Исследование компьютерных имитационных моделей методом мастер-уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат технических наук Лежнев, Евгений Васильевич

• Лежнев, Евгений Васильевич
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Лежнев, Евгений Васильевич

Введение.

ГЛАВА 1. ОБ АКСИОМАТИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

1.1. Анализ аксиоматического задания двух дифференциальных моделей.

1.2. Автоматизация вывода уравнений в дифференциальных моделях.

1.3. Реализация алгоритма проверки совместности и независимости аксиоматики имитационной модели двух конкурентов.

1.4. Реализация алгоритма проверки совместности и независимости аксиоматики имитационной модели "хищник-жертва".

1.5. Постановка задачи классификации типа взаимодействия.

ГЛАВА 2. МЕТОД МАСТЕР-УРАВНЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

2.1. Усреднение реализации динамической системы.

2.2. Вывод мастер-уравнения для усредненной реализации.

2.3. Сходимость мастер уравнения при ограниченных параметрах а и v.

2.4. Сходимость мастер-уравнения к уравнению диффузии.

2.5. Сходимость мастер-уравнения при неограниченных параметрах а и v

2.6. Основная теорема.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА МАСТЕР-УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНАЫХ ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ.

3.1. Исследование имитационных моделей "хищник-жертва" и конкурентов методом мастер-уравнения.

3.3. Тестирование метода мастер-уравнения на модели броуновского движения.

3.4. Метод мастер-уравнения для одной модели пробоя диэлектрика.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование компьютерных имитационных моделей методом мастер-уравнения»

Современное состояние и актуальность темы исследований.

Развитие методов компьютерного имитационного моделирования получило особенно широкое распространение в последнее десятилетие и в различных областях науки и техники является главным инструментом реализации информационных технологий. Суть этого моделирования в том, что некоторый набор правил (аксиом), определяющий свойства исследуемого объекта реализуется в виде программного продукта [16], [17], [25], [26], [31], [34], [36]. Имитационные модели динамических систем в общем случае не обязаны иметь реализацию в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений. Если динамическая система и допускает дифференциальную модель, то изменение аксиоматики, продиктованное эмпирическими соображениями, приводит к моделям, не имеющим дифференциальной реализации. Пример такой ситуации был исследован автором, [3], [22] в обобщении известной модели Вольтерра-Лотки. Исследование дифференциальных моделей имитационных динамических систем основаны на хорошо разработанных методах: от [7], до [5], [15], [25]. Для динамических систем, не имеющих дифференциальных реализаций, не существует даже методов идентификации этих моделей с их дифференциальными аналогами. Это затрудняет исследование имитационных динамических систем, не имеющих дифференциальных реализаций, [17], [26]. Это обстоятельство определило задачу, которая состоит в том, что по численной реализации динамического процесса определить дифференциальный аналог модели или, как мы будем говорить тип динамического взаимодействия. Например, всегда ли аксиоматические задание взаимодействия типа хищник-жертва или типа конкурентов таковыми являются на самом деле? Исследование в лингвистической среде не дает решения проблемы. Идентификация фазовых портретов - пригодна лишь для динамических систем, имеющих дифференциальные реализации.

Для динамических систем, не имеющих дифференциальной реализации, вопрос остается открытым. Итак, под определением типа взаимодействия в имитационной динамической системе мы понимаем задачу идентификации этих моделей с их дифференциальными аналогами.

Задача определения типа взаимодействия возникает при исследовании моделей физических процессов:

- анализ фрактальных свойств материалов (поведение дислокаций моделируется взаимодействием типа хищник-жертва, [36], или более сложным);

- определение типа диффузии или волны в росте кластерных структур в, мезоскопических физических моделях, в частности, при моделировании пробоя диэлектрика, [8], [9], [23].

Причины, поь которым динамические системы не имеют дифференциальных реализаций, изучались как математиками, так и физиками. С точки зрения, моделирования физических процессов эти исследования приведены, например, в.обзорах [30]; [12]. Одношиз причин, отсутствия дифференциальной модели динамической системы является сложная "геометрия" траекторий; имеющих дробные размерности больше единицы. Однако, фрактальное описание структур по сложившемуся мнению, [12] является дополнительным к статистическим методам. Нигматуллиным Р. Р. в [27], предложена модель описания статистических свойств физических систем с точки зрения наличия памяти в этих системах. В его моделях процесс с памятью описывается эволюционным уравнением с дробными производными по времени. Причем винеровскому процессу (с полным отсутствием памяти) соответствует уравнение диффузии, а процессу с полным сохранением памяти — волновое уравнение. Эта идея была взята нами на вооружение для исследования численных реализаций процессов вида tk —> y{tk ) е R {к = 1,2,.). При наличии некоторой статистической определенности таких реализаций нами был применен метод мастер-уравнения Каца, [13], [30], позволяющий сопоставить эмпирической волны. Это явилось нашей второй и главной задачей диссертационного исследования. Нами полностью обосновано решение этой задачи для реализаций )}" в двух случаях: при полном отсутствии памяти и при полном сохранении памяти. Таким образом, вторая задача нашей работы состоит в теоретической разработке информационных методов определения типа памяти в численных реализациях вида что можно рассматривать как решение проблему Нигматуллина в двух предельных случаях: в системах с полным сохранением памяти и в системах с полным отсутствием памяти.

