Исследование интегрируемых спиновых цепочек типа XXZ в подходе алгебр Гекке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Оськин, Андрей Федорович

• Оськин, Андрей Федорович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Оськин, Андрей Федорович

Введение

1 Аффинные группы кос

1.1 Системы Кокстера и системы корней

1.2 Расширенные группы Вейля

1.3 Подгруппа сдвигов в аффинной группе кос.

1.4 Элементарный гомоморфизм групп кос А-типа и элементы Юциса-Мёрфи

1.4.1 Построение подгруппы сдвигов для группы кос ВА

1.4.2 Общая конструкция элементов Юциса-Мёрфи

2 Алгебра Гекке и её представления

2.1 Алгебры Гекке Л-типа.

2.2 Представления алгебр Гекке

2.2.1 Разложение Пирса.

2.2.2 Собственные значения элементов Юциса-Мёрфи

2.2.3 Окрашенные графы Юнга и явная конструкция примитивных идемпотентов.

2.2.4 Неприводимые матричные представления алгебры Гекке.

2.3 Факторизованные формулы примитивных идемпотентов

2.3.1 Бакстеризованные элементы

2.3.2 Конструкция разложения примитивных идемпотентов

2.3.3 Нормировочный множитель и квантовая размерность

2.4 Частичный порядок на таблицах Юнга.

3 Алгебра Гекке и интегрируемые модели.

3.1 Построение гамильтониана XXZ-модели для алгебр Гекке 75 3.1.1 Спектр гамильтониана при малых п.

3.2 Явный вид представлений Гекке алгебры для угловых диаграмм

3.3 Спектр #(fc?1)(g).

3.4 Спектр H(k2)(q).

3.5 Общий случай: спектр

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование интегрируемых спиновых цепочек типа XXZ в подходе алгебр Гекке»

Одной из важных задач современной математической физики является исследование интегрируемых систем. Конечномерными интегрируемыми системами называются гамильтоновы системы в которых число коммутирующих интегралов движения равно числу степеней свободы. Для случая бесконечномерных систем данный термин был применён Фаддеевым и Захаровым в работе [2] при исследовании уравнений КдВ.

Наиболее известным примером интегрируемой модели является пожалуй Sine-Gordon уравнение уэ -Ь т2 sin</? О, для скалярного поля <p(x,t), которое полагается релятивистским и нелинейным.

Как хорошо известно, проблемы теоретико-полевых моделей со взаимодействием связаны с наличием расходимостей и необходимо вводить регуляризации. Дискретизация пространства, или другими словами, переход к решёточным моделям, является одним из способов такой регуляризации. Этот подход сводит полевую модель в конечном объёме к системе с конечным числом степеней свободы.

В начале 80-ых годов в основном благодаря работе Изергина и Коре-пина [14] было осознано, что интегрируемые модели связаны с решёточными моделями, которые тем самым являются интегрируемыми и могут быть интерпретированы как модели квантовых спиновых цепочек. Позже возникло много других задач, которые были интерпретированы в терминах моделей квантовых спиновых цепочек. Например есть применения этих моделей в физике конденсированных состояний [19], а также в современной теории струн [15]. Много интересных результатов с их помощью было получено в работах посвящённых изучению высокоэнергетической части теорий КХД [16, 17, 18].

Примером гамильтониана описывающего спиновые цепочки, является гамильтониан XXZ\/2 спиновой модели. Это выражение вида n-1 i „1

ТТ ^ сс сс у у 5 I ^ z z ^ f Z 2 \ 2Si Si 5г+1 2 4 ~ г=1 где q формальный параметр, суммирование берётся по п узлам цепочки, sx,sy, sz матрицы Паули s:r г О

Пространством, в котором определён данный гамильтониан является гильбертово пространство

Н = С2 ® С2 0 . С2, где произведение берётся п раз, и произвольный оператор Xi действует нетривиально только в г-ом пространстве, то есть

Xi = l<g>l<g>---<g>X<g>---<g>l, где 1 единичный оператор.

Название оператора XXZ модели своим происхождением обязано обобщению XXX модели спиновых цепочек Гейзенберга

Нххх = SiSi+1 + ei si+l + SiSi+1' i в котором деформировано взаимодействие вдоль оси z.

