Термодинамика неравновесных процессов в открытых нелинейных физико-химических системах с детерминированным хаосом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 02.00.04, доктор физико-математических наук Быстрай, Геннадий Павлович

• Быстрай, Геннадий Павлович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Быстрай, Геннадий Павлович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА В МОДЕЛИРОВАНИИ ОТКРЫТЫХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Термодинамические потенциалы равновесных систем.

1.2. Основные используемые принципы. Устойчивость по Ляпунову.

1.3. Принцип локального неравновесия. Закон сохранения энергии для открытых неравновесных систем.

1.4. Устойчивые по Ляпунову равновесные и стационарные состояния.'.

1.5. Теорема Пригожина для линейных неравновесных систем с энергетическими потерями.

1.6. Доказательство основных неравенств термодинамики неравновесных процессов на основе прямого метода Ляпунова.

1.7. Термодинамика физико-химических систем с инверсной заселенностью верхнего уровня.

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

2.1. Динамический подход в моделировании нелинейных процессов.

2.2. Соответствие между нелинейной моделью и II законом термодинамики.

2.3. Устойчивость нелинейных термодинамических систем.

2.4. Термодинамика нелинейных процессов. Анализ скорости изменения энтропии и свободной энергии.

2.5. Как связаны метод Тома определения устойчивости состояний с прямым методом Ляпунова.

2.6. Коэффициент эффективности энергетических превращений в нелинейных системах.

Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКА НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ И МАССЫ ПРИ НАЛИЧИИ ЭКЗО- И ЭНДОТЕРМИЧЕСКИХ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ.

3.1. Термодинамическое обоснование параболического уравнения переноса тепла с источниками и стоками.

3.2. Термодинамическое обоснование параболического уравнения переноса вещества с источниками и стоками.

3.3. Локально-неравновесные процессы переноса. Локальнонеравновесная термодинамика.

3.4. Гиперболическое уравнение диффузии с источниками и стоками вещества.

3.5. Гиперболическое уравнение теплопроводности с источником тепла.

3.6. Экспериментальное определение термодинамических свойств расплавленных солей и термодинамика солевых реакторов.

Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКОЙ МАКРОКИНЕТИКИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ И ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ПРИ НАЛИЧИИ РЕЛАКСАЦИИ И ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ. ТЕРМОДИНАМИКА ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

4.1. Переход от релаксационных уравнений локально-неравновесных систем к уравнениям второго порядка.

4.2. Дифференциальное уравнение второго порядка с релаксацией и с последействием. Возникновение хаоса.

4.3. Сжатие фазового объема. Диссипативность локально-неравновесной термодинамической системы.

4.4. Показатели Ляпунова.

4.5. Энтропия Колмогорова.

4.6. Переход от непрерывных термодинамических уравнений к дискретным (отображениям).

4.7. Бифуркационные диаграммы.123

4.8. Хаос и необратимость в физико-химических системах

Глава 5. ХИМИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА МЕЖФАЗНЫХ СЛОЕВ С ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМ ХАОСОМ.

5.1. Математическое моделирование флуктуаций в системе жидкость-пар.

5.1.1. Динамика плотности в межфазном слое жидкость-пар.

5.1.2 Детерминированный хаос и свойство перемешивания в межфазном слое.

5.1.3. Нелинейное уравнение второго порядка для параметра порядка при регулярном механизме испарения.

5.1.4. Внешние периодические воздействия на межфазный слой: управление гетерофазными флуктуациями.

5.2. Термодинамика фазовых превращений в межфазном слое при химических реакциях с детерминированным хаосом.

5.2.1.Релаксационное уравнение для межфазного слоя.

5.2.2. Моделирование хаотической динамики протекания химических реакций.

5.2.3. Моделирование с использованием других потенциальных функций.

5.2.4. Результаты моделирования: свойства межфазного свойства вблизи Тс. Критические индексы.

Глава 6. ВЯЗКОУПРУГИЕ АСПЕКТЫ ТЕЧЕНИЯ РАСТВОРОВ С ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ.

6.1.Моделирование вязкоупругих сплошных сред (растворов).

6.2. Развитая турбулентность как отражение влияния вязкоупруго-сти.

6.3. Качественный бифуркационный анализ турбулентных течений растворов.

6.3.1. Трубы кругового сечения.

6.3.2. Моделирование течений в каналах других геометрий. Общий принцип соответственных состояний (принцип подобия).

6.3.3. Бифуркационные диаграммы при движении твердой сферической частицы в растворе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Термодинамика неравновесных процессов в открытых нелинейных физико-химических системах с детерминированным хаосом»

Актуальность проблемы

Теоретической основой физической химии являются общие законы физической науки, в том числе и законы термодинамики. Эти законы определяют строение веществ, направление и скорость химических превращений (процессов) при различных внешних условиях. Системы, изучаемые сегодня в рамках физической химии, являются открытыми, неравновесными и далекими от равновесия, т.е. в них протекают нелинейные процессы, в том числе с бифуркациями и с образованием диссипативных структур и с фазовыми переходами. В таких системах в виду сложности строения вещества и самих процессов имеют место релаксационные процессы и процессы с последействием, а также протекают латентно процессы с энергетическими потерями, которые сложно формализуются. Именно поэтому для таких систем сложно получить непротиворечивые законы сохранения, в том числе закон сохранения энергии. Одним из центральных вопросов, который возникает при изучении таких систем, является вопрос об устойчивости протекающих неравновесных процессов, так как теорема Пригожина справедлива только для линейных систем.

Согласно общим принципам статистической механики даже в термодинамически устойчивой системе должны происходить флуктуации, т.е. местные и переходящие отклонения от нормального состояния некоторых переменных, которые приводят систему в состояние менее вероятное. В обычной статистической теории однородной молекулярной системы, в частности, газа или жидкости, рассматриваются небольшие флуктуации плотности, лежащие в пределах, совместимых с сохранением данной фазы системы. Следуя Я.Френкелю [13] будем называть эти обычные флуктуации плотности "гомо-фазными". Наряду с ними, однако, необходимо принимать во внимание также флуктуации исследуемых переменных, которые, например, в физике выходят за пределы, совместимые с исходным агрегатным состоянием. Это соответствует образованию зародышей какой-либо другой фазы рассматривае6 мого вещества, например, капелек жидкости в паре или пузырьков пара в жидкости. Такие флуктуации можно назвать "гетерофазными". Гетерофазные флуктуации разрушают однофазные состояния в межфазных слоях физико-химических систем, проявляются в задачах с турбулентностью, в биофизике, разрушают одно устойчивое состояния и переход к другому в химической кинетике и т.д. В настоящее время ни в термодинамике, ни в статистической физике сколько - нибудь строгой теории гетерофазных флуктуаций не существует [8,14]. Поэтому при анализе физико-химических систем нужны новые представления, которые не может дать статистическая теория [29, 30].

Термодинамика неравновесных процессов (ТНП), которую часто называют термодинамикой необратимых процессов, является составной частью термодинамики, а последняя является основой физической химии. Создание формализованного аппарата ТНП далеко до завершения, имеется ряд теоретических проблем, которые надо решить. Эти проблемы позволили бы глубже понять природу возникновения гетерофазных флуктуаций в физико-химических системах, так как их решение создает предпосылки нахождения строгих условий возникновения различных неравновесных структур.

Ограниченность принципа локального равновесия. Наиболее оригинальной из идей Пригожина стало введение в качестве базы для термодинамики неравновесных процессов принципа локального равновесия [1]. Этот принцип на феноменологическом уровне сводится к утверждению, что в каждом малом элементе объема в целом неравновесной системы, существует состояние локального равновесия. Состояние этих физически малых объемов можно характеризовать температурой, химическим потенциалом и другими термодинамическими параметрами. Противоречия в таком подходе очевидны, одно из них - состояние малого объема описывается уравнением, не зависящим от градиентов (термодинамических сил) и термодинамических потоков. Это положение не выполняется для открытых систем, которые интенсивно изучаются в последние годы [5,6], поэтому применение уравнений равновесной термодинамики и в целом принципа локального равновесия к необратимым процессам считается некорректным.

В теории поглощения звука Л.Мандельштама и М.Леонтовича [7], основанной на термодинамике неравновесных процессов, использовался принцип локального неравновесия, в котором термодинамические потенциалы зависели от параметра неравновесности. Если термодинамическая система вновь придет к равновесному состоянию, то параметр ^ примет свое равновесное значение и потенциалы возвратятся к потенциальным функциям равновесной термодинамики. Однако авторы не могли получить непротиворечивый закон сохранения энергии.

Поиск решения проблемы термодинамических неравенств. С учебных курсов термодинамики равновесных процессов известно, что в реальных необратимых процессах классические выражения теплоты 50, работы расширения 5И^и энергомассообменабС/д., т.е. энергообмена в процессе переноса ^-вещества) переходят в неравенства

8(2 Ф тй$, ьикФ\^камк, поскольку энтропия объем системы V и массы к-х веществ могут изменяться и самопроизвольно. Энтропия - вследствие трения и любых других необратимых изменений состояния, объем - вследствие расширения в пустоту без совершения работы, масса - вследствие химических реакций.

С ростом интенсивности процессов эти неравенства усиливаются и расчет на их основе теплоты и работы процесса становится все более нестрогим. При этом сама классическая термодинамика не в состоянии оценить погрешность используемых уравнений, поскольку остаются неизвестными их точные уравнения. В результате классическое уравнение Гиббса утрачивает силу и возникает проблема термодинамических неравенств, которая считается нерешенной до настоящего времени [8,9]. Отметим насколько это является важным для высокоинтенсивных физико-химических процессов.

