнение диффузии со сносом [52, 58|, дробный закон Фика [С8]. В работах [GO, 09, 70] показано, что решение уравнений в дробных производных выражается через устойчивые распределения. В некоторых частных случаях решение уравнений в дробных производных выражается через функции Фокса [39, 71] или через обобщенную функцию Митага-Леффлера [67, 72].

В работах [51, 73] большое внимание уделяется влиянию граничных условий на распределение плотности вероятности в случае полетов Леви. Изучается распределение времени первого посещения при полетах Леви [45]. Делаются попытки экспериментальной проверки правильности теории дробного уравнения диффузии. В работе [74] проводится изучение профилей концентрации в результате диффузии в пористой среде. Полученные профили сопоставляются с результатами, даваемыми дробным уравнением диффузии. На основе этих результатов делается вывод о справедливости формализма дробного уравнения диффузии.

Пе удивительно, что изучение аномальной диффузии на основе модели скачкообразного случайного процесса получило такое большое распространение. Ведь в основе всякой теории лежит какая-то, вполне определенная модель, изучение механизмов взаимодействия и связей в которой помогает лучше понять что происходит в реальности. Так и модель скачкообразного случайного процесса оказалась довольно простым, и довольно мощным инструментом изучения аномальной диффузии. Остановимся на этой модели более подробно, п рассмотрим что уже сделано на сегодняшний день.

В первые она была введена Монтроллом и Вейссом в 19G5 г. [75]. В работе [12] CTRW модель применяется для описания подвижности заряда (электронов или дырок) в аморфных полупроводниках, при исследовании которых было замечено, что подвижность зарядов зависит от толщины пленки. Для объяснения этого эффекта была предложена следующая модель. Перенос электрона или дырки осуществляется путем прыжков последних из одного состояния в другое?. Расстояние между соседними состояниями имеет некоторый разброс вокруг некоторого знамения. В этой работе весь материал делился на одинаковые ячейки, каждая из которых содержит много случайно расположенных локальных состояний. Процесс переноса заключается в последовательных прыжках из одного состояния в другое, и в итоге из одной ячейки в другую. Время прыжка т распределено с плотностью г/(т) и определяется как время, проходимое между прибытием в данную ячейку п временем, когда заряд иокидаег данную ячейку.

В работе [5G] для перехода частицы из одной точки в другую вводится плотность вероятности перехода ij)(r,t), т.е. xp(r,t)drdt это вероятность того, что частица сделает прыжок величиной г в промежуток времени /, t + dt. Используя эту плотность можно написать кинетическое уравнение, описывающее CTRYV модель. Плотность вероятности o{r.t), только что прибывших частиц в точку (г,/), при условии что частица стартовала в начальный момент времени t = 0 из начала координат г = 0, дается уравнением о

Это уравнение, вместе с уравнением для плотности вероятности приводит к интегральному уравнению, описывающему плотность вероятности p(r, I) обнаружить частицу в точке г в момент времени t

Q{r, t) = Q{r1'Щг — г', t — t') dr' + <*(0<*(r). p(r, t) = dr p(rт)ф{г — г', t — r) dr' + Ф(0<*(г)- (2) 0 где Ф(/) = f^ 7](т) dr, a ?](t) = J \'>(r,t)dr. Производя преобразование

Фурье - Лапласа уравнении (2) получаем простое соотношение! р(М) = р(МЖМ) + Ф(А), где Ф(А) = (1 — 5(А))/А. Легко видеть, что решение этого уравнении имеет вид

Г'"!(А) V (3)

A [l - А)

Это уравнение явлиется основным уравнением описывающим CTRW модель. Нахождение пространственного распределения частиц сводится к вычислению обратного преобразования Фурье-Лапласа, что не всегда возможно сделать. Поэтому пытаются упростить модель, и делается это при помощи выбора различного вида функции плотности перехода. Здесь возможны два варианта:

1. Пробеги £ и времена покоя т не зависят друг от друга |5G]. При этом, плотность перехода распадается на произведение плотности распределении пробега /)(£) и плотности распределения времени покоя г)(т)

2. Величина пробега £ зависит от времени покоя т [1G, 25, 5G, 58, 73]. Например, такая ситуация возникает при блуждании с конечной скоростью свободного движения. В этом случае, пробег и время связаны соотношением iP{r,t) = Лг-»6(г-Г).

Как и любая другая модель, модель аномальной диффузии при некоторых условиях должна сводится к известным моделям. Здесь, такой моделью является модель нормальная диффузии. Нормальная диффузии получается, если в качестве распределений пробега и времени покоя взять распределения, у которых второй момент конечен. Если это сделать, то мы сразу подпадаем под действие Ц1ГГ, и уравнение (3) сводится к обыкновенному уравнению диффузии, решением которого является распределение Гаусса.

Что бы получить зависимость (1) берутся степенные распределения. В результате CTRYV модель приводит к уравнениям в частных производных дробного порядка [ЗС, 52, 53, 58]. В этих работах рассматривается блуждание частица в среде с ловушками и мгновенными прыжками для двух случаев:

1. Субдиффузии, когда времена покоя распределены по степенному закону r](t) ос ВГ1)~\ 0 < (3 < 1, t —> оо, а величина прыжка имеет конечный второй момент;

2. Супердиффузия, когда пробеги имеют степенное распределения /»(.г) л: Аг""'"1. 0 < о < 2. .г — ос. а время пом.-я пмее; конечный второй момент.

В первом случае производи преобразование Фурье распределении пробегов, и Лапласа распределения времени и подставляя полученные трансформанты в уравнение (3), а затем производя обратное преобразование Фурье-Лапласа, приходим к уравнению в дробных производных, которое называется уравнением субдиффузии

В работах [3G, 52, 58] получено, решение этого уравнения, выраженное через функции Фокса х\

1-0/2,0/2) (0,1)

VcF

В случае супердиффузии уравнение, описывающее процесс блуждания,

-С(-Д)п'2лОМ), р(х,0) = 5(х), записывается в виде flpfa t) Ot а его решение, в приведенных выше работах, также выражено мере;? функции Фокса p(x,t) = -г-гН.

