Спиновые проекционные операторы в квантовой теории поля и представления алгебры Брауэра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Подойницын Михаил Александрович

• Подойницын Михаил Александрович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Подойницын Михаил Александрович

Введение

Глава 1. Двух-спинорное описание массивных частиц и

операторы Берендса-Фронсдала

1.1 Массивные унитарные представления группы /5Х(2,С)

1.2 Примеры представлений группы Пуанкаре

1.2.1 Спин з = 1/2

1.2.2 Спин з =

1.2.3 Спин з = 3/2

1.2.4 Спин з =

1.3 Операторы Казимира и индуцированные представления

1.4 Вектора поляризации для полей произвольного спина

1.4.1 Двух-спинорное описание векторов поляризации

1.4.2 Сумма по поляризациям для целого спина

1.4.3 Сумма по поляризациям для полуцелого спина

1.5 Проекционный оператор Берендса-Фронсдала

Глава 2. Поля смешанного типа симметрии

2.1 Алгебра Брауэра и ее идемпотенты

2.2 Реализация алгебры Брауэра в тензорных пространствах

2.3 Факторизационная формула для симметризатора Берендса-Фронсдала

2.4 Примеры спиновых ТТ-проекторов

2.4.1 Антисимметризатор

2.4.2 Крюк

Заключение

Приложение Л. Вывод формулы для (%

Приложение В. Вывод Д-матричного представления для

симметризатора

Стр.

Приложение О. Оператор Берендса-Фронсдала в конформных

теориях поля

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спиновые проекционные операторы в квантовой теории поля и представления алгебры Брауэра»

Введение

На сегодняшний день только три из четырех фундаментальных взаимодействий (электромагнитное, слабое и сильное) объединены в единую квантовую теорию, которая называется Стандартной Моделью. В связи с этим одной из важных нерешенных задач теоретической физики является задача построения квантовой теории гравитации и объединения ее со Стандартной Моделью.

Основная трудность заключается в том, что классическая модель теории гравитации - общая теория относительности, описывающая с хорошей степенью точности достаточно большой набор гравитационных явлений, после стандартной процедуры квантования (в рамках действия Эйнштейна-Гильберта) приобретает ряд существенных недостатков, что фактически сводит на нет ее применимость для описания физических процессов. Следовательно для изучения квантовой гравитации требуется другой подход, а поскольку квантовые эффекты в гравитационном взаимодействии ощутимо проявляют себя только на планковских масштабах, недостижимых на современных ускорителях, то для поиска нового подхода к описанию квантовой гравитации доступны исключительно теоретические методы.

Наиболее зарекомендовавший себя подход к описанию фундаментальных взаимодействий - это квантовая теория поля, именно на ее базе (формализме) построена Стандартная модель. Взаимодействие между частицами материи (массивными фермионами) в Стандартной модели вводится с помощью так называемых калибровочных полей (полей Янга-Миллса) - бозонные поля со спином ] = 1, преобразующиеся по присоединенному представлению калибровочных групп и(1), Зи(2) и Зи(3) в случае электромагнитного, слабого и сильного взаимодействия, соответственно. Калибровочная симметрия предполагает отсутствие массы у полей переносчиков взаимодействия, а за соответствие с наблюдаемым в эксперименте спектром масс W,Z - бозонов (переносчиков слабого взаимодействия) ответственен механизм Хиггса - механизм спонтанного нарушения симметрии. Неабелевость калибровочных групп в случае Зи(2) и Зи(3) приводит к нелинейным теориям, то есть теориям самодействием. Квантовая теория поля является подходящей для описания реальных процессов в физике высоких энергий, если в ней отсутствую ультрафиолетовые расходимости. Существует класс теорий, называемых перенормируемые, в которых такие

расходимости могут быть устранены с помощью некоторой процедуры. Оказывается, что из-за наличия большой группы симметрии теории, содержащие безмассовые поля Янга-Миллса, оказываются перенормируемы [1] (см. также работу [2], где была доказана перенормируемость теорий с массивными полями Янга-Миллса, приобретающими массу согласно механизму спонтанного нару-шеннея симметрии).

Тем самым Стандартная модель предполагает следующую схему построения теорий свободных от ультрафиолетовых расходимостей. Сначала следует повысить симметрию теории введением безмассовых полей, а затем придать им с помощью механизма Хиггса большую массу, таким образом исключив из низкоэнергетического спектра теории, обеспечив согласие с экспериментом. Ответ на вопрос какие симметрии вообще возможны при конструировании квантовых релятивистских теорий дает "no-go" теорема Колемана-Мандулы [3]. Согласно которой нетривиальная ^-матрица (матрица рассеяния) существует только для таких теорий поля, у которых алгебра симметрии устроена как прямая сумма алгебры Пуанкаре (алгебры симметрии пространства-времени) и компактных алгебр Ли, связанных с полями Янга-Миллса спина j = 1.

Одним из эффективных методов по расширению алгебры допустимых симметрий, позволяющим обойти ограничения теоремы Колемана-Мандулы, является введение суперсимметрии [4; 5]. При суперсимметричном полевом описании алгебра пространственно-временных генераторов расширяется генераторами, которые по своей природе являются грассмановыми числами, что меняет начальные положения теоремы Колемана-Мандулы, а следовательно позволяет снять ее ограничения. Физически суперсимметричные теории предполагают наличие дополнительных новых частиц (суперчастиц). Расходимости в суперсимметричных теориях в отличие от их аналогов (несупресимметричных), как правило, появляются в более высоких порядках, что демонстрирует более мягкое ультрафиолетовое поведение суперсимметричных теорий. Например, М = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса в четырехмерном пространстве является ультрафиолетово конечной. Также суперсимметрия позволяет решить ряд других проблем, необъясненных Стандартной моделью: проблемы иерархии, проблема унификации калибровочных бегущих констант, проблема теоретического описания темной материи. Несмотря на то, что введение суперсимметрии кажется почти идеальным теоретическим расширением Стан-

дартной модели, никаких экспериментальных подтверждений существования суперсчастиц на сегодняшний день не существует.

Суперсимметричное обобщение гравитационной теории Эйнштейна - супергравитация, несмотря на большую группу симметрий все же оказывается неперенормируемой [6].