Проблема синтеза теорий переноса и преобразования энергии. В настоящее время сложилось странное разделение двух направлений по существу одного и того же учения о теплоте — термодинамики и теории переноса. В 1821 г. появилась известная работа Ж.Фурье, положившая начало теории теплообмена, а в 1824 - знаменитая работа С Карно, заложившая фундамент термодинамики. Однако как неоднократно отмечалось в литературе (см. обзор В.Эткина [8]) оба указанных направления развивались совершенно независимо. В этой же ссылке можно найти достаточно подробное обсуждение этой проблемы. Отметим в качестве примера проблему нахождения в рамках параболического и гиперболического уравнений теплопроводности для локальной точки сплошной среды не только температуры, но и свободной энергии, энтропии и скоростей их изменения. Такой синтез позволил бы связать скорость изменения, например, свободной энергии в единице объема сплошной среды с градиентами температуры, давления и др., т.е. с термодинамическими силами.

Ограниченность принципа минимальности производства энтропии. Нелинейные системы. Еще более серьезные препятствия возникают при попытках обобщения ТНП на нелинейные системы и состояния, далекие от равновесия, где нарушаются соотношения взаимности Онзагера- Казимира [10] и становится несправедливым принцип минимального производства энтропии [11, 12], выполняющийся для линейных неравновесных систем. Считается, что попытки преодолеть эти трудности без какой-либо корректировки концептуальных основ оказались безуспешными [8]: "Однако любые коррективы в основаниях термодинамики даже при их конструктивном характере воспринимаются специалистами крайне болезненно".

Зачем нужно исследование флуктуаций и не только в физике? Существует точка зрения, что новая "структура" всегда является результатом неустойчивости и возникает из флуктуаций [1, 3]. В точке образования новой структуры флуктуации растут, тогда как в обычных условиях флуктуация вызывает реакцию системы, которая возвращает ее в невозмущенное состояние. Условие затухания внутренних флуктуаций становится условием устойчивости данного процесса. А это очень важно для анализа таких систем.

Цель работы и задачи исследования

Построение последовательного формализованного аппарата локально неравновесной термодинамики физико-химических систем, находящихся вдали от равновесия на основе принципа локального неравновесия для нахождения строгих условий возникновения в них детерминированного хаоса (гомо- и гетерофазных флуктуаций).

Ставились следующие задачи: сформулировать расширенный принцип локального неравновесия в условиях трудноформализуемых энергетических потерь и применить его для решения задач физической химии;

• при определении устойчивости применить метод функций Ляпунова для открытых неравновесных физико-химических систем, что могло бы послужить основой для решения проблемы доказательства термодинамических неравенств;

• для нелинейных процессов в физико-химических системах сформулировать и доказать аналог теоремы Пригожина для линейных систем;

• разработать математические модели неравновесных фазовых переходов в физико-химических системах с хаотической динамикой параметра порядка;

• исследовать нелинейные свойства открытых систем - хаотическую динамику параметров порядка в различных задачах физхимии, времена релаксации процессов, восприимчивости, перемежаемости, зависимости от начальных условий, характерных времен начала хаотизации, функций распределения, потенциальных (энергетических) функций, спектров мощности хаотических пульсаций;

• описать развитие неустойчивостей физико-химических процессов, обусловленных возникновением хаотических пульсаций, с их последующей стабилизацией за счет баланса между диссипативными расходами и поступлением энергии от источников неравновесности.

Используемые методы исследования. Автором для решения физико-химических задач использовались методы из разделов математики, называемых нелинейной динамикой [4], теорией катастроф [15], теорией бифуркаций [3] и теории детерминированного хаоса [16]. Основы нелинейной динамики были заложены Пуанкаре в конце позапрошлого века и за последние 30 лет они получили значительное развитие и привели, в том числе к прогрессу в понимании физики механических явлений с хаотической динамикой переменных. Основная идея такого подхода - описание сложной системы с помощью исследования динамики моделей, гораздо более простых, чем, например, полные уравнения физико-химической гидродинамики. Математика предлагает нам два различных способа рассмотрения нерегулярностей, присущих физико-химическим системам. Еще совсем недавно более распространенной из них являлась точка зрения на нерегулярности как на шум, относящийся к случайным флуктуациям, которые всегда присутствуют в этих системах, и исследования в этом направлении сводятся к исследованию флик-кер-шума (см.[18,19]). Хотя термин "хаос" иногда используется в качестве синонима шума, у этого термина за последние десятилетия возникло и утвердилось совершенно иное математическое значение (смысл). В последнем случае под хаосом подразумевается случайность или нерегулярность, возникающая в нелинейной детерминированной системе, в том числе и при фазовых переходах. Это означает, что динамический хаос можно наблюдать даже при полном отсутствии шума в окружающей систему среде. В качестве примера последней системы указывается система уравнений Лоренца [190].

Важными характеристиками хаоса являются: нелинейность системы, приводящая в том числе к неединственности решений и возникновению новых точек динамического (термодинамического) равновесия (фаз) [11], заметная зависимость динамики от начальных условий [16,20]; попеременный захват фазовых траекторий равновесными (стационарными) состояниями

11

21], существование перемежаемости (существование ламинарных и турбулентных временных периодов в динамике) [22] и др.

Под неравновесными фазовыми переходами в открытых системах с хаотической динамикой параметра порядка мы будем понимать нерегулярную во времени динамику с попеременным захватом фазовой траектории двумя закритическими равновесными (стационарными) состояниями. Такие случайные переключения осуществляются в отсутствие внешнего шума и управляются детерминированными законами. В литературе это явление получило название как "детерминированный стохастический резонанс" [21]. Положения, выносимые на защиту

• Концепция построения одного из вариантов нелинейной ТНП в открытых физико-химических системах на основе принципа локального неравновесия с энергетическими потерями.

• Методы построения функций Ляпунова для физико-химических систем на основе термодинамических потенциалов и их производных по времени. Метод доказательств термодинамических неравенств для необратимых процессов.

Гипотеза построения обобщенной математической модели для локально-неравновесных физико-химических систем с последействием и релаксацией, приводящих к хаосу. Концепция термодинамики хаотических систем.

Математические модели и программы численных расчетов, позволяющих описать возникновение детерминированного хаоса в локально-неравновесных физико-химических системах. Отождествление хаотических решений с флуктуациями на основе анализа энтропии Колмогорова. Концепция флуктуационных нелинейных режимов с зависимыми и независимыми флуктуациями.

• Результаты практической реализации разработанного подхода к задачам физхимии для межфазных флуктуирующих слоев, в том числе в системе жидкость-пар, слоев с химическими реакциями.

• Модели развитой турбулентности для растворов, как сильно вязких жидкостей со временем релаксации напряжений и строго описан перенос импульса в реологических системах за счет добавления в уравнения На-вье-Стокса второй производной скорости по времени. Термодинамические локальные модели для физико-химических локально равновесных и локально неравновесных систем с диффузией и теплопроводностью с применением энтропии, свободной энергии, скоростей их изменения и их вторых производных, при переносе импульса в реологических системах

• Модель описания механизма самовозбуждения саркомеров в растворах с АТФ в виде кинетических уравнений за счет полного описания химических реакций в системе саркомер-раствор, к которому добавляют АТФ.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность диссертации состоит в обосновании применимости методов нелинейной термодинамики к сильно неравновесным физико-химическим системамраз-витии представлений о поведении сложных открытых локально-неравновесных физико-химических систем, находящихся вдали от равновесия с релаксацией, последействием, трудноформализуемыми энергетическими потерями и с гомо- и гетерофазными флуктуациями, а также бифуркациями.

Практическое значение состоит в том, что разработан самый общий подход к решению актуальных задач межфазного слоя, в частности, определения неравновесных значений энтропии, свободной энергии, их первых и вторых производных во времени, а также найдены характеристики турбулентных течений растворов. Определены физико-химические свойства расплавов солей с хлоридами урана для использования их в практических расчетах реакторов на расплавленных солях.

Достоверность

Достоверность представленных теоретических результатов подтверждается прежде всего использованием строго обоснованных методов матема

13 тического моделирования и сравнением полученных теоретических результатов с экспериментом при решении конкретных задач физической химии.

В частных, как правило асимптотических ситуациях, установленные в работе общие положения и соотношения согласуются с известными ранее.

Научная новизна

Для открытых физико-химических систем сформулирован и развит принцип локального неравновесияв открытых системах в условиях энергетических потерь. При моделировании устойчивости равновесных и стационарных состояний в химической термодинамике впервые обоснован и использован прямой метод Ляпунова.

• Впервые сформулированы основные положения термодинамики открытых нелинейных физико-химических систем, имеющих несколько стационарных состояний. Для анализа устойчивости этих состояний сформулирована и доказана теорема, являющаяся аналогом теоремы Приго-жина, справедливая только для линейных систем.

• Впервые для физико-химических систем предложена теоретическая динамическая модель гетерофазных флуктуаций, которую не может дать статистическая теория. Установлено, что такие системы должны быть локально неравновесными (ЛНС).

• Впервые предложена концепция введения энтропии Колмогорова в термодинамический анализ неравновесных физико-химических процессов, характеризующая скорость забывания системой (локальным объемом) начальных условий. Подход позволяет впервые установить связь между необратимостью по времени неравновесных физико-химических процессов и энтропией Колмогорова.

• Разработан для физико-химических систем вариант термодинамики хаотических процессов (ТХП).

• Показана общность разработанного подхода на примере решения задач возникновения гомо- и гетерофазных флуктуаций в межфазных слоях (система жидкость-пар, межфазные слои с химическими реакциями), в

14 системах химической гидродинамики, биофизических системах типа сар-комер-раствор.

