Исследование критического поведения неупорядоченных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Бородихин, Василий Николаевич

• Бородихин, Василий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бородихин, Василий Николаевич

Введение.

1 Критические явления

1.1 Введение.

1.1.1 Критические индексы.

1.1.2 Теория самосогласованного поля.

1.2 Учет флуктуации.

1.2.1 Уравнения ренормгруппы.

1.2.2 Критические индексы с учетом флуктуационных эффектов

1.3 Модель Изинга. Алгоритмы.

1.3.1 Модель Изинга. История и значение.

1.3.2 Основные определения модели.

1.3.3 Алгоритм Метрополиса

1.3.4 Алгоритм Вольфа.

1.4 Влияние примесей.

1.4.1 Влияние примесей: случайные немагнитные примеси

1.4.2 Влияние примесей: случайные немагнитные примеси. Теоретико-полевой подход.

1.4.3 Компьютерное моделирование неупорядоченных систем

1.5 Влияние примесей: случайные магнитные поля.

1.5.1 Фазовые переходы в системах со случайными магнитными полями.

1.5.2 Скейлинговые соотношения

1.5.3 Ренормгрупповое описание беспорядка типа случайное магнитное поле.

1.6 Спиновые стекла.

1.7 Выводы и задачи исследования.

Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло

2.1 Введение

2.2 Модель

2.3 Результаты

2.4 Анализ результатов и выводы

Исследование влияния случайных магнитных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели

3.1 Введение

3.2 Учет влияния случайных магнитных полей.

3.2.1 Гауссово распределение случайных магнитных полей

3.2.2 Бимодальное распределение

3.3 Критические индексы системы со случайными полями

3.4 Феноменологическое обобщение модели.

3.5 Анализ результатов. Выводы.

Определение критических параметров слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга

4.1 Введение.

4.2 Модель.

4.3 Методика компьютерного моделирования критического поведения неупорядоченной модели Изинга.

4.4 Результаты компьютерного моделирования

4.5 Анализ результатов и основные выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование критического поведения неупорядоченных систем»

Фазовый переход - сложное и многогранное явление. Согласно Ландау фазовые переходы с качественной стороны характеризуются изменением симметрии системы а с количественной-параметром порядка, соответствующим данному изменению симметрии.

Теория Ландау [1, 2] была первой теорией, позволяющей с единой точки зрения подходить к проблеме критических явлений, независимо от их природы. Однако большинство количественных результатов этой теории не соответствовали реальному поведению критических систем. Так в 1944 году Л. Онсагером [3] было найдено точное решение модели Изинга. Полученные им результаты резко отличались от результатов предсказываемых теорией Ландау. Эксперименты на различных физических объектах также показывали отличие критического поведения от результатов теории Ландау.

Начало современной теории критических явлений, учитывающей крупномасштабные долгоживущие флуктуации было заложено в работах А.З. Паташинского и В.Л. Покровского [4, 5, б]. Ими была сформулирована гипотеза подобия критических флуктуаций. Каданов [7] сформулировал идею масштабной инвариантности термодинамических свойств систем в окрестности критических точек.

Основываясь на гипотезе подобия Вильсон [8, 9] развил метод ренор-мализационной группы, применительно к исследованию критических явлений. Все критические индексы были получены Вильсоном в виде ряда по малому параметру е (е = 4 — d, где d - размерность пространства).

Поляков и Мигдал [10, 11] указали на существование аналогии между статистическим описанием поведения систем при фазовых переходах второго рода и квантовой теорией поля. Основываясь на этом Ди Кастро и Иона-Ласинио [12] впервые использовали теоретико - полевой подход для решения проблем фазовых переходов.

Проблема влияния замороженных дефектов структуры на критическое поведение является важной как с теоретической так и практической точек зрения.

Исследования показали, влияние замороженных дефектов, проявляющиеся как случайное возмущение локальной температуры приводит к смене режима критического поведения, описываемого новым набором критических индексов. Это связано с тем, что присутствие точечных дефектов вызывает нарушение трансляционной инвариаитности системы, что приводит к рассеянию критических флуктуаций на дефектах структуры и дополнительному взаимодействию флуктуаций параметра порядка посредством поля дефектов.

В работе [13] сформулирован критерий, определяющий существенность влияния замороженных примесей на критические явления, называемый обычно критерием Харриса. В соответствии с ним присутствие замороженных точечных дефектов (например, примеси немагнитных атомов в ферро- или антиферромагнитных материалах) изменяет критические свойства систем, теплоемкость которых в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с показателем а > 0. Как показали исследования [14, 15, 16, 17] данному критерию удовлетворяют только изин-гоподобные системы.

