Исследование конвекции жидкости в тороидальном канале тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Дроздов, Сергей Михайлович

• Дроздов, Сергей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дроздов, Сергей Михайлович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение

Глава - 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ В ТОРОИДАЛЬНОМ КАНАЛЕ

1.1 Математическая модель задачи

1.2 Исследование физической реализуемости базовой математической модели

конвекции в тороидальном канале

1.3Анализ результатов численного исследования конвекции жидкости в

тороидальном канале

Глава - 2. МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1 Периодические решения задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

2.2 Расчет периодических решений системы Лоренца

2.3 Квазипериодические решения системы нелинейных ОДУ

2.4 Периодические по времени решения начально-краевых задач для систем нелинейных уравнений в частных производных

Глава - 3 . ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ В ТОРОИДАЛЬНОМ КАНАЛЕ

3.1 Экспериментальная установка и измерительная система

3.2 Анализ результатов экспериментов

3.2.1 Стационарные и переходные к ним режимы конвекции

3.2.2 Нестационарные режимы конвекции

Выводы

Литература

Иллюстрации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование конвекции жидкости в тороидальном канале»

Введение

Переход от ламинарной к турбулентной форме движения жидкой среды, причины возникновения случайности в эволюции аэрогидродинамических систем, роль нелинейности, неустойчивости, диссипации энергии и количества эффективно взаимодействующих степеней свободы - все эти проблемы характеризуются стойким и пристальным интересом исследователей и являются фундаментальными в механике. Существует несколько гипотетических сценариев перехода к турбулентности (Ландау-Хопф, Лоренц, Рюэль-Такенс и др.) и во всех критерием турбулентности выступает случайность поведения системы во времени.

По теории Ландау-Хопфа [1, 2] в гидродинамической системе со стационарными граничными условиями имеется управляющий параметр Р (число Рейнольдса Ке, число Релея Ра и др.). Если Р меньше некоторого критического значения Р*, то в системе есть лишь устойчивое стационарное состояние. При Р > Р* стационарное состояние теряет устойчивость и рождается предельный цикл с некоторой частотой ©1 и произвольной фазой ф1. При некотором Рг > Р* мода частоты со1 тоже теряет устойчивость и возникает течение с двумя основными частотами ©1, ю2 , в общем случае, не кратными друг другу. Фазы этих частот произвольны. При дальнейшем увеличении Р > Р3 > Р2 возникает третья частота ш3 и новая произвольная фаза. Далее Ландау полагал, что продвижение в сторону увеличения Р уменьшает интервалы АР между последовательными бифуркациями образования новых частот а вновь появляющиеся моды имеют все меньший и меньший пространственный масштаб. И хотя на каждом этапе механизм Ландау является строго детерминированным, возникновение случайности рассматривается как неизбежный результат большого числа взаимодействующих мод или степеней свободы (по аналогии с кинетической теорией газа).

С точки зрения современных представлений идея Ландау по крайней мере не полна. Она указывает лишьчна один из возможных механизмов возникновения турбулентности, причем, по-видимому, далеко не самый общий. Рюэль и Такенс [3,4] установили, что общий путь возникновения случайности - это образование странного аттрактора, после конечного числа бифуркаций. Выяснилось также, что для возникновения случайности не обязательно иметь взаимодействие большого количества мод или степеней свободы системы. В работах Лоренца [5], Неймарка [69], Рюэля-Такенса [4] и др. было установлено, что стохастическими могут быть уже

решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) размерностью три и выше. Ярким математическим примером этого стала система Лоренца.

(11 йУ

= pX-ZX-Y (1)

А «А

где 6, р, Ь - параметры

Именно в данной системе Лоренцем впервые обнаружены непериодические решения, принадлежащие некоторому притягивающему множеству, лежащему в ограниченной части фазового пространства и названному странным аттрактором [5]. В странном аттракторе сочетаются неустойчивость траекторий по Ляпунову и общее сжатие фазового пространства, которые являются следствием диссипативности и нелинейности системы. В последствии было обнаружено большое количество динамических систем со стохастическим поведением [9-12].

В работе Жигулева В. Н. предложена гипотеза, что " Неустойчивые нелинейные системы в процессе своей эволюции стремятся к некоторым предельным формам движения - особым состояниям, не связанным в своих основных чертах с деталями начальных данных..." [13]. В этом смысле странный аттрактор -частный случай особого состояния.