Одним из методов исследования таких гамильтонианов является метод обратной задачи рассеяния или алгебраический анзац Бете [2, 20, 21]. Данный метод является развитием анзаца Бете [1] и на этом пути было достигнуто много интересных результатов. Однако, помимо подхода обратной задачи рассеяния существует интерес к альтернативным формам изучения таких гамильтоновых систем. Один из этих подходов был предложен в работе Дегучи и Акутсу [22], и он сводится к тому, чтобы переопределить гамильтониан спиновой цепочки в терминах алгебр Гекке.

В простейшем понимании алгебры Гекке, это алгебры порождённые набором образующих Tj,i = 1,п и набором определяющих соотношений

Tl-q)(Ti + q~1) = О, где q формальный параметр.

Если рассмотреть матрицу вида

TiTj — TjTi: \i-j\>2, rp rri гтл rri rri m

-Ч-Ч+1-М — 1i+l1i1i+\->

R = q 0

0 q-q"1

0 1

0 0

0 (Л

1 0 0 0 0 q у которая действует в пространстве (С2)®2, и определить оператор Ri действующий на г, г + 1 пространствах гильбертового пространства 7i, то прямой проверкой нетрудно убедиться, что этот оператор удовлетворяет тем же самым соотношениям алгебры Гекке

RiRj = RjRi, | i — j R{Ri+\Ri — Ri+lRiRi+l, (Ri-qKRi + q-1)^ 0, где второе соотношение называется уравнение Янг-Бакстера. И вновь, прямой проверкой можно проверить, что гамильтониан XXZ модели может быть переписан в виде

Н =

Тем самым задача исследования спектра гамильтониана XXZ модели сводится к чисто алгебраической задаче поиска собственных значений оператора в R-матричном представлении алгебры Гекке. Как видно из этого анализа, задачу можно обобщить и исследовать собственные значения данного оператора в других представлениях, которые будут соответствовать другим интегрируемым моделям.

Изложим теперь кратко содержание данной диссертации. В первой главе описывается теория аффинных и неаффинных групп кос, и для случая групп кос А типа описывается конструкция так называемого "элементарного гомоморфизма" (соответствующий английский термин "evaluation homomorphism" не имеет более адекватного перевода на русский язык), при помощи которого удаётся систематически описать свойства специальных объектов соответствующей алгебры Гекке, которые называются элементами Юциса-Мёрфи. Эти формулы, обобщающие результаты Юциса [54] и Мёрфи [57] для &п, были выведены Диппером и Джеймсом [44]. Основная идея построения элементарного гомоморфизма заключается в том, что в аффинной группе кос удаётся выполнить одновременно несколько условий. Сама по себе аффинная группа кос (вообще говоря расширенная, но в тексте для упрощения это слово будем опускать) может быть определена несколькими разными эквивалентными способами. С одной стороны она определяется набором образующих {То,., Тп}, которые удовлетворяют соотношениям кос гр ГТ~! ГТ1 ГГ1 гр ГТ1

J-i-LjJ-i • • • — J-j-Li-lj • • • ) rriij множителей my множителей где rriij элементы матрицы Кокстера, которые определяют тип данной аффинной алгебры, и элементами тт 6 где Q фундаментальная группа данной алгебры Ли, или, другими словами, группа автоморфизмов соответствующего аффинного графа Дынкина. С другой стороны, для аффинных групп кос естественным образом определяется подгруппа сдвигов Y, изоморфная решётке ковесов, и аффинная группа кос описывается в этом случае элементами подгруппы сдвигов и образующими {Ti,.,Tn}, которые сами по себе являются образующими уже неаффинной группы кос. Так как подгруппа Y является образом решётки ковесов, то тем самым она играет важную роль в теории представлений групп кос и соответствующих аффинных алгебр Гекке. Поскольку это два различных описания одной и той же аффинной алгебры, то между ними существует связь, которая описывается при помощи понятия длины. Это построение в случае аффинных групп является всего лишь расширением классического понятия и потому многие теоремы переносятся практически без изменений [4, 5]. С использованием конструкции длины в случае А серии для ковеса соответствующего старшему ковесу антифундаментального представления получается следующий результат тгпТгТ2 .Тп, где 7гпТо = Тптгп. Однако, с другой стороны, в неаффинной группе кос, существует внутренний автоморфизм, порождаемый элементом х = тп.тъ который действует схожим образом. Наивно можно сказать, что существует гомоморфизм аффинной группы кос на неаффинную группу с использованием отождествления тг X. Это не совсем точно, так как данное отображение не является корректно определённым, однако, как оказывается в дальнейшем, ошибка, которая допускается при таком отождествлении не является существенной. С учётом этого замечания получается, что элементу Ybn соответствует элемент называемый элементом Юциса-Мёрфи и равный

