Численный анализ устойчивости тонкостенных оболочек произвольного поперечного сечения, содержащих текущую или неподвижную жидкость тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Лекомцев, Сергей Владимирович

• Лекомцев, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лекомцев, Сергей Владимирович

Содержание

Содержание

Введение

1. Определяющие соотношения

1.1. Механическая постановка задачи

1.2. Основные соотношения для жидкой среды

1.2. Основные соотношения для упругой конструкции

1.2.1. Уравнения теории оболочек

1.2.2. Уравнения трёхмерной теории упругости

1.3. Постановка связанной задачи

2. Численная реализация

2.1. Метод Бубнова-Галёркина для волнового уравнения жидкой среды

2.2. Оболочка как совокупность плоских конечных элементов

2.3. Оболочка в рамках трёхмерной теории упругости

2.4. Численная постановка связанной задачи

3. Численные результаты

3.1. Собственные колебания оболочек без жидкости

3.1.1. Круговые цилиндрические оболочки

3.1.2. Эллиптические цилиндрические оболочки

3.2. Собственные колебания оболочек с неподвижной жидкостью

3.2.1. Круговые цилиндрические оболочки

3.2.2. Эллиптические цилиндрические оболочки

3.3. Устойчивость оболочек, содержащих текущую жидкость

3.3.1. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек

3.3.2. Устойчивость эллиптических цилиндрических оболочек

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный анализ устойчивости тонкостенных оболочек произвольного поперечного сечения, содержащих текущую или неподвижную жидкость»

Введение

Важность и актуальность исследования динамического поведения деформируемых тел, взаимодействующих с текущей или неподвижной жидкой средой, обусловлена наличием существенного количества технических приложений, в которых находят применение системы «упругая конструкция-жидкость». Широкое распространение получили тонкостенные оболочки, погруженные в жидкую (газообразную) среду или содержащие её внутри себя. Резервуары и котлы произвольного поперечного сечения, на стенки которых действует внутреннее/внешнее давление, используются в качестве водохранилищ или хранилищ топлива. Круговые цилиндрические оболочки, взаимодействующие с потоком жидкости или газа, находят своё применение в нефтедобывающей и авиационной отраслях промышленности. Например, длинные трубы соединяют морское дно со стационарной или полупогружной буровой платформой по добыче нефти или газа, а при проектировании топливных систем летательных аппаратов компромисс между лёгким весом и прочностью достигается за счёт использования очень гибких тонкостенных трубопроводов. Колебания различных элементов конструкций, вызванные течением жидкости или газа, наблюдаются также в таких областях, как гражданское строительство (мосты, дымовые трубы) и энергетика (трубы теплообменников, компоненты атомных реакторов). Возникшие на начальном этапе становления этих отраслей проблемы были обусловлены тем, что при проектировании изделий не принималось во внимание наличие неподвижной жидкости или нежелательные эффекты, порождаемые текущим потоком. В большинстве случаев это приводило к выходу из эксплуатации всего объекта на длительный срок, потому что замена повреждённого элемента требовала достаточно много времени и средств, а порой оказывалась совсем не рентабельной. В настоящее время высокопроизводительные компьютерные системы позволяют преодолеть вычислительные трудности, вызванные большими размерами разрешающих

систем уравнений или нелинейностью постановки. В связи с этим достаточно эффективным является численное моделирование вышеупомянутых проблем, которое может оказать существенную помощь при разработке реальных конструкций.

В последние десятилетия метод конечных элементов стал доминирующим среди методов, используемых для исследования напряженно-деформированного состояния, динамики и устойчивости тонкостенных конструкций, состоящих из пластин и оболочек малой и средней толщины. С применением техники конечно-элементного моделирования на сегодняшний день выполнено большое количество расчетов. Различные трудности, с которыми приходилось сталкиваться исследователям, и необходимость их преодоления привели к тому, что появились разнообразные, предназначенные специально для оболочек, конечные элементы, построенные на основе либо оболочечных теорий, либо трёхмерных уравнений теории упругости.

В настоящее время для анализа оболочек могут быть использованы комбинации из конечных элементов (КЭ), имеющих, как правило, свою область применения. Эффективными являются изопараметрические подходы, в которых оболочка трактуется как трёхмерное тело, которое обладает такими особенностями, как малая толщина и искривлённая боковая поверхность. Кроме того, поведение оболочки в этих подходах описывается в рамках определённых гипотез, принимающих во внимание вышеупомянутые особенности. Если сложная форма срединной поверхности конструкции не допускает аналитического представления, то её моделирование производится набором элементов простой геометрии, например, плоских или пологих. В этом случае исходная поверхность заменяется некоторой «гранёной» поверхностью, где каждая из граней считается отдельным плоским конечным элементом оболочки [1], [2] или заменяется набором слегка искривлённых сегментов [3], [4]. На первый взгляд последний вариант предпочтительнее предыдущего, потому что позволяет более точно описать оболочечную конструкцию. Однако в [5] отмечается, что в этом случае наблюдается сходимость не к точному решению

задачи, а к некоторому другому по причине плохой аппроксимации смещения элемента как твёрдого целого. В то же время использование плоских элементов даёт при сокращённом численном интегрировании сходимость к точному решению задачи [5].

Несмотря на разнообразие разработанных оболочечных КЭ, определение напряжённо-деформируемого состояния базируется на нескольких теориях. Достаточно распространена схема расчёта тонких оболочек на основе гипотез Кирхгофа-Лява. Для этого случая в [5] на ряде тестовых задач проведено сравнение различных конечно-элементных аппроксимаций. Хорошее совпадение с аналитическим решением при достаточно грубой сетке обеспечивает высокоточный треугольный конечный элемент, в котором для аппроксимации всех трёх компонент вектора перемещений авторы работы [5] прибегают к полиномам пятой степени [6], а также элемент (Strain element), предложенный в [7]. В последнем аппроксимации точно представляют смещение элемента как твёрдого целого и его независимые деформированные состояния. Это позволяет получить наивысшую точность при расчёте цилиндрических оболочек [5]. В [8] предлагается применять бикубические совместные аппроксимации, которые хорошо описывают смещение элемента как твёрдого целого и состояние «чистого изгиба» для поверхности с произвольной геометрией. Такой КЭ не обеспечивает высокую скорость сходимости, как предыдущие, но при достаточной степени дискретизации исследуемой области может привести к достоверным результатам. Новая конечно-элементная модель, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява и предназначенная для расчёта оболочек и оболочечных конструкций с произвольной геометрией, предложена в [5]. Её отличительными особенностями являются использование изопараметрической кубической аппроксимации на макрочетырёхугольнике и определение неизвестных функций как декартовых проекций вектора перемещений. Данный конечный элемент оказался эффективным и обеспечил высокую скорость сходимости.

Достаточно часто при решении практических задач применяются уравнения теории оболочек с учётом деформации поперечного сдвига. Наибольшее

распространение в технике конечно-элементного моделирования получил вариант этой теории, основанный на гипотезе Тимошенко о прямой нормали, поскольку в этом случае максимальный порядок дифференциальных операторов, участвующих в получении основных соотношений для деформаций, не превышает первый [9]. Краткий обзор и сравнение конечно-элементных реализаций, базирующихся на гипотезах Тимошенко и Кирхгофа-Лява, продемонстрирован в [5] на тестовой задаче деформирования цилиндрической панели под действием собственного веса. Вне зависимости от выбранных гипотез, для оболочек скорость сходимости плоских треугольных КЭ напрямую зависит от степени аппроксимации мембранных перемещений. Так, на достаточно грубой сетке квадратичные полиномы [2], [10] позволяют получить решение, незначительно отличающееся от аналитического. Аналогичные элементы, где мембранные перемещения описываются с помощью линейных функций [11], [12], не обеспечивают достаточную точность решения и не обладают высокой скоростью сходимости. В [5] отмечается, что при искривлённых конечных элементах, применяемых для тонких оболочек, построенных с учетом гипотез Кирхгофа-Лява, оптимальны аппроксимации всех неизвестных полиномами не выше третьей степени.

Среди четырёхугольных КЭ для оболочек, рассматриваемых в рамках гипотез Тимошенко, эффективным и простым в реализации является элемент с билинейной аппроксимацией перемещений и углов поворота, который имеет шесть узловых степеней свободы [1]. Поскольку в соотношениях, определяющих деформации элемента, отсутствует жёсткость на кручение в касательной к элементу плоскости, то для регулирования отклонения вращения нормали в выражение энергии добавляется дополнительное слагаемое. Для интегрирования нового слагаемого используется одноточечная схема Гаусса. В остальных случаях численное интегрирование проводится по выборочно-редуцированной схеме.

Трёхмерное поле перемещений в оболочке может быть исследовано на основе уравнений теории упругости. Элементы низкого порядка, такие как призма или кирпичик, широко применяются в задачах статики и динамики благодаря

сочетанию в них вычислительной эффективности и надёжности. Однако эти элементы неприменимы для тонкостенных конструкций, так как при дискретизации с их помощью не принимаются во внимание кинематические ограничения и предположения, характерные для оболочечных теорий: малость толщины по сравнению с другими геометрическими размерами и то, что оболочка в целом несёт нагрузку за счёт мембранных и изгибающих усилий. Всё это приводит к недостоверности полученных результатов. В [13] для расчёта оболочек средней толщины применяется трёхмерный изопараметрический элемент, где малая толщина КЭ по сравнению с его линейными размерами учитывается естественным образом с помощью задания пониженной (линейной) степени аппроксимации в поперечном направлении. Такой подход даёт высокую точность тогда, когда отношение линейных размеров к толщине не превосходит десяти. По мере уменьшения толщины при применении таких элементов может возникнуть ряд трудностей. Во-первых, как отмечается в [14], «...наличие трёх степеней свободы в каждом узле приводит к большим коэффициентам жёсткости для перемещений по толщине оболочки. Это... может явиться причиной плохой обусловленности системы уравнений, если толщина мала по сравнению с остальными размерами элемента». Во-вторых, нормали к срединной поверхности после деформации не остаются прямыми при наличии нескольких узлов по толщине. В связи с этим в [15] предложен подход, обходящий эти трудности, поскольку вводится гипотеза прямых нормалей и не учитывается вклад в энергию деформации напряжений, перпендикулярных к срединной поверхности. Вместо координат узловых точек, лежащих на верхней и нижней лицевых поверхностях оболочки, определяются координаты соответствующей точки на срединной поверхности и компоненты вектора единичной нормали. Трёхмерный 16-узловой элемент вырождается в 8-узловой. Таким образом получается эффективный инструмент для анализа толстых оболочек и оболочек средней толщины.

