Изомонодромные деформации фуксовых уравнений второго порядка на сфере Римана и соответствия Гекке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Облезин, Сергей Викторович

• Облезин, Сергей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Облезин, Сергей Викторович

1 Введение

1.1 Мотивация и актуальность работы.

1.2 Обзор результатов работы.

1.3 Задача изомонодромной деформации

1.4 Обзор используемых методов алгебраической геометрии.

1.5 Краткий обзор понятий теории представлений.

1.6 Благодарности.

2 Дискретные симметрии систем изомонодромных деформаций дифференциальных уравнений второго порядка фуксового типа 2.1 Введение

2.2 Модификации расслоений ранга N со связностями

2.3 з/(2)-связности с особенностями на Р1.

2.4 Классический пример: \¥(Сз)-симметрии гипергеометрического уравнения.

2.5 Другой классический пример:

У(С4)-симметрии уравнения Гойна.

2.6 Изомонодромная деформация уравнения Гойна — шестое уравнение Пенлеве.

3 I. Разделение переменных в й/(2)-системе Шлезингера

3.1 Введение

3.2 Разделение переменных.

3.2.1 Понятие стабильности. Допустимые расслоения.

3.2.2 Отображение (£, V) (£0 с С, V).

3.2.3 Отображение в пространство модулей РН-пучков.

3.2.4 Конструкция из линейной алгебры.

3.2.5 Отображение в Р(О © в общей точке.

3.2.6 Поведение на дивизорах {х^ = а, }.

3.2.7 Пример разрешения диагонали {х,- = х/}.

3.2.8 Вычисление пространства связностей.

3.3 II. Компактификация и динамика з/(2)-системы Шлезингера.

3.3.1 Компактификация пространства начальных данных Л4п(2) и динамика изомонодромной деформации.

3.3.2 Динамика 2) системы Шлезингера.

3.4 Пример: уравнение Пенлеве VI

3.4.1 Геометрия пространства Л4(2).

3.4.2 Геометрия М4(2)

3.4.3 Геометрия системы Пенлеве-VI.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изомонодромные деформации фуксовых уравнений второго порядка на сфере Римана и соответствия Гекке»

Предметом настоящей работы является применение метода изомоно-дромной деформации для системы Гарнье (см. [17]), при этом используются алгебро-геометрические методы теории представлений групп петель; целью работы является изучение дискретных симметрий, решение проблемы разделения динамических переменных и исследование компактификации для системы Гарнье. Кроме того, общей мотивацией данной работы является круг вопросов, связанных с изомонодромны-ми деформациями фуксовых систем дифференциальных уравнений на сфере Римана.

1.1 Мотивация и актуальность работы

Метод изомонодромных деформаций появился в современной науке в работах Джимбо—Мивы—Сато ([23], [24]) и Флашки—Ньюэла ([14]), и с тех пор активно используется и развивается. Метод изомонодромных деформаций применяется для исследования нелинейных уравнений, его идея состоит в том, чтобы реализовать нелинейное уравнение как изомонодромное условие некоторой системы, а такая интерпретация дает существенную информацию о нелинейном уравнении. В частности, сохранение монодромии означает, что монодромия системы является первым интегралом нелинейного уравнения. Оказывается, что некоторые нелинейные уравнения математической физики, например, все уравнения Пенлеве и некоторые редукции уравнений Кадомцева—Петвиашвили и Кортевега—де Фриза, являются условиями изомонодромности некоторых систем линейных уравнений. Таким образом, метод изомонодромной деформации позволяет изучать нелинейную систему, ее асимптотику, получать информацию о ее решениях. Однако для реализации такой схемы изучения нелинейной системы нужно сначала по данной монодромии построить саму систему, а потом ее изомонодромно продеформировать, то есть нужно решить обратную задачу — задачу Римана-Гильберта. Эта проблема была включена Д. Гильбертом в 1900 г. в список наиболее важных проблем математики, иногда эту задачу называют 21-й проблемой Гильберта. Она формулируется следующим образом: "Показать, что всегда существует линейное дифференциальное уравнение фуксова типа с заданными особыми точками и с заданной монодромией." Другими словами, 21-я проблема Гильберта — это обратная задача в теории фуксовых систем дифференциальных уравнений.

