Разработка метода отсеков для расчета колебаний составных осесимметричных тонкостенных конструкций с жидкостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат наук Рей Чжунбум

• Рей Чжунбум
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Рей Чжунбум

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОД ОТСЕКОВ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ

СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1. Уравнения колебаний отсека в обобщенных координатах

1.2. Редуцирование уравнений колебаний отсека способом квазистатической аппроксимации

1.3. Редуцирование уравнений колебаний отсека способом динамической аппроксимации

1.4. Отсеки в виде оболочек вращения и круговых шпангоутов

ГЛАВА 2. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА

КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

2.1. Постановка задачи. Основные соотношения

2.2. Аппроксимация перемещений КЭ. Обобщенные координаты

2.3. Потенциальная и кинетическая энергии КЭ в обобщенных координатах

2.4. Матрицы жесткости и инерции круглой пластины плоского днища оболочки вращения

2.5 Уравнения колебаний КЭ-модели оболочки вращения

2.6 Расчет собственных колебаний полусферической оболочки с оценками точности и анализом влияния параметров

ГЛАВА 3. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГИХ ОБОЛОЧКАХ ВРАЩЕНИЯ

3.1. Аппроксимация перемещений слоя жидкости при о се симметричных колебаниях внутри оболочки вращения

3.2. Кинетическая энергия жидкости при осесимметричных колебаниях оболочки вращения

3.3. Матрица присоединенных масс жидкости для осесимметричных колебаний оболочки вращения

3.4. Аппроксимация перемещений слоя жидкости при неосесимметричных колебаниях внутри оболочки вращения

3.5. Кинетическая энергия жидкости при неосесимметричных колебаниях

оболочки вращения

3.6. Матрица присоединенных масс жидкости для неосесимметричных колебаний оболочки вращения

3.7. Учет гравитационных колебаний свободной поверхности жидкости

3.8. Уравнения гидроупругих колебаний КЭ-модели оболочки вращения

3.9. Поперечные колебания недеформируемой оболочки вращения, частично заполненной жидкостью

3.10. Примеры расчета собственных колебаний оболочек вращения с жидкостью; сравнение результатов

ГЛАВА 4. КОЛЕБАНИЯ СОСТАВНЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ

ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

4.1. Матрицы жесткости и инерции кольцевого шпангоута

4.2. Условия соединения шпангоута с оболочками

4.3. Матрица присоединенных масс жидкости для упругой оболочки вращения со шпангоутами

4.4. Математические модели баков с трубопроводами для расчета продольных колебаний составных конструкций

4.4.1. Несущий бак

4.4.2. Подвесной бак

4.5. Влияние соединительного шпангоута на собственные колебания цилиндрического бака со сферическим днищем, заполненного жидкостью

4.5.1. Осесимметричные колебания

4.5.2. Неосесимметричные колебания

4.6. Уравнения колебаний осесимметричной конструкции как системы отсеков

4.7. Пример расчета продольно-радиальных колебаний системы двух баковых

отсеков

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка метода отсеков для расчета колебаний составных осесимметричных тонкостенных конструкций с жидкостью»

ВВЕДЕНИЕ

Тонкостенные конструкции с полостями (баками), частично заполненными жидкостью, часто используются в различных областях машиностроения и строительства сооружений - это самолеты, ракеты, космические аппараты, танкеры, авто - и железно дорожные цистерны, нефтеналивные емкости, аппараты химического производства, пр. Обычно масса тонкостенной конструкции (оболочки) мала по сравнению с массой содержащейся в ней тяжелой жидкости и поэтому жидкость оказывает большое влияние на динамические характеристики таких конструкций и на их движение.

Большой вклад в теорию и разработку методов решения задач динамики твердых и упругих тел (оболочек) с полостями, содержащими жидкость, внести Стоке, Н.Е.Жуковский, Н.М.Моисеев, В.В.Румянцев, К.С.Колесников, Б.И.Рабинович, И.А.Луковский, Р.Е.Лампер, В.П.Шмаков, Ю.Г.Балакирев, Ф.Н. Шклярчук, H.N.Abramson, H.F.Bauer, Y.W. Miles и др.

Задачи о малых (линейных) колебаниях жидкости, частично заполняющей неподвижную, подвижную или упругую полость формулируются более или менее одинаково - в большинстве случаев жидкость считается идеальной (невязкой) и несжимаемой, а ее движение внутри и на стенках полости - безотрывным. При этом из уравнений движения жидкости следует, что давление является потенциалом для ускорений частиц жидкости и , следовательно, существуют потенциал скоростей и потенциал перемещений идеальной жидкости.

В результате задача о колебаниях идеальной жидкости может быть описана только одной неизвестной функцией, представляющей динамической давление в жидкости, или потенциал скоростей или потенциал перемещений жидкости, которая на основании дифференциального условия несжимаемости удовлетворяет уравнению Лапласа.

В случае сжимаемой жидкости динамическое давление в ней равно объемной деформации жидкости, умноженной на ее модуль объемного адиабатического сжатия. С учетом этого уравнение неразрывности жидкости вместо урав-

нения Лапласа сводится к волновому уравнению для динамического давления или для потенциала скоростей или потенциала перемещений жидкости.

Необходимость учета сжимаемости тяжелой жидкости возникает в случае высокочастотных акустических колебаний [41] или в случае гидроупругих колебаний при больших глубинах заполнения сравнительно толстостенных оболочек, например, при осесимметричных продольно-радиальных колебаниях цилиндрических оболочек [80,81] или трубопроводов [43].

Задача о колебаниях вязкой жидкости в полостях и упругих оболочках по постановке и методам решения существенно отличается от задачи о колебаниях идеальной жидкости [58].

Что касается тонкостенных конструкций то при расчете гидроупругих колебаний в зависимости от их удлинения, рассматриваемого диапазона частот и форм колебаний используются "балочные" модели [43,54-57,60] или оболо-чечные модели, основанные на различных вариантах теории оболочек (безмо-ментной, полубезмоментной, моментной теориях и теории пологих оболочек), формулируемые в перемещениях. При этом во многих случаях для упрощения пренебрегают инерцией оболочек в тангенциальных направлениях.

Для решения связанной задачи гидроупругости используются дифференциальные уравнения жидкости (например, уравнение Лапласа) и оболочки с учетом гидродинамического давления, а также- кинематическое условие безот-рывности нормальных перемещений оболочки и жидкости, граничное условие на свободной поверхности жидкости и граничные условия на краях оболочки. Эта задача решается точно только для специальных частных случаев: форма объема жидкости, ограниченного оболочкой и свободной поверхностью должна допускать решение гидродинамической задачи методом разделения переменных в изученных специальных функциях (например, цилиндрических или сферических).