Для улучшения характеристик трёхмерных элементов, применяемых для расчёта тонкостенных конструкций, в [16], [17] предложено использовать несовместные формы перемещений, которые моделируют более гибкое поведение

оболочки и в результате дают более достоверное решение. На основе этой концепции разработаны методы ANS (Assumed Natural Strain) и EAS (Enhanced Assumed Strain), которые, не прибегая к пониженной схеме интегрирования, преодолевают проблему «заклинивания», заключающуюся для оболочек в появлении ложных сдвиговых и мембранных деформаций при чистом изгибе. Оба метода реализованы в [18] для трёхмерного 8-узлового элемента.

Первые исследования, положившие начало основным теориям, описывающим поведение жидкости внутри цилиндрических, сферических и других оболочек, датируются XIX веком [19]. После Второй мировой войны и последовавшей за ней научно-технической революции эта область науки получила новый импульс к развитию, обусловленный разработками, необходимыми для полётов в космос. Широкое распространение получили тонкостенные оболочки, которые выступают в роли труб или хранилищ. Наличие жидкости внутри них оказывает существенное влияние на динамическое поведение конструкции, поэтому важно определять собственные частоты колебаний связанной системы, учитывая при этом упругость оболочки. Большое количество экспериментальных и теоретических исследований посвящено вертикально ориентированным цилиндрическим бакам, содержащим жидкую среду. Более ранние работы основывались на некоторых допущениях. Например, в [20], [21], [22] авторы предлагали рассматривать влияние жидкости в виде эквивалентных дополнительных масс. Несколько позже появляются численно-аналитические подходы на основе методов Бубнова-Галёркина [23] и коллокаций [24], а также аналитическое решение, полученное с помощью преобразования Стокса и разложения в ряд Фурье [25]. Гидроупругое взаимодействие тонкостенных оболочек с жидкостью исследовалось многими отечественными [26]—[32] и зарубежными [33]-[36] авторами с использованием различных аналитических и численно-аналитических методов. Обширные возможности для исследования явлений гидроупругости предоставляют численные методы. Множество работ выполнено с применением техники конечно-элементного моделирования, например, таких как [37]—[41]. В большинстве из них движение

конструкции задаётся в перемещениях, тогда как жидкость описывается в рамках разных подходов. В [38], [39] неизвестной переменной выступает гидродинамическое давление, что приводит к несимметричным матрицам в решаемой системе уравнений и требует специальных методов решения. Уравнения, описывающие поведение жидкости в рамках потенциала перемещений, применяются в конечно-элементных процедурах [40], [41], [42]. В первой работе рассматриваются колебания тонкой стальной цилиндрической трубы, полностью или частично заполненной неподвижной жидкостью. Во второй — поведение дамб, находящихся под сейсмическим воздействием. В работе выполнен как линейный, так и нелинейный анализ, учитывающий кавитацию в жидкости. Некоторые учёные представляют основные уравнения жидкости в терминах перемещений [43]-[46]. Основным достоинством такого подхода является лёгкость согласования конечных элементов жидкой среды и упругой конструкции. Динамическое поведение тонкостенных цилиндрических оболочек, содержащих неподвижную или текущую жидкость, исследуется с применением полуаналитического варианта метода конечных элементов в [47]. Для описания сжимаемой невязкой жидкой среды используется потенциал возмущения скорости. В работе представлено сравнение результатов расчётов с ранее опубликованными экспериментальными, аналитическими и численными данными, а также проанализировано влияние граничных условий для потенциала скорости на полученные результаты. Аналогичный подход к описанию жидкости, но без учёта сжимаемости, применяется в [48], [49], [50]. Консольно-закреплённая цилиндрическая оболочка, частично погруженная в жидкость, рассмотрена в [49]. Для вычисления собственных форм и частот колебаний системы применяется метод Релея-Ритца. Проверка достоверности предложенной численно-аналитической модели осуществляется путём сравнения с результатами, полученными при помощи разработанного конечно-элементного алгоритма. Собственные колебания цилиндрических оболочек, как заполненных, так и частично погруженных в жидкость, проанализированы в [50]. В работе рассмотрены конструкции при разных видах граничных условий,

проанализировано влияние уровня жидкости вне оболочки на формы и частоты колебаний системы. Линеаризованная Лагранжева постановка связанной задачи гидроупругости осуществлена в [51]. Её особенностью является то, что в качестве естественных переменных, описывающих поведение невязкой сжимаемой жидкости, выступают перемещения, которые рассматриваются относительно статического состояния равновесия. Предложенный подход позволяет учесть эффекты на свободной поверхности жидкости. Авторы не приводят каких-либо численных результатов, однако ссылаются на работы [52] и [53]. Численное исследование динамического поведения оболочек, содержащих вязкоупругую жидкость, выполнено в [54], [55]. Конечно-элементная дискретизация линеаризованных уравнений Навье-Стокса основана на методе Галёркина. Вычисление комплексных собственных значений связанной системы осуществлено с помощью стандартной и упрощённой схем на основе метода частотной конденсации [56]. Предложенный подход позволяет достаточно точно определить собственные частоты половины сферической оболочки, полностью заполненной жидкостью.

Экспериментальные исследования динамического поведения оболочек, содержащих неподвижную жидкость, выполнены в [21], [57]-[60]. Уменьшенная копия надземного резервуара для хранения воды, представляющая собой комбинацию усечённого конуса и цилиндра, рассмотрена в [57]. Результаты эксперимента используются для проверки предположений, выдвинутых в ранее разработанных авторами аналитических моделях плескания свободной поверхности, а также верификации конечно-элементного алгоритма, предназначенного для определения собственных частот колебаний системы «оболочка-жидкость». Закреплённые у основания цилиндрические тонкостенные трубы исследуются в [58], [59]. Полученные в ходе эксперимента собственные частоты и формы колебаний также используются для проверки достоверности конечно-элементных реализаций, предложенных авторами. Трёхмерная постановка и решение задачи выполнены в [59]. Дискретизации оболочки проводится с использованием конечного элемента Ахмада с сокращённой схемой

численного интегрирования. Основное соотношение, определяющее давление несжимаемой невязкой жидкости, записывается в виде дифференциального уравнения Лапласа. В работах [58], [59] не учитывается плескание свободной поверхности, тогда как в [21], [61], [62] отмечается, что этот эффект оказывает влияние на перемещения оболочки и его необходимо принимать во внимание. Подробное исследование этого феномена выполнено в [62]. Авторами проведено большое количество численных экспериментов, позволивших оценить влияние плескания свободной поверхности на динамическое поведение вертикально расположенной цилиндрической оболочки, частично заполненной жидкостью. В основном наблюдается снижение собственных частот колебаний системы по сравнению с подходом, где этот эффект не учитывается. Разница варьируется в зависимости от отношения длины оболочки к её радиусу L/R, уровня заполнения, количества окружных полуволн j и отношения радиуса к толщине R/h. Гибридный метод, объединяющий в себе классический конечно-элементный подход, теорию оболочек Сандерса и потенциальную теорию для жидкости, представлен в [63]. С его помощью исследованы собственные колебания горизонтальных цилиндрических оболочек, частично заполненных жидкостью, с учётом плескания свободной поверхности. Упругая конструкция представляется в виде набора цилиндрических панелей. Интегралы, входящие в матрицы масс и жёсткости, вычисляются аналитически. Гидродинамическое давление находится из решения уравнения Лапласа для потенциала возмущённых скоростей. Полученные для первой в продольном направлении гармоники результаты демонстрируют хорошее совпадение с экспериментом, представленным в [64]. Однако для большего числа полуволн имеет место значительная разница.

В работах [65]-[68] для численного моделирования задач гидроупругости используется смешанный подход, где перемещения конструкции определяются с помощью МКЭ, тогда как для жидкости применяется метод граничных интегральных уравнений. Основным недостатком такой реализации является то, что матрицы разрешаемой системы уравнений будут несимметричными. Динамические характеристики частично заполненных горизонтальных

цилиндрических оболочек проанализированы в [65]. Здесь предполагается, что при взаимодействии с жидкостью конструкция колеблется так же, как в вакууме. Каждая форма колебаний вносит свой вклад и приводит к соответствующему распределению давления на границе «оболочка-жидкость». Для моделирования несжимаемой невязкой жидкой среды в рамках потенциальной теории используется метод граничных элементов (МГЭ). Эффект плескания свободной поверхности не учитывается, а соответствующее граничное условие удовлетворяется с помощью метода отображений. Предложенный подход обеспечивает хорошее совпадение результатов с экспериментом [64] и данными, полученными другими авторами. Распределение гидродинамического давления по стенкам арочных плотин представлено в [66]. В работе определены собственные частоты колебаний системы «дамба-резервуар с жидкостью» при разном уровне заполнения. Полученные результаты сравнены с аналитическими и экспериментальными данными. Матрица масс жидкости, полученная с помощью МГЭ, перед включением в глобальную систему уравнений приводится к симметричному виду. Таким образом сохраняются соответствующие характеристики глобальных матриц, сформированных с применением МКЭ. Колебания тонкой горизонтально расположенной цилиндрической оболочки, погруженной в жидкость, исследованы в [67]. Обобщённые гидродинамические силы вычислялись с использованием МГЭ. В работе оценено влияние свободной поверхности, жёсткой границы и глубины погружения на динамические характеристики системы, а также проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными.