Другим альтернативным подходом к теории квантовой гравитации и в тоже время к теории, объединяющей все фундаментальные взаимодействия является теория струн [7]. Ее основное предположение заключается в том, что элементарные частицы (нульмерные точечные объекты) заменяются протяженными одномерными объектами - струнами. Теория струн обладает конформной симметрией двухмерного мирового листа, заметаемого струной в пространстве-времени. Как известно, двумерная конформная группа является бесконечномерной (см. например [8]), поэтому предполагается, что наличие такой большой группы симметрий сделает эту теорию не только конечной, но и интегрируемой [9].

Одним из важных следствий теории струн является А(18(1 /СРТ3'-1 соответствие, указывающее на то как общая теория относительности (ОТО) может быть объединена с квантовой теорией поля (КТП). ААБ^/СРТсоответ-ствие связывает теорию струн в пространстве анти-де Ситтера (либо теорию гравитации в том же пространстве) с конформной теорией поля на границе пространства анти-де Ситтера и дает возможность использовать математический аппарат классической гравитации (дифференциальную геометрию) для расчетов некоторых величин (например, аномальных размерностей операторов) в конформной квантовой теории поля. Так как существуют указания на существование конформного режима в эволюции кварк-глюонной плазмы, то некоторые расчеты (см. например [10]), выполненные в рамках А(18(]1/СРТ3-1, могут быть уже проверены на эксперименте.

Спектр колебаний струны описывается бесконечной серией (башней) квантованных полей со всеми возможными спинами. Ключевым и единственным параметром теории струн является струнное натяжение а', совпадающее по порядку с квадратом длины планка и определяющее массы всех квантованных полей (за исключением безмассового сектора ] ^ 2) в упомянутой выше бесконечной серии. В теории струн имеется проблема: а именно, суперконформная симметрия не аномальна только в размерности И = 10, значит ненаблюдаемые 6 измерений должны быть ненаблюдаемы, например как-то компактифициро-

ванны. Отсутствие определенного принципа, который выбирал бы из огромного числа всех компактификаций какую-либо определенную, называется проблемой ландшафта (так как различные варианты выбора компактификации ведут к различным предсказаниям теории).

Следующим нетривиальным обобщением суперполевых теорий (суперсимметричной теории Янга-Миллса) можно считать теорию высших спинов (теорию в которую включены поля со всеми спинами). В работе Гросса [11] было показано, что при стремлении струнного натяжения к нулю (а! ^ 0) теория струн соответствует безмассовой теории полей высших спинов. Из этого можно сделать вывод о том, что сама теория струн является спонтанно-нарушенной фазой некоторой пока гипотетической калибровочной теории безмассовых полей высших спинов.

Помимо этого интерес к теориям полей высших спинов возрастает и по причине их связи с А(1Б/С¥Т соответствием. Так как имеются указания на существования дуальностей между теориями полей высших спинов в пространствах А(184 с векторными моделями [12] и топологическими 3И теориями Черна-Саймонса [13; 14].

Подводя итог можно заключить, что теория высших спинов является следующим логичным этапом развития калибровочных квантовых теорий поля на пути к построению общей теории всех фундаментальных взаимодействий, включая гравитацию.

Степень разработанности темы. Началом теории полей с высшими спинами ] (^ > 2) можно считать серию работ [15], [16], [17], в которых их авторами были найдены уравнения на волновые функции свободных массивных частиц с произвольным спином и рассмотрена задача о построении теорий полей с высшими спинами, взаимодействующими с электромагнитным полем. Подход этих ранних работ был основан на императивных физических требованиях: лоренц-инвариантности и положительности энергии (после квантования). Далее, из работ Вигнера [18] и Баргмана и Вигнера [19] стало ясно, что эти условия можно заменить требованием, чтобы одночастичные состояния в квантовой теории поля являлись неприводимыми унитарными представлениями группы Пуанкаре. Следовательно первым важным этапом построения полевой теории в конкретном пространстве-времени является анализ свойств группы симметрии данного пространства, в частности, классификация ее унитарных неприводимых представлений.

Классификация релятивистских полей, соответствующих унитарным неприводимым представлениям групп 130(1,И — 1) известна (см. обзор [20] и ссылки, указанные там): в качестве одной из характеристик представления выступает неотрицательное число т2, имеющее смысл квадрата массы (аналогично 4И случаю), но понятие спина определено уже не так прозрачно. Поясним это на примере бозонных полей: частице в многомерном пространстве Минковского вместо одного целого числа ] € {0,1,... } соответствует последовательность таких целых чисел. Этот факт вытекает из наличия высших операторов Казимира. В данном случае неприводимые тензора в многомерных пространствах могут обладать смешанной симметрией тензорных индексов (в отличие от только полностью симметричных неприводимых 4И тензоров) и характеризоваться диаграммами Юнга с числом строк к ^ 1 (см. например [8] и [21]). Первые известные примеры полевых свободных (без взаимодействия) лагранжевых теорий с безмассовыми полями высших спинов были построены Фронсдалом и Фангом [22; 23]. Их конструкция была основана на подходе разработанном в [24; 25] для описания массивных полей высших спинов. При построении же взаимодействующей теории с полями высших спинов возникли трудности, так как теорема Колемана-Мандулы запрещала построение нелинейной теории с калибровочными полями высших спинов. Оказалось, что ограничивающих аргументов теоремы Колемана-Мандулы можно избежать [26; 27], если рассматривать теорию в присутствии ненулевой космологической постоянной (то есть в пространствах А(18, где понятие ^-матрицы отсутствует, так как невозможно определить асимптотические состояния). Дальнейшие исследования теорий с высшими спинами в пространствах А(18 привело к формулировке развернутых уравнений (различные применения развернутого формализма описаны например в диссертации [28]), так называемых уравнений Васильева для случая И = 4 в работах [29; 30] и в произвольной размерности И пространства-времени (только для случая полностью симметричных бозонных полей) в работе [31]. Лагранжево описание для теории Васильева пока не найдено.