Задача изомонодромной деформации и проблема Римана-Гильберта рассматривались в разных аспектах, — кроме фуксовых систем рассматривались системы с регулярными особыми точками, для которых такая задача тоже имеет смысл. Оказалось, что самый сложный вариант проблемы Римана-Гильберта связан именно с фуксовыми системами. В последнее время интерес к задаче изомонодромной деформации стимулируется работами ряда ученых под руководством М. Джимбо, Т. Мива по исследованию задачи изомонодромной деформации фуксовых систем (впервые исследованной Л. Шлезингером в работе [44] в 1912 г), а также контрпримером А. А. Болибруха ([5], [6], [1]) к проблеме Римана—Гильберта.

Система Гарнье была описана в работе [17] в 1917 году. В 1970-е годы эта система стала применятся в физических моделях и активно изучаться методами современной математической физики; в специальной литературе ее иногда называют "магнетиком Годена".

В представлении Лакса система Гарнье задаётся Ь-оператором п д

Цг)^—. ыг2-* для матриц вычетов В,- € (./V, С) с фиксированными собственными значениями. То есть предполагается, что каждая матрица Д* принадлежит своей 5'/у(ЛГ)-орбите 0{. В общем положении размерность орбиты равна — 1). Гамильтонианы {На} системы представляются как коэффициенты в разложении к = 2,N в окрестностях точек а\,. ,ап. Фазовое пространство системы отождествляется с га-мильтоновым фактором

О1 х . х Оп//ЗХ(ЛГ,С) и для каждого гамильтониана На существует М-оператор Ма. При этом динамика системы по соответствующему времени £а задается уравнением Лакса где скобка [•, •] обозначает обычное коммутирование матриц в смысле присоединенного действия алгебры Ли. В частности, при N — 2 гамильтонианами являются коэффициенты разложения ЬгЬ2{г) в окрестностях точек а\,., ап, и соответствующие М-операторы имеют вид

Ва

Ма(г) = г — а, а

В таком представлении очевидно, что динамика системы Гарнье сохраняет аффинную алгебраическую кривую С, называемую спектральной кривой:

С = {в,еЬ(Ь{г) -Х'Ы) = 0}.

Эта кривая параметризует собственные значения Ь-оператора и для £ С естественным образом существует собственная функция фо(г) такая, что Ь(го)фо(го) = Ло^о(^о)- Уравнение Лакса является условием совместности системы уравнений ЦгЩг) = Цг)ф(г), задачи на собственные значения и линейного дифференциального уравнения. Эта система обладает калибровочными симметриями, порожденными действием С? 6 N,£(2)):

Ь —у в • Ь • СГ1, Ма —> дгав 'в^ + в-Ма' в-1, ф —У <3 • ф.

Преимущество представления Лакса для системы заключается в предъявлении некоторого количества независимых гамильтонианов (первых интегралов) системы. В данной работе на примере системы Гарнье иллюстрируется эффективность метода изомонодромной деформации, позволяющего получить информацию о динамических переменных системы (координатах на фазовом пространстве), о ее асимптотиках и вырождениях; при этом полученные результаты полностью согласуются с результатами классических работ [26], [27], [28], [35], [45], [46] и представляют их новую геометрическую интерпретацию.

Суть метода изомонодромной деформации заключается в следующем. Рассмотрим вместо Ь-оператора дифференциальный оператор называемый связностью, и представим особые точки {ах,.,ап} как времена системы; то есть будем изучать систему двух линейных дифференциальных уравнений с неавтономной динамикой по {ах,., ап} ис1, М, определенными ранее. Условие совместности [V, МЦ = 0 называется системой Шлезингера (см. [44]) и описывает изомонодромную деформацию дифференциального оператора У(г). С очевидностью, как и в системе Годена, система Шлезингера допускает следующие калибровочные симметрии ь —► йс-сгЧс-.ь-сг1, Мг —* а^а.сгчс.мгсг1, Ф —► с?-^,

О 6 ЗЬ{Ы, С), но теперь эти симметрии меняют спектр оператора Ь(г) и, следовательно, меняют спектральную кривую С. В работе мы используем этот факт для интерпретации и исследования динамики изо-монодромной деформации и системы Гарнье в терминах спектральной кривой (см. [26]). Более того, асимптотики и компактификация систем Шлезингера и Гарнье также естественным образом интерпретируются в терминах вырождений кривой С.