В большинстве случаев для определенных типов и расчетных моделей оболочек с жидкостью задачи о них гидроупругих колебаниях решаются приближенно или численно, используя формулировку задачи в виде дифференци-

альных уравнений и граничных условий или в виде соответствующих вариационных принципов. При этом для повышения точности желательно, чтобы какие-то из указанных выше уравнений и граничных условий удовлетворялись точно, а остальные - приближенно.

Общие вопросы, относящиеся к формулировкам задач о колебаниях упругих конструкций и оболочек, частично заполненных жидкостью, в виде уравнений и различных вариационных принципов рассматривались в работах [25,28,29,48,57,67,69,70,78,87,104,105,124].

Приближенные и численные методы расчета колебаний оболочек, содержащих жидкость, рассматривались в работах [1,3,4,12,16,26,27,44,46,49,76,82,84, 88,90,92-94,101]. Отметим некоторые из этих методов. В [1,46] в качестве основных неизвестных рассматривались коэффициенты разложения в ряд по гармоническим функциям потенциала перемещений жидкости. Через него выражались нормальные перемещения оболочки вращения и затем из уравнений колебаний оболочки определялись неизвестные коэффициенты.

В [4] для решения задачи осесимметричных колебаний сферической оболочки гидродинамическое давление представлялось в виде ряда по гармоническим функциям с неизвестными коэффициентами. Затем определялось напряженное состояние безмоментной безынерционной оболочки и на основании принципа Кастильяно получались уравнения для неизвестных коэффициентов.

В работах [12,16,100] сначала решается вспомогательная гидродинамическая задача: строится система гармонических функций в объеме жидкости, ортогональных на смоченной поверхности оболочки. Гидродинамическое давление на оболочку определяется в виде ряда по этим функциям с коэффициентами интегрально зависящими от нормального перемещения. Уравнения колебаний оболочки, одно из которых является интегро-дифференциальным, решаются по методу Бубнова - Галеркина или численно методом прогонки.

В работах [27,78,88,90,92] разработан вариационные метод сведения гидродинамической задачи для упругой оболочки вращения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по осевой координате для неизвестных

функций представляющих коэффициентов разложения осевых перемещений жидкости по заданным функциям радиальной координаты. При этом точно удовлетворяются уравнение неразрывности жидкости, граничное условие безот-рывности на поверхности упругой оболочки и уравнения движения жидкости в радиальном и окружном направлениях. В силу этого уже в одночленном приближении- при использовании асимптотически соответствующей аппроксимации это решения гидродинамической задачи обладает весьма высокой точностью. Это решение использовалось при решении задач о колебаниях оболочек с жидкостью по методу Ритца [93], по методу итерации [84] и численному интегрированию системы связанных обыкновенных дифференциальных уравнений оболочки и жидкости [25].

Для тонкостенных нерегулярных конструкций и оболочек сплошной формы и переменной толщины в настоящее время при наличии в математическом обеспечении компьютеров стандартных программ линейной алгебры для матриц высокой размерности наиболее удобным является метод конечных элементов (МКЭ). Отметим некоторые работы, в которых МКЭ в разных вариантах и формулировках используется для расчета колебаний тонкостенных конструкций, включая оболочки с жидкостью: [10,23,32,33,39,40,45,47,50,59,64,71,74,89, 95-99,106,121,126,127]. Метод граничных элементов (МГЭ) также эффективен для решения задач гидродинамики в приложении к гидроупругости [17,25,47,91] однако он менее популярен по сравнению с МКЭ.

Для больших составных конструкций практически удобным и перспективным является метод подконструкций (отсеков, модуль - элементов, суперэлементов). Исследования по разработкам различных вариантов этого метода в приложении к линейным задачам динамики составных конструкций, включая тонкостенные конструкции с отсеками (баками), содержащими жидкость, содержатся в следующих работах: [22,30,31,34-38,63,65,66,75,85,86,102,103,107, 108,110-114,115-123,125,129].

На основании изучения и анализа литературы по теме диссертации определена цель работы: разработать метод отсеков (подконструкций) с необходи-

мым обоснованием и математическим обеспечением в рамках конечно-элементных моделей упругих оболочек вращения, содержащих жидкость и имеющих соединительные шпангоуты, для расчета колебаний составных осе-симметричных тонкостенных конструкций с жидкостью.

Основное содержание диссертации изложено в четырех главах.

В первой главе излагаются основы метода отсеков (подконструкций) и способ редукции уравнений конечно-элементной модели отсека путем преобразования к основным обобщенным координатам, по которым отсек соединяется с другими отсеками и частями конструкции, с дополнительными обобщенными координатами, представляющими несколько низших собственных форм колебаний закрепленного отсека.

Во второй главе разработан оригинальный вариант метода конечных элементов (МКЭ) для расчета осесимметричных и неосесимметричных колебаний тонких ортотропных упругих оболочек вращения с учетом предварительного осесимметричного напряженно-деформированного состояния с целью использования его для расчета колебаний составных оболочек вращения, содержащих жидкость и имеющих дискретно расположенные круговые шпангоуты с произвольным поперечным сечением. Приведены сравнительные расчеты колебаний различных оболочек вращения с оценками точности.

Третья глава посвящена разработке нового варианта МКЭ для расчета осесимметричных и неосесимметричных колебаний упругих оболочек вращения, частично заполненных жидкостью. В качестве КЭ рассматриваются узкие кольцевые полоски оболочки с содержащимися в них тонкими слоями несжимаемой жидкости.

Перемещение слоя жидкости на основании точного решения уравнения неразрывности с граничным условием безотрывности на подвижной поверхности оболочки выражаются через одну неизвестную функцию, представляющую, осевое перемещение жидкости. Эта неизвестная функция аппроксимируется по радиальной координате асимптотически подходящей функцией, а по толщине тонкого слоя - линейной функцией. Получены матрицы присоединенных масс

жидкости для КЭ - модели оболочки вращения.

Выполнены многочисленные расчеты с анализом точности и оценками влияния различных параметров возможных упрощений.

В четвертой главе разработан алгоритм получения уравнений колебаний составной осесимметричной тонкостенной конструкции типа многоступенчатой жидкостной ракеты-носителя по методу отсеков. Отсеки в виде оболочек вращения, включая несущие и подвесные баки с жидкостью, соединяются между собой через упругие шпангоуты с произвольной формой поперечных сечений с учетом эксцентриситетов соединений.

Приведена структура полученных этим методом матричных уравнений. Рассмотрены примеры расчета с оценками влияния соединительных шпангоутов с различными формами поперечных сечений на собственные частоты колебаний системы.

