Исследование критического поведения структурно неупорядоченной трехмерной модели изинга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Криницын, Александр Сергеевич

• Криницын, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Криницын, Александр Сергеевич

Введение

1 Критические явления

1.1 Введение

1.1.1 Критические индексы.

1.1.2 Теория самосогласованного поля.

1.2 Учет флуктуаций.

1.3 Уравнения ренормгруппы.

1.3.1 Критические индексы с учетом флуктуационных эффектов

1.4 Модель Изинга. Алгоритмы

1.4.1 Модель Изинга. История и значение

1.4.2 Основные определения модели.

1.4.3 Алгоритм Метрополиса.

1.4.4 Алгоритм Вольфа.

1.5 Влияние примесей.

1.5.1 Влияние примесей: случайные немагнитные примеси. Теоретико-полевой подход

1.5.2 Компьютерное моделирование неупорядоченных систем.

1.6 Выводы и задачи исследования

2 Компьютерное моделирование равновесного критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга

2.1 Введение

2.2 Методика и результаты компьютерного моделирования

2.3 Метод конечноразмерного скейлинга.

2.3.1 Теория скейлинга.

2.3.2 Обработка данных моделирования процедурой конечноразмер-ного скейлинга.

2.4 Расчет критических характеристик.

2.5 ^Анализ результатов и выводы.

3 Методы суммирования асимптотических рядов и их применение к расчету динамического критического индекса

3.1 Введение

3.2 Модель.

3.3 Ряды теории

3.4 Методы суммирования асимптотических рядов.

3.4.1 Методы Паде-Бореля и Паде-Бореля-Лероя.

3.4.2 Метод конформного отображения.

3.4.3 Сравнение методов на точно решаемой задаче

3.4.4 Расчет критических характеристик.

3.5 Многопараметрические ряды.

3.5.1 А-метод. Метод конформного отображения.

3.5.2 Расчет критических характеристик.

3.6 Анализ результатов и выводы.

4 Исследование неравновесной критической релаксации в трехмерной неупорядоченной модели Изинга

4.1 Введение

4.2 Модель.

4.3 Метод коротковременной динамики.

4.4 Расчет критических характеристик.

4.4.1 Методика расчета.

4.5 Анализ результатов и выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование критического поведения структурно неупорядоченной трехмерной модели изинга»

Фазовый переход - сложное и многогранное явление. Согласно Л.Д. Ландау, фазовые переходы с качественной стороны характеризуются изменением симметрии системы, а с количественной - параметром порядка, соответствующим данному изменению симметрии.

Теория Ландау [1, 2] была первой теорией, позволяющей с единой точки зрения подходить к проблеме критических явлений, независимо от их природы. Однако большинство количественных результатов этой теории не соответствовали реальному поведению критических систем. Так, в 1944 году Л. Онсагером [3] было найдено точное решение модели Изинга. Полученные им результаты резко отличались от результатов, предсказываемых теорией Ландау. Эксперименты на различных физических объектах также показывали отличие критического поведения от результатов теории Ландау.

Начало современной теории критических явлений, учитывающей крупномасштабные долгоживущие флуктуации, было заложено в работах А.З. Паташинского и В.Л. Покровского [4, 5, 6]. Ими была сформулирована гипотеза подобия критических флуктуаций. Каданов [7] сформулировал идею масштабной инвариантности термодинамических свойств систем в окрестности критических точек.

Основываясь на гипотезе подобия Вильсон [8, 9] развил метод ренор-мализационной группы, применительно к исследованию критических явлений. Все критические индексы были получены Вильсоном в виде ряда по малому параметру е (е = 4 — (1, где в, - размерность пространства).

Поляков и Мигдал [10, И] указали на существование аналогии между статистическим описанием поведения систем при фазовых переходах второго рода и квантовой теорией поля. Основываясь на этом, Ди Кастро и Иона-Ласинио [12] впервые использовали теоретико-полевой подход для решения проблем фазовых переходов.

Проблема влияния замороженных дефектов структуры на критическое поведение является важной как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Исследования показали, что влияние замороженных дефектов, проявляющееся как случайное возмущение локальной температуры, приводит к смене режима критического поведения и описывается новым набором критических индексов. Это связано с тем, что присутствие дефектов вызывает нарушение трансляционной инвариантности системы, приводит к рассеянию критических флуктуаций на дефектах структуры и дополнительному взаимодействию флуктуаций параметра порядка посредством поля дефектов.