Исследование полей высших спинов с произвольным типом симметрии на данный момент находится в активной разработке. Их классификация, как уже упоминалось, найдена, но построение даже свободного полевого описания сопряжено с большими техническими трудностями. В этом направлении помимо развернутого, реперного и подхода светового конуса, представленных напри-

мер в работах [32—41] и диссертации [42] стоит выделить, так называемый метрический подход развитый в работах [43—47], в котором поля описываются обычными тензорами с мировыми индексами, по аналогии с метрическим тензором цпт. Также существует тесно связанный с теорией струн БРСТ подход, развитый в статьях [48—56]. В настоящей диссертационной работе предлагается новый метод описания полей с произвольным типом симметрии, опирающийся на технику построения примитивных ортогональных идемпотентов в алгебре Брауэра.

На сегодняшний день с помощью выше перечисленных подходов еще не удалось построить законченную лагранжеву полевую теорию взаимодействующих полей высших спинов с произвольным типом симметрии.

Отметим, что не смотря на теоремы запрета, нельзя делать окончательный вывод о том, что в обычном плоском пространстве Минковского теория высших спинов не может существовать. В пользу этого говорит следующий аргумент: калибровочная симметрия, может быть рассмотрена просто как избыточное, хоть и крайне удобное описание. Поэтому, чтобы искать теории высших спинов в плоском пространстве полезно обратится к методам, которые имеют дело только физическими степенями свободы. Так, например, в работе [57] развивающей подход светового конуса [58—65] была построена полная киральная теория высших спинов в плоском пространстве-времени.

В то же время возрождается твисторный подход к описанию полей высших спинов. Например, в серии работ [66], [67], [68] было дано твисторное описание безмассовых частиц с непрерывным спином. В статье [69] были построены действия для сжатий киральной высшеспиновой гравитации, которые представляют собой высшеспиновые расширения самодуальной теории Янга-Миллса и самодуальной теории гравитации. Такое описание значительно упрощает структуру взаимодействия. Также в работах [70] предлагается спирально-спинорный формализм для описания безмассовых полей в Ads4, основанный на реализации алгебры изометрии so(3,2) четырехмерного пространства анти-де Ситтера в виде дифференциальных операторов, действующих на пространстве sl(2,C) спиноров. В настоящей диссертации мы строим спирально-спинорный формализм для массивных частиц с произвольным спином в плоском 4D пространстве Минковского.

Целью данной диссертационной работы является разработка методов построения спиновых проекционных операторов в любой размерности D про-

странства-времени и построение двухспинорного описания четырехмерных массивных частиц.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Построение спин-тензорных полей, описывающих свободные четырехмерные релятивистские массивные частицы с произвольным спином и вывод уравнений, которым эти поля удовлетворяют. Построение и анализ свойств всех операторов Казимира алгебры Пуанкаре в ^-мерном пространстве-времени.

2. Разложение построенных спин-тензорных полей по спин-тензорам поляризаций и предъявление явных выражений для спин-тензоров поляризаций в терминах двух вейлевских спиноров.

3. Обобщение полностью симметричного спинового проекционного оператора Берендса-Фронсдала для произвольного полуцелого спина на случай любой размерности И пространства-времени.

4. Разработка методов вычисления ^-мерных спиновых проекционных операторов с произвольным типом симметрии тензорных индексов.

Развернутое описание результатов решения поставленных задач.

а) С помощью унитарных неприводимых представлений Вигнера [18] накрывающей группы /5Г(2,С) группы Пуанкаре, строятся спин-тензорные поля специального вида, на пространствах которых также реализуются неприводимые представления группы /5Х(2,С). Указанные спин-тензорные поля автоматически удовлетворяют волновым уравнениям Дирака-Паули-Фирца [15], [16], [17] для свободных массивных частиц произвольного спина. Построение этих спин-тензорных полей было осуществлено с помощью операторов Вигнера (аналогичная конструкция рассматривалась в [71—73]), которые переводят унитарное массивное представление группы /5Х(2,С), действующее в пространстве Вигнеровских волновых функций и индуцированное из неприводимого представления малой подгруппы Зи(2), в представление группы 1БЬ(2,С), действующее в пространстве спин-тензорных полей. Данные спин-тензорные поля представляются более удобными, по сравнению с Вигнеровскими волновыми функциями, потому что в координатном представлении могут быть интерпретированы как поля с локальным законом преобразования из группы /5Х(2,С). Вигнеровские же волновые функции после преобразования Фурье нельзя интерпретировать как поля, так как действие группы 13 Ь(2,С) уже на координатные Вигнеровские волновые функции имеет нелокальный вид.

Далее, следуя [74], предложена специальная параметризация операторов Вигнера, с помощью которой решения волновых уравнений и импульсы частиц на массовой поверхности переписываются через пару вейлевских спиноров (двух-спинорный формализм). Разложение полностью симметричной вигнеровской волновой функции по специально выбранному базису дает естественный рецепт описания поляризаций (линейно независимые компоненты вектор(спин)-тензорного поля, описывающего массивную частицу произвольного целого(полуцелого) спина) решений волновых уравнений для массивных частиц с произвольными спинами.

Затем явно продемонстрирована применимость метода индуцированных представлений в случае когда размерность пространства-времени больше четырех. А именно: были найдены удобные формы записи операторов Казимира алгебры ¿йо(1,5) и с помощью этого в базисе светового конуса были проанализированы безмассовые представления шестимерной группы Пуанкаре (см. [75—77]).