Несколько меньше исследований посвящено гидроупругому анализу некруговых оболочек. Прямоугольные и квадратные в сечении тонкостенные конструкции часто находят своё применение в качестве хранилищ топлива, баков для хранения воды, элементов дамб и плотин. Пристальное внимание уделяется поведению этих конструкций, находящихся под сейсмическим воздействием. Модель на основе эквивалентных дополнительных масс, предназначенная для определения динамических характеристик квадратного в своём сечении жёсткого

бака, частично заполненного жидкостью, представлена в [22]. В [69] проведена оценка сейсмической нагрузки на наземные прямоугольные бетонные резервуары, подверженные одновременному действию горизонтальной и вертикальной компонент ускорения, порождаемого землетрясением. Гидродинамическое давление определяется с помощью решения уравнения Лапласа для потенциала скорости, при этом эффект плескания свободной поверхности не учитывается. Для определения изгибающих моментов полученная нагрузка прикладывается к стенкам конструкции, которая рассматривается как набор упругих пластин. Гидроупругое взаимодействие в контейнерах с жёсткими стенками и эластичным основанием исследовано в [70]. Несжимаемая жидкость рассматривается согласно потенциальной теории, при этом во внимание принимается эффект плескания свободной поверхности. Упругое основание представляется как закреплённая по краям прямоугольная мембрана или пластина. В работе проанализировано влияние высоты столба жидкости на собственные частоты колебаний системы. Также приведены результаты для полностью жёсткого контейнера, в котором свободная поверхность жидкости накрыта упругой мембраной или пластиной. Численно-аналитический подход, предназначенный для получения гидроупругих характеристик прямоугольных в сечении баков с упругими стенками, представлен в [71]. Решение уравнения Лапласа для потенциала скорости жидкости находится аналитически. Для определения собственных частот системы «оболочка-жидкость», в которой учитываются колебания стенок бака и свободной поверхности жидкости, применяется метод Релея-Ритца совместно с методом Галёркина. Статический и динамический анализ прямоугольных баков, заполненных жидкостью, осуществлён с помощью техники конечно-элементного моделирования в [72]. Основные определяющие соотношения упругого тела и жидкой среды заданы в перемещениях. Для дискретизации обеих областей авторы использовали трёхмерный изопараметрический 8-ми узловой конечный элемент. Согласование перемещений на границе раздела осуществлялось введением специального связывающего КЭ. В работе представлено распределение гидродинамического давления для баков с жёсткими и упругими стенками,

которое отличается не только по величине, но и по форме. Трёхмерная смешанная постановка на основе метода конечных и граничных элементов осуществлена в [73]. Для описания динамического поведения упругой конструкции применялась техника конечно-элементного моделирования. Безвихревое движение невязкой несжимаемой жидкости, которая рассматривалась в рамках потенциальной теории, моделировалось с помощью метода граничных элементов. С помощью предложенной методики авторы провели динамический анализ прямоугольных в своём сечении баков, содержащих жидкость, и оценили влияние упругости стенок конструкции на величину волн, возникающих при плескании свободной поверхности.

Колебания конструкций, вызванные текущей жидкостью или газом, представляют собой сложные и разнообразные явления, которые могут наблюдаться в различных отраслях промышленности, например, таких как атомная энергетика или добыча нефти и газа. К типичным динамическим явлениям, возникающим в этих системах, можно отнести дивергенцию и флаттер трубопроводов, галопирование линий электропередач, докритические колебания ядерных топливных сборок и труб теплообменников. Начиная с середины 60-х годов прошлого века, исследования в этой области вызывают повышенный интерес, обусловленный как широким использованием новых высокопрочных сплавов и композиционных материалов, позволяющих получать более лёгкие и тонкие изделия и, следовательно, более восприимчивые к вибрациям, так и разработкой и развитием перспективных атомных энергетических реакторов, потребовавших высокоскоростных жидкостных систем охлаждений, где необходимо принимать во внимание гидроупругую природу колебаний. Ведущее место в решении проблемы устойчивости тонкостенных оболочек, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, занимают работы Болотина В. В., Бочкарёва С. А., Вольмира А. С., Ильгамова М. А., КийкоИ. А., Матвеенко В. П., Рапопорт И. М., Шклярчука Ф. Н., Amabili М., Bathe К. J., Dowell Е. Н., Chen S. S., Olson М. D., Paidoussis М. Р. На протяжении последних десятилетий взаимодействие цилиндрической оболочки с протекающей внутри

неё жидкостью изучается интенсивно как экспериментально, так и теоретически. В значительной части ранних теоретических работ (как аналитических, так и численных) цилиндрическая оболочка моделируется в виде тонкостенной трубы, для которой уравнения движения построены на основе балочной теории. Различные аспекты аналитического решения задачи в такой постановке изложены в обзоре [74]. Там же приводятся некоторые публикации, где данная проблема решается с точки зрения теории оболочек как аналитически, так и численно. Позднее был опубликован ряд работ, в которых для описания движения оболочки используются различные оболочечные теории, а численная реализация, как правило, основана на методе конечных элементов.

В работе [75] для анализа открытых оболочек используется гибридный конечный элемент, в котором точные функции перемещений определяются непосредственно из уравнений теорий оболочек Сандерса. Как и в аналитических работах, здесь в рамках потенциальной теории для давления текущей несжимаемой жидкости получено явное выражение, записанное относительно функций Бесселя. Аналогичный подход для вычисления гидродинамического давления использован в работе [48], но в этой работе акцент сделан на исследование ортотропных предварительно нагруженных цилиндрических оболочек. Сжимаемость текущей жидкости учтена в работе [76]. Здесь представлен конечно-элементный алгоритм, в котором предварительно нагруженная цилиндрическая оболочка вращения описывается в рамках трёхмерной теории упругости. Гидродинамическое давление определяется из уравнений Эйлера с учётом специально сконструированных динамических граничных условий, учитывающих течение жидкости. Потенциальная теория для описания жидкости используется также в численных работах [77] и [78]. В [77] представлен конечно-элементный алгоритм, предназначенный для исследования многослойных вязкоупругих оболочек, взаимодействующих со сжимаемой жидкостью. Для уравнения потенциала возмущения скорости применяется метод Бубнова-Галёркина. Отметим, что полученные в работе [77] результаты для консольных оболочек качественно отличаются от результатов, представленных в

аналитической работе [79]. Также в [77] установлена зависимость между критической скоростью потока жидкости и номером гармоники с низшей частотой колебаний вне зависимости от геометрических параметров оболочки и граничных условий. Аналогичный подход используется этими же авторами в работе [78] для исследования композитных оболочек. В работах [80], [81] для несжимаемой жидкости описываются различные варианты гибридного метода, основанного на применении метода граничных интегральных уравнений для вычисления эффектов взаимодействия оболочка-жидкость и метода конечных элементов для определения динамических свойств упругой конструкции.

Как следует из представленного выше небольшого обзора работ, проведённые численные и все аналитические исследования были ограничены, в основном, круговыми цилиндрическими оболочками. В случае аналитических работ это является вполне очевидным, поскольку в этих работах используются аналитические выражения для давления, записанные относительно цилиндрических функций. Описания численных алгоритмов, предназначенных для исследования конических оболочек, взаимодействующих с внутренним потоком жидкости, представлены в [82], [83]. Если в [82] непосредственных расчетов с текущей жидкостью не осуществлялось, то в [83] представлено значительное количество численных результатов, выполненных для оболочек с различными граничными условиями при различных углах конусности. При этом установлена корреляция между критическим номером гармоники, на котором осуществляется потеря устойчивости оболочки с текущей жидкостью, и номером гармоники с низшей частотой колебаний оболочки с неподвижной жидкостью. Как и в случае цилиндрических оболочек, где используется аналогичный подход к решению задачи [77], [78], имеет место качественное различие в виде потери устойчивости для консольно закреплённых оболочек.

В опубликованных аналитических и численных работах выполнены разнообразные исследования о влиянии разных факторов на границу устойчивости, включая анализ граничных условий для оболочек. Установлено, что для цилиндрической оболочки с протекающей внутри неё жидкостью

характер динамической неустойчивости зависит от вида граничных условий на краях упругой конструкции. Если для свободного опирания с двух сторон [84], [85] или защемления [79] потеря устойчивости осуществляется в виде дивергенции, то в случае оболочки, защемлённой на том торце, где входит поток, и свободной на другом, потеря устойчивости осуществляется в виде флаттера с одной степенью свободы [79], [86].

