Итеративное решение двумерной задачи дифракции и расчет силы действия света на микроцилиндр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Налимов, Антон Геннадьевич

• Налимов, Антон Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Налимов, Антон Геннадьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. БЫСТРЫЙ ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОЛЕЙ ДИФРАКЦИИ МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ С СЕЧЕНИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ.

1.1. Итеративный метод расчета дифракции ТЕ-поляризованной волны.

1.2. Итеративный метод расчета дифракции ТМ-поляризованной волны.

1.3. Расчет вектора Умова-Нойнтинга.

1.4. Дифракция непараксиального гауссова пучка.

1.5. Релаксация итеративного метода.

1.6. Сравнение с аналитическим расчетом при дифракции плоской волны.

1.7. Сравнение с аналитическим расчетом при дифракции непараксиального гауссова пучка.

Выводы к 1-й главе.

ГЛАВА 2. РАСЧЕТ СИЛЫ, С КОТОРОЙ ДЕЙСТВУЕТ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР С СЕЧЕНИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ.

2.1. Электромагнитная сила для трехмерного случая.

2.2. Электромагнитная сила для двумерного случая (ТЕ- и ТМ-поляризаций).

2.3. Расчет силы для плоской волны.

2.4. Расчет силы для непараксиального гауссова пучка.

2.4.1. Случай, когда показатель преломления объекта больше показателя преломления среды.

2.4.2. Случай, когда показатель преломления объекта меньше показателя преломления среды.

2.4.3. Случай, когда показатель преломления объекта является комплексной величиной.

2.4.5. Зависимость силы от параметров падающего пучка.

Выводы ко 2-й главе.

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ СИЛЫ, С КОТОРОЙ ДЕЙСТВУЕТ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА С ТЕ- (ТМ-) ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР С КРУГЛЫМ СЕЧЕНИЕМ.

3.1. Аналитическое выражения для электромагнитной силы (ТЕ-поляризация).

3.2. Аналитическое выражение для проекций силы в случае ТМ-поляризации.

3.3. Численное сравнение расчета силы с помощью итеративного метода и по аналитическим выражениям.

3.4. Зависимость силы от параметров объекта.

Выводы к 3-й главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Итеративное решение двумерной задачи дифракции и расчет силы действия света на микроцилиндр»

Актуальность исследования. «Оптический пинцет» и «оптические ловушки» открыли новое направление лазерных исследований, так как они позволяют производить механическую манипуляцию микрочастицами за счет сил со стороны лазерного излучения. Впервые Ашкин в 1970 г экспериментально показал, что сила оптического давления может быть использована для манипуляции маленькими диэлектрическими объектами и их удержания в равновесии против силы тяжести [1]. Он назвал это явление оптической левитацией. С тех пор оптическая манипуляция микрообъектами начала бурно развиваться, поскольку она позволяет решать широкий класс задач в биологии, генной инженерии, микромеханике, науке о коллоидах и т.д. В большинстве приложений «оптический пинцет» используется для контроля всего одной частицы. Для расчета силы, действующей на произвольный микрообъект в фокусе лазерного пучка, необходимо знать поле дифракции лазерного излучения на этом микрообъекте.

Расчет поля дифракции электромагнитной волны на диэлектрических объектах можно проводить с помощью многих известных методов: разностных методов решения системы уравнений Максвелла [2-4], волнового уравнения или уравнения Гельмгольца [5], методов конечных и граничных элементов [6-9], прямых методов решения соответствующих интегральных уравнений Фредгольма второго рода [10,11]. Ду

Все перечисленные методы сводят двумерную задачу дифракции к решению алгебраической системы уравнений, размерность которой равна NxN, где N - число отсчетов рассчитываемого поля дифракции. Если выбрать поле дифракции размером 128x128 отсчетов, то размерность системы уравнений будет равна N*N = \2&2 х1282. Даже если матрица такой системы уравнений имеет, как правило, 3-х диагональный вид, время решения такой задачи на компьютерах типа Pentium IV составит десятки и сотни минут.

Тем не менее, существуют задачи, требующие быстрого расчета поля дифракции монохроматической волны. Такой задачей является например пошаговый расчет дифракции на микрообъекте, находящегося в различных положениях около фокуса лазерного пучка с целью расчета сил, действующих на микрообъект со стороны лазерного излучения. Тогда расчет поля дифракции должен быть произведен много раз за короткое время. Все перечисленные современные методы не позволяют быстро (за несколько секунд) производить подобный расчет.