Ь) В качестве приложения рассматриваемого формализма (двух-спинор-ное описание поляризаций [74]) для каждого спина ] строится проекционный оператор Берендса-Фронсдала (БФ). Оператор БФ для спина ] представляет собой нормированную сумму тензорных квадратов всех вектор-тензоров (целый спин), спин-тензоров (полуцелый спин) поляризаций спин-тензорных полей массивной частицы спина ]. БФ определяет спин-тензорные структуры двух-точечной функции Грина (пропагатора) массивных и безмассовых частиц высших спинов. Из определения операторов БФ ясно, что их свойства наследуются из свойств тензоров поляризаций. Опишем эти свойства более подробно на примере целого спина. Частица с целым спином ] и массой т в импульсном представлении описывается тензорным полем ф(к) € (К1'3)®-7' ранга ] с компонентами фп1.-п:? (&), удовлетворяющими уравнениям

кщ(Л) = 0 , Ппгщ...(Л) = 0 , ф.-щ-.Пк...(к) = ф-Пк-щ...(к) (1)

где кп - координаты 4-импульса, к € К1'3, тензор п = (Иад(1, — 1, — 1, — 1) является метрикой 4-мерного пространства Минковского и подразумевается, что импульс к лежит на массовой поверхности к2 = кпкп = т2. Первые два уравнения (1) называются условиями поперечности ^гапзуегеаШу) и бесследо-вости (1гаее1е88пе8з), соответственно. Отметим, что условия (1) и их аналоги для полуцелого спина могут быть получены из уравнений Дирака-Паули-Фирца и

свойств унитарных представлений Вигнера, что будет явно продемонстрировано в настоящей диссертации в общем случае и на серии примеров для малых спинов ] = 1/2,..., 2. Так же свойства (1) могут служить отражением того факта, что ф(к) принадлежит пространству неприводимого представления группы Пуанкаре, а оператор БФ, действующий в пространстве (К1'3)®-7', может рассматриваться как проектор на это неприводимое представление. Оператор Берендса-Фронсдала (тензор ранга 2]), построенный как описано выше, удовлетворяет отдельно по каждой из двух групп 1 своих тензорных индексов тем же свойствам (1), что и поле ср(&). Заметим, что уравнения (1) легко обобщаются на случай ^-мерного пространства Минковского. Следовательно, разумно поставить вопрос о ^-мерном обобщении проектра Берендса-Фронсдала. Эти и различные другие обобщения обычно называют операторами проекции спина или ТТ-проекторами (по первым буквам слов ^апэуегэаШу, 1гаее1е88пе88).

Первыми известными примерами проекторов этого типа являются спиновые операторы БФ, обозначаемые как построенные в статьях [ ], [ ], посвященных основам теории полей высших спинов (см., также [80], [81], [82], [83], [21], [84] и ссылки в них). Операторы ©^ проецируют пространство тензоров ф(к) € (К1'3)®-7 ранга ] на инвариантное (относительно действия группы Пуанкаре /£0(1,3)) подпространство полностью симметричных тензоров ф(к) ранга ] с компонентами, удовлетворяющими (1). Отметим, что проекторы БФ оказались чрезвычайно полезными в феноменологии элементарных частиц. В частности, они важны для систематического вывода амплитуд процессов распада частиц со спином в рамках тензорного формализма (см. [85], [86] и [87]). Проекторы БФ также необходимы в ковариантном тензорном формализме для получения надежных результатов в феноменологическом описании спиновой четности резонансов в мезонной спектроскопии [88]. Л-мерное (И > 4) обобщение проекторов Берендса-Фронсдала на случай целочисленных спинов было впервые найдено в [89] (см. также [90], [74]). ^-мерный проекционный оператор для полуцелых спинов был построен в [74] и [91]. ^-мерные операторы такого типа используются в различных областях современной теоретической физики 2; поэтому в литературе встречаются различные формы этих проекторов (см., например, [90], [97],[98], [99]).

1 Деление на две группы естественно следует из определения составляющих оператора БФ как тензорных квадратов тензоров поляризаций.

2ТТ-проекторы используются в формулировке конформных действий высших спинов, предло-

женных Фрадкиным и Цейтлиным [92]. Например, см. работу [93], где ХХ-проекторы используются

Как уже было отмечено, уравнения (1) обобщаются на ^-мерный случай и могут быть использованы как определяющие свойства ^-мерных проекторов БФ. Построенные таким образом проектора БФ будут будут проектировать только на симметричные (относительно всех своих тензорных индесов) неприводимые представления ^-мерной группы Пуанкаре. Однако известно (см., например [8]), что при И > 4 неприводимые представления ^-мерной группы Пуанкаре могут иметь отличный от симметричного тип тензорных индесов (все такие типы кодируются диаграммами Юнга (удобное графическое представление разбиений положительных целых чисел на сумму положительных целых слагаемых) это будет подробно объяснено в Главе II настоящей диссертации).

с) В данной диссертации на основе работ [99] и [100] дается конструктивный способ построения БФ-проекторов на пространства всех неприводимых тензорных представлений группы Пуанкаре 130(1,И — 1) для случая И > 4. Подчеркнем, что здесь рассматриваются только тензорные представления, являющиеся аналогами целочисленных спиновых представлений для случая И = 4. Соответствующие проекторы действуют в пространстве (Ш1'П—1)® и выделяют инвариантные подпространства тензоров ранга ] с компонентами ф^1-^' (к) (где к € Ш1'^-1 - ^-мерный импульс), которые симметризованы относительно специальных перестановок индексов 11 и удовлетворяют ^-мерному обобщению первых двух условий из (1). Поэтому наша цель - явно построить проекторы на пространства ТТ-тензоров ранга ] с различными типами симмет-рий, которые являются пространствами неприводимых представлений группы 130(1,И — 1) для многомерного случая И > 4. Известно (см., например, [8] и ссылки, приведенные там), что такие симметрии можно сопоставить диаграммам Юнга с ] клетками. В частности, полностью симметричные тензоры ранга ] ассоциируются с однорядной диаграммой Юнга с ] клетками. В случае ортогональных групп ЗО конечномерные неприводимые тензорные представления могут быть построены с помощью двойственности Шура - Вейля - Брауэра. Ключевыми ингредиентами здесь являются алгебра Брауэра и ее примитивные ортогональные идемпотенты (см. [8] и [101]). Проекторы на инвариантные подпространства тензоров ] со специальным типом симметрий (пространства неприводимых тензорных представлений группы 130(1,И — 1)) реализуются как образы примитивных ортогональных идемпотентов алгебры Брауэра Вг^,

для построения тензора Коттона произвольного спина, управляющего конформной геометрией в трехмерном пространстве-времени (см. также [94], [95] и [96]).

действующие в тензорном пространстве (К1'-0 1)®-?'. Эти образы подобны сим-метризаторам Юнга, которые решают аналогичную задачу для линейных групп ЯЬ и Яи.

