Математическое моделирование сложных параметрических колебаний гибких прямоугольных в плане пластин с нединаковыми вдоль стороны краевыми условиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Вахлаева, Татьяна Викторовна

• Вахлаева, Татьяна Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вахлаева, Татьяна Викторовна

Введение. Краткий исторический обзор по теме диссертации.

Глава 1. Математическая модель сложных параметрических колебаний прямоугольных в плане пластин с неодинаковыми вдоль стороны краевыми условиями.

1.1. Основные гипотезы, уравнения, граничные и начальные условия

1.2 . Разностные схемы повышенной точности 0(/г4) для математической модели (1.1.1)-(1.1.6).

1.3. Алгоритм решения и обоснование его выбора.

1.4. Достоверность получаемых результатов.

Глава 2. Сложные параметрические симметричные и несимметричные колебания гибких прямоугольных в плане пластин.

2.1. Сценарий перехода диссипативных колебаний гибких пластинок, шарнирно - опертых по контуру, к пространственно-временному хаосу при гармонических продольных воздействиях (симметричные колебания).

2.2. Диссипативные несимметричные колебания гибких пластинок, шарнирно-опертых по контуру, при гармонических продольных воздействиях.

2.3. Стоячие волны (солитоны) при сложных колебаниях гибких пластин.

2.4. Сценарий перехода диссипативных колебаний гибких пластинок краевые условия - подвижная заделка вдоль всего контура) в состояние пространственно-временного хаоса (симметричные колебания)

2.5. Исследование влияния на сложные колебания пластинок величины начальной амплитуды и коэффициента демпфирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование сложных параметрических колебаний гибких прямоугольных в плане пластин с нединаковыми вдоль стороны краевыми условиями»

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В современных технических отраслях, особенно в авиастроении, ракетостроении, судостроении, машиностроении, приборостроении и строительном деле в качестве основных элементов конструкций широко применяются пластины с неодинаковыми вдоль стороны краевыми условиями. При проектировании машины или сооружения необходимо уметь предсказывать поведение системы, находящейся под действием динамической нагрузки. Выбрав параметры, при которых возникает хаотический режим, инженер лишается возможности предсказывать поведение системы. Инженерная мысль с понятиями хаотической динамики знакома очень давно. Хаос называли шумом, помехами или турбулентностью, а фактор неопределенности или фактор надежности использовались инженерами для учета в проектах этих внешне случайных неизвестных величин, которые непременно возникали в каждом техническом устройстве.

Проблема детерминированности и случайности, предопределенности и непредсказуемости, зародившись несколько веков назад, продолжает оставаться одной из фундаментальных и острых проблем естествознания. Идеи, заложенные в основу статистической физики, связали случайность и непредсказуемость с невозможностью полного описания сложных систем, состоящих из многих элементов, например, газа или плазмы, и привели к вероятностному описанию многоэлементных систем. Вместе с тем предполагалось, что в силу детерминированности исходных уравнений поведение простых систем полностью предсказуемо на любом заданном интервале времени, и в их поведении в силу этого отсутствует черты, характерные для случайных процессов.

Первые мелкие трещины в этой четкой картине разделения детерминированного и случайного начали возникать в начале 20 века. Появилась квантовая механика, перечеркнувшая мнение о возможности определения начальных условий и траекторий физических систем с любой наперед заданной точностью, и тем самым ограничила применимость детерминированного описания макроскопическими простыми системами. С другой стороны, выяснилось, что в сложных системах с большим числом степеней свободы, например, гидродинамических, могут наблюдаться из-за кооперативных эффектов детерминированности в поведении.

С течением времени было обнаружено, что хаотические колебания могут возникать в нелинейных детерминированных системах низкого порядка. Удалось понять источник неупорядоченного шума и управлять им.

Широкомасштабные и планомерные исследования взаимосвязи хаоса и порядка ведутся относительно недавно. Они показали, что в поведении сложных нелинейных систем со многими степенями свободы при определенных условиях могут возникать регулярные пространственные и временные структуры [64], названные И. Пригожиным [19, 47, 52] диссипативны-ми. Наряду с этим возможна и обратная картина: из упорядоченного движения рождается хаос.

Изучение бифуркационных значений параметров динамической системы, при которых происходят существенные изменения в характере ее движения, было начато Пуанкаре [53, 54]. В дальнейшем большой вклад в эту теорию внесла школа A.A. Андронова [1-3].