Целью работы является описание метода изомонодромной деформации в терминах представлений группы петель 5£(./У, С((г))) и соответствующей алгебры Гекке. Для демонстрации эффективности нашего подхода и метода изомонодромной деформации мы изучаем систему Гарнье—Годена второго порядка и решаем следующие проблемы:

1. Вычисление дискретных симметрий системы;

2. Построение координат рг} на фазовом пространстве системы;

3. Компактификация фазового пространства системы;

4. Описание динамики системы и изучение ложных особых точек системы.

В работе используется геометрический подход Д. Аринкина и С. Лысенко. В работах [2] и [3] они изучили дискретные симметрии и описали геометрию пространства начальных данных для уравнения Пенлеве-У1 — изомонодромной деформации фуксового уравнения второго порядка с четырьмя особенностями; то есть в работах [2] и [3] решались лишь задачи 1 и 2 из нашего списка. Первые две части диссертации по сути являются обобщением результатов работ [2], [3] на случай фуксо-вых систем ранга два с произвольным числом особенностей. Ключевой и принципиально новой идеей нашей работы является интерпретации метода изомонодромной деформации для системы Гарнье—Годена исключительно в терминах геометрии пары "некомпактная поверхность и кривая на ней". Процедура разделения переменных в такой интерпретации представляется отображение«! фазового пространства в симметрическое произведение поверхностей с координатами {х{, рг}; в каждую такую поверхность естественным образом вложена спекральная кривая С системы Гарнье—Годена. В этих геометрических терминах описывается и компактификация фазового пространства, и особенное внимание в работе уделяется исследованию вырожденных конфигураций системы; помимо этого, исследуются вырождения кривой в особых точках и изучается компактификация системы Гарнье—Годена. В частности, оказывается, что поведение системы в окрестностях особенностей 0 = аг-, г = 1 ,.,п дискретно, и спектральная кривая С меняется дискретно. В работе вычисляется дискретная решетка таких преобразований кривой.

Итак, рассмотрим фуксову систему линейных дифференциальных* уравнений на сфере Римана

1г

У, и включим ее в изомонодромное аналитическое семейство. То есть, мы меняем положение особенностей {а1,.,ап} на сфере Римана и при этом меняем коэффициенты Д- = Д (аь., ап) таким образом, чтобы сохранить монодромию системы. Действие монодромии системы на фундаментальную матрицу решений У (г) описывается следующим образом. Выберем петлю 7г-, обходящую вокруг особой точки г = а*, и рассмотрим аналитическое продолжение фундаментальной матрицы У {г) вдоль 7г-. После обхода вдоль 7г- фундаментальная матрица У (2:) домножится на матрицу Стг-; если соответствующая матрица коэффициентов В( нерезонансная (то есть, если разность ее собственных значений А+-А~ не является натуральным числом), то (?г- ~ ехр(2тгл/—1Вг). При этом локальное поведение фундаментальной матрицы имеет вид У (г) ~ Сг(1 + О (г — сц))^ — щ)В{, и условие изомонодромности можно представить как — =---—. Окончательно условием совместности г — а,системы дУ В{ дсц г — щ является уравнение на коэффициенты Д(аь., ап) или

Это условие совместности называется уравнением Шлезингера.

В работе используется следующая схема исследования системы Шлезингера для случая N = 2. Объектом исследования является пространство модулей М.п{2) расслоений С ранга 2 на сфере Римана с фиксированной комплексной структурой ф : йеЬС ~ О^г, оснащённое п

5/(2)-связностью V с особенностями в модуле Ш = ^ аг- и с фикг=1 сированными собственными значениями вычетов в точках носителя 5 = {а1,.,ап} модуля ШТ. Фиксация собственных значений означает фиксацию 5/(2)-орбит О,-, г = 1, .,п коприсоединенного действия. Расслоение (С, ф) не всегда тривиально и пространство модулей Л4п(2) стратифицировано локально-замкнутыми множествами М^(2) соответствующими раслоениям С ~ 0(к) (В О (—к), при этом максимальный страт М„(2) отождествляется с симплектическим фактором М := р х О х . х С)//5£(2,С). Таким образом, пространство модуп лей Л4п(2) представлено как пространство начальных данных изомо-нодромной деформации, при этом динамика системы интерпретируется в терминах бирациональных изоморфизмов между пространствами Л4п(2) с различными параметрами.