Как упоминалось выше, критерий неприводимости тензорных представлений группы Пуанкаре ШО(1, И — 1) требует чтобы тензора, которые образуют пространства представлений, обладали свойствами поперечности и бесследо-вости. В настоящей диссертации доказывается, что ^-мерный ТТ-проектор Берендса-Фронсдала ранга ] является не чем иным, как полным симметризато-ром в алгебре Брауэра Вг^, взятым в некотором специальном представлении. Используя этот факт, предлагается достаточно общий алгебраический метод построения всех бозонных ^-мерных ТТ-проекторов, обладающих произвольным типом симметрии тензорных индексов. Метод, изложенный в диссертации, основан на известных конструкциях примитивных ортогональных идемпотентов алгебры Брауэра (см. [101], [102], [103], [8]) и на использовании нового семейства представлений алгебры Брауэра [100]. Образы идемпотентов алгебры Брауэра в этих новых представлениях автоматически дают ТТ-проекторы.

Научная новизна:

1. Впервые были найдены явные формулы (в терминах двух вейлевских спиноров), описывающие спин-тензора поляризаций четырехмерных свободных массивных частиц с произвольным спином.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Подойницын Михаил Александрович, 2022 год

Список литературы

1. Hooft, G. T. Renormalization of massless Yang-Mills fields / G. T. Hooft // Nuclear physics: B. — 1971. — Окт. — Т. 33, № 1. — С. 173—199.

2. Hooft, G. T. Renormalizable lagrangians for massive Yang-Mills fields / G. T. Hooft // Nuclear physics: B. — 1971. — Дек. — Т. 35, № 1. — С. 167—188.

3. Coleman, S. All Possible Symmetries of the S Matrix / S. Coleman, J. Mandula // Phys. Rev. — 1967. — Июль. — Т. 159. — С. 1251—1256.

4. Gol'fand, Y. A. Extension of the algebra of Poincare group generators and violation of p invariance / Y. A. Gol'fand, E. P. Likhtman //In Supergravities in diverse dimensions. — 1989. — Т. 1.

5. Volkov, D. V. Possible universal neutrino interaction / D. V. Volkov, V. P. Akulov //In Supersymmetry and Quantum Field Theory. — Berlin, Heidelberg : Springer, 1998. — С. 383—385.

6. Freedman, D. Z. Progress toward a theory of supergravity / D. Z. Freedman, P. V. Nieuwenhuizen, S. Ferrara //In Supergravities in Diverse Dimensions: Commentary and Reprints (In 2 Volumes). — 1989. — С. 512—516.

7. Green, M. Superstring Theory / M. Green, J. Schwarz, E. Witten. — Cambridge University Press, 1987.

8. Isaev, A. P. Theory of Groups and Symmetries: Representations of Groups and Lie Algebras, Applications / A. P. Isaev, V. A. Rubakov. — World Scientific, 2020.

9. Belavin, A. A. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory / A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov // Nuclear Physics B. — 1984. — Т. 241, № 2. — С. 333—380.

10. Policastro, G. Shear viscosity of strongly coupled N= 4 supersymmetric Yang-Mills plasma / G. Policastro, D. T. Son, A. O. Starinets // Physical Review Letters. — 2001. — Апр. — Т. 87, № 8. — С. 081601.

11. Gross, D. J. High-energy symmetries of string theory / D. J. Gross // Physical Review Letters. — 1988. — Февр. — Т. 60, № 13. — С. 1229.

12. Klebanov, I. R. AdS dual of the critical O (N) vector model / I. R. Klebanov, A. M. Polyakov // Physics Letters B. — 2002. — Okt. — T. 550, № 3/4. —

C. 213—219.

13. Aharony, O. D=3 bosonic vector models coupled to Chern-Simons gauge theories / O. Aharony, G. Gur-Ari, R. Yacoby // Journal of High Energy Physics. — 2012. — T. 3. — C. 1—25.

14. Chern-Simons theory with vector fermion matter / S. Giombi [h gp.] // The European Physical Journal C. — 2012. — T. 72, № 8. — C. 1—65.

15. Dirac, P. Relativistic wave equations / P. Dirac // Proceedings of the Royal Society of London. Series A Mathematical and Physical Sciences. — 1936. — T. 155, № 886. — C. 447—459.

16. Fierz, M. Uber die relativistische Theorie kraftefreier Teilchen mit beliebigem Spin / M. Fierz // Helvetica Physica Acta. — 1939. — T. 12. — C. 3—37.

17. Fierz, M. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field / M. Fierz, W. E. Pauli // Proceedings of the Royal Society of London, Series A Mathematical and Physical Sciences. — 1939. — T. 173, № 953. — C. 211—232.

18. Wigner, E. P. On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group / E. P. Wigner // An. Math. — 1939. — T. 40, № 1. — C. 149—204.

19. V. Bargmann, E. P. W. Group theoretical discussion of relativistic wave equations / E. P. W. V. Bargmann // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1948. — T. 34, № 5. — C. 211.

20. Bekaert, X. Mixed symmetry gauge fields in a flat background / X. Bekaert, N. Boulanger // arXiv preprint hep-th/0310209. — 2003.

21. Gelfond, O. Higher-rank fields and currents / O. Gelfond, M. Vasiliev // Journal of High Energy Physics. — 2016. — T. 2016, № 10. — C. 1—43.

22. Fronsdal, C. Massless fields with integer spin / C. Fronsdal // Phys. Rev.

D. — 1978. — T. 18, № 10. — C. 3624.

23. Fang, J. Massless Fields with Half Integral Spin / J. Fang, C. Fronsdal // Phys. Rev. D. — 1978. — T. 18, № 10. — C. 3630.

24. Singh, L. P. . Lagrangian formulation for arbitrary spin. 1. The boson case / L. P. . Singh, C. R. Hagen // Phys. Rev. D. — 1974. — T. 9, № 4. — C. 898.

25. Singh, L. P. . Lagrangian formulation for arbitrary spin. 2. The fermionic case / L. P. . Singh, C. R. Hagen // Phys. Rev. D. — 1974. — Т. 9, № 4. — С. 910—920.

26. Fradkin, E. S. On the Gravitational Interaction of Massless Higher Spin Fields / E. S. Fradkin, M. A. Vasiliev // Phys. Lett. B. — 1987. — Т. 189. — С. 89—95.