К началу 80 годов 20 века были сделаны следующие открытия:

1. идентификация аттрактора Лоренца, как странного аттрактора в смысле Рюэля- Такенса; введение понятий квазигиперболического аттрактора и квазиаттрактора как типичных аттракторов динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями;

2. результаты в области теории одномерных отображений;

3. обнаружение конкретных механизмов перехода к хаотическим колебаниям;

4. революционные по своему значению работы по фракталам;

5. ряд бифуркационных явлений при переходе к хаосу от двухчастотных колебаний;

6. экспериментальные результаты в различных гидродинамических течениях, указывающие на участие ограниченного числа мод в начальной стадии перехода к турбулентности.

Новым в хаотической динамике стало открытие внутреннего порядка, который дает возможность предсказания определенных свойств зашумлен-ных систем. В контексте физики образцом хаотических явлений остается турбулентность. Турбулентность - одна из немногих нерешенных проблем классической физики. Ниже мы приведём несколько моделей, описывающих переход механической системы к турбулентности. В настоящий момент известны следующие модели: Ландау [39], Рюэля-Такенса [57], Фейгенбаума [67], Помо-Манвиля [40]. Эти модели схематически приведены в таб. 1 Очень коротко опишем её.

Первоначально картина возникновения турбулентности, представленная Ландау [39], была основана на представлении об иерархии неустой-чивостей. При увеличении некоторого параметра, например, числа Рей-нольдса, или числа Рэлея нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость, и появляются всё новые и новые независимые частоты движения со х,а> 2,со ъ,. При этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тремя и т.д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к последовательности бифуркаций Хопфа, т.е. к движению по поверхности некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит всё более и более сложным, однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау предложена для бесконечномерной модели. Модели же Рюэля-Такенса, Фейгенбаума и Помо-Манвиля связаны с конечномерными моделями.

Рюэль и Такенс предложили другой механизм возникновения турбулентности, согласно которому сначала происходит две последовательные бифуркации Хопфа, как и в модели Ландау, затем нелинейность разрушает трёхчастотное движение, и образуется «странный» аттрактор (таб. 1). Некоторые экспериментальные данные подтверждают модель Рюэля-Такенса. В спектрах мощности появляется сначала одна, затем вторая и, возможно, третья независимые частоты. На пороге появления третьей частоты внезапно возникает широкополосный шум, который свидетельствует о переходе к хаотическому движению. Экспериментально исследовались как вихри Тейлора в жидкости между вращающимися цилиндрами, так и конвекция Рю-эля-Бенара. Здесь обнаружена внутренняя синхронизация между частотами со 1 и со 2. В другом эксперименте по течению Куэтта наблюдались по крайней мере четыре независимые частоты. Это указывает на то, что переход к турбулентности происходит не всегда после двух бифуркаций Хопфа.

Третья модель перехода к турбулентности, предложенная Фейгенбау-мом, связана с последовательностью бифуркаций удвоения периода [67]. Переход начинается с бифуркации Хопфа из устойчивого фокуса в предельный цикл с частотой со 1. При дальнейшем увеличении параметра происходят последовательные бифуркации удвоения, приводящие к периодическому движению с частотами со 1Х, со и, со ,, и т.д. Эта последовательность

2 /4 /8 сходится при некотором критическом значении параметра, при котором возникает странный аттрактор (см. табл.1).

Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых моделях, таких, как аттрактор Рёслера, отображение Хенона, уравнение Дуффинга и др.

Четвёртый механизм возникновения турбулентности, лежит в основе модели Помо-Манвиля и связан с переходом к хаотическому движению с перемежаемостью. В этой модели при увеличении некоторого параметра периодическая траектория непосредственно превращается в хаотическую с перемежаемостью в результате обратной тангенциальной бифуркации. Численное моделирование квадратичного отображения подтверждает такое поведение. Оно существует и для модели Лоренца [41] в некотором интервале параметров, в конвекции Рэлея-Бенара и так называемой химической турбулентности [63].

Таблица 1.

