Исследование импульсного метода решения задач дифракции скалярных волн и его применение для анализа работы различных оптических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Фроленкова, Мария Валерьевна

• Фроленкова, Мария Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фроленкова, Мария Валерьевна

Общая характеристика работы

Список использованных обозначений

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Различные подходы к решению задач дифракции ультракоротких импульсов

1.2 Дельта-функция как модель ультракороткого импульса

1.3 Ультракороткие импульсы и теория краевых волн.

1.4 Выводы по главе.

2 Теоретические основы импульсного метода

2.1 Понятия дельта-функции и тета-функции

2.2 Оптическая система как линейный преобразователь сигнала. Аппаратная функция

2.3 Выводы по главе.

3 Дифракция плоской волны, нормально падающей на плоский экран

3.1 Экран с произвольным пропусканием.

3.2 Круглое отверстие в плоском экране.

3.2.1 Аппаратная функция круглого отверстия в случае нормального падения исходной волны.

3.2.2 Дифракция монохроматической волны на круглом отверстии.

3.3 Отверстие в виде узкого кольца

3.4 Применение полученных результатов для описания работы реальных физических устройств

3.4.1 Зонная пластинка

3.4.2 Восстановление изображения в дельта-голографии

3.5 Выводы по главе.

4 Дифракция плоской волны, падающей на экран под углом

4.1 Экран с произвольным пропусканием.

4.2 Круглое отверстие в плоском экране. Точка наблюдения находится на оси симметрии отверстия.

4.2.1 Аппаратная функция круглого отверстия в случае наклонного падения исходной волны.

4.2.2 Выполнение принципа соответствия (связь полученного решения и результов исследования задачи о нормальном падении (5-импульса на круглое отверстие).

4.3 Выводы по главе.

5 Дифракция сходящейся сферической волны

5.1 Экран с произвольным пропусканием.

5.2 Круглое отверстие в сферическом экране.

5.2.1 Аппаратная функция круглого отверстия в случае, когда точка наблюдения расположена на оси симметрии системы.

5.2.2 Аппаратная функция круглого отверстия в случае, когда точка наблюдения лежит вне оси симметрии системы

5.2.3 Дифракция сходящейся сферической монохроматической волны на круглом отверстии.

5.2.4 Выполнение принципа соответствия (Связь между аппаратной функцией для точки наблюдения вне, оси симметрии системы и аппаратной фукнцией для точки наблюдения на ось1).

5.3 Применение полученных результатов для описания работы реальных физических устройств

5.3.1 Линза Френеля.

5.4 Дифракция расходящейся сферической волны.

5.4.1 Экран с произвольным пропусканием.

5.4.2 Круглое отверстие в сферическом экране.

5.5 Выводы по главе.

6 Общие свойства импульсных откликов

6.1 Алгебраическая простота.

6.2 Разделение во времени прошедшей и краевой волн.

6.3 «Стягивание» к производной от дельта-функции.

6.4 Равенство пулю интеграла по полному временному промежутку существования отклика (доказано только для двух случаев)

6.5 Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование импульсного метода решения задач дифракции скалярных волн и его применение для анализа работы различных оптических систем»

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертационная работа посвящена развитию одной из основных областей как классической, так и современной оптики — исследованию дифракции светового излучения. Задачи дифракции возникают повсеместно: при описании большинства процессов распространения волн и их взаимодействия с системами преобразования формы волновых фронтов, при разработке новых оптических, акустических и радиотехнических устройств, в появившейся в последние десятилетия проблеме изучения ультракоротких импульсов света, и т.д. Традиционный способ решения дифракционных задач заключается в том, что сложный входной сигнал раскладывается в спектр монохроматических волн, а затем отдельно изучается прохождение каждой монохроматической компоненты сквозь исследуемую оптическую систему. Сумма полученных откликов является реакцией системы на первоначальное воздействие. Несмотря на кажущуюся простоту по своей постановке, классический подход представляет собой весьма громоздкую процедуру, так как только для ограниченного круга простейших систем удается привести аналитическое выражение для реакции системы на одну монохроматическую волну. При этом сама математическая форма отклика системы на такую волну имеет сложный вид (содержит специальные интегральные функции или бесконечные суммы этих функций), и дальнейшее суммирование таких откликов является весьма трудоемкой операцией даже для современных компьютеров.

Таким образом, давно назрела необходимость в разработке альтернативного метода решения задач дифракции, который характеризовался бы меньшими вычислительными затратами. Меньший объем вычислений позволит рассматривать более сложные дифракционные системы и более сложные входные сигналы (например, ультракороткие импульсы, которые сегодня имеют множество областей применения). Именно такой метод, названный импульсным, был развит в данной работе и применен для решения нескольких типичных оптических задач.

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.

В диссертации исследуются различные задачи дифракции импульсных волн, а именно:

• задача дифракции плоской волны на круглом отверстии в случае нормального и наклонного падения волны на экран;

• задача дифракции сферической сходящейся и расходящейся волн на круглом отверстии;

• задача дифракции плоской волны на узком кольце, зонной пластинке Соре-Френеля и линзе Френеля;

• задача восстановления сигнала в импульсно-кодовой голографии.

Для решения указанных задач применяется импульсный метод, разработанный на кафедре оптики СПбГУ и получивший дальнейшее развитие в диссертационной работе.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИИ состоят, во-первых, в том, чтобы развить метод решения задач дифракции скалярных волн, который был бы лишен недостатков, присущих классической теории монохроматических волн в применении к импульсным процессам. В работе показано, что использование импульсного метода позволяет в значительной степени устранить такие недостатки классической теории, как отсутствие прозрачности физической интерпретации, громоздкость и неприспособленность для решения задач, в которых входным сигналом является существенно немонохроматическое излучение.

Во-вторых, целью проведенных исследований была демонстрация преимуществ использования импульсного метода для изучения распространения ультракоротких волновых процессов.

В третьих, работа была направлена на развитие методов качественного описания особенностей работы дифракционных оптических систем в условиях воздействия на них импульсных сигналов.

НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Способ решения дифракционных задач, названный «импульсным методом», который является альтернативой классической теории, оперирующей монохроматическими волнами.

2. Конкретные математические соотношения, полученные при использовании импульсного метода для решения оптических задач, перечисленных в пункте «Объект исследования и методы исследования»;

3. Результаты применения полученных соотношений для анализа процессов дифракции ультракоротких импульсов, качественное и количественное описание особенностей этих процессов.