В работе [13] сформулирован критерий, определяющий существенность влияния замороженных точечных дефектов на критические явления, называемый обычно критерием Харриса. В соответствии с ним, присутствие замороженных точечных дефектов (например, примеси немагнитных атомов в ферро- или антиферромагнитных материалах) изменяет критические свойства систем, теплоемкость которых в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с показателем а > 0. Как показали исследования [14, 15, 16, 17], данному критерию удовлетворяют только изингоподобные системы.

Ренормгрупповой подход с использованием е-разложения позволил получить значения критических индексов для неупорядоченных систем [18, 19, 20]. Вследствие плохой сходимости рядов е-разложения для систем, содержащих замороженные примеси, был применен теоретико-полевой подход непосредственно в пространстве с? = 3 [15, 16, 21], что позволило получить критические индексы в высоких порядках теории возмущений. С рекордной точностью в шестипетлевом приближении для слабо неупорядоченных систем критические индексы были получены в работе [22].

Экспериментальные исследования [23] показали хорошее согласие теоретических результатов для слабо неупорядоченных систем с беспорядком типа случайная температура с опытными данными. Однако, по-прежнему, много вопросов в проведенных исследованиях остаются открытыми. В частности, меняются ли значения критических показателей в зависимости от концентрации примесей и возникает ли новая перко-ляционная фиксированная точка в системах с большой концентрацией примесных атомов. Однозначного ответа на данные вопросы пока не существует.

В связи с выше изложенным целью настоящей диссертации является:

1. Численное определение с использованием методов Монте-Карло равновесных критических индексов и критических температур для трехмерной модели Изинга в широком диапазоне изменения спиновых концентраций (0.50 < р < 0.95), применяя процедуру конечноразмерного скей-линга с учетом асимптотических поправок к скейлингу.

2. Расчет значений динамического критического индекса г для однородных трехмерных и двумерных систем, описываемых моделью Изинга, а также слабо неупорядоченных изингоподобных систем методами суммирования асимптотических рядов.

3. Определение динамического критического индексам и равновесных критических индексов для слабо неупорядоченной трехмерной модели

Изинга со спиновой концентрацией р = 0.80, используя численный метод коротковременной динамики. Сопоставление полученных значений критических индексов с результатами теоретико-полевого расчета при применении методов суммирования асимптотических рядов.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Криницын, Александр Сергеевич

Заключение

В заключении перечислим основные результаты и выводы, полученные в данной диссертационной работе.

1. Осуществлено компьютерное моделирование равновесного критического поведения трехмерной неупорядоченной ферромагнитной модели Изинга со спиновыми концентрациями р = 0.95,0.80,0.60,0.50.

2. Впервые для исследования влияния структурного беспорядка на температурное поведение корреляционной длины и восприимчивости в критической области был применен метод конечноразмерного скейлин-га. Для определения функциональной формы скейлинговых функций и асимптотических значений корреляционной длины £ и восприимчивости X в критической области была применена полиномиальная аппроксимация как от переменной х = так и от ехр(—1/х), где Ь - линейный размер моделируемой системы.

3. Проведен расчет значений критических индексов и, 7 и критической температуры Тс с учетом поправки к скейлингу с определением соответствующего индекса м. Найденные значения критических индексов V и 7, а также вид скейлинговых функций, указывают на наличие двух классов универсального критического поведения, отвечающих слабой (р = 0.95,0.80) и сильной (р — 0.60,0.50) неупорядоченности. При этом, полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами экспериментальных исследований, результатами работ по численному моделированию методом Монте-Карло, а для слабо неупорядоченных систем с результатами теоретико-полевого описания.

4. Впервые осуществлено последовательное применение методов суммирования Паде-Бореля, Паде-Бореля-Лероя и конформного отображения с последующим применением аппроксимации Паде (метод конформного Паде-Бореля) для определения значений динамического критического индекса 2 для однородных трехмерных и двумерных систем, описываемых моделью Изинга, а также слабо неупорядоченных изингопо-добных систем. Найденные значения индекса г находятся в достаточно хорошем согласии с экспериментальными исследованиями критической динамики изинговских антиферромагнетиков и результатами компьютерного моделирования критической динамики методами Монте-Карло.