27. Fradkin, E. Cubic interaction in extended theories of massless higher-spin fields / E. Fradkin, M. A. Vasiliev // Nuclear Physics B. — 1987. — Т. 291. — С. 141—171.

28. Мисуна, Н. Развернутый подход в теории высших спинов и суперсимметричных моделях : дис. ... канд. / Мисуна Н.Г. — 11.2018.

29. Vasiliev, M. A. Consistent equations for interacting gauge fields of all spins in 3+1 dimensions / M. A. Vasiliev // Physics Letters B. — 1990. — Т. 243, № 4. — С. 378—382.

30. Vasiliev, M. A. Consistent equations for interacting massless fields of all spins in the first order in curvatures / M. A. Vasiliev // Annals of Physics. — 1989. — Т. 190, № 1. — С. 59—106.

31. Vasiliev, M. A. Nonlinear equations for symmetric massless higher spin fields in (A) dSd / M. A. Vasiliev // Physics Letters B. — 2003. — Т. 567, № 1/2. — С. 139—151.

32. Alkalaev, K. On the frame-like formulation of mixed-symmetry massless fields in (A) dSd / K. Alkalaev, O. Shaynkman, M. Vasiliev // Nuclear physics B. — 2004. — Т. 692, № 3. — С. 363—393.

33. Alkalaev, K. B. Lagrangian formulation for free mixed-symmetry bosonic gauge fields in (A) dSd / K. B. Alkalaev, O. V. Shaynkman, M. A. Vasiliev // Journal of High Energy Physics. — 2005. — Т. 2005, № 08. — С. 069.

34. Boulanger, N. Unfolding mixed-symmetry fields in AdS and the BMV conjecture: I. General formalism / N. Boulanger, C. Iazeolla, P. Sundell // Journal of High Energy Physics. — 2009. — Т. 2009, № 07. — С. 013.

35. Skvortsov, E. Mixed-symmetry massless fields in Minkowski space unfolded / E. Skvortsov // Journal of High Energy Physics. — 2008. — Т. 2008, № 07. — С. 004.

36. Zinoviev, Y. M. Frame-like gauge invariant formulation for mixed symmetry fermionic fields / Y. M. Zinoviev // Nuclear physics B. — 2009. — Т. 821, № 1/2. — С. 21—47.

37. Zinoviev, Y. M. First order formalism for mixed symmetry tensor fields / Y. M. Zinoviev // arXiv preprint hep-th/0304067. — 2003.

38. Zinoviev, Y. M. On massive mixed symmetry tensor fields in Minkowski space and (A) dS / Y. M. Zinoviev // arXiv preprint hep-th/0211233. — 2002.

39. Zinoviev, Y. M. First order formalism for massive mixed symmetry tensor fields in Minkowski and (A) dS spaces / Y. M. Zinoviev // arXiv preprint hep-th/0306292. — 2003.

40. Zinoviev, Y. M. On dual formulations of massive tensor fields / Y. M. Zinoviev // Journal of High Energy Physics. — 2005. — Т. 2005, № 10. — С. 075.

41. Metsaev, R. R. Cubic interaction vertices for fermionic and bosonic arbitrary spin fields / R. R. Metsaev // Nucl. Phys. B. — 2012. — Т. 859. — С. 13—69.

42. Скворцов, Е. Калибровочные поля в пространствах минковского и (анти)-де ситтера в рамках развёрнутого формализма : дис. ... канд. / Скворцов Е.Д. — 04.2010.

43. Curtright, T. Generalized gauge fields / T. Curtright // Physics Letters B. — 1985. — Т. 165, № 4—6. — С. 304—308.

44. Labastida, J. Massless particles in arbitrary representations of the Lorentz group / J. Labastida // Nuclear Physics B. — 1989. — Т. 322, № 1. — С. 185—209.

45. Francia, D. Free geometric equations for higher spins / D. Francia, A. Sagnotti // Physics Letters B. — 2002. — Т. 543, № 3/4. — С. 303—310.

46. Bekaert, X. Tensor gauge fields in arbitrary representations of GL (D, R). Duality and Poincare Lemma / X. Bekaert, N. Boulanger // Communications in mathematical physics. — 2004. — Т. 245, № 1. — С. 27—67.

47. Bekaert, X. On geometric equations and duality for free higher spins / X. Bekaert, N. Boulanger // Physics Letters B. — 2003. — Т. 561, № 1/ 2. — С. 183—190.

48. Burdik, C. On the mixed symmetry irreducible representations of the Poincare group in the BRST approach / C. Burdik, А. Pashnev, M. Tsulaia // Modern Physics Letters А. — 2001. — Т. 16, № 11. — С. 731—746.

49. Buchbinder, I. Lagrangian formulation of the massless higher integer spin fields in the AdS background / I. Buchbinder, А. Pashnev, M. Tsulaia // Physics Letters B. — 2001. — Т. 523, № 3/4. — С. 338—346.

50. Buchbinder, I. BRST approach to Lagrangian construction for fermionic massless higher spin fields / I. Buchbinder, V. Krykhtin, А. Pashnev // Nuclear Physics B. — 2005. — Т. 711, № 1/2. — С. 367—391.

51. Buchbinder, I. Gauge invariant Lagrangian construction for massive bosonic higher spin fields in D dimensions / I. Buchbinder, V. Krykhtin // Nuclear Physics B. — 2005. — Т. 727, № 3. — С. 537—563.

52. Buchbinder, I. Gauge invariant Lagrangian formulation of higher spin massive bosonic field theory in AdS space / I. Buchbinder, V. Krykhtin, P. Lavrov // Nuclear Physics B. — 2007. — Т. 762, № 3. — С. 344—376.

53. Buchbinder, I. BRST approach to Lagrangian construction for fermionic higher spin fields in AdS space / I. Buchbinder, V. Krykhtin, А. Reshetnyak // Nuclear Physics B. — 2007. — Т. 787, № 3. — С. 211—240.

54. Moshin, P. Y. BRST approach to Lagrangian formulation for mixed-symmetry fermionic higher-spin fields / P. Y. Moshin, A. A. Reshetnyak // Journal of High Energy Physics. — 2007. — Т. 2007, № 10. — С. 040.