Уп ~ ТпТп—\. 1j . Тп—\Тп.

Рассматривая другие ковеса, и используя то же отображение, для неаффинной алгебры Гекке получается целое семейство операторов, которые называются уже семейством элементов Юциса-Мёрфи, и которые, будучи образами подгруппы сдвигов, которая, как было сказано, в свою очередь является образом решётки ковесов, наследуют свойства данной решётки. А именно, они образуют максимальную коммутативную подгруппу, а также в последующем с их помощью описывается теория представлений соответствующей алгебры Гекке. Формулы для связи между элементами Юциса-Мёрфи и операторами X для А серии появлялись в работах [12, 13]. Другой подход к вычислению элементарного гомоморфизма с использованием квантовых групп изложен в [23].

Во второй главе, определяются алгебры Гекке и при помощи введённых элементов Юциса-Мёрфи строится их теория представления. Данная теория, в силу причин упомянутых выше, оказывается связанной с теорией представления алгебр Ли sln, и потому активно использует соответствующий язык, а именно язык диаграмм Юнга. Все возможные представления алгебр Гекке при этом описываются окрашенным графом Юнга, в вершинах которого стоят диаграммы Юнга, соответствующие специальным элементам алгебры Гекке, которые называются идемпотен-тами, то есть обладают тем свойством, что Е2 = Е. Идемпотенты обладают рядом свойств, во-первых они являются собственными функциями элементов Юциса-Мёрфи yiEj- = EtUi = с\Ет и во-вторых, они выражаются через эти же элементы. Более того, существует альтернативная форма их описания через бакстеризованные элементы, изложенная в диссертации, которая является обобщением конструкции для симметрической группы.

Юцисом [53] было замечено, что примитивные идемпотенты симметрической группы &п, могут быть получены как некоторый предел рациональной функции вида где щ,. ,ип являются комплексными переменными и произведение вычисляется в групповой алгебре (С[(3П ] с лексикографическим упорядочиванием по парам (i,j). Сходная конструкция, которую можно назвать "процедура слияния" (оригинальный английский термин "fusion procedure"), была разработана Чередником в работе [42]. Полное доказательство было впервые дано Назаровым [58]. Более простая версия доказательства этой конструкции устанавливающая связь с конструкцией Юциса-Мёрфи, была найдена недавно Молевым [55]. Её суть заключается в следующем.

Если Т является стандартной таблицей Юнга ассоциированной с разбиением Л числа п с содержимым = j — г если элемент к занимает клетку таблицы в строке г и столбце j, то последовательные вычисления определены и результатом вычисления является соответствующий принием симметрической группы &п ассоциированной с разбиением Л, pi (5п-модуль С[6„] является прямой суммой левых идеалов над всеми разбиениями Л и всеми стандартными А-таблицами Т.

Указанную выше процедуру слияния удаётся обобщить для случая алгебры Гекке. Процедура также была впервые разработана Передником [43], в то время, как детальное доказательство основанное на диверсии Юнговских симметризаторов было дано Назаровым [59], в работе Грайма [45] была использована версия основанная на главных крюках разбиения А. Однако в диссертации был использован другой подход, который использует то свойство примитивных идемпотентов алгебры 7~Cn, что они выражаются в терминах элементов Юциса-Мёрфи, и в конечном итоге задача построения сводится к последовательным вычислениям рациональных функций аналогичных случаю симметричной группы.