ГЛАВА 1. МЕТОД ОТСЕКОВ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Для больших составных тонкостенных конструкций типа многоступенчатых жидкостных ракет-носителей практически невозможно решить задачу об упругих колебаниях, используя конечно-элементную модель конструкции в целом, из-за слишком большого числа конечных элементов (КЭ). Метод отсеков позволяет решить эту задачу за счет редуцирования числа степеней свободы отдельных отсеков, на которые делится конструкция [38].

В качестве отсеков рассматриваются характерные части- подконструкции или суперэлементы, которые могут быть конструктивными модулями, например; подвесные и несущие баки; приборные отсеки; двигательные отсеки; переходники; отсеки полезной нагрузки; пр., рис. 1.1.

1.1. Уравнения колебаний отсека в обобщенных координатах

Рассмотрим произвольный свободный (незакрепленный) отсек конструкции, колебания которого описываются обобщенными координатами, представленными вектором-столбцом q = {<?,}. В качестве обобщенных координат могут

рассматриваться любые переменные параметры, характеризующие перемещения выделенного из конструкции свободного отсека: Это могут быть коэффициенты разложений перемещений в ряды по заданным функциям, как в методе Ритца, или перемещения и углы поворота в узлах конечно-элементной модели, как в методе конечных элементов (МКЭ).

При этом потенциальная энергия, кинетическая энергия, вариация работы внешних сил и реакций связей других отсеков, а также уравнения движения рассматриваемого отсека записываются в виде:

П = -цтКц, -Т = -(\тМя, 8А = 8<\ТЪ\ Мя + Кя=<2,

(1.1)

(1.2)

где К,М- симметричные матрицы жесткости и инерции отсека; вектор обобщенных сил.

Перегруппируем вектор я и запишем его в виде

Ч,

Ч//

(1.3)

Здесь q/ представляет перемещения (углы поворота) отсека, обусловленные перемещениями его границ с соседними отсеками (переносное движение); (\и представляет перемещения внутренних точек закрепленного на границах отсека, т.е. при яа = О (относительное движение).

Выражения (1.1) и уравнение (1.2) с учетом (1.3) записываются в блочном виде:

¡О

7 = ^1«]

X, ! К ,2 5/

к211 к22 .V

Гмп м121 Г--

м21 м22

^[Ч/К, + К,^, + я^К22Ч// ], (1.4)

+ 2ч!м12я/7+<йм22<ь],

5А = 6ч)Ъ,+бчт11Ъи\

12Ч// ^г/ 5

М21сЬ + М22я;/ + К21Ч/ + К22я„ = , Ки=Кти, К21=ктп, К22 = К22, мп = , М21=М[2, М22 = м

(1.5)

22

- блоки матриц жесткости К и инерции М отсека; и ~ векторы-столбцы обобщенных сил, соответствующие векторам обобщенных координат Я/ и Ч//-

Кинематическое соединение данного отсека с другими отсеками и блоками осуществляется только по координатам вектора Я/ и поэтому эти координаты представляющие переносное движение отсека, можно считать основными. Что касается обобщенных координат вектора цп, представляющих относительное движение, то число этих координат может быть уменьшено путем кинематических аппроксимаций (например, методом наименьших квадратов с

некоторой весовой матрицей) или динамических (силовых) аппроксимаций (статическая конденсация или динамическая конденсация).

1.2. Редуцирование уравнений колебаний отсека способом квазистатической аппроксимации

В случае тонкостенных конструкций масса оболочки обычно мала по сравнению с сосредоточенными массами на граничном контуре (торцах) отсека, где имеются подкрепляющие элементы (шпангоуты) с присоединенными к ним массами грузов. Кроме того, при сравнительно медленных колебаниях конструкции в целом (как системы отсеков) по низшим глобальным формам собственных колебаний доминирующими являются перемещения переносного движения отсека, а перемещения относительного движения являются сравнительно малыми. Хотя деформации относительного движения отсека могут быть значительными и могут давать существенный вклад в общее выражение потенциальной энергии отсека.

Поэтому в этих случаях (малая масса внутренней части оболочки отсека и малые перемещения относительного движения) в уравнениях (1.5) можно пренебречь инерционными силами, полагая М12я„ « 0, М21я7 « 0, Ш22<\„ « 0.

Тогда система уравнений (1.5) упростится:

мпЧ/ +Км4/ +к12Ч// =<з/5

К2.Ч/ +К22Ч// =0//' (1-6)

Из второго уравнения (1.6) находим

Ч//=8Ч/+К^//; 8 = -К^К21. (1.7)

После исключения первое уравнение (1.6) будет

МпЯ/ + К,ч, = (}], (1.8)

где

К/= Кп-К12К22К21, (^=<2,-8(2//. (1-9)

Выражения потенциальной энергии, кинетической энергии и вариации

работы внешних сил и сил реакций (1.4) в этом случае будут иметь вид:

Л = -^К/Ч/, r = ^Muq/; SA = Sq]Q]. (1.10)

Таким образом, за счет исключения "квазистатических" обобщенных координат (вектора qn ) порядок системы может быть сильно уменьшен без существенной потери точности.

Если внешние нагрузки, действующие на отсек, малы по сравнению с реакциями на его граничном контуре, то вместо (1.7) можно использовать упрощенное соотношение

qw=S4/. (1.11)

Для уточнения дополнительно учетом инерцию относительного "квазистатического" движения. Подставляя (1.11) в выражение кинетической энергии (1.4) с учетом матриц инерции М12 и М22, получим:

r = iq^M/q/; (1.12)

М, =MU+M12S + (M12S)7'+S7'M22S. (1.13)

Тогда вместо уравнения (1.8) будем иметь

M^+K^Q;. (1.14)

1.3. Редуцирование уравнений колебаний отсека способом динамической

аппроксимации

В этом способе для редуцирования числа обобщенных координат отсека, описывающих его относительное движение, вектор q/7 приближенно записывается в виде разложения [38]

q/^Sqy+É/.Y». (1-15)

п=1

Здесь первое слагаемое представляет квазистатические перемещения (1.11); /л— нормальные координаты, представляющие некоторое число s низших собственных форм колебаний (векторов Yn) закрепленного на всей грани-

це отсека, которые получаются из решения следующей задачи: q7 = 0, q7/ = Ysin&tf ,

[К22 - о)2М22

Y = 0 ->а?;,Г„.