1 И1'0 ~i Г 2,2 кг

1,1/а), (1,1/2) (1,1), (1,1/2)

В случае, когда и пробеги и времена имеют степенные распределения, уравнение, описывающее процесс блужданий, записывается в виде дМх, 0 п( д \о/2 / ^ , t

--- -С (-Д) 0 +

В работе [GO] покачано, что решение этого уравнения принадлежит к классу дробно-устойчивых распределений. К сожалению, дробно-устойчивые распределений имеют явные выражения в виде плотности прстранственного распределения только в некоторых частных случаях. Поэтому, в этой работе результаты получены в виде транеформаиты Фурье-Лапласа. 'Гак же в этих работах не исследовалось влияние конечной скорости на плотность распределения частиц. В первую очередь, это связано с невозможностью произвести обратное преобразование Фурье-Лапласа уравнения (3). Это принципиальная проблема, которую до сих пор не удалось разрешить.

В работе М. Котульского [76] автор пошел другим путем. Он представил координату частицы х в момент времени t в виде случайной суммы одинаково распределенных случайных величин. В результате?, в этой работе впервые появился новый класс предельных распределений, которые получаются при рассмотрении асимптотики скачкообразного случайного процесса. При этом времена ожидания представляют собой независимые случайные величины, плотность распределения ?/(£) которых удовлетворяет условию r](t) ос 0 < /3 < 1, t оо,

BlHVlClUW

12 а прыжки так же являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения р(х), удовлетворяющей условию р(х) ос Ах~п~1, 0 < а < 2, х —* оо. Позднее (и, по-видимому, независимо) эти же распределения возникли в работах [77, 78]. А свое название, дробно-устойчивые (ДУ) распределения, они получили в работах Учайкина и Королева [79, 80, 81].

Одномерные дробио-устойчивые распределения характеризуются тремя параметрами: а € (0,2], Р Е (0,1] и в € [—1,1]. Параметр 9 характеризует асимметрию распределения относительно оси Оу. В случае, когда 0 = 1, все распределение сосредоточено на положительной полуоси, а в случае в = —1, распределение сосредоточено на отрицательной полуоси. Следует отметить, что класс ДУ распределений является более общим. В него, качестве подкласса, входят ус/гочивые распределения с параметром в = 1. Не секрет, ч то к числу устойчивых распределений принадлежат нормальное распределение (а = 2, в = 1,0 = 0), распределение Копш (а = 1,/3 = 1,0 = 0) и распределение Леви-Смирнова (а = \/2,в= 1.0 = 1). Не смотря на столь обширный класс ДУ распределений, только зги три распределения выражаюкя через элементарные функции. Ввиду этого численных значений ДУ плотностей пока нигде нет. Прпве;^у несколько примеров, в которых появляются устойчивые распределения.

Пример 1. Имеется плоская фольга, расположенная параллельно экрану, и отстоящая от него на расстоянии I. На этой фольге имеется точечный изотропный источник радиации. Радиоактивное излучение вызывает на экране вспышки. Требуется определить распределение этих вспышек. Выберем систему координат таким образом, что ось Oz совпадает с перпендикуляром, опущенным из источника на экран, а плоскость Оху совпадает с плоскостью экрана. В следствии того, что источник изотропный, необходимо получит распределение только одной координаты, допустим х. Пусть Ф - угол между направлением движении частицы и перпендикуляром к экрану (см. рис. 1). Этот угол является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [—тг/2. тг/2]. С учетом этого, в предположении, что траектория частицы представляет собой прямую линию, случайная координата частицы Л' будет определяться соотношением Л" = ЙанФ. Ввиду однозначного соответствия между Л" и Ф

Fx(x) = Р {X <х} = Р {Ф < с6(:г)} . оИ = arctan(.r//)

Принимая во внимание, что угол Ф равномерно распределен в интервале [О, тг], получим

Р {Ф < ф{х)} = РФ(ф(х)) = 1/2 + ф(х)/тг.

Здесь F^(x) - функция распределения случайной величины В конечном счете получим I

Рх(х) = F'x(x) = ф'(х)/тг к{12 + х2У

Это распределение называется распределением Копш.

Из этой простой модели видно, что распределение пробега испускаемой частицы, имеет степенной хвост

Рх{х) ос 1/ттх 2, \х\ —♦ оо с показателем а = 1.

Пример 2. Рассмотрим газ, состоящий из атомов или молекул, для которых возможен излучательный переход между двумя состояниями с разностью энергий hujQ. Введем функцию распределения а(а;) для испускаемых фотонов по частотам, так что a(u>)duj представляет собой вероятность того, что в процессе излучения испускается фотон с частотой, находящейся в интервале от и до и + duj. В результате различных процессов, протекающих в газе, излучение и поглощение за счет рассматриваемого перехода сосредоточено в некоторой области частот вблизи Распределение испускаемых и поглощаемых фошнов по частотам, описываемое? функцией а(и>), определяет характер поглощения п прохождения фоншов через газ.

Существует два механизма уширения спектральной линии |82|. Один связан с движением атомов, и приводит к доплеровскому упшрению спектральной линии. Другой механизм связан с взаимодействием излучаемой или поглощающей атомной частицы с окружающими ее частицами газа. Второй механизм приводит к лоренцовскому упшрению спектральной линии

Легко видеть, что это не что иное как распределение Копш. Для применения этого уширения необходимо, что бы время прохождения частицей размера д, где происходит рассеяние, было много меньше времени между соседними соударениями, т.е. а(ш) = v

4)

7Г [и2 + (Ш - ОД))2]' в „ 1 где v - скорость частицы, N - концентрации частиц, <тп - полное сечение

Рассчитаем теперь для лоренцовской линии вероятность Р {£ > г} того, что в изотропной газовой среде резонансный фотон пройдет расстояние г, не поглотившись. Вероятность того, что фотон с частотой и) пройдет расстояние г, не поглотившись, равна ехр{—k(uj)r}, где к(и>) - коэффициент поглощения газа на данной частоте и данном переходе. Поскольку вероятность испускании фотона в интервале частот от ш до со d'jj равна а(и)с1и, то вероятность того, что фотон не поглотится на расстоянии г, будет равной где £ - случайный пробег фотона. Подставляй сюда (-1), и беря интегргит. получаем где к{) - коэффициент поглощения в центре линии, /о - функция Бесселя.

В предельном случае, когда излучение переносится на расстояние, значительно превышающее длину пробега фотона в центре линии 1/А'о, эта формула даст

Таким образом, при выполнении условия (5), пробег фотона имеет степенное распределение.