Также оказывается что в процессе построения идемпотентов, легко вычислить нормировочный коэффициент, и он оказывается связанным с q-размерностъю стандартных таблиц и следом Окнеану-Маркова [52] от соответствующих идемпотентов.

В третьей главе вычисляется спектр гамильтониана XXZ-модели, для случая специальных представлений алгебр Гекке, соответствующих диаграммам Юнга углового типа. Исходно в данной главе согласно работе [25] описывается конструкция элементов аналогичных матрицам момитивный идемпотент Ej, умноженный на произведение крюков диаграммы А. Левый идеал С[6

71 ] Ет является неприводимым представленодромии Склянина [24], для случая алгебр Гекке. Полученные матрицы монодромии являются генерирующими функциями семейства коммутирующих элементов, одним из которых и является собственно гамильтониан XXZ модели. Тем самым устанавливается связь между интегрируемыми моделями связанными с XXZ моделями исследованными Бете и интегрируемыми системами, получаемыми как коммутативные подалгебры в алгебрах Гекке. В результате, задача исследования спектра гамильтониана сводится к исследованию собственных значений соответствующих элементов алгебры Гекке в различных неприводимых представ л ениях.

Собственно построение спектра гамильтониана XXZ модели для представлений соответствующих угловым диаграммам состоит из двух частей. Вначале производится вычисление спектра для представлений соответствующих угловым диаграммам простейшего типа, а именно диаграммам вида 1}, то есть состоящих из двух рядов, причём во втором ряду находится лишь одна клетка. Далее, более сложные представления строятся из простейших как антисимметризация их тензорных произведений. Вообще говоря, для алгебр Гекке коумножение не определено, однако в работе формулируется общий результат, который указывает условия при которых данную процедуру провести можно. После построения представления соответствующего произвольной диаграмме Юнга углового типа, в силу указанной конструкции, спектр гамильтониана получается как сумма соответствующих собственных значений гамильтонианов соответствующих угловым диаграммам типа {/с, 1}.

Перед тем как приступить к изложению основных результатов работы, автор желает воспользоваться случаем и поблагодарить своих научных руководителей А.П.Исаева и С.З.Пакуляка, благодаря неустанной помощи которых эта работа была написана. Особая благодарность коллегам из лаборатории теоретической физики Объединённого Института Ядерных Исследований, в стенах которого были получены основные результаты. А также хотелось бы поблагодарить всех тех людей, которые оказывали мне поддержку: Анне Зборонь, Денису Кораблёву, Владимиру Колесникову, Роману Васину, Наталье Рябовой, Григорию Вартанову, Роману Лабутину, Алексею Силантьеву, Роману Пасечнику, Александру Пимикову, Лилии Кузнецовой, Габриэлле Ребелке, Освальдо Сантиляну, Андрею Зорину, Андрею Филатову, Анастасии Филатовой, Павлу Пинскому, Юлии Пинской, Юрию Ковалёву, Светлане Земсковой и всем тем, кто не был упомянут, но кто всегда был рядом.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Оськин, Андрей Федорович

Заключение

На защиту выдвигаются следующие результаты.

• Для алгебр Гекке А типа были получены условия, при которых одни представления, можно выражать через специальные комбинации тензорных произведений других представлений.

• С использованием этих условий, для неприводимых представлений алгебр Гекке А типа, соответствующих угловым диаграммам Юнга, был получен спектр гамильтониана XXZ модели.

• Для примитивных идемпотентов алгебр Гекке были получены их факторизованные формы, записанные в терминах бакстеризован-ных элементов.

• Для вышеуказанной формы записи примитивных идемпотентов, были получены выражения для нормировочных коэффициентов, и была указана связь с ^-размерностью соответствующих диаграмм Юнга.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Оськин, Андрей Федорович, 2009 год

1. В.Е.Захаров, Л.Д.Фаддеев, Уравнение Кортевега-де Фриса -вполнеинтегрируемая гамильтонова система, Фупкц. анализ и его прил. 5 (1971) 18.

2. В. Кац Бесконечномерные алгебры Ли, Москва "Мир", 1993.

3. Дж. Хамфрис, Введение в теорию алгебр Ли и их представлении, М.:МЦНМО, 2003.