(1.16)

Выражения (1.5) для потенциальной энергии, кинетической энергии и вариации работы внешних нагрузок и реакций на граничном контуре с учетом разложения (1.15) и условий ортогональности собственных форм колебаний У^М22Уп = 0, У^К22Уп = 0 при тФп записываются в виде [38] 1

п=1

q/rM/q/+2q^M Jn+^nfn

n=1

о Л -- rtqjQ', + ¿¿'/Л ■

2

л=1

(1.17)

n=1

Здесь наряду с обозначениями (1.9), (1.13): M„=(M12+SrM22)Y„;

m„=Yn7'M22Y„, kn = YjK22Y„ = mna>l, Fn=YTnQn. (1.18)

Таким образом редуцированная упруго-динамическая модель отсека описывается обобщенными координатами вектора q, и нормальными координатами /л, n = \,2,...,s.

Если низшая собственная частота колебаний сох данного отсека значительно превышает диапазон рассматриваемых частот колебаний системы в целом, то нормальными координатами /я в выражениях (1.17) можно пренебречь. Это обусловлено тем, что при низкочастотных колебаниях системы в целом инерционные силы отсека малы по сравнению с реакциями, действующими на границах между ними, и такой отсек деформируется в основном квазистатиче-ски.

1.4. Отсеки в виде оболочек вращения и круговых шпангоутов

Удлиненные осесимметричные конструкции типа ракет-носителей (РН)

являются составными и образуются из отсеков тонкостенных цилиндрических, конических или произвольных оболочек вращения, которые соединяются друг с другом круговыми шпангоутами. При этом к шпангоуту может крепиться одна, две или несколько оболочек. Массы основных грузов, находящихся в корпусе (оборудования, агрегатов, подвесных баков и пр.), крепятся к шпангоутам.

Деление конструкции на отсеки производится условными поперечными сечениями, перпендикулярными оси конструкции. При этом удобно в качестве отсеков рассматривать типовые конструктивные модули, упруго-динамические характеристики которых, как изолированных систем, могут быть определены теоретически на основании расчетных моделей разного уровня и для сравнения -экспериментально на натурных образцах или конструктивно-подобных моделях. Отсеками могут быть: оболочка вращения без шпангоутов на торцах; оболочка со шпангоутами на двух торцах; шпангоут с присоединенной к нему осе-симметричной или циклически симметричной системой (подвеской бак с жидкостью, двигательный отсек, пр.); переходник в виде циклически симметричной фермы без шпангоутов или со шпангоутами на торцах. Некоторые типовые отсеки ракет-носителей показаны на рис. 1.1.

в)

а)

б)

г)

д)

е)

Рис. 1.1

Перемещения осесимметричных отсеков оболочек вращения и круговых шпангоутов, характеристики которых в окружном направлении постоянны обычно представляются в виде разложений в ряды Фурье по функциям eos пв или sin пв, где в -угловая окружная координата; « = 0,1,2,.... Так как эти функции на окружности 0<в <2к при различных п ортогональны, то колебания распадаются на несвязанные: осесимметричные (продольно-радиальные и крутильные) колебания при п = 0; антисимметричные (поперечные) колебания при п-1; неосесимметричные колебания при п- 2,3,4,... (к ним для общности можно отнести и антисимметричные колебания).

Наибольший интерес с точки зрения динамики полета и колебаний РН .представляют продольно-радиальные (их обычно называют продольными) колебания (и = 0) и поперечные колебания {п-1). Такие колебания удлиненных осесимметричных конструкций по низшим собственным формам часто рассматривают приближенно, пренебрегая деформацией шпангоутов и краевыми изгибами оболочек в местах соединения отсеков, на основе гипотезы плоских недеформируемых поперечных сечений, которая приводит к одномерной модели растяжения сжатия и изгиба-сдвига стержня (балки) переменного сечения, несущего сосредоточенные массы [43,54,68].

Неосесимметричные колебания (« = 2,3,...) осесимметричной конструкции могут возникнуть при действии на нее неосесимметричных внешних сил и реакций взаимодействия. В частности, при соединении оболочки вращения через упругий шпангоут с циклически симметричной фермой в N узлах в шпангоуте и в соединенной с ним оболочке вблизи этих узлов будут возникать местные податливости, обусловленные неосесимметричными деформациями при п~ N,2N,... в случае осесимметричных колебаний { п = 0 ) и при п = N-\,N + \,2N-l,2N + в случае антисимметричных колебаний [38]. Такие местные податливости можно определить на основе квазистатических решений задачи локального деформирования оболочки со шпангоутом при указанных значениях п путем суммирования этих решений [38].

Будем рассматривать колебания осесимметричной конструкции по одной

из гармоник ряда Фурье при п = 0,1,2,...; при этом индекс п, указывающий номер гармоники, использовать не будем. Осевое, радиальное и окружное перемещения, а также угол поворота в меридиональной плоскости на любой окружности радиуса Я шпангоута или срединной поверхности оболочки для п -ой гармоники представляются в виде £соъпб , г]соъпв , УътпО , Scos.nO , где ¿;,т],У,3- амплитудные значения осевого, радиального и окружного перемещений и угла поворота, соответственно. В случае осесимметричных продольно-радиальных колебаний п- 0 и Уыппв -0.

В данной работе для получения уравнений колебаний отсека произвольной оболочки вращения будем использовать метод конечных элементов (МКЭ). Отсек оболочки между ее торцевыми сечениями - к = 0 и к = р делится на КЭ в виде узких кольцевых полосок £=1,2,...,/?, рис.1.2. При этом к-ый КЭ находится между узловыми окружностями к-\ и к и обозначается верхним индексом к.

Амплитудные значения %к,т]к,9к и Ук на к-ой узловой окружности принимаются за обобщенные координаты и обозначаются вектором

Р

6

0

Рис. 1.2

щ Эк Ук]т.

(1.19)

Соответственно вектор обобщенных координат А;-го КЭ будет

к-1

х„

= [4к-1

& ъ К]т.

(1.20)

В случае осесимметричных колебаний (и = 0) опустим обобщенные координаты Ук_х и Ук; тогда вместо (1.19), (1.20) будем иметь

Щ $к]т, (1.21)

Ъ-, Зы 4 ^Г- (1-22)

Рис. 1.3

Пусть га-ый отсек (подконструкция типа подвесного бака, рис. 1.3 а) представляет собой оболочку вращения, жестко соединенную с га-ым шпангоутом с недеформируемым поперечным сечением на двух узловых линиях т_ и т+, рис. 1.3 б).

В качестве вектора, представляющего переносное движение т-го отсека, рассматривается

Ч/=Хт=[С лт 9т Ут]Т. (1.23)

на

Векторы Х,„ =[£„_ Лт_ 9т Ут ] и Х„,( = 3,,, Ут

основании кинематических условий соединения краев оболочек т_ и т+ с учетом их эксцентриситетов выражаются через Хт . Вектором обобщенных координат представляющих относительное движение отсека, будет

Ч //=[£ Ло К 6 т «9, ^

^от-1 "Пт-1 'Ял-! ^т-1 ^т+1 ^т+1 *Яп+1 ^т+1

т

V<

(1.24)

Рис. 1.4

Аналогично для отсека с двумя шпангоутами т и ¿/, через которые этот отсек соединяется с другими отсеками (рис. 1.4) будем иметь: Х„

Ч/

X.