Как я уже не раз отмечал, распределение Копш одно из немногих устойчивых распределений, имеющих выражение через элементарные функции. Ввиду того, что как устойчивые распределения, так и дробно-устойчивые распределения появляются при изучении аномальной соударении. Если учесть, что <т„ ~ q2, то получим

Nol'2 « 1. (тгЛог)-1/2, V» 1.

В нелеп по

10 кинетики, необходимо иметь методы вычисления плотностей ДУ распределений для произвольных значений параметров. К сожалению, на данный момент, таких методов не существует.

Стохастический подход к скачкообразному случайному процессу приводит и к очевидному методу исследованию - методу Монте-Карло. Не смотря на столь очевидный вывод до сих пор, по крайней мере, во всех приведенных выше работах, за исключением работы [51], метод Монте-Карло не применялся для анализа аномальной диффузии. Достоинство метода Монте-Карло заключается в том, что он позволяет получать распределения частиц для любых значений показателей а и а так же позволяет учесть конечную скорости движения частицы, и проанализировать ее влияние на распределение плотности вероятности.

Таким образом, разработка алгоритма метода Монте-Карло для решения задач аномальной кинетики, а так же анализ получаемых распределений представляет интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении.

Обзор диссертации по главам. 13 первой глав" описываются модели блужданий в одномерном пространстве для случая блуждания частицы в среде без ловушек и с ловушками. Рассматривается вопрос о том как изменятся эти модели если частица будет двигаться с конечной скоростью. Рассматривается модель скачкообразного случайного процесса как частный случай модели блуждании частицы в среде с ловушками в которой частица мгновенно перемещается из одной точки пространства в другую. На основе описанных моделей в параграфе 1.2. строятся алгоритмы моделирования траекторий методом Монте-Карло для случаев одномерного блуждания как с ловушками так и без ловушек и для трехмерного изотропного п анизотропного блуждании с плоской симметрией. Далее в параграфах 1.3. и 1.4. описываются алгоритмы гнстограммной оценки и локальной оценки плотности распределения частиц. Для случая локальной оценки дли

Внолсиио

17 каждой из описанных моделей блужданий описываются алгоритмы оценки плотности частиц. Далее в параграфе 1.5. сравниваются трудоемкости алгоритмов локальной и гистограммной оценок.

В главе 2 вводится понятие ДУ распределений и показано, что асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса описывается ДУ-раснределениями. Что бы показать это в параграфе 2.1. скачкообразный случайный процесс представляется в виде суммы случайного числа п слагаемых одинаково распределенных случайных величин и показывается, что эта сумма при п —* со имеет ДУ-распределение. Далее, в параграфе 2.2. выводиться уравнение для плотности распределения суммы. Исходя из определения плотности ДУ-расиределения в параграфе 2.3. строится алгоритм моделирования ДУ случайной величины и на основе этого алгоритма выводится алгоритм оценки плотности ДУ-расиределения и вычисления квантилей (параграф 2.-1.) методом Монте-Карло. В параграфе 2.5. описываются и проверяются алгоритмы оценки параметров ДУ распределений но независимой однородной выборке одинаково распределенных случайных величин.

В 3-й главе рассматривается блуждания в среде без ловушек и конечной скоростью движения частицы между двумя последовательными столкновениями. В параграфах 3.1. и 3.2. рассматривается случай одномерного изотропного блуждания с конечно скоростью движения. Выводится кинетическое уравнение и показывается, что решение телеграфного уравнения и совпадает с точным решением кинетического уравнения. Из чего делается вывод, что в случае одномерного изотропного блуждания с конечной скоростью движения телеграфное уравнение является точным описанием процесса блуждания, в то время как диффузионное уравнение является точным лишь в асимптотике больших времен. Из сопоставления решений телеграфного уравнения и уравнения диффузии определяется область (х, t) в которой можно применять диффузионную модель.

В параграфе 3.3. рассматривается трехмерное блуждание частицы без ловушек с конечной скоростью движения в плоской симметрии. Показано, что в этом случае телеграфное уравнение является уже приближенным и хуже описывает процесс блуждания, чем уравнение диффузии. Далее в параграфе 3.4. для плавного перехода модели трехмерного блуждания с плоским источником к модели блуждания вдоль прямой вводится угловое распределение частиц после рассеяния и после вылета из источника. Моделирование блужданий с учетом выбранного углового распределения показало, что увеличения анизотропии приводит к появлению фронтовых всплесков, которые в пределе (блужданий вдоль прямой) переходят в концевые 5-функцни решения телеграфного уравнения. В параграфе 3.5. получена аппроксимация этого фронтового всплеска.

Глава 4 посвящена анализу аномальной кинетики (или аномальной диффузии). В начале рассматриваются полеты Леви, как способ построения неоднородной среды. Обсуждаются некоторые свойства среды, такие как фрактальность и память, получаемых при полетах Леви. Далее в параграфе -1.2. выводится кинетическое уравнение, описывающее блуждание частицы с конечной скоростью свободного движения в среде с ловушками при произвольных распределениях пробегов и времен покоя. В параграфе 4.3. приводится алгоритм оценки зависимости ширины диффузионного пакета от времени. В зависимости от значений показателей а и (3 рассматриваются различные режимы аномальной диффузии: субдиффузия, сунердиффузии, квазибаллистическая диффузия, квазинормальная диффузия и супербаллистическая диффузия. Далее в параграфах 4.4. и 4.5. рассматриваются отдельно случаи сунердиффузии и с.убдиффузип соответственно. Вводятся уравнения сунердиффузии и субдиффузии и показывается, что эти уравнения описывают асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса при степенном распределении пробегов п экспоненциальном распределении времени покоя (супердиффузия), и экспоненциальном 1)аспределенни пробегов и степенном распределении времен покоя (субдпффзпя). Анализируется влияние конечной скорости на асимптотическое распределение частиц. В параграфе 4.G. рассматривается блуждание со степенным распределен нем пробегов и времен покоя. Показывается что полученные алгоритмы моделирования блужданий частицы со степенным распределением пробегов и времен покоя являются алгоритмами численного решения уравнений в дробных производных (обобщенного уравнения диффузии).

