Исследование напряженно-деформированного состояния, устойчивости и колебаний гофрированных оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Макаров, Сергей Сергеевич

• Макаров, Сергей Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Макаров, Сергей Сергеевич

Оглавление

Введение

1 Напряженно-деформированное состояние оболочек вращения

1.1 Основные соотношения

1.2 Задача кручения гофрированных оболочек

1.2.1 Некоторые результа гы исследований влияния параметром задами па по- | левые характеристики

1.2.2 Исследование области применимости линейной геории

1.2.3 Метод малого параметра

1.3 Задача растяжения-сжатия оболочек вращения со сложной формой меридиана

1.3.1 Некоторые результаты исследований влияния параметров задачи на полевые характеристики

1.3.2 Исследование области применимости линейной теории

1.3.3 Метод маггого параметра

1.4 Задача о действии гидростатического давления на оболочку с периодической структурой срединной поверхности

1.4.1 Некоторые результа гы исследований влияния параметров ладами но полевые характеристики

1.4.2 Исследование области применимости линейной 1еорни

2 Устойчивость гофрированных оболочек вращения

2.1 Постановка задами

2.2 О методах исследования устойчивости

2.2.1 Метод начальных параметров

2.2.2 Метол Флоке- .Ляпунова

2.3 Некоторые результаты численных исследований

3 Колебания гофрированных оболочек вращения

•3.1 Постановка задачи

3.2 Крутильные колебания гофрированных оболочек

3.2.1 Некоторые результаты исследований

3.2.2 Метод малого параметра

3.3 Продольно-изгибные колебания

3.3.1 Некоторые результаты исследований

3.4 Распространение гармонических крутильных воли в цилиндрической оболочке

с гофрированной вставкой

3.4.1 О теории Флокс

3.4.2 Анализ энергетического коэффициента прохождения

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование напряженно-деформированного состояния, устойчивости и колебаний гофрированных оболочек»

Введение

Тонкостенные конструкции широко используюiся в судостроении, авиастроении, машиностроении, приборостроении и в других областях науки и промышленности. При проектировании оболочечных конструкций одной из основных проблем является проблема устойчивостхт В настоящее время для решения этой задачи широко используются как аналитические (там, где это возможно), так и численные методы, опирающиеся на стандартные и оригинальные программы. j

Теория пластин и оболочек является одним из основных разделов механики деформируемого твердого тела. Развитию её посвящено весьма большое количество трудов, среди которых можно выделить монографии В. 3. Власова [1,2], А. Л. Гольденвейзера [3.4], А. И. Лурье [5], В. В. Новожилова [6], С. П. Тимошенко [7|, К. Ф. Черныха [8.9]. Также следует выделить и работы Н. А. Алфутова [10 13]; А. С. Вольмира |14.15]. Э. И. Григолюка и В. В. Кабанова [16,17], С. П. Тимошенко [18.19]. П Е. Товстика [20-22] и т.д .

Исследования устойчивости цилиндрической оболочки под внешним давлением проводились Р. Р. Bijlaard [23], Б. М. Броуде [24|, Б. В. Булгаковым |25|, Ф. С. Исипбаевой |26.27],|г.

I

И. Колосовым |28], Е. А. Лопаницыным и Е. А. Матвеевым j29—311, А. В. Погореловым 132], ,0. И. Теребушко [33], Экстормом [34], Кеминером |35], Нэшем [36]. Целый рядрабо1 посвящен исследованию факторов, влияющих на выпучивание (потерю устойчивости) цилиндрической оболочки [14,24.25,37 44]. Кроме того, исследования но устойчивости оболочек продолжаются и в настоящее время |28 31,45 51|.

История устойчивости оболочки начинается с исследования устойчивости цилиндрической оболочки W. Fairbaiiii 1858 года [52]. в которой автор обращает внимание на явление потери устойчивости цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением.

Спустя 53 года после опубликования первой экспериментальной работы, в 1911 году. Р. Лоренц получил первое аналитическое решение |53] для цилиндрической оболочки со свободно опёртыми торцами, которая была нагружена равномерным поперечным давлением. .Далее последовали работы Р. Саусвэлла |54|. 11. Ф. Папковпча |55]. Т. Токиавы |56|. Флюгге [57| и других. В результате этих исследований была потучена формула для определения критиче-

г ■■ г 1

ского давления, при расчетах на устойчивость свооодио опертых цилиндрических ооолочек. именуемая формулой Саусвелла-Папковича. |

Во всех этих работах была рассмотрена цилиндрическая обо почка, заделанная и пи опёртая по торцам и нагруженная внешним давлением. Сопоставление экспериментальных дан-

ных, приведенных в них, со значением критического давления полученного по формуле Саусвэлла-Папковича, показало их достаточную для инженерных расчётов согласованность, что можно найти в книге Э. И. Григолюка и В. В. Кабанова [17].

1

Наравне с экспериментальными исследованиями развивались и аналитические методы', в

частности, асимптотические. В силу того, что в определяющие уравнения оболочек входит

толщина, которая много меньше других размеров оболочки, возможно применение аеимпто-

тических методов исследования поведения оболочек, которые помимо того, что позволяют1

достаточно быстро провести расчёты на колебания, прочность и устойчивость, так и дают

качественный анализ этих явлений. Также они полезны при выборе эффективных численных

методов и позволяют упростить анализ численных резтаыагов. В России развитие асимпто-

п I

тических методов в теории ооолочек происходило в двух направлениях. Первое принадлежит А. Л. Гольденвейзеру, который предложил использовать их при интегрировании уравнений теории упругости для пластин, и его ученикам (М. И. Гусейп-Заде, А. В. Колосу. Ю. |д. Каплун ову. Е. В. Нольде, Г. Н. Чернышону, Н. Н. Рогачевой) [58-60]. Использованию асимптотических методов в задачах динамики оболочек посвящен детый цикл работ А. Л. Гольденвейзера, В. Б. Лидскою, П. Е. Товстика, ./I. Ю. Коссовпча.Второе направление связано с Ростовской школой механиков во главе с И. И. Воровичем и его учениками (О. К. Аксентян. Ю. А. Устиновым, В. И. Юдовичем, Н. А. Базарепко, Т. В. Виленской, И. Г. Кадомцевым и др.) [61-63]. Развитие аналитических методов содержится в [22,46,64,65]. Отметим также исследования Д. Ф. Давыденко [66], Л. Фокса [67], Лю Пина [68], Р. Вейлида [69], в которых приводятся различные варианты решения определяющих уравнений теории устойчивости.

