Исследование и расчет эффективных электрофизических характеристик сред с мелкомасштабными включениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Артемьев, Михаил Константинович

• Артемьев, Михаил Константинович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Артемьев, Михаил Константинович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ГОМОГЕНИЗАЦИЯ МНОГОМАСШТАБНЫХ СРЕД

1.1. Среды с контрастными мелкомасштабными включениями

1.2. Методы гомогенизации

1.2.1. Приближение Максвелла.

1.2.2. Приближение Гарнетта, Бруггемана, когерентного потенциала

1.2.3. Двухсторонние оценки эффективных коэффициентов

1.3. Обзор многомасштабных методов.

1.4. Задачи по определению эффективных характеристик.

Глава 2. МНОГОМАСШТАБНЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Постановка задачи.

2.2. Вариационная формулировка задачи на «грубом» масштабе

2.3. Дискретная постановка задачи на «грубом» масштабе.

2.4. Вычисление локальных матриц жесткости суперэлемента

2.4.1. Кубатурные формулы Гаусса.

2.4.2. Кубатурные формулы для тетраэдра.

2.4.3. Выбор кубатурной формулы

2.5. Многомасштабные базисные функции.

2.5.1. Краевое условие для вычисления многомасштабных функций.

2.5.2. Вариационные постановки задач на «мелком» масштабе

2.5.3. Дискретные постановки задач на «мелком» масштабе

2.5.4. Физичность решения при правильном вычислении базисных функций.

Глава 3. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ

3.1. Моделирование сред с непериодической структурой.

3.1.1. Алгоритм.

3.1.2. Структура.

3.1.3. Параллельная реализация.

3.2. Моделирование сред с периодической структурой.

3.2.1. Алгоритм.

3.2.2. Параллельная реализация.

3.3. Верификация программных комплексов.

Глава 4. ЧИСЛЕННАЯ ГОМОГЕНИЗАЦИЯ УДЕЛЬНОГО

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

4.1. Вычисление полного тока.

4.1.1. Выбор кубатурной формулы

4.2. Сравнение с аналитическими формулами.

4.3. Эффективное удельное электрическое сопротивление.

4.3.1. Влияние способа изменения пористости.

4.3.2. Влияние формы включений.

4.3.3. Влияние ориентации включений.

4.3.4. Влияние площади поверхности включений

4.4. Сравнение с физическими экспериментами.

4.4.1. Непроводящие стержни.

4.4.2. Однородный материал.

4.4.3. Стальная дробь.

4.4.4. Медная проволока.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и расчет эффективных электрофизических характеристик сред с мелкомасштабными включениями»

Объект исследования — математические модели электрического сопротивления сред с мелкомасштабными включениями, контрастными по своим физическим свойствам относительно параметров основной среды, и процедура гомогенизации таких неоднородных сред, а именно — получение эффективных значений удельного электрического сопротивления.

Предметом исследования являются вычислительные схемы, реализованные на базе многомасштабного метода конечных элементов, ориентированного на моделирование электрического поля в разномасштабных материалах с контрастными включениями различной геометрической формы и расположения.

Актуальность исследования. Возможность получения эффективных характеристик гетерогенных материалов имеет большое значение во многих практических задачах науки и техники. Однако в настоящее время не существует единой теории, позволяющей получить усредненные характеристики таких объектов. Процесс гомогенизации неоднородных сред требует создания новой вычислительной схемы, отражающей свойства исследуемых материалов (нативных или искусственных), и ее реализации в виде современного программного комплекса, ориентированного на использование в расчетах на суперкомпьютерах. Известные аналитические формулы усреднения имеют ограниченные области применения и работают лишь для некоторых частных случаев, а существующие численные методы не позволяют найти решение за приемлемое время. Использование такого современного метода математического моделирования, как многомасштабный метод конечных элементов, позволяет проводить гомогенизацию объекта с учетом различного расположения и геометрической формы мелкомасштабных включений, контрастности физических свойств материала. Получение эффективных электрофизических характеристик гетерогенных сред является актуальной проблемой геофизики и вычислительной математики.

Цель работы — гомогенизация удельного электрического сопротивления неоднородных сред, имеющих мелкомасштабные контрастные включения, на основе вычислительных схем многомасштабного метода конечных элементов для численного моделирования электрического поля в таких средах.

Задача исследования — разработка и реализация вычислительных схем на базе многомасштабного метода конечных элементов для моделирования электрического поля в неоднородной среде и численной гомогенизации удельного электрического сопротивления.