55. Buchbinder, I. Gauge invariant Lagrangian construction for massive bosonic mixed symmetry higher spin fields / I. Buchbinder, V. Krykhtin, H. Takata // Physics Letters B. — 2007. — Т. 656, № 4/5. — С. 253—264.

56. Buchbinder, I. General Lagrangian formulation for higher spin fields with arbitrary index symmetry. I. Bosonic fields / I. Buchbinder, A. Reshetnyak // Nuclear Physics B. — 2012. — Т. 862, № 1. — С. 270—326.

57. Ponomarev, D. Light-front higher-spin theories in flat space / D. Ponomarev, E. Skvortsov // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2017. — Т. 50, № 9. — С. 095401.

58. Bengtsson, A. K. Cubic interaction terms for arbitrarily extended supermultiplets / A. K. Bengtsson, I. Bengtsson, L. Brink // Nuclear Physics B. — 1983. — T. 227, № 1. — C. 41—49.

59. Bengtsson, A. K. Cubic interaction terms for arbitrary spin / A. K. Bengtsson, I. Bengtsson, L. Brink // Nuclear Physics B. — 1983. — T. 227, № 1. — C. 31—40.

60. Bengtsson, A. K. Interacting higher-spin gauge fields on the light front / A. K. Bengtsson, I. Bengtsson, N. Linden // Classical and Quantum Gravity. — 1987. — T. 4, № 5. — C. 1333.

61. Fradkin, E. A Cubic interaction of totally symmetric massless representations of the Lorentz group in arbitrary dimensions / E. Fradkin, R. Metsaev // Classical and Quantum Gravity. — 1991. — T. 8, № 4. — C. L89.

62. Metsaev, R. Generating function for cubic interaction vertices of higher spin fields in any dimension / R. Metsaev // Modern Physics Letters A. — 1993. — T. 8, № 25. — C. 2413—2426.

63. Metsaev, R. Cubic interaction vertices for massive and massless higher spin fields / R. Metsaev // Nuclear Physics B. — 2006. — T. 759, № 1/2. — C. 147—201.

64. Metsaev, R. S-matrix approach to massless higher spins theory II: the case of internal symmetry / R. Metsaev // Modern Physics Letters A. — 1991. — T. 6, № 26. — C. 2411—2421.

65. Metsaev, R. Poincare-invariant Dynamics of Massless Higher Spins—Fourth-Order Analysis on Mass Shell / R. Metsaev // Modern Physics Letters A. — 1991. — T. 6, № 04. — C. 359—367.

66. Model of massless relativistic particle with continuous spin and its twistorial description / I. Buchbinder [h gp.] // Journal of High Energy Physics. — 2018. — T. 2018, № 7. — C. 1—21.

67. Model of massless relativistic particle with continuous spin and its twistorial description / I. Buchbinder [h gp.] // Journal of High Energy Physics. — 2018. — T. 2018, № 7. — C. 1—21.

68. Towards Lagrangian construction for infinite half-integer spin field / I. Buchbinder [h gp.] // Nuclear Physics B. — 2020. — T. 958. — C. 115114.

69. Krasnov, K. Actions for Self-dual Higher Spin Gravities / K. Krasnov, E. Skvortsov, T. Tran // arXiv preprint arXiv:2105.12782. — 2021.

70. Nagaraj, B. Spinor-helicity formalism for massless fields in AdS 4 / B. Nagaraj, D. Ponomarev // Physical review letters. — 2019. — Т. 122, № 10. — С. 101602.

71. Weinberg, S. Feynman rules for any spin / S. Weinberg // Physical Review. — 1964. — Т. 133, 5B. — B1318.

72. Weinberg, S. Feynman rules for any spin. II. Massless particles / S. Weinberg // Physical Review. — 1964. — Т. 134, 4B. — B882.

73. Новожилов, Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц / Ю. В. Новожилов. — Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972.

74. Isaev, A. Two-spinor description of massive particles and relativistic spin projection operators / A. Isaev, M. Podoinitsyn // Nuclear Physics B. — 2018. — Т. 929. — С. 452—484.

75. Massless finite and infinite spin representations of Poincare group in six dimensions / I. Buchbinder [и др.] // Physics Letters B. — 2021. — Т. 813. — С. 136064.

76. Безмассовые представления группы ISO (1,5) / И. Бухбиндер [и др.] // Письма ЭЧАЯ. — 2021. — Т. 18, № 7.

77. Podoinitsyn, M. Helicity and infinite spin representations of the Poincare group in 6D / M. Podoinitsyn // RDP online workshop"Recent Advances in Mathematical Physics. — 2021. — С. 14.

78. Fronsdal, C. On the theory of higher spin fields / C. Fronsdal // Il Nuovo Cimento (1955-1965). — 1958. — Т. 9, № 2. — С. 416—443.

79. Behrends, R. Fermi decay of higher spin particles / R. Behrends, C. Fronsdal // Physical Review. — 1957. — Т. 106, № 2. — С. 345.

80. Siegel, W. Superprojectors / W. Siegel, S. Gates Jr // Nuclear Physics B. — 1981. — Т. 189, № 2. — С. 295—316.

81. Superspace, or one thousand and one lessons in supersymmetry / S. J. Gates Jr [и др.] // arXiv preprint hep-th/0108200. — 2001.

82. Vasiliev, M. Higher spin gauge theories in various dimensions / M. Vasiliev // Fortschritte der Physik: Progress of Physics. — 2004. — T. 52, № 6/7. — C. 702—717.

83. Sorokin, D. Introduction to the classical theory of higher spins / D. Sorokin // AIP Conference Proceedings. T. 767. — American Institute of Physics. 2005. — C. 172—202.

84. Giombi, S. TASI Lectures on the Higher Spin-CFT duality / S. Giombi // arXiv preprint arXiv:1607.02967. — 2016.

85. Zemach, C. Use of angular-momentum tensors / C. Zemach // Physical Review. — 1965. — T. 140, 1B. — B97.

86. Chung, S. U. Spin formalisms / S. U. Chung. — 1971.

87. Chung, S. Helicity-coupling amplitudes in tensor formalism / S. Chung // Physical Review D. — 1993. — T. 48, № 3. — C. 1225.