В 5-й вводится модель блужданий на фрак-пик;. Описываются ее основные свойства и её отличие от модели фрактальных блужданий. Приводится алгоритм моделирования блужданий на фракталах методом Монте-Карло. В параграфе 5.3. описан алгоритм оценки асимптотической плотности распределения частиц при блуждании на фракталах методом Монте-Карло. Результаты моделирования блужданий сравниваются с результатами оценки плотности и результатами моделирования фрактальных блужданий. На основе сопоставления результатов делается вывод, что в случае блужданий на фракталах диффузионный пакет расширяется медленнее чем в случае фрактальных блужданий. Блуждания на фракталах не описываются обобщенным уравнением диффузии.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Саенко, Вячеслав Владимирович

5.4. Выводы

• Распределение частиц в одномерной задаче при диффузии на фракталах отличается по форме от распределения при фрактальной диффузии. Это приводит к выводу, что диффузии на фракталах не описывается обобщенным уравнением диффузии (4.37).

• При диффузии на фракталах частица как бы застревает между двумя соседними атомами, разделенными большим промежутком, попадая в своего рода ловушку. Это приводит к замедлению роста ширины диффузионного пакета. В случае диффузии на фракталах A(t) ос в то время как при фрактальной диффузии A(t) ос

• В случае когда существует среднее; значение расстояния между двумя соседними атомами (о > 1) и существует среднее время покоя частицы, распределение плотности вероятности частиц хорошо описывается расире;де:лением Гаусса.

Заключение

В работе рассмотрены следующие модели аномальной кинетики: скачкообразный случайный процесс, модель блужданий частицы с конечной скоростью свободного движения в среде с ловушками и в среде без ловушек. Получены следующие результаты:

1. Разработан алгоритм гистограммной оценки плотности распределения частиц для задачи аномального переноса. Так же разработана локальная оценка плотности распределения частиц методом Монте-Карло, позволяющая оценивать плотность распределения в точке, а не в интервале, как в случае гистограммной оценки. Результаты, получаемые алгоритмом локальной оценки, полностью свободны от горизонтальной составляющей погрешности. Сопоставление трудоемкости этих двух алгоритмов показано, что трудоемкость алгоритма локальной оценки больше трудоемкости алгоритма гистограммной оценки, и с увеличением времени t* (здесь V момент времени при для которого находится распределение частиц) трудоемкость алгоритма локальной оценки возрастает. Не смотря на это, отсутствие горизонтальной составляющей погрешности у результатов локальной оценки ставят их в более выигрышное положение, по сравнению с результатами гистограммной оценки.

2. Разработан алгоритм моделирования дробно-устойчивой случайной величины (2.14). Кроме этого разработаны алгоритмы оценки плотностей устойчивых и дробно-устойчивых распределений методом Монте-Карло. Эти алгоритмы позволяют оценивать значение плотности в точке, что позволяет получать результаты с заранее заданной точностью. С помощью этих алгоритмов были табулированы симметричные плотности дробно-устойчивых распределений (таб. С.1, см. Приложение С). Сравнение результатов расчетов с известными представлениями дробно-устойчивых распределений через специальные функции, показало совпадение результатов вплоть до четвертого знака после десятичной занятой. Разработан алгоритм вычисления квантилей дробно-устойчивых распределений. С помощью этого алгоритма вычислены децили дробно-устойчивых распределений (см. таб. 2.1). Сравнение значений вычисленных дицилей с децилями устойчивых распределений, показало совпадение трех значащих цифр после деся п I ч н о й зап я то й.

3. Исследованы алгоритмы оценки параметров дробно-устойчивых распределений но выборке независимых одинаково распределенных случайных величин, при известном масштабном параметре А, и в случае когда он не известен. Проведенные расчеты по этим двум алгоритмам показали, что алгоритм с известным параметром масштаба при всех значениях а и (3 дает результаты с относительной ошибкой, не превосходящей 5%, в то время как относительная ошибка алгоритма с неизвестным параметром масштаба возрастает но мере уменьшения значения (3. При значениях (3 ^ 0.25 относительная ошибка алгоритма достигает 29%. Это означает, что значениях параметра (3 ^ 0.25 этот алгоритм не применим для оценки параметров дробно-устойчивых распределений.

4. Анализ модели нормальной диффузии (блуждание с конечной скоростью без ловушек с пробегами, имеющими конечный второй момент) показал, что в одномерном случае (блуждание вдоль прямой) этот процесс точно описывается телеграфным уравнением. Решение телеграфного уравнения состоит in двух частей, непрерывной части, описывающей многократно рассеянные частицы, и сингулярной части, описывающей фронт диффузионного пакета, т.е. те частицы, которые не испытали ни одного столкновения или испытали многократные столкновения, но при этом рассеивались в направлении первоначального направления движения. За пределами этого фронта плотность распределения частиц равна нулю. При t —* оо решение телеграфного уравнения переходит в решение диффузионного уравнения.

При рассмотрении трехмерного блуждания с конечной скоростью и плоским бесконечным изотропным источником установлено, что в этой задаче телеграфное уравнение является приближенным, и хуже аппроксимирует решение кинетического уравнения, чем диффузионное уравнение.

Учет углового распределения приводит к исчезновению сингулярностей на границе диффузионного пакета, и появлению на их месте фронтовых всплесков, отражающих распределение частиц испытавших рассеяние в направлении своего первоначального движения на малый угол. При сильной анизотропии, когда и2 > 0.7 непрерывная часть телеграфного уравнения вполне удовлетворительно согласуется с решением кинетического уравнения и вместе с аппроксимацией фронтового всплеска (3.28) может быть использовано для аппроксимации точного решения.

5. Уравнение супердиффузии (4.17) описывает асимптотическое распределение частиц при скачкообразном случайном процессе, в котором пробеги имеют степенное распределение, а время покоя между двумя последовательными прыжками имеет конечный второй момент. Решение уравнения супердиффузии принадлежит к классу устойчивых законов с характеристическим показателем а.

Учет конечной скорости приводит к следующим результатам.

При Ос G (1,2] с учетом замены коэффициента диффузии с С на Cv = (1 + a/fv)~1C, где r-скорость частицы, асимптотическое распределение частиц так же описывается уравнением супердиффузии. При о < 1 супердиффузионный пакет расплывается в пространстве быстрее, чем пакет свободно движущихся частиц и решения супердиффузионного и кинетического уравнений имеют совершенно разные асимптотики. При а < 0.G асимптотическое распределение частиц хорошо описывается аппроксимацией (4.24).