Основные этапы исследования.

1. Разработать вычислительную схему на базе многомасштабного метода конечных элементов для моделирования распределения потенциала трехмерного электрического поля в гетерогенной среде;

2. Разработать и реализовать параллельный алгоритм гомогенизации неоднородных сред со сложной микроструктурой;

3. Получить зависимость эффективного удельного электрического сопротивления от пористости сред при различной геометрической форме и ориентации мелкомасштабных включений;

4. Сравнить результаты численной гомогенизации с известными аналитическими формулами усреднения и результатами физических экспериментов.

Защищаемые научные результаты.

1. Параллельные алгоритмы моделирования распределения электрического потенциала в гетерогенных средах с периодической и непериодической структурой;

2. Вычислительная процедура гомогенизации, основанная на решении задачи о распределении электрического потенциала в неоднородной среде;

3. Зависимости эффективного удельного электрического сопротивления от пористости сред, содержащих включения различной формы, расположения, ориентации.

Научная новизна.

1. На базе многомасштабного метода конечных элементов для учета мелкомасштабных неоднородностей среды разработаны новые вычислительные схемы, позволяющие моделировать электрическое поле в сложных объектах;

2. В отличие от существующих аналитических приближений, численная гомогенизация, предложенная в работе, обладает более высокой точностью и не зависит от формы, расположения, концентрации и контрастности включений;

Личный вклад соискателя состоит в разработке вычислительных схем на базе многомасштабного метода конечных элементов для моделирования электрического поля в гетерогенных средах, их реализации в виде программных комплексов, ориентированных на использование в современных суперкомпьютерах, получении зависимостей эффективного УЭС от пористости с учетом таких факторов, как форма, ориентация, площадь поверхности включений. Все результаты численного моделирования, представленные в диссертации, получены соискателем лично.

Достоверность полученных результатов подтверждена процедурами верификации программных комплексов, а также сравнением результатов численного моделирования с аналитическими формулами и результатами физических экспериментов, в ходе которых были определены значения эффективного удельного электрического сопротивления образцов гетерогенных сред с включениями. Измерения проводились двух- и четырехэлектродным методами. Все результаты физических экспериментов получены ведущим инженером ИНГГ СО РАН H.A. Голиковым.

Фактический материал и методы исследования.

Теоретической основой решения поставленной задачи является уравнение Лапласа с неоднородным краевым условием Дирихле и однородным краевым условием Неймана. Основной метод исследования — математическое моделирование многомасштабным методом конечных элементов. При вычислении локальных матриц жесткости на грубой сетке и вычислении полного тока для определения эффективного электрического сопротивления используются кубатурные формулы Гаусса и кубатурные формулы на симплексах. Для построения адаптивного симплициального разбиения внутри суперэлементов используется генератор сеток Gmsh. Для верификации программного комплекса применяется классический метод конечных элементов.

Для валидации — серия физических измерений на образцах, содержащих проводящие и непроводящие включения с заданным расположением. Образцы изготовлены в Институте нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука СО РАН и в Институте химии твердого тела и механохимии

СО РАН. Выполнено сравнение результатов численного моделирования со значениями, полученными в приближении Максвелла, Гарнетта, Бруггемана, когерентного потенциала, а также «вилками» Винера и Хашина-Штрикмана.

Параллельная версия алгоритма реализована с использованием библиотеки MPI. Для проведения численных экспериментов с большим объемом данных используются суперкомпьютеры: К100 Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (www.kiam.ru) и Информационно-вычислительного центра Новосибирского государственного университета (www. nus с. ru).