Задача моделирования манипуляции микрообъектами лазерным излучением рассматривалась многими способами. Впервые теоретическую задачу давления света на сферу с помощью теории Ми рассмотрел Дебай в 1909 г. [12]. В общем случае сила давления света на микрочастицу должна рассматриваться с помощью максвелловского тензора напряжений электромагнитного поля [13]. Впервые сила действия слабосходящегося гауссова пучка на сферическую частицу с помощью теории Ми была оценена в [14], а для «острой» (непараксиальной) фокусировки гауссова пучка в [15,16]. Пользуются популярностью и приближенные методы расчета силы, действующей со стороны света на частицу: метод геометрической оптики с учетом френелевских коэффициентов отражения и преломления [17], который применяется для больших значений параметра д = к0а» 1, где к0 =— - волновое число света в вакууме, а - радиус сферы, охватывающей объект, и метод градиентной и рассеивающей сил [18], применимый для рэлеевских частиц ^«1). В [19] рассмотрено еще одно приближение для расчета силы света, действующей на микрочастицу: приближение связанных диполей. В [20] показано, что градиентную и рассеивающую силы можно получить из уравнений Максвелла и тензора напряжений. Полученное в [20] выражение для силы действия света справедливо при условии - п2 \ < 1, где

7, и п2 - показатели преломления среды и частицы. В [21] с помощью тензора напряжений получено выражение для силы света, действующей на сферическую частицу с керровской нелинейностью. Для расчета сил, действующих со стороны электромагнитного поля на микрообъект используется метод разностного решения уравнения Максвелла [22] или аналитические выражения в случае сферических частиц [23].

Однако в перечисленных выше работах не проведены явные интегральные выражения для расчета сил, действующего со стороны электромагнитного поля с ТЕ- или ТМ-поляризацией на. диэлектрический цилиндр с произвольным сечением. Кроме того, не было проведено моделирование расчета сил, действующих со стороны непараксиального гауссова пучка на диэлектрический цилиндр.

Дифракция электромагнитной волны на однородной сфере может быть проанализирована в рамках теории Ми. Обобщение теории Лоренца-Ми на случай дифракции гауссова пучка и пучка произвольной формы рассмотрено в [24-26] и [27] соответственно. Строгий электромагнитный расчет силы давления на сферическую микрочастицу со стороны гауссова пучка с непараксиальностью 5-го порядка рассмотрен в [26,28,29]. При этом гауссовый пучок имел радиус перетяжки много больше, чем длина волны света. Более «острую» фокусировку гауссова пучка можно осуществить с помощью сферической линзы с высокой числовой апертурой, обладающей аберрациями. Расчету сил давления света на сферическую частицу, расположенную в фокусе линзы с аберрациями, посвящены работы [30,31]. Однако расчет в [30,31] был осуществлен для рэлеевских частиц, то есть с использованием теории рассеяния 2-го порядка. В [32,33] рассмотрен строгий расчет сил, действующих на сферическую частицу произвольного радиуса, расположенную в фокусе сходящегося пучка со сферической аберрацией. Однако, действие силы давления света рассмотрено только вдоль оптической оси. В [34,35] проведено моделирование и строго рассчитаны силы, действующие на сферическую частицу, расположенную в фокусе сходящейся сферической волн. В [36,37] приведено теоретическое и численное сравнение 3-х методов расчета силы действия света: геометро-оптического, в приближении Рэлея и строгого. Аналитические выражения для силы действия света на сферическую частицу с керровской нелинейностью, расположенную в фокусе гауссова пучка, получены в [38]. В [39] рассмотрена передача углового момента от плоской электромагнитной волны с круговой поляризацией сферической частице. В [40,41] приведены аналитические формулы для расчета полей дифракции непараксиального 2Т> гауссова пучка на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.

Однако в перечисленных выше работах не приведены явные аналитические формулы в виде рядов для проекций вектора силы, действующей со стороны электромагнитной волны (в частности, непараксиального гауссова пучка) с ТЕ- и ТМ- поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.