Настоящая работа посвящена исследованиям устойчивости и колебаниям продольно гофрированных замкнутых оболочек вращения. Гофрирование является одним из способов управления жесткостями оболочек при их проектировании. Существует два основных типа гофрировки цилиндрических оболочек: по окружности и осевому направлению. Оболочки первого типа хорошо сопротивляются внешнему или внутреннему давлению, а оболочки

I

второго типа - осевому сжатию. Данные закономерности были подтверждены как экспериментальными, так и теоретическими исследованиями [70-78]. Продольно-гофрированные оболочки (сильфои) используются в конструкциях с низком изгибной жесткостью в продольном направлении и высокой изгибной жесткостью в окружном направлении [79]. Главной особенностью гофрированных оболочек можно назват ь высокие жест кости на, изгиб и сжатие в направлении гофрировки. Это свойство используется в конструкциях, находящихся: в одномерном напряженном состоянии. |

Осесимметричная гофрированная оболочка, рассматриваемая в данной работе, по сути является сильфоном (рпс. 1). который находит применение в качестве упругого чувствительного элемента в различных автоматических измерительных приборах. В силу своей геометрической структуры торцы сильфопов способны совершать значительные перемещения при растяжении-сжатии, гидростатическом давлении и других типах внешней нагрузки. Данное свойство стало причиной широкого распространения сильфонов в качестве чувствптель-

Рисунок ]: Схема сильфопа

I

I

ных элементов. Сильфоны обеспечивают передачу перемещений и вместе с тем исполняет функцию разделителя сред. В большинстве случаев срок службы и надежность сильфонЬв определяют срок службы и надёжность изделий в целом. Такое широкое распространение сильфоиов стало причиной необходимости определения наиболее эффективных сочетаний геометрических параметров, при которых сильфоны будут выполнять возложенные па них функции.

Довольно долго процесс определения свойств сильфонов носил исключительно эксперп-

!

ментальный характер. Это было связано с выбором доступной теоретической схемы анализа, которая хороша отражала бы реальный снльфон. В 1949 В. И. Феодосьевым [80] был применён энергетический подход вместе с методом Рнтца. Это позволило учесть особенности геометрической структуры сильфопа. Была получена формула опреде юния перемещений торца сильфопа при воздействии на пего осевой силы, которая хорошо совпадала с результатами экспериментов. [

Н. А. Алфутов [81] также использовал энергетический метод п принимал те же допущения что и В. И. Феодосьев, по рассматривал сильфон под действием давления. !

В большинстве ранних работ, посвященных сильфонам, применялась следующая простая схема расчёта: сильфон рассматривался как ряд пластин, последовательно скрепленных по контурам жесткими цилиндрами [82 85]. Однако полученные таким образом формулы возможно применять лишь для оценочных расчётов. <

В 1947 г. В. И. Феодосьевым [86] была впервые предпринята попытка привлечь теорию топких оболочек к расчёту спльфонов для того, чтобы получить более точное решение задачи. В этой работе использовались уравнения, полученные из уравнений Рейсе пера. Однако решение оказалось неоправданно сложным. Поэтому в дальнейших исследованиях авторами рассматривалась схема из кольцевой пластины и юровых участков, причём слроилось

I

решение в степенных ряда,х (но только если оболочка толстостенная) [87,88].

Во многих работах посвященных чис юннолп решению с п хьфемха рассматривается яи нейххая постановка коюрая достаточно точна д 1Я описания небо [ьшпх и мспешш фор^ы срединной поверхности обо точки Э Я Аксетврад [89] предложит применять порченные им нелипст-шые уравнения теории обо точек для исс тещоваххия конечных пс рс мощении с и ль фонов |

Врабсмах [90,91] про ц /аь юны ре-зу пдахы iro юченные в хоте жеперименхапьного исс Ас -дования моделей сварных гофрированных цилиндрических оболочек Проведено сравнение методов ана шз а несущей способно« ти i сканированных. обо ю чек а ыкже сравнение с жепе-риментальными данными

В [92] на основе метода возмущений и с использование vi трехмерных уравнений теории упругости получено аналитическое решение задачи упругого равновесия для неканонических, почти цилиндрических оболочек нагруженных осевыми внешними ситами Исследовано влияние формы оболочки и амппшулы на величину максимальных напряжении Дхя оболочки в вил,е си шфопа которая пачгцикл по;с постоянным внешним jai,пением проведено сравнение напряжении порченных на основе меюда во->му щенпп и полученных с

I

помощью конечно-разное хною метода с ипю шзованпем уравнении leopni-i обо почек Векуа Hong [93,94] на основе динамических уравнении пешне иной теории больших деформаций осесимметричных пологих оболочек вращения исс 1сдова i свободные и выпуждеп-

I

ныо колебания гофрироваиноп гюлоюй оболочки пот сосредоточенной нагрузкой Нелинейные дифференциальные \равнения поггогих оболочек были сведены к пелнпстпгым интoíро- щффоренциа ¡ьпым уравнениям с помощью метода функции Грина Hinci^o-дифференциалъиые уравнения были сведены к форме с вырожденным япром с помощью разложения функции Грина в ряд но харакхерис хпческим функциям Таким образом

j

ххнхехрально дифференххиа хьные уравнения бы ш н])еобразованы в нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения относ шс (ьно времс пи !

В [95] представлен метод опреде хенпя с обе изсппых чае jot и форм юфрпрованных искру -говых цилиндрических оболочек Исследовано влияние д пшы и амплитуды гофра на ос нервную частоту непагруженных и аксиально сжатых оболочек ^'стаиовтеп способ оптимизации жесткоегных характерисхик орготроиных оболочек В [96] рассмофепы ipt-r метода л,ля анализа устойчивости продольно тофрированных цн иппричоских оболочек Первые два применяются для истинной хеомефпи обо ючки a i pe i и и заменяех хофрированну ю оболочку

эквивалентной ей ортохроннои оболочкой Ис но гьзуекя у ючненная (еория и leopxm Гимо

!

шенко Проведено сравнение указанных методов на прпмере синусоида хыто гофрированной оболочки J

В работах Я M Григоренко [97-99] представлен лхотод анализа напряженного состояния продольно гофрированной цт-хлиндрическохг оболочки с эллиптическим сечением который был получен с использованием специапьноп моде ni Тимошенко Данный метод позвопп t пе-

реити от двумерной краевой за !,ачи описывающей напряженно-деформированное сое ныхтпе

i

оболочки к одномерной которая реша 1ась мехо i,om ортоюна шзаппп

от-

В основном нрн исследовании гофрированных оболочек, если длина гофра не сильно личается от толщины, применяется моделирование сложной формы меридиана ортотропн|ой цилиндрической оболочкой. Тем не1 менее, анализ устойчивости таких оболочек показал, что

I

выводы, сделанные па основании ортотропной теории, могут оказаться недостоверными. \

I

Целью данной диссертационной работы является

1. Исследование влияния параметров гофрировки поверхности оболочки на напряженно-деформированное состояние. усгойчивость, колебания.