• Получены результаты практической реализации разработанного подхода к задачам физхимии межфазных флуктуирующих слоев. Впервые теоретически доказано явление критической опалесценции, обнаруженное в экспериментах при приближении к критической точке.

• Модели развитой турбулентности для растворов, как сильно вязких жидкостей со временем релаксации напряжений.

• Термодинамические локальные модели для физико-химических локально равновесных и локально неравновесных систем с диффузией и теплопроводностью с применением энтропии, свободной энергии, скоростей их изменения и их вторых производных.

• За счет полного описания химических реакций в системе саркомер-раствор, к которому добавляют АТФ, и соответствующих кинетических уравнений впервые получено самовозбуждение саркомеров в растворах с АТФ, позволяющее сбрасывать в раствор за счет мелкомасштабных пульсаций механическую энергию.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы были представлены на Пятом семинаре СО РАН-УрО РАН "Термодинамика и материаловедение" (Новосибирск, 2005), на 13-й Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2003), на Международной школе-семинаре «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Москва, 2004), на I Все-росс. конф. «Физико-химические процессы в конденсированном состоянии и на межфазных границах» (Воронеж, 2002), на Первой, Второй и Третьей Всероссийских научных internet-конференциях "Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках" (Тамбов, 2001,2001, 2002), на Международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели» (Челябинск, 2002), на

Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Са

15 мара 2000), на двенадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2002), на Международных конференциях по фазовым переходам и нелинейным явлениям в конденсированных средах (Махачкала 1998, 2000), на Симпозиуме "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках" (Воронеж, 2000), на IV Межд. научн. конф. по мат. моделированию. "Матем. модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденс. системах и других средах" (Москва, 2000), на XIX конференции по дисперсным системам (Одесса, 2000), на Всероссийском Симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (Кисловодск, 1995, 1998), на Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление"(Самара, 2000), на Международной научной конференции "Компьютерная алгебра в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании (Минск, 1997), на Белорусск. конгрессе по теоретической и прикл. механике (Минск, 1995), на семинаре "Самоорганизация природных и социальных систем" (Алма-Ата, 1995), на Всесоюзной научной конференции "Метод функций A.M. Ляпунова в современной математике" (Харьков, 1986); на XIII конференции по тепловой микроскопии "Структура и прочность материалов в широком диапазоне температур" (Каунас, 1989), на украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1994); на совещании "Синергетика геологических систем" (Иркутск, 1992); на межреспубликанской конференции "Самоорганизация в природе и обществе" (Ленинград, 1988), на научных семинарах Институтов теплофизики (1995), математики (1992), на научном семинаре Амстердамского университета (Амстердам, 1993); на III Всесоюзной конференции "Нестационарные процессы в катализе" (Новосибирск, 1986), Всесоюзном симпозиуме по макроскопической кинетике и химической газодинамике (Алма-Ата 1984), на научном семинаре по химическим реакциям и технологическим процессам в расплавах солей (Пермь, 1978), Всесоюзной конференции по физической химии ионных расплавов и твердых электролитов (Киев, 1976),Уральской конференции по высокотем

16 пературной физической химии (Свердловск, 1975), научно-технической конференции по тепло физическим свойствам веществ (Киев, 1974), Всесоюзном семинаре по смачиванию расплавами и адгезии (Москва, 1973), Всесоюзной конференции по физико-химическому анализу солевых систем (Ростов-на Дону, 1972).

Личный вклад автора

Автору принадлежит общий план проведения многолетних исследований, включающих прежде всего концепцию динамики неравновесных процессов и ее приложения для решения конкретных задач в системах различной природы. Программное обеспечение разрабатывалось совместно с С.Ивановой, С. Студенком, С.Охотниковым. С ними же разрабатывались модели для межфазного слоя с испарением и конденсацией. Модели для межфазного слоя с химическими реакциями выполнены самим автором. Задачи, связанные с развитой турбулентностью с релаксацией и запаздыванием решались со С.Студенком. Результаты по проводимости ионных каналов и сокращению саркомеров и хаотической динамике мышц получены совместно с С.Андреевым, А.Ворохом, А. Богинич, Н.Жлудовой, Т. Шкляр и С.Охотниковым.

Связь с плановыми работами

Работа выполнялась в рамках плановых и инициативных научно-исследовательских работ, а также в соответствии с программами единого заказ-наряда НИИ физики и прикладной математики ГОУ ВПО "Уральский государственный университет им. А.М.Горького", программы "Ведущие научные школы" и программы Часть работ была выполнена автором по грантам РФФИ N93-05—9577), РГНФ, Госкомвуза, Фонда Сороса, Комитета по высшей школе и др

Публикации

Основные результаты исследований опубликованы в 25 статьях в журналах и 10 в трудах международных и всероссийских конференций, рекомендуемых для публикации материалов докторских диссертаций, четырех моно

17 графиях и одном учебном пособии (с грифом УМО), в 19 статьях в сборниках и в тезисах научных конференций.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, 7 глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 28е) страницах, включая 72 рисунка, 4 таблицы и список литературы в 264 ссылки

Заключение диссертации по теме «Физическая химия», Быстрай, Геннадий Павлович

ВЫВОДЫ

1. С позиций вязкоупругих сред предложен новый качественный подход к моделированию пульсаций скорости и получен критерий применимости такого подхода к течению растворов. Сделано обобщение уравнений На-вье-Стокса на случай движения вязкоупругих сред как локальнонеравновесных сред и получена соответствующая система дифференциальных уравнений второго порядка со временем релаксации и последействием механических напряжений для описания турбулентных пульсаций скорости.

2. Разработаны две математические модели, описывающие качественно возможный механизм возникновения хаотических пульсаций скорости при течении в растворах в рамках теории детерминированного хаоса. Обнаружены пульсации температуры, плотности, компонент тензора механических напряжений, мгновенной скорости диссипации энергии на пространственных масштабах инерционного и диссипативного интервалов изотропного турбулентного потока вязкоупругой слабо сжимаемой среды при больших числах Рейнольдса с запаздыванием. Описано возникновение жесткой турбулентности, перемежаемости и гистерезиса.

Первая модель для развитой турбулентности основывается на одномерном нелинейном дифференциальном уравнении (НДУ) второго порядка для изотропных турбулентных пульсаций скорости вязкоупругой слабо сжимаемой среды с запаздыванием и переменным коэффициентом затухания в условиях периодического изменения осредненного градиента давления, связанного с периодически возникающими и уносящимися в поток вихрями, которая решается численными методами.

Вторая модель получена интегрированием НДУ на конечном временном интервале и представляет собой одномерное отображение для турбулентных пульсаций скорости. Она получается из первой в предположении, что: а) возникновение (распад) турбулентных вихрей в рассматриваемом изотропном турбулентном потоке является периодическим во времени процессом, длящимся очень короткое время; б) время релаксации напряжений в жидкости много меньше времени ретардации; в) осредненный градиент давления равен нулю.

Обе модели включают также выражения для пульсаций плотности, масштаба пространственных пульсаций, пульсаций температуры, пульсаций величины скорости турбулентной диссипации энергии, компонент пульсационных составляющих тензора внутренних напряжений, определения длины пути перемешивания, показателей Ляпунова, энтропии Колмогорова и других характеристик детерминированного хаоса.

В рамках первой модели показано удовлетворительное количественное соответствие экспериментальным, данным следующих теоретически рассчитанных величин: а) периодов хаотических пульсаций скорости; б) корреляционной функции для поперечных пульсаций скорости; в) спектров мощности турбулентных пульсаций скорости и температуры; г) коэффициента турбулентной диффузии; д) коэффициентов моментов сопротивления свободно вращающегося диска и диска в кожухе; а также коэффициентов сопротивления в трубе и др.

Рассчитываются также показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова и корреляционная размерность диссипативного (странного) аттрактора, спектры пульсаций плотности и масштаба пространственных пульсаций; степень турбулентности. Разработаны алгоритмы расчета времени забывания начальных условий, построения для НДУ бифуркационных диаграмм с нахождением точек ветвления, в том числе зависящих от числа Рейнольдса, частоты внешней силы, времени релаксации напряжений (внутренний параметр) и т.д., что существенно расширяет метод нейтральных кривых, примененных для развитой турбулентности.

3. Разработана и теоретически обоснована нелинейная модель для мгновенной скорости турбулентной диссипации энергии при течении растворов в виде полинома четвертой степени по степеням пульсаций скорости в инерционном интервале. Использование этой модели в НДУ эквивалентно для развитой турбулентности законам Колмогорова-Обухова «одной трети» и «пяти третей» и аналогичного соотношения для интервала сильной диссипации, которые ранее находились в рамках теории подобия. Подход позволил также оценить константы в этих соотношениях и исследовать нестационарные особенности этих законов.

4. В рамках феноменологического подхода строится нелинейная динамическая модель нестационарной эволюции средней по сечению кольцевой трубы скорости течения раствора, параметры которой определяются на основе известных законов ламинарного течения, соответствующих строгим решениям уравнений Навье-Стокса. Переход к канонической форме позволяет привлечь в теоретический анализ турбулентных течений идей и методов теории катастроф, теории бифуркаций и фазовых переходов. Исследуются бифуркационные диаграммы для скорости, коэффициентов сопротивления, разности давления, подвижности и турбулентной вязкости. Выявлены три режима нелинейного течения при числах Рейнольдса Яё>Яес. Для каждого из них определены линии сепаратрисы, обладающей наследственными (типичными) свойствами, сохраняющимися, в том числе, при жесткой перестройке режима течения от ламинизированного к устойчивому турбулентному (фазовый переход 1 рода), соответствующему экспериментально определяемым коэффициентам сопротивления. В рамках модели с последействием (двухпа-раметрическая задача) исследуются детерминированные стохастические решения, а также детерминированные и шумоиндуцированные неравновесные фазовые переходы с определением спектров мощности пульсаций.