4. Cherednik, Double Affine Hecke Algebras, Cambridge University Press (2005).

5. Yu.A. Drozd and V.V. Kirichenko, Finite dimensional algebras, Springer-Verlag, 1994. An original Russian edition by Publisher of Kiev State University "Vishcha shkola", Kiev, 1980.

6. J.E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

7. H. Wenzl, Hecke algebras of type An and subfactors, Invent. Math. 92 (1988) 349.

8. D.Kazhdan and G.Lusztig, Representations of Coxeter Croups and Hecke algebras, Invent.Math 53 (1979) 165.

9. A.A. Kirillov, jr, Lectures on affine hecke algebras and macdonalds's conjectures., Bulletin of AMS, 34 (1997), 251.

10. G.Lusztig, Affine Hecke algebras and their graded version, J. of AMS 2 (3) (1989), 599.

11. D.Bernard, M.Gaudin, D.Haldane and V.Pasquier, Yang-Baxter equation in spin chains with long interactions, J.Phys. A, 26, (1993), 5219.

12. D.Levy, Algebraic structure of translation-invarian spin-1/2 XXZ and q-Potts quantum chains, Phys.Rev.Lett., 67 (1991), 1971.

13. A.Izergin, V.Korepin, LMPh, 6 (1984) 241.

14. L.D.Faddev, O.Tirkkonen, Connections of the Liouville model and XXZ spin chain,

15. L.N.Lipatov, High energy asymptotics of multi-colour QCD and exactly solvable lattice models, hep-th/9311037

16. L.N.Lipatov, JETP Lett, 59 (1994) 596.

17. L.D.Faddeev, G.P.Korchemsky, Phys.Lett.B, 342 (1995) 311.

18. R.J.Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, Academic Press, New York, 1982.

19. L.D.Faddeev, How algebraic Bethe ansatz works for integrable models

20. C.Gardner, J.Green, M.Kruskal, R.Miura, Method for solving the Korteweg-de Vris equation, Phys.Rev.Lett. 19 (1967) 1095.

21. T.Deguchi, Y.Akutsu, Graded solutions of the Yang-Baxter relation and link polynomials, J.Phys.A, 23 (1990) 1861.

22. V. Chari and A. Pressley, A guide to quantum groups, Cambrige Univ. Press (1994).

23. E.K. Sklyanin, Boundary Conditions For Integrable Quantum Systems, J. Phys. A 21 (1988) 2375.

24. A.P. Isaev and O.V. Ogievetsky, On Baxterized Solutions of Reflection Equation and Integrable Chain Models, preprint math-ph/0510078.

25. A.P. Isaev, Functional equations for transfer-matrix operators in open Hecke chain models, Theor. Mat. Phys. (2006).

26. M. Jimbo, A q-analogue of Uq(gl(N + 1)), Hecke algebra and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 11 (1986) 247.

27. A.P. Isaev, Quantum groups and Yang-Baxter equations, Sov. J. Part. Nucl. 26 (1995) 501 (Fiz. Elem. Chastits i At. Yadra 26 (1995) 1204).

28. A.P. Isaev and O.V. Ogievetsky, On representations of Hecke algebras, Czechoslovak Jour, of Physics, Vol.55, No.ll (2005) 1433.

29. O. Ogievetsky and P. Pyatov, Lecture on Hecke algebras, in Proc. of the Int. School. "Symmetries and Integrable Systems Dubna (1999); preprint MPIM (Bonn), MPI 2001-40, (http://www.mpim-bonn.mpg.de/html / preprints/preprints.html).

30. A.Okounkov and A.Vershik, A new approach to representation theory of symmetric groups, Selecta Math., New Ser. Vol. 2, No. 4 (1996) 581.

31. V.F.R. Jones, Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials, Annals of Mathematics 126 (1987) 335.

32. G.E. Murphy, On the representation theory of the symmetric groups and associated Hecke algebras, J. Algebra 152 (1992) 287;

33. R. Dipper and G. James, Blocks and idempotents of Hecke algebras of general linear groups, Proc. of London Math. Soc. 54 (1987) 57.