Ренормгрупповой подход с использованием е - разложения позволил получить значения критических индексов для неупорядоченных систем [18, 19, 20]. В следствии плохой сходимости рядов е - разложения для систем содержащих замороженные примеси был применен теоретико - полевой подход непосредственно в пространстве d = 3 [15, 16, 21], что позволило получить критические индексы в высоких порядках теории возмущений. С рекордной точностью в шестипетлевом приближении для слабонеупорядоченных систем критические индексы были получены в работе [22].

Экспериментальные исследования [23] показали хорошее согласие теоретических результатов для слабонеупорядоченных систем с беспорядком типа случайная температура с опытными данными. Однако по-прежнему много вопросов здесь остаются открытыми. В частности меняется ли значения критических показателей в зависимости от концентрации примесей и возникает ли новая перколяционная фиксированная точка в системах с большой концентрацией примесных атомов. Однозначного ответа на данные вопросы пока не существует.

Для систем с беспорядком типа случайное магнитное поле наблюдается противоположная ситуация. Не смотря на многочисленные исследования продолжающиеся с 1975 после работ [24], где впервые был описан данный тип беспорядка в настоящее время существует совсем немного надежно установленных фактов о поведении систем со случайным магнитным беспорядком. В частности, природа фазового перехода в модели Изинга со случайными полями все еще остается невыясненной, а получаемые как теоретически так и при компьютерном моделировании таких систем результаты являются противоречивыми. Практически единственным надежно установленным фактом является то, что верхняя критическая размерность для этого фазового перехода (размерность системы, выше которой критические явления описываются теорией среднего поля) равна шести, в отличие от однородных систем, где она равна четырем. В последнее время в вопросе о нижней критической размерности перехода di в модели Изинга со случайными полями (размерность системы, выше которой осуществляется дальнее упорядочение при температурах отличных от нуля) при существующих аргументах как в пользу di=2 [24], так и в пользу di=3 [25] после работ [26, 27] исследователи пришли к заключению, что di=2.

Для описания влияния случайных полей на поведение магнитных систем используются две на качественном уровне эквивалентные модели: ферромагнитная модель Изинга со случайным магнитным полем (RFIM) [28] и неупорядоченная антиферромагнитная модель Изинга во внешнем однородном поле (DAFF) [29].

Реальные магнитные системы с эффектами случайных полей являются антиферромагнетиками с замороженными примесями немагнитных атомов, в поведении которых наряду с антиферромагнитным взаимодействием ближайших атомов проявляются эффекты влияния ферромагнитного взаимодействия атомов, следующих за ближайшими. В модели DAFF не учитывается конкуренция ферромагнитного взаимодействия, поэтому область ее реального применения, как и модели RFIM, довольно ограничена.

Природа фазового перехода в трехмерной модели Изинга до сих пор еще не ясна. Так в [30] было найдено что для модели RFIM при бимодальном распределении случайных магнитных полей существует трикритиче-ская точка. Однако для случая гауссовского распределения случайного магнитного беспорядка трикритическая точка не была выявлена, и т.о. в данной системе реализуется фазовый переход второго рода.

Методом высоко температурного разложения в [31] было найдено что фазовый переход в системах со случайными магнитными полями первого рода. Однако в более поздней работе [32] учет разложения до 15 - го порядка выявил непрерывный фазовый переход для обоих типов распределения.

Использование методов численного моделирования также не дало однозначного ответа. В работе [33] был выявлен фазовый переход первого рода, но в работах [34, 35] фазовый переход второго рода. Позднее в работах [36, 37] как для бимодального так и для гауссовского распределения было найдено логарифмическое поведение спонтанной намагниченности (/5 ~ 0), что подтверждается также ренормгрупповыми исследованиями с учетом преобразований Мигдала - Каданова [38, 39, 40]. Но среди полученных значений других критических показателей наблюдается существенное несоответствие. Так в ранних ренормгрупповых исследованиях систем со случайными магнитными полями [25] был открыт сдвиг размерности пространства d —> d—2, переводящий значения индексов для модели со случайными полями в значения индексов однородной модели. Позднее была обоснована необходимость использования дополнительного независимого критического показателя в [41, 42] для описания неупорядоченных систем со случайными магнитными полями. Однако разработанный в работе Брая и Мура [43] метод 'realspace' ренормгруппы с использованием преобразования Мигдала - Каданова [44, 45], учитывающий три независимых критических показателя не позволил получить адекватные значения основных критических индексов. Найденные данным методом значения основных критических показателей оказались существенно завышенными [38, 39, 40, 46].