В большинстве из перечисленных выше работ для описания жидкости используется потенциальная теория. В этих работах, как правило, не акцентируется внимание на используемых граничных условиях для потенциала возмущения скорости. Для аналитических работ это обусловлено тем, что рассматривается бесконечный поток жидкости, и учет граничных условий осуществляется опосредованно. Так для оболочек, свободно опёртых на обоих краях, рассмотрены две модели. В одной из них [84] предполагается, что оболочка присоединена за торцами к бесконечно длинным жёстким мембранам такого же внутреннего диаметра, которые ограничивают область жидкости. Во второй модели [87] область жидкости рассматривается как цилиндр бесконечного объема в периодически опёртой оболочке бесконечной длины. В этой же работе осуществляется сравнение результатов, получаемых по двум моделям в линейной и нелинейной постановке. Оценка влияния жёстких и упругих расширений на критические скорости свободно опёртой цилиндрической оболочки приводится в [80], [81]. Первоначально в [79] также была использована аналогичная модель для оболочек, консольных и жёстко закрепленных на обоих краях. Однако в [86] для консольно закреплённых оболочек из физических соображений было сделано предположение о том, что при вытекании жидкости из оболочки через незакрепленный торец возмущения в потоке и давлении должны затухать на каком-то конечном интервале. Для учёта этого явления были предложены так называемые «модели нисходящего потока», которые позднее были использованы в [88], [89]. Решение краевой задачи с целью получения аналитической зависимости для давления в случае оболочек, консольных и жёстко закрепленных на обоих краях, осуществляется с использованием метода преобразования Фурье

и ищется в классе стоячих [86] или бегущих волн [90]. Сравнение двух методов при смешанных граничных условиях (жёсткое закрепление одного края и свободное опирание на другогом, и наоборот) осуществляется в работе [91].

В [92] для консольно закреплённых оболочек предлагается реализация метода разделения переменных, в котором определяются простые приближенные выражения для вычисления давления и обобщённых сил в жидкости, основанные на дискретизации Галёркина для связанной задачи оболочка-жидкость. Основная идея метода состоит в использовании для разложения упругих перемещений конструкции и возмущенного давления жидкости сходного ряда ортонормированных балочных модальных функций. При этом отмечается, что в модели отсутствует необходимость в использовании дополнительных условий для нисходящей струи, так как поведение струи связывается с конструкцией через граничные условия для жидкости. В качестве последних на выходном и выходном торцах оболочки задается равенство нулю производной от потенциала возмущения скорости по осевой координате. Таким образом, [92] является единственной из аналитических работ, насколько известно, в которой явным образом заданы граничные условия для потенциала возмущения скорости. Найденные при данных граничных условиях обобщённые силы и критические скорости сравниваются с результатами, полученными с использованием метода преобразования Фурье для первой гармоники. Обнаружено, что если для обобщенных сил различие в результатах является весьма существенным, то для критических скоростей, определённых с помощью этих двух методов, имеет место достаточно хорошее согласование между собой в широком диапазоне системных параметров. Однако больший интерес представляло бы сравнение результатов на критическом номере гармонике (т.е. гармонике с наименьшей скоростью), поскольку критические скорости для первой гармоники практически не изменяются, например, при учёте модели нисходящего потока [86], [89]. Отметим, что в некоторых работах для неподвижной жидкости также указываются граничные условия для потенциала возмущения скорости.

Например, в [93] для свободно опёртой оболочки они задаются в виде равенства нулю потенциала на входе и на выходе из конструкции.

В рамках линейной постановки в работах [47], [94] представлен анализ возможных вариантов граничных условий для потенциала возмущения скорости и проведена оценка их влияния на динамическое поведение системы «упругая оболочка-жидкая/газообразная среда». С помощью разработанной численной процедуры на основе полуаналитического варианта метода конечных элементов на круговых цилиндрических оболочках показано, что граничные условия для потенциала возмущения скорости оказывают существенное влияние как на собственные колебания оболочки с неподвижной жидкостью, так и на критические скорости потока. Для консольно закрепленных оболочек изменение граничных условий для жидкости может оказывать качественное влияние на характер динамического поведения системы.

Рассматривая граничные условия для потенциала возмущения скорости необходимо также иметь в виду более общий случай. В частности, при учёте потерь акустической энергии, связанных с трением и излучением звука во внешнюю среду, реакцией сил инерции или сил упругости, может быть введен акустический импеданс. Как отмечается в [29], величина импеданса не всегда может быть определена. Здесь же указаны несколько наиболее известных случаев конструкции конца трубы, для которых найдены значения удельных импедансов. В общем случае значение импеданса должно учитывать различие плотностей, температур, скоростей внутри и вне оболочки, упругость оболочки и её граничные условия. Очевидно, что задание импеданса наиболее существенно при сверхзвуковых течениях.

В последнее десятилетие анализ динамического поведения круговых цилиндрических оболочек вращения, взаимодействующих с внутренним, кольцевым или неограниченным потоком жидкости, стал интенсивно осуществляться и в нелинейной постановке [87], [95]—[97]. В этих работах при исследовании свободно опёртых или защемлённых на обоих краях оболочек, установлено, что их потеря устойчивости осуществляется строго в результате

докритических бифуркаций типа вилки. Фактически это означает, что при наличии в системе незначительных возмущений, потеря устойчивости в виде дивергенции может осуществляться на более низких скоростях потока жидкости, чем это предсказывает линейная теория, тем самым ограничивая возможности применения последней только вычислением собственных частот, по крайней мере, в случае указанных граничных условий. Определяемый в рамках нелинейного решения диапазон скоростей, в котором наряду с невозмущенной равновесной формой сосуществуют и другие устойчивые решения, существенно перекрывает критическую скорость потери устойчивости, наблюдаемую в эксперименте [96]. Поскольку нелинейное решение уточняется, приближаясь к экспериментальным данным, в результате учёта смешанных граничных условий для оболочки или учёта начальных неправильностей формы [97], то можно предположить, что аналогичное уточнение будет наблюдаться и при учёте тех или иных граничных условий для жидкости. В качестве подтверждения этого предположения можно привести результаты, полученные в [87]. Здесь для оболочки, свободно опертой с двух торцов, показано, что в зависимости от выбранной модели учёта граничных условий для жидкости (жёсткие или упругие расширения) изменяется вид нелинейного динамического поведения системы: при одних граничных условиях система проявляет «жёсткое» поведение, а при других — «мягкое».

При анализе нелинейного взаимодействия упругих конструкций с жидкостью часть исследований связана с анализом больших деформаций оболочек, тогда как в других внимание фокусируется на нелинейном взаимодействии упругого тела со свободной поверхностью жидкости под действием силы тяжести. Обзор различных методов решения последних задач представлен в [98]. Поскольку большинство из них требует итерационного решения во временном интервале, то даже самые высокопроизводительные и широко используемые подходы, такие как arbitrary Lagrange Euler (ALE) [99], остаются очень ресурсоёмкими, особенно при решении трёхмерных задач. Линеаризованные модели способны за очень короткое время дать приемлемые

оценки собственных частот и форм колебаний, характеризующих вибрационное поведение связанной системы «упругое тело-жидкость», что является их несомненным достоинством для инженера-проектировщика.

Актуальность работы

Выполненные с использованием различных численных методов исследования гидроупругой устойчивости тонкостенных оболочек, как правило, являются двумерными. Большинство из них записано в рамках осесимметричных постановок, что ограничивает класс рассматриваемых задач телами вращения. В результате этого остаётся неисследованным ряд факторов, влияние которых на динамическое поведение системы может быть оценено только при решении задачи в трёхмерной постановке. С помощью такого подхода становится возможным рассматривать конструкции, в которых поток жидкости заполняет только часть внутреннего объёма оболочки, или исследовать системы с открытым профилем, например такие, какие проанализированы в [75]. Кроме того, трёхмерная формулировка задачи снимает ограничения на кинематические и статические граничные условия, задаваемые на боковой поверхности упругого тела.

Наличие в индустриальных приложениях конструкций, взаимодействующих с жидкой или газообразной средой, имеющих либо незначительное отклонение от кругового профиля, либо полностью некруговой профиль, определяет необходимость разработки численных алгоритмов, предназначенных для их анализа. Исследования на данную тематику представлены в литературе ограниченным числом работ. Главным образом это связано со сложностью получения аналитических решений таких задач и необходимостью использования более ресурсоёмких численных методов. Аэроупругая устойчивость эллиптической в поперечном сечении оболочки, взаимодействующей с внешним сверхзвуковым потоком газа, исследована в [100]. Линеаризованные уравнения пологих оболочек получены упрощением соответствующих уравнений обобщённой моментной технической теории Власова. Численное решение задачи построено с использованием метода Бубнова-Галёркина, а для вычисления

аэродинамического давления используется поршневая теория. Вариационная постановка задачи о деформации бесконечно длинной эллиптической цилиндрической оболочки при безотрывном поперечном обтекании её безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости предложена в [101]. Однако каких-либо численных результатов авторами не представлено. При обзоре литературы была найдена только одна работа [102], в которой численный анализ устойчивости оболочек произвольного сечения осуществлен в трёхмерной постановке, основанной на использовании метода граничных элементов для описания потенциальной жидкости и метода конечных элементов для упругого тела. Авторами исследована устойчивость прямолинейных и изогнутых цилиндрических оболочек, а также конструкций с квадратным профилем, взаимодействующих с внутренним потоком несжимаемой невязкой жидкости. В этом контексте актуальность настоящей работы определяется отсутствием исследований, посвященных устойчивости оболочек некругового поперечного сечения, взаимодействующих с текущей сжимаемой невязкой жидкостью.

В связи с этим, целью диссертационной работы является создание численного метода для расчёта собственных частот, форм колебаний, границы устойчивости и его применение для параметрического анализа динамических характеристик оболочек произвольного поперечного сечения, взаимодействующих с неподвижной или текущей жидкостью и нагруженных различными силовыми факторами. С помощью такого подхода можно расширить класс решаемых задач и принимать во внимание стационарные силы вязкого сопротивления развитого турбулентного течения или начальные окружные усилия, вызванные центробежными силами вращающейся оболочки.