5. Впервые, используя метод коротковременной динамики, определены динамический индекс г, равновесные критические индексы, а также индекс поправки к скейлингу для слабо неупорядоченной {р = 0.80) трехмерной модели Изинга. Полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами теоретико-полевого описания, результатами моделирования другими методами критического поведения модели, а также согласуются с результатами экспериментальных исследований изинговских неупорядоченных магнетиков.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Криницын, Александр Сергеевич, 2007 год

1. Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов // ЖЭТФ. - 1937. - Т. 7.- С. 19.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 1976.

3. Onsager L. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Phys. Rev. Phys. Rev. Lett. - 1944. - V. 65. - P. 117.

4. Паташинский A. 3., Покровский В. Л. Фазовый переход второго рода в бозе-жидкости // ЖЭТФ. 1964. - вып. 3. - С. 46.

5. Паташинский А. 3., Покровский В. Л. О поведении упорядочивающихся систем вблизи точки фазового перехода // ЖЭТФ. 1966. -вып. 2. - С. 50.

6. Паташинский А.З., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982. - 400 с.

7. Kadanoff L. P. Scaling laws for Izing models near Tc // Physica. 1966.- V. 6. P. 2.

8. Wilson K. G., Ficher M. E. Critical exponent in 3.99 dimensions // Phys. Rev. Lett. 1972. - V. 28. - № 4. - P. 240-241.

9. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. М.: Мир, 1975.

10. Поляков А. М. Свойства далеких и близких корреляций в критической области // ЖЭТФ. 1969. - Т. 57. - С. 271.

11. Мигдал А. А. Диаграммная техника вблизи точки Кюри и фазовый переход в бозе-жидкости // ЖЭТФ. 1968. - Т. 5. - С. 55.

12. Di Castro С., Jona-Lasinio G. Renormalization group approach to critical phenomena. Phase transition and critical phenomena, ed. C. Domb and Lebowitz J. L. // New York: Acad, press. - 1976. - V. 6. - P. 508-558.

13. Harris A. B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // J. Phys. C. 1974. - V. 7. - P. 1671.

14. Соколов А. И., Шалаев Б. H. О критическом поведение модели Изин-га с примесями // ФТТ. 1981. - Т. 23. - № 7. - С. 2058-2063.

15. Jug G. Critical behaviour of disordered spin systems in two and three dimensions // Phys. Rev. B. 1983. - V. 29. - № 1. - P. 607-612.

16. Mayer I. O. Critical exponents of the dilute Ising model from four-loop expansion // J. Phys. A. 1989. - V. 22. - P. 2815-2823.

17. Mayer I.O., Sokolov A.I., Shalaev B.N. Critical exponents for cubic and impure uniaxial crystals: most accurate theoretical values // Ferroelectries. 1989. - V. 95. - № 1. - P. 93-96.

18. Хмельницкий Д. E. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах // ЖЭТФ. 1975. - Т. 68. - № 5. - С. 1960-1968.

19. Lubensky Т. С. // Phys. Rev. В. 1975. - V. И. - № 9. - P. 3573-3580.

20. Mukamel D., Grinstein G. // Phys. Rev. B. 1981. - V. 25. - № 1. - P. 381-388.

21. Pakhnin D. V., Sokolov D. V. // Phys. Rev. B. 2000. - V. 61. - P. 15130.

22. Pelissetto A. and Vicari E. // Phys. Rev. B. 2000. - V. 62. - P. 6393.

23. Birgeneau R. J., Cowly R. A., Shirane G., et al. // Phys. Rev. B. 1983. - V. 27. - P. 6747.

24. Изюмов Ю. А., Сыромятников В. H. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. М.: Наука, 1984.

25. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980.

26. Доценко B.C. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. 1995. - Т. 165. - С. 481.

27. Изюмов Ю.А., Медведев Е.А. Статистическая механика магнито-упорядоченных систем. М.: Наука, 1987.

28. Ising Е. // Z. Physik. 1925. - V. 31. - Р. 253.

29. Peierls R. // Helv. Phys. Acta. 1936. - V. 7. - supp. 2. - P. 81.

30. Kramers H.A., Wannier G.H. // Phys. Rev. 1941. - V. 60. - P. 252.

31. Metropolis N., et. al. // J. Chem. Phys. 1953. - V. 6. - P. 1087.

32. Wolff U. // Phys. Rev. Lett. 1989. - V. 62. - P. 361.

33. Swendsen R. H., Wang J.-S. // Phys. Rev. Lett. 1987. - V. 58. - P. 86.

34. Dunlap R. A., Gottlied A. M. // Phys. Rev. B. -1981. V. 21. - P. 6106.

35. Slanic Z., Belanger D. P. and Fernandez-Baca J. A. Equilibrium random-field Ising critical scattering in the antiferromagnet Fe(0.93)Zn(0.07)F2 // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 82. - P. 426.