Целью работы является разработка быстрого итеративного алгоритма решения интегрального уравнения для расчета поля дифракции произвольной ТЕ- (ТМ-) поляризованной монохроматической волны для анализа сил, действующих со стороны светового поля на диэлектрический микроцилиндр с произвольной формой сечения.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

• Разработка быстрого итеративного алгоритма для расчета поля дифракции на двумерном цилиндре с произвольной формой сечения на основе решения уравнения Фредгольма второго рода.

• Численное исследование сил, действующих на микрообъект в области перетяжки непараксиального гауссова пучка

• Вывод аналитических выражений для проекций сил, действующих на диэлектрический цилиндр с круглым сечением в области перетяжки непараксиального гауссова пучка

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы. Метод работоспособен при условии, что п\ ~п\ I < 06» гДе ^ " длина волны света, а - радиус окружности, в А которую вписано сечение цилиндра, и, и п2 - показатели преломления цилиндра и окружающей среды.

2. Разработан метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы. Рассчитана сила, действующая со стороны непараксиального гауссова пучка на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы, расположенный вблизи перетяжки пучка. Численно показано, что при определенных условиях вблизи перетяжки пучка имеется точка, в которой сила равна нулю.

3. Получено аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- и ТМ-поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением. Проекции вектора силы при этом выражены в виде ряда из произведений коэффициентов разложения по цилиндрическим функциям проекций векторов напряженности электрического или магнитного полей, рассеянных цилиндром.

На защиту выносятся:

1. Быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы.

2. Метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы.

3. Аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.

Практическая ценность работы определяется следующими обстоятельствами:

• Разработанный метод анализа дифракции ТЕ- (ТМ-) поляризованной волны на микрообъектах позволяет быстро рассчитать поле дифракции произвольной падающей волны, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца, и определять силы, действующие на цилиндрический микрообъект с произвольной формой сечения.

• Разработанный метод позволяет провести оптимизацию условий для осуществления оптической манипуляцией микрочастицами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: на международном конгрессе «Оптика 21 века» на конференции «Optics in computing», проводимой в научном центре Корнинг (Санкт-Петербург, октябрь 2002 г.), на международной конференции НОЦ в рамках программы «Фундаментальные исследования и высшее образование», проводимой в Министерстве образования РФ (Москва, апрель 2003), на международной конференции «Optoinformatics», проводимой в Институте точной механики и оптики (Санкт-Петербург, октябрь 2003), на международной конференции Saratov Fall Meeting, проводимой в Саратовском государственном университете (Саратов, сентябрь 2004), на Третьей самарской региональной конкурс-конференции студентов и молодых исследователей, проводимой в Самарском филиале Физического института РАН (Самара, ноябрь 2005).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 15 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения, списка цитируемой литературы (80 наименований), приложения, изложенных на 140 страницах и содержит 50 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Налимов, Антон Геннадьевич

Выводы к 3-й главе.

1. Сравнение проекций силы, действующей на диэлектрический цилиндр с круглым сечением со стороны непараксиального гауссова пучка, рассчитанных с помощью общих интегральных соотношений и с помощью полученных аналитических выражений, показало, что невязка не превышает 2% в случае ТЕ-поляризации и 6% для ТМ-полярищации, при этом число слагаемых в аналитическом ряде было не менее 15. При изменении диаметра цилиндра в пределах от 0.5Х, до 2Х невязка между проекциями силы, рассчитанная разными методами, не превышает 7%, а при изменении числа отсчетов, укладывающихся на диаметр цилиндра в диапазоне от 25 до 100 та же невязка не превышала 3% (ТЕ-поляризация) и 10% (ТМ-поляризация).

2. Моделирование надежности захвата (отношеие максимума силы, действующей на цилиндр в обратном направлении, к максимуму силы, действующей на цилиндр в прямом направлении) в зависимости от диаметра круглого сечения цилиндра показало, что во-первых, зависимость эта носит осциллирующий характер, что связано с резонансным эффектом при взаимодействии света с цилиндром, а во-вторых, максимум надежности приходится на Я диаметр Б=1.5А, (параметры: ¿у0 =— - радиус перетяжки гауссова пучка, X - длина волны, ех=2, ег—\П1 - диэлектрические проницаемости цилиндра и воды), причем для ТМ-поляризации она в 1.7 раза выше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы.