Для достижения поставленной цели в работе ставятся следующие задачи:

• разработка математической модели и конечно-элементного алгоритма её численной реализации в рамках трёхмерной постановки, предназначенных для исследования собственных колебаний и устойчивости нагруженных круговых цилиндрических оболочек, полностью или частично заполненных неподвижной или текущей сжимаемой невязкой жидкостью;

• модификация разработанного метода и алгоритма его численной реализации для возможности выполнения анализа устойчивости нагруженных цилиндрических оболочек произвольного поперечного сечения, взаимодействующих с текущей и неподвижной жидкостью;

• проведение серии численных экспериментов по выявлению особенностей, характерных для собственных колебаний вертикальных и горизонтальных эллиптических цилиндрических оболочек, частично или полностью заполненных неподвижной жидкостью, с учётом начального напряжённого состояния;

• проведение численных исследований, позволяющих оценить влияние линейных размеров, уровня заполнения и граничных условий на собственные частоты, формы колебаний и границу гидродинамической устойчивости тонкостенных круговых и эллиптических цилиндрических оболочек, взаимодействующих с неподвижным или текущим потоком жидкости.

Научная новизна результатов

1. Предложен метод и разработан алгоритм его численной реализации для расчёта в трёхмерной постановке собственных частот, форм колебаний и границ устойчивости нагруженных оболочек, содержащих неподвижную или текущую жидкость.

2. Получены зависимости и новые качественные закономерности для собственных частот и форм колебаний заполненных неподвижной жидкостью горизонтально и вертикально расположенных оболочек с круговым и эллиптическим сечением при различных граничных условиях, уровнях заполнения жидкостью и геометрических параметрах.

3. Получены новые количественные и качественные результаты об устойчивости круговых и эллиптических оболочек, взаимодействующих с текущей жидкостью, при различных вариантах граничных условий и геометрических параметрах исследуемых систем.

4. Исследовано влияние силовых факторов, в том числе стационарных сил вязкого сопротивления жидкости, на собственные частоты и формы колебаний,

границу устойчивости круговых и эллиптических цилиндрических оболочек, взаимодействующих жидкостью.

Практическая значимость. Предложенная линеаризованная модель позволяет получить приемлемые оценки собственных частот, форм колебаний и критических скоростей жидкости, необходимые при проектировании конструкций, включающих оболочки, взаимодействующие с неподвижной или текущей жидкой средой. Разработанный алгоритм даёт возможность за короткое время проанализировать широкий спектр различных параметров, качественно влияющих на границу устойчивости. Кроме этого, полученные результаты могут являться основой для определения границ применимости линеаризованной модели и областей параметров, которые необходимо исследовать с использованием более сложных моделей жидкости.

Защищаемые положения

1. Численный метод для определения собственных частот и форм колебаний нагруженных оболочек произвольного поперечного сечения, содержащих неподвижную жидкость, и собственных частот, форм колебаний и границы устойчивости нагруженных оболочек, содержащих текущую жидкость.

2. Результаты численного исследования динамических характеристик тонкостенных горизонтальных и вертикальных круговых и эллиптических цилиндрических оболочек, полностью или частично заполненных неподвижной жидкостью.

3. Результаты расчётов критических скоростей потери устойчивости круговых и эллиптических цилиндрических оболочек, взаимодействующих с текущей внутри них жидкостью, с учётом и без учёта различного рода силовых факторов, действующих на оболочку.

Достоверность полученных результатов подтверждена численными экспериментами по оценке сходимости конечно-элементного алгоритма, сопоставлением с существующими аналитическими решениями, имеющимися исследованиями других авторов и сравнением отдельных результатов с экспериментальными данными.

Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на:

• Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, г. Тула, 2010, 2012 гг.);

• Всероссийской конференции молодых учёных «Неравновесные процессы в сплошных средах» (г. Пермь, 2010, 2012 гг.);

• XVII, XVIII Всероссийских Зимних школах по механике сплошных сред (г. Пермь, 2011,2013 гг.);

• X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Нижний Новгород, 2011 г.);

• II Междисциплинарной молодежной научной конференции «Информационная школа молодого ученого» (г. Екатеринбург, 2012 г.);

• XVI Международной научной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Россия, г. Ростов-на-Дону, 2012 г.);

• 84-й ежегодной конференции Международной ассоциации прикладных математиков и механиков вАММ-2013 (Сербия, г. Нови Сад, 2013 г.).

По теме диссертации опубликовано 17 работ, включая 4 статьи в рецензируемых журналах из перечня ВАК.

1. Определяющие соотношения 1.1. Механическая постановка задачи

Рассматривается тонкостенная изотропная оболочка произвольного поперечного сечения, взаимодействующая с установившимся внутренним потоком идеальной сжимаемой жидкости или газа. Будем считать, что деформации, возникающие в оболочке в результате гидродинамического воздействия, являются малыми. Влияние пограничного слоя и динамические явления на свободной поверхности в случае конструкций, частично заполненных жидкостью, не учитываются. Схема модели и положение системы координат приведены на рисунке 1. При решении задачи необходимо определить собственные частоты и формы колебаний, найти такую скорость жидкости или газа, при которой оболочка теряет устойчивость.

Рисунок 1 — Некруговая оболочка: (а) — поперечное сечение; (б) — продольное сечение

1.2. Основные соотношения для жидкой среды

В случае безвихревого движения идеальной сжимаемой жидкости может быть введён потенциал скорости ср

v = grad ф.

Ускорение можно представить в виде [103]

дх 1 , 2 а = —+ -gradv , ot 2

(1.1)

(1.2)

где V = |у| — модуль вектора скорости.

Подстановка в (1.2) соотношения (1.1) позволяет получить представление

а = grad

ГЭф

U t

2/

(1.3)

Для баротропных процессов р - р(р) можно ввести функцию давления Р, как это было предложено в [103]. Полагается, что она едина во всём потоке.

—grad^ = gradP, dP = ^ =—dp, JP АР) Р/ Р/ Р/

(1.4)

где с = — скорость звука в среде, р/— плотность среды.

С учётом (1.3) и (1.4) система основных уравнений потенциального течения идеальной жидкости в случае баротропного процесса может быть записана в виде [103]

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Лекомцев, Сергей Владимирович

Заключение

1. Предложен метод и разработан алгоритм его численной реализации для решения трёхмерных задач о собственных колебаниях и устойчивости нагруженных оболочек с круговым и произвольным поперечным сечением, содержащих неподвижную или текущую сжимаемую идеальную жидкость или газ.

2. В результате параметрического анализа получены новые количественные и качественные закономерности для собственных частот и форм колебаний круговых и эллиптических оболочек, полностью или частично заполненных жидкостью.

3. Установлено, что при частичном заполнении горизонтально расположенных оболочек, в том числе и круговых, возможно существование более двух собственных форм колебаний с различными частотами, но с одинаковым числом полуволн в окружном и меридиональном направлениях. Независимо от уровня заполнения на низших частотах максимумы перемещений достигаются на смоченной поверхности. Для полностью или частично заполненных жидкостью горизонтальных оболочек имеет место немонотонная зависимость низших собственных частот колебаний от отношения полуосей эллипса, определяющего сечение оболочки, при фиксированной величине одной из полуосей.

4. Получены результаты для критических скоростей потока жидкости, при которых происходит потеря устойчивости круговых и эллиптических цилиндрических оболочек при различных граничных условиях и геометрических параметрах системы. Обнаружено, что граница гидроупругой устойчивости существенно зависит от отношения полуосей эллипса.

5. Показано, что уменьшение уровня потока жидкости внутри круговых и эллиптических цилиндрических оболочек приводит к повышению критических скоростей, но не оказывает влияния на вид потери устойчивости.

6. На примере горизонтальных круговых и эллиптических цилиндрических оболочек, частично заполненных неподвижной жидкостью, показано, что величина внешнего равномерного давления, приводящая к потере устойчивости, не зависит от уровня заполнения.

7. Учёт стационарных сил вязкого сопротивления в потоке жидкости приводит к повышению критических скоростей потери устойчивости круговых цилиндрических оболочек, полностью и частично заполненных текущей жидкостью, без изменения вида потери устойчивости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лекомцев, Сергей Владимирович, 2013 год

Литература

1. Kanok-nukulchai, W. A simple and efficient finite element for general shell analysis / W. Kanok-nukulchai // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 1979. — V. 14, № 2. — P. 179-200.

2. Olson, M. D. A simple flat triangular shell element revisited / M. D. Olson, T. W. Bearden // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 1979. — V. 14, № 1. — P. 51-68.

3. Олсон, M. Д. Исследование произвольных оболочек с помощью пологих оболочечных конечных элементов / М. Д. Олсон // Тонкостенные оболочечные конструкции. Теория, эксперимент, проектирование. / Пер. с англ. / под ред. Э. И. Григолюка — Москва: Машиностроение, 1980. — С. 409-437.

4. Cowper, G. R. A shallow shell finite element of triangular shape / G. R. Cowper, G. M. Lindberg, M.D.Olson // Int. J. Solids Struct. — 1970. — V. 6, № 8. — P. 1133-1156.

5. Голованов, А. И. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций / А. И. Голованов, О. Н. Тюлеиева, А. Ф. Шигабутдинов. — Москва: Физматлит, 2006. — 392 с.

6. Dawe, D. J. High-order triangular finite element for shell analysis / D. J. Dawe // Int. J. Solids Struct. — 1975. —V. 11,№ 10, —P. 1097-1110.

7. Ashwell, D. G. Strain elements, with application to arches, ring and cylindrical shells / D. G. Ashwell // Finite Element for Thin Shells and Curved Members. — 1976. — V. 6. — P. 91-111.

8. Богпер, Ф. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов / Ф. Богнер, Р. Фокс, ji. Шмит // Ракетная техника и космонавтика. — 1967. — Т. 5, №4. —С. 170-175.

9. Пслех, Б. JT. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью / Б. JI. Пелех. — Киев: Наукова думка, 1973. — 248 с.

10. Carpenter, N. A flat triangular shell element with improved membrane interpolation / N. Carpenter, II. Stolarski, T. Belytschko // Commun. Appl. Numer. M. — 1985. — V. 1, №4. —P. 161-168.