Модель: Ландау Рюэля-Тэкенса Фейгенбаума Помо-Манвиля

Неподвижная точка -«-«

М Бифуркация Хопфа

Е Периодическая траектория -«-«(период Т) -«-«

X Бифуркация Хопфа Периодич. Траектория (период 2Т) обратная тангенциальная бифуркация

А Квазипериодическая Бифуркация Хаотич. дви

Н траектория (2 основные частоты) удвоения жения с перемежаемостью

И Бифуркация Хопфа Периодич. траектория (период 4Т)

3 Квазипериодическая траектория (3 основные частоты) Странный аттрактор Бифуркация удвоения м Бифуркация Хопфа Странный аттрактор ы Турбулентные движения

Следует отметить, что единого механизма перехода к турбулентности в настоящее время не существует. Все модели описывают только возникновение турбулентности и ничего не говорят о свойствах развитой турбулентности.

Здесь следует отметить, что хаотические колебания возникают в присутствии сильной нелинейности:

1. в таких системах, как учет нелинейной зависимости в теории стержней, пластин и оболочек в соотношениях напряжения-деформации; здесь возможно рассмотрение нескольких случаев нелинейности: физическая нелинейность - активное нагружение и разгрузка имеют одни и те же траектории; учет упруго-пластических деформаций, т.е остаточных нагруже-ний; учет циклического нагружения;

2. нелинейные граничные условия или ограничения, определяющиеся деформациями;

3. нелинейные массовые силы, например, магнитные или электрические поля;

4. геометрическая нелинейность, связанная с большими деформациями;

5. нелинейность, которая появляется в контактных задачах (неспаянные балки, пластинки, оболочки), нелинейность, которая связана с повреждениями в конструкции в результате деформаций (межслоевые разрушения и т. д.).

Первые результаты, полученные в этом направлении, были связаны с подходами, которые сводили систему с бесконечным числом степеней свободы к системе с одной степенью свободы, т.е. получению одного нелинейного обыкновенного уравнения второго порядка. В общем виде такое уравнение имеет следующую структуру: х + а(х)х + /?(х)х = /(0, где а(х) и/3(х) - нелинейные функции.

К такого типа уравнениям относится известное уравнение Дуффинга, к которому Холмс свел задачу о вынужденных колебаниях изогнутого стержня:

Х + у Х-~х^1-х2^ = /сое*»/, (2) где х - поперечные колебания стержня. Это уравнение может также служить моделью частицы в потенциале двух ям. Эта модель использовалась и при исследовании плазменных колебаний. Из уравнения (1) вытекает задача о провале трехшарнирной арки (ферма Мизеса). тх + у х + 2х 1 ф2 + у2)У2,

3)

Движение частицы в силовых полях, которые периодичны как в пространстве, так и во времени, служит моделью ряда процессов в физических системах. Среди них классический маятник, заряженная частица в движущемся электрическом поле, синхронные роторы и переход Джозефсона. Например, нелинейная динамика частицы, движущейся в бегущем электрическом поле, описывается уравнением

Х + дх + а&тх = g{kx-(ot), ^ где g - периодическая функция.

Уравнение, описывающее вынужденные колебания маятника + = /со^ со1. (5)

Уравнение осевого изгибания стержня + й?о (1 - /ЗсобП^Х = 0 (6) линейное дифференциальное уравнение Матье). Влияние нелинейностей превращает эти колебания в предельный цикл. Аналогичный пример - маятник с колеблющейся точкой подвеса: х + /Зх + $ + Асо&Ш)ш1х = 0 (?)

Здесь наблюдается удвоение периода и получено шесть субгармонических бифуркаций. Число Фейгенбаума <5=4.74 (при точном <5=4.66920.).

Цепь с нелинейной индуктивностью с линейным сопротивлением (уравнение типа Дуффинга) х + кх + х3 =Всоэ^. (8)

Генератор колебаний с отрицательным сопротивлением - модифицированное уравнение Ван дер Поля (9) х + (х2 - + х3 = Всовсо г.

Вынужденные колебания магнитного дипольного ротатора в скрещенных статическом и переменном магнитном полях sx + сх + KBS sin х = КВа cosxcosQ.t. (10)

Приведенные примеры показывают многообразие математических моделей, которые заключены в уравнении (1). До настоящего времени точного решения данное уравнение не имеет.