Третья задача диссертационной работы состоит в построении моделей ряда информационных систем (хищник-жертва, конкуренты, пробой диэлектрика и др.) на которых проверяется достоверность методов, разработанных при решении первых двух задач.

Все вышесказанное определяет цель и задачи исследования, опирается на методы исследования, имеющие новизну, и позволяет сформулировать основные положения, выносимые на защиту.

Цель и задачи исследований. Целью работы является разработка информационной технологии, позволяющей по численной реализации процесса построить дискретное эволюционное уравнение определенного типа.

Достижение поставленной цели заключено в поэтапном решении следующих задач:

- разработка и реализация алгоритмов проверки корректности системы аксиом, определяющих имитационную модель (гл. I, §1-3), включая создание пакета программ, демонстрирующих корректность систем аксиом, а также программы, генерирующей уравнение по системе аксиом дифференциальной модели;

- построение модели усреднения динамической системы, дающей параметры эволюционного уравнения (гл. II, §1);

- построение рекуррентных соотношений для усреднения по всевозможным состояниям системы и вывод мастер-уравнения (гл. И, §2);

- исследование условий сходимости мастер-уравнения к диффузионному и волновому уравнениям (устойчивость, аппроксимация) (гл. И, §3,5);

- создание программного продукта "Мастер-уравнение", демонстрирующего поведение решения мастер-уравнения (гл. III, §1);

- определение типа взаимодействия динамической системы на основе метода мастер-уравнения, для имитационных моделей хищник-жертва и конкурентов (гл. III, §2-3);

- тестирование метода мастер-уравнения на модели броуновского движения (гл. III, §4);

- исследование модели пробоя диэлектрика методом мастер-уравнения.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовался аппарат методов математического моделирования, численные методы, методы теории дифференциальных уравнений, методы численного моделирования динамических систем.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- разработаны и реализованы в виде компьютерных реализаций алгоритмы проверки совместности и независимости систем аксиом, определяющих динамическую систему;

- частично решена проблема классификации динамических систем по степени сохранения памяти: в случае систем, полностью сохраняющих память обоснована сходимость мастер-уравение к волновому уравнению, а в случае систем, полностью теряющих память, обоснована сходимость мастер-уравнения к диффузионному уравнению.

- исследована модель мастер-уравнения, позволяющая определить тип взаимодействия, реализуемого в известных имитационных моделях пробоя диэлектриков, хищник-жертва, конкурентов) и наличия или отсутствия памяти; Основные положения, выносимые на защиту.

1. Модель мастер-уравнения и условия сходимости мастер-уравнения к волновому и диффузионному дифференциальным уравнениям (устойчивость, аппроксимация).

2. Алгоритм проверки корректности системы аксиом, задающих имитационную модель, а также программа генерации уравнений для систем аксиом, имеющих дифференциальную реализацию.

3. Исследование методом мастер-уравнения следующих имитационных моделей: пробоя диэлектриков, взаимодействия по типу конкурентов и по типу хищник-жертва, а также тестирование метода на модели броуновского движения.

Обоснованность» и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается:

- применением аналитических методов исследования сходимости дискретных моделей к дифференциальным;

- подтверждением аналитических выводов результатами компьютерного моделирования.

Практическая ценность и реализация результатов. Разработанная модель мастер-уравнения позволяет:

- идентифицировать имитационные модели с дифференциальными;

- классифицировать динамические системы по степени сохранения памяти;

- исследовать корректность аксиом соответствующих имитационных моделей;

- исследовать программные продукты конкретных имитационных моделей. Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались на Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике ИНПРИМ-1998, ИНРПИМ-2000; российско-корейской конференции, KORUS-1999, KORUS-2001, KORUS-2002, KORUS-2003; конференции

Наука. Техника. Инновации НТИ-2001, НТИ-2002; Сборнике работ аспирантов НГТУ, 2001, №3, 2003; на семинарах академика Монахова В. Н. ИГД СО РАН; на семинарах проф. Селезнева В. А. НГТУ, ФПМИ. Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликовано в 4 публикациях.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав основного содержания, 27 рисунков, заключения, списка использованных источников и 5 приложений.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Лежнев, Евгений Васильевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нами предложена новая информационная технология, позволяющая динамическим процессам {y(f^)} сопоставлять эволюционное уравнение дискретного типа, которое в случае полного отсутствия памяти и в случае полного сохранения памяти становится дифференциальным уравнением.

В соответствии с поставленными целями исследований получены следующие основные результаты:

1. Разработан алгоритм проверки корректности аксиоматики, задающей динамические системы, основанный на достаточных признаках совместности и независимости систем аксиом, а также произведена автоматизация вывода дифференциальных уравнений на основе системы аксиом.