4. Наглядная демонстрация того факта, что дифрагированная волна состоит из двух слагаемых: прошедшей волны Ура88(Р, которая распространяется по законам геометрической оптики, и краевой волны ^^(Р, ¿), которая является результатом рассеяния падающей волны на краях отверстия, причем качественная ее структура также может быть изучена на основании геометрических соображений.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты, перечисленные в разделе «Научные положения, выносимые на защиту», а также основные выводы диссертации, являются новыми, включая полученные в каждой задаче аналитические выражения для отклика систем на бесконечно короткий во времени импульс и анализ формы этих откликов.

ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ подтверждена несколькими способами. Прежде всего, на основании результатов применения импульсного метода вычислялась реакция хорошо изученных в научной литературе систем на монохроматическую волну. Полученные данные сравнивались с известными выводами классической теории дифракции монохроматических волн. Проведенное сравнение показало точное совпадение результатов, представленных в аналитическом виде, и близость в пределах погрешности численных расчетов в том случае, когда невозможно получить аналитические соотношения.

Выполнено сопоставление полученных в данной работе откликов исследуемых систем на бесконечно короткий импульс с известными из литературы данными по дифракции ультракоротких импульсов. Сравнение показало полную идентичность результатов для тех областей пространства, где возможно применение обеих теорий. Отмечается как совпадение величины и формы амплитудных коэффициентов соответствующих волн, так и одинаковые значения временных промежутков между моментами прихода соответствующих сигналов в точку наблюдения.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ И ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Научная и практическая значимость данной работы состоит. прежде всего, в том, что для каждой из исследуемых оптических систем получена универсальная характеристика этой системы (так называемый импульсный отклик), которая, во-первых, позволяет вычислить реакцию системы на реальное входное воздействие с произвольной зависимостью от времени с помощью быстро выполнимой операции свертки импульсного отклика и входного сигнала. Во-вторых, анализ импульсного отклика выявляет многие особенности распространения ультракоротких импульсов, которые остаются скрытыми при использовании теории монохроматических волн. На основании полученных результатов в диссертации показано, что физическое толкование процессов дифракции более близко к идеям, которые связывают с именем Томаса Юнга, нежели к общепринятому принципу Гюйгенса-Френеля. Представленные в диссертационной работе материалы связаны, в основном, с исследованием оптических систем, но полученные выводы в равной степени могут быть использованы при решении любых задач распространения волны в трехмерных средах (например, в таких разделах физики, как акустика или радиофизика). От исследуемой системы требуется только свойство линейности.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на: III Международной конференции по лазерной оптике для молодых ученых (Санкт-Петербург, 2006). конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной физики. Демидовские чтения» (Москва, 2006), XII региональной конференции по распространению радиоволн (Санкт-Петербург, 2004), X Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Санкт-Петербург, 2004), Международном оптическом конгрессе «Оптика-XXI век» (Санкт-Петербург, 2004 и 2002), X Региональной конференции по распространению радиоволн (Санкт-Петербург. 2004), II Международной конференции по лазерной оптике для молодых ученых (Санкт-Петербург, 2003), VII Всероссийской научной конференции студентов-радиофизиков (Санкт-Петербург, 2003). По материалам работ присуждено II место на конкурсе научных трудов молодых ученых и студентов СПбГУ в 2004 г, стипендия имени С.Э. Фриша в 2003 г. и стипендия фирмы НИЕНШАНЦ в 2001 г. Научная работа в 2005-2006 и 2001-2002 гг. поддержана грантами молодых ученых, присуждаемыми администрацией Санкт-Петербурга.

ПУБЛИКАЦИИ. Теме диссертации посвящено 22 публикации, включая 7 статей в реферируемых журналах. Список публикаций приведен ниже.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА. Основы импульсного метода в использованной в диссертации форме были разработаны М.К. Лебедевым и Ю.А. Толмачевым. Конкретные задачи дифракции, перечисленные в разделе «Объект исследования и методы исследования», были решены лично автором в рамках импульсного метода. Моделирование некоторых описанных в работе процессов, например, процесса восстановления изображения в импульсно-кодовой голографии и процесса фокусировки плоской волны с помощью линзы, было выполнено студентом A.B. Кытмановым на основе результатов, полученных автором.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из общей характеристики, введения, шести глав, заключения и четырех приложений. Полный объем диссертации (без учета приложений) составляет 151 страницу, включая 46 рисунков, и список литературы из 97 наименований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А., Фроленкова М. В., Кытмаиов A.B. Специфические особенности пространственно-временной структуры широкополосного сигнала в окрестности фокуса сходящейся сферической волны // Оптика и Спектроскопия. - 2006. - Т. 100, № 1. - С. 129-135.

Lebedev М.К., Tolmachev Yu.A., Frolenkova M. V. and Kytmanov A.V. Specific features of the spatiotemporal structure of a broadband signal in the vicinity of the focal point of a converging spherical wave // Optics and Spectroscopy. - 2006. - Vol. 100, № 1. - P. 119-125.

2. Фроленкова M. В., Толмачев Ю. А. Дифракция плоского ультракороткого импульса на круглом отверстии. Наклонное падение // Вестник СПбГУ. - 2006. - Сер. 4. Вып. 1. - С. 142-146.

3. Фроленкова М. В. Об особенностях взаимодействия ультракороткого импульса с тонкой линзой // «Фундаментальные и прикладные проблемы современной физики. Демидовские чтения», тезисы докладов. Москва. -2006. - С. 151-152.

4. Frolenkova M. V., Tolmachev Yu. A. Diffraction of ultrashort pulse by circular aperture at normal and oblique incidence of plane wave // Technical Digest LOY's 2006. - P. 60.

5. Фроленкова M. В., Толмачев Ю. А. Дифракция плоской волны на круглом отверстии. Наклонное падение // Региональная XII конференция по распространению радиоволн, Сборник тезисов. - Санкт-Петербург. -2006. - С. 69.

6. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А., Фроленкова М. В., Кытманов А. В. Изменение формы фемтосекундного импульса во времени при фокусировке // Квантовая электроника. - 2005. - Т. 35, № 5. - С. 479-483.

Lebedev M. К., Tolmachev Yu. A., Frolenkova M. V. and Kytmanov A. V. Transformation of a femtosecond pulse upon focusing // Quantum Electronics. - 2005. - Vol. 35, № 5. - P. 479-483.

7. Лебедев M. К., Толмачев Ю.А., Фроленкова M. В., Кытманов А. В. Фокусировка скалярной волны в импульсном приближении // Вестник СПбГУ. - Сер. 4. Вып. 1. - 2005. - С. 3-11.