Исследование системы Лоренца и других динамических систем позволило достичь значительного прогресса в разработке механизма возникновения случайности в детерминированной системе. Неймарком Ю. И. показано как из гомоклинической структуры может возникнуть странный аттрактор [7,9]. Отдельно рассмотрен случай появления хаотических движений в окрестности двух или нескольких слабо устойчивых периодических решений [9]. Переход к хаосу может осуществляться и через последовательность бифуркаций удвоения периода циклов [14,15]. Механизм возникновения странного аттрактора из притягивающего тороидального многообразия предложен Кэрри и Йорком в работе [16].

Однако все эти результаты касаются эволюции динамических систем во времени, тогда как турбулентность - не только временной, но и пространственный

хаос. Конечно они взаимосвязаны но не сводятся один к другому [9]. Априори не известно, в какой степени математическая система ОДУ не высокого порядка соответствует исходной гидродинамической системе, имеющей бесконечное число степеней свободы? В частности система Лоренца, полученная как трехмодовое приближение конвекции жидкости между горизонтальными плоскостями, не может претендовать на адекватное описание механизма перехода к турбулентности в плоских и, тем более, пространственных задачах конвекции.

В гидродинамической системе, названные выше механизмы могут реализоваться следующим образом: Одна или несколько неустойчивых мод, пройдя фазу линейного роста, вступают в нелинейное взаимодействие из которого рождается странный аттрактор. Появившийся временной хаос основных мод, передается всем остальным модам системы, чем вызывается и пространственный хаос. В этом сценарии первичен временной хаос, рожденный нелинейным взаимодействием небольшой группы пространственных мод. Остальные моды системы пассивно следуют за основными (из-за действия вязкости и теплопроводности жидкости) [911,20,31].

Для того, чтобы выяснить вопрос применимости такого сценария возникновения хаоса к гидродинамике необходимо исследовать его выполнение на реальной гидродинамической системе допускающей экспериментальное моделирование и описываемой сравнительно не сложной математической моделью, для которой надежно отработаны численные алгоритмы.

Конвекция жидкости в тороидальном канале как раз и является одной из модельных гидродинамических систем для изучения перехода от ламинарной к турбулентной форме движения жидкой среды. Как показано в работах [8,9] система Лоренца более обоснована именно для этого физического объекта. Но и здесь имеются принципиальные расхождения теоретических и экспериментальных результатов [17]. Поэтому первой задачей диссертационной работы была разработка новой математической модели конвекции жидкости в тороидальном канале и определение основных критериев ее физической реализуемости.

Второй основной задачей диссертационной работы была экспериментальная проверка реализуемости механизма возникновения случайности в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом эффективно взаимодействующих степеней свободы.

В настоящее время имеется достаточно большое количество экспериментальных работ по моделированию хаоса в дискретных системах, для которых математическая модель в виде конечной системы ОДУ не вызывает сомнений. Экспериментальные результаты в целом соответствуют теоретическим и расчетным данным. Хорошим примером здесь могут служить работы Анищенко В. С. и Астахова В. В. [18].

Экспериментальное исследование механизмов перехода к хаосу и турбулентности в гидродинамической системе значительно сложнее [19, 20]. Число степеней свободы, необходимое для адекватного описания течения резко возрастает при превышении управляющим параметром критической величины и может меняться в процессе эволюции системы. Конвекция жидкости в тороидальном канале является уникальным примером гидродинамической системы, где математически строго разделяются пространственные степени свободы, и формируется замкнутая система для конечной группы основных мод. Именно поэтому конвекция жидкости в тороидальном канале была взята в качестве объекта для экспериментального моделирования.

Попытки экспериментального моделирования перехода к хаосу в конвекции жидкости в тороидальном канале предпринимались неоднократно. Однако нам не известно ни одного факта, где были бы получены режимы, соответствующие модели изучаемого явления. В качестве примеров можно привести работы американских исследователей Welander Р. [12] (1967 г.) и более поздние работы сотрудников Нью-йоркского университета Gorman М., Widman Р., Robbins К.[21] (1984 г.). В применявшихся ими установках не выполнялись основные требования -квазипуазейлевский характер течения, слабое изменение температуры в поперечных сечениях канала и др.. В результате, если и удавалось получить нестационарную конвекцию, то она совершенно не соответствовала малоразмерной динамической модели. Видимо поэтому авторы этих работ даже не проводят количественного сопоставления данных эксперимента и расчета. Интересная попытка реализации конвекции Лоренца была предпринята в Пермском Государственном Университете. Однако, несмотря на оригинальную конструкцию установки, в ней тоже не удалось нейтрализовать развитие высших степеней свободы и получить стохастические режимы.