34. H. Wenzl, Hecke algebras of type An and subfactors, Invent. Math. 92 (1988) 349.

35. A.P Isaev and O.V. Ogievetsky, Baxterized Solutions of Reflection Equation and Integrable Chain Models, Preprint math-ph/0510078 (2005).

36. A.P. Isaev, R-matrix approach to differential calculus on quantum groups, Sov. J. Part. Nucl. 28 (3) (1997) 267.

37. A.P. Isaev and A.F. Os'kin, Open Hecke chains and free fermions, Czechoslovak Jour, of Physics, Vol.56 (2006).

38. L. Faddeev, N. Reshetikhin, and L. Takhtajan, Quantization Of Lie Groups And Lie Algebras, Leningrad Math. J. 1 (1990)193.

39. O. Ogievetsky, Uses of Quantum Spaces, Lectures presented at the School "Quantum Symmetries in Theoretical Physics and Mathematics Bariloche (2000), Contemporary Mathematics, 294 (2002) 161-231.

40. A.P. Isaev, Quantum groups and Yang-Baxter equations, Sov. J. Part. Nucl. 26 (1995) 501 (Fiz. Elem. Chastits i At. Yadra 26 (1995) 1204); preprint MPIM (Bonn), MPI 2004-132, (http://www.mpim-bonn.mpg.de/html / preprints/preprints. html).

41. R.P.Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol.1, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

42. I.V. Cherednik, On special bases of irreducible finite-dimensional representations of the degenerate affine Hecke algebra, Funct. Analysis Appl. 20 (1986), 87-89.

43. I. V. Cherednik, A new interpretation of Gelfand-Tzetlin bases, Duke Math. J. 54 (1987), 563-577.

44. R. Dipper and G. James, Blocks and idempotents of Hecke algebras of general linear groups, Proc. London Math. Soc. 54 (1987), 57-82.

45. J. Grime, The hook fusion procedure for Hecke algebras, J. Alg. 309 (2007), 744-759.

46. A.P. Isaev, Quantum groups and Yang-Baxter equations, preprint MPIM (Bonn), MPI 2004-132 (2004), http://www.mpimbonn.mpg.de/html/preprints/preprints.html.

47. A.P. Isaev and O.V. Ogievetsky, On representations of Hecke algebras, Czechoslovak J. Phys. 55 (2005), 1433-1441.

48. H.Hinrichsen and V.Rittenberg, A two-parameter deformation of the SU(ljl) superalgebra and the XY quantum chain in a magnetic field, Phys.Lett.В 275 (1992), 350-354.

49. G.Duchamp et al., Euler-Poincare characteristic and polynomial representations of Iwahori-Hecke algebras, Publ.Res.Inst.Math.Sci. 31 2 (1995), 179-201.

50. Leah J. Ratliff, The Alternating Hecke algebra and its representations., Univ. of Sydney, PhD Thes. (2007).

51. M. Jimbo, A q-analogue of Uq(gl(N -f- 1)); Hecke algebra and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 11 (1986), 247-252.

52. V.F.R. Jones, Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials, Ann. of Math. 126 (1987), 335-388.

53. A. Jucys, On the Young operators of the symmetric group, Lietuvos Fizikos Rinkinys 6 (1966), 163-180.

54. A. Jucys, Factorization of Young projection operators for the symmetric group, Lietuvos Fizikos Rinkinys 11 (1971), 5-10.

55. A.I. Molev, On the fusion procedure for the symmetric group, Reports on Math. Phys. 61 (2008), to appear; arXiv:math/0612207.

56. A. Molev, Yangians and classical Lie algebras, Mathematical Surveys and Monographs, 143. American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.

57. G.E. Murphy, The idempotents of the symmetric group and Nakayama's conjecture, J. Algebra 81 (1983), 258-265.

58. M. Nazarov, Yangians and Capelli identities, in: "Kirillov's Seminar on Representation Theory"(G. I. Olshanski, Ed.), Amer. Math. Soc. Transl. 181, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, pp. 139-163.

59. M. Nazarov, A mixed hook-length formula for affine Hecke algebras, European J. Combin. 25 (2004), 1345-1376.