11. Clough, R. W. A finite element approximation for the analysis of thin shells / R. W. Clough, R. J. Johnson // Int. J. Solids Struct. — 1968. — V. 4, № 1. — P. 43-60.

12. Bathe, K.-J. A simple and effective element for analysis of general shell structures / K.J. Bathe, L.-W. IIo// Comput. Struct. — 1981. — V. 13, № 5-6. — P. 673-681.

13. Гордон, JI. А. К расчету пластин и оболочек методом конечных элементов / Л. А. Гордон // Известия ВНИИ гидротехники. — 1972. — Т. 99. — С. 168-178.

14. Зенкевич, О. С. Метод конечных элементов в технике / О. С. Зенкевич; пер. с англ., под ред. Б. Е. Победри — Москва: Мир, 1975. — 544 с.

15. Ahmad, S., Irons, В. М., Zienkiewicz, О. С. Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements / S. Ahmad, В. M. Irons, О. C. Zienkiewicz // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 1970. —V. 2, №3. —P. 419-451.

16. Wilson,E.L. Incompatible displacement models / E.L.Wilson, R.L.Taylor, W. P. Doherty, J. Ghaboussi // Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics / Eds. S. J. Fenves et al. — New York: Academic Press, 1973. — P. 43-57.

17. Taylor, R. L., Beresford, P. J., Wilson, E. L. A non-conforming element for stress analysis / R. L. Taylor, P. J. Beresford, E. L. Wilson // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 1976. —V. 10, №6. —P. 1211-1219.

18. Norachan, P. A co-rotational 8-node degenerated thin-walled element with assumed natural strain and enhanced assumed strain / P. Norachan, S. Suthasupradit, K.-D. Kim // Finite Elem. Anal. Des. — 2011. — V. 50. — P. 70-85.

19. Lamb, IT. Hydrodynamics / H.Lamb. — 6th ed. — New York: Dover Publications, 1945. —738 p.

20. Arya, A. S. Vibration analysis of thin cylindrical containers / A. S. Arya, S. K. Thakkar,

A. C. Goyal // J. Eng. Mech. Div. — 1971. — V. 97, № 2. — P. 317-331.

21. Lindholm, U. S. Breathing vibration of a circular cylindrical shell with an internal liquid / U. S. Lindholm, D. D. Kana, IT. N. Abramson // Journal of Aeronautical Science. — 1962. — V. 29. — P. 1052-1059.

22. Housner, G. W. The dynamic behavior of water tank / G. W. Housner // Bulletin of Seismic Society of America. — 1963. — V. 53, №2. —P. 381-389.

23. Yamaki, N. Free vibration of a clamped-clamped circular cylindrical shell partially filled with liquid / N. Yamaki, J. Tani, T. Yamaji // J. Sound Vib. — 1984. — V. 94. — P. 531-550.

24. Mikami, T. The collocation method for analyzing free vibration of shells of revolution with either internal or external fluids / T. Mikami, J. Yoshimura // Computers & Structures. — 1992. — V. 44. — P. 343-351.

25. Kyeong-Hoon, J. Fourier series expansion method for free vibration analysis of either a partially liquid-filled or a partially liquid-surrounded circular cylindrical shell / J. Kyeong-Hoon, L. Seong-Cheol // Computers & Structures. — 1996. — V. 58, № 5. — P. 937-946.

26. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин. — Москва: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1956. — 600 с.

27. Болотин, В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости /

B. В. Болотин. — Москва: Наука, 1961. — 340 с.

28. Моисеев, II. IT. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость /

II. Н. Моисеев, В. В. Румянцев — Москва: Наука, 1965. — 439 с.

29. Ильгамов, М. А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. / М. А. Ильгамов — Москва: Наука, 1969. — 182 с.

30. Вольмир, А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. / А. С. Вольмир, — Москва: Наука, 1979. — 320 с.

31. Горшков, А. Г. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г.Горшков, В.И.Морозов, А. Т. Пономарев, Ф. II. Шклярчук. — Москва: Физматлит, 2000. — 591 с.

32. Кийко, И. А. Флаттер пластин и оболочек / И. А. Кийко, С. Д. Алгазин. — Москва: Наука, 2006. — 248 с.

33. Rapoport, I. М. Dynamics of elastic containers partially filled with liquids / I. M. Rapoport. — Berlin: Springer, 1968. — 368 p.

34. Chen, S.-S. Flow-induced vibration of circular cylindrical structures / S.-S. Chen — Argonne: Argonne National Laboratory, 1985. — 619 p.

35. Paidoussis, M. P. Fluid-structure interactions: slender structures and axial flow: vol. 1-2 / M. P. Paidoussis. — London: Elsevier, 1998-2004. — 1585 p. — 2 vol.

36. Wang, X. Fundamentals of fluid-solid interactions / X. Wang. — Amsterdam: Elsevier, 2008. —577 p.

37. Шклярчук, Ф. H. Применение метода конечных элементов к расчету неосесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью / Ф. Н. Шклярчук // Колебания упругих конструкций с жидкостью. Сб. науч. докл. 5 симпоз. ЦНТИ «Волна». — М., 1984. — С. 284-289.

38. Zienkiewicz, О. С. Fluid-structure dynamic interaction and wave forces. An introduction to numerical treatment / О. C. Zienkiewicz, P. Bettes // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1978. —V. 13. —P. 1-16.

39. Muller, W. C. Simplified analysis of linear fluid-structure interaction / W. C. Muller // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 1981.— V. 17, —P. 13-121.

40. Lim, S. P. Free vibration of a cylinder partially filled with a liquid / S. P. Lim, M. Petyt // Proceedings of the International Conference on Recent Advances in Structural Dynamics. — Southampton University, 1980. — P. 447^155.

41. Zienkiewicz, О. C. Cavitation in fluid-structure response (with particular reference to dams under earthquake loading) / О. C. Zienkiewicz, D. K. Paul, E. Iiinton // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. — 1983. — V. 11. — P. 463^181.

42. Мокеев, В. В. Эффективная процедура решения задач о собственных значениях при исследованиях взаимодействия конструкция-жидкость на основе конечно-элементных моделей / В. В. Мокеев, Ю. С. Павлюк // Изв. РАН. МТТ. — 1992. — №4, —С. 178-182.

43. Kiefling, L. Fluid-structure finite element vibrational analysis / L. Kiefling, G. C. Feng //

AIAAJ. — 1976. —V. 14, №2. — P. 199-203.

44. Chen, H. C. Vibration analysis of fluid solid systems using a finite element displacement formulation / II. C. Chen, R. L. Taylor // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 1990. — V. 29. —P. 683-698.

45. Olson, L. G. A study of displacement-based fluid finite elements for calculating frequencies of fluid and fluid-structure systems / L. G. Olson, K.-J. Bathe // Nuclear Engineering and Design. — 1983. — V. 76. — P. 137-151.

46. Bermudez, A. Finite element vibration analysis of fluid-solid systems without spurious modes / A. Bermudez, R. Duran, M. A. Muschietti, R. Rodriguez, J. Solomin // SIAM Journal of Numerical Analysis. — 1995. — V. 32. — P. 1280-1295.

47. Бочкарёв, С. А. Численное исследование влияния граничных условий на динамику поведения цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью / С. А. Бочкарёв, В. П. Матвеенко // Изв. РАН. МТТ. — 2008. — № 3. — С. 189-199.

48. Zhang, Y. L. A finite element method for modelling the vibration of initially tensioned thin-walled orthotropic cylindrical tubes conveying fluid / Y. L. Zhang, J. M. Reese, D. G. Gorman // J. Sound Vib. — 2001. — V. 245. — P. 93-112.

49. Askari, E. Coupled vibrations of cantilever cylindrical shells partially submerged in fluids with continuous, simply connected and non-convex domain / E. Askari, F. Daneshmand // J. Sound Vib. — 2010. — V. 329. — P. 3520-3536.

50. Amabili, M. Vibrations of circular tubes and shells filled and partially immersed in dense fluids / M. Amabili // J. Sound Vib. — 1999. — V. 221. — P. 567-585.

51. Schotte, J.-S. Linearized formulation for fluid-structure interaction: Application to the linear dynamic response of a pressurized elastic structure containing a fluid with a free surface / J.-S. Schotte, R. Ohayon // J. Sound Vib. — 2013. — V. 332, № 10. — P. 2396-2414.

52. Schotte, J.-S. Incompressible hydroelastic vibrations: finite element modelling of the elastogravity operator / J.-S. Schotte, R. Ohayon // Computers & Structures. — 2005. — V. 83, №2-3. — P. 209-219.

53. El-Kamali, M. Computation of the equilibrium position of a liquid with surface tension inside a tank of complex geometry and extension to sloshing dynamic cases / M. El-Kamali, J.-S. Schotte, R. Ohayon // Computational Mechanics. — 2010. — V. 46, № 1, —P. 169-184.

54. Мокеев, В. В. О численном решении задач динамики конструкций, содержащих вязкоупругие среды / В. В. Мокеев // Изв. РАН. МТТ. — 1999. — № 6. — С. 55-65.

55. Mokeyev, V. V. On a method for vibration analysis of viscous compressible fluid-structure systems / V. V. Mokeyev // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 2004. — V. 59, № 13. —P. 1703-1723.

56. Мокеев, B.B. О задаче нахождения собственных значений и векторов больших

матричных систем // Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики. — 1992. — №. 10. — Р. 1652-1657.

57. El Damatty, A. A. Experimental study conductcd on a liquid-filled combined conical tank model / A. A. El Damatty, M. S. Saafan, A. M. Sweedan // Thin-Walled Struct. — 2005.

— V. 43. —P. 1398-1417.