36. Landau D.P. // Phys. Rev. B. 1980. - V. 22. - P. 2450.

37. Hukushima K.J. // Phys. Soc. Jpn. 2000. - V. 69. - P. 631.

38. Ballesteros H.G., Fernandez L.A., Martin-Mayor V., et. al. Critical exponents of the three dimensional diluted Ising model // Phys. Rev. B.- 1998. V. 58. - P. 2740.

39. Varnashev К. B. Stability of a cubic fixed point in three dimensions. Critical exponents for generic N // Phys. Rev. B. 2000. - V. 61. - P. 14660.

40. Фольк P., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН.- 2003. Т. 173. - С. 175-200.

41. Meyer G.M., Dietrich O.W. // J. Phys. С: Solid State Phys. 1978. -V. 11.- P. 1451.

42. Cowley R.S., Karneiro K. // J. Phys. C: Solid State Phys. 1980. - V. 13. - P. 3281.

43. Belanger D.P., et. al. // J. Magn. Magn. Matter. 1980. - V. 15-18. -P. 807.

44. Grinstein G., Luther A. Application of the renormalization group to phase transition in disordered systems // Phys. Rev. B. 1976. - V. 13. - P. 1329.

45. Emery V.J. // Phys. Rev. B. 1975. - V. 11. - P. 239.

46. Brout R. // Phys. Rev. 1959. - V. 115. - P. 824.47. t'Hooft G., Vetman M. // Nucl. Phys. B. 1972. - V. 44 - P. 189; t'Hooft G. // Nucl. Phys. B. - 1973. - V. 61. - P. 455.

47. Parisi G. Field-theoretic approach to second-order phase transitions in two- and three-dimensional systems //J. Stat. Phys. 1980. - V. 23. -P. 49.

48. Wegner F.J. // Phys. Rev. B. 1972. - V. 5. - P. 4529.

49. Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. in Phase transition and critical phenomena, 6 // London: Academic Press. 1976; Amit D.J. Field theory, the renormalization group, and critical phenomena 2nd ed. // Singapore: World Scientific. - 1989.

50. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena // Oxford: Clarendon Press. 1996. - P. 1008.

51. Pelissetto A., Vicari E. Critical Phenomena and Renormalization-Group Theory // Phys. Rep. 2002. - V. 368. - P. 549.

52. Scholms R., Dohm V. // Europhys. Lett. 1987. - V. 3. - P. 413; Scholms R., Dohm V. // Nucl. Phys. B. - 1989. - V. 328. - P. 639.

53. Бейкер Г. Аппроксимация Паде. М.: Мир, 1986.

54. Le Guillou J. С., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory // Phys. Rev. B. 1980. - V. 21. - P. 3976.56. von Ferber C., Holovatch Yu. Multifractality of Brownian motion near absorbing polymers // Phys. Rev. E. 1999. - V. 59. - P. 6914.

55. Фольк P., Головач Ю., Яворский Т. // Письма в ЖЭТФ. 1999. - V. 69. - Р. 698.

56. Folk R., Holovatch Yu., Yavors'kii Т. The correction-to-scaling exponent in dilute systems // Phys. Rev. B. 2000. - V. 61 - P. 15114.

57. Binder K. Monte-Carlo methods in statistical physics // Berlin: Springer Varlag. - 1979.

58. Marro J., Labarto A., Tejada J. Critical behaviour of Ising models with static site dilution // Phys. Rev. B. 1986. - V. 34. - P. 347.

59. Chowdhury D., Stauffer D. Monte Carlo simulation of three-dimensional diluted Ising model // J. Stat Phys. 1986. - V. 44. - P. 203.

60. Wang J.-S., Chowdhury J. The critical behaviour of three-dimensional dilute Ising model: universality and the Harris criterion //J. Phys. (Paris). 1989. - V. 50. - P. 2905.