Возникает необходимость изучения задач со многими степенями свободы. Хаотические движения для вынужденно изогнутой балки исследовались Тангом и Давелом [85] . В [65] изучались упругие хаотические колебания в изогнутых балках. Балка предполагалась начально сжатой осевой нагрузкой и затем зафиксированной в сжатом состоянии. Колебания вызывались поперечной периодической нагрузкой или колебанием опор. Уравнения движения решались двумя методами: Галеркина и конечных разностей. Хаотический режим балки был установлен по фазовому изображению и по каскаду удвоений периода.

Исследованию нелинейных упруго-пластических колебаний изогнутых балок был посвящен ряд статей Симондса и его коллег [ 84, 72]. В 1985 году они рассмотрели следующий вопрос: балка с закрепленными концами подвергалась короткому интенсивному импульсу поперечной нагрузки, который производит пластический прогиб. Поскольку концы балки закреплены, то мембранные усилия должны также быть приняты в расчет. Решая уравнения движения, они нашли, что остаточные прогибы могут быть в направлении противоположном нагрузке. Это явление они назвали «аномальным» или «противоестественным» поведением балки.

В случае «противоестественного» поведения возникает вопрос: может ли быть реакция балки хаотической. Ли и Симондс [72] показали, что в случае модели с одной степенью свободы движение полностью определено, и там не может быть никаких хаотических колебаний. Что касается балки с двумя степенями свободы, то из исследования Симондса вытекает, что хаотические эффекты могут иметь место [73].

Динамическая реакция упруго-пластических сплошных балок при коротких импульсных нагружениях была рассмотрена Лепиком [75, 77, 79 ]. В этих статьях уравнения движения интегрировались конечно-разностным методом или методом Галеркина, было установлено «противоестественное» поведение и хаотическая реакция балок.

В [78] упруго-пластические колебания изогнутой балки исследуются с помощью метода Галеркина. Показано, что широко распространенное предположение, что мембранная сила постоянна вдоль балки, может дать неправдоподобное решение даже в случае упругих деформаций. На основе вычислений для различных значений параметров балки, материала и нагрузки сделан вывод, что хаотические колебания в случае гармонического возбуждения более обычны, чем для балок под импульсной нагрузкой.

Осесимметричные колебания упругих и упруго-пластических оболочек исследовались в нескольких статьях. Большинство из них посвящено динамическому выпучиванию под осевыми нагрузками или осевому удару массы по оболочке. В работе Флоранса и Гудьера [68] рассматривалось динамическое пластичное выпучивание цилиндрических оболочек под осевыми нагрузками. Решение упрощается предположением, что оно разделяется на доминирующее движение и движение возмущенного типа. Применяется уравнение Прандтля - Рейсса; делается предположение, что в течение реакции не происходит упругое разгружение. В [66] представлены результаты для динамического поступательного выпучивания круговых трубок под осевым толчком.

Для того чтобы исследовать динамический продольный изгиб цилиндрических оболочек, было разработано несколько численных схем (например, статья Морино и соавторов [ 81]). В статье [74], для интегрирования уравнений движения был предложен метод Галеркина, метод применим для произвольного числа степеней свободы; осевые силы инерции также принимаются во внимание. Составляющие уравнения основаны на теории Прандтля-Рейсса, рассматриваются упругое разгружение и обратное пластичное нагружение. Даются некоторые численные примеры и обсуждаются возможности хаотических колебаний.

Изучению явлений хаоса при колебаниях балок с различными краевыми условиями посвящен ряд работ. В [ 26, 82, 87] исследовались нелинейные поперечные или продольные колебания балок, подверженных периодическому поперечному или продольному воздействию. Хаотические явления при колебаниях балки [31] были обусловлены нелинейностью краевых условий. Во всех перечисленных работах рассматривались однослойные балки.

Гибкие пластинки, подверженные интенсивному периодическому воздействию, представляют собой сложную динамическую систему, в которой в зависимости от шевеления параметрами воздействия реализуются принципиально различные режимы колебаний. Сложные колебания и переход к хаосу для гибких ортотропных пластинок, шарнирно-опертых по контуру, при действии продольных знакопеременных нагрузок исследовались в работе [37]. Используется метод конечных разностей 0(h2).

В [6] приводятся результаты численного исследования нелинейных установившихся колебаний шарнирно-опертой квадратной в плане пластины при действии равномерно распределенного нормального давления, интенсивность которого меняется во времени по гармоническому закону. Методом конечных элементов краевая задача сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получено, что при переходе к хаотическим колебаниям реализуется серия бифуркаций удвоения периода.