58. Maheri, M. R. Dynamic investigations of cylindrical structures in contact with liquid / M. R. Maheri, R. T. Severn // Steel Structures: Advances in Design and Construction / Ed. R. Narayanan. — London: Elsevier, 1987. — P. 643-652.

59. Maxuch, T. Natural modes and frequencies of a thin clamped-free steel cylindrical storage tank partially filled with water: FEM and measurement / T. Maxuch, J. Horacek, J. Trnka, J. Vesely // J. Sound Vib. — 1996. — V. 193, № 3. — P. 669-690.

60. Сапожников, С. Б. Экспериментальное и численное исследование колебаний тонкостенной оболочки, заполненной вязкоупругой жидкостью / С. Б. Сапожников, Е. Я. Фот, В. В. Мокеев // Известия челябинского научного центра УрО РАН. — 2004.—№4. —С. 66-70.

61. Babu, S. S. Finite element analysis of fluid-structure interaction effect on liquid retaining structures due to sloshing / S. S. Babu, S. K. Bhattacharyya // Computers & Structures. — 1996. —V. 59, №6. —P. 1165-1171.

62. Lakis, A. A. Free surface effects on the dynamics of cylindrical shells partially filled with liquid / A. A. Lakis, S. Ncagu // J. Sound Vib. — 1997. — V. 207, № 2. — P. 175-205.

63. Lakis, A. A. Sloshing effect on the dynamic behavior of horizontal cylindrical shells / A. A. Lakis, G. Bursuc, M. II. Toorani // Nuclear Engineering and Design. — 2009. — V. 239. —P. 1193-1206.

64. Amabili, M. Free vibration of partially filled, horizontal cylindrical shells / M. Amabili // J. Sound Vib. — 1996. — V. 191, № 5. — P. 757-780.

65. Ergin, A. Free vibration of a partially liquid-filled and submerged, horizontal cylindrical shell / A. Ergin, P. Temarel // J. Sound Vib. — 2002. — V. 254, № 5. — P. 951-965.

66. Tsai, C. S. Arch dam-fluid interactions: by fem-bem and substructure concept / C. S. Tsai, G. C. Lee // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 1987. — V. 24. — P. 2367-2388.

67. Ergin, A. Dynamic characteristics of a submerged, flexible cylinder vibrating in finite water depths / A. Ergin, W. G. Price, R. Randall, P. Temarel // Journal of Ship Research.

— 1992. —V. 36, №2. —P. 154-167.

68. Постнов, В. А. Новая вариационная формулировка проблемы взаимодействия упругих конструкций с жидкостью / В. А. Постнов // Проблемы прочности и пластичности. — 2000. — № 61. — С. 5-12.

69. Haroun, М. A. Stress analysis of rectangular walls under seismically induced hydrodynamic loads / M. A. Haroun // Bulletin of Seismic Society of America. — 1984.

— V. 74,№3.—P. 1031-1041.

70. Bauer, II. F. I-Iydroelastic vibrations in a rectangular container / IT. F. Bauer // International Journal of Solids and Structures. — 1981. — V. 17. — P. 639-652.

71. Zhou, D. Hydroelastic vibrations of flexible rectangular tanks partially filled with liquid / D. Zhou, W. Liu // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 2007. — V. 71. — P. 149-174.

72. Dogangun, A. Static and dynamic analysis of rectangular tanks by using the Lagrangian fluid finite element / A. Dogangun, A. Durmus, Y. Ayvaz // Computers & Structures. — 1996. — V. 59, № 3. — P. 547-552.

73. Koh, H. M. Fluid-structure interaction analysis of 3-D rectangular tanks by a variationally coupled BEM-FEM and comparison with test results / II. M. Koh, J. K. Kim, J. H. Park // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. — 1998. — V. 27. — P. 109-124.

74. Paidoussis, M. P. Pipes conveying fluid: a model dynamical problem / M. P. Paidoussis, G. X. Li // J. Fluids Struct. — 1993. — V. 7, № 2. — P. 137-204.

75. Selmane, A.Vibration analysis of anisotropic open cylindrical shells subjected to a flowing fluid / A. Selmane, A. A. Lakis // J. Fluids Struct. — 1997. — V. 11. — P. 111-134.

76. Zhang, Y. L. Vibration of prestressed thin cylindrical shells conveying fluid / Y. L. Zhang, G. D. Gorman, J .M. Reese // Thin-Walled Struct. — 2003. — V. 41. — P. 1103-1127.

77. Kochupillai, J. C. A semi-analytical coupled finite element formulation for shells conveying fluids / J. Kochupillai, N. Ganesan, C. Padmanabhan // Computers & Structures. — 2002. — V. 80, № 3-4. — P. 271-286.

78. Kochupillai, J. C. A semi-analytical coupled finite element formulation for composite shells conveying fluids / J. Kochupillai, N. Ganesan, C. Padmanabhan // J. Sound Vib. — 2002. — V. 258, № 2. — P. 287-307.

79. Paidoussis, M. P. Flutter of thin cylindrical shells conveying fluid / M. P. Paidoussis, J.-P. Denise // J. Sound Vib. — 1972. — V. 20. — P. 9-26.

80. Ugurlu, B. A hydroelasticity method for vibrating structures containing and/or submerged in flowing fluid / B. Ugurlu, A. Ergin // J. Sound Vib. — 2006. — V. 290. — P. 572-596.

81. Ugurlu, B., Ergin, A. A hydroelastic investigation of circular cylindrical shells-containing flowing fluid with different end conditions // J. Sound Vib. — 2008. — V. 318. — P.1291-1312.

82. Lakis, A. A. Dynamic analysis of anisotropic fluid-filled conical shells / A. A. Lakis, P. Van Dyke, II. Ouriche // J. of Fluids and Structures. — 1992. — V. 6, № 2. — P. 135-162.

83. Kumar, D. S. Dynamic analysis of conical shells conveying fluid / D.S.Kumar, N. Ganesan // J. Sound Vib. — 2008. — V. 310, № 1-2. — P. 38-57.

84. Weaver, D. S. On the dynamic stability of fluid conveying pipes / D. S. Weaver, T. E. Unny // J. of Applied Mechanics. — 1973. — V. 40. — P. 48-52.

85. Matsuzaki, Y. Unsteady fluid dynamic forces on a simply-supported circular cylinder of finite length conveying a flow, with applications to stability analysis / Y. Matsuzaki, Y. C.Fung//J. Sound Vib. — 1977. — V. 54, № 3.— P. 317-330.

86. Shayo, L. K. Theoretical studies of internal flow-induced instabilities of cantilever pipes / L. K. Shayo, S. H. Ellen // J. Sound Vib. — 1978. — V. 56, № 4. — P. 463-474.

87. Amabili, M. Non-linear dynamics and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid. Part I: Stability / M. Amabili, F. Pellicano, M. P. Paidoussis // J. Sound Vib. — 1999. — V. 225, № 4. — P. 655-699.

88. Paidoussis, M. P. Dynamics of finite-length tubular beams conveying fluid / M. P. Paidoussis, T. P. Luu, B. E. Laithier // J. Sound Vib. — 1986. — V. 106, № 2. — P. 311-331.

89. Paidoussis, M. P. A theoretical study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying fluid / M. P. Paidoussis, V. B. Nguyen, A. K. Misra // J. Fluids Struct. — 1991. —V. 5. —P. 127-164.

90. Paidoussis, M. P. Dynamics and stability of coaxial cylindrical shells containing flowing fluid / M. P. Paidoussis, S. P. Chan, A. K. Misra // J. Sound Vib. — 1984. — V. 97, №2.—P. 201-235.

91. Mirsa, A. K. Dynamics and stability of pinned-clamped and clamped-pinned cylindrical shells conveying fluid / A. K. Mirsa, S. S. T. Wong, M. P. Paidoussis // J. of Fluids and Structures. —2001. —V. 15, №8, —P. 1 153-1166.

92. Langthjem, M. A. Modal expansion of the perturbation velocity potential for a cantilevered fluid-conveying cylindrical shell / M. A. Langthjem, N. Olhoff // J. of Fluids and Structures. —2003. —V. 17, № 1. —P. 147-161.

93. Amabili, M., Vibrations of circular cylindrical shells with nonuniform constraints, elastic bed and added mass; Part I: Empty and fluid-filled shells / M. Amabili, R. Garziera // J. Fluids Struct. — 2000. — V. 14, № 5. — P. 669-690.

94. Bochkarev, S. A. Natural vibrations and stability of shells of revolution interacting with an internal fluid flow / S. A. Bochkarev, V. P. Matveenko // J. Sound Vib. — 2011. — V. 330, № 13. —P. 3084-3101.

95. Amabili, M. Non-linear dynamics and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid. Part IV: large-amplitude vibrations with flow / M. Amabili, F. Pellicano, M. P. Paidoussis // J. Sound Vib. — 1999. — V. 228, № 5. — P. 1103-1124.

96. Amabili, M. Nonlinear stability of circular cylindrical shells in annular and unbounded axial flow/ M. Amabili, F. Pellicano, M. P. Paidoussis // J. of Applied Mechanics. — 2001. — V. 68, № 6. — P. 827-834.

97. Amabili, M. Effect of geometric imperfections on non-linear stability of circular cylindrical shells conveying fluid / M. Amabili, K. Karagiozis, M. P Paidoussis // J. of Non-Linear Mechanics. — 2009. — V. 44, №.3. — P. 276-289.

98. Ryzhakov, P. В. A monolithic Lagrangian approach for fluid-structurc interaction problems / P. B. Ryzhakov, R. Rossi, S. R. Idelsohn, E. Oñate // Сотр. Mech. — 2010.

— V. 46, № 6. — P. 883-899.

99. Pal, N. C. Non-linear coupled slosh dynamics of liquid-filled laminated composite containers: a two dimensional finite element approach / N. C. Pal, S. K. Bhattacharyya, P. K. Sinha // J. Sound Vibr. — 2003. — V. 261, № 4. — P. 729-749.