61. Holey Т., Fahnle M. // Phys. Rev. B. 1990. - V. 41,- P. 11709.

62. Heuer H.-O. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising ferromagnets // Phys. Rev. B. 1990. - V. 42. - P. 6476; Europhys. Lett. - 1990. - V. 12. - P. 551.

63. Heuer H.-O. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising ferromagnets // Comput. Phys. Commun. 1990. - V. 59. - P. 387.

64. Heuer H.O. Critical crossover phenomena in disordered Ising systems // J. Phys. A. 1993. - V. 26. - L333.

65. Wang J.S., Wohlert M., Muhlenbein H., et. al. The critical behaviour of the two-dimensional dilute Ising magnet // Physica A. 1990. - V. 166. - P. 173.

66. Прудников В. В., Вакилов А. Н. Компьютерное моделирование критической динамики разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. 1993. -V. 103. - Р. 962.

67. Wiseman S. and Domany Е. Self-Averaging, Distribution of Pseudo-Critical Temperatures and Finite Size Scaling in Critical Disordered Systems // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 81. - P. 22; Phys. Rev. E. - 1998. - V. 58.- P. 2938.

68. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Бабаев А. Б. Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // ЖЭТФ. 2004. - Т. 126. - С. 1377-1383.

69. Майер И.О., Соколов А.И. // ФТТ. 1984. - Т. 26. - С. 3454.

70. Kim J.K.,de Souza A.J. and Landau D.P. Numerical Computation of Finite Size Scaling Functions: An Alternative Approach to Finite Size Scaling // Phys. Rev. E. 1996. - V. 54. - P. 2291.

71. Прудников В. В.,Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ. 2007. - V. 132. - вып. 2. - С. 417-425.

72. Прудников В.В.Друдников П.В., Вакилов А. Н., Криницын A.C. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга с учетом конечномерных эффектов // Вестник ОмГУ. 2007. - № 2. - С. 41-45.

73. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Vakilov A.N., Krinitsyn A.S. Computer Simulation of the Critical Behavior of 3D Disordered Ising Model // e-print: cond-mat/0709.1450. 2007. - P. 1-14.

74. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Krinitsyn A.S., Vakilov A.N. Numerical investigation of critical behavior of the three-dimensional diluted Ising model // Abstracts of the Third International Workshop (Hangzhou, China, 2006.). P. 14.

75. Hennecke М. and Heyken U. // J. Stat. Phys. 1993. - V. 72. - P. 829.

76. Ivaneyko D., Ilnytskyi J., Berche B,, et. al. // e-print cond-mat/0603521. 2006.

77. Belanger D.P., King A.R. and Jaccarino V. // Phys. Rev. B. 1986. -V. 34.- P. 452.

78. Belanger D. P., Slanic Z. and Fernandez-Baca J. A. // J. Magn. Magn. Mater. 1998. - V. 177-181. - P. 171.

79. Mitchell P. W., Cowely R. A., Yoshizawa H., et. al. // Phys. Rev. B. -1986. V. 34. - P. 4719.

80. Calabrese P., Martin-Mayor V., Pelissetto A., et. al. // Phys. Rev. E. -2003. V. 68. - P. 036136.

81. Ivaneyko D., Ilnytskyi J., Berche В., et. al. // Condens. Matter Phys. -2005. V. 8. - P. 149.

82. Прудников В. В.,Вакилов А. H. // Письма в ЖЭТФ. 1992. - Т. 55.- С. 709.

83. Hohenberg Р. С., Halperin В. I. // Rev. Mod. Phys. 1977. - V. 49. - P. 435.

84. Bausch R., Janssen H.K., Wagner H. // Z. Phys. В. 1976. - V. 24. -P. 113.

85. De Dominicis С., Brezin E., Zinn-Justin J. // Phys. Rev. B. 1975. - V. 12. - P. 4945; Антонов H. В., Васильев A. H. // ТМФ. - 1984. - P. 60.- P. 59.

86. Halperin B.I., Hohenberg P.C., Ma S. // Phys. Rev. Lett. 1972. - V. 29. - P. 1548; Halperin В.I., Hohenberg P.C., Siggia E.D., Ma S. // Phys. Rev. B. - 1976. - V. 13. - P. 2110.

87. Прудников В. В., Вакилов А. Н. // ЖЭТФ. 1992. - Т. 101. - С. 1853.