8. Tolmachev Yu. A., Lebedev M. К., Frolenkova M. V. and Kytmanov A.V. New approach to the analysis of the ultrashort pulses diffraction // 13th

International School on Quantum Electronics «Laser Physics and applications» Proc. SPIE. - 2005. - Vol. 5830. - P. 479-490.

9. Кытманов А. В., Толмачев Ю.А., Фроленкова M.B. Об особенностях процесса восстановления волны в дельта-голографии // Вестник СПбГУ. - Сер. 4. Вып. 4. - 2004. - С. 99-105.

10. Фроленкова М. В., Лебедев М. К., Кытманов А. В., Толмачев Ю.А. Особенности изменения временной структуры фемтосекундного импульса при фокусировке // ВНКСФ-10. Десятая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых. Сборник тезисов. 4.2. Москва. - 2004. - С. 704-706.

11. Кытманов А. В. Толмачев Ю.А., Фроленкова М.В. Дифракция ультракороткого импульса на кольцевой диафрагме // ВНКСФ-10. Десятая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых. Сборник тезисов. 4.2. Москва. - 2004. - С. 678-679.

12. Кытманов А. В., Толмачев Ю.А., Фроленкова М.В. Оптическое декодирование последовательности импульсов // ВНКСФ-10. Десятая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых. Сборник тезисов. 4.2. Москва. - 2004. - С. 676-677.

13. Фроленкова М. В., Толмачев Ю.А., Кытманов А. В. Дифракция ультракороткого импульса на кольцевой диафрагме // Международный конгресс «Оптика - XXI век». Конференция «Фундаментальные проблемы оптики» Сборник трудов. СПб. - 2004. - С. 188-189.

14. Фроленкова М. В., Толмачев Ю. А., Кытманов А. В. Оптическое декодирование последовательности импульсов // Международный конгресс «Оптика - XXI век». Конференция «Фундаментальные проблемы оптики» Сборник трудов. СПб. - 2004. - С. 190-191.

15. Фроленкова М. В., Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. Распределение света вблизи фокуса тонкой линзы // Региональная X конференция по распространению радиоволн. Тезисы докладов. СПб. - 2004. - С. 19.

16. Frolenkova М. V., Tolmachev Yii. A. Fresnel lens for the ultrashort pulse focusator //II International Conference on Laser Optics for Young Scientists. Technical Digest. St. Petersburg. - 2003. - P. 30.

17. Разманова (Фроленкова) M. В., Толмачев Ю.А. Анализ взаимодействия зонной пластинки с плоской волной импульсным методом // Вестник СПбГУ. - 2003. - Сер. 4. Вып. 1. № 4. - С. 22-29.

18. Кытманов A.B., Фроленкова М. В. Дифракция и интерференция ультракоротких импульсов в задаче оптического опознавания последовательности импульсов // VII Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков. Тезисы докладов. СПб. - 2003. - С. 36-38.

19. Фроленкова М.В., Толмачев Ю.А. Аппаратная функция линзы Френеля, импульсный подход // Труды второй научной молодежной школы «0птика-2002». СПб. - 2002 - С. 7-8.

20. Фроленкова М. В., Толмачев Ю.А. Применение импульсного подхода к описанию действия зонной пластинки // Труды второй научной молодежной школы «0птика-2002». СПб. - 2002 - С. 9.

21. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А., Антипов А. Г., Разманова (Фроленкова) М. В. Дифракция ультракороткого импульса на круглом отверстии. Асимптотические соотношения // Вестник СПбГУ. - 2002. - Сер. 4. Вып. 4. № 28. - С. 44-56.

22. Lebedev М. К., Tolmachev Yu. A., Antipov A. G.,Razmanova (Frolenkova) М. V. Asymptotic relations for the diffraction of the ultrashort pulse from the circular aperture // Proceeding of SPIE. - 2001. - Vol. 4680. - P. 6 - 8.

Список использованных обозначений бесконечно короткий во времени входной сигнал;

V(Р, — отклик линейной оптической системы на бесконечно короткий входной сигнал в точке Р пространства за системой. Для У(Р, в работе используется определение «импульсный отклик» или эквивалентное ему — «аппаратная функция»; входной сигнал с произвольной зависимостью от времени;

Ф(Р, ¿) — реакция системы на произвольный входной сигнал ф(г\£) в точке Р пространства за системой. Если входной сигнал является монохроматической волной, то через Ф(Р, и>) обозначается амплитуда выходного сигнала; бесконечно короткий во времени входной сигнал в плоскости экрана; — входной сигнал с произвольной зависимостью от времени в плоскости экрана;

Упаггп{Р, £) — отклик круглого отверстия на плоский нормально падающий ¿-импульс в точке наблюдения Р пространства за экраном;

Уа(Р,£) — отклик круглого отверстия на плоский ¿-импульс в точке наблюдения Р пространства за экраном. Плоскость ¿-импульса составляет угол а с плоскостью экрана;

Крл(Р)^) — отклик круглого отверстия на сферический ¿-импульс в точке наблюдения Р пространства за отверстием;

Угтд(Р) — отклик узкого кольца на плоский нормально падающий ¿-импульс в точке наблюдения Р пространства за экраном;

У20пе(Р, — отклик зонной пластинки на плоский нормально падающий 5-импульс в точке наблюдения Р пространства за пластинкой;

У/Г(Р, — отклик линзы Френеля на плоский нормально падающий ¿-импульс в точке наблюдения Р пространства за линзой;

Р(хо, уо, ^о) ~~ координаты точки наблюдения в пространстве за оптической системой; г — расстояние от точки наблюдения Р до текущей точки на поверхности экрана;

Т(х, у) — амплитудная функция пропускания экрана: а — радиус круглого отверстия; го — расстояние от плоскости экрана до точки наблюдения;

Я — радиус сферического экрана (в задачах о сферической волне).

Введение

Диссертационная работа посвящена исследованию дифракции световых волн. Теоретическое описание многих физических явлений, в том числе и процессов дифракции, было бы чрезвычайно сложным, если бы не одно обстоятельство, которое позволяет существенно упростить математический анализ. Имеется в виду свойство линейности физических систем. Это свойство позволяет представить сложный входной сигнал как линейную комбинацию «элементарных» воздействий, затем рассмотреть реакцию системы на каждое из таких воздействий в отдельности и сложить результаты, получив тем самым искомый отклик системы на сложный сигнал.