ее

2. Исследование области применимости линейной постановки задачи для обо.лочек со сложным профилем меридиана.

II I

3. Разработка численно-аналитического метода определения критических значений гидростатического давления, при которых осесимметричное решение для I офрированной оболочки вращения теряеа устойчивость.

4. Разработка методов определения собственных чисел и собственных функций оболочек вращения с периодической структурой срединной поверхности

Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. |

I

В первой главе исследуется напряженно-деформированное состояние (НДС) гофрированных оболочек вращения. Рассматривается два типа гофрированных оболочек при различных граничных условиях, которые подвергаются кручению, рас тя жен и ю-сжатию иди находятся под действием внешнего или внулренпего гидростатического давления. В ряде задач подучены аналитические формулы для определения смещения оболочки под действием нагрузки.

I

Анализируется влияние параметров, характеризующих форму обо ючки. на перемещения.

|

Определены области применения построенного аналитического решения. Рассмотрено две

п !

постановки задачи: нелинейная и липеиная. На основе полученных результатов проведено

их сравнение, выявлена степень влияния нелинейных слагаемых на НДС исследуемых гофрированных оболочек.

В п. 1.1 приводятся определяющие соотношения дтя оболочек вращения со с южной фор-

|

мой меридиана. Используется теория, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява. Представлена новая форма уравнений равновесия, более удобная для дальнейшего анализа. |

В п. 1.2 в линейном и нелинейном вариантах даётся постановка краевой задачи для определения НДС оболочек при кручении. На основе численного интегрирования исследуется влияние различных геометрических параметров и величины приложенной нагрузки на НДС. Для контроля точности полученных численных результатов строятся аналитические решения исследуемых задач для общего и двух частных случаев формы поверхности оболочки. Построение осуществляется путём разложения решения по малому параметру, в качестве которого была выбрана безразмерная амплитуда недеформировапноп поверхности. Проводился сравнительный анализ решений, полученных а,налит ическим методом и на основе чпепеннем о интегрирования. Определены области применимости построенного аналитического решения.

В п. 1.3 рассматривается задача растяжения-сжатия гофрированной оболочки вращения. В широком спектре изменения геометрических параметров анализируется поведение максимального осевого смещения. Определяется влияние нелинейных слагаемых па НДС. Строится общий вид аналитического решения для оболочки вращения, сравниваются: результаты численных исследований с результатами полученными аналитически, выявляются значения геометрических пара .метро в. определяющих их совпадение.

В п. 1.4 исследуется деформация оболочки, находящейся под гидросташческим давлением: внешним или внутренним. Рассматриваемая задача подвергается анализу в широком спектре изменения параметров. В качестве граничных условий выбирается жесткая задел|ка торцов или шарнирное огптрание. Проводится исследования как в линейной, так и в нелинейной постановках. Исследуется влияние граничных условий па радиальное поромотттени'е.

Глава 2 посвящена исследованию устойчивости гофрированных оболочек вращения.| В силу большого количества работ, посвященных этой тематике, основной упор делается «а описание нового в данном классе задач метода определения значений внешней нагрузки, при которой осесимметричное напряженно-деформированное состояние т-еряег устойчивость. Проводится сравнение представленною метода со стандартным методом численною анализа (методом начальных параметров). Описываются преимущества предложенного алгоритма исследования. !

В п. 2.1 представлена постановка задачи на основе теории малых возмущений. |

В п. 2.2 описаны используемые методы определения критических значений внешней нагрузки: метод начальных параметров (метод прогонки) и метод, основанный па теории Флоке-Ляпунова. использование которого слало возможным благодаря особенностям геометрической структуры срединной поверх ной и выбранных оболочек.

В п. 2.3 приводятся некоторые результаты исследований по опреде 1енпю критических

1

значении внешнего и внутреннего гидростатического давлении для различных краевых условий и форм потери устойчивости.

Глава 3 посвящена исследованию волновых процессов в гофрированных оболочках вращения. Даётся общая постановка динамической задачи теории оболочек. Отдельно рассматриваются крутильные и продолыю-пзгибпые колебания. Исследования проводятся в широком спектре изменения геометрических параметров Для контроля точности численных исследований получено аналитическое решение для задачи о крутильных колебаниях. Аналитическое решение строится с помощью разложения по малому параметру, в качестве которого был выбран безразмерный параметр амплитуды недеформированпой поверхности оболочки. Определены области изменения геометрических параметров, при которых величина собственной частоты, полученная при численном анализе задачи, мало отличается от величины, полученной с помощью построенных аналитических формуя. Исследуется прохождение гармонических крутильных вотн, распространяющихся в бесконечной цилиндрической оболочки. через гофрированную вставку. Проводится анализ влияния параметров гофрировки

!

на коэффициенты прохождения и отражении. I

В л. 3.1 даны определяющие соотношения геометрически нелинейной теории оболочек с учётом гипотез Кирхгофа Лява. Уравнения движения получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. !

В п. 3.2 исследуются крутильные колебания гофрированных оболочек. Приведены результаты численных расчётов первых пяти собственных частот в зависимости от геометрических параметров оболочки. Для каждого рассмотренного типа гофрированной оболочки получены приближенные формулы для собственных частот. На основе сравнения решений, полученных численным интегрированием и аналитическим методом, определена, обла,сть применимости решения, построенного методом разложения по малому параметру.

В п. 3.3 проведено исследование продольно-изгибных колебаний оболочек. Представлен

1

анализ построенной многопараметрической задачи. |

В п. 3.4 рассматривается задача распространения гармонических крутильных колебаний в бесконечной цилиндрической оболочке с гофрированной вставкой. Определены энергетические коэффициенты прохождения и отражения, проведен анализ влияния геометрических параметров.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы проведенных исследований.

Научная новизна состоит в

1. Построении новой формы основных соотношений для гофрированных оболочек вращения, применении её к исследованиям колебаний и устойчивости.

2. Разработке алгоритмов и программ для определения точек бифуркации осесимметрич-ггого решения. ■

3. Анализе методов исследования волновых процессов в гофрированных оболочка,х вращения при различных способах возбуждения.