2. Показано, что с помощью разработанного быстрого итеративного метода приближенного решения двумерной задачи дифракции электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы удается за 50-100 итераций в течении десятков секунд рассчитывать поля дифракции 128x128 отсчетов с точностью 1%-4% в случае, если выполняется неравенство -е,)<0.6, где а — радиус окружности, в которую вписано сечение цилиндра.

3. Сравнение амплитуд полей дифракции плоской волны и непараксиального гауссова пучка на диэлектрическом цилиндре круглого сечения, рассчитанных с помощью итеративного метода и с помощью аналитического решения задачи в виде рядов цилиндрических функций, показало, что среднеквадратическое отклонение этих двух амплитуд растет при смещении цилиндра из центра перетяжки гауссова пучка, что обусловлено увеличением числа значащих членов ряда, которые требуется учитывать. Однако увеличение числа членов ряда в 2 раза приводит к увеличению времени расчета в 30 раз.

4. Разработан метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы.

5. С помощью полученных интегральных формул для продольной и поперечной проекций силы, действующей на диэлектрический цилиндр с произвольным сечением, можно рассчитывать эти силы, охватывая объект круговым контуром с радиусом, превышающим радиус сечения цилиндра в 3-5 раз на поле отсчетов 256x256 с ошибкой не хуже 5%. Изменение сетки отсчетов от 128x128 до 512x512 изменяет значения рассчитанной силы не более чем на 2%.

6. Рассчитанная сила, действующая со стороны непараксиального гауссова пучка с длиной волны X, радиусом перетяжки ^ и мощностью 0.1 Вт/м на диэлектрический цилиндр с круглым сечением с диаметром

D=Ä, и ех =2, равна по порядку величины Ю-10— и совпадает со м значением для силы, приведенной другими авторами [21].

7. Два встречных цилиндрических непараксиальных гауссовых пучка с длиной волны "к и радиусом перетяжки ^ формируют вблизи перетяжки стоячую волну, которая будет являться оптической ловушкой для диэлектрического цилиндра с диаметром равным X и ех =2. Если же использовать только один такой гауссов пучок, то он сможет захватить в ловушку только более «слабый» цилиндр с г, <1.3.

8. Если диэлектрический цилиндр имеет проницаемость ех меньше, чем диэлектрическая проницаемость среды ег, то он будет «выталкиваться» из области перетяжки цилиндрического непараксиального гауссова пучка.

9. Если диэлектрическая проницаемость цилиндра комплексная, то наличие даже малой доли мнимой части, около (З*б)х10~3, нарушает условие оптического захвата.

10. Наличие асимметрии в ссчешш цилиндра изменяет условия оптического захвата, например если два цилиндра с круглыми сечениями с диаметром каждого — расположены поперек оптическои оси вблизи перетяжки гауссова пучка, радиус которой равен длине волны X, то захват такого цилиндра происходит при ех <2, если же эти цилиндры расположены вдоль оптической оси, то граница захвата сужается: г:,<1.2.

11. Наиболее перспективным является использование для захвата «остро» сфокусированной плоской волны с ТМ-поляризацией. В этом случае при использовании цилиндрической линзы с относительным отверстием МА=1.27 и при равенстве диаметра круглого сечения цилиндра длине волны света граница «оптического захвата» в воде увеличивается до е{ <2.52.

12. Получено аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- и ТМ-поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением. Проекции вектора силы при этом выражены в виде ряда из произведений коэффициентов разложения по цилиндрическим функциям проекций векторов напряженности электрического или магнитного полей, рассеянных цилиндром.

13. Сравнение проекций силы, действующей на диэлектрический цилиндр с круглым сечением со стороны непараксиального гауссова пучка, рассчитанных с помощью общих интегральных соотношений и с помощью полученных аналитических выражений, показало, что невязка не превышает 2% в случае ТЕ-поляризации и 6% для ТМ-полярищации, при этом число слагаемых в аналитическом ряде было не менее 15. При изменении диаметра цилиндра в пределах от 0.5А, до 2Х невязка между проекциями силы, рассчитанная разными методами, не превышает 7%, а при изменении числа отсчетов, укладывающихся на диаметр цилиндра в диапазоне от 25 до 100 та же невязка не превышала 3% (ТЕ-поляризация) и 10% (ТМ-поляризация).