Здесь возникает задача параметризации (координатизации) пространства Л4п(2) — так называемая проблема разделения динамических переменных. Решение этой проблемы представлялось эвристическими формулами, полученными С. Новиковым—А. Веселовым ([35]) и Б. Скляниным в работах [45], [46], и обоснованными И. Кричевером— Д. Фонгом в [28]. В настоящей работе приводится независимое решение проблемы разделения переменных для случая N = 2, при этом формулы Веселова—Новикова и Склянина объясняются в терминах теории представлений группы петель 5Х(2, С((^г))) и им даётся геометрическое описание.

В классических и в большинстве современных работ по математической физике изучается симплектический фактор

М:= 01 х . .Оп//БЬ(2,€), хотя расширение пространства начальных данных изомонодромной деформации с М до Л4п(2) дает богатую информацию о ней. Впервые системы изомонодромных деформаций на нетривиальных расслоениях были подробно изучены А. Болибрухом (см. [5], [6], [1]), что позволило обнаружить контрпримеры к соответствию Римана-Гильберта. Кроме того, такой подход позволяет изучить систему более полно и глубоко, проследить связи с многими смежными принципиальными задачами математической физики, теории дифференциальных уравнений и теории интегрируемых систем, теории представлений и симплекти-ческой геометрии, теории автоморфных форм и теории чисел. Перечислим трудности и преимущества, возникающие при рассмотрении Л4„(2) вместо симплектического фактора.

Во-первых, при отказе от условия тривиальности расслоения С, возникает необходимость вводить понятие стабильности пары (С, V) и рассматривать (полу)стабильные расслоения со связностями. В то же время для симплектического фактора М весьма важен вопрос о ком-пактификации, поскольку при динамике система выходит за пределы М, ив этом смысле Л4п(2) более естественно (и более полно) описывает динамику. В этом можно убедиться, рассматривая дискретную часть системы, и в данной работе этот факт наглядно демонстрируется на примере шестого уравнения Пенлеве. Соответствующее пространство начальных данных Л44(2) отождествляется с алгебраической поверхностью К'4, изоморфной некомпактной поверхности ТЪ^Р1,0(2)), раздутой в восьми точках и с четырьмя разрезами. При этом вся К'4 за исключением одного из восьми исключительных дивизоров отождествляется со стратом ^(2) ~ М, а оставшийся страт 3^(2), соответствующий С ~ 0( 1) ф 0(—1), отождествляется с восьмым исключительным дивизором. Дискретная структура Пенлеве-У1 изоморфна прямоугольной решетке С4 и действует преобразованиями Кремоны (см. [31], [43]) — парами "стягивание исключительного дивизора и раздутие" — на компактификации К'4, естественным образом задействуя все восемь исключительных дивизоров, в том числе невходящий в М.

Во-вторых, рассмотрение и изучение геометрии стратов М>°(2) позволяет намного более тонко исследовать систему изомонодром-ной деформации, в частности, с точки зрения соответствия Римана-Гильберта. Согласно результатам А. Болибруха (см. [5], [1], [6]) соответствие нарушается именно на стратах М^(АГ) при к > О, N > 3 и п > 4. В настоящей работе не заостряется внимание на исследовании нарушений соответствия Римана-Гильберта и основной целью ставится изучение геометрии дискретной структуры изомонодромной деформации и геометрии разделенных переменных.

Помимо этого, на стратах МА(2) при некоторых к ф О пара (£, V) с заданными параметрами может быть неединственной и в работе вычисляется соответствующее аффинное пространство связностей. Таким образом в работе тщательно исследуется координатизация пространства Л4п(2) и объясняются трудности, возникающие при N > 2.

В-третьих, в большинстве работ по данной тематике изучается система в общем положении, без рассмотрения поведения динамики при вырождении параметров и начальных данных системы. В частности часто рассматривается параметризация пространства начальных данных Л4п(2) вне дивизоров {агг- = и вне диагоналей {гсг- = хВ данной работе изучается поведение системы в особых точках {ах,., ап} и демонстрируются методы разрешения диагоналей в случае совпадения двух координат.