Объяснение неадекватности результатов, получаемых пертурбативными методами дано в работе [47], где показана необходимость учета поправок во всех порядках теории возмущений для получения корректных результатов при исследовании неупорядоченных систем со случайными магнитными полями. В связи с этим резко возрастает роль непертурбативных методов исследования данных неупорядоченных систем в частности методов компьютерного моделирования а также использование различных точно решаемых моделей.

В связи с вышеизложенным цель настоящей диссертации является:

1. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло.

В рамках данного исследования провести:

- компьютерное моделирование методом Монте - Карло 3- х мерной антиферромагнитной модели Изинга со случайными магнитными полями с учетом конкурирующего взаимодействия спинов, следующих за ближайшими соседями в широкой области концентраций примесных атомов и внешних магнитных полей.

- определить тип возникающих в системе фазовых переходов в зависимости от концентрации примесей и магнитных полей с учетом спинового порога перколяции посредством анализа поведения различных физических величин таких как спонтанная намагниченность, шахматный параметр порядка, восприимчивости, кумулянтов Биндера и других. Исследовать условия возникновения спин - стекольных состояний.

- построить результирующую фазовую диаграмму модели.

- сопоставить полученные результаты с результатами других исследований систем со случайными магнитными полями.

2. Исследование влияния случайных магнитных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели.

В рамках данного исследования провести:

- развитие методики и осуществление решения модели Шнейдера -Штола - Бека с учетом гауссовского и бимодального распределения случайных магнитных полей.

- определение значений основных критических индексов в данной системе с учетом влияния случайных магнитных примесей.

- осуществить феноменологическое обобщение данной точно решаемой модели с учетом критического индекса нарушения масштабной инвариантности в.

- сопоставление полученных результатов с другими теоретическими, экспериментальными а также результатами компьютерного моделирования систем со случайными магнитными полями.

3. Определение критических параметров слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга.

В рамках данного исследования провести:

- развитие методики и осуществление компьютерного моделирования с использованием алгоритма Вольфа 3- х мерной модели Изинга с немагнитными примесями с концентрациями р = 0.95; 0.8.

- определение значений критических параметров эффективного гамильтониана системы, задающих фиксированную точку ренормгрупповых преобразований модели с учетом влияния немагнитных примесей.

- определение значений критических показателей в данной системе с использованием метода конечно - мерного скейлинга.

- сопоставление полученных значений критических параметров с теоретическими и экспериментальными результатами.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Бородихин, Василий Николаевич

Заключение

В заключении перечислим основные результаты и выводы, полученные в данной диссертационной работе.

1. Осуществлено компьютерное моделирование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло. Моделирование проводилось на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших соседних спинов, так и следующих за ближайшими. Исследования были проведены в широкой области концентраций примеси с учетом изменения внешнего магнитного поля h от /г = 1 до Л = 4 для систем с размерами L от L = 8 до L = 64. Построена фазовая диаграмма данной системы во всей области концентраций примеси.

2. Исследования показали, что для каждого фиксированного значения магнитного поля h всю область спиновых концентраций р можно разбить на несколько. В области ри < р < 1, где ри - величина порога примесной перколяции, реализуется фазовый переход второго рода из парамагнитного в антиферромагнитное состояние.

3. Установлено, что в области спиновых концентраций с рс < р < ри, где рс - величина порога спиновой перколяции, реализуется фазовый переход первого рода из парамагнитного в смешанное состояние, характеризующееся сложной доменной структурой из антиферромагнитных и ферромагнитных доменов, разделенных областями спин - стекольной фазы. С понижением спиновых концентраций и увеличением величины внешнего магнитного поля в системе осуществляется сокращение числа и размеров антиферромагнитных доменов и увеличение числа и размеров ферромагнитных доменов при сокращении относительного объема спин - стекольной фазы.

4. Показано, что в области спиновых концентраций с рс < р < ри эффекты случайных магнитных полей приводят в данной трехмерной неупорядоченной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями к смене антиферромагнитного основного состояния на спин - стекольное.

5. Проведено исследование влияния случайных магнитных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели Шнейдера - Што-ла - Бека. Отмечено, что использование как гауссовского так и бимодального распределения случайных магнитных примесей существенно не меняет характер критического поведения данной модели. Доказано, что учет добавки случайно полевого слагаемого приводит к сдвигу размерности пространства d —У d — 2 что соответствует ранним результатам, полученным ренормгрупповыми методами.

6. Проведено феноменологическое обобщение данной модели. Показано, что учет неоднородной феноменологической поправки позволяет получить значения критических индексов сопоставимые с результами найденными экспериментально и с использованием методов компьютерного моделирования при соответствующем выборе критического показателя в.