14. Моделирование надежности захвата (отношение максимума силы, действующей на цилиндр в обратном направлении, к максимуму силы, действующей на цилиндр в прямом направлении) в зависимости от диаметра круглого сечения цилиндра показало, что во-первых, зависимость эта носит осциллирующий характер, что связано с резонансным эффектом при взаимодействии света с цилиндром, а воI вторых, максимум надежности приходится на диаметр Б=1.5Х, (параметры: ф0 = - радиус перетяжки гауссова пучка, X - длина волны, ех= 2, £2=1.77 - диэлектрические проницаемости цилиндра и воды), причем для ТМ-поляризации она в 1.7 раза выше.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Налимов, Антон Геннадьевич, 2006 год

1. Ashkin A. Acceleration and trapping of particles by radiation pressure. Phys. Rev. Lett. 24, 1970, pp 156-159.

2. Taflove A. Computation electromagnetics: The finite-difference timedomain method // Artech House, Boston, 1995

3. Prather D.W., Shi S. Formulation and application of the finite-difference time-domain method for the analysis of axially symmetric diffractive optical elements // J. Opt. Soe. Am. A., 1999. V.16. No. 5. P. 1131-1142

4. Головашкин Д.Л., Сойфер B.A. Анализ прохождения электромагнитного излучения через дифракционную линзу // Автометрия, 1999. В. 6. С. 119-121

5. Gruzdev V., Gruzdeva A. Finite-difference time-domain modeling of laser beam propagation and scattering in di-electric materials // Proceedings A SPIE, 2001. V. 4436, P. 27-38

6. Davies J.B. Finite elements analysis of waveguides and cavities a review // IEEE Trans. Magn., 1993. V. 29, P.1508-1583

7. Mirotznik M., Prather D., Mait J. A hybrid finite element-boundary element method for the analysis of diffractive elements // J. Mod. Opt., 1996. V. 43. No. 7. P. 1309-1321

8. Kotlyar V.V., Nesterenko D.V. A finite elements method on the problem of light diffraction by micro-optics // Opt. Mem. and Neur. Net., 2000. V. 9. No 3. P. 209-219

9. Dong B, Lin J., Gu В., Yang G. Rigorous electromagnetic analysis of a microcylindrical axilens with long focal depth and high transverse resolution//J. Opt. Soc. Am. A, 2001. V. 8. No 7. P. 1465-1470

10. Ильинский A.C., Кравцов B.B., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики // М.: Высшая школа, 1991

11. Kotlyar V.V., Lichmanov M.A., "Analysis of light diffraction by micro-optics using finite elements method", Opt. Mem. and Neut. Net., v. 10, no. 4, p. 257-265 (2001)

12. DebyeP. "Der Lichtdruck and Kugeln von beliebige Material" Ann. Phys, v. 30, pp 57-136 (1909)

13. Ландау JI.Д., ЛифшицЕ.М. «Краткий курс теоретической физики. Механика. Электродинамика», Наука, М., 1969

14. Kim J.S., Lee S.S. "Scattering of laser beams and the optical potential well for a homogeneous sphere", J. Opt. Soc. An, v. 73, p 303-312 (1983)

15. Barton J.P., Alexander D.R., Schaub S.A. "Theoretical determination of net radiation force and torque for a spherical particle illuminated by a purged laser beam", J. Apl. Phys, v. 66,4594 4602 (1989)

16. RenF., GrehanG., GonesbetG. "Radiation pussure forces exerted on a particle located arbitrarily on a Gaussian beam by using the generalized Lorents-Mie theory, and associated resonance effects" Opt. Commun., v. 108, 343-354(1994)

17. AshkinA. "Forces of a single-beam gradient laser trap on a dielectric sphere in the ray-optics region", Biophys. J., v. 61, p. 569-582 (1992)

18. Navade Y., AsakureT. "Radiation forces on a dielectric sphere in the Rayleigh scatterry regime", Opt. Commun., v. 124, p.529-541 (1996)

19. Lemire T. "Coupled-multipole formulation for the threatment of electromagnetic scattery by a small dielectric particles of arbitrary sphere", J.Opt.Soc.Am. A, v. 14, 470-474 (1997)

20. RohrbachA., StelzerE.H. "Optical trapping of dielectric particles in arbitrary fields" J. Opt. Soc. Am. A v. 18, n 4, p 813-839 (2001)