На первом этапе экспериментальных исследований» проведенных автором настоящей работы, были получены результаты, аналогичные результатам других

авторов [ 17,22,23]. Приведем основные выводы, сделанные на основе материала работ, упомянутых выше:

При использовании в экспериментальных установках в качестве рабочей жидкости воды, ацетона, керосина, машинного масла и других жидкостей с числом Прандтля Рг~1 , соответствие поведения гидродинамической системы расчетам по модели типа Лоренца имеет место лишь при небольшой мощности нагрева \ЛЛ В плоскости параметров модели Лоренца (1) эти режимы находятся в области сильной устойчивости стационарных решений, и все переходные процессы сходятся к этим стационарным состояниям. Когда же, повышая мощность нагрева \Л/, мы стремимся получить неустойчивость, бифуркации, нестационарные периодические и стохастические решения, в экспериментальной установке обнаруживаются физические явления, несоответствующие модели Лоренца. В частности, не выполняются предположения об одномерном квазипуазелевском характере течения жидкости в канале, и слабом изменении температуры в поперечном сечении канала. На рис.-1 показана схема течения в экспериментальной установке при большой мощности нагрева \Л/ = 30 Вт, построенная на основе прямых наблюдений за процессом конвекции и съемки его на видеокамеру [23]. При общем, почти стационарном, движении жидкости в положительном направлении, в канале имеются три зоны возвратного течения. Зона - 1 появляется первой и занимает сектор с угловым размером до 8ср= 90 на той стороне канала, где жидкость поднимается. Зоны 2 и 3 расположены вблизи выхода и входа в область нагрева. Качественный вид профилей скорости в разных сечениях канала показан внизу рис,-1. Появление зон возвратных токов свидетельствует о более сложном характере течения, чем это предполагается моделью Лоренца. В действительности угловые и радиальные степени свободы жидкости, следующие за тремя основными, возбуждаются и начинают активно влиять на динамику всей физической системы прежде, чем наступает неустойчивость усеченной системы трех основных мод (1). Действие этих высших мод, например, рождает стационарные режимы с зонами обратных токов, которые значительно устойчивее стационарных режимов модели Лоренца при той же мощности нагрева. При дальнейшем увеличении мощности в установке появляются нестационарные и даже случайные режимы конвекции, но они совершенно не соответствуют модели Лоренца. Этот хаос ье является хаосом трех степеней свободы. В него вовлечены и его определяют и другие моды системы.

Отрицательные результаты экспериментального моделирования возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим количеством степеней свободы, поставили под сомнение физическую реализуемость такого механизма перехода к турбулентности.

Потребовался углубленный анализ термогидродинамики моделируемых физических процессов, совершенствование математической модели явлений и выработки на этой основе новых принципов конструкции установки. Этому и была посвящена данная работа.

Глава-1. В параграфе 1.1 дается постановка задачи о конвекции жидкости в тороидальном канале и вывод ее базовой математической модели, исходя из системы уравнений Навье-Стокса и уравнений распространения тепла в сопряженных с каналом средах. Формулируются основные условия справедливости базовой модели. Рассмотрено соотношение между базовой моделью и системой Лоренца (1), вскрыты важные физические эффекты, не учитываемые моделью Лоренца, изложен метод коррекции системы Лоренца для учета основного эффекта - нестационарного теплообмена, на стенках канала. В параграфе 1.2 получены основные критерии физической реализуемости базовой математической модели конвекции в тороидальном канале, дополняющие перечень требований, предъявляемых к конструкции экспериментальной установки, для максимально точного моделирования изучаемых процессов. В параграфе 1.3 содержится анализ результатов численных исследований конвекции жидкости в тороидальном канале, выполненных по базовой модели, проведено сравнение с расчетами по модели Лоренца и определены границы ее применимости к реальному физическому объекту. С помощью расчетов исследованы основные бифуркации решений -неединственность стационарных состояний, потеря ими устойчивости, возникновение периодических и стохастических режимов. Определена область параметров для экспериментального исследования.