Уравнение субдиффузии (4.33) описывает асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса со степенным распределением времени покоя и с пробегами, имеющими конечный второй момент. Решение уравнения субдиффузии принадлежит к классу дробно-устойчивых распределений. Учет конечной скорости приводит к следующим результатам. При (3 € (0,1], когда т = оо, абсолютно безразлично с какой скоростью двигается частиц (конечной или бесконечной). Другими словами, в этом случае, конечная скорость никак не влияет на асимптотическое распределение части которое по прежнему будет описываться уравнением субдиффузии. В случае, если среднее время покоя частицы конечно, то асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса описывается распределением Гаусса, а учет конечной скорости приводит к замене коэффициента диффузии С на Cv.

G. Установлено, что обобщенное уравнение диффузии (4.37) описывает асимптотическое распределение частиц в модели скачкообразного случайного процесса с распределением пробегов р(х) ос х-""1 и времен покоя rj(t) ос в случае мгновенных прыжков для всех значений a G (0,2] и (3 G (0,1]. При конечной скорости движения, и при выполнении условия (3/а > 1 (сунербаллнстический режим) диффузионный пакет расплывается быстрее, чем пакет свободно движущихся частиц и решения обобщенного уравнения диффузии и кинетического уравнения имеют разные асимптотики. Это обстоятельство может служить основанием для вывода о неприменимости обобщенного уравнения диффузии к описанию реальных физических процессов области значений показателей а и /3, когда (3/а > 1. Для всех остальных значений а и (3 решения кинетического уравнения и уравнения (4.37) имеют одинаковые асимптотики, и учет конечной скорости сводится к замене коэффициента диффузии С на Cv.

7. Установлено, что алгоритмы локальной и гисгограммной оценок плотности распределения частиц, в модели скачкообразного случайного процесса при степенных распределениях пробегов и времен покоя, являются алгоритмами численного решения обобщенного уравнения диффузии (уравнения в дробных производных) для всех значений а и /?, из их области определения. При учете конечной скорости движения частицы для численного решения обобщенного уравнения диффузии можно применять указанные алгоритмы только для тех значений а и р, для которых выполнено условие (3/а < 1.

8. Установлено, что в случае диффузии на фракталах диффузионный пакет расширяется но закону A(t) ~ в то время как в случае фрактальной диффузии эта зависимость имеет вид A(t) ~ Замедление расширение пакета связано с тем, что при диффузии на фракталах частица как бы застревает между двумя соседними атомами, попадая в своего рода ловушку. Это приводит к тому, что распределение частиц при диффузии на фракталах отличается но форме от распределения при фрактальной диффузии, а сам процесс блуждания уже не описывается обобщенным уравнением диффузии.

Разработан алгоритм статистической оценки асимптотического распределения плотности вероятности при диффузии на фракталах.

В случае, когда расстояние между соседними атомами имеет конечное среднее значение, а время покоя между двумя последовательными прыжками имеет конечный второй момент, то асимптотическое распределение частиц удовлетворительно описывается распределением Гаусса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Саенко, Вячеслав Владимирович, 2004 год

1. Gennady Margolin and Brian Berkowitz. Application of Continuous Time Random Walks to Transport in Porous Media.//,]. Phys. Chem. B. 104, p. 3942-3947 (2000).

2. W. A. Curtin. Accurate DC Conductivity for Hopping Conduction within the Continuous Time Random Walk Approach. //.J. Phys. Chem. B.v. 104, p. 3937-3941 (2000).

3. M. Bixon and Joshua .Jortner. Energetic Control and Kinetics of Hole Migration in DNA.//.1. Pliys. Chem. B.v. 104, p. 390G-3913 (2000).

4. Bruce J. West, David R. Bickel. Molecular evolution modeled as a fractal statistical process.// Physica A. v. 249, p. 544 552 (1998).

5. Ralf Metzler, Eli Barkai, .Joseph Klafter. Anomalous transport in disordered systems under the influence of external felds. //Physica A. v. 266, p. 343- 350 (1999).

6. Hari M. Gupta, .Jose R. Campanha. The gradually truncated Levy fight for systems with power-law distributions. //Physica A. v. 268, p. 231 -239 (1999).7J M.Yu. Romanovsky. Model space of economic events. //Physica A. v. 265, p. 264 278 (1999)

7. Ralf Metzler and .Joseph Klafter. From a Generalized Chapman-Kolmogorov Equation to the Fractional Klein-Kramers Equation. //.J. Phys. Chem. B.v. 104, p. 3851-3857 (2000)

8. Tatiana Zavada, Norbert Sudland, Rainer Kimmich, and T. F. Nonnen-inaclier. Propagator representation of anomalous diffusion: The orien-tational structure factor formalism in NMR. //Phys. Rev. E. v. 60, N 2, p. 1292- 1298 (1999)

9. V.E. Arkhincheev. Anomalous diffusion and charge relaxation on comb model: exact solutions. //Physica A. v. 280, p. 304 314 (2000).

10. G. Pfister, H. Scher. Time-dependent electrical transport in amorphous solids: As2Se3.//Phys. Rev. B.v. 15, N 4, p. 2062 2083 (1977).

11. Harvey. Scher, Elliott.W. Montrol. Anomalous Transit-Time Dispersion in Amorpous Solides. //Phys. Rev. B.v. 12, N C, p. 2455 2477 (1975).

12. B. Cleuren and C. Van den Broeck. Random walks with absolute negative mobility. //Phys. Rev. E. v. 65, 030101(R) (2002).

13. F. Amblard, Л.С. Maggs, B. Yurke, A. N. Pargellis, and S. Leibler. Subdifjusion and Anomalous Local Viscoclasticity in Actin Networks. //Phys. Rev. Lett., v. 77, N 21 p. 4470 4473 (1996).

14. E. Barkai, J. Klafter. Comment on "Subdiffusion and Anomalous Local Viscoclasticity in Actin Networks". //Phys. Rev. Lett., v. 81, N 5, p. 1134 (1998)

15. V.V. Yanovsky, A.V. Chechkin, D. Schertzer, A.V. Tur. Levy anomalous diffusion and fractional Fokker-Planck equation. //Physica A. v. 282, p. 13 34 (2000).

16. Juha Honkonen. Stochastic Processes With Stable Distribution in Random Environments. //Phys. Rev. E.v. 53, N 1 p. 327 331 (199G).