Практическая значимость. Упомянутые выше новые алгоритмы позволят проводить исследования устойчивости, прочности и динамических процессов разнообразных типов оболочек вращения со сложной формой меридиана.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивалась строгостью математического аппарата, применяемого для вывода определяющих уравнений, использованст'рм

апробированных алгоритмов численного исследования, сравнением с результатами, полу-

I

ченными другими авторами, с результатами, полученными аналитическими методами. |

Апробация работы. Основные результаты были изложены на XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г.Казань, 2015), XVII международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 2014), УИ-Х всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п.Дивноморское 2012-2015), VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердо-

го тела (г.Ростов-на-Дону 2013). 10-ой Курчатовской молодёжной научной школе (г.Москва 2013), международной научной конференции «Теория операторов, комплексный анализ^ и математической моделирование» (г.Владикавказ, 2014), XII Международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (с.Цей, 2015).

Публикации. Основные резутыаты по геме /шссертацип изложены в 14 печатных изданиях [100—113]. 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [J00-102], 9 — в тезисах докладов [103-105,107-109,111-113]. Все работ ы были выполнены в coa,вторе i вё с научным руководителем Ю. А. Устиновым.

Ю.А. Устинову принадлежит общая постановка задач, предложения по выбору мето-

|

дов исследования, обсуждение результатов. Диссертанту принадлежит вывод определяющих

i

уравнений, создание программ автоматизированного вывода разрешающих систем, создание программного обеспечения для построения и исследования решении конкретных задач, проведение численных расчётов всех исследуемых задач и их анализ. | Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный обьем диссертации составляет 108 страниц с 70 рисунками и 30 таблицами. Список литературы содержит 123 наименования.

!

Глава 1

Напряженно-деформированное состояние оболочек вращения

1.1 Основные соотношения

В качестве объектов исследования рассматриваются оболочки вращения толщиной Н и длиной L. С центром некоторого поперечного сечеттия оболочки свяжем декартову систему координат ciXo-Хз, направив Ох.\ по оси вращения оболочки. Введём цилиндрическую систему координат (f, г. г, связанною с декартовой системой соотношениями !

.1 i = поч(^). 1 2 ^ 1 ят(^). -2 3 = 2.

i

I

где г ---- г(~). О < z < L — радиус срединной поверхности, который задан как функция осевЬй

j

координаты z, L — длина оболочки.

Со срединной поверхностью оболочки свяжем репер Френе - ei. е2, ез, где единичньш вектор, направленный по касательной к линии г — const (вектор касательной), е-; единичный вектор, направленный по касате плюй к линии у? — const (вектор бинормали). е,3 единичный вектор, направленный по нормали к срединной поверхности (вектор нормали".

Ниже все основные полевые характеристики (координаты вектора смешений, компоненты тензоров деформаций, усилий и моментов) рассма гриваюгея в гауссовой системе, связанней со срединной поверхностью оболочки, как функции цилиндрических координат у?, г. В этом случае коэффициенты Ляме и главные кривизны срединной поверхности определяются следующими формулами [15.114J- ;

.4, = / (А А-, = ч/] + / ,2. /л =-ко =---т. ■/' =

Здесь индекс «1» отвечает линии кривизны z = const, индекс «2» - .линии кривизны г = r(z). if = const.

Нелинейное поведение оболочки в предположении, что 1г -С (1//с|,1/к2.Ь), описывается приведенными ниже соотношениями, вытекающими из гипотез Кирхгофа Лява |Н5|. Обозначим и = — вектор смещений точек срединной поверхности (и, его координаты в базисе Фрепе). Тогда вектор углов поворота нормали имеет вид [15]

© = в\е-\ + Оое.2 = — + к • v.

(11)

где

У = в1

1 д

к = А;|е, Сх} в| -(- /,2е2 С*1 е2. V = (у¡.и2), о:, = с/?.

I

т = л:.

А, дсу,

Компоненты 0г, в? выражаются через компоненты вектора смещений следующими соотношениями

1 I

= —+ в2 = ~-т-д2у з + к2и2.

А 1 У12

Здесь др, д2 - частные производные по переменным ф и г соответственно.

Плоский тензор деформаций срединной поверхности Е и тензор изменения кривизн

соответственно определяются следующими выражениями [116.117]

£ = е,,е, & е, = ^(Уи + Уит) + кг/3 + ©, г.,;)

(1

Г = к,,е, X <\, = -(V© -г V©' ). ¿.у = 1.2.

(113)

Компоненты данных тензоров имеют вид

£-22 = е22 + -В\, г,2 = е.\2 +

,:„ = £ (Я». + , = -1 (ал +

К-1 о

-42„ /0-Л 4, М

^ и)+^ и

Здесь ег., — компоненты линейного тензора деформаций Коти:

1 / '/¿> . еи = I о,РЩ + ) + клиА.

Уравнения равновесия в тсноорпо-вск торной форме записываются < ледуюгцим обра зом [15]

-VT-kQ + k\0 T-q = 0,

(l!4)

-V Q-Lk T + V (T e)-?t=0 !

__I

где q = (r/i q2), qt, / — i Л — компонент ы ьш пни п naqn ткп Q — V M — в( к тор поперечных

сил T M— гензор летни и i ен юр молк н юв cooi не i с i bcihio компоненты которых в ch'jv

i инотез Кирхгофа—Пява тыражаюкя следующилш с оо i нопн пиялти

Ти = В(сп + isen), т22 = B(e22 + V£n) Tl2 = B(l - v)el2 ,

(1 ч)

Л/ц = D{hb u + l/h 22 ) , M22 = D{h22 + Vh n) V/12 — D (1 - u)hi2

Здесь

B= ® D E"'

J 2 ( i - iS )

В — жес ikoc тт. оболочки на растяжение D — же< i кос ib обо ючки па пз1 иб Ей — модуль К)н1а и коэффициент Пуассона соогвегст венно

Пр[1ведел1 скалярный вид уравнении равновесия (1 4)

j

-д,(А2Тп) ~ -^dz{AiTl2) ^ Ô^\2T2I -к, U A2{Ch - Тп9, - Г1202 + ch) = О

-DMIT22) - -^d/AÏr]2) -l dz 4,7,1 - k2A, A2(Q2 - 12202 -ll20i + </>) = 0 (1 6)

4}

-àf(A2[Q! - ТЛЛ6Л - r12(92]) - drWQi - T22e2 - l\2ex}) + A,A2(k,h 1 + h2T22 - ch) = ©

j

î

Заметим что эти -уравнения можно упростить ввеля полные поперечные с и ты

Q\ = Q\ - ln(h - ! \>02 Q: = Ch- I22O2- lu<h

<v:

i

Тогда сиаема (1 6) прилют вид

Ч( ) - Т"г} ( г1') + ^ - * I 4, 42C?ï - ch 4, 42 = 0 1

/1т

-ci ( 4уТ22) - J-rV(4^) + J иГп — Аз li - г/, 4j 12 - 0 (1 8j

-12

- 07{A,Q\) -L- 4Т 42(А1ТП + А,,Г22) - с/3 4, 42 = О

u

9)

Компонешы вектора поперечных сил вычисляются следующим образом Ql = А^й (¡>М2Мп) - M22OvA2 +

q2 = (Oz(AlM22) - -V/] i с л .Ь + ~ clMlMn)

Ниже будут рассматриваться следующие граничные условия.