7. Осуществлено компьютерное моделирование трехмерной модели Изинга с беспорядком типа случайная температура методом Монте - Карло. Исследовались концентрации спинов 0,95 и 0,8. Для системы со спиновой концентрацией р = 0,95 измерения проводились при температурах Т=4,275; 4,285; 4,295; 4,315; 4,335, и размерах L=20 - 130, а для системы с р = 0,80 при температурах Т=3,51; 3,52; 3,53; 3,55; 3,57 и размерах L=20 - 170. С использованием метода конечно - мерного скейлинга осуществлено определение значений критических параметров эффективного гамильтониана модели, задающих фиксированную точку ренормгруппо-вых преобразований модели.

8. Показано, что полученные в рамках данной модели для различных р значения координат фиксированной точки и критических индексов хорошо согласуются друг с другом в пределах погрешности численного эксперимента и с теоретико-полевыми значениями, вычисленными в шестипет-левом приближении, что доказывает универсальность критического поведения слабо неупорядоченных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бородихин, Василий Николаевич, 2005 год

1. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов // ЖЭТФ. - 1937. - T.V1..- С.19.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1976.

3. Onsager L. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Phys. Rev. Lett. 1944. V.65. - P.117.

4. Паташинский A.3., Покровский В.Л. Фазовый переход второго рода в бозе-жидкости // ЖЭТФ. 1964. вып.З. - С.46.

5. Паташинский А.З., Покровский В.Л. О поведении упорядочивающихся систем вблизи точки фазового перехода // ЖЭТФ. 1966. вып.2.- С.50.

6. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982.

7. Kadanoff L.P. Scaling laws for Izing models near Tc // Physica. 1966. -V.6. - P.2.

8. Wilson K.G., Ficher M.E. Critical exponent in 3.99 dimensions // Phys. Rev. Lett. 1972. V.28. - N4. P.240-241.

9. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е- разложение.- М.: Мир, 1975.

10. Поляков A.M. Свойства далеких и близких корреляций в критической области // ЖЭТФ. 1969. - Т.57. - С.271.

11. Мигдал А.А. Диаграммная техника вблизи точки Кюри и фазовый переход в бозе-жидкости // ЖЭТФ. 1968. - вып.5. - С.55.

12. Di Castro С., Jona-Lasinio G. Renormalization group approach to critical phenomena // Phase transition and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. New York: Acad, press. - 1976. - V.6. - P.508-558.

13. Harris A.B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // J. Phys. C. 1974. - V.7. - N6. - P.1671-1692.

14. Соколов А.И., Шалаев Б.Н. О критическом поведение модели Изинга с примесями // ФТТ. 1981. - Т.23. - N7. - С.2058-2063.

15. Jug G. Critical behaviour of disordered spin systems in two and three dimensions // Phys. Rev. B. 1983. - V.29. - N1. - P.607-612.

16. Mayer I.O. Critical exponents of the dilute Ising model from four-loop expansion // J. Phys. A. 1989. - V.22. - P.2815-2823.

17. Mayer I.O., Sokolov A.I., Shalaev B.N. Critical exponents for cubic and impure uniaxial crystals: most accurate theoretical values // Ferroelectries. 1989. V.95. - N1. P.93-96.

18. Хмельницкий Д.Е. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах // ЖЭТФ. 1975. - Т.68. - N5. - С.1960-1968.

19. Lubensky Т.С. // Phys. Rev. В. 1975. - V.11. - N9. - Р.3573-3580.

20. Mukamel D., Grinstein G. // Phys. Rev. В. 1981. - V.25. - N1. - P.381-388.

21. Pakhnin D.V., Sokolov D.V. // Phys. Rev. B. 2000. V.61. - P.15130.

22. Pelissetto A., Vicari E. // Phys. Rev. B. 2000. - V.62. - P.6393., e-print cond-mat /0002402.

23. Birgeneau R.J., Cowlly R.A., Shirane G., Jaccarino V. // Phys. Rev. B.- 1983. V.27. - N12. - P.6747-6757.

24. Imry Y., Ma S.K. Random-Field Instability of the Ordered State of Continuous Simmetry // Phys. Rev. Lett. 1975. - V.35. - P.1399.

25. Parisi G., Sourlas N. Random Magnetic Fields, Supersimmetry, and Negative Dimensions // Phys.Rev.Lett. 1979. - V.43. - P.744.