С математической точки зрения сложную функцию можно разложить на сумму простых (элементарных) самыми разнообразными способами, и все эти способы будут одинаково допустимы (при этом простые функции должны составлять ортонормированный базис). Тип выбранного набора функций определяется физическими особенностями задачи. В классической оптике принято разложение в спектр монохроматических волн. Целесообразность разложения именно на монохроматические составляющие обусловлена многими причинами. Во-первых, квазимонохроматические колебания — это один из наиболее распространенных в природе видов движения. Во-вторых, свойства монохроматических волн давно и детально изучены. Математический аппарат, используемый при этом (так называемый Фурье-анализ), глубоко разработан. В оптике создана большая гамма физических приборов, например, спектрографов и интерферометров, которые производят фактическое разложение сложного излучения на монохроматические компоненты. При этом не следует забывать, что монохроматическая волна — это одна из принятых в физике идеализаций реальных процессов. В самом деле, такая волна существует во всем трехмерном пространстве в любой момент времени, и имеет бесконечно узкий спектр, чего в реальности никогда не наблюдается.

Представление оптического сигнала в виде суммы монохроматических волн может оказаться удобным, если исходный сигнал сам является квазимо-похроматической волной. Тогда в разложении можно ограничиться небольшим числом слагаемых. Но что будет, если входной сигнал — это не протяженная во времени волна, а ультракороткий импульс? Если представлять короткий во времени импульс в виде суммы бесконечно длинных монохроматических волн, то для достижения требуемой точности разложения потребуется использовать очень большое число слагаемых в этой сумме. Учтем при этом, что отклик оптической системы па одну монохроматическую компоненту чаще всего имеет весьма сложный вид (в лучшем случае он описывается специальными интегральными функциями). Дальнейшее суммирование полученных откликов представляет собой очень громоздкую задачу. Компьютерные расчеты подобных систем выполняются очень медленно. Лишь очень ограниченный круг простейших задач дифракции монохроматических воли «до конца» решается аналитически. Подобная сложность приводит также к тому, что полученный ответ зачастую не имеет простой и наглядной интерпретации.

В двадцатом веке была разработана теория вейвлет-преобразовапий, которая находит множество разнообразных применений в современной науке и технике, иногда вытесняя Фурье-преобразование. Вейвлеты — это семейство функций, которые локальны во времени и по частоте, и в которых все функции получаются из одной посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени. С точки зрения изучения дифракции волн, вейвлеты удобны, в частности. тем, что подходящим выбором базового всплеска исследователь может добиться более полного соответствия между теоретической моделью и реальной физической задачей.

В данной работе для исследования линейных систем предлагается применить альтернативный метод решения дифракционных задач, названный импульсным. Метод использует возможность описать взаимодействие входного сигнала с исследуемой линейной системой, если известна реакция этой системы на бесконечно короткий во времени импульс Другими словами, если действие оптической системы на входной сигнал описывается линейным оператором £{. } и если найден импульсный отклик У(Р, /,) этой системы в точке Р: то реакция системы на реальный сигнал ф(£) произвольной формы будет вычисляться с помощью свертки: а{Фт = У(Р,г)®<Кг).

Описанный прием хорошо известен в теории линейных операторов и используется во многих разделах физики, в том числе в электродинамике, радиофизике и механике при исследовании переходных процессов и колебаний (более подробно см. в разделах 1.2 и 2.2).

Итак, импульсный метод, в отличие от традиционного, предлагает использовать в качестве базового сигнала бесконечно короткий импульс, а не монохроматическую волну. Дельта-импульс является в некотором смысле противоположностью монохроматической волне. Если, как было отмечено выше, монохроматическая волна имеет ¿-образный спектр и не локализована в пространстве, то ¿-импульс имеет бесконечно широкий спектр и в каждый момент времени занимает бесконечно узкую область пространства. Дельта-волна есть такая же математическая абстракция, как и монохроматическая волна. Физический смысл имеет только свертка импульсного отклика с конечным во времени входным сигналом. Вместе с тем, ¿-импульс является куда более подходящей моделью для ультракоротких сигналов, чем монохроматическая волна. И, зная качественный вид импульсного отклика, можно сказать о некоторых особенностях дифракции ультракоротких возмущений, даже не переходя к сигналам конечной длительности. Это немаловажно, так как на сегодняшний день ультракороткие импульсы имеют очень большое прикладное значение. Другими несомненными преимуществами импульсного метода являются его универсальность и обнаруженная нами алгебраическая простота полученных решений, что будет продемонстрировано в данной работе.

В представленной работе импульсный метод используется для решения следующих типичных для оптики задач:

• дифракция плоской волны на круглом отверстии в плоском экране; рассмотрены случаи нормального и наклонного падения волны на экран;

• дифракция сферической сходящейся волны на круглом отверстии в сферическом экране;

• дифракция сферической расходящейся волны на круглом отверстии в сферическом экране;

• дифракция плоской волны на системе концентрических колец (задача о зонной пластинке Соре-Френеля);

• формирование сигнала в фокусе линзы Френеля;

• исследование особенностей восстановления сигнала в импульсно-кодовой голографии.

Каждая задача рассматривается по следующей схеме:

1. Начало координат помещается в центре отверстия. Ось OZ совпадает с осью симметрии системы и направлена в сторону распространения волны. За начало отсчета времени принимается момент, когда фронт волны достигает поверхности экрана.

2. В рамках импульсного метода, в качестве исходного сигнала фигурирует дельта-импульс, который имеет вид 5{р — г ¡с) для плоской волны; 5(t — ^r^) для сферической сходящейся волны и — S{t — для сферической расходящейся волны (здесь р — текущий радиус волны, R — радиус сферического экрана).

3. Для вычисления импульсного отклика в произвольной точке Р пространства за экраном применяется теорема Кирхгофа, которая позволяет выразить поле в точке наблюдения через поле и его производную по нормали на поверхности экрана. Ограничения, которые накладывает использование теоремы Кирхгофа, перечисляются в разделе 3.1 диссертации. Для того, чтобы описать электромагнитую волну в точке Р, надо применить теорему Кирхгофа последовательно к каждой декартовой координате вектора напряженности электрического поля E(t) и вектора напряженности магнитного поля H(t). Однако в оптике видимого, УФ и ИК излучения ни один существующий фотоприемник не способен зафиксировать мгновенные значения векторов E(t) и H(t) и их направления. Обычно измеряется только интенсивность / световой волны, причем усре-денная по большому числу периодов колебаний:

Поэтому в большинстве случаев световое поле достаточно выразить через некоторую скалярную комплексную функцию у, г, L) такую, что квадрат модуля этой функции равен интенсивности световой волны: |Ф|2.