— жесткая заделка:

vn = и2 — и % = с)ги3 = 0 ( 1 ^0)

— шарнирное опирание:

щ = Щ = 7/4 = М;, = 0 (1 .il)

i

— скользящая заделка:

<ii = Ui = д,и.! = О.. 7 22 = То (1-12)

I

i j

Для проведения исследований были выбраны оболочки вращения с периодической струк-

I

турой срединной поверхности, радиус которой задавался одним из следующих выражений:

TTZ'I// 1

г (г) = г„ + h sur (1.13)

Ф) = г„ + Лят-^ (1.14)

где г'о — радиус срединной поверхности на торцах оболочки. А" — амплитуда недеформиро-

1

ванной поверхности. ///¡. т,2 — натуральные числа, определяющие количество гофров. На рис.1.1-1.3 представлены формы данных оболочек.

Ниже оболочки, срединная поверхность которых определяется формулой (1.13). будем называть «оболочкой типа 1». а формулой (1.14) - «оболочкой типа 2».

1.2 Задача кручения гофрированных оболочек

Пусть и> = = 0. а '(¿1 = г/](г). Тогда все остальные полевые характеристики не зависят от переменной Кроме того, будем считать, что (¡\ — ц2 = — 0. О эюм ( ту чае из трёх уравнений равновесия (1.8) останется одно: |

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Макаров, Сергей Сергеевич, 2015 год

Список литературы

1. Власов В. 3. Общая теория оболочек и её приложение в технике. — М.Л.: Гостехиздрт, 1949. 784 с.

2. Власов В. 3. Избранные труды. Т.1. — М.: Изд-во АН СССР. 1962. — 528 с.

3. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих гонких оболочек. — М.Л.: Гостехиздат. 1953. 544 с.

4. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. — М.: Наука. 1976. — 510 с.

5. Лурье А. И. Статика i ohkociенных ynpvrux оболочек. — M.Л. Гостехиздат. 1947. 252 с.

G. Новоо1си.'Юв В. В. Теория упругих тонких оболочек. — Л.: Судпро.мгпз. 1962. — 428

7. Тим,oui,емко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. — М.: Наука. 1971. 807 с.

8. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек 4.1. — Л.: Изд-во ЛГУ. 1962. — 274 с.

9. Черных; К. Ф. Линейная теория оболочек 4.2. — Л.: Изд-во .ЛГУ, 1964. — 395 с.

10. Алфутов Н. А., Соколов В.Ф. Определение нижнего критического давления упругой цилиндрической оболочки и поведение оболочки после потери устойчивости //' В сб. Расчеты на проч,ностл> в машшюстр. — 1958. — С 95-1 10.

11. Алфутов И. А. О зависимости значения верхнего критического давления цилиндрической оболочки от граничных условий дня касательных составляющих перемещений В сб. Теория оболоч,ек, и пластин. — 1964. — С 193-198.

12. Алфутов Н. А. О влиянии граничных условий на значение верхнего критического давления цилиндрической оболочки // В сб. Расчеты па прочность. — 1965 — С. 349-363.

13. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — 2-е изд. перераб доп. изд. — М.: Машиностроение, 1991 — 336 с.

Вольмир А. С. О влиянии начальных неправильностей на устойчивость цилиндрических оболочек при внешнем воздействии ;/ Докл. АН СССР. 1957. Т. 113. As 2. С. 291 293.

Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. Москва: Наука ГРФМЛ, 19(р7. — 984 с.

Григолюк Э. И.. Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука ГРФМЛ. 1978. 300 с.

Григолюк Э. И.. Кабанов В. В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек Итоги науки. Механика твердых, дефор.м. те,о. — 1909. — С. 348.

Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физ-матлл}1з. 19G3. - G3G с.

Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Часть Г A4.: Физматгиз, 1960.

Товстик П. Е. К вопросу о локальной потере устойчивости оболочек // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. матем.. иехан.. астрой. 1982. .У 3. С. 72 78.

Товстик 27. Е. Локальная устойчивость пластин и пологих оболочек па упругом основании // Изв. РАН. МТТ. ■ 2005. - Т. 1. С. 147 160.

Товстик П. Е. Устойчивость топких оболочек. Асимптотические методы. М.: Паука. 1995. 320 с.

Bijlaard P.P. Buckling stress of thin cylindrical clamped shells subject to hydrostatic pr sure // Aeronaut. Set. 1954. Vol. 21, no. 12. Pp. 852 853.

Броуде Б.М. Об устойчивости бесконечно длинной цилиндрической оболочки с начальным искривлением при внешнем давлении // Изв. АН СССР. Мехаи. и машиностр. 1963. - № 4. - С. 76-68.

Булгаков Б. В. Влияние отклонений формы труб от круглой на сопротивление внешнем)' давлению // Тр. Гос. исслсд. иефт. ин-нга. — 1930. — Т. 7. — С. 1-103.

Исанбаева Ф.С. Определение нижней критической нагрузки цилиндрической оболотгки при всестороннем сжатии // Изв. Казачек, фьл. АН СССР. Сер. физ.-мат.ем,. и техн. наук. - 1955. — Т. 7. — С. 51-58.

Иса,н,ба,ева Ф. С. К теории устойчивости защемленной цилиндрической оболочки при гт-ростатическом давлении /7 Изв. Ка.за,нск. фи.л. АН СССР. Сер. физ.-млтем. и, те,г. наук. - 1958. - Т. 12. - С. 149-154.

Д-н.

м D7.