& г,т Зт Ут £ Ъ 9, V,] ;

(1.25)

Ч//=[£> VО 9» Уо 6 3 ■■■ £»-1 "Яи+1 К+1

^</-1 К/-1 £с/+1 ^^ ^</+1 - »7, • (1-26)

V

о

Если отсек в виде оболочки вращения (рис. 1.5) не имеет торцевых шпангоутов (они присоединены к соседним отсекам), тогда будем иметь:

= [£о ъ ¿0 К лР $Р Ур]т; (1.27)

Ч//=[£ ъ V, ... Лр_х &р_х (1.28)

В случае о се симметричных колебаний (п = 0) следует опустить везде обобщенные координаты V.

Х„

X

ГЛАВА 2. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) в различных вариантах широко применяется для расчета напряженно-деформированного состояния, устойчивости и колебаний оболочек вращения в основном благодаря распространенным коммерческим программным комплексам.

Здесь разработан оригинальный вариант МКЭ для расчета колебаний тонких ортотропных упругих оболочек вращения с учетом предварительного осесимметричного напряженно-деформированного состояния с целью использования его для расчета колебаний составных оболочек вращения, содержащих жидкость и имеющих дискретно расположенных круговые шпангоуты с поперечным сечением произвольной формы.

2.1. Постановка задачи. Основные соотношения

Рассмотрим тонкую упругую ортотропную оболочку вращения (рис.2.1).

к=р

Рис.2.1

Будем считать, что в окружном направлении, представляемом угловой координатой ^, все параметры оболочки являются постоянными и система находится в стационарном осесимметричном напряженно- деформированном состоянии. В этом случае все неизвестные функции линейной задачи можно представить в виде разложений в ряды Фурье по функциями cos пв, sin пв, при п = 0,1,2,.... В силу ортогональности этих функций при 0<в<2л: колебания системы распадаются на осесимметричные (п = 0) и неосесимметричные (и = 1,2,3,...). Здесь будем рассматривать колебания по одной из гармоник ряда Фурье при заданном п = 0,1,2,....

Рис.2.2

Для расчета колебаний оболочки будем использовать МКЭ. В качестве КЭ будем рассматривать узкие кольцевые полоски оболочки, считая их коническими (рис.2.2). В этом случае меридиан оболочки аппроксимируется ломаной линией, состоящей из прямолинейных участков малой длины. Деформации тонкой оболочки КЭ описываются на основании теории Кирхгофа-Лява [11,21,60].

Перемещения и деформации срединной поверхности, углы поворота нормали и изменения кривизн оболочки для п-ой гармоники запишем в виде {и,™,£5,£в,9з,К5,Кв} = {и № ,£з,£в,Эз,К5,Кв}сО$п0 ,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рей Чжунбум, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александрович Л.И., Лампер P.E. Собственные колебания упругого осесим-метричного сосуда произвольного контура// Тр. 6-й Всес. конф. По теории оболочек и пластинок, Баку, 1966. -М.: Наука, 1967.-С.27-29

2. Анисимов A.B., Выломов В.Н., Забудкин В.В, Лиходед А.И., Пономарев Д.А. Методика расчета динамических нагрузок на сложные ракетные конструкции с выделением квазистатических составляющих // Космонавтика и ракетостроение. -1995. -вып. 4. -С. 95-107.

3. Антонов В.И. Применение метода суммарных представлений при исследовании колебаний оболочек с жидкостью. // Колебания упругих конструкций с жидкостью. -М., 1976. -С. 22-26.

4. Балабух Л.И., Молчанов А.Г. Осесимметричные колебания сферической оболочки, частично заполненной жидкостью// Инж. ж.:МТТ.-1967.-№5.

5. Балакирев Ю.Г. Осесимметричные колебания пологой сферической оболочки с жидкостью// Инж.ж.:МТТ.-1967.-№5.

6. Балакирев Ю.Г. Осесимметричные колебания соосных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью. // Труды VII Всес. Конференции по теории оболочек и пластинок, 1969. -М.: Наука, 1970. -с.81-87.

7. Балакирев Ю.Г. Влияние переменности толщины оболочки на частоты и приведенные массы осесимметричных колебаний упругого резервуара с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью. -Новосибирск: НЭТИ, 1973. -С. 5-15.

8. Балакирев Ю.Г. Влияние соединительного шпангоута на частоты осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки у упругим днищем // Колебания упругих конструкций с жидкостью. -Новосибирск: НЭТИ, 1974. -С. 22-27.

9. Балакирев Ю.Г., Шмаков В.П. Осесимметричные колебания цилиндрической оболочки с полусферическим днищем // Колебания упругих конструкций с жидкостью. -Новосибирск: Изд. НЭТИ, 1974.-С.28-32.

10. Батэ К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов.

-М.: Стройиздат, 1982. -446 с.

11. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. -М.: Машиностроение, 1977.-488с.

12. Богадица Э.С., Брусиловский А.Д., Шмаков В.П. Численная реализация метода расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек вращения, заполненных жидкостью. // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. -Томск, Томский ун-т, 1972. -С. 3-16.

13. Богадица Э.С., Брусиловский А.Д., Шмаков В.П. О собственных осесиммет-ричных колебаниях конической оболочки, заполненной жидкостью. // Колебания упругих конструкций с жидкостью. -Новосибирск: НЭТИ,1974. -С. 3338.

14.Богадица Э.С., Брусиловский АД., Шмаков В.П. Осесимметричные колебания составных оболочек вращения, частично заполненных жидкостью. // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. -Томск: Изд-во ТГУ, 1975. -С.23-31.

15.Богадица Э.С., Брусиловский АД., Шмаков В.П. К расчету спектров собственных неосесимметричных колебаний оболочек с жидкостью. //Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. -Томск: Изд-во ТГУ, 1975. -С. 12-22.

16.Богадица Э.С., Брусиловский АД., Шмаков В.П. Применение численного метода к расчету собственных колебаний оболочек вращения, частично заполненных жидкостью // Прикладная механика. -1977. -Т.13. -№ 1. -С.81-85.

17. Бреббия К., Теллес Э., Вроубел Л. Методы граничных элементов. -М.: Мир,1987.-524с.

18. Брусиловский АД., Шмаков В.П., Яблоков В.А. Метод расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек вращения, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью // Известия АН СССР. Механика твердого тела. -1973. -№ 3. -С.99-110.