5. Разработанные методы применены также для турбулентных течений растворов в каналах различной геометрии: коаксиальных, с квадратным сечением, сечением в виде равностороннего и равнобедренного треугольников, для сферы, крыловых профилей. Произведено масштабирование гидродинамических характеристик стационарного течения относительно значений в критической точке и исследовано их поведение как отражение геометрических особенностей ростка катастрофы сборки и "удаленности" от трижды вырожденной (критической) точки. На этой основе сформулирован и реализован на практике количественный принцип соответственных состояний в динамике нелинейных течений в растворе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертант исходил из следующей постановки. Теоретической основой физической химии являются общие законы физической науки, в том числе и законы термодинамики. Эти законы определяют строение веществ, направление и скорость химических превращений (процессов) при различных внешних условиях. Системы, изучаемые сегодня в рамках физической химии, являются открытыми, неравновесными и далекими от равновесия, т.е. в них протекают нелинейные процессы, в том числе с бифуркациями и образованием диссипативных структур. В таких системах в виду сложности строения вещества и самих процессов имеют место релаксационные процессы и процессы с последействием, а также протекают латентно процессы с энергетическими потерями, которые сложно формализуются. Именно поэтому для таких систем сложно получить непротиворечивые законы сохранения, в том числе закон сохранения энергии. Одним из центральных вопросов, который возникает при изучении таких систем, является вопрос об устойчивости протекающих неравновесных процессов, так как теорема Пригожина справедлива только для линейных систем.

Получены следующие основные результаты:

1. Для открытых физико-химических систем разработан принцип локального неравновесия в условиях неформализуемых энергетических потерь. Развит предложенный впервые И.Пригожиным метод функций Ляпунова для определения устойчивости стационарных и равновесных состояний. Подход базируется также на принципе минимальности термодинамических потенциалов в состоянии равновесия и принципе Ле-Шателье-Брауна. Показано, что в рамках такого подхода на феноменологическом уровне становится возможным строгое доказательство термодинамических неравенств для неравновесных процессов, которое дается в диссертации на основании полученных тождеств и метода функций Ляпунова, в том числе и для систем с асимптотической устойчивостью. Универсальность метода Ляпунова позволила получить непротиворечивый физический результат и по системам с инверсной заселенностью верхнего уровня.

2. Излагается термодинамика нелинейных процессов, в которой основные (базовые) термодинамические уравнения первого уровня - релаксационные локальные уравнения для термодинамических сил и потоков. В анализе нелинейных процессов используется теория катастроф, в частности потенциальная функция катастрофы сборки, в которой выделяется функция Ляпунова. В задачу такого описания входит описание фазовых переходов первого и второго рода. Формулируется и доказывается теорема для функции производства энтропии, которая является аналогом теоремы Пригожина для нелинейных систем и связана с дрейфом/диффузией к локальному/глобальному минимуму и структурной устойчивостью исследуемых нелинейных физико-химических систем в рамках катастрофы сборки. Формулируется более общая теорема, в которой утверждается что при различных нелинейностях, соответствующих различным химическим реакциям в каждом потенциале катастроф Тома с четной наивысшей степенью параметра порядка можно выделить знакоположительную функцию Ляпунова. Последнее позволяет совместить метод определения устойчивости Тома с прямым методом Ляпунова. Этот вывод является важным также не только для физ-химии, но и для математической теории катастроф.

3. Излагается теория переноса тепла и массы при наличии экзо- и эндотермических химических реакций для локально-равновесных и локально-неравновесных термодинамических систем, которая соединена с термодинамикой, что позволяет за параболическими и гиперболическими уравнениями переноса увидеть локальную термодинамику в виде соответствующих выражений для свободной энергии, энтропии, скоростей их изменения и вторых производных, а также для производства энтропии. Рассмотрение ведется как с источниками тепла и массы, так и их стоками.

Были экспериментально исследованы теплофизические свойства расплавленных солей урана (область температур ~ 1000°С) высокотемпературных теплоносителей для ядерных ректоров. Были получены уникальные данные по температурным зависимостям свойств (теплопроводности, температуропроводности, вязкости, электропроводности) от температуры и состава солей, а также по теплообмену теплоносителя (свинцовых гранул) и расплава реактора. Именно зависимости теплопроводности от температуры делают уравнения переноса нелинейными. Изучена также неравновесная термодинамика процессов адсорбции при сколе кристаллов исландского шпата. Такие исследования послужили для диссертанта основой для последующего рассмотрения нелинейных процессов, которые и привели в итоге к созданию термодинамической нелинейной теории переноса.

4. На созданной математической основе на феноменологическом уровне развит подход, когда имеет место не только релаксация параметра порядка, но и эффект последействия. Введены в рассмотрение временные операторы релаксации и последействия, содержащие их характерные времена. В последнем случае после начала действия обобщенной "силы" формирование поля скоростей параметра порядка и поля "ускорений" задерживается во времени. В результате на основе модифицированного базового нелинейного уравнения получено термодинамическое однородное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка во времени для параметра порядка — отклонения величины термодинамической силы или термодинамического потока от среднего значения в некоторой локальной области. Решения полученного уравнения реализуются по типу странного аттрактора. Установлено, что полученное уравнение описывает фазовые переходы I и II рода с хаотической динамикой параметра порядка и его решения могут служить моделью появления гомофазных и гетерофазных флуктуаций параметра порядка в физико-химических системой. При этом причинами нерегулярности и непредсказуемости является собственная нелинейная динамика термодинамической системы, а не влияние шумов и внешних возмущений.

Для физико-химических систем определены алгоритмы расчета показателей Ляпунова, энтропии Колмогорова, времени необратимости, методики построения бифуркационных диаграмм и т.д. До сих пор аналогичные задачи решались в основном в механике и не охватывали термодинамику и физическую химию.

5. Разработан вариант химической термодинамики межфазных слоев с детерминированным хаосом. Возникновение детерминированного хаоса в межфазных слоях "жидкость-пар" и при химических реакциях связано с последействием, которое обусловлено фазовой неоднородностью. Показано на основе разработанного подхода, что затухание флуктуаций происходит по релаксационному механизму Ландау-Халатникова, который обусловливает длительность ламинарных фаз, увеличивающуюся при приближении к критической точке. Важно, что при таком моделировании может быть достаточно подробно исследовано возникновение гетерофазных флуктуаций, их эволюция и исчезновение, которое в термодинамике называется "рассасыванием флуктуаций". Обоснована возможность введения в анализ фазовых переходов в том числе и с химическими реакциями энтропии Колмогорова, связанной с потерей информации о начальных условиях и определяющей для межфазного слоя время жизни фазовой траектории.

Наибольший интерес представлял поиск решений математической модели слоя с химическими реакциями, содержащиими гетерофазные флуктуации, причем они возникали без использования в уравнениях ланжевеновских источников. Поверхность раздела при фазовых переходов I рода представляет собой слой небольшой толщины, внутри которого свойства могут меняться очень сильно. Как и в первой задаче этой главы в межфазном слое Канна и Хилларда выделялся малый промежуточный слой с одинаковым уровнем флуктуаций и при записи динамического уравнения градиенты плотности/ концентрации не вводились. Несмотря на малую его толщину предполагалось, что слой является макроскопическим и для него выполняются некоторые феноменологические соотношения. При приближении к критической температуре толщина слоя становится соизмеримой с размерами сосуда. Возможная причина появления хаоса в межфазных слоях с химическими реакциями - конкурентная борьба между увеличением пересыщения за счет химической реакции и уменьшением пересыщения за счет образования кластеров.

6. С позиций вязкоупругих (очень вязких) сред предложен новый качественный подход к моделированию пульсаций скорости и получен критерий применимости такого подхода к течению растворов. Сделано обобщение уравнений Навье-Стокса на случай движения вязкоупругих сред как локально-неравновесных сред и получена соответствующая система дифференциальных уравнений второго порядка со временами релаксации механических напряжений и последействием для описания турбулентных пульсаций скорости.

Разработаны математические модели, описывающие качественно возможный механизм возникновения хаотических пульсаций скорости при течении в растворах в рамках теории детерминированного хаоса. Описан кол-могоровский спектр. Обнаружены пульсации температуры, плотности, компонент тензора механических напряжений, мгновенной скорости диссипации энергии на пространственных масштабах инерционного и диссипативного интервалов изотропного турбулентного потока вязкоупругой слабо сжимаемой среды при больших числах Рейнольдса с запаздыванием. Описано возникновение жесткой турбулентности, перемежаемости и гистерезиса.

Первая модель для развитой турбулентности основывается на одномерном нелинейном дифференциальном уравнении (НДУ) второго порядка для изотропных турбулентных пульсаций скорости вязкоупругой слабо сжимаемой среды с запаздыванием и переменным коэффициентом затухания в условиях периодического изменения осредненного градиента давления, связанного с периодически возникающими и уносящимися в поток вихрями, которая решается численными методами. Вторая модель получена интегрированием НДУ на конечном временном интервале и представляет собой одномерное отображение для турбулентных пульсаций скорости

Рассчитываются также показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова и корреляционная размерность диссипативного (странного) аттрактора, спектры пульсаций плотности и масштаба пространственных пульсаций; степень турбулентности. Разработаны алгоритмы расчета времени забывания начальных условий, построения для НДУ бифуркационных диаграмм с нахождением точек ветвления, в том числе зависящих от числа Рейнольдса, частоты внешней силы, времени релаксации напряжений (внутренний параметр).