В данной работе результат дифракции представляется в виде скалярных функций у, z, t), т. е. рассматривается только применение метода Кирхгофа в формулировке для скалярных волн. Это ограничение является существенным, так как поляризация электромагнитных колебаний вообще исключается из рассмотрения. Тем не менее, полученные результаты будут, несомненно, полезны при качественном и количественном исследовании явлений распространения и дифракции ультракоротких импульсов в разных областях физики и техники.

4. Анализируется вид полученного «импульсного отклика» (в работе наряду с этим термином используется эквивалентный ему — «аппаратная функция»). В частности, проверяется выполнение принципа соответствия, т. е. например, решение задачи о наклонно падающей на экран плоской волне должно превращаться в решение задачи о нормальном падении в результате предельного перехода а —> 0, где а — это угол между фронтом волны и поверхностью экрана.

5. В некоторых задачах вычисляется свертка импульсного отклика с волной е1ш1 для того, чтобы найти реакцию системы на монохроматическую волну и тем самым сравнить давно известные выводы теории дифракции монохроматических волн с соотношениями, полученными импульсным методом. Во всех рассмотренных задачах сравнение показало точное совпадение результатов, представленных в аналитическом виде, и совпадение в пределах погрешности численного расчета в том случае, когда аналитический вывод невозможен. Проводится сравнение импульсного отклика с результатами некоторых работ, в которых исследуется дифракция ультракоротких импульсов (например, [1, 2]). Сравнение демонстрирует близость полученных результатов: амплитудные коэффициенты соответствующих волн и времена между моментами прихода сигналов в точку наблюдения совпадают.

6. В заключении каждой главы импульсный метод применяется для анализа работы какого-либо оптического устройства, например, зонной пластинки или линзы Френеля.

Таким образом, диссертационная работа посвящена развитию альтернативного подхода к решению задач дифракции. Новый метод, названный импульсным, использует в качестве базисного сигнала бесконечно короткий во времени импульс (а не монохроматическую волну, как это принято в классической теории). Для вычисления реакции оптических систем, рассмотренных в работе, на ¿-импульс применяется теорема Кирхгофа. В дальнейшем будет показано, что импульсный метод обладает рядом несомненных преимуществ по сравнению с классической теорией монохроматических волн, основными из которых являются обнаруженная нами алгебраическая простота решений, и удобство для изучения процессов дифракции ультракоротких импульсов.

1 Обзор литературы

Заключение диссертации по теме «Оптика», Фроленкова, Мария Валерьевна

6.5 Выводы по главе

Таким образом, в данной главе перечислены те свойства импульсных откликов, которые являются общими для всех оптических систем, рассмотренных в этой работе. Такими свойствами являются:

• обнаруженная нами алгебраическая простота импульсных откликов, благодаря которой импульсный метод обладает несомненными вычислительными преимуществами по сравнению с классической теорией монохроматических волн; наглядная физическая интерпретация полученных результатов, позволяющая всякий раз выделять в решении прошедшую и краевую волны; стягивание» к производной от дельта-функции, т.е. появление в выражении для импульсного отклика ¿'(¿)-функции в результате некоторого предельного перехода; равенство нулю интеграла по всему временному промежутку существования импульсного отклика (доказано только для двух случаев — для нормального падения на круглое отверстие и на отверстие с гауссовым пропусканием).

Заключение

Итак, в диссертационной работе было рассмотрено несколько типичных задач дифракции, а именно: дифракция плоской волны на круглом отверстии в случае нормального и наклонного падения волны на экран; дифракция плоской волны на зонной пластинке и на линзе Френеля, а также дифракция сферической сходящейся и сферической расходящейся волн на круглом отверстии в сферическом экране. Для решения этих задач применялся так называемый импульсный метод. В рамках этого метода была найдена реакция исследуемых систем на бесконечно короткий во времени импульс 5(¿), для чего использовался интеграл Кирхгофа. Не следует приписывать физического смысла импульсным откликам, полученным таким образом, так как реакция системы на 5-импульс — это только удобная математическая абстракция. Она полезна тем, что, согласно выводам теории линейных операторов, реакция системы на реальный входной сигнал с произвольной зависимостью от времени может быть получена с- помощью свертки импульсного отклика и этого входного сигнала. В частности, свертка импульсного отклика и волны еш1 должна приводить к результатам, которые давно известны из теории дифракции монохроматических волн. Сравнение, выполненное для нескольких задач, показало точное совпадение традиционных решений с теми, которые получены импульсным методом (результаты, представленные в аналитическом виде, одинаковы: а в численном — совпадают в пределах погрешности расчета). Это свидетельствует о правильности предложенного способа решения дифракционных задач и отчасти оправдывает сделанные допущения.

Между тем, импульсный подход имеет ряд несомненных преимуществ по сравнению с традиционным методом, использующим разложение в спектр монохроматических волн, а именно:

• импульсный отклик является универсальной характеристикой оптической системы, так как есть возможность описать взаимодействие этой системы с любым другим возмущением с помощью операции свертки входного возмущения и импульсного отклика;

• импульсный отклик в каждой решенной нами задаче состоит из набора элементарных алгебраических функций. Благодаря этому дальнейшая свертка импульсного отклика с любым реальным сигналом вычисляется на компьютере значительно быстрее, чем если бы та же дифракционная задача решалась с помощью разложения исходного сигнала в Фурье-спектр. Наглядным подтверждением сокращения вычислительных затрат являются приведенные в работе расчеты дифракционных картин в задачах дифракции па круглом отверстии плоской наклонно падающей волны и сферической сходящейся волны. В разделах 4.2.1 и 5.2.3 приведены итоговые формулы для соответствующих расчетов, полученные на основании импульсного метода и с помощью классического монохроматического подхода. Очевидно, что результаты импульсного метода гораздо проще и нагляднее. Подчеркнем, что алгебраическая простота импульсных откликов была впервые обнаружена нами;

• математическая простота делает полученные результаты доступными для наглядной интерпретации. В частности, оказалось, что импульсный отклик всякий раз является суммой двух слагаемых: одно из них есть часть прошедшей волны, которая распространяется строго по законам геометрической оптики, а второе — это результат дифракции исходной волны на краях отверстия. Это позволяет вернуться к идеям, связанным с именем Томаса Юнга, который еще в начале XIX века предполагал, что дифрагированная волна есть сумма прошедшей волны и волны, рассеянной краями отверстия. Если изучать дифракцию монохроматических волн, то данный эффект завуалирован, так как в этом случае прошедшая и краевая волны обязательно накладываются друг на друга в освещенной зоне. Только переход к сигналам малой длительности позволяет разделить эти волны во времени и тем самым доказать существование прошедшей и краевой волн;