21. PobreR., Salome C. "Radiation force on a nonlinear microsphere by a lightly focused Gaussian beam", Appl. Opt., v. 41, № 36, p. 7694-701 (2002)

22. Gauthier R.C. Computation of the optical trapping force using an FDTD based technique // Optics Express, 2005, Vol. 13, No. 10, pp. 3707-3718

23. Moine O., Stout B. Optical force calculations in arbitrary beams by use of the vector addition theorem // J. Opt. Soc. Am. B, 2005, Vol. 22, No. 8, pp. 1620-1631

24. GouesbetG., MaheuB., GrehanG. Light scattering from a sphere arbitrarily located in a Gaussian beam, using a Bromwide formulation // J. Opt. Soc. Am. A, v. 5, p. 1437-1443 (1988)

25. Gouesbet G., Lock J.A. A rigorous justification of the localized approximation to the beam-shape coefficients in the generalized Lorenc-Mie theory. II. Off-axis beams // J. Opt. Soc. Am. A., v. 2, p. 2516-2525 (1994)

26. Ren F., Grehad G., Gouebet G. Radiation pressure forces exerted on a particle located arbitrarily in a Gaussian beam by using the generalized Lorenc-Mie theory and associated resonance effects. // Opt. Commun., v. 108, p. 343-354(1993)

27. Gouesbet G. Validity of the localized approximation for arbitrary shaped beams in the generalized Lorenc-Mie theory for spheres // J. Opt. Soc. Am. A, v. 16, p. 1641-1650 (1999)

28. Barton J., Alexander D., Schaub S. Theoretical determination of net radiation force and torque for a spherical particle illuminated by a focused laser beam. // J. Appl. Phys., v. 66, p. 4594-4602 (1989)

29. Gussard R., Lindmo T., Brovik I. Calculation of the trapping force jn a strongly focused laser beam. // J. Opt. Soc. Am. B, v. 9, p. 1922-1930 (1992)

30. Rohrbach A., Stelzer E.H.K. Optical trapping of a dielectric particles in arbitrary fields. // J. Opr. Soc. Am. A, v. 18, p. 839-853 (2001)

31. Rohrbach A., Stelzer E.H.K. Trapping forces, force constant, and potential depths for dielectric spheres in the presence of spherical aberration. // Appl. Opt., v. 41, p. 2494-2507 (2002)

32. Lock J.A. Calculation of the radiation trapping force for laser tweezers by use of generalized Lorenc-Mie theory I. Localized model descriptionof an on-axis tightly focused laser beam with spherical aberration. // Appl. Opt. V. 43, p. 2532-2544 (2004)

33. Lock J.A. Calculation of the radiation trapping force for laser tweezers by use of generalized Lorenc-Mie theory. II. On-axis trapping force. // Appl. Opt., v. 43, p. 2545-2554 (2004)

34. Ganic D., Gan X., Gu M. Exact radiation trapping force calculation based on vectorial diffraction theory. // Opt. Express, v. 12, no. 12, p. 26702675 (2004)

35. Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinstein-Dunlop H. Computational modeling of optical tweezers. // Proceeings of SPIE, v. 5514, p. 514-523 (2004)

36. Mazolli A., Maia Neto P.A., Nussenzveig H.M. Theory of trapping forces in optical tweezers. // Pvoc. R. Soc. Lond., v. 459, p. 3021-3041 (2003)

37. Nahmias Y.K., Oddl D.J. Analysis of radiation forces in laser trapping and laser-guided direct writing application. // IEEE J. daunt. Electr., v. 38, no. 2, p. 1-10(2002)

38. Pobre R., Saloma C. Radiation forces on nonlinear microsphere by a tightly focused Gaussian beam. // Appl. Opt., v. 41, no. 36, p. 7694-7701 (2002)

39. Marston P.L., Crichton J.H. // Radiation torque on a sphere coused by a circularly-polarized electromagnetic wave. // Phys. Rev. A., v. 30, no. 5, p. 2508-2516(1984)

40. Zimmerman E., Dandliner R., Souli N. Scattering of an off-axis Gaussian beam by a dielectric cylinder compared with a rigorous electromagnetic approach. //J. Opt. Soc. Am. A, v. 12, p. 398-403 (1995)