Исследуются бифуркационные диаграммы для коэффициентов сопротивления, разности давления, подвижности и турбулентной вязкости. Разработанные методы применены также для турбулентных течений растворов в каналах различной геометрии: коаксиальных, с квадратным сечением, сечением в виде равностороннего и равнобедренного треугольников, для сферы, крыловых профилей. Произведено масштабирование гидродинамических характеристик стационарного течения относительно значений в критической точке и исследовано их поведение как отражение геометрических особенностей ростка катастрофы сборки и "удаленности" от трижды вырожденной (критической) точки. На этой основе сформулирован и реализован на практике количественный принцип соответственных состояний в динамике нелинейных течений в растворе.

7. Показана общность разработанного подхода на примере решения задач возникновения гомо- и гетерофазных флуктуаций в задачах биофизики: хаотической динамике тока в одиночных ионных каналах биомембран, в нелинейной динамике саркомеров и в хаотической динамике скелетных мышц человека при норме и различных патологиях. Саркомер является структурной единицей миофибрилл (мышц); помещенный в раствор с добавлением АТФ он способен сокращаться. Нелинейная модель сокращения саркомера впервые дает не только ступенчатый, но и хаотический характер поведения величины деформации для сокращающегося саркомера. Впервые для него был получен странный аттрактор. Выдвинута гипотеза о том, что в саркомере при фиксации актиновых нитей существуют нелинейные пульсации миози-новой системы с диссипацией, что ведет к повышению температуры раствора и, тем самым, к сбросу механической энергии.

За счет полного описания химических реакций в системе саркомер-раствор, к которому добавляют АТФ, и соответствующих 10 нелинейных однородных кинетических уравнений впервые численными методами получено самовозбуждение рассматриваемой системы, выразившееся в виде перехода к хаотическим состояниям с показателями Ляпунова А>0 и последующим развитием неустойчивых низкочастотных пульсаций. В широком диапазоне начальных концентраций вычисляется временная эволюция производства энтропии для системы саркомер-раствор в присутствии АТФ в процессе самовозбуждения.

Было высказано предположение, что хаотические пульсации, фиксируемые в экспериментах, делают двигательные акты при шагании человека более устойчивыми. В результате получено, что нормальные двигательные акты (отсутствие патологий) характеризуются малыми значениями энтропии Колмогорова - это почти периодические движения с хаотическими пульсациями (Ко~0,08). В рамках методов нелинейной динамики по результатам экспериментов (по пациентам, включая норму и различные патологии) вычислены показатели Ляпунова, время забывания начальных условий, спектры пульсаций, псевдофазовые портреты и другие хаотические свойства. Выявлено три типа патологий при заболеваниях опорно-двигательных системы человека.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Быстрай, Геннадий Павлович, 2009 год

1. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: ИЛ, 1960. -127 с.

2. Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика. М.: Наука. 1982. — 488 с.

3. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1973.-511 с.

4. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990.-342 с.

5. Denbigh K.G. Note on Entropy, Disorder and Disorganization. Brit. J. Sei. Т. 40, 1989, p. 323.

6. Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. Соровский образовательный журнал.N 8,1996. С. 109-116.

7. Леонтович М.Л. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983.-416 с.

8. Эткин В.А. Термокинетика (термодинамика неравновесных процессов переноса и преобразования энергии): Учебное пособие для вузов.- 2-е изд.1. Тольятти, 1999. -216 с.

9. Петров Н., Браиков И. Современные проблемы термодинамики.: М.: Мир.1986. -285 с.

10. Ю.Де Гроот С. Термодинамика необратимых процессов. М.: Гостехиз-дат.1956. —280 с

11. Дэй У.А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир. 1974. -188 с.

12. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. М.: Мир. 1974. —304 с.

13. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. JL: Наука , 1945. -589 с.

14. И.Мартынов Г.А. Проблема фазовых переходов в статистической механике//

15. УФН. 1999. Т. 169. №6. С. 595-624.

16. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир. 1984. Т.1. -350 с. Т.2. -285 с.16.3аславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. -270 с

17. Быстрай Г.П., Охотников С.А. Нелинейная термодинамика: вопросы математического моделирования // Вестник кибернетики Электронный ресурс.-Электрон.журн.- Тюмень: ИПОС СО РАН, 2008.- №7. С.58-78 - Режим доступа: http://www.ipdn.ru, свободный.

18. Коверда В.П., Скоков В.Н. Самоорганизованная критичность в системе двух нелинейных стохастических уравнений// Метастабильные состояния и фазовые переходы. Вып. 4. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. С.45-54

19. Коверда В.П., Скоков В.Н., Скрипов В.П. l/f-шум в критическом неравновесном фазовом переходе// Письма в ЖЭТФ. 1996.Т.63 Вып. 9. С.739-742.

20. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир. 1984. -528 с.

21. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф. и др. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка// УФН. 1999. Т. 169. №1. С. 1-6.

22. Ланда П.С. Возникновение турбулентности в незамкнутых течениях жидкости как неравновесный шумоиндуцированный фазовый переход второго рода. ЖТФ. 1998. T.68,N 1. С.31-39.

23. Быстрай Г.П. Термодинамика открытых систем. Учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал, госуниверситета (гриф УМО). 2007. -120 с.

24. Быстрай Г.П. Метод функций Ляпунова в анализе открытых термодинамических систем// Вестник кибернетики. N 4. ИПС СО РАН 2005. С. 122-137.

25. Быстрай Г.П., Пивоваров Д.В. Неравновесные системы. Свердловск: Изд-во Урал, госуни-та.1989. -187 с.

26. Быстрай Г.П. Метод функций Ляпунова в анализе открытых термодинамических систем// Пятый семинар СО РАН-УрО РАН. Термодинамика и материаловедение. Новосибирск 26-28 сентября 2005. С.20.

27. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973. -280 с.

28. Летников Ф.А. Синергетика геологических систем. Новосибирск: Наука, 1992. -228 с.

29. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 256 с.

30. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002. 356 с.

31. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. 2 издание Л.-М.: ГНТТЛ. 1950. -472 с.

32. Базаров И.П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1976. -447 с.

33. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987. -314 с.

34. Беккер Р. Теория теплоты. М: Энергия, 1974. -574 с.

35. Буевич Ю.А. Ясников Г.П. //ИФЖ,1983. Т. XIV.B.3

36. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды. М.: Мир, 1966. -134.

37. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах: введение в теорию диссипативных стуктур.М. :Мир.1979.

38. Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях. М.: Наука, 1979. -136 с.

39. Рубин А.Б. Биофизика. Т.1. -.448 с. Т.2. -467 с. М.: Книжный дом «Университет», 1999.

40. Семенченко В.К. Вступительная статья к книге И.Дьярмати Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1974. С.5-19.

41. Gyarmati I. On the basic principles of the scattering processes and Its generalisation on the nonlinear promlems. Ann. D. Phys.1969, V.7. P.353.

42. Thorn R. Structural Stability and Morphogenesis, Reading, Benjamin, 1975.

43. Хакен Г. Информация и самоорганизация: макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991. 240 с.

44. Лифщиц Е.М.,Питаевский Л.П. Физическая кинетика. Т. 10. М.: Наука. 1979. 527 с.

45. Ландау Л., Лифщиц Е. Статистическая физика. Т. 5. М.: Наука. 1976. — 583 с.

46. Быстрай Г.П. Термодинамика локально-неравновесных процессов переноса тепла// Пятый семинар СО РАН-УрО РАН. Термодинамика и материаловедение. Новосибирск 26-28 сентября 2005. С. 165.

47. Кеплен С.Р., Эссиг Э. Биоэнергетика и линейная термодинамика необратимых процессов. М.: Мир, 1986. -382 с.

48. Быстрай Г.П. Методика оценки эффективности энергетических превращений в физических процессах, происходящих при воздействии на горные породы// Изв. вузов. Горный журнал. 1988. N9. С.1- 7.

49. Быстрай Г.П., Ворох A.C. Термодинамика локально-неравновесных процессов переноса массы// Пятый семинар СО РАН-УрО РАН. Термодинамика и материаловедение. Новосибирск 26-28 сентября 2005. С.21.50.0nsager L. Phys.Rev.1931. V.37.P.405-426.

50. Соболев С.JT. Локально-неравновесные модели процессов переноса // УФН. Т. 167, N 10. С. 1095 -1106.

51. Лыков A.B. Тепломассообмен: (Справочник). М.: Энергия, 1978. -480. с.

52. Быстрай Г.П. Аналитическая термодинамика: Идеи и методы теоретической механики в термодинамике неравновесных процессов// Тез. Докл. Белорусск. Конгресса по теоретической и прикл. Механике "МЕХАНИ-КА-95" 6-11 февраля 1995 ИМММС АНБ Инфотрибо. С.56-67.

53. Быстрай Г.П. Нелинейная макротермодинамика геологических систем// Синергетика геологических систем. Тр. Совещания 6-9 октября 1992 Иркутск: Институт земной коры, 1992. с. 1-5.

54. Быстрай Г.П. Зак Д.И. Метод термодинамических инвариантов для исследования временной эволюции и устойчивости неравновесных систем// Тез. Докл. Украинской конф. Моделирование и исследование устойчивости процессов. 25-29 мая 1992 Киев. С .12-14.

55. Быстрай Г.П. Шилин Г.Ф. Макаров Л.В. Неравновесная термодинамика процессов горного производства. Недра, 1991. -120 с.

56. Быстрай Г.П., Студенок С.И. Двухмерное отображение для нелинейного ротатора с кусочно-постоянным коэффициентом затухания, возбуждаемого периодическими ударами// Изв. Вузов: Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, №6.С.24-34.

57. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир. 1988. -240 с.

58. Колмановский8. В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. -448 с.