И, наконец, в работе рассматривается компактификация пространства начальных данных и изучается поведение системы на компактифицирующем дивизоре. Оказывается, что подход, развитый в работе, дает новую интерпретацию изомонодромной деформации в терминах геометрии компактификации пространства начальных данных. А именно, динамика изомонодромной деформации отождествляется с динамикой некоторой деформации компактифицирующего дивизора. Впервые такал интерпретация, но в других, аналитических терминах теории Кодаиры-Спенсера, была дана в работе [48] М.-Х.Саито— Т.Такебе—Х.Тераджимы и в диссертации X. Тераджимы [49] для уравнений Пенлеве. В данной работе этот результат интерпретируется в инвариантных геометрических терминах соответствий Гекке и обобщается на случай изомонодромной деформации фуксовых систем ранга два с произвольным числом особенностей.

В настоящей работе основное внимание уделяется системам ранга N = 2. Логическую структуру работы можно представить следующим образом. Сначала вычисляется дискретная группа бирациональ-ных изоморфизмов между пространствами Л4п(2) и изучается геометрическая интерпретация этой дискретной группы в терминах соответствий Гекке. Затем дискретная структура системы Шлезингера некоторым образом деформируется и дает параметризацию компактифицированного пространства Л4п(2), а также решение проблемы разделения переменных в тех же геметрических терминах.

Основным инструментом изучения изомонодромной деформации в настоящей работе является техника соответствий Гекке в группе петель 5Х(2, С) <8> С((г)) или, другими словами, техника модификаций расслоений со связностями. Суть конструкции соответствий Гекке между расслоениями состоит в следующем. Если предположить, что для расслоения С а V ® О имеется глобальное разложение V = и ф II, то модификациями расслоения в точке х €Е Р1 в подпространстве и С £|х, — верхней и нижней, соответственно, — называются расслоения а?, И)1™(С) = и ® О 0 и <8> О(-х) и ж, и)ир(с) = и ® о(х)

Другими словами, мы модифицируем расслоение, локально меняя базис сечений (51(2),., в окрестности точки х в следующем смысле.

Если в этом локальном базисе и®0~ {^(г),., $*(*)} и и®(Э~ {зш(г),., sN(z)}t то базис нижней модификации расслоения порождается сечениями $!(*),(г - яг) ., {г - х) 5ЛГЙ}, а базис верхней модификации — г - х)-1 (г),., (г - х)~1 вк(г), £¿+1(2),.,

Иначе говоря, в проколотой окрестности действие таких модификаций можно представлять следующими матрицами переклейки: Г)-= (^ ° V (Х,иг=({*-х)-11к 0 V

V 0 (г-х)-1№-к ) \ 0 1"-* / где через 1т обозначена единичная (т х т)-матрица.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Облезин, Сергей Викторович

4 Заключение

1. В работе сформулирована задача изомонодромной деформации для фуксовых систем ранга два в терминах теории представлений группы петель 5£(2, С((-г))). С точки зрения алгебраической геометрии изомо-нодромная деформация представляет бирациональные преобразования типа Кремоны пространства начальных данных. В работе показано, что эта структура имеет место как для разностной задачи, так и для непрерывного предела.

2. В работе развита техника соответствий Гекке для изучения дискретно-групповой структуры разностной и непрерывной систем в соответствии с работами [2], [3]. а

3. В работе вычислены дискретные симметрии разностной и непрерывной систем, а также непрерывной структуры изомонодромной деформации фуксовой системы второго порядка с произвольным числом особенностей. В работе также представлены приложения этих результатов для вычисления соотношений между специальными трансцендентными функциями — решениями соответствующих матричных уравнений.

4. В работе демонстрируется эффективность развитого геометрического подхода и метода изомонодромной деформации на примере матричной системы Гарнье—Годена. В работе представлено независимое решение проблемы разделения переменных для системы Гарнье—Годена и, таким образом, дается геометрическая интерпретация результатов ([35], [45], [28]) по описанию координат Дарбу на фазовом пространстве системы.

5. При помощи метода изомонодромной деформации в работе решается проблема компактификации фазового пространства и описываются соответствующие сингулярно-возмущенные задачи в предельных точках.