■>1Х

ic-

КИ

ue

28. Колосов Г. И. Устойчивость замкнутой круговой цилиндрической оболочки при внешн боковом и гидростатическом давлениях // Космонавтика и ракетостроение. 20

— Т. 2(47). - С. G1-65.

29. Лопаницыи Е.А.. Матвеев Е.А. Точное решение осесимметричпой задачи о конечн прогибах цилиндрических оболочек при всестороннем сжатии Ломоносове кие чп ■ния. Тезисы докладов. Секция механики. — 2007. — С. 107 108.

30. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Устойчивость защемлённой цилиндрической обол о ч' с начальными неправильностями под действием бокового давления // Ломоносове^ чтения. Тезисы докладов. Секция меххтики. 2009. С. 108 109.

31. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. О возможности теоретического подтверждения экспериментальных значений внешнего критического давления тонкостенных цилиндрических оболочек // Прикладная математика и механика. — 201 1. — Т. 75, № 5 — С. 832-844

32. Погорелое А.В. Закритические деформации цилиндрических оболочек под внешнем давлением // Докл. АН СССР. - 1961. - Т. 138, Л*и 6. - С. 1325-1327.

33. Теребуш.ко О.И. Устойчивость цилиндрической оболочки при кручении, внешнем дав нии и сжатии / / В сб. Расчет npocmpaticme. коиструкирш. — 1959. — Т. 5. — С. 431-449.

34. Ekstrom R.E. Buckling of cylindrical shells under combined torsion and hydrostatic pressure.

- 1903. - Vol. 3, no. 8. - Pp. 192-197.

35. Postbuckling behavior of circular cylindrical shells under hvdiostatic pressuie / -J. Kempuer. K.A.V. Pandalai, S.A. Patel. J. Ctouzel-Pascal /, J. Aeumaut. Set. - 1957 - Vol. 24, no. 4. Pp. 253 264.

ie-

ut.

с во

ть

36. Nash W. A. Buckling of thin cylindrical shells subject to hydrostatic piessure // Aerona Sei. — 1954. - Vol. 21, no. 5. - Pp. 354-355.

37. Михасев P. И. Задачи локальной потери устойчивости оболочек нулевой кривизпь переменной толщиной и коэффициентами упругости // Прикладная ме rain та. Изд ЛГУ. - 1988. - Т. 7. - С. 160-164

38. Саченков А.В., Выборное В.Г. Влияние начальных неправильностей на устойчивое тонких оболочек // В сб. Исслед. по теории пластин и оболочек. 1965. Т. 3. С. 24-34.

39. Donnell L. II. Effect of imperfections on buckling of thin cylinders undei external piessure Appl. Mech. — 1956. — Vol. 23, no 4. — Pp. 569-575.

40. Donnell L H. Effect of imperfections on buckling of thin cylinders with fixed edges unqler external pressuie ,'/ Proc. 3rd U.S. Nat. Conr/r. Appl. Mech. — 1958 — Pp. -305-311.

■ / //

41. Galletly G. D., Bart R. Effects of boundary conditions and initia,] out-of-roimdness on strength of thin-walled cylinders subjected to external hydrostatic pressure // Appl. M& - 1956. - Vol. 23, no. 3. - Pp. 351-358.

42. Jamaki N. Influence of piebuckling deformations on the buckling of cylindrical shells AI A A Journal. — 1969. - Vol. 7, no. 4. — Pp. 753-755.

43. Lopamtsyn E. A.. Matveev E. A. Stability of cylindrically shells with initial iniperfeetk under the action of external pressure // Mech. of Solids. — 2011. — Vol. 46. — Pp. 170-1'78.

44. Smirnov A. L.. Tovstik P. E. Thin-walled structures made of materials with variable elastic moduli // Advances in Mechanics of Solids In Memory of Prof E. M. Haseganu. — 2006. Pp. 69-83.

45. Григоллок Э. И., Лопании,!ли, E. A. Конечные прогибы, устойчивость и закритичссл поведение топких пологих оболочек. — М.: МГТУ «МАМИ». 2004. — 162 с.

ое

46. Колосов Г. И. Устойчивость равновесных состояний сжатой в осевом направлении за-

мкнутой круговой цилиндрической оболочки к малым возмущениям // Известия Р сийской академии наук. Механика твердого тела. — 2000. — № 2. — С. 77-83.

jc-

эм

47. Колосов Г.И. Определение границы зоны абсолютной устойчивости сжатой в осев направлении замкнутой круговой цилиндрической оболочки // Косм,она,втика, и рахе-тостроение. - 2005. - Т. 1(38). - С, 114-118.

48. Матвеев Е. А., Фролов А. В. Осеснм.метричное напряженно-деформированное состоя ние круговых цилиндрических оболочек конечного прогиба перед потерей устойчиво ети // Изв. МГТУ «МАМИ». - 2008. - С. 152-158.

49. Па,ймушии В. Н. Крутильные, из] ибные и ил ибпо-крутпльные формы потери устой1 вости цилиндрической оболочки при комбинированных видах на гружен ия // Извест Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2007. — № 3. — С. 125-136.

50. Пикуль В. В. К теории устойчивости оболочек // ДАН. — 2007. — Т. 416, Л'2 3. С. 341-34.3.

51. Smirnov A. L. Asymptotic, Analysis of Buckling of Thin Shells // Advances in Mechanics Solids In Memory of Prof E.M. Haseganu. - 2006. - Pp. 49-67.

■52. Fairbairn W. On the resistance of tubes to collapse // Philos. Trans. Roy. Sue. London. 1858. - Vol. 148. - Pp. 389-414.

53. Lorenz R. Die nicht ashsensymnietrische Knickung dünnwandiger Holilzylind-ег // Ph. Zeitschrift. - 1911. - Vol. 12, no. 7. - Pp. 241-260.

he zh.

11

lis

и-ия

of

•54. Southwell R. On the collapse of tubes by external pressure. Parts I. II. Ill // Philos. Ma Ser.6. 1913:1915. Vol. 25.20:29. no. 149,153:169. Pp. 687 697,502 510:67 76.

o-

55. Папкович П.Ф. Расчетные формулы для проверки устойчивости цилиндрической об лочкн прочного корпуса подлодок // Бюлл. научи.- т.ехн. ком.. УМВС РККА. — 1929.

- Т. 2. - С. 113-123.

56. Ток ад a wa Т. Model experiments on the elastic stability of closed and cross-stiffened circu ar cylinders under uniform pressure // Proe. World Engug Congr. — 1929. — Vol. 29. Pp. 249 279.