41. Wu Z., Guo L. Electromagnetic scattering from a multilayerd cylinder arbitrarily located in a Gaussian beam, a new recursive algorithms. // Progress in electromagnetics research, PIER, v. 18, p. 317-333, (1998)

42. Неганов В.А., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Линейная макроскопическая электродинамика // М.: Радио и связь, 2000. Т. 1

43. Ida T., Ishihara Т., Goto К. Frequency-domain and time-domain novel uniform asymptotic solution for scattering fields by an impedance cylinder and a dielectric cylinder // Ieice Trans. Electron, 2005, Vol. E88-C, No. 11, pp. 2124-2135

44. Sun. W., Loeb N.G., Tanev S., Videen G. Finite-difference time-domain solution of light scattering by an infinite dielectric column immersed in a absorbing medium // Applied Optics, 2005, Vol. 44, No. 10, pp. 19771983

45. Bonod N., Popov E., Neviere M. Differential theory of diffraction by finite cylindrical objects // J. Opt. Soc. Am. A, March 2005, Vol. 22, No. 3, pp. 481-490

46. Kang X., Lu В. The M2 factor of nonparaxial Hermite-Gaussian beams and related problems // Optik 116,2005, pp. 232-236

47. Lu В., Duan К., Wang В. Propagation of Hermite-Gaussian and Laguerre-Gaussian beams beyond the paraxial approximation // J. Opt. Soc. Am. A, September 2005, Vol. 22, No. 9, pp. 1976-1980

48. Borghi R., Santarsiero M., Alonso M.A. Highly focused spirally polarized beams // J. Opt. Soc. Am. A, July 2005, Vol. 22, No. 7, pp. 1420-1431

49. Gutierrez-Vega J.C., BandresM.A. Helmholtz-Gauss waves // J. Opt. Soc. Am. A, February 2005, Vol. 22, No. 2, pp. 289-298

50. Miguel A. Bandres, Julio C. Gutierrez-Vega. Vector Helmholtz-Gauss and vector Laplace-Gauss beams // Optics Letters, Aug. 15 2005, Vol. 30, No. 6, pp. 2155-2157

51. Sumaya-Martinez J., Mata-Mendiz O., Chavez-Rivas F. Rigorous theory of the diffraction of Gaussian beam by finite fratings: TE polarization // J. Opt. Soc. Am. A, May 2003, Vol. 20, No. 5, pp. 827-835

52. Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений // M.: Радио и связь, 1986

53. Прудников А.П., Бричков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции // М.: Наука, 1983

54. Cojoc D., Cabrini S., Ferrari E., Malureanu R., Danailov M.B., Fabrizio E.D. Dynamic multiple optical trapping by means of diffractive optical elements // Microelectronic Engineering, 73-74,2004, pp. 927-932

55. Ambardekar A.A., Li Y. Optical levitation and manipulation of stuck particles with pulsed optical tweezers // Optics Letters, 2005, Vol. 30, No. 14, pp. 1797-1799

56. Ferrari E., Emiliani V., Cojoc D., Garbin V., Zahid M., Durieux C., Coppey-Moisan M., Fabrizio E.D. Biological samples micromanipulation by means of optical tweezers // Microelectronic Engineering, 78-79 , 2005, pp. 575-581

57. Sacconi L., Tolic-Norrelykke I.M., Stringari C., Antolini R., Pavone F.S. Optical micromanipulation inside yeast cells // Applied Optics, 2005, Vol. 44, No. 11, pp. 2001-2007

58. Xu S., Li Y., Lou L. Axial optical trapping force on two particles trapped simultaneously by optical tweezers // Applied Optics, 2005, Vol. 44, No. 13, pp. 2667-2672

59. Ng J., Chan C.T., Sheng P., Lin Z. Strong optical force induced by morphology-dependent resonances // Optics Letters, 2005, Vol. 30, No. 15, pp. 1956-1958

60. Rockstuhl C., Herzig H.P. Calculation of the torque on dielectric elliptical cylinders // J. Opt. Soc. Am. A, January 2005, Vol. 22, No. 1, pp. 109-116

61. Rockstuhl C., Salt M.G., Herzig H.P. Analysis of the phonon-polariton response of silicon carbide microparticles and nanoparticles by use of the boundary element method // J. Opt. Soc. Am. B, February 2005, Vol. 22, No. 2, pp. 481-487