Значимость работы. Разработка средств, позволяющих проводить гомогенизацию удельного электрического сопротивления пористых сред, насыщенных проводящими флюидами, играет большую роль при интерпретации данных геоэлектрических измерений. Исследование свойств искусственных материалов на этапе проектирования имеет большое значение в материаловедении. Реализованные программные комплексы могут быть использованы при решении прямых задач моделирования в петрофизике, а также при разработке новых композитных материалов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на конференциях: Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, (Красноярск, 2010; Новосибирск, 2011 и 2012); Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2011 (Новосибирск, 2011); Российская научно-техническая конференция «Обработка информационных сигналов и математическое моделирование» (Новосибирск, 2012); Международная молодежная конференция-школа «Современные проблемы прикладной математики и информатики» (Дубна, 2012); XIX Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященная памяти К.И. Бабенко (Дюрсо, 2012); Вторая международная конференция «Актуальные вопросы современных зондирующих электромагнитных систем» (Киев, 2012); и семинарах: семинар кафедры Вычислительных технологий НГТУ (Новосибирск, 2011 и 2012); семинар им. К.И. Бабенко Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (Москва, 2012); семинар по геоэлектрике ИНГГ СО РАН (Новосибирск, 2012)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 1 в ведущем научном журнале из списка ВАК («Доклады Академии Наук»), 1 в рецензируемом журнале («Геофизический журнал», Институт геофизики HAH Украины), 7 в сборниках тезисов и материалах конференций, получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы (80 наименований) и приложений. Работа изложена на 118 страницах, включая 74 рисунка, 16 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Артемьев, Михаил Константинович

Выводы

Так как численная гомогенизация удельного электрического сопротивления выполняется на основе вычисления полного тока, приведены формулы для его определения. Выбрана наиболее подходящая кубатурная формула для численного интегрирования тока внутри каждого суперэлемента. Проведено сравнение эффективного УЭС, полученного в ходе численного моделирования, с приближениями Максвелла, Гарнетта и др. Определено, что для некоторых частных случаев, результаты аналитических формул близки к численным. Проведены численные эксперименты для исследования зависимости эффективного удельного электрического сопротивления от пористости среды. Исследовано влияние различных факторов на изменение этой зависимости. Для всех тестов было отмечено, что наибольшему влиянию подвержены среды с хорошо проводящими включениями. И наоборот, эффективное УЭС сред с непроводящими включениями практически не изменяется при различных вариациях внутренней структуры материала. Исключением является лишь способ ориентации включений (соосные включения, расположенные вдоль течения тока, приводят к минимальному УЭС, а перпендикулярно ориентированные — к максимальному), реакция на который хорошо просматривается для сред любого типа и контрастности. Проведено сравнение результатов численного моделирования с результатами физических экспериментов. Измерения на образцах проводились двух- и четырехэлектродным методами. В подавляющем большинстве случаев, результаты, полученные четырехэлектродным методом, продемонстрировали лучшее совпадение с результатами численного моделирования. Это подтверждает теоретические предположения о более высокой точности данного способа измерений. Для большинства экспериментов относительная погрешность значений, полученных в ходе физических измерений и численного моделирования, не превышает 4-5%. Такая проверка может служить процедурой валидации программных комплексов, реализованных в данной работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе проведены исследования и расчет эффективного удельного электрического сопротивления сред с контрастными мелкомасштабными включениями. Проблема гомогенизации свойств неоднородных сред известна достаточно давно. Тем не менее вопросу получения усредненных электрофизических характеристик посвящено крайне мало исследований. В настоящее время известно большое количество аналитических подходов, которые, однако, имеют существенные ограничения по классу решаемых задач. Для точного определения свойств произвольной среды в данной работе рассматривается численная гомогенизация, основанная на решении задачи о распределении электрического потенциала. Поскольку неоднородная среда содержит мелкомасштабные контрастные особенности, для решения данной задачи необходимо использовать современный многомасштабный метод. В работе сделан обзор методов, в результате анализа которых был обоснован выбор ММКЭ. Этот метод предоставляет большие возможности моделирования процессов в средах с любыми включениями за счет использования базисных функций специального вида, а также имеет параллельную структуру, которая определяет его преимущества при использовании в расчетах на суперкомпьютерах. Многомасштабный метод конечных элементов, а также основные его компоненты — вычисление базисных функций и сборка глобальной СЛАУ — подробно рассмотрены в данной работе. Результатом анализа многомасштабного метода стала разработка алгоритмов и реализация программных комплексов для сред с периодической и непериодической структурой. Каждый из пакетов имеет особенности, связанные с областью применения, и отличается масштабируемостью и скоростью вычислений. Реализованные комплексы были верифицированы на основных этапах вычислений.

Было выполнено сравнение эффективного удельного электрического сопротивления, полученного на основе решения задачи о распределении потенциала в неоднородной среде и учитывающего внутреннюю структуру материала, с известными аналитическими формулами. Было показано, что для узкого класса гетерогенных сред, значения, полученные на основе аналитических формул, справедливы. Тем не менее, в общем случае для среды произвольной структуры аналитические приближения некорректны. Численная гомогенизация, предложенная в данной работе, является универсальным средством определения эффективного УЭС среды, содержащей включения произвольной формы, расположения и контрастности.