Большой прогресс в концепции временного динамического хаоса достигнут в таких современных отраслях знаний, как физика плазмы, гидромеханика [23], теория управления, электроника и радиофизика [20]. Существенно более скромные успехи достигнуты в биологии и химии [63,22].

В сети Интернет в разделе Bibliography on Stochastic Resonance американским исследователем Gammaitioni сделана подборка статей по изучаемому направлению с 1980 по 1998 годы по следующим реферируемым журналам Physics Letters A; Physics Review Е; Optics Letters; Neutral Comput; Journal of

Physical chemistig и др. Отмечается рост публикаций с 1996 г., в среднем в год публиковалось до 70 статей. На наш взгляд, это доказывает огромный интерес ученых к данной проблеме. В нелинейных задачах теории пластин, в случае решения многомерных уравнений, имеются лишь единичные публикации.

Сценарий перехода диссипативных систем при воздействии на них гармонических нагрузок в различных отраслях современной науки таких как радиофизика, радиоэлектроника, гидромеханика описан достаточно подробно в работах П. Берже, Н. Помо, К. Видаля [9]; A.C. Дмитриева, В.Я. Кислова[20 ]; Ю.И. Неймарка и П.С. Ланда [46 ]; А. Лихтенберга и К. Либермана[40 ], Ф. Муна [43] и др. Задачи же теории пластин существенно отличаются от задач, приведенных в указанных книгах, т.к. здесь мы по сути дела имеем многомерные системы: две пространственные координаты и время, и приходится рассматривать колебание системы с бесконечным числом степеней свободы во времени. В настоящей работе мы попытаемся описать сценарий перехода к пространственно-временному хаосу и особенности некоторых систем в развитом хаосе на примере гибких пластинок.

Целью работы является применение математического моделирования и численных методов для исследования сложных колебаний консервативных и диссипативных систем в виде прямоугольных в плане гибких пластин с меняющимися вдоль контура краевыми условиями под действием продольных нагрузок, разработка единой методики численного решения уравнений нелинейных колебаний прямоугольных в плане изотропных пластин и последующего исследования получаемых решений с позиции качественной теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы заключается в следующем: разработана математическая модель, методика и алгоритм для численного исследования изотропных прямоугольных в плане пластин, подчиняющихся кинематической модели Кирхгофа; получены сценарии перехода в хаотическое состояние колебаний пластинок под действием продольных знакопеременных нагрузок при изменении частоты и амплитуды вынуждающей силы; выявлены особенности сценария перехода в хаотическое состояние колебаний пластин под действием продольной нагрузки в зависимости от краевых условий; получена серия бифуркаций удвоения периода для колебаний квадратных пластин с неодинаковыми вдоль контура краевыми условиями при действии продольного удара импульсом бесконечной продолжительности по времени, численно получены константы Фейгенбаума. На защиту выносятся.

- новая математическая модель и новая методика исследования сложных колебаний прямоугольных в плане пластин при действии продольных нагрузок;

- результаты исследования нового класса задач колебаний прямоугольных в плане пластинок под действием продольного удара импульсом бесконечной протяженности во времени (консервативные системы);

- результаты исследования колебаний прямоугольных в плане пластин при действии продольной знакопеременной нагрузки в зависимости от краевых условий, амплитуды и частоты вынуждающей силы, начальных условий (диссипативные системы).

Достоверность результатов обеспечивается сравнением с решением ряда нелинейных задач теории пластин, полученных другими авторами, решением тестовых и модельных задач, проверкой сходимости в зависимости от количества точек разбиения по пространственным координатам и времени. Проводилось сопоставление результатов, полученных при реше

4 2 нии задач методом конечных разностей с аппроксимацией 0(к )и 0(к ). Достоверность результатов в динамической задаче в случае неодинаковых вдоль контура краевых условий подтверждается совпадением решения, полученного методом установления, с решением статической задачи при тех же краевых условиях.

Практическая ценность. Разработанный алгоритм позволяет решать широкий класс задач динамической устойчивости пластин с неодинаковыми вдоль стороны краевыми условиями, находящихся под действием поперечного или продольного нагружения, а также исследовать явления пространственно-временного хаоса для множества управляющих параметров {Р0,б), граничных и начальных условий}. Алгоритм и программа расчета могут быть использованы для проектирования и расчета пластинчатых конструкций в различных технических отраслях.