• на сегодняшний день очень модной областью исследований является изучение дифракции ультракоротких импульсов на разных объектах. Это связано с широким практическим применением этих импульсов. В большинстве известных нам работ анализ дифракции ультракороткого импульса начинается с представления этого импульса в виде суммы бесконечно длинных монохроматических волн. На наш взгляд, импульсный метод является куда более удобным инструментом для решения подобных задач, так как интуитивно ясно, что ¿(¿)-функция — это самая удачная модель ультракороткого импульса. Строго говоря, чтобы получить значимый с физической точки зрения результат, надо вычислить свертку импульсного отклика с сигналом конечной длительности, в данном случае, с ультракоротким импульсом. Но о некоторых особенностях распространения ультракоротких импульсов можно сказать, не вычисляя свертку, а опираясь только на вид импульсного отклика. Например, можно сказать, насколько сильно будут разделены во времени прошедшая и краевая волны, как они будут распространяться в освещенной области и в области тени. При исследовании фокусировки дельта-импульса было доказано, что для сигналов любого типа в фокусе линзы образуется не сама падающая волна, а производная по времени от нее, и т. д.;

• в этой работе рассматривался очень ограниченный круг задач. Тем не менее, тот факт, что импульсный отклик каждый раз состоит из набора элементарных алгебраических функций, на наш взгляд, не является случайным. Мы полагаем, что простота полученных решений является прямым следствием того, что входной сигнал бесконечно короткий. А если перейти к возмущениям конечной длительности (в пределе — к бесконечно длинным монохроматическим волнам), то для описания поля в пространстве за оптической системой потребуются интегральные функции, так как интерференция волн усложняет структуру отклика. Усложнение также произойдет, если рассматривать приемники, которые имеют конечную импульсную реакцию, в частности, обладают резонансными свойствами (например, атомы). Таким образом, импульсный отклик — это наиболее удобная форма анализа дифракционных систем, он позволяет классифицировать сами оптические устройства (пренебрегая учетом свойств приемника излучения, что на самом деле некорректно) на дифракционные и интерференционные, основываясь на том, какие процессы происходят при формировании импульсного отклика - сугубо дифракционные, или в них дополнительно присутствует интерференция. Например, круглое отверстие или обычная линза в такой классификации будут дифракционными устройствами, а линза Френеля или интерферометр Майкельсона — интерференционными.

В данной работе с помощью импульсного метода рассмотрен ряд оптических систем. Но в равной степени метод можно применить для анализа других линейных преобразователей сигнала, которые изучаются, например, в акустике или радиофизике. Таким образом, благодаря перечисленным выше преимуществам, представленный в работе импульсный метод является весьма перспективным направлением для исследования дифракции волн на линейных структурах.

Благодарности

Я выражаю искреннюю признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Толмачеву Юрию Александровичу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фроленкова, Мария Валерьевна, 2008 год

1. Horvath Z.L., Вог Zs. Diffraction of short pulses with boundary diffraction wave theory // Physical Review E. 2001. - Vol. 63. - P. 026601.

2. Sherman G. C. Short pulses in the focal region // Journal of the Optical Society of America A. 1989. - Vol. 6. № 9. - P. 1382-1391.

3. Hentschel M., Kienberger R., Spielmann G.R.Ch., Milosevic N., Brabec T., Corkum P., Heinzmann, Drescher M. and Krausz F. Attosecond metrology // Nature (London). 2001. - Vol. 414. - P. 509.

4. Paul P., Toma E., Breger P., Mullot G., Auge F., Baleou P., Muller H. and Agostini P. Observation of a Train of Attosecond Pulses from High Harmonic Generation // Science. 2001. Vol. 292. - P. 1689-1692.

5. Palmes-Saloma C. and Saloma C. Long-Depth imaging of specific gene expressions in whole-mount, mouse embryos with single-photon excitation confocal fluorescence microscopy and FISH // Journal of Structural Biology. 2000. - Vol. 131. - P. 56-66.

6. Itatani J., Levesque J., Zeidler D., Hiromichi Niikura, Pepin H., Kieffer J. C., Corkum P. B. and Villeneuve D.V. Tomographic imaging of molecular orbitals // Nature. 2004. - Vol. 432. - P. 467.

7. Dyson N. A. X-Ray in atomic and nuclear physics // London: Longman Group Ltd. 1973. - 244 p.

8. Tomov V., Chen P. and Rentzepis P. M. Nanosecond hard X-ray source for time resolved X-ray diffraction studies // Review of scientific instruments. -1995. Vol. 66, № 11. - P. 5214-5217.'

9. Trebino R., Kane D.J. Using phase retrieval to measure the intensity and phase of ultrashort pulses: frequency-resolved optical gating // The Journal of the Acousrical Society of America A. 1993. - Vol. 10. - P. 1101-1111.

10. Nagashima T. and Nashima S. Spectroscopy by pulsed terahertz radiation MHangyo // Measurement Science and Technology. 2002. - Vol. 13. -P. 1727-1738.

11. Городецкий А.А., Беспалов В.Г. Импульсная голография без опорного пучка в ТГц диапазоне спектра // М: Сб. трудов и официальные материалы научно-практической конференции «Голография в России и за рубежом. Наука и практика». 2007, 25-27 сент. - С. 72-73.

12. Мазуренко Ю.Т. Путилин С.Э. Спектральная голография и спектральная нелинейная оптика // СПб: Сб. трудов всероссийского семинара «Юрий Николаевич Денисюк — основоположник отечественной голографии». 2007. - С. 78- 87.

13. Mazurenko Yu.T. Holography of wave packets // Applied Physics. 1990. -Vol B50. № 2. - P. 101-114.

14. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. M.: Изд-во «Наука». - 1970. - 721 с.

15. Фриш С.Э., Тиморева А. В. Оптика. Атомная физика. 1957. - Изд. 4. Т. 3. - 608 с.

16. Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Наука. - 1976. - 848 с.

17. Бутиков Е. И. Оптика. Спб: Невский диалект. - 2003. - 480 с.

18. Ахманов С. А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. М.: Наука. - 2004.- 654 с.

19. Horvath Z. L., Bor Zs. Distortion of femtosecond pulses in lenses. Wave optical description // Optics Communications. 1992. - Vol. 94 - P. 249-258.

20. Horvath Z. L., Bor Zs. Reshaping of femtosecond pulses by the Gony phase shift // Physical Review E. 1999. - Vol. 60. - P. 2337.