19.Брусиловский АД., Швейко Ю.Ю., Шмаков В.П. Продольные колебания упругих конструкций с тонкостенными полостями, содержащими жидкость. //

Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. -Томск, Томский ун-т, 1978. -С.21-31.

20. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1988. -272с.

21. Власов В.З. Избранные труды. -М.: Изд-во АН СССР, 1962. -Т. 1. -528с.

22. Волъмир A.C., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур: Прикладные многоуровненые методы исследований. -М.: Машиностроение, 1989. -248 с.

23. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. -М.: Физматлит, 2006. -392 с.

24. Горбунов Ю.А., Новохатская Л.М., Шмаков В.П. Теоретическое и экспериментальное исследование спектра собственных неосесимметричных колебаний конической оболочки с жидкостью при наличии внутреннего давления // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. -Томск, Томский ун-т, 1975. -С. 47-52.

25. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А, Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидро-упругость конструкций. -М.: Физматлит, 2000.-592с.

26. Грибков В.А. Динамические свойство заполненных жидкостью составных оболочек вращения в спектре неосесимметричных колебаний // -М.: ЦНТИ "Волна", 1980, с.93-96.

27. Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Шклярчук Ф.Н. Об одном методе расчета колебаний жидкости, частично заполняющей упругую оболочку вращения // Изв. АН СССР: МЖГ. -1968. -№3. -С. 74-80.

28. Григолюк Э.И. Проблемы взаимодействия оболочек с жидкостью // Тр. 7-й Всес. Конф. По теории оболочек и пластинок. -М.: Наука, 1970. -С.755-778.

29. Григолюк Э.И. Шклярчук Ф.Н. Уравнения возмущенного движения тела с тонкостенной упругой оболочкой, частично заполненной жидкостью// ПММ, -1970Г-Т:34,вып.3. -с.401-411.

30. Григорьев В.Г. Устранение погрешностей при синтезе подконструкций по

методу жестких границ и корректирующие ряды в ортогональном подпространстве // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. -1977. -№ 3. -С. 48-54.

31. Григорьев В.Г. О построении матриц при синтезе конструкций по методу жестких границ с использованием корректирующих рядов // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. -1977. -№ 4. -С. 93-99.

32. Григорьев В.Г. Применение метода конечных элементов к расчету колебаний упругих оболочечных конструкций, содержащих жидкость. // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. (Труды III семинара). -Томск, Томский ун-т, 1978. -С. 55-60.

33. Григорьев В.Г. Расчет динамических характеристик сложных оболочечных конструкций с жидкостью. //Колебания упругих конструкций с жидкостью. Сборник научных докладов IV симпозиума. -М.: ЦНТИ "Волна", 1980. -С. 102-107.

34. Григорьев В.Г. О вычислительных аспектах применения корректирующих рядов при синтезе подконструкций по методу свободных границ // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. -1988. -№ 4. -С. 17-27.

35. Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Модальный синтез подконструкций с использованием корректирующих последовательностей в исследовании динамики больших космических конструкций. //Крупногабаритные космические конструкции. Тезисы докладов научно-технической конференции. -Севастополь, 1990. -С. 40-41.

36. Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Повышение точности динамического синтеза подконструкций в методе жестких границ для дискретных моделей // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. -1997. -№ 2. -С. 108-122.

37. Григорьев В.Г., Шмаков В.П. Синтез подконструкций методом свободных границ с использованием корректирующих рядов. // Материалы IV Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". -М.: Издательство "ГРАФРОС", 1998. -С. 100-105. ~ "

38. Гришанина Т.В., Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н. Метод отсеков в расче-

тах колебаний конструкций летательных аппаратов. -М.: Изд-во МАИ, 2010.-180с.

39. Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. -JL: Судостроение, 1984. -240 с.

40. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. -542 с.

41. Илъгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. -М.: Наука, 1969.-184 с.

42. Кобычкин B.C., Шмаков В.П., Яблоков В.А. Осесимметричные колебания полусферической оболочки, частично заполненной жидкостью // Инж. ж.: МТТ. -1967. № 3. -С.

43. Колесников КС. Динамика ракет. -М.: Машиностроение, 1980. -376 с.

44. Кьи Теин, Ротанин С.М., Шклярчук Ф.Н. Расчет колебаний жидкости в полостях методом Ритца при использовании различных вариационных принципов и координатных функций. В сб. "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. -Ярополец, 2004", т.2, с. 120126.

45. Кьи Теин, Ротанин С.М., Шклярчук Ф.Н. Расчет колебаний жидкости в полостях методом конечных элементов при использовании различных вариационных принципов. В сб. "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. -Ярополец, 2005"

46. Лампер P.E. К расчету собственных колебаний баков методом Ритца с варьируемым параметром // Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, 1969. -М.: Наука, 1970. -С.351-354.

47. Левин В.Е. К расчету динамики бака методом конечных и граничных элементов. // Колебания упругих конструкций с жидкостью. -Новосибирск: СибНИА, 1992. -С. 135-141.

48. Луковский И.А. Определение частот и форм колебаний жидкости в сосуде на основе вариационного принципа Бейтмана. В сб. "Аналитические методы исследования динамики сложных систем. -Киев: Ин-т математики АН СССР, 1982", с. 3-11.

49. Луковский H.A., Барняк М.Я., Комаренко А.Н. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости. -Киев: Наукова думка, 1984. 232 с.

50. Мальцев В.П., Майборода В.П., Мяченков В.И. и др. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник/ -М.: Машиностроение, 1989. -520с.

51. Матюшев Ю.С., Шклярчук Ф.Н. К расчету цилиндрической оболочки с днищем, сопряженным посредством шпангоута, нагруженного системой сосредоточенных сил // Изв. вузов, Авиационная техника, № 2, 1973. -С.53-59.

52. Матюшев Ю.С., Шклярчук Ф.Н. Коэффициенты податливости цилиндрической оболочки со шпангоутом на краю при нагружении его системой сосредоточенных сил // ИВУЗ, Авиационная техника, 1973, № 3. -С. 40-45.

53.Матюшев Ю.С., Шклярчук Ф.Н. Уравнения тонкостенного шпангоута // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных конструкций. -М.: МАИ, 1981.-С. 24-28.

54. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. -М.: Машиностроение, 1971.-564 с.

55. Моисеев H.H. К теории упругих колебаний тела с жидкостью. ДАН СССР, 1959, т. 127, № 2, с. 51-54.

56. Моисеев H.H. К теории колебаний упругих тел, имеющих жидкие полости. ПММ, 1959, т.23, № 5, с. 862-878.

57. Моисеев H.H. Вариационные задачи теории колебаний жидкости и тела с жидкостью // Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тела с жидкостью. -М.: Изд. ВЦ АН СССР, 1962. -С. 7-118.

58. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. -М.: Наука, 1965. -440 с.

59. Мокеев В.В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и газом с помощью метода конечных элементов. Изв. РАН, МТТ, 1998, № 6, с. 166-174.

60. Новожилов В.В. Теорйя тонких оболочек. -JL: Судпромгиз, 1962. -431 с.

61. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в

задачах строительной механики летательных аппаратов. -М.: Высшая школа, 1985. -392 с.

62. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др. Строительная механика летательных аппаратов. -М., Машиностроение, 1986. -536 с.

63. Пановко О.Я., Постное В.А. Использование метода подструктур для определения собственных чисел в задачах колебаний и устойчивости упругих конструкций // Актуальные проблемы авиационной науки и техники. -М.: Машиностроение, 1984. -С. 172-184.

64. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. -Л.: Судостроение, 1974. -341 с.

65. Постное В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К, Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. -Л.: Судостроение, 1979. -287 с.

66. Постное В.А., Тарануха H.A. Метод модуль -элементов в расчетах судовых конструкций. -Л. Судостроение, 1990. -320 с.

67. Рабинович Б.И., Шмаков В.П., Кобычкин B.C. К теории колебаний конструкций, несущих упругие резервуары с жидкостью. // Исследования по теории сооружений. Вып. 18. -М.: Стройиздат, 1970. -С. 68-84.

68. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. -М.: Машиностроение. -1975. -416 с.

69. Рапопорт И.М. Динамика упругого тела, частично заполненного жидкостью. -М.: Машиностроение. 1966, -394 с.

70. Рапопорт И.М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью. -М.: Машиностроение, 1967. -360 с.

71. Рей Чжунбум, Расчет колебаний составных оболочек вращения с соединительными шпангоутами по методу конечных элементов, Труды МАИ, 2013.№69.

72. Самойлов Е.А., Павлов Б.С. Колебания полусферической оболочки, заполненной жидкостью // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. -1994. -№ 3.

73. Сафронова Т.Д., Шклярчук Ф.Н. Применение метода отсеков к расчету колебаний круговых цилиндрических оболочек с тонкостенными шпангоутами// МТТД992, №2.-с.151-159.

74. Сахаров A.C., Кислоокий В.Н., Киричевский В.В. И др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. -Киев: Вища школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферлаг, 1982. -479 с.

75 .Харти У С. Динамический анализ конструкций, основанный на исследовании форм колебаний отдельных элементов // Ракетная техника и космонавтика. -1965. -Т. 3, № 4. -С. 130-138.

76. Шклярчук Ф.Н. О приближенном методе расчета осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидким заполнением // Изв. АН СССР: Механика. -1965. -№ 6. -С. 123-129.

77. Шклярчук Ф.Н. Осесимметричные колебания жидкости внутри упругой цилиндрической оболочки с упругим днищем // Изв. вузов: Авиационная техника.-1965.-№ 4. -С. 75-83.

78. Шклярчук Ф.Н. О вариационных методах расчета осесимметричных колебаний оболочек вращения, частично заполненных жидкостью // Тр. 7-й Всес. конф. По теории оболочек и пластин. -М.: Наука, 1966. -С.835-840.

79. Шклярчук Ф.Н. Динамические характеристики упругих тонкостенных баков с жидкостью при продольных колебаниях // Изв. АН СССР: МТТ. -1971. -№ 5. -С. 131-141.

80. Шклярчук Ф.Н. О влиянии сжимаемости жидкости при продольных колебаниях цилиндрического бака // Колебания упругих конструкции с жидкостью. -Новосибирск: НЭТИ, 1973. -С. 291-313.

81. Шклярчук Ф.Н. Колебания упругой оболочки, содержащей тяжелую сжимаемую жидкость // Колебания упругих конструкций с жидкостью. -М.: ЦНТИ «Волна», -1976. -С. 386-397.

82. Шклярчук Ф.Н. Приближенный метод расчета колебаний жидкости в полостях вращения // Колебания упругих конструкций с жидкостью. -М.: ЦНТИ «Волна», 1976. -С. 397-404.

83. Шклярчук Ф.Н. Колебания упругой оболочки, содержащей жидкость с источником // Изв. АН СССР: МТТ. -1977. -№ 6. -С. 153-166.

84. Шклярчук Ф.Н., Иденбаум В.М, Итерационный метод расчета собственных осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью // Нелинейные проблемы аэрогидроупругости. -Казань. -1979. -Вып. 11. -С. 115-125.

85. Шклярчук Ф.Н. Поперечные колебания составных тонкостенных конструкций с отсеками, частично заполненными жидкостью. В сб. «Колебания упругих конструкций с жидкостью», -М.: ЦНТИ «Волна», 1980, -с. 317-328.

86. Шклярчук Ф.Н. Поперечные колебания цилиндрической оболочки с отсеками, частично заполненными жидкостью // Изв. АН СССР: МТТ. -1980. -№ 6. -С.153-165.

87. Шклярчук Ф.Н. Динамика конструкции летательных аппаратов. -М.: Изд. МАИ, 1983.-80 с.

88. Шклярчук Ф.Н. Сведение задачи о колебаниях оболочки вращения с жидкостью к обыкновенным дифференциальным уравнения // Расчет тонкостенных элементов конструкции на прочность, устойчивость, колебания и долговечность. -М.: Изд. МАИ, 1983. -С.81-86.

89. Шклярчук Ф.Н. Применение метода конечных элементов к расчету неосе-симметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью. -М.: ЦНТИ «Волна», 1984. -С.284-289.

90. Шклярчук Ф.Н., Шишканов В.М. Численное решение задачи о колебаниях оболочки вращения с жидкостью // Вопросы строительной механики и прочности летательных аппаратов. -М.: Изд. МАИ, 1985. -С. 109-114.

91. Шклярчук Ф.Н., Исаев М.М. Фундаментальное решение гидродинамической задачи для полости вращения // Расчет тонкостенных элементов конструкции на прочность, устойчивость, колебания и долговечность. -М.: Изд. МАИ, 1988. -С. 54-57.

92. Шклярчук Ф.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения в канонической форме для задач о малых колебаниях жидкости внутри упругой оболочки вращения // Изв. РАН: МТТ. -1994. -№ 2. -С. 138-150.

93. Шклярчук Ф.Н. Применение метода Ритца к расчету колебаний упругих оболочек с жидкостью // Тр. 17-й межд. конф. по теории оболочек и пластин. -Казань: Из-во КГУ, 1996. -С. 67-71.

94. Шклярчук Ф.Н. Приближенный метод расчета колебаний жидкости в наклонных упругих полостях и каналах // ПММ, 2003, т.67, № 6. -с. 10021010.