17. G. Zumofen, J. Klafter. Scale-Invariant Motion in Intermittent Chaotic Systems. //Phys. Rev. E.v. 47, N 2, p. 851 863 (1993)

18. Albert Compte, Manuel O. Caceres. Fractional Dynamics in Random Velocity Fields. //Phys. Rev. Lett,, v. 81, N 15, p. 3140 3143 (1998).

19. V. Latora, A. Rapisarda, S. Ruffo. Chaotic dynamics and superdiffusion in a Hamiltonian system with many degrees of freedom, j/Physica A. v. 280, p. 81 86 (2000).

20. Vito Latora, Andrea Rapisarda, Stefano Ruffo. Superdiffusion and Out-of-Equilibrium Chaotic Dynamics with Many Degrees of Freedoms. //Phys. Rev. Lett., v. 83, N 11, p. 2104 2107 (1999).

21. G.M. Viswanathan, V. Afanasyev, Sergey V. Buldyrev, Shloino Havlin, M.G.E. da Luz, E.P. Raposof, H. Eugene Stanley. Levy flights in random searches. //Physica A. v. 282, p. 1 12 (2000).

22. G. Zumofen, A. Blunien, J. Klafter. Current Flow Under Anomalous-Diffusion Condition: Levy Walks. //Phys. Rev. A. v. 41, N 8 p.4558 -4561 (1990).

23. E. Barkai and V. N. Fleurov. Generalized Einstein relation: A stochastic modeling approach. //Phys. Rev. E.v. 58, N 2, p. 1296 1310 (1998).

24. Hans C. Fogedby. Levy flights in quenched random force fields. //Phys. Rev. E.v. 58, N 2, p. 1690 1712 (1998).

25. V.E. Arkhincheev, A.V. Nomoev. About nonlinear drift velocity at random walk by Levy flight: analytical solution and numerical simulations. //Physica A.v. 269, p. 293 298 (1999).

26. B. A. Carreras, V. E. Lynch, D. E. Newman, G. M. Za-slavsky. Anomalous diffusion in a running sandpile model. //Phys. Rev. E.v. 60, N 4, p. 4770 4778 (1999).

27. Eric R. Weeks and Harry L. Swinney. Anomalous diffusion resulting from strongly asymmetric random walks. //Phys. Rev. E.v. 57, N 5, p. 4915 4920 (1998).

28. M. F. Shlesinger, В. Л. West, Л. Klafter. Levy Dynamics of Enchanccd Diffusion: Application to Turbulence. //Phys. Rev. Lett,, v. 58, N 11, p. 1100 1103 (1987).

29. T. Geisel, J. Nierwetberg, A. Zacherl. Accelerated Diffusion in Joseph-son Junctions and Related Chaotic Systems. //Phys. Rev. Lett., v. 54, N 7, p. 61G- 619 (1985).

30. I. M. Sokolov, Л. Mai, and A. Blumen. Paradoxal Diffusion in Chemical Space for Nearest-Neighbor Walks over Polymer Chains, j jPhys. Rev. Lett,, v. 79, N 5, p. 857 860 (1997).

31. S. Schaufler, W. P. Schleich, and V. P. Yakovlev. Keyhole Look at Levy Flights in Subrccoil Laser Cooling. //Phys. Rev. Lett., v. 83, N 1G, p. 31G2 31G5 (1999).

32. Arpita Upadhyaya, Jean-Paul Rieu, James A. Glazier, Yasuji Sawa-da. Anomalous diffusion and non-Gaussian velocity distribution of Hydra cells in cellular aggregates. //Physica A. 293, p. 549-558 (2001).

33. Ralf Metzler and Albert Compte. Generalized Diffusion-Advection Schemes and Dispersive Sedimentation: A Fractional Approach. //J. Phys. Chem. B.v. 104, p. 3858-3865 (2000).

34. Hans C. Fogedby. Langevin equation for continous time Levy flights. //Phys. Rev. E,.v. 50, N 2, p. 1657- 1660 (1994).

35. Frank E. Peseckis. Statistical Dynamics of Stable processes. //Phys. Rev. A.v. 36, N 2, p. 892 902 (1987)

36. Bruce J. West, Paolo Grigolini, Ralf Metzler, Tlieo F. Noimenmach-er.Fractional diffusion and Levy stable processes.//Phys. Rev. E.v. 55, N 1, p. 99- 106 (1997).

37. Suno Jespersen, Half Metzler, Hans C. Fogedby. Levy flights in external force fields: Lanyevin and fractional Fokker-Planck equations and theirsolutions. //Phys. Rev. E. v. 59, N 3, p. 273G 2745 (1999).

38. Ralf Metzler and Joseph Klafter. Subdiffusive transport close to thermal equilibrium: From the Langevin equation to fractional diffusion. //Phys. Rev. E.v. 61, N 6, p. 6308 6311 (2000).

39. Lisa Borland. Microscopic dynamics of the nonlinear Fokker-Planck equation: A phenomenological model. //Phys. Rev. E.v. 57, N 6, p. 6634 6632 (1998).

40. Hans C. Fogedby. Levy Flights in Random Environments. //Phys, Rev. Lett., v. 73, N 9, p. 2517 2520 (1994).

41. K.G. Wang, M. Tokiiyama. Noncquilibrium statistical description of anomalous diffusion. //Phywcn A. v. 265, p. 341 351 (1999).

42. Govindan Rangarajan, Ming/lion Ding. Anomalous diffusion and the first passage time problem. //Phys. Rev. E.v. 62, N 1, p. 120 133 k (2000).

43. Ralf Metzler, Joseph Klafter. Boundary value problems for fractional diffusion equations. //Physica A. v. 278, p. 107 125 (2000).

44. R. Hilfer. Classification Theory for Anequlibriurn Phase Transition. //Phys. Rev. E.v. 48, N 4 p. 2466 2475 (1993).

45. Constantino Tsallis, Dirk Jan Bukniaii. Anomalous diffusion in the presence of external forces: Exact time-dependent solutions and their thennostatistical basis. //Phys. Rev. E.v. 51, N 3, p. R2197 R2200 (1996).

46. Constantino Tsallis, Silvio V. F. Levy, Andre M. C. Souza, Roger May-nard. Statistical-Machanical Foundation of the Ubiquity of Levy Distributions in Nature. //Phys. Rev. Lett., v. 75, N 20, p. 3589 3593 (1995).