59. Гершуни Г.З. Гидродинамическая неустойчивость. Изотермические течения// СОЖ. 1997. № 2. С. 99-106.

60. Быстрай Г.П., Ворох A.C., Андреев C.B. Детерминированный хаос в динамике тока одиночных ионных каналов биомембран. Биофизика. 2005, т.50, вып.5, с.851-861.

61. Трубецков Д.И. Турбулентность и детерминированный хаос, СОЖ. N1, 1998.С.77-83.

62. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991. 368 с.

63. Колмогоров А.Н. //ДАН СССН, 1959, Т. 124. С. 754

64. Поплавский Р.П. Термодинамика информационных процессов. М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. Лит. 1981. -255 с.

65. Лепендин Л.Ф. Акустика. М. Высшая школа. 1978. -447 с.

66. Andrew К. Entropy // Amer J.Phys. 1984.V.52. № 6. Р.492. Перевод: Эндрю К. Энтропия// Сб.Физика за рубежом. 1986. М.: Мир.С. 144-159.

67. Быстрай Г.П., Студенок С.И., Иванова С.И. Детерминированная модель гомофазных и гетерофазных флуктуаций в системе "жидкость-пар"// ТВТ. 2002. Т.40. N 5. С. 779- 785.

68. Bystrai G.P., Ivanova S.I., Studenok S.I. Deterministic chaos in an interphase layer of a liquid-vapor system// International Journal of Bifurcation and Chaos,vol. 14, N10, 2004, p.3671-3678.

69. Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики.Т.2. М.: Высшая школа. 1973. -320 с.

70. Пригожин И.Р. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985. -327 с.

71. Гладышев Г.П. Термодинамика и макрокинетика природных иерархических процессов. М.:Наука 1988. -287 с.

72. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. М.: Наука, 1978. -127 с.

73. Стратонович P.JI. Нелинейная неравновесная термодинамика. М.: Наука 1985. -479 с.

74. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир. 1964. -456 с.

75. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971.-415 с.

76. Томпсон Дж. М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985.-254 с.

77. Павлов C.B. Методы теории катастроф в исследовании фазовых переход-дов. М.: МГУ, 1993. -158 с.

78. Ясников Г.П. Процессы переноса в гетерогенных системах с фазовыми и химическими превращениями. Дисс. на соиск.уч.степ. док.физ.-мат. наук. Свердловск 1983. -336 с.

79. Бахарева И.Ф. Нелинейная неравновесная термодинамика. Саратов: Изд-е Сарат. Госунив-та.1976. —138 с.

80. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. Т. 2. М.: Янус-К. 1999. -438 с.

81. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1989. -361 с.

82. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. М.: Едиториал УРСС, 2004. -240 с.

83. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. Перевод с англ. М.: Мир. 1987. 397 с.

84. Термодинамика и кинетика биологических процессов//Сб. статей под ред А.И. Зотина. М.: Наука, 1980. С. 169-185.

85. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. -448 с.

86. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.-211 с.

87. Быстрай Г.П. Применение методов термодинамики неравновесных процессов в моделировании самоорганизации сейсмической очаговой зо-ны.//Журн. Докл АН СССР. Т.340. N 2.1995. С.243-246.

88. Быстрай Г.П., Студенок С.И., Иванова С.И. Детерминированный хаос при фазовых переходах первого рода в системе "жидкость-пар"// ТВТ. 2003.1. T.41.N4. С.579-586.

89. Быстрай Г.П. Некоторые задачи термодинамики континуальных систем. Свердловск. 1985. Деп. в ВИНИТИ N5944-85. -159 с.

90. Быстрай Г.П., Студенок С.И., Иванова С.И. Детерминированная модель гомофазных и гетерофазных флуктуаций в системе "жидкость-пар"// ТВТ. 2002. Т.40. № 5. С. 779- 785 .

91. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М.:Мир, 1973.-419 с.

92. Арнольд В.И., Теория катастроф. М.: Наука, 1990. -127 с.

93. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир. 1980. -607.

94. Быстрай Г.П., Моисеева О.Н. Развитие количественных методов теории фазовых переходов первого рода и критических явлений в системе жидкость-пар// Сб. Метастабильные состояния и фазовые переходы. N3. Изд-во РАН УрО 1999. С.151-166.

95. Рабинович В.А., Вассерман A.A., Недоступ В.И. и др. Теплофизические свойства неона, аргона, криптона и ксенона. М.: Изд-во стандартов, 1976. -635 с.

96. Анисимов М.А. Критические явления в жидкостях и жидких кристаллах. М.: Наука. 1987. -270 с.

97. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая. Механика. М.: Мир, 1978. Т.1. -404 с. Т2. -398 с.

98. Брус А., Каули Р. Структурные фазовые переходы. М.: Мир, 1984. -403 с.

99. Быстрай Г.П. Детерминированный хаос при химических реакциях в межфазном слое при высоких температурах// ТВТ. 2004. Т.42. N 1. С. 91-104.

100. Адомсон А. Физическая химия поверхностей. М.: Мир. 1979. -568 с.

101. Кольцова Э.М., Третьяков Ю.Д, Гордеев Л.С.и др. Нелинейная динамика и термодинамика необратимых процессов в химии и химической технологии. М.: Химия. 2001. -407 с.

102. Николис Г. Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир. 1979. -350 с.

103. Павлов П.А. Фазовые переходы, вызываемые химическими реакциями// Метастабильные состояния и фазовые переходы. Вып.З. Екатеринбург: УрО РАН. 1999. С.3-14.

104. Байдаков В.Г. Межфазная граница простых классических и квантовых жидкостей: Екатеринбург: УИФ "Наука". 1994. —372 с.

105. Ш.Байдаков В.Г., Болтачев Г.Ш. Новое приближение в размерной зависимости поверхностного натяжения.// ДАН (Россия). Т.363, Т 6.1998 С.753-756.

106. Быстрай Г.П., Черняк В.Г. Обобщение уравнений гидродинамики для быстро протекающих процессов// Вестник кибернетики. N 5, 2006. С.151-155.

107. Быстрай Г.П., Студенок С.И. Влияние вязкоупругих свойств жидкости и последействия на механизм возникновения развитой турбулентности // Наука и технологии. Избранные труды Российской школы "К 70-летию Г.П. Вяткина". -М.: РАН, 2005.С.163-174.

108. Быстрай Г. П., Студенок С. И. Математическое моделирование развитой изотропной турбулентности. Тезисы Первой Всероссийской научной т1егпе1;-конференции «Компьютерное моделирование в естественных и технических науках» Вып.1. Тамбов, 2001 г. С. 29-35.

109. Быстрай Г. П., Студенок С. И. Показатели Ляпунова и энтропия Колмогорова в анализе изотропного турбулентного течения. Труды Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 2002 г. С. 35-40.

110. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М. Изд-во ИЛ. 1962. —201с.

111. Чусов М.А. Релаксационные процессы в развитом турбулентном потоке. В кн. Турбулентные течения. М.: Наука, 1974.

112. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. -М.: Наука,2001.

113. Наймарк О.Б. Неравновесные структурные переходы как механизм турбулентности//ПЖТФ. 1997.Т.23. N12. С.81-86.

114. Ширяева С.О., Григорьев O.A. О капиллярном движении вязкоупругой жидкости с заряженной свободной поверхностью// ЖЭТФ.2000. Т.70.Вып.8. С.39-44.

115. Чепмен Д.Р. Вычислительная аэродинамика и перспективы ее развития. Драйденовская лекция// Ракетная техника и космонавтика. 1980. T.18.N 2.C.3-32.

116. Хинце И.О. Турбулентность. -М.: Физматгиз. 1963.- 300 с.

117. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. -Теория упругости. М.: 2001.- с.

118. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. — 711 с.

119. Фрик П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. 4.1, 2, Пермь, 1999 г.-108 с.

120. Белоцерковский О. М., Опарин А. М. Численный эксперимент в турбулентности, от порядка к хаосу. М.: Наука, 2000 г. —223 с.

121. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Наука, 1967 г.-639 с.

122. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Ч. 2. М.: Наука, 1967 г.-717 с.

123. Студенок С.И. Детерминированный хаос теплофизических параметров изотропной турбулентности. Автореф. дисс. на соиск. уч. степ, к.ф.м.н. Екатеринбург. 2004.

124. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса// ДАН СССР. 1941. Т. 30. № 4. С. 299-303.

125. Рейнольде О. Динамическая теория движения несжимаемой вязкой жидкости и определение критерия. В сб. «Проблемы турбулентности». Москва, 1936 г. С. 185-227.

126. Алексеев Б. В. Физические основы обобщенной больцмановской теории газов// УФН, 2000 г., т. 170, №6. С. 649-679.

127. Быстрай Г.П. Математическое моделирование развитой турбулентности// Сб. науч труд. XX Российск школы по проблемам проектир неодн конструкций Миасс УрО РАН 2000. С.73-78.

128. Быстрай Г.П. Фазовые переходы и метастабильные состояния при течении жидкости в цилиндрическом канале: переход от ламинарного течения к турбулентному// Сб. Метастабильные состояния и фазовые переходы. N3. Изд- во РАН УрО 1999. С. 151-166.

129. Быстрай Г.П. Новые количественные методы анализа турбулентного течения для плохо обтекаемых тел// Сб. науч труд. XIX Российск школы по проблемам проектир неодн конструкций Миасс УрО РАН 1999 г С.123-128.

130. Быстрай Г.П. Бифуркационная диаграмма для турбулентной вязкости в анализе нелинейного течения// Тезис. Докл. 4 Междун. Конф. по матмо-делированию. 27-июня-1 июля 2000. Москва. С.49.