Глава-2 посвящена изучению периодических по времени решений систем нелинейных дифференциальных уравнений. Дан общий алгоритм метода нахождения таких решений для автономных систем ОДУ. Предложенный метод применен для нахождения циклических решений системы Лоренца. Проведен анализ полученных решений. В параграфе 2.3 предложенный метод обобщен на случай расчета квазипериодических решений систем нелинейных ОДУ ( на примере системы Лоренца). А в параграфе 2.4, на примере задачи о конвекции жидкости в

тороидальном канале, рассмотрено обобщение метода для поиска периодических по времени решений начально-краевых задач автономных систем дифференциальных уравнений в частных производных.

В главе-3 дано описание конструкции экспериментальной установки и проверка ее соответствия основным условиям моделирования изучаемого явления. Проведен анализ полученных режимов конвекции (стационарные режимы, бифуркации и неединственность стационарных режимов, потеря устойчивости стационарных режимов, нестационарные, периодические и стохастические режимы). Исследованы спектральные и статистические характеристики нестационарных процессов, проведено сопоставление с расчетами, дан анализ природы возникновения хаоса.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Дроздов, Сергей Михайлович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Для термогидродинамической системы состоящей из тороидального канала, заполненного жидкостью и окруженного тороидальными слоями из однородного материала, получена математическая модель (базовая модель), обладающая свойством разделения угловых степеней свободы с формированием замкнутой системы нелинейных дифференциальных уравнений относительно трех пространственно временных функций - степеней свободы [a(t,y), b(t,y), u(t,y)]. Показано, что подобно системе Лоренца, базовая модель имеет нестационарные решения при стационарных внешних условиях и способна генерировать периодические и случайные режимы движения жидкой среды.

2. Определены основные критерии (числа Рэлея Ra и Тейлора Те) физической реализуемости режимов конвекции, соответствующих базовой модели задачи. Сформулированы условия корректного моделирования в экспериментальной установке, изучаемого механизма возникновения хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом эффективно взаимодействующих степеней свободы.

3. Рассмотрено соотношение между базовой моделью и системой Лоренца, вскрыты важные физические эффекты, не учитываемые моделью Лоренца, изложен метод коррекции системы Лоренца для учета основного эффекта -нестационарного теплообмена на стенках канала.

4. Предложен метод нахождения периодических по времени решений систем нелинейных дифференциальных уравнений. Реализация метода на примере системы Лоренца показала его высокую эффективность и точность. Алгоритм метода не зависит от устойчивости циклов и размерности системы дифференциальных уравнений. Серьезными достоинствами метода является возможность его применения для расчета квазипериодических решений и обобщение на случай систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

5. Экспериментально получены режимы движения жидкой среды, соответствующие базовой модели задачи: стационарные режимы, бифуркации и неединственность стационарных режимов, потеря устойчивости стационарных режимов, нестационарные периодические и стохастические режимы. Обнаружена

неединственность режимов конвекции и связанный с этим гистерезис при изменении мощности нагрева в достаточно широком диапазоне (\Л/=2ч-8 Вт.).

6. Впервые экспериментально получены стохастические процессы в гидродинамической системе с тремя эффективно взаимодействующими степенями свободы. Исследованы временные, фазовые, спектральные и некоторые статистические характеристики таких процессов, проведено сопоставление с расчетами и дан анализ природы возникновения хаоса.

7. Полученные в рамках диссертационной работы результаты достаточно убедительно свидетельствуют о том, что механизмы возникновения хаоса через бифуркации и образование странного или хаотического аттракторов, открытые для дискретных динамических систем, могут быть причиной возникновения хаоса и перехода к турбулентности в реальной гидродинамической системе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дроздов, Сергей Михайлович, 1998 год

Литература.

1. Ландау Л. Д. // О проблеме турбулентности // ДАН СССР, 1944, т.44, с. 311.

2. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. // Механика сплошных сред.// Гостехиздат, 1954.

3. Ruelle D., Takens F., И On the nature of turbulence. // Comm. Math. Phys., v 20, p 167, (1971).

4. Ruelle D. Sensitive dependence on initial condition and turbulent behavior of dynamical systems.// Ann. N. Y. Acad. Sci., v316, N 408 (1979).