88. Прудников В. В., Иванов А. В., Федоренко А. А. // Письма в ЖЭТФ.- 1997. Т. 66. - С. 793.

89. Прудников В. В., Белим С. В., Иванов А. В., и др. // ЖЭТФ. 1998.- Т. 114. С. 972.

90. Baker G. A., Nickel В. G., Green М. S., Meiron D. I. // Phys. Rev. Lett.- 1976. V. 36. - P. 1351; Phys. Rev. B. - 1978. - V. 17. - P. 1365.

91. Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. // Phys. Rev. Lett. 1977. - V. 39. - P.95.

92. Antonenko S.A., Sokolov A.I. // Phys. Rev. B. 1995. - V. 51. - P. 1894.

93. Криницын A.C., Прудников В.В., Прудников П.В. Расчет динамического критического индекса методом суммирования асимптотических рядов // ТМФ. 2006. - Т. 147. - № 1. - С. 137-154.

94. Васильев А. Н. Квантовоиолевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике // С.-Петербург: ПИ-ЯФ, 773. 1998.

95. Липатов Л.Н. // ЖЭТФ. 1977. - Т. 72. - С. 411.

96. Bresin Е., Le Guillou J. С., Zinn-Justin J. // Phys. Rev. D. 1977. -V. 15. - P. 1544.

97. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: Иностр. лит., 1951.

98. Казаков Д. И., Тарасов О. В., Ширков Д. В. // ТМФ. 1979. - V. 38. - Р. 15; Казаков Д.И., Попов B.C. // ЖЭТФ. - 2002. - Т. 122. -С. 675.

99. Суслов И. М. // ЖЭТФ. 2001. - Т. 120. - С. 5.

100. Honkonen J., Komarova M.V., Nalimov M.Yu. // Nucl. Phys. B. -2005. V. 714. - P. 292; Honkonen J., Komarova M. V., Nalimov M.Yu. // arXiv:hep-th/0406168. - 2004.

101. Benber C.M, Wu T.T. // Phys. Rev. 1969. - V. 184. - P. 1231.

102. Cizek J., Vrskay E.R. // Int. J. Quantum Chem. 1982. - V. 21. - P. 27.

103. Belanger D.P., et. al. // J. de Physique Collque C8. 1988. - V. 49. -P. 1229.

104. Pearson R.B., Richardson J.L., Toussaint D. // Phys. Rev. B. 1985. - V. 31. - P. 4472.

105. Wansleben S., Landau D. P. // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43. - P. 6006.

106. Gropengiessen U. // Physica A. 1995. - V. 213. - P. 308.

107. Grassberger P. // Physica A. 1995. - V. 214. - P. 547.

108. Kalle C. // J. Phys. A. 1984. - V. 17. - P. L801.

109. Williams J.K. // J. Phys. A. 1985. - V. 18. - P. 49.

110. Mori M., Tsuda Y. // Phys. Rev. B. 1988. - V. 37. - P. 5444.

111. Poole P.H., Jan N. // J. Phys. A. 1990. - V. 23. - P. L453.

112. Prudnikov V. V., Markov 0. N. // Evrophys. Lett. 1995. - V. 29. - P. 245.

113. Wang F., Hatane N., Suzuki M. // J. Phys. A. 1995. - V. 28. - P. 4543.

114. Nightingale M.P., Blote H.W. // Phys. Rev. B. 2000. - V. 62. - P. 1089.

115. Racz Z., Collins M.F. // Phys. Rev. B. 1976. - V. 13. - P. 3074.

116. Heuer H.-O. // J. Phys. A. 1993. - V. 26. - P. L341.

117. Parisi G., Ricci-Tersenghi F., Ruiz-Lorenzo J.J. // Phys. Rev. E. -1999. V. 60.- P. 5198.

118. Rosov N., Hohenemser C., Eibschutz M. // Phys. Rev. B. 1992. - V. 46. - P. 3452.

119. Zheng B. // Int. J. Mod. Phys. B. 1998. - V. 12. - P. 1419.

120. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Исследование неравновесной критической релаксации в трехмернойнеупорядоченной модели Изинга // Вестник ОмГУ. 2007. - № 3. -С. 16-20.

121. Janssen Н.К., Schaub В., Schmittmann В. // Z. Phys. В. 1989. - V. 73. - Р. 539.

122. Huse D. // Phys. Rev. В. 1989. - V. 40. - P. 304.