131. Быстрай Г.П. Развитие количественных методов феноменологического и кинетического описания турбулентности// Тезисы докладов симпозиума «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках». Воронеж, ВГУ, 2000. С. 42.

132. Быстрай Г.П. Математическая модель нелинейных возбуждений при турбулентном течении жидкости в цилиндрических каналах// Тезис, докл. 4 Междун. конф. по матмоделированию. 27 июня-1 июля 2000 Москва. С.23.

133. Иванова С.И., Быстрай Г.П. Нелинейная модель нестационарного турбулентного течения в кольцевых каналах// Материалы Международного семинара "Нелинейное моделирование и управление".Самара, 26-30 июня 2000. Изд-е РАЕН. С.48^19.

134. Быстрай Г.П., Береснев С.А. Коэффициенты сопротивления сферической частицы в широком диапазоне чисел Рейнольдса// Тезисы докл. 19 кон-ференц. "Дисперсные системы" стран СНГ, Одесса, 25-29 сент.2000 г. -с.

135. Быстрай Г.П. Цыганок В.П. Нелинейная модель нестационарного движения сферической частицы в турбулентных потоках // Тезисы докл. 19 конференц. "Дисперсные системы" стран СНГ, Одесса, 25-29 сент.2000 г. с.

136. Быстрай Г.П., Вохомская А.О. Физико-химическая механика деформированной дисперсной частицы в жидкости. В сб. "Физико-химическая гидродинамика". Екатеринбург: УрГУ, 1986. С. 43-50.

137. Бадмаев Б.Б., Лайдбон Ч.С., Дерягин Б.В. и др. // ДАН СССР. 1992. T.322.N2. С.307—311.

138. Базарон У.Б., Дерягин Б.В., Булгадаев A.B. Измерения сдвиговой упругости жидкостей и их граничных слоев резонансным методом// ЖЭТФ.1966.Т.51. С.969-982.

139. Крайнов В.П. Качественные методы в физической кинетике и гидродинамике. М.: Высш. шк., 1989. С. 131-134.

140. Трубецков Д.И. Турбулентность и детерминированный хаос//СОЖ, N1.1998. С.77-83.

141. Schubauer G.B. Skramstad N.K. Laminar boundary layer oscillations and stability of laminar flow// JAS. 1947. V.14. P.68-69.

142. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза/Вестник РАН 2001. Т .71.N3. С. 210-232.

143. Moffat H.K. The degree of knottedness of tangled vortex lines//J.Fluid. Mech. V.35.P.117-129.

144. Обухов A. M. О распределении энергии в спектре турбулентного потока// ДАН СССР, 1941 г., т. 32, №1, с. 22-24. го потока// ДАН СССР, 1941 г., т. 32, №1, с. 22-24.

145. Prandtl L. Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure.- 77, 1933, S. 105 -113.

146. Karman Th. // Journal of the Aeronautical Sciences. 1934. - Vol. 1. - P. 1-20.

147. Taylor G.I. Statistical theory of turbulence, Parts l-4//Proc.Roy.Soc. London A.1935. V.151. P.421.

148. Schiller L., Rohrwiderstand bei hohen Reynoldsschen Zahlen. Vortrage a. D. Gebiet d. Aerodinamik und verwandter Gebiete, 69, Berlin 1930.

149. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкостей в гладких трубах. В сб. Проблемы турбулентности. М.-Л.: ОНТИ, 1936. С.76-150.

150. Быстрай Г.П., Нагорняк Е.М., Иванова С.И. Кинетическое описание фазовых переходов и метастабильных состояний при турбулентном течении жидкости. Сб. Метастабильные состояния и фазовые переходы. N4. Екатеринбург: Изд- во УрО РАН 1999. С. 113-128.

151. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М. : Мир, 1981. -638 с.

152. Арнольд В.И. Математика и физика: родитель и дитя или сест-ры.//УФН.Т.169. N12. 1999. С.1311-1323.

153. Седов Л.И, Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1967. -428 с.

154. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. Москва-Ленинград: ГЭИ, 1960. с.

155. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978.-312 с.

156. Гухман A.A. Применение подобия к исследованию процессов тепломассообмена. М.: Высшая школа, 1974. -328 с.

157. Студенок С.И., Быстрай Г.П. Возникновение хаотических режимов при срывном флаттере на примере вязкоупругой цилиндрической бал-ки//Труды двенадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 2002. С 170—173.

158. Быстрай Г.П. О механизме возникновения хаотических режимов в динамике конструкций (на примере выпуклой балки) // Сб. Научных труд. XX Российской школы по проблемам проектиров. неоднород. конст-рукц. УрО АН Миасс 2000 . С.85-91.

159. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука. 1978. -384 с.

160. Holmes P.J. A nonlinear jscillator with a strange attractor// Phil. Trans Roy. Soc. London, Ser. A, 1979. V.292, p. 419-448.

161. Никитин И.К. Обобщение полуэмпирической теории турбулентности на течения у шероховатых поверхностей с различными режимами проявления шероховатых свойств: Турбулентные течения. М.: Наука, 1970. С.62-68.

162. Лущик, A.A. Павельев, А.Е. Якубенко //МЖГ, 1994. N 4. С.4-25.

163. Быстрай Г.П. Термодинамический анализ неньютоновских явлений в простых жидкостях//Сб.научн. трудов. Актуальные проблемы механики сплошных сред. Свердловск. 1988. С.17-25.

164. Быстрай Г.П., Федотов В.П. Синергетический анализ процессов пластического деформирования и разрушения// 13 Всес. Конф. Структура и прочность материалов в широком диапазоне температур. Каунас. 24-26 октября 1989. С.9.

165. Райст П. Аэрозоли. Введение в теорию. М.: Мир, 1987. -280 с.

166. Рытов С.М. Теория электрических флуктуаций и теплового излучения. М.: Из-во АН СССР, 1953. С.230.

167. Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Трошкин О.В. и др. Бифуркационная модель простых турбулентных течений. Препринт Мат. инстит. им. В.А. Стек-лова. АН СССР. М. 1988 . -43 с.

168. Турбулентные течения. М.: Наука, 1974. -222 с.

169. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука. -829 с.

170. Быстрай Г. П., Десятник В. Н., Низов В. А. Скорости движения свинцовых гранул в расплавленных средах// Физическая химия конденсированных фаз. Москва, 1975. -230стр.

171. Кутателадзе С.С. Анализ подобия в теплофизике. Новосибирск: Наука, 1982. -280 с.

172. Никитин Н.В. Прямое численное моделирование трехмерных турбулентных течений в трубах кругового сечения//МЖГ, 1994. N 6. С. 14-26 .

173. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир. 1993. -311 с.

174. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение// В кн. Странные аттракторы. М.: Наука, 1981. С.88-116.

175. Охотников С.А., Быстрай Т.П. Возникновение самовозбуждения и его описание в системе саркомер-раствор // Письма в ЖЭТФ, Т. 88, вып 10, 2008. С.797-800.

176. Murray J.D. Mathematical Biology. Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg. New York. London. Paris. Tokyo. 1984. -760 c.

177. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. М.: КомКнига, 205. -312 с.

178. Кейзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов. М.: Мир. 1990. -607 с.

179. Аветисов В.А., Гольданский В.И. Физические аспекты нарушения зеркальной симметрии биорганического мира // УФН. 1996. Т. 166. №8. С. 873- .

180. Быстрай Т.П., Моисеева О.Н. Развитие количественных методов теории фазовых переходов первого рода и критических явлений в системе "жидкость-пар" // Метастабильные состояния и фазовые переходы. Вып. 3. Екатеринбург: УрО РАН. 1999. С. 151-155.

181. Быстрай Г.П., Студенок С.И. Влияние вязкоупругих свойств жидкости и последействия на механизм возникновения развитой турбулентности // Наука и технологии. Избранные труды Российской школы "К 70-летию Т.П. Вяткина". -М.: РАН, 2005.С.163-174.

182. Быстрай Г.П., Андреев С.В., Жлудова Н.А. Хаотические свойства динамики тока в одиночных ионных К+-каналах//Российский бомедицинский журнал.Т.8.СТ.38. С.398-414. май 2007.

183. Термодинамика и кинетика биологических процессов//Сб. статей под ред А.И. Зотина. М.: Наука, 1980. С.247-265.

184. Мембраны: ионные каналы / под ред. Чизмаджева Ю.А., 1981. —320 с.

185. Солдатов A.M., Дудкин С.М. // Химия. М.: Знание, 1988. № 12.

186. Регистрация одиночных каналов / под ред. Неер Э., Сакман Б., М.: Мир, 1987.С.49-52 с.

187. Гелетюк В.И., Казаченко В.Н. Кластерная организация ионных каналов. М.: Наука, 1990. -224 с.

188. Вайнреб Г.Е., Харкянен В.Н. О новом явлении, индуцированном ион-конформационном ионном взаимодействии в каналах биомембран // Биофизика. 1995. Т.40, вып. 3. С.86 94.

189. Казаченко В.Н., Кочетков К.В., Асланиди О.В., Гриневич А.А // Биофизика. 2001. Т.46, вып.6. С. 1062-1070.

190. Маркин B.C., Чизмаджев Ю.А. Индуцированный ионный транспорт. М.: Наука, 1974. -252 с.

191. Казаченко В.Н., Гелетюк В.И., Чемерис Н.К., Фесенко Е.Е. //Биофизика. 1996. Т.41, вып.6. С. 1322-1331.

192. Bystrai G.P., Ivanova S.I., Studenok S.I. Deterministic chaos in an interphase layer of a liquid-vapor system// International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 14, N10, 2004, pp.3671-3678.

193. Huxley A.F. A theory of muscular contraction// Prog, in Biophys. and Bio-phys. Chem. 1957. V. 7. P. 255.

194. Дещеревский В.И. Математические модели мышечного сокращения. М.: Наука, 1977.-160 с.