21. Miyamoto K., Wolf E. Generalization of the maggi-rubinowicz theory of the boundary diffraction wave. Part I // Journal of the Optical Society of America. 1962. - Vol. 52. - P. 615-625.

22. Miyamoto K., Wolf E. Generalization of the maggi-rubinowicz theory of the boundary diffraction wave. Part II // Journal of the Optical Society of America. 1962. - Vol. 52. - P. 626-637.

23. Оганесян Д. JI. Дифракция фемтосекундного импульса на круглой диафрагме // Оптика и спектроскопия. 1996. - Т. 80, № 6. - С. 974-978.

24. Авакян Р. А., Варданян А. О., Маилян А. Э., Оганесян Д. Л. Дифракция пространственно-ограниченного фемтосекундного светового импульса на дифракционной решетке // Оптика и спектроскопия. 1994. - Т. 77, № 4.- С. 668-673.

25. Папулис А. Теория систем м преобразований в оптике. М.: Мир. - 1971.- 495 с.

26. Romallosa К. M., Bantang J. and Saloma С. Three-dimensional light distribution near the focus of a tightly focused beam of few-cycle optical pulses // Physical Review A. 2003. - Vol. 68. - P. 033812.

27. Richards В. and Wolf E. Electromagnetic Diffraction in Optical Systems. II. Structure of the Image Field in an Aplanatic System // Proceeding the royal of society (London), Ser. A. 1959. - Vol. 253. - P. 358-379.

28. Алешкевич B.A. Петерсон В.К. Обобщение дифракционного интеграла Зоммерфельда на случай предельно коротких оптических импульсов // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1997.- Vol. 66, № 5. С. 323-326.

29. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А., Антипов А. Г., Разманова (Фроленко-ва) М.В. Дифракция ультракороткого импульса на круглом отверстии. Асимптотические соотношения // Вестник СПбГУ. 2002. - Вып. 1. Сер. 4, № 4. - С. 46-55.

30. Мазуренко Ю.Т. Регистрация и восстановление световых импульсов с помощью объемных голографических спектрограмм // Оптика и спектроскопия. 1985. - Т. 59. Вып. 3. - С. 608-614.

31. Михайлов Е. М., Головинский П. А. Описание дифракции и фокусировки ультракоротких импульсов на основе нестационарного метода Кирхгофа-Зоммерфельда // Журнал экспериментальной и теоретической физики.- 2000. Т. 117. Вып. 2. - С. 275-285.

32. Зоммерфельд А. Оптика. М.: Иностранная литература. - 1953. - 488 с.

33. Козина О. Г., Макаров Г. И. Переходные процессы в акустических полях, создаваемых поршневой мембраной произвольной формы и при произвольном характере колебаний ее поверхности // Акустический журнал.- 1961. Т. 7, № 1. - С. 53-58.

34. Козина О. Г., Макаров Г. И. Переходные процессы в акустических полях поршневых мембран некоторых конкретных форм // Акустический журнал. 1962. - Т. 8, № 1. - С. 67-71.

35. Connes J. The Field of Application of the Fourier Transform Method // Le Journal de Physique et Le Radium. 1958. - Vol. 19. - P. 197.

36. Мерц JI. Интегральные преобразования в оптике. Пер. с англ. П.В.Паршина. Под ред. Скроцкого Г.В. - М.: Изд-во «Мир». -1969. -179 с.

37. Толмачев Ю. А. Новые спектральные приборы. Принципы работы. Под ред. С.Э.Фриша. - JL: Изд-во Ленинградского университета. - 1976. -124 с.

38. Weight J. P. and Hayman A. J. Observations of the propagation of very short ultrasonic pulses and their reflection by small targets // The Journal of the Acousrical Society of America. 1978. - Vol. 63, № 396. - P. 396-404.

39. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. Линейная оптика ультракоротких импульсов // Физическая мысль России. 2002. - Вып. 1/02. - С. 59-68.

40. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. О дифракции ультракороткого импульса на отверстии // Оптика и спектроскопия. 2001. - Т. 90, № 3. - С. 457463.

41. Lebedev М.К., Tolmachev Yu.A. On the problem of ultrashort pulse diffraction // Proceeding of The International society for optical engineering. 2000. - Vol. 4071. - P. 184-190.

42. Толмачев Ю.А., Лебедев М.К. Дифракция и интерференция ультракоротких импульсов. В кн.: «Кафедре оптики Санкт-Петербургского государственного университета 70 лет». - Физический учебно-научный центр СПбГУ. - 2004. - С. 63-64.

43. Лебедев M. К., Толмачев Ю.А., Фролепкова M. В., Кытмапов А. В. Об особенностях пространственно-временной структуры широкополосного сигнала в окрестности фокуса сходящейся сферической волны // Оптика и Спектроскопия. 2006. - Т. 100, № 1. С. 129-135.

44. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А., Фроленкова М.В., Кытманов А. В. Изменение формы фемтосекундного импульса во времени при фокусировке // Квантовая электроника. 2005. - Т. 35, № 5. - Р. 479-483.

45. Tolmachev Yu.A., Lebedev M.K., Frolenkova M.B., Kytmanov A.B. Transformation of a femtosecond pulse upon focusing // Quantum Electronics. 2005. - Vol. 35, № 5. - P. 479-483.

46. Лебедев M.К., Толмачев Ю.А., Фроленкова M. В., Кытманов A.B. Фокусировка скалярной волны в импульсном приближении // Вестник СПбГУ. 2005. - Сер. 4. Вып. 1. - С. 3-11.

47. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. Решение задачи о дифракции волны на прямолинейном крае импульсным методом // Вестник СПбГУ. 2002. -Сер. 4. Вып. 4, № 20. - С. 83-87.

48. Сулейменов И.Э., Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. Дифракция ультракороткого импульса на щели // Оптика и спектроскопия. 2002. - Т. 88, № 1. - С. 104-109.

49. Maréchal A. and Francon M. Diffraction. Paris: Revue dÓptique. - 1960. -204 P. (Moscow: Mir, 1964).

50. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. M.: Наука. -1988. - 512 с.

51. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. Дифракция плоской дельта-волны на гауссовой диафрагме // Вестник СПбГУ. 2003. - Сер. 4. Вып. 4, 28. - С. 15-22.

52. Ахманов С. А., Вислоух В. А., Чиркин А. С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука. - 1988. - 312 с.