57. Flügge W. Die Stabiiitat der Krciszylinderschale // Ingr. Arch. — 1932. — Vol. 3, no. 5. Pp. 463-506.

58. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости /'/ TIMM. — 1962. Т. 26, 4. - С. 668-686.

59. Гольденвейзер А. Л. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Оен-Венана // 11ММ. 1994. Т. 58, .N'2 6. С. 96 108.

60. Гольденвейзер А. Л.. Каплунов Ю. Д., Нольде Е. В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко -Рейсспера // Изв. АН СССР МТТ.

- 1990. - .V 6. - С. 124-1.38.

61. Ворович И. И. Некоторые асимптотические соотношения в статистической теории устойчивости оболочек // ПММ. - 1962. - Т. 26. № 4. - С. 735-739.

62. Базаренко Н. А., Ворович И. И. Асимптотическое поведение решения задачи теории упругости для полого цилиндра конечной длины при малой толщине '/ IIMM. 1965.

- Т. 29, > 6. — С. 1035-1052.

63. Мехтиев М. Ф.. Устинов Ю. А. Асимптотическое поведение решения задачи теории

упругости для плиты переменной толщины // Тр.VIII Всесогозн. конфер. по теор оболочек и пластин. — Москва: Наука. 1973. — С. 58-60.

ИИ

64. Григолюк Э. И.. Шалаши лин В. И. О некоторых формах метода продолжения по параметру в нелинейных задачах теории упругости // ПМТФ. 1980. Л'1-' 5. С. 158 162.

65. Григолюк Э. П.. Шал,а,шили/и, В. И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. — М.: Наука ГРФМЛ, 1988. — 232 с.

66. Давыденко Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Украинский .иатем. журнал.. — 1953. — Т. 5, А"2 2. — С. 196-206.

67. Fox L. Numerical solution (if ordinaryand partial differential equations. Oxford. New Yo Pergamon Press, 1962. 509 pp.

68. Pin Lu, Huang M. Calculation of the fundamental Solution for the theory of shallow shells considering shear deformation // Appl. Math, and Mech.. 1992. Vol. 13, no. 6. Pp. 537-545.

69. Valid R. The Nonlinear Theory of Shells Through Variational Principles. Wiley: Chi< ester, 1995. — 477 pp.

70. Semenyuk N. P., Zhukova N. B., Babich 1. Yu. Stability of eircuniferentially corrugated cylindrical shells under external pressure // Int. Appl. Mech. — 2010. — Vol. 46, no. 8. P. 919-928.

71. Semenyuk N. P.. Babich I. Yu. Stability of longitudinally corrugated cylindrical shells um uniform surface pressure // Int. Appl. Mech. - 2007. — Vol. 43, no. 11. - P. 1236-1247

ler

72. Semenyuk N. P., Zhukova N. В.. V. Ostapch.uk V. Stability of corrugated composite non-circular shells under external pressure // Int. Appl. Mech. — 2007. — Vol. 43, no. 12. P. 1380-1389.

73. Semenyuk N. P.. Zhukova N. B. Stability of noncircular cylindrical shells with cross-section formed of circular arcs /7 Dop. NAN Ukraviy. — 2003. — Vol. A. no. 3. — P. 53-58.

74. Григоренко Я. M., Крюков II. Н. Численное решение задан статики гибких слоистых оболочек с переменными параметрами. — Киев: Наук, думка, 1988. — 264 с.

75. Гуляев В. И., Баженов В. А., Госуляк А. А. Устойчивость нелинейных механических систем. — Львов: Вища. школа, 1982. — 253 с.

76. Komissarova G. L. Stability of a longitudinally corrugated cylindrical shell with and without stiffening rings // Proc. jth All-Union Conf. on the Theory of Shells and Plates. — 1963. P. 567-571.

77. Podorozhnyi A. A. Data lor design of a shell with a corrugation subjected to compression and shear // Tr. TsAGI. - 1940. - Vol. 520, no. 48.

78. Soldaíos K. P. Mechanics of cylindrical shells with non-circular cross-section: A survey Appl. Mech. Rev. — Vol. 52. no. 8.

79. Ross С. T. F. A redesign of the corrugated thin can /7 Thin-Walled Struct. — 1996. Vol. 26. no. 3. - P. 179-193.

80. Феодосьев В. И. Упругие элементы точного приборостроения. — М.: Оборонгиз, 19 - 343 с.

81. Алфутов H.A. Расёт однослойного сильфона методом Ритда // Инок:. сборни/к АН СССР. 1953. Vol. 15.

82. Андреева Л. Е. Упругие элементы приборов. Ad.: Машгиз.. 1962. 456 с.

>в.

83. Волков А. Н. К вопросу определения осевой жесткости сильфона // Известия вуз Машиностроение. 1968. .V 2. С. 55 58.

84. Жуков В. Б. Осевая жесткость бесшовного сильфона // Вестник машиностроения. 1966. № 2. С. 27 29.

85. Королёв В. И. Расёт сильфонов // Вестник МРУ. — 1954. - А'а 3. — С. 81-90.

86. Феодосъев В. И. К расчёту гофрированных коробок (сильфонов) /'/" Иною, сборник / СССР. - 1947. - Т. 4.. № 1. - С. 137-149.

87. Дьяченко А. Н. Напряженно-деформированное состояние сильфонов и анализ свя между видом напряжений и долговечности при циклическом нагружении // МТТ. 1968. Да 1. С. 101.

88. Turner С. Е. Stress and deflection studies of flatplate and torodial expnsiou bellows, subje! ed to exial. eccentric or internal pressure loading // T.mech. engng. sci. 1959. Vol. no. 2. Pp. 130 143.

89. Аксерьрад Э. Л. Периодическое решние оеесиыметричпой задачи теории оболочек MIL 1966. - № 2. С. 77 S3.

90. Muratov V. М., Tubaivskii А. Т., Bobel N. Т. Experimental investigation of the stability corrugated cylindrical shells // Khimicheskoe i Neftyanoe Mashinostroeme. 1992. - no - Pp. 18-20.

91. D'yakonov V. B. Analysis of longitudinally corrugated shells undei axial compression Prikladna.ya Mekhanika. — 1972. — Vol. 8. no. 4.

92. Chemopiskii D. I. On stress-strain state in thick-walled cylindrical shellsbouncleci by eorju gated surfaces // Strength of Materials. - 2012. — Vol. 44, no. 1. — Pp. 40-52.

H

зи

of 3.

//

//

93. Hong Y. Method of Green's function of nonlinear vibration of corrugated shallow shells Sci China Ser G-Phys Mech Astron. - 2008. - Vol. 5L: no. 5. - Pp. 678-686.