195. Волькенштейн М.В. Биофизика. М.: Наука, 1978. .

196. Хилл А. Механика мышечного сокращения. М: Мир, 1985. -183 с.

197. Blyakhman F., Tourovskaya A., Pollack G.H. Quantal sarcomere-length changes in relaxed single myofibrils// Biophysical Journal. August 2001. V. 81. P. 1093-100.

198. Nagornyak E., Blyakhman F., Pollack G.H. Effect of sarcomere length on step size in relaxed rabbit psoas muscle// Journal of muscle research and cell motility. 2004. V. 25. P. 37-43.

199. Нагорняк E.M. Автореферат диссертации на соискание уч. ст. к.ф.-м.н. "Влияние динамики длин миозина на движение границ не активированного саркомера". Пущино,2004. С. 3-9.

200. Ланда П.С., Розенблюм М.Г. Автоколебания в живых организмах. // Природа. 1992. №8. С. 18-27.

201. Николаев Л.П. Руководство по биомеханике в применении к ортопедии, травматологии и протезированию. Часть 2, Киев, 1950. -1093 с.

202. Гехт Б.М. Теоретическая и клиническая электромиография. Л., 1990. -229 с.

203. Водолазский JI. А. Основы техники клинической электрографии. М., 1986. -270 с.

204. Е.В. Румянцев, Е.В. Антона, Химические основы жизни. 2007. М.: Химия, КолоС.

205. Winter D.A., Scott S.H. Technique for Interpretation of electromyography for concentric and eccentric contraction in gait. // J. Electromiography and Kinesiology. 1991. V.l. №4. P.263-270.

206. Витензон A.C., Петрушанская K.A. Закономерности изменения электромиографического профиля мышц при нормальной и физически моделированной ходьбе человека. // Биомеханика. 2002. №2. С.

207. Быстрай Г.П., Богинич A.B., Шкляр Т.Ф. Хаотическая динамика поверхностного потенциала скелетных мышц человека электромиографических исследованиях// Биофизика. 2007. Т.52., .N6. С. 1093-1103.

208. Зотин А.И. Термодинамическая основа реакций организмов на внешние и внутренние факторы.М.: Наука. 1989. —272 с.

209. Боголепов А.И., Быстрай Г.П., Береснев С.А. и др. Экспериментальное и теоретическое исследование фотофореза в разреженном газе// Теплофизика высоких температур. 1991. Т.29. N 4. С. 750-758.

210. Боголепов А.И., Суетин П.Е. Быстрай Г.П., и др. Фотофорез модельных аэрозольных частиц// Теплофизика высоких температур. 1996. Т.34. N 5. С. 751-756.

211. Боголепов А.И., Суетин П.Е. Быстрай Г.П., и др. Фотофорез модельных аэрозольных частиц// Теплофизика высоких температур. 1996. Т.34. N 5. С. 751-756.

212. Быстрай Г.П., Десятник В.Н., Злоказов В.А. Теплопроводность расплавленных смесей тетрахлорида урана с хлоридами натрия и калия. Атомная энергия, 1974. Т.36, вып.6. с.517-518.

213. Быстрай Г.П., Десятник В.Н., Злоказов В.А. Теплопроводность хлоридов щелочноземельных металлов// Теплофизика высоких температур. 1975. T.13.N3. С. 655-656.

214. Быстрай Г.П., Десятник В.Н., Злоказов В.А. Теплопроводность расплавленных смесей тетрахлорида урана с хлоридами натрия и калия// Атомная энергия. 1974. Т.36. N 6. С. 517-518.

215. Быстрай Г.П., Десятник В.Н. и др. Удельная электропроводность бинарных расплавленных смесей хлорпидов щелочных металлов с трихлори-дом урана// Атомная энергия. 1978. Т.44. N 6. С. 513-514.

216. Суетин П.Е., Ярышев Г.М., Быстрай Г.П. Изотермы адсорбции аргона и криптона на свежей поверхности скола кристаллов исландского шпата.// Журнал физической химии. 1972. Т.46. Вып. 4. с. 1055-1056. Депон. ВИ

217. НИТИ за N3984-72 от 18.01.1972.

218. Быстрай Г.П., Десятник В.Н., Оплетаев В.М. Температуропроводность расплавленных солей// Журнал физической химии. 1975. Т.49. N 5. С. 1346-1347. Депон. В ВИНИТИ за N 3316-74 от 30.12.1974.

219. Быстрай Г.П., Десятник В.Н. Электропроводность ионных жидкостей.// Журнал физической химии. 1975. Т.49. N 2. С. 360-362.

220. Быстрай Г.П., Десятник В.Н., Злоказов В.А. Теплопроводность расплавленных смесей тетрахлорида урана с хлоридами рубидия и цезия// Журнал физической химии. 1976. Т.50. N 2. С. 353—355.

221. Быстрай Г.П., Десятник В.Н., Злоказов В.А. Теплопроводность расплавленных смесей тетрахлорида урана с хлоридом лития// Известия ВУЗ-ов: Цветная металлургия. 1975. N4. С. 165-167.

222. Десятник В.Н., Быстрай Г.П., Колонтырь В.И. и др. Удельная электропроводность расплавов системы LiF—ВеР2//Журнал прикладной химии. 1979. N2. С. 316-319.

223. Быстрай Г.П., Десятник В.Н., Клименков A.A. Определение средней скорости сферических частиц в жидкости в в зависимости от скорости входа.// Журнал физической химии. 1974. Т.48. N 11. С. 2896. Депон. ВИНИТИ за N 2106-74 от 30.07.1974.

224. Десятник В.Н., Быстрай Г.П., Колонтырь В.И. и др. Удельная электропроводность расплавов системы 1лР-ВеР2//Журнал прикладной химии. 1979. N2. С. 316-319.

225. Быстрай Г.П., Десятник В.Н. и др. Удельная электропроводность бинарных расплавленных смесей хлоридов щелочных металлов с трихлоридом урана// Атомная энергия, 1978.Т.44, вып. б.с.513. Деп. N 964/9330.

226. Быстрай Г.П., Десятник В.Н. К вопросу о движении капель в жидкости/Журнал физической химии. 1977.С.768. Деп.в ВИНИТИ ТН за N 3696-76 за 20.10.76.

227. Быстрай Г.П., Десятник В.Н., Злоказов В.А. Теплопроводность расплавленных смесей тетрахлорида урана с хлоридами рубидия и цезия// Журнал физической химии. 1976. Т.50. N 2. С. 353-355.

228. Быстрай Г.П., Десятник В.Н., Оплетаев В.М. Температуропроводность расплавленных солей// Журнал физической химии. 1975. Т.49. N 5. С. 1346-1347. Депон. в ВИНИТИ за N 3316-74 от 30.12.1974.

229. Быстрай Г.П., Десятник В.Н., Злоказов В.А. Теплопроводность хлоридов щелочноземельных металлов// Теплофизика высоких температур. 1975. T.13.N3. С. 655-656.

230. Siththanandan V.B., Donnelly J.L., Ferenczi М.А., Biophysical Journal V.90, 3653 (2006).

231. Ranatunga K.W., Coupland M.E., Pinniger G.J. and others, J. Physiol. 585.1., 263 (2007).

232. Bendall J., Muscles, molecules and movement. 1969. Heinemann, Lnd.

233. Шредер M. Фракталы, хаос, степенные законы.М.-С.: Регулярная и хаотическая динамика.2001. -528 с.

234. Глейк Дж. Хаос. Создание новой науки.С.-П.:Амфора.2001. —201 с.

235. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. -296 с.

236. Быстрай Г.П. Теплофизические свойства расплавленных смесей хлоридов урана с хлоридами щелочных металлов. Автореф. дисс. на соиск. уч. степ. к. ф.-м.н. по спец. Теплофизика. 1975. Свердловск. —12 с.

237. Быстрай Г.П., Десятник В.Н. Теплопроводность хлоридов щелочных металлов // Теплофизические исследования жидкостей. Свердловск: Изд-во УНЦ АН СССР, 1975. С. 34-38.

238. Михайлов М.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. Основы молекулярной акустики. М.: Наука 1964. —514 с.

239. Быстрай Г.П. Применение прямого метода Ляпунова в термодинамике необратимых процессов. Тезисы докладов Всесоюз. научн. конф. "Методы функции А.И. Ляпунова в современной математике", Харьков, 1986, с. 17.

240. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Посмаркет.2000. -179.

241. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М. Мир, 1984.

242. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: Физматлит.2001. -295 с.

243. Красовский Н.Н., Котельникова А.Н. Судьба одного подхода к изучению наследственных систем// Известия Уральского государственного уни-верситета.2004, N32/ с. 12-24.

244. Cahn J. W., Hil liard J.E. Free energy of a nonuniform system III: Nucleation in a two-component incompressible fluid. J. Chemical Physics, v.31, pp. 688 — 699 (1959).

245. Cahn J.W, Hillard J.E., Hoffman D.W., A vector thermodynamics for anisotropic surfaces I: Fundamentals and applications to plane surface junctions. Surface Sciences, v.31 (1972).

246. Matthew S, Brian I. & Kaern M. Estimations of intrinsic and extrinsic noise in models of nonlinear genetic networks// Chaos 16, 026107 (2006).

247. Zhuravel D. & Kaern M. Physics takes another stab at biological control mechanisms// Molecular Systems Biology. 1, doi: 10.1038/msb4100037 (2005).

248. Pack A.I. . Sleep Apnea. Pathogenesis, Diagnosis and Treatment. Philadelphia: Univ. Penn.Med.Center, 2002. - 696 p.