53. Sidoruk А. V., Lebedev М.К., Tolmachev Yn.A. Model for the sequence of ultrashort pulses producing for delta-holography // Proceeding of Saint-Petersburg symposium on adaptive systems theory. 1999. - Vol. 3. - P. A36-37.

54. Lebedev M.K. Tolmachev Yu. A. Nondispersive methods of ultrashort pulses of light encoding, recording and transformation // Proceeding of The International society for optical engineering. 1998. - Vol. 3403-31. -P. 223232.

55. Лебедев M. К., Толмачев Ю.А. Применение временного кодирования в дельта-голографии // Оптика и Спектроскопия. 1997. - Т. 82, № 4. -С. 679-682.

56. Цзюэ Ван, Сидорова Л., Толмачев Ю. О влиянии дифракции на временную структуру сигнала на выходе интерферометра // Вестник СПбГУ. -2006. Сер. 4. Вып. 3. - С. 106-111.

57. Bezuglov N.N., Wang J., Tolmachev Yu.A. Comments on the metrology properties of FROG method // Proceeding of The International society for optical engineering. 2006. - Vol. 6251. - P. 62510D.

58. Толмачев Ю. А., Цзюэ Ван. Особенности интерференции ультракоротких импульсов // Вестник СПбГУ. 2006. - Сер. 4. Вып. 1. - С. 39-46.

59. Young Т. The Bakerian Lecture: On the Theory of Light and Colours // Philosophical Transactions of the Royal Society (London). 1802. - Vol. 92, № 26. - P. 12-48.

60. Sommerfeld A. Mathematische Theorie der Diffraction // Mathematische Annalen. 1896. - Vol. 47. - P. 317-374.

61. Maggi G. A. Sulla propagazione libra e perturbata delle onde luminose in un mezzo isotropo // Annali di Matematica. 1888. - Vol. 16. - P 21-48.

62. Rabinowiez A. Tomas Young and the Theory of Diffraction // Nature (London). 1957. - Vol. 180. - P. 160-162.

63. Корн Г., Корн T. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. - 1978. - 832 с.

64. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука. - 1979. - 320 с.

65. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними.- М.: Физматлит. 1958. Том 1. - 440 с.

66. Гельфанд И.М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. М.: Физматлит. - 1958. - Том 2. - 308 с.

67. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Изд-во «Мир». - 1978. - 518 с.

68. Литвиненко О. Н. Основы радиооптики. Киев: Технжа. - 1974. - 208 с.

69. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Физматлит. - 1961.- 618 с.

70. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. Пер. с англ; под ред. Г. И. Косоурова. - М.: Наука. - 1970. - 364 с.

71. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука. - 1979. - 830 с.

72. Островский Ю.И. Голография и ее применение. Л.: «Наука». - 1973. -180 с.

73. Верещагин В. В., Лопатин А. И., Меланьина Т. М. Зонная пластинка: расчет дифракционного изображения // Оптика и спектроскопия. 1982. -Т. 52. Вып. 5. - С. 871-875.

74. Верещагин В. В., Лопатин А. И. Зонная пластинка. Формулы для полной освещенности // Оптика и спектроскопия. 1983. - Т. 54. Вып. 5. -С. 861-865.

75. Тудоровский А. И. Объектив с фазовой пластинкой // Оптика и спектроскопия. 1959. - Т. VI. Вып. 2. - С. 198-210.

76. Райский С.М. Зонная пластинка // Успехи физических наук. 1952. -Т. XLVII. Вып. 4. - С. 515-536.

77. Разманова (Фроленкова) М.В., Толмачев Ю.А. Анализ взаимодействия зонной пластинки с плоской волной импульсным методом // Вестник СПбГУ. 2003. - Сер. 4. Вып. 1, № 4. - С. 22-29.

78. Фроленкова М.В., Толмачев Ю.А. Применение импульсного подхода к описанию действия зонной пластинки // Proceeding of II International conference on Laser optics for Young scientists. 2003. Saint Petersburg, Russia. - 2003. - C. 9.

79. Фроленкова М.В., Толмачев Ю.А. Применение импульсного подхода к описанию действия зонной пластинки. В кн.: Труды второй научной молодежной школы «0птика-2002», СПб: 14-17 октября. - 2002. - С. 9.

80. Кытманов А.В., ТолмачевЮ.А., ФроленковаМ.В. Об особенностях процесса восстановления волны в дельта-голографии // Вестник СПбГУ. -2004. Сер. 4. Вып. 4. - С. 99-105.

81. Кытманов А. В., Толмачев Ю. А., Фроленкова М.В. Оптическое декодирование последовательности импульсов. В кн.: ВНКСФ-10. Десятая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых. Екатеринбург-Москва. - 2004. - Ч. 2. - С. 676-677.

82. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. Часть 2. Частные задачи дифракции. Пер. с нем.//Под ред. Малюжинца. - М.: Изд-во «Мир». - 1964. - 424 с.

83. Фроленкова М.В., Толмачев Ю.А. Дифракция плоского ультракороткого импульса на круглом отверстии. Наклонное падение // Вестник СПб-ГУ. 2006. - Сер. 4. Вып. 1. - С. 142-146.

84. Frolenkova M.V. Tolmachev Yu.A., Diffraction of ultrashort pulse by circular aperture at normal and oblique incidence of plane wave // Technical Digest of III International conference on Laser optics for young scientists. -2006. P. 60.

85. Фроленкова M. В., Толмачев Ю.А. Дифракция плоской волны на круглом отверстии. Наклонное падение //В сб. трудов конференции «Региональная XII конференция по распространению радиоволн» Санкт-Петербург. - 2006 г. - С. 69.

86. Rubinowicz A. On the anomalous propagation of phase in the focus // Physical Review. 1938. - Vol. 54. - P. 931-936.

87. Бегунов Б.Н., Заказнов Н.П. Теория оптических систем. М.: Машиностроение. - 1973. - 208 с.

88. Слюсарев Г. Г. Расчет оптических систем. J1.: Машиностроение. - 1975.- 514 с.

89. Frolenkova M.V. Tolmachev Yu.A. Fresnel lens for the ultrashort pulse focusator // Technical Digest of LOYs, June 30 July 4. St. Petersburg.- 2003. C. 30.

90. Фроленкова M. В., Толмачев Ю. А. Аппаратная функция линзы Френеля, импульсный подход. В кн.: Труды второй научной молодежной школы «0птика-2002», СПб: 14-17 октября. - 2002. - С. 7-9.

91. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. Дифракция плоскойí-волны на гауссовой диафрагме // Вестник СПбГУ. 2003. - Серия 4. Вып. 3, № 20. - С. 11-18.