47. Damian Н. Zanettc and Pablo Л. Alemany. Thermodynamics of Anomalous Diffusion. //Phys. Rev. Lett., v. 75, N 3, p. 366-369 (1995).

48. P. M. Drysdale and P. A. Robinson. Levy random walks in finite systems. //Phys. Rev. E.v. 58, N 5, p. 5382 5394 (1998).

49. Ralf Metzler and .Joseph Klafter. The Random Walk's Guide To Anomalous Diffusion: A Fractional Dynamics Approach. //Physics Reports, v. 339, p. 1-77 (2000).

50. B.I. Henry, S.L. Wearne. Fractional reaction diffusion. //Physica A. v. 276, p. 448-455 (2000).

51. Alexei Vazqueza, Oscar Sotolongo-Costaa, Francois Brouersc. Diffusion regimes in Levy flights with trapping. / J Physica A. v. 264, p. 424 431 (1999).

52. E. Barkai and V. N. Fleurov. Levy walks and generalized stochastic collision models. //Phys. Rev. E.v. 56, N 6 p. 6355 6361 (1997)

53. Ralf Metzler, Joseph Klafter, Igor M. Sokolov. Anomalous transport in external fields: Continuous time random walks and fractional diffusion equations extended. //Phys. Rev. E.v. 58, N 2, p. 1621 1633 (1998).

54. J. Klafter and R. Silbey. Derivation of the Continuous-Time Random-Walk Equation. ЦPhys. Rev. Lett., v. 44, N 2, p. 55 58 (1980).

55. V. V. Uchaikin. Montroll-Weiss Problem, Fractional Equations, and Stable Distributions. //Intern. J. of Theor. Phys. v. 39, N 8, p. 2087 -2105 (2000).

56. Gl. V. V. Ucliaikin. Anomalous Transport Equation and Their Application to Fractal Walking. //Physica A. v. 255, p. G5-92 (1998).

57. С. Г. Самко, Л. А. К ил бас, О. И. Маричен. Интегралы п производные дробного порядка и некоторые их прилоэюепия.— Минск.: Наука и техника. 1987 г., —357 с.

58. К. S. Miller and П. Ross. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. -New York.: Wiley. 1993 г.,— с.

59. R. Hilfer and L. Anton. Fractional Master Equation and Fractal Time Random Walks./, Phys. Rev. E.v. 51, N 2, p. R848 R851 (1995).

60. P. Grigolini, A. R< vco, B. J. West. Fractional calculus as a macroscopic manifestation of r- ulomness. //Pliys. Rev. E.v. 59, N 3, p. 2603- 2613 (1999).

61. Mark M. .Meerschaert, David A. Benson, Boris Bannier. Multidimensional advection and fractional dispersion. //Pliys Rev. E.v. 59, N 5. p. 5026 5028 (1999).

62. Mark M. Meersch •'.»Tt, David A. Benson, Hans-Peter SchefHer, Boris Ваешиег. Stochastic solution of space-time fractional diffusion equations. //Phys. Rev. E.v. 65, 041103 (2002).

63. Paolo Paradisi, Rita Cesari, Francesco Mainardi, Francesco Tampieri. The fractional Fick's law for non-local transport processes. //Physica Л.293. p. 130 142 (2001).

64. Bruce J. West. Qua;turn Levy Propagators.//.I. Pliys. Chem. B.v. 104, p. 3830-3832 (2000).

65. Barry D. Hughes. .1 nomalous diffusion, stable processes, and generalized functions. //Phys. Rev. E.v. 65, 035105(R) (2002).

66. Gennady Margolin and Brian Berkowitz. Spatial behavior of anomalous transport. //Phis. I lev. E.v. 05, 031101 (2002).

67. R. Hilfcr. Fractional Diffusion Based on Riernann-Liouville Fractional Derivatives.//Л. Phys. Chum. B.v. 104, p. 3914-3917 (2000).

68. G. Zumofen and Л. Klafter. Absorbing Boundary in One-Dimensional Anomalous Transport. //Phys. Rev. E. v. 51, N 4, p. 2805 2814 (1995).

69. Andreas Klemm, Ralf Metzler and Rainer Kimmich. Diffusion on random-site percolation clusters: Theory and NMR microscopy experiments with model objects.//Phys. Rev. E.v. G5 021112 (2002).

70. E. W. Montroll, G. II. Weiss. Random Walk on Lattices.//Л. Math. Phys. v. G, p. 167- 181 (1965)

71. M. Kotulski. Asymptotic behavior of generalized Levy walks. In: ChaosyThe Interplay Between Stochastic and Deterministic Behaviour (Garbaczewski, P. Wolf, Л/., and Weron, .4., Eds).// Springer. Berlin, p. 471-477 (1995)

72. A. I. Saichev and G. M. Zaslavski. Fractional kinetic equations: solutions and applications. //Сliaos. v. 7, p. 753-764 (1997).

73. V. N. Kolokoltsov, V. Yu. Korolev and V. V. Uchaikin. Fractional Stable Distributions. //Reseach report No. 23/00, Nottingam Trent University. p. 12 (2000)

74. V. N. Kolokoltsov, V. Yu. Korolev and V. V. Uchaikin. Fractional Stable Distributions. /^Journal of Mathematcal Sciences, v. 105, N. 6, p. 25692576 (2001).

75. В. Ю. Королев, В. В. Учайкин. Некоторые предельные теоремы для обобщенных процессов восстановления с тяо/се.гымихвостами. //ТВпП.т. 45, с. 809-811 (2000)

76. Б. М. Смиров. Физика ыабоиопизироваппого газа (в задачах с решениями), учебное пособие. — М.: Наука, Гдаваня редакция физико-математической литературы. 1978 г., —416 с.

77. Фано У., Спенсер Л., Бергер М. Перепое гамма-излучения. — М.: Госатомиздат. 1963 г., — 284 с.

78. Дэвисои Б. Теория переноса нейтронов. — М.: Атомиздат. 1960 г., — 453 с.

79. Марчук Г. II. Методы расчета ядерных реакторов. -- М.: Госатомиздат. 1961 г., -347 с.

80. С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов. Курс статистического моделирования. — М.: Глав. ред. физ.-мат. лит. Издательство Наука. 1976 г.,-320 с.