6. Конструкции, полученные и изученные в работе являются универсальными для разностных и непрерывных систем изомонодромных деформаций. Более того, они могут быть перенесены на случай систем произвольного ранга и на случай многомерных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Облезин, Сергей Викторович, 2003 год

1. D. Anosov, A. Bolibruch. The Riemann-Hilbert problem / Aspects of Mathemetics. — V. 22. — Vieweg Verlag, 1994.

2. D. Arinkin, S. Lysenko. Isomorphisms between moduli of SL(2)-bundles with connections on P1 \ {x\,., £4} // Math. Res. Lett. — 1997. — № 4. — C. 181-190.

3. D. Arinkin, S. Lysenko. On the moduli of SL(2)-bundles with connections on P1 \ {xh., x4. // Int. Math. Res. Notices. — 1997. V. 19. — P. 983-999.

4. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Т. 1, 3. — М.: Наука, 1966.

5. А. А. Болибрух. 21-я проблема Гильберта для фуксовых линейных систем / Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова. — Т. 206, — 1994.

6. А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. — М.: МЦНМО, 2002.

7. G. D. Birkhoff. Collected mathematical papers. V. I. — AMS, 1950.

8. H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and relations for discrete groups. — Springer Verlag, 1972.

9. В. Г. Дринфельд. Доказательство глобальной гипотезы Ленглендса для GL(2) над функциональным полем // Функц. Анализ и Прил. — 1977. — Т. 11. — Вып. 3. — С. 74-75.

10. В. Г. Дринфельд. Многообразия модулей F-пучков // Функц. Анализ и Прил. — 1987. — Т. 21. — Вып. 2. — С. 23-41.

11. A. Erdelyi. Integral equations for Heun functions // Quart. J. Math., Oxford Ser. — 1942. — V. 13. — P. 107-112.

12. A. Erdelyi. Certain expansions of solutions of the Heun equation // Quart. J. Math., Oxford Ser. — 1942. — V. 15. — P. 62-69.

13. B. Enriquez, V. Rubtsov. Hecke-Tyurin parametrization of the Hitchin and KZB systems // Prépublication Université d'Angers. — 1999. — № 94.

14. H. Flashka, A. C. Newell. Monodromy and spectrum preserving deformations // Comm. Math. Phys. — 1980. — V. 76. — P. 67-116.

15. L. Fuchs. Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten // J. für Math. — 1868. — V. 68. — P. 354-385.

16. W. Fulton, R. MacPherson. A compactification of configurationalspaces // Ann. of Math. — 1993. — V. 139. — P. 183-225.f

17. R. Garnier. Etude de l'intégrale générale de l'équation VI de M. Painlevé dans le voisinage de ses singularité transcendantes // Ann. Sei. École Norm. Sup. — 1917. — V. 34. — № 3. — P. 239-353.

18. K. Hasegawa. L-operator for Belavin's R-matrix acting on the space of thêta functions // J. Math. Phys. — 1994. — V. 35 — № 11. — P. 6158-6171.

19. E. Hecke. Mathematische Werke. — Göttingen, 1953.

20. K. Heun. Zur Theorie Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten // Math. Ann. — 1889. — V. XXXIII. — P. 161-179.

21. K. Heun. Beiträge zur Theorie der Lamé'schen Functionen // Math. Ann. — 1889. — V. XXXIII. — P. 180-196.

22. N. Hitchin. Twistor spaces, Einstein metrics and isomonodromic deformations // J. Diff. Geom. — 1995. — V. 3. — P. 52-134.

23. E. L. Ince. Ordinary differential equations. — Oxford Univ. Press, 1953.

24. M. Jimbo, T. Miwa, M. Sato. Holonomic quantum fields II // Publ. RIMS. — 1979. — V. 15. — P. 201-278.

25. M. Jimbo, T. Miwa, K. Ueno. Monodromy preserving deformation of the linear ordinary differential equations with rational coefficients I, II //

26. Publ. RIMS. — 1978. — V. 14. — P. 223-267; — 1979. — V. 15. — P. 201-278.

27. D. Korotkin. Isomonodromic deformations in genus zero and one: al-gebrogeometric solutions and Schlesinger transformations // CRM publications, ed. by G. Sabidussi, — AMS, 2000, in press.

28. И. Кричевер. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии // Функц. Анал. и Прил. — 1977. — Т. 11. — Вып. 1. — С. 15-31.