26. Imbrie J.Z. Lower Critical Dimension of the Random-Field Ising Model // Phys.Rev.Lett. 1984. - V.53. - P.1747.

27. Bricmont J., Kupiainen A. Lower critical dimension for the random-field Ising model // Phys. Rev. Lett. 1987. - V.59. - P.1829.

28. Belanger D.P., Young A.P. //J. Magn. Magn. Mater. 1991. - V.100. -P.272.

29. Grest G.S., Soukoulis C.M., Levin K. Comparative Monte Carlo and mean-field studies of random-field Ising systems // Phys. Rev. B. V.33.- P.7659.

30. Aharony A. Critical phenomena in disordered systems // Phys. Rev. B. -1978. V.18. - P.3318.

31. Khurana A.F. et al. // Phys. Rev. Lett. 1985. - V.54. - P.357., Phys. Rev. Lett. - 1986. V.55. - P.856.

32. Gofman et al. // Phys. Rev. Lett. 1993. - V.71. - P.1569., Phys. Rev B.- 1996. V.53. - P.6362.

33. Young A.P., Nauenberg M. Quasicritical Bihavior and First-Order Transition in the d=3 Random-Field Ising Model // Phys. Rev. Lett.- 1985. V.54. - P.2429.

34. Ogielski A.T., Huse D.A. Critical behavior of the three-dimensional dilute Ising antiferromagnet in a field // Phys. Rev. Lett. 1986. - V.56. - P.1298.

35. Ogielski A.T. Integer optimization and zero-temperature fixed point in Ising random-field systems // Phys. Rev. Lett. 1986. - V.57. - P.1251.

36. Rieger H., Young P. Critical exponets of the three-dimensional random field Ising model // J. Phys. A. 1993. - V.26. - P.5279.

37. Rieger H. Critical behavior of the 3D random field Ising model: Two-exponent scaling or first order phase transition // Phys. Rev. B. 1995.- V.52. P.5659.

38. Cao M.S., Machta J. Migdal-Kadanoff study of the random-field Ising model // Phys. Rev. B. 1993. V.48. - P.3177.

39. Falicov A., Berker A.N., McKay S.R. Renormalization-group theory of the random field Ising model in three dimensions // Phys. Rev. B. 1995.- V.51. P.8266.

40. Fortin J.Y., Holdsworth P.C.W. Real space renormalization group analysis of the random field Ising model //J. Phys. A. 1996. - V.29. -P.539-545.

41. Fisher D.S. Scaling and Critical Slowing Down in Random Fields Ising Systems // Phys. Rev. Lett. 1986. - V.56. - P.416.

42. Villain J. // J. Physique. 1985. - V.46. - P. 1843.

43. Bray A.J., Moore M.A. Scaling theory of the random-field Ising model // J. Phys. C. 1985. - V.18, P.927.

44. Migdal A. A. // Sov. Phys.-JETP. 1976. - V.42. - P.743.

45. Kadanoff L. P. // Ann. Phys. 1976. - V.100. - P.359.

46. Fortin J.Y., Holdsworth P.C.W. Critical behaviour of the random field Ising model 11 J. Phys. A. 1998. - V.31. - P.85-105.

47. Feldman D.E. Critical Exponents of the Random-Field O(N) Model // Phys. Rev. Lett. 2002. - V.88. - P.202.

48. Изюмов Ю.А.,Сыромятников B.H. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. М.: Наука, 1984.

49. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980.

50. Доценко B.C. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. 1995. - Т.165. - С.481.

51. Изюмов Ю.А. Медведев М.В. Статистическая механика магнитоупо-рядоченных систем. М.: Наука, 1987.

52. Ising Е. // Z. Physik. 1925. - V.31. - Р.253.

53. Peierls R. // Helv. Phys. Acta. 1936. - V.7. - supp.2. - P.81.

54. Kramers H.A., Wannier G.H. // Phys. Rev. 1941. - V.60. - P.252.

55. Metropolis N., et al. // J. Chem. Phys. 1953. - V.6. - P.1087.

56. Wolff U. // Phys.Rev.Lett. 1989. - V.62. - P.361.

57. Dunlap R.A., Gottlied A.M. // Phys. Rev. B. 1981. - V.21. - P.6106.

58. Hastings J.M., Corliss L.M., Kunnmann W. // Phys. Rev. B. 1985. -V.31. - P.2902.

59. Belanger D.P., King A.R., Jaccarino V. // Phys. Rev. B. 1986. - V.34. - P.452.

60. Rosov N. et al. // Phys. Rev. B. 1988. - V.37. - P.3265.

61. Ramos C.A., King A.R., Jaccarino V. // Phys. Rev. B. 1988. - V.37. -P.5493.

62. Ferreira I.B., King A.R., Jaccarino V. // Phys. Rev. B. 1991. - V.43. -P.10797.63 64 [6566 676869 707172 73

63. Belanger D.P. et al. // Phys. Rev. B. 1996. - V.54. - P.3420.

64. Hill J.P. et al. // Phys. Rev. B. 1997. - V.55. - P.356.

65. Slanic Z., Belanger D.P., Fernandez-Baza J.A. Equilibrium random-field Ising critical scattering in the antiferromagnet Fe(0.93)Zn(0.07)F2 // Phys. Rev. Lett. 1999. - V.82. - P.426.1.ndau D.P. // Phys. Rev. B. 1980. - V.22. - P.2450.