Структура и основное содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Вахлаева, Татьяна Викторовна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Создана математическая модель, единый алгоритм и методика исследования сложных колебаний прямоугольных в плане пластин, основанный на методе конечных разностей повышенного порядка точности. Разработан подход выявления начальных условий для сложных краевых условий методом установления.

2. Предложенный алгоритм реализован для уравнений теории гибких пластин Theodora von Kärmäna в виде комплекса программ на языке программирования PASCAL. На основе полученных данных строится в каждой точке плана целый комплекс характеристик , которые позволяют более точно производить анализ механизма перехода между различными колебательными режимами.

3. С помощью разработанного метода исследован широкий класс задач. Были выявлены и классифицированы диапазоны изменения величины амплитуды вынуждающей силы, при которой колебания пластин имеют общие черты. Таким образом, в зависимости от частоты вынуждающей силы и краевых условий были получены сценарии перехода колебаний пластин в состояние пространственно-временного хаоса.

4. В случае рассмотрения колебаний прямоугольных в плане изотропных пластин с краевыми условиями (1.1.4) или (1.1.5) вдоль всего контура было показано, что несимметричные формы колебаний , как и переход колебаний в состояние хаоса, заложены в нелинейности системы. Существует пороговое значение Ро, после которого диссипативная пластинчатая система начинает колебаться только по несимметричной форме колебаний, если на нее не накладываются дополнительные условия симметричности решения. Кроме того, наблюдается явление перемешивания форм колебаний, когда при одном значении Ро, но на разных интервалах времени происходит изменение формы колебаний с симметричной на несимметричную. Процесс колебаний может сопровождаться большим

121 разнообразием физических явлений, как, например, бегущими или стоячими волнами (солитонами). Величина управляющего параметра Ро, при котором колебания пластинки переходят в состояние хаоса, в случае, когда рассматриваются колебания по симметричной форме, почти в два раза выше, чем в случае несимметричных колебаний.

5. Получено, что в случае консервативной системы колебания пластин с неодинаковыми вдоль контура краевыми условиями под действием удара импульсом бесконечной продолжительности по времени переходят в хаотическое состояние через серию бифуркаций удвоения периода. Для всех исследуемых задач численно получены константы Фейгенбаума.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вахлаева, Татьяна Викторовна, 2000 год

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Наука, 1981.-568 с.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем 2-го порядка.- М.: Наука, 1966. 568 с.

3. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. - 150 с.

4. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. -М.: Наука, 1990.- 312с .

5. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. - 744 с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 598 с.

7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 1. М.: Физ.-мат. литература, 1959. - 464 с.

8. Берже П., Помо Н., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991. 366 с.

9. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972. - 416 с.

10. И. Вахлаева Л.Ф., Вахлаева Т.В. Оценка эффективности и экономичности прямых и итерационных методов решения разностных уравнений // Математика, механика, математическая кибернетика. Сб. научн. трудов. Саратов: СГУ, 1999. С. 18-21

11. Вахлаева Л.Ф., Вахлаева Т.В. Разностные методы повышенной точности для слабонелинейного эллиптического уравнения и сравнениеих со схемами 2-го порядка точности. СГУ. Саратов, 1996. 9 с. Деп. в ВИНИТИ № 2855-В 96 от 24.09.96.

12. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А. Устойчивость гибких пологих оболочек в температурном поле // Прикл. механика. -1983. Т.18. № 1.- С. 16-23

13. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А. Устойчивость гибких пологих оболочек прямоугольных в плане с разными вдоль стороны граничными условиями Известия вузов. Строит-во и архитектура -1984, № 4, -С.21-25.

14. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А., Соколов С.С. О выборе порядка аппроксимации разностной краевой задачи теории оболочек. В сб.: Вычислительные методы и программирование. - Саратов: СГУ, 1981.1. С. 45-48

15. Вахлаева Т.В. Устойчивость пластинки, у которой половина одной из сторон защемлена, а оставшаяся часть шарнирно-оперта // Молодежь и наука на пороге XXI века. Тез. докл. региональной научн. конф. Саратов, 1998. -С. 65-66.

16. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

17. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. -984 с.

18. Гленсдорф В., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973.- 280 с.

19. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике М.: Наука, 1989. - 252 с.

20. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. М.: Наука, 1989.-271 с.

21. Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания. -М.: Наука 1974.- 178 с.