100. Kozarov, M. On the linear panel flutter and divergence of an elliptic cylindrical shell / M. Kozarov, T. Vodenitcharova // J. of Constructional Steel Research. — 1992. — V. 21.

— P. 235-253.

101. Кутеева, Г. А., Трюхало, А .С. Вариационный принцип конформных отображений в задаче об обтекании эллиптической цилиндрической оболочки потоком идеальной несжимаемой жидкости / Г. А. Кутеева, А .С. Трюхало // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия I. Математика. Механика. Астрономия. — 2005. —№4. —С. 92-97.

102. Firouz-Abadi, R. D. A fluid-structure interaction model for stability analysis of shells conveying fluid / R. D. Firouz-Abadi, M. A. Noorian, II. I-Iaddadpour // J. of fluids and structures. — 2010. — V. 26, № 5. — P. 747-763.

103. Вольмир, А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости / А. С. Вольмир. — Москва: Наука, 1976. — 416 с.

104. Ляв, А. Математическая теория упругости / А. Ляв. — Москва, 1935. — 674 с.

105. Ванин, Г. А. Устойчивость оболочек из армированных материалов / Г.А.Ванин, II. П. Семешок, Р .Ф. Емельянов. — Киев: Наукова думка, 1978. — 212 с.

106. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер. — Москва: Мир, 1986. — 352 с.

107. Zienkiewicz, О. С. The Finite Element Method. Volume 1: The Basis / О. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor. — Woburn, 2000. — 707 p.

108. Писсанецки, С. Технология разреженных матриц / С. Писсанецки. — М: Мир, 1988.

— 410 с.

109. Бочкарёв, С. А. Численное моделирование упругой трубы с текущей жидкостью / С. А. Бочкарёв, С. В. Лекомцев // Вестник ПГТУ. Механика. — 2011. — № 3. — Р. 5-14.

110. Тимошенко, С. П. Пластинки и оболочки / С.П.Тимошенко, С. Войновский-Кригер. — Москва: Наука, 1966. — 636 с.

111. Miserentino, R. Vibration tests of pressurized thin-walled cylindrical shells / R. Miserentino, L. F. Vosteen //NASA, TND-3066. — 1965.

112. Слепов, Б. И. Колебания и устойчивость эллиптических оболочек / Б. И. Слепов // Изв. АИ СССР. Механика и машиностроение. — 1964. — № 3. — Р. 144-146.

113. Yao, J. С. Buckling of elliptic cylinders under normal pressure / J. C. Yao, W. C. Jenkins // Journal of the American Institute of Aeronautics and Astronautics. — 1970. — № 8. — P. 22-27.

114. Feinstein, G. Clamped Oval Cylindrical Shells under Axial Loads / G. Feinstein, Y. N. Chen, J. Kempner // AIAA J. — 1971. — V. 9, № 9. — P. 1733-1738.

115. Romano, F. Stresses in Short Noncircular Cylindrical Shells Under Lateral Pressure / F. Romano, J. Kempner // J. Appl. Mech. — 1962. — V. 29, № 4. — P. 669-674.

116. Shirakawa, K. Vibration and buckling of cylinders with elliptical cross section / K. Shirakawa, M. Morita // J. Sound Vib. — 1982. — V. 84, № 1. — P. 121-131.

117. Sewall, J. L. An experimental and analytical vibration study of elliptical cylindrical shells / J. L. Sewall, W. M.J. Thompson, C. G. Pusey // NASA, TND-6089. — 1971.

118. Pusey, C. G. Vibration study of clamped-free elliptical cylindrical shells / C. G. Pusey, J. L. Sewall // AIAA J. — 1971. — V. 9, № 6. — P. 1004-1011.

119. Boyd, D. E. Free vibrations of freely supported oval cylinders / D.E.Boyd, L. D. Culberson // AIAA J. — 1971. — V. 9, № 8. — P. 1474-1480.

120. Boyd, D. E. Free vibrations of noncircular cylindrical shell segments / D.E.Boyd, С. E. Kurt // AIAA J. — 1971. — V. 9, № 2. — P. 239-244.

121. Голованов, А. И. Свободные колебания цилиндрических оболочек с системой симметрично расположенных отверстий / А. И. Голованов, 10. М. Кузнецов // Исслед. по теор. пластин и оболочек. — 1989. — .№ 21. — С. 151-159.

122. Голованов, А. И. Новый вариант построения трехмерного конечного элемента для анализа произвольных оболочек / А. И. Голованов, А. В. Песошин // Исслед. по теор. пластин и оболочек. — 1990. — № 22. — С. 79-90.

123. Chun, K.-S. Hybrid/mixed assumed stress element for anisotropic laminated elliptical and parabolic shells / K.-S. Chun, S. K. Kassegne, В. K. Wondimu // Finite Elements in Analysis and Design. — 2009. — V. 45, № 11. — P. 766-781.

124. Kim, K. D. Z. A 4-node assumed strain quasi-conforming shell element with 6 degrees of freedom / K. D. Kim, G. R. Lomboy, G. Z. Voyiadjis // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 2003. — V. 58, № 14. — P. 2177-2200.

125. Bathe, K.-J. A four-node plate bending element based on Mindlin/Reissner plate theory and a mixed interpolation / K.-J. Bathe, E. N. Dvorkin // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 1985. — V. 21, № 2. — P. 367-383.

126. Железнов, Jl. П. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических эллиптических оболочек при действии крутящего и изгибающего моментов / Л. П. Железнов, В. В. Кабанов, Д. В. Бойко // ПМТФ. — 2003. — Т. 44, №6. —С. 70-75.

127. Железнов, Л. П. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при осевом сжатии и внутреннем давлении /

Л. П. Железнов, В. В. Кабанов // ПМТФ. — 2002. — Т. 43, № 4. — С. 155-160.

128. Железнов, Л. П. Нелинейное деформирование и устойчивость овальных цилиндрических оболочек при чистом изгибе с внутренним давлением / Л. П. Железнов, В. В. Кабанов, Д. В. Бойко // ПМТФ. — 2006. — Т. 47, № 3. — С. 119-125.

129. Sabri, F. Hydroelastic vibration of partially liquid-filled circular cylindrical shells under combined internal pressure and axial compression / F. Sabri, A. A. Lakis // Aerospace Science and Technology. — 2011. — V. 15, № 4. — P. 237-248.

130.1-Iasheminejad, S. M. Liquid sloshing in half-full horizontal elliptical tanks / S. M. I-Iasheminejad, M.Aghabeigi // J. Sound Vib. — 2009. — V. 324, № 1-2. — P. 332-349.

131. Popov, G. Shape Optimization of Elliptical Road Containers Due to Liquid Load in Steady-State Turning / G. Popov, S. Sankar, T. S. Sankar // Vehicle System Dynamics: International Journal of Vehicle Mechanics and Mobility. — 1996. — V. 25, № 3. — P. 203-221.

132. Бочкарёв, С. А. Анализ устойчивости нагруженных коаксиальных цилиндрических оболочек с внутренним течением жидкости / С. А. Бочкарёв, В. П. Матвеенко // Изв. PAIL МТТ. — 2010. — № 6. — С. 29-45.

133. Бочкарёв, С. А. Численное моделирование устойчивости нагруженных оболочек вращения при внутреннем течении жидкости / С. А. Бочкарёв, В. П. Матвеенко // ПМТФ. — 2008. — Т. 49, № 2. — С. 313-322.

134. Горачек, Я. Влияние закрепления краёв цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью на её динамические характеристики / Я. Горачек, И. Золотарев // Приют, механика. — 1984. — Т. 20, № 8. — С. 88-98.

135. Free vibration and stability of cylindrical shells in interaction with flowing fluid: NATO CLG Grant Report № PST.CLF.977350 / Horacek J., Zolotarev I. — Prague: Institute of Thermomechanics, 2002. — P. 45-82.

136. Paidoussis, M. P. Dynamics and Stability of Coaxial Cylindrical Shells Conveying Viscous Fluid / M. P. Paidoussis, A. K. Misra, S. P. Chan // J. Applied Mech. — 1985. — V. 52, №2. — P. 389-396.

137. Nguyen, V. B. A CFD-based model for the study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying viscous fluid / V. B. Nguyen, M. P. Paidoussis, A. K. Misra //J. Sound Vibr.— 1994. —V. 176, № 1.— P. 105-125.

138. El-Chebair, A. Experimental study of annular-ilow-induced instabilities of cylindrical shells / A. El-Chebair, M. P. Paioussis, A. K. Misra // J. Fluids Struct. — 1989. — V. 3, № 4. — P. 349-364.

139. Nguyen, V. В. An Experimental Study of the Stability of Cantilevered Coaxial Cylindrical Shells Conveying Fluid / V. B. Nguyen, M. P. Paidoussis, A. K. Misra // J.

m

18 dJfl

Fluids Struct. — 1993. — V. 7, № 8. — P. 913-930.

140. El-Chebair, A. Theoretical study of the effect of unsteady viscous forces on inner- and annular-flow-induced instabilities of cylindrical shells / A. El-Chebair, A. K. Misra, M. P. Paidoussis // J. Sound Vibr. — 1990. — V. 138, № 3. — P. 457^78.

141. Amabili, M. Vibrations of circular cylindrical shells with nonuniform constraints, elastic bed and added mass; Part III: Steady viscous effects on shells conveying fluid / M. Amabili, R. Garziera // J. Fluids Struct. — 2002. — V. 16, № 6. — P. 795-809.

142. Paidoussis, M. P. Some unresolved issues in fluid-structure interactions / M. P. Paidoussis // J. Fluids Struct. — 2005. — V. 20, № 6. — P. 871-890.