Для валидации метода, исследуемого в работе, было проведено сравнение результатов численного моделирования с результатами физических экспериментов, проведенных в Институте нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН. Было отмечено хорошее совпадение численных результатов с измерениями четырехэлектродным методом.

Одной из основных целей данной работы являлось определение зависимости эффективного удельного электрического сопротивления от пористости неоднородной среды. Такая зависимость была получена. Кроме того, было исследовано влияние таких факторов как форма, ориентация, площадь поверхности включений на характер данной зависимости. Было определено, что для сред, имеющих проводящие включения, изменение любой характеристики включений значительно влияет на величину усредненного электрического сопротивления. Для сред с непроводящими включениями, наоборот, влияния факторов практически не наблюдается.

Разработанные программные комплексы позволяют проводить моделирование распределения электрического потенциала в многомасштабных средах произвольной структуры, на основе которого с высокой точностью можно проводить численную гомогенизацию удельного электрического сопротивления. Реализованные вычислительные схемы могут быть эффективно использованы при решении прямых задач петрофизики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Артемьев, Михаил Константинович, 2012 год

1. Артемьев M.K. Multiscale3D: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011618349, авторы Артемьев М.К., Эпов М.И., Шурина Э.П.; правообладатель: ИНГГ СО РАН; заявка №2011616308; поступила 22.08.11; зарегистрирована 21.10.11.

2. Баландин М.Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности Текст. / М.Ю. Баландин, Э.П. Шурина. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. -70 с.

3. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами Текст. / Н.С. Бахвалов // ДАН СССР. 1975. - Т. 221. - № 3. - С. 516-519.

4. Волков Е.А. Численные методы Текст. / Е.А. Волков М.: Наука, 1987.- 248 с.

5. Галанин М.П. Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения: Отчет Текст. / М.П. Галанин, С.А. Лазарева. М.: Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН, 2008.

6. Галанин М.П. О связи метода конечных суперэлементов Федоренко и проекционных методов: Отчет Текст. / М.П. Галанин, Е.Б. Савенков. -М.: Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН, 2001.

7. Жиков В.В. Усреднение дифференциальных операторов Текст. / В.В. Жиков, С.М. Козлов, O.A. Олейник. М.: Физико-математическая литература, 1993. - 464 с.

8. Жуков В.Т. Метод конечных суперэлементов в задачах конвекции-диффузии Текст. / В.Т. Жуков, Н.Д. Новикова, Л.Г. Страховскаяи др. // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14. - № 11. -С. 78-92.

9. Калиткин H.H. Численные методы Текст. / H.H. Калиткин; под ред. A.A. Самарского. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 512 с.

10. Копысов С.П. Об одном методе определения эффективных упругих характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования Текст. / С.П. Копысов, Ю.А. Сагдеева // Интеллектуальные системы в производстве. 2007. - Т. 1. - С. 49-61.

11. Лацис А.О. Параллельная обработка данных Текст. / А.О. Лацис. -Академия, 2010. 336 с.

12. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными Текст. / Э. Митчелл, Р. Уэйт. М.: «Мир», 1981. - 216 с.

13. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. Текст. / И.П. Мысовских. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 336 с.

14. Нестерова Г.В. Математические модели электропроводности двухкомпо-нентных сред и формула Арчи (по материалам публикаций) Текст. / Г.В. Нестерова // Каротажник. 2008. - № 10. - С. 81-101.

15. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний Текст. / Э. Санчес-Паленсия. М.: «Мир», 1984. - 472 с.

16. Снарский A.A. Процессы переноса в макроскопически неупорядоченных средах: От теории среднего поля до перколяции. Текст. / A.A. Снарский, И.В. Безсуднов, В.А. Севрюков М.: Издательство ЛКИ, 2007. - 299 с.

17. Страховская Л.Г. Об одной специальной разностной схеме Текст. / Л.Г. Страховская, Р.П. Федоренко // Численные методы механики сплошной среды. 1976. - Т. 7. - № 4. - С. 149-163.

18. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма Текст. / Дж.А. Стрэттон. -Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 540 с.

19. Эпов М.И. Численная гомогенизация многомасштабных гетерогенных сред Текст. / М.И. Эпов, Э.П. Шурина, М.К. Артемьев // Геофизический журнал, Институт геофизики HAH Украины. 2012. - Т. 34. -№ 4. - С. 16-21.