66. Marro J., Labarto A., Tejada J. Critical behaviour of Ising models with static site dilution // Phys. Rev. B. 1986. - V.34. - P.347.

67. Chowdhury D., Stauffer D. Monte Carlo simulation of three-dimensional diluted Ising model // J. Stat Phys. 1986. - V.44. - P.203.

68. Braun P. et al. // J. Mod. Phys. B. 1989. - V.3. - P.1343.

69. Wang J-S. Chowdhury J. The critical behaviour of three-dimensional dilute Ising model: universality and the Harris criterion //J. Phys. (Paris). 1989. - V.50. - P.2905.

70. Wang J-S. et al. The critical behaviour of the two-dimensional dilute Ising, magnet // Physica A. 1990. - V.166. - P.173.

71. Holey Т., Fahnle M. // Phys. Rev. B. 1990. - V.41. - P.11709.

72. Heuer H-O. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising ferromagnets // Phys. Rev. B. 1990. - V.42. - P.6476., Heuer H-O. // Europhys. Lett. - 1990. - V.12. - P.551.

73. Heuer H-O. Critical crossover phenomena in disordered Ising systems // J. Phys. A: Math. Gen. 1993. - V.26. - P.333.

74. Прудников В.В., Вакилов А.Н. Компьютерное моделирование критической динамики разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. 1993. - Т. 103. - С.962.

75. Hennecke М. // Phys. Rev. В. 1993. - V.48. - Р.6271.

76. Ballesteros H.G. et al. Critical exponents of the three dimensional diluted Ising model // Phys. Rev. B. 1998. - V.58. - P.2740.

77. Wiseman S., Domany E. Self-Averaging, Distribution of Pseudo-Critical Temperatures and Finite Size Scaling in Critical Disordered Systems // Phys. Rev. E. 1998. - V.58. - P.2938.

78. Marques M.I., Gonzalo J.A. Self-averaging of random and thermally disordered diluted Ising systems // Phys. Rev. E. 1999. - V.60. - P.2394.

79. Marques M.I., Gonzalo J.A. Dynamic Scaling in Diluted Systems Phase Transitions: Deactivation trough Thermal Dilution // Physica A. 2000.- V.284. P.187.

80. Hukushima K.J. // Phys. Soc. Jpn. 2000. - V.69. - P.631.

81. Swendsen R.H., Wang J-S. // Phys. Rev. Lett. 1987. - V.58. - P.86.

82. Varnashev K.B. Stability of a cubic fixed point in three dimensions. Critical exponents for generic N // Phys. Rev. B. 2000. - V.61. - P.14660.

83. Фольк P., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН. 2003.- Т.173. N2. - С.175-200.

84. Meyer G.M., Dietrich O.W. // J. Phys. С: Solid State Phys. 1978. -V.ll. - P.1451.

85. Cowley R.S., Karneiro K. // J. Phys. C: Solid State Phys. 1980. - V.13.- P.3281.

86. Belanger D.P. et al. //J. Magn. Magn. Matter. 1980. - V.15-18. - P.807.

87. Emery V.J. // Phys. Rev. B. 1975. - V.ll. - P.239.

88. Brout R. // Phys. Rev. 1959. - V.115. - P.824.

89. Parisi G. Field-theoretic approach to second-order phase transitions in two- and three-dimensional systems //J. Stat. Phys. 1980. - V.23. -P.49.

90. Wegner F.J. // Phys. Rev. B. 1972. - V.5. - P.4529.

91. Brezin E., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J., in Phase transition and critical phenomena. V.6. - London: Academic Press, 1976.; Amit D.J. -Field theory, the renormalization group, and critical phenomena 2nd ed., Singapore: World Scientific, - 1989.

92. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena, Oxford: Clarendon Press, 1996., Pelissetto A., Vicari E. Critical Phenomena and Renormalization-Group Theory // Phys. Rep. - 2002. - V.368. - P.549.