29. И. Кричевер, С. Новиков. Векторные расслоения на алгебраических кривых и нелинейные уравнения // УМН. — 1980. — Т. 35 — № 6. — С. 47-68.

30. Krichever, D. Н. Phong. On the integrable geometry of soliton equations and N=2 supersymmetric gauge theories //J. Diff. Geom. — 1997. — V. 45. — № 2. — P. 349-389.

31. Krichever, D. H. Phong. Symplectic forms in the theory of solitons / Surveys in differential geometry: integrable systems. — Boston: Int. Press. MA, 1998. — P. 239-313.

32. I. Krichever. Isomonodromy equations on algebraic curves, canonical transformations and Witham equations // Moscow Math. J. — 2002. — V. 2. — P. 717-752.

33. A. M. Levin, M. A. Olshanetsky, A. Zotov. Hitchin systems — symplectic Hecke correspondence and two-dimentional version // Comm. Math. Phys. — 2003. — V. 236. — P. 93-133.

34. Ю. Манин. Кубические формы. — M.: Наука, 1972.

35. Yu. I. Manin. Sixth Pailevé equation, universal elliptic curve and mirror of F2 // Preprint MPI. — 1996. — № 114.

36. N. Nekrasov, A. Gorsky, V. Rubtsov. Hilbert Schemes, Separated Variables, and D-Branes // Commun. Math.-Phys. — 2001. — V. 222. — P.299.318.

37. Yu. Neretin. Geometry of GLn(C) at infinity: hinges, complete collineations, projective compactifications and universal boundary / The orbit method in Geometry and Physics, eds. C.Duval, L Guieu, V.Ovsienko. — Birkhauser, 2003. — P. 297-328.

38. С. Облезин. Дискретные симметрии систем изомонодромных деформаций дифференциальных уравнений второго порядка фуксового типа // Функц. Анализ и Прил. — 2004. — Т. 38. — Вып. 1, в печати.

39. S. Oblezin. Geometrical separation of variables in the sl(2) Schlesinger systems on the Riemann sphere // Preprint Université d'Angers.— 2003. — №186.

40. S. Oblezin. Discrete structure of some Schlesinger systems on the Riemann sphere and the Hecke correspondances // Czech. J. of Phys. — 2003. I • — V. 53. — P. 1085-1092. :\

41. С. Облезин. Изомонодромные деформации фуксовых уравнений второго порядка на сфере Римана и соответствия Гекке / Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. — М.: МФТИ, 2003. — С. 61-76.

42. К. Okamoto. Studies in the Painlevé equations I. Sixth Painlevé equation PVI // Annali Mat. Рига Appl. — 1987. — V. 146. — P. 337-381.

43. H. Rohrl. Das Riemann-Hilbersche Problem der Theorie der linearen Differentialgleichungen // Math. Ann. — 1957. — V. 133. — P. 1-25.

44. J.-P. Serre. Groupes algébriques et corpes de classes. — Paris: Hermann, 1959.

45. H. Sakai. Rational surfaces associated with affine root systems and geometry of the Painlevé equations // Comm. Math. Phys. — 2001. — V. 220. — P. 165-227.

46. L. Schlesinger. Uber eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischen Punkten // J. Reine u. Angew. Math. — 1912. — V. 141. — P. 96-145.

47. E. Склянин. Разделение переменных в системе Годена // Записки науч. сем. ЛОМИ — 1987. — Т. 164. — С. 151-169.

48. Е. Sklyanin. Separation of variables. New trends // Progr. Theor. Phys. Suppl. — 1995. — V. 118. — P. 35-60.

49. E. Study. Uber die Geometrie der Kegelschnitte, insbesondere deren charakteristische Probleme // Math. Ann. — 1886. — V. 27. — P. 51-58.

50. M.-H. Saito, T. Takebe, H. Terajima. Deformation of Okamoto-Painlevé Pairs and Painlevé equations //J. Alg. Geom. — 2002. — V. 11. — P. 311-362.

51. H. Terajima. Okamoto-Painlevé pairs and Painlevé equations. Thesis. — Kobe University, 2001.

52. A. Weil. Généralisation des fonctions abéliennes // J. de Math. P. et App. — 1938 — V. IX — № 17. — P. 47-87.