94. Hong Y.. huai L. Ren. Nonlinear vibration of corrugated shallow shells under uniform load Applied Mathematics and Mechanics. — 2007. — Vol. 28, no. 5. — P. 573-580.

95. Sernenyuk N. P.. Zhukova N. B.. Babtch I. Yu. Natural vibrations of corrugated cylindrical shells // Int. Appl. Mech. - 2005. - Vol. 41, no. 5. - P. 512-519.

96. Sernenyuk N. P., Ntskhodovska.ya N. ,4. On design models in stability problems for cortu-gated cylindrical shells // International Applied Mechanics. 2002. Vol. 38. no. 10. P. 1245-1252.

97. Grigorenko Ya. M.. Grig ore nko A. Ya.. Zakhavnchcnko L. I. Influence of geometrical para eters on the stress state of longitudinally corrugated elliptic cylindrical shells // International Applied Mechanics. — 2009. — Vol. 45. no. 2.

98. Grigorenko Ya. M.. Rozhok L. S. Strccs solution for transversely isotropic corrugated lioll cylinders // International Applied Mechanics. — 2005. — Vol. 41. no. 3.

99. Grigorenko Ya. M., Yaremchenko S. N. Refined design of longitudinally corrugated cylinc cal shells // International .Applied. Mechanics. — 2012. — Vol. 48, no. 2.

m-

)w

n-

100. Макаров С. С., Устинов Ю. А. О методах исследования устойчивости гофрированных оболочек вращения // Доклады -Академии наук,. — 2014. — Т. 459, Л'а 4. — С. 432-436

101. Мака,ров С. С.. Устинов Ю. А. Крутильные колебания оболочки вращения со сложной формой меридиана ,// Известия вузов. Северо-Кавказкий регион. — 2015. — Л1'2 2. С. 22-26.

102. Макаров С. С., Устинов Ю. Л. Некоторые результаты исследований устойчивости гофрированных оболочек // Экологический вест,ник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2015. — Л'2 2. — С. 65-70.

103. Мак,а,ров С. С., Устинов Ю. А. Исследования нелинейного напряжет деформированного состояния выпуклой оболочки вращения и устойчивости цилиндрической оболочки /'/ Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тезисы докладов VII Всероссийской школы семинара. — Ростов-на-Дойу: Издательство ЮФУ. 2012. С. 84.

104. Макаров С. С.. Устинов Ю. А. Исследование НДС и устойчивости оболочек враще-

ния // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: зисы докладов VIII Всероссийской школы семинара. Ростов-на-Дону: Издательел ЮФУ. 2013. - С. 81.

105. Макаров С. С., Устинов 10. А. Исследование устойчивости и НДС оболочек вращения ,// VII Всероссийская(с международным участием) конференция по механике деформируемого твердого тела: Тезисы докладов. — Ростов-па-Дону: Издательство КМ У. 2013. - С. 106.

106. Макаров С. С.. Уст,иное Ю. А. Исследование устойчивости и НДС оболочек вращения // VII Всероссийская (с международным участием) конференция по механике де-

е-во

формируемого твердого тела: Труды конференции. Т. 2. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2013. С. 86 90.

107. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Исследования устойчивости оболочек вращения с периодической структурой срединной поверхности на основе метода Флоке-Ляпунова / Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тезисы докладов IX Всероссийской школы семинара. — Ростов-на-Дону: Издательство IОфУ\ 2014. - С. 94.

108. Макаров С. С.: Устинов 10. А. Устойчивость гофрированных оболочек вращения

/ /

Теория операторов, комплексный анализ и математической моделирование: Тезисы до кладов международной научной конференции. — Владикавказ: ЮМИ ВИЦ РАН РСО-А, 2014. - С. 126-127.

и

по ой

1Д-

109. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Применение метода Флоке-Ляпунова к исследован! устойчивости гофрированных оболочек // Современные проблемы механики силошн среды: Тезисы докладов XVII международная конференция. — Ростов-на-Дону: Из; тетьство ЮФУ, 2014. С. 90.

110. Макаров С. С.. Устинов Ю. А. Применение метода Флоке-Ляпунова к исследованию устойчивости гофрированных оболочек /./ Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XVII международной конференция. — Vol. 2. — 2014.

111. Макаров С. С., Уст,иное 10. А. Собственные колебания гофрированных оболочек Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тезисы докладов X Всероссийской школы семинара. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮфУ. 2015. С. 98.

112. Мака,ров С. С.. Устинов 10. А. О двух методах исследования устойчивости гофрированных оболочек вращения // Порядковый анализ и смежные: вопросы математического моделирования: Тезисы докладов XII Международной научной конференции. — Владикавказ: ЮМИ BHLI РАН, 2015. - С. 145-146.

113. Ватулъян К. А.. Макаров С. С.. Устинов Ю. А. Колебания оболочек переменной тс» щины со сложной формой меридиана // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: Аннотации докладов. Казань: Издательство Академии наук РТ. 2015. С. 285.

114. Общая нелинейная теория упругих оболочек / С. А. Кабриц. Е. И. Михайловский, Тов-стик П. Е. и др.: Под ред. С. А. Кабриц, Черных К. Ф. — Спб.: С.-Петерб. ун-та., 2002. - 388 с.

115. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. Москва: Наука ГРФМЛ, 1969. - 376 с.

( 10t

116. Статика и динамика тонкостенных оболочечпых конструкций / А. В. Кармишин. В. Ф. Лясковец. Мяченков В. И.. Фролов А. Н. М.: Машиностроение. 1969. 376 с.

117. Новолсилов В. В. Основы нелинейной теории уирмости ' Лод ред А И. Лурье. Лой-няцкий Л.Г. Москва: ОГИЗ, 1948. 211 с.

118. Кали/ткан Н. Н. Численные методы. М.: Наука. 1978. 512 с.

119. Каримов И. Лекции но теории упругое ш. Лекция 5. Оболочки [Электронный ресурс]. — Сопротивление материалов. Электронный учебный курс для студентов очной и заочной формы обучения URL: http:/ Vww.sopiotniat iп/Iretupiup,ost5.htm

120. Демидова ч Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука.

121. Якубович В. А., Ста,ржи-некий В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука ГРФМЛ.

122. Кантор Б. Я. Контактные задачи нелинейной leopnn оболочек вращения. — Киев: Наукова думка. 1990. 134 с.

123. Гетман И. ГГ., Устинов Ю. А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: Издательство РГУ. 1993. 144 с.