5. Lorenz E. N. // Deterministic nonperiodic flow. //J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, N-2, P. ISO-MI.

6. Неймарк Ю. И. //Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний.// изв. ВУЗов. Радиофизика. 1958.

7. Неймарк Ю. И. // Структура движений динамической системы в окрестности гомоклинической кривой. // Тр. V мат. Школы , 1967. , Инст. Мат. АН УССР, 1968, с. 400-433.

8. Неймарк Ю. И. II Стохастичность в динамических системах. // Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика. Горький : изд. ГГУ, 1973. С. 3-11.

9. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания.// М., Наука, 1987, 423с..

10. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности.// Под ред. ГоллабДж., X. Суинни. , М., Мир., 1984, 334с..

11. В. С. Анищенко II Сложные колебания в простых системах // Москва, Наука, 1990, 312 с.

12. WelanderP. On the oscillatory instability of a differentially heated fluid loop. // J. F.M., 1967, v.-29, p.-17.

13. Жигулев В. H. //Динамика неустойчивостей (династика). // Москва, МФТИ, 1996, 344с.

14. ¡Марковский А. Н. II Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. // Укр. Мат. Журн. 1964. , Т. 26 , номер-1, с. 61-71.

15. Фейгенбаум М. II Универсальность в поведении нелинейных систем. // УФН. 1983. Т. 141, номер-2, с.343-374.

16. Curry J., Yorke J. A. IIA transition from Hopf bifurcation to chaos: Computer experiments with maps in R2.// The structure of attractors in dynamical systems. Lecture Notes in Mathematics, v. 668. New York, 1977, p. 48.

17.Дроздов С. М II Экспериментальное исследование конвекции жидкости в замкнутом тороидальном канале. // Известия РАН. МЖГ. 1995 , N-4, с. 20-28.

18. В. С. Анищенко, Астахов В. В. II Экспериментальное исследование механизма возникновения и структуры странного аттрактора в генераторе с инерционной нелинейностью. // Радиотехн. и электрон., 1983. Т. 28, N6, с. 1109-1115.

19. Яворская И. М., Беляев Ю. Н., Монахов А. А. II Экспериментальное изучение сферического течения Куэтта //ДАН СССР, т. 221, N5, 1975, с. 1059-1062.

20. Беляев Ю. Н. II Гидродинамическая неустойчивость и турбулентность в сферическом течении Куэтта.// Москва, Изд. Моск. Ун-та, 1997. 348 с.

21. Gorman М., Widman P. J., Robbins К. A. Chaotic flow regimes in a convection loop.// Phys. Rev. Lett. 1984. V-52, N-25, p.2241-2244.

22.Дроздов С. M. Экспериментальное исследование конвекции жидкости в замкнутом канале. // Отчет НИО-8 ЦАГИ N-9250 (1992).

23.Дроздов С. М. Теоретическое и экспериментальное исследование конвекции жидкости в замкнутом канале. // Отчет НИО-8 ЦАГИ N-9434 (1993).

24.Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.//М. Наука, 1987.

25. Гэршуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. // Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. // Москва, Наука, 1972, 392 с.

26.Жигулев В. И. О конвекции жидкости в кольцевом канале. // сборник Вопросы динамики неустойчивостей. Москва, МФТИ, 1995,141с.

27. Жигулев В. Н. О возможности создания экспериментальной установки демонстрирующей странный аттрактор Лоренца, //сборник МФТИ 1997 (в печати)

28.Дроздов СМ. Хаотические и периодические решения задачи о конвекции вязкой и теплопроводной жидкости в замкнутом канале. //Известия АН СССР. МЖГ, 1993, №6.

29. Бабаев И. Ю., Бабиков П. Е., Зайцев О. Л. II Библиотека программ для решения задач механики сплошной среды. // Отчет НИО-8 ЦАГИ N-8051, 1987 г.

30. ХибникА. И. II Периодические решения системы п дифференциальных уравнений: Материалы по математическому обеспечению ЭВМ. // Пущино, НЦБИ АН СССР, 1979 г.

31. Жигулев В. Н., Тумин А. М. II Возникновение турбулентности.// Новосибирск, Наука, 1987, 281 е..