93. Scholms R., Dohm V. // Europhys. Lett. 1987. - V.3. - P.413., Scholms R., Dohm V. // Nucl. Phys. B. - 1989. - V.328. - P.639.

94. Бейкер Г. Аппроксимация Паде, М.: Мир, 1986.

95. Le Guillou J.С., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory // Phys. Rev. B. 1980. - V.21. - P.3976.99. von Ferber C., Holovatch Yu. Multifractality of Brownian motion near absorbing polymers // Phys. Rev. E. 1999. - V.59. - P.6914.

96. Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. // Письма в ЖЭТФ. 1999. -Т.69. - С.698.

97. Folk R., Holovatch Yu., Yavors'kii Т. The correction-to-scaling exponent in dilute systems // Phys. Rev. B. 2000. - V.61. - P.15114.

98. Binder K. Monte Carlo methods in statistical physics, Berlin: Springer- Varlag, 1979.

99. Heuer H-O. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising ferromagnets // Comput. Phys. Commun. 1990. - V.59. - P.387.

100. Ye F., Zhou L., Larochelle S. Order Parameter Criticality of the d=3 Random-Field Ising Antiferromagnet Fe(0.85)Zn(0.15)F2. // Phys. Rev. Lett. 2002. - V.89. - P.157202.

101. Villian J. // Physique Lett. 1982. - V.43. - P.808.

102. Bostoen C., Michel K.H. // Z. Phys. B. 1988. - V.71. - P.369.

103. Natterman T. // Ferroelectrics. 1990. - V.104. - P. 171.108. de Gennes P.G. // J. Phys. Chem. 1984. - V.88. - P.6469.

104. Porto J.V., Parpia J.M. // Phys. Rev. Lett. 1995. - V.74. - P.4667.

105. Hook J. // Bull. Am. Phys. Soc. 1997. - V.42. - P.779.

106. Matsumoto K., Porto J.V., Pollak L., et al. // Phys. Rev. Lett. 1997.- V.79. P.253.

107. Clark N.A., Bellini Т., Malzbender R.M., et al. // Phys. Rev. Lett. -1993. V.71. - P.3505.

108. Naga H., Carland C.V. // Liq. Crist. 1997. - V.22. - P.275.

109. Fenzl W., Peisl J. // Phys. Rev. Lett. 1985. - V.54. - P.2064.

110. Blatter G., Feigelman M.V., Geshkenbein V.B. and Larkin A.I. // Rev. Mod. Phys. 1994. - V.66. - P.1125.

111. Giamarchi Т., Le Doussal P. Statics and Dynamics of Disordered Elastic Systems. E-prints archive cond. mat./9705096, 1997.

112. Gutin A.M. et al. Cooperativity of Protein Folding and the Random-Field Ising Model. E-prints archive cond. mat./9606136, 1996.

113. Nattermann T. Theory of the random field Ising model. E-prints archive cond. mat./9705295, 1997.

114. Schwartz M., Soffer A. Exect Ineqality for Random Systems: Appication to Random Fields // Phys. Rev. Lett. 1985. - V.55. - P.2499.

115. Доценко B.C. // УФН. 1993. - T.163. - C.l.

116. Binder K., Young A.P. // Rev. Mod. Phys. 1986. - V.58. - P.801.

117. Alba M. et al. // J. Phys. C. 1982. - V.15. - P.5441.

118. Vincent E.J., Hammann J. // J. Phys. C. 1987. - V.20. - P.2659.

119. Alba M. et al. // Europhys. Lett. 1986. - V.2. - P.45.

120. Cardy J. // Phys. Rev. B. 1984. - V.29. - P.505.

121. Landau D.P. Magnetic Tricritical Points in Ising Antiferromagnets // Phys. Rev. Lett. 1972. - V.28. - P.449.

122. Muller-Krumbhaar H., Landau D.P. Tricritical relaxation in an Ising-Glauber model with competing interactions // Phys. Rev. B. 1976. -V.14, P.2014.

123. Прудников В.В., Марков О.Н., Осинцев Е.В. Особенности фазовых превращений в неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга // ЖЭТФ. 1999. - Т.116. - С.953-961.

124. Binder К. // Z. Phys. В. 1981. - V.43. - P.119.

125. Andelman D., Orland H., and Wijewardhana L. Metastability in the random-field Ising model // Phys. Rev. Lett. 1984. - V.52. - P. 145.