81. Справочная математическая библиотека, иод общей редакцией Л. А. Люстерника и А. Р. Янпольского. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). М., Физматгиз, 1962 г., 332 стр. с илл.

82. Ю. Л. Левитан, II. М. Соболь. О датчике псевдоыучайпых чисе^г для персональных компьютеров. //Математическое моделирование, т. 2, N 8, с. 119 (1990)

83. Соболь И. М. Числошые методы Монте-Карло. --М.: Глав. ред. Физ.-мат. лит. изд-ва Наука. 1973 г., —310 с.

84. Хинчин А. Я. Прсдыьныс законы для сум независлшых агучайных в&гичип. — М.: Л. 1948 г., — 116 с.

85. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распрсде^гения. — М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит. 1983 г., —304 с.

86. V.V. Uchaikin, V.M. Zolotarev. Char., e and Stability. Stable Distributions and their Applications. — Utnvlit.: VSP, The Netherlands. 1999 г.,- с.

87. Учайкин В. В. Авгпомодеьная аномальная диффузия а устойчивые законы.//УФН.т. 173, Л'« 8, с. 847-S7G (2003)

88. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, т. 2.1984 г., -752 с.

89. Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика. — М.: ИЛ. I960 г.,-434 с.

90. Л.\V.Connor, P.Burrafii, .J.G.Cordey et al. EU-US workshop on transport infusion plasmas. //Plasma Phys.Contr.Fusion, v. 41, p. G93 (1999).

91. M.A. Pedrosa, М.Л. Ochando, Л.Л. .Jimenez, R. Balbin, .1. Qin, C. Hidalgo. Magnetic configuiution effects oil the TJ-IU torsatron plasma edge turbulence. //Plasma Phys.Contr.Fusion. v. 38, p. 3G5-373 (1990).

92. G.M.Batanov, O.I.Fedyanin, N.K.Kharchev et al. Statistical properties and radial structure of plasma turbulence in the boundarij region of the L2-M stellator. //Plasma Phys.Contr.Fusion. v. 40, p. 1241 1250 (1998)

93. Г. M. Батанов, В. E. Бенинг, В. Ю.Королев, А. Е. Петров, К. А. Сарксян, Н. Н. Сквориова, Н. К. Харчев. Об одномподходе к вероятностно-статистическому анализу процессов турбулентного переноса в плазме. //Физика плазмы, т. 28, Л'8 2, с. 128-143 (2002).

94. Salvador Godoy, L. S. Garcia-Colin. Mesoscopic diffusion as a non-Markov process. / /Physicn A. v. 258, p. 414-428 (1998).

95. Kazuhiro Itagakia, Masaki Goda, Hiroaki Ytmrddn. Statistical properties of particle diffusion in molten Agl and Lennard- Jones liquid in a mesoscopic time regime. //Physica A. v. 265, p. 97-110 (1999)

96. Salvador Godoy, L.S. Garcia-Colin. Compatibility of Landauer diffusion coeffcient with classical transport theory. //Physica A. v. 268, p. 65 74 (1999).

97. Hiroshi Shibata, Ryuji Ishizaki. Characterization of a system described by Kuramoto-Sivashinsky equation with Lyapunov exponent. //Physica A. v. 269, p. 314-321 (1999)

98. A. Perez-Madrid, T. Alarcona, J.M.G. Vilar, Л.М. Rubi. A mesoscopic approach to the "negative "viscosity effect in ferrojluids. //Physica A. v. 270, p. 403-412 (1999)

99. I.M. Jiang, M.S. Wang, H.E. Horug, C.Y. Hong Studies of mesoscopic lattices forming with magnetic fluidPhysica Av. 281, p. 87-92 (2000)

100. Kazuhiro Itagaki, Masaki Goda, Hiroaki Ya in ad. Pre- Gaussia n process of particle diffusion in classical liquids in a mesoscopic time regime. //Physica A. v. 282, p. 409-426 (2000)

101. Uchaikin V.V. Saenko V.V. Telegraph equation in random walk problem. //Journal of Physical Studies, v. 4 № 4. p. 371-379 (2000).

102. А.Н.Тихоиов, А.А.Самарский. Уравпепя математическо физики. — М.: Наука, Глав. ред. Физ.-маг. Лит. 1972 г.,— 736 с.

103. Garcia-Pelayo R. Moments of the chain reaction distribution. //Physica A. v. 216, p. 299 315 1995.

104. А. С. Мошш. //ДАН СССР. т. 105, 2, с. 25G (1955).

105. R. Garcia-Pelayo. Multiple scattering. //Pliysica A. v. 258, p. 3G5 3821998).

106. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. — М.: Мир. 1972 г.,-384 с.

107. Бскурц К., Виртц К. Нейтронная физика. — М.: Атомиздат. 19G8 г., — 45G с.

108. Эндер А.Я., Эндер И.А .Нелинейный моментный метод Оля изотропного уравнения Больцмапа и инвариантность интеграла столкновений. //ЖТФ. т. G9, шли. 6, с. 22-29 (1999).

109. Эндер А.Я., Эндер II.А. Симметрия нелинейной матрицы столкновительного оператора и новые перспективы в моментном методе решения уравнения Больцмапа. //ЖТФ. т. 69, вып. 9, с. 6-91999).

110. B.B.Mandelbrot. Fractals, forms, chance and dimensions. Freeman. San-Francisco. 1977.

111. Mandelbrot В. В. Sur un modele decomposable d'univers hierarchic: deduction des correlation galactiqucs sur la sphere celeste. //Comptes Reiidus (Paris). 280A, p. 1551-1554 (1975)

112. Мандедьброт Б. Б. Фрактальная геометрия природы. — Москва.: Институт компьютерных исследований. 2002 г., —656 с.

113. Яровикова II. В. Чимсппый анализ кинетической мод&ги многомерной диффузии. //Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ульяновский государственный университет, Ульяновск 2001

114. Учайкнн В. В., Яровикова В. В. Кинетическая моде^гь аномальной диффузии. //Критические технологии и фундаментальныепроблемы физики конденсированных сред, Сб. научных трудов под. ред. акад. РАЕН Булярского С.В. УлГУ, Ульяновск, с.230-205 (2001)

115. Chambers, Л.М., Mallows, C.L., and Stuck, B.W. A method for simulat ing stable random variables. //Л. Amer. Statist. Assoc. v. 71, p. 340 344 (197G).