95. Шклярчук Ф.Н. Крупные конечные элементы несжимаемой жидкости в задачах гидроупругости. В сб. "XX международная конференция. -Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. -С. Петербург, 2003", т.З, -с. 231-238.

96. Шклярчук Ф.Н. Кьи Теин. Определение коэффициентов присоединенных масс жидкости для упругих колеблющихся полостей // Вестник МАИ, 2004, т. 11, № 2. -С. 11-14.

97. Шклярчук Ф.Н., Рей Чжунбум. Расчет осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью методом конечных элементов// Вестник МАИ,2012.т. 19.№5. -С. 197-204.

98. Шклярчук Ф.Н., Рей Чжунбум. Колебания составных оболочек вращения, соединенных упругими шпангоутами и частично заполненных жидкостью, Материалы XIX международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" имени А.Г.Горшкова (18-22 февраля 2013г.), т. 1.-С.205-207.

99. Шклярчук Ф.Н., Рей Чжунбум. Расчет неосесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью методом конечных элементов , Вестник МАИ, т.20, № 2, 2013, С.49-58.

100. Шмаков В.П. Об уравнениях осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки с жидким заполнением //Известия АН СССР. Механика и машиностроение. -1964. -№ 1. -С. 170-173.

101. Шмаков В.П., Мельникова Л.М., Яблоков В.А. Применение численных методов к задачам о колебаниях упругих оболочек вращения, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидко-

стью. -Новосибирск: Изд-во НЭТИ, 1973. -С. 271-290.

102.Шмаков В.П. Метод синтеза динамических характеристик упругих модульных конструкций // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. -1991. -№ 1. -С. 4-10.

103. Шмаков В.П., Григорьев В.Г. Синтез динамических характеристик аналитических и дискретных моделей подконструкций с использованием корректирующих рядов // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. -2000. -№ 2. -С.5-19.

104. Шмаков В.П. Избранные труды по гидроупругости и динамике упругих конструкций. -М: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2001.-287с.

105. Abramson H.N. Liquid dynamic behavior in rocket propellant tanks // «Astronautics», 1961, v.6, pp.35-37.

106. Akkas N., Akay H. V., Yilmaz C. Applicability of general - purpose finite element programs in solid -fluid interaction problems. // Computers and structures, 1979, v.10, № 5, pp. 773-783.

107. Arora J.S., Nguyen D.T. Eigensolution for large structural systems with substructures // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1980. -V. 15. -No.3. -P.333-341.

108. Benfield W.A., Hruda R.F. Vibration analysis of structures by component mode substitution//AIAA Journal. -1971. -V.9. -No.7. -P. 1255-1261.

109. Coale C. W. Axisymmetric vibration of a cylindrical-hemispherical tank partially filled with a liquid //AIAA J. -1969. -V. 7, № 2. P. 235-243.

110. Craig R.R.Jr., Bampton M.C.C. Coupling of substructures for dynamic analysis //AIAAJournal. -1968. -V.6. -No.7. -P.1313-1319.

111. Craig R.R.Jr., Chang C.-J. A review of substructure coupling methods for dynamic analysis // Advances in Engineering Science, V.2, NASA CP-2001, 1976. -P.393-408.

112. Craig R.R.Jr., Chang C.-J. Free-interface methods of substructure coupling for dynamic analysis//AIAA Journal. -1976. -V.14. -No. 11. -P. 1633-1635.

113. Craig R.R. Methods of component mode synthesis-?/ The shock and Vibration Digest. -1977. -V. 9. -No. 11.-P.3-10.

114. Craig R.R. Substructure coupling for dynamic analysis // Advances in Civil Engineering Through Engineering Mechanics. Pros. Second Annual Eng. Mechanics Division Specialty Conference, North Carolina State University, Raleigh, North Carolina, USA. May 23-25, 1977. -New York: ASCE, 1977.-P.389-392.

115. Hale A.L., Meirovitch L. A general substructure synthesis method for the dynamic simulation of complex structures // Journal of Sound and Vibration. -1980. -V.69. -No.2. -P.309-326.

116. Hale A.L., Meirovitch L. On the substructure synthesis method // AIAA Journal. -1981. -V.19. -No.7. -P.940-947.

117. Hale A.L., Meirovitch L. A general procedure for improving substructure representation in dynamic synthesis // Journal of Sound and Vibration. -1982. -V.84. -No.2. -P.269-287.

118. Hale A.L., Meirovitch L. A procedure for improving discrete substructure representation in dynamic synthesis //AIAA Journal. -1982. -V.20.-No.8.-P.1128-1136.

119. Hurty W.C. Dynamic analysis of structural systems using component modes // AIAA Journal. -1965. -V. 3. -No. 4. -P.678-685.

120. Jezequel L., Seito H.D. Component modal synthesis methods based on hybrid models. Part II. Numerical tests and experimental identification of hybrid models // Transactions ASME. Journal of Applied Mechanics. -1994. -V. 61. -No.l. -P. 109116.

121. Kiefling L., Feng G.C. Fluid - structure finite element vibrational analysis. // AIAA J., 1976, v. 14, № 12, pp. 199-203.

122. Kubomura K. A theory of substructure modal synthesis // Transactions ASME. Ser. E. Journal of Applied Mechanics. -1982. -V. 49. -No. 4. -P. 903-908.

123. Leung Y.T. An accurate method of dynamic substructuring with simplified computation // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1979. -V.l4. -No.8. -P.. 1241-1256.

124. Miles J.W. On the sloshing of liquid in a flexible tank // J. Appl. Mech., v.25, 1958, ppr277-283.

125. Morand H., Ohayon R. Substructure variational analysis of the vibrations of

coupled fluid - structure systems. Finite element results. // Int. J. for Numer. Meth. In Engineering, 1979, v. 14, № 5, pp. 741-755.

126. Ohayon R., Valid R. True symmetric variational formulations for liquid - structure interaction in boundary domains. Finite element results. // Numer. Meth. In Coupled systems. - Chishester e.a.: John Wiley & Sons, 1984, pp. 293-325.

127. Olson L.G., Bathe K.J. A study of Displacement Based Fluid Finite Elements for calculating Frequencies of Fluid and Fluid-Structure Systems // Nuclear Engineering a. Design. -1983. -V. 76. -P. 137-151.

128. Olson L.G., Bathe K.J. Analysis of Fluid-Structure Interactions. A Direct Symmetric Coupled Formulation Based on the Fluid Velocity Potential // Computers a. Structures. -1985. -V. 21. -P. 21-32.

129. Rubin S. Improved component-mode representation for structural dynamic analysis //AIAA Journal. -1975. -V. 13. -N0.8. -P.995-1006.