2. Описан алгоритм построения мастер-уравнения для реализации динамического процесса (yfot)} и доказана сходимость мастер-уравнения при различных отношениях параметров усреднения к следующим дифференциальным операторам:

А) К телеграфному уравнению, при a(At) —> а и v(At) —> v при At —> 0:

1 d2F d2F 2a dF v2 dt2 ~ dx2 v2 5/ ' где а и v — некоторые константы, большие 0, с порядком аппроксимации 0(At).

Б) К волновому уравнению, если <я(Д/)= 0, v(A/)—> v при At —> 0:

2 d2F d2F v -=dx2 dt2 где v - некоторая константа, большая 0, с порядком аппроксимации 0(At).

В) К диффузионному уравнению, если a{At) —> оо, v(Ai) —> оо, а 2a(At)/v2(At)->l/D: dF D d2F dt ~ 2 dx2 ' где D — некоторая константа, большая 0. 3. Метод мастер-уравнения был апробирован на следующих имитационных моделях: взаимодействия конкурентов, взаимодействия по типу "хищник-жертва" и модели пробоя диэлектрика.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Лежнев, Евгений Васильевич, 2004 год

1. Арнольд. Динамические системы. ВИНИТИ, 1985 г.

2. Александров А. Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1987 г.

3. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1961 г.

4. Висман Г., Пьетронеро Л. Свойства лапласовских фракталов при пробое диэлектриков в двух и трех измерениях. Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (Фракталы в физике), М.: Мир, 1988, стр. 210-221.

5. Висман Г., Пьетронеро Л. Свойства подобия растущей зоны и емкость лапласовских фракталов. Труды VI международного симпозиума поIфракталам в физике (Фракталы в физике), М.: Мир, 1988, стр. 210-226.

6. Ю.Вольтера В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976 г.

7. И.Гильберт Д., Бернайс П. Основания геометрии. М. Наука, 1979 г.12.3осимов В. В., Лямшев Л. М. УФН, т. 165, №4, стр. 361-401.

8. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука, 1967 г.

9. М.Кнут Д. Искусство программирования на ЭВМ. Москва, "Мир", 1976 г.

10. Козлов Н. И., Кузнецов В. И., Кузьмин Ю. В. Невольтеровская модель леса. Мат. Моделирование, 8, №10, 1996 г.

11. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000 г.

12. Крупянский Ю. Ф., Гольданский В. И. Динамические свойства и энергетический ландшафт простых глобулярных белков. Успехи физ. наук, 2002, №11, 1247-1269.

13. Лежнев Е. В. Исследование ассимптотического поведения моделей, задаваемых аксиоматически. Сб. научн. трудов НГТУ. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. № 3 (25), стр. 85-90.

14. Лежнев Е. В., Селезнев В. А. Анализ сходимости мастер-уравнения. Сб. научн. трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. (сдано в печать).

15. Лежнев Е. В., Селезнев В. А. Исследование ассимптотического поведения моделей, задаваемых аксиоматически. Тезисы докладов региональной НТК "Наука. Техника. Инновации" НТИ-2001, ч. 1, стр. 113.

16. Лежнев Е. В., Селезнев В. А. О случаях сходимости мастер-уравнения для блуждания за конечный промежуток времени. Тезисы докладов региональной НТК "Наука. Техника. Инновации" НТИ-2002 — Ч. 1. С. 202-203.

17. Лежнев Е. В., Селезнев В. А. Об одной численной модели динамики популяций. Третий Сибирский Конгресс по Прикладной и

18. Индустриальной Математике (ИНПРИМ-1998). Тезисы докладов, стр. 127.

19. Ликле,ма Й., Эвертс К., Лапласово случайное блуждание. Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (Фракталы в физике), М.: Мир, 1988, стр. 122-130.

20. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965 г.

21. Медвинский А. Б. и др. Формирование пространственно-временных структур, фракталы и хаос в концептуальных экологических моделях на примере динамики взаимодействия популяций планктона и рыбы. Успехи физ. наук, 2002, №1, 30-60.

22. Модели динамики нейронной активности при обработке информации мозгом итого "десятилетия". Успехи физ. наук, 2002, №10, 1189-1214.

23. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. Теоретическая и математическая физика, т. 90, №3, 1992 г.

24. Рассохин Д. От С к С++. Москва, "Эдель", 1993 г.

25. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977 г.

26. Соболев С. Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса. Успехи физических наук, 1997, том 167, № 10.

27. Суидан Т. М. Одномерный гравитационно взаимодействующий газ и выпуклая миноранта броуновского движения. Успехи математических наук, 2001, 56, №4, с. 73-96.

28. Теллесс, М. Borland С++ Builder. Спб.: Питер, 1998 г.

29. Тертычный-Даури В. Ю. Стохастическая механика. М.: Факториал — Пресс. 2001 г.

30. Федер Е. Фракталы. Пер.с англ.-М.: Мир, 1991 г.

31. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985 г.

32. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Москва-Ижевск: РХД, 2001 г.