126. Stauffer D., Hartzstein C., Binder K., and Aharony A. // Z. Phys. B: Condens. Matter. 1984. - V.55. - P.352.

127. Yoshizawa H. and Belanger D.P. // Phys. Rev. B. 1984. - V.30. -P.5220.

128. Pytte E., Imry Y., Mukamel D. // Phys. Rev. Lett. 1981. - V.46. -P.1173.

129. Прудников В.В., Бородихин В.Н. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте- Карло // ЖЭТФ. 2005. - Т.128. - вып.2.- С.337-343.

130. Schneider Т., Stoll Е., Beck Н. // Physica. 1975. - V.79A. - Р.201-216.

131. Плакида Н.М., Тончев Н.С. // ТМФ. 1985. - Т.бЗ. - С.270-279.

132. Плакида Н.М., Тончев Н.С. // Квантовые эффекты в d мерной модели структурного фазового перехода: Препринт Р17-85-400. Дубна: ОИЯИ. 1984.

133. Иванченко Ю.М., Лисянский А.А., Филиппов А.Э. // ТМФ. 1984.- Т.67. С.143-150.

134. Иванченко Ю.М., Лисянский А.А., Филиппов А.Э. // ФТТ. 1984. -Т.26. - С.2524-2526.

135. Иванченко Ю.М., Лисянский А.А., Филиппов А.Э. О точно решаемой модели фазовых переходов // ТМФ. 1987. - Т.71. - С.441-450.

136. Joyce C.S. Critical properties of spherical model, Phase transitions end critical phenomena, Eds. Domb C., Green M. S. N. Y.: Acad. Press. -1972. - V.2. - P.375-442.

137. Бородихин B.H., Прудников В.В. Исследование влияния случайных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели // Вестник ОмГУ. 1999. - вып.4. - С.37-39.

138. Newman М. Е. J. et al. Real-space renormalization group for the random field Ising model // Phys. Rev. B. 1993. - V.48. - P.16533.

139. Stinchcombe R.B. Phase transitions and critical phenomena, ed. by Domb C. and Lebowitz J.L., Acad.Press, New York. -1983. - V.7. - P.151.

140. Tsypin M.M. Effective Potential for Scalar Field in Three Dimensions: Ising Model in the Ferromagnetic Phase // Phys. Rev. B. 1997. - V.55.- P.8911.

141. Kim J.-K. Critical renormalized coupling constants in the symmetric phase of the Ising model // J. Phys. A. 2000. - V.33. - P.2675-2684.

142. Гулд X., Тобочник Я.К. Компьютерное моделирование в физике, М.: Наука, 1989.

143. Salas J., Sokal A. Universal Amplitude Ratios in the Critical Two-Dimensional Ising Model on a Torus // J. Stat. Phys. 2000. - V.98.- P.551.

144. Kim J.-K., de Souza A.J.F., and Landau D.P. Numerical Computation of Finite Size Scaling Functions: An Alternative Approach to Finite Size Scaling // Phys.Rev. E. 1996. - V.54. - P.2291.

145. Dotsenko Vic.S., Harris A.B., Sherrington D., Stinchcombe R.B. Replica Symmetry Breaking in the Critical Behaviour of the Random Ferromagnet // J.Phys. A. 1995. - V.28. - P.3093., Dotsenko Vic.S. and Feldman

146. D.E. Replica Symmetry Breaking and the Renormalization Group Theory of the Weakly Disordered Ferromagnet //J. Phys. A. 1995. - V.28. -P.5183.

147. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // ЖЭТФ. 2004. - Т.126. - С.1377-1383.

148. Майер И.О., Соколов А.И. // ФТТ. 1984. - Т.26. - С.3454.

149. Прудников В.В., Бородихин В.Н., Вакилов А.Н., Прудников П.В. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // Мат.Струк.Мод. 2003. - вып. 11.- С.108-123.

150. Borodikhin V.N., Prudnikov V.V. Study of a Disordered Antiferromagnetic Ising Model with Random Fields // EASTMAG 2004. (Krasnojarsk, 2004), 2004. - P.66.

151. Бородихин B.H., Дмитриев Д.В., Прудников В.В. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей // Известия вузов. Физика. 2004. - N5.- С.58-62.

152. Borodikhin V.N. and Prudnikov V.V. Study of a Disordered Antiferromagnetic Ising Model with Random Fields // The Physics of Metals and Metallography. 2005. - V.99. - Suppl.l. - P.24-27.

153. Prudnikov V.V. and Borodikhin V.N. Monte Carlo Simulation of a Random-Field Ising Antiferromagnet. e-print cond-mat/0510052.

154. Бородихин B.H., Вакилов A.H., Прудников В.В. Определение критических параметров эффективного гамильтониана слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга // Математические структуры и моделирование. 2001. - вып.8. - С.56-65.