88. Filippini, V. Covariant spin tensors in meson spectroscopy / V. Filippini,

A. Fontana, A. Rotondi // Physical Review D. — 1995. — T. 51, № 5. —

C. 2247.

89. Segal, A. Y. Conformal higher spin theory / A. Y. Segal // Nuclear Physics

B. — 2003. — T. 664, № 1/2. — C. 59—130.

90. Ponomarev, D. On quantum corrections in higher-spin theory in flat space /

D. Ponomarev, A. A. Tseytlin // Journal of High Energy Physics. — 2016. — T. 2016, № 5. — C. 1—36.

91. Isaev, A. Unitary Representations of the Wigner Group ISL (2, C) and A Two-Spinor Description of Massive Particles With An Arbitrary Spin / A. Isaev, M. Podoinicin // Theoretical and Mathematical Physics. — 2018. — T. 195, № 3. — C. 779—806.

92. Fradkin, E. S. Conformal supergravity / E. S. Fradkin, A. A. Tseytlin // Physics Reports. — 1985. — T. 119, № 4/5. — C. 233—362.

93. Spin projection operators and higher-spin Cotton tensors in three dimensions / E. I. Buchbinder [h gp.] // Physics Letters B. — 2019. — T. 790. — C. 389—395.

94. Henneaux, M. Higher spin conformai geometry in three dimensions and prepotentials for higher spin gauge fields / M. Henneaux, S. Hortner,

A. Leonard // Journal of High Energy Physics. — 2016. — T. 2016, № 1. — C. 1—30.

95. Kuzenko, S. M. Higher spin super-Cotton tensors and generalisations of the linear-chiral duality in three dimensions / S. M. Kuzenko // Physics Letters

B. — 2016. — T. 763. — C. 308—312.

96. Kuzenko, S. M. Off-shell massive N= 1 supermultiplets in three dimensions / S. M. Kuzenko, M. Tsulaia // Nuclear Physics B. — 2017. — T. 914. —

C. 160—200.

97. Isaev, A. P. Polarization Tensors for Massive Arbitrary-Spin Particles and the Behrends-Fronsdal Projection Operator. / A. P. Isaev, M. Podoinitsyn // Theoretical & Mathematical Physics. — 2019. — T. 198, № 1.

98. Isaev, A. Behrends-Fronsdal Spin Projection Operator in Space-Time with Arbitrary Dimension / A. Isaev, M. Podoinitsyn // Quantum Theory And Symmetries. — Springer. 2017. — C. 137—148.

99. Podoinitsyn, M. A. Polarization spin-tensors in two-spinor formalism and Behrends-Fronsdal spin projection operator for D-dimensional case / M. A. Podoinitsyn // Physics of Particles and Nuclei Letters. — 2019. — T. 16, № 4. — C. 315—320.

100. Isaev, A. D-dimensional spin projection operators for arbitrary type of symmetry via Brauer algebra idempotents / A. Isaev, M. Podoinitsyn // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2020. — T. 53, № 39. — C. 395202.

101. Nazarov, M. Young's orthogonal form for Brauer's centralizer algebra / M. Nazarov // Journal of Algebra. — 1996. — T. 182, № 3. — C. 664—693.

102. Isaev, A. Fusion procedure for the Brauer algebra / A. Isaev, A. Molev // St. Petersburg Mathematical Journal. — 2011. — T. 22, № 3. — C. 437—446.

103. Isaev, A. A new fusion procedure for the Brauer algebra and evaluation homomorphisms / A. Isaev, A. Molev, O. Ogievetsky // International Mathematics Research Notices. — 2012. — T. 2012, № 11. — C. 2571—2606.

104. Zamolodchikov, A. B. Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models / A. B. Zamolodchikov, A. B. Zamolodchikov // Yang-Baxter Equation In Integrable Systems. — World Scientific, 1990. — С. 82—120.

105. Общие принципы квантовой теории поля / Н. Боголюбов [и др.]. — Litres, 2018.

106. Buchbinder, I. L. Ideas and methods of supersymmetry and supergravity: Or a walk through superspace / I. L. Buchbinder, S. M. Kuzenko. — 1998.

107. Румер, Ю. Б. Теория групп и квантованные поля / Ю. Б. Румер, А. И. Фет. — URSS, 2010.

108. Penrose, R. Twistor theory: an approach to the quantisation of fields and space-time / R. Penrose, M. A. MacCallum // Physics Reports. — 1973. — Т. 6, № 4. — С. 241—315.

109. Continuous spin representations of the Poincare and super-Poincare groups / L. Brink [и др.] // Journal of Mathematical Physics. — 2002. — Т. 43, № 12. — С. 6279—6295.

110. Bekaert, X. The unitary representations of the Poincar\'e group in any spacetime dimension / X. Bekaert, N. Boulanger // SciPost Physics Lecture Notes. — 2021. — С. 030.

111. Vershik, A. M. A new approach to the representation thoery of the symmetric groups. 2 / A. M. Vershik, A. Y. Okounkov // arXiv preprint math/0503040. — 2005.

112. Brauer, R. On algebras which are connected with the semisimple continuous groups / R. Brauer // Annals of Mathematics. — 1937. — С. 857—872.

113. Isaev, A. On representations of Hecke algebras / A. Isaev, O. Ogievetsky // Czechoslovak Journal of Physics. — 2005. — Т. 55, № 11. — С. 1433—1441.

114. Isaev, A. Quantum groups and Yang-Baxter equations / A. Isaev // Physics of Particles and Nuclei. — 1995. — Т. 26, № 5. — С. 501—526.

115. Zamolodchikov, A. B. Relativistic factorized S-matrix in two dimensions having O (N) isotopic symmetry / A. B. Zamolodchikov, A. B. Zamolodchikov // Nuclear Physics B. — 1978. — Т. 133, № 3. — С. 525—535.

116. Isaev, A. Braids, shuffles and symmetrizers / A. Isaev, O. Ogievetsky // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2009. — T. 42, № 30. — C. 304017.

117. Osborn, H. Implications of conformal invariance in field theories for general dimensions / H. Osborn, A. Petkou // Annals of Physics. — 1994. — T. 231, № 2. — C. 311—362.

118. Osborn, H. Lectures on conformal field theories / H. Osborn. — 2019.