22. Ильгамов М.А. Бифуркации и хаотические колебания в гидроупругих системах // Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.2. Казань: Изд-во КГУ, 1996. С. 6-13

23. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

24. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. -М., Наука, 1973. 175 с.

25. Ковтунов В.В. Хаотические колебания параметрически стабилизированной балки // Сопротивление материалов и теория сооружений -1991, № 59 - С. 83-87

26. Комаров С.А. Выпучивание пластин и оболочек при комбинированном продольно-поперечном нагружении: Автореф. дис. канд. технич. Наук. -Саратов, 1996. 20 с.

27. Корнишин М.М., Паймушин В.Н. Соотношение теории среднего изгиба тонких пластин и пологих оболочек с формой в плане в виде косоугольного четырехугольника // Статика и динамика оболочек. Труды семинара, вып. 8. Казань, 1977

28. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения М.: Наука, 1964. -192 с.

29. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во СГУ. 1976. -216 с.

30. Крысько В.А., Бочкарев В.В., Бочкарева Т.А. Стохастические колебания в системе двух неспаянных балок // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.1. Саратов, 1997.-С. 155-159

31. Крысько В.А., Вахлаева Л.Ф., Вахлаева Т.В. Сложные колебания гибких пластинок при неоднородных по длине краевых условиях // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.2. Саратов, 1997. -С. 19-29

32. Крысько В.А., Крысько A.B. Проблемы бифуркаций и жесткой потери устойчивости нелинейной теории пластин. // Механика оболочек и пластин в XXI веке, Меж.вуз. сб. Саратов, 1999. - С. 50-67

33. Крысько В.А., Петров В.В., Мицкевич С.А. Сложные колебания и жесткая потеря устойчивости геометрически нелинейных пластин при продольных нагрузках // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.1. Саратов, 1997. -С. 160-174

34. Кузнецов Е.Б., Кулаков H.A., Шалашилин В.И. О действии динамических нагрузок на некоторые упругие системы с прощелкиванием // Избр. пробл. прикладной механики. Сб. научн. трудов. Москва, 1974,- С. 439-443

35. Ландау Л.Д. ДАН СССР, 1944, т.7, с. 203

36. Лихтенберг А., Либерман К. Регулярная и стохастическая динамика. -М. Мир, 1984. 528 с.

37. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение. //Странные аттракторы/ Под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шпильникова. -М.: Мир, 1981. -С. 88-116.

38. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.608 с.

39. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наукова думка, 1979. - 315 с.

40. Мун Ф. Хаотические колебания М: Мир, 1990. - 311 с.

41. Незлин М.В., Снежкин E.H., Трубников A.C. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца и большое красное пятно Юпитера.// Письма в ЖЭТФ. 1982, т. 32, -С. 190-193.

42. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 471 с.

43. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М., Наука, 1987.-411 с.

44. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. -М.: Мир, 1979.-512 с.

45. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.- 558 с.

46. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. - 384 с.

47. Петвиашвили В.И. Неодномерные солитоны.// Нелинейные волны/ Под ред. A.B. Гапонова. М. Наука, 1979, С.5.

48. Пригожин И. От существующего к возникающему. -М.: Наука, 1985. -327 с.

49. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. -М,: Прогресс, 1986. -431с.

50. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: Гостехиздат, 1947

51. Пуанкаре А. О науке М.: Наука, 1983. - 560 с.

52. Рабинович М.И. Колебания и волны в нелинейных системах: учебное пособие. Горький: ГГУ, 1978. - 122 с.

53. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн,-М. Наука, 1984. -432 с.

54. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы/ Под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шпильникова М: Мира, 1981. С. 117-151

55. Самарский А.А. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений -М.: Наука, 1978. 592 с.

56. Самарский А.А. Теория разностных схем М.: Наука, 1977. -656 с.

57. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

58. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.-416 с.

59. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

60. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. 2-ое изд. М., Наука, 1967. 491 с.

61. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

62. Abhyankar N.S., Hall Е.К., Hanagud S.V. Chaotic vibrations of beams: numerical solution of partial differential equations.// ASME J. Appl. Mech. 60, 1993. -P. 167174

63. Abramowicz W. , Jones N. Dynamic axial crushing of circular tubes.// Int. J. Impact Engng 2, 1984. -p. 263-281

64. Feigenbaum M.J. Phys. Letters, 1979, v. 74A, p. 375

65. Florence A.L, Goodier J.N. Dynamic plastic buckling of cylindrical shells in sustained axial compressive flow.// ASME. J. Appl. Mech 35, 1968. -p. 80-86

66. Grebodi C., Yorke J.A. Crises, Sudden Changes in Chaotic Attractors and Transient Chaos.//Physicu 7D, 1983, p. 181-200.

67. Karman Th. Festigkeitprobleme im Maschinenbau.// Encycl. der math. Wiss. 1910, IV (4)., s. 348-351.

68. Krätzig W.B. Theory and Computational Concepts for Static and Kinetic Structural Instabilities // Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results -Berlin: Acad. Verl., 1995. s. 302-335

69. Lee J.-Y, Symonds P.S. Extended energy approach to chaotic elastic-plastic response to impulsive loading.// Int. J. Mech. Sei. 34, 34,1992, p. 139-157

70. Lee J.-Y., Symonds P.S., Borino G. Chaotic response of a two degree-of-freedom elastic-plastic beam model to short pulse loading.// ASME J. Appl. Mech. 59,1992. -p. 711-721

71. Lepik Ü. Axisymmetric vibrations of elastic-plastic cylindrical shells by Galerkin s method. // Int. J. Impact Engng 18, 5, 1996. p. 489-504.

72. Lepik Ü. Impulsively loaded Mly ficxed-ended elastic-plastic beams by Galerkin s method. // Int. J. Impact Engng 15,1994. p. 17-23

73. Lepik Ü. Dynamic response of elastic-plastic beams witch axial constraints.// Int. J. Impact Engng 15,1994. p. 3-16

74. Lepik Ü. Dynamic response of elastic-plastic pin-ended beams by Galerkin s method.// Int. J. Solids Struct. 31, 23,1994. p. 3249-3260

75. Lepik Ü. Elastic-plastic Vibrations of a Buckled Beam. // Int. J. Non-Linear Mechanics,. 30, 2,1995. p. 129-139.

76. Lepik Ü., Vibrations of elastic-plastic fully clamped beams and flat archs under impulsive loading. // Int. J. Non-Linear Mech. 29,1994. p. 613-623

77. Mises R. Über die Stabilitätsprobleme der Elastizitäsheorie // Z. angew. Math, und Mech, Bd 3, № 6,1923. s. 406-422

78. Morino L., Leech J.W., Witmer E.A. An improved numerical calculation technique for large elastic-plastic transient deformations of thin shells. Part 1 // ASME , J. Appl. Mech. 38, 1971, p. 423-428; Part 2 // Asme. J. Appl. Mech. 38, 1971. p. 429-436129

79. Nagai Ken-ichi, Yamaguchi Takao. Chaotic vibrations of pact-buckled beam with a variable cross section under periodic exitution // Trans. Jap, Soc. Mech, Eng., 61 N 586, 1995, p. 2202-2209

80. Steeb W.-H., Kunick A. Chaos in dynamischen Systemen. Mannheim-Wien-Zurich.BI-Wiss.-Verl., 1989

81. Symonds P.S. , Yu T.X. Counter-intuitive behavior in a problem of elastic-plastic beam dynamics // ASME J. Apple. Mech. 52, 1985. -p. 517-522

82. Tang D.M. and Dowell E.H., On the threshold force for chaotic motions for a forced buckled beam.// ASME J. Appl. Mech. 55. 1988. p. 190-196

83. Tseng W. Y. , Dugundji J. Nonlinear vibrations of a buckled beam under harmonic excitation.// ASME J. Appl. Mech. 38,1971. p. 467-476

84. Вахлаевой Татьяны Викторовны, выполненной на тему

85. СЛОЖНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГИБКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК С НЕОДИНАКОВЫМИ ВДОЛЬ СТОРОНЫ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК»

86. Разработанный алгоритм и программное обеспечение для численного исследования прямоугольных пластин подтвердили практическую направленность и эффективность их применения.1. С.Н.Конев

87. Научно-производственный центр "АЛМАЗ-ФАЗОТРОН"

88. ЗАКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО410033, Саратов, Панфилова, 1

89. Заместитель Генерального директора по науке, в1Ш1ВД4<андидат технических наук, З^дон^^^еат Государственной премии СССР1. Н. М. Обычев