20. Эпов М.И. Численная гомогенизация электрических характеристик сред с контрастными мелкомасштабными включениями Текст. / М.И. Эпов, Э.П. Шурина, М.К. Артемьев // Доклады Академии Наук. 2012. -Т. 442. - № 1. - С. 188-120.

21. Aarnes J.E. Coarsening of three-dimensional structured and unstructured grids for subsurface flow Text. / J.E. Aarnes, V.L. Hauge, Y. Efendiev // Advances in Water Resources. 2007. - Vol. 30. - no. 11. - P. 2177-2193.

22. Abdulle A. The Finite Element Heterogeneous Multiscale Method: a computational strategy for multiscale PDEs Text. / A. Abdulle // Math. Sci. Appl. 2009. - Vol. 31. - P. 133-181.

23. Allaire G. A multiscale finite element method for numerical homogenization Text. / G. Allaire, R. Brizzi // SIAM MMS. 2005. - Vol. 4. - P. 790-812.

24. Arbogast T. Numerical subgrid upscaling of two-phase flow in porous media Text. / T. Arbogast // Lecture Notes in Physics, Chen, Ewing, and Shi, editors. 1999. - P. 1-15.

25. Archie G. The Electrical Resistivity Log as an Aid in Determining Some Reservoir Characteristics Text. / G. Archie // Transactions of the AIMME.- 1942. Vol. 146. - P. 54-62.

26. Babuska I. Stable Generalized Finite Element Method (SGFEM): Tech. Rep. Text. / I. Babuska, U. Banerjee ICES, The University of Texas at Austin, 2011.

27. Babuska I. Superconvergence in the generalized finite element method Text. / I. Babuska, U. Banerjee, J.E. Osborn // Numer. Math. 2007.- Vol. 107. P. 353-395.

28. Babuska I. Special finite element methods for a class of second order elliptic problems with rough coefficients Text. / I. Babuska, G. Caloz, J.E. Osborn // SIAM J. Numer. Anal. 1994. - Vol. 31. - P. 945-981.

29. Babuska I. Optimal Local Approximation Spaces for Generalized Finite Element Methods with Application to Multiscale Problems: Tech. Rep.

30. Text. / I. Babuska, R. Lipton. ICES, The University of Texas at Austin, 2010.

31. Babuska I. The Partition of Unity Method Text. / I. Babuska, M. Melenk // Int. J. Numer. Meths. Eng. 1997. - Vol. 40. - P. 727-758.

32. Babuska I. Generalized finite element methods: Their performance and their relation to mixed methods Text. / I. Babuska, J.E. Osborn // SIAM J. Numer. Anal. 1983. - Vol. 20. - P. 510-536.

33. Banks H. Homogenization of Periodically Varying Coefficients in Electromagnetic Materials: Tech. Rep. Text. / H. Banks, V. Bokil, D. Cioranescu et al. SAMSI, 2005.

34. Bensoussan A. Asymptotic analysis for periodic structures Text. / A. Bensoussan, J. Lions, G. Papanicolaou. North-Holland, 1978. - p. 721.

35. Brandt A. Multi-Level Adaptive Solutions to Boundary-Value Problems Text. / A. Brandt // Mathematics of Computation. 1977. - Vol. 31. -no. 138. - P. 333-390.

36. Brezzi F. b = J g Text. / F. Brezzi, L. Franca, T. Hughes et al. // Comput. Methods of Appl. Mech. Engrg. 1997. - Vol. 145. - P. 329-339.

37. Carstensen C. Computational Electromagnetics Text. / C. Carstensen, S. Funken, R. Hoppe et al. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 2003. - Vol. 28 of Lecture Notes in Computational Science and Engineering. -p. 210.

38. Chu C.-C. A New Multiscale Finite Element Method for High-Contrast Elliptic Interface Problems Text. / C.-C. Chu, I. Graham, T. Hou // Math. Comput. 2010. - Vol. 79. - no. 272. - P. 1915-1955.

39. E W. The heterogeneous multiscale methods Text. / W. E, B. Engquist // Comm. Math. Sei. 2003. - Vol. 1. - no. 1. - P. 87-132.

40. E W. Multiscale Modeling and Computation Text. / W. E, B. Engquist // Notices of the AMS. 2003. - Vol. 50. - no. 9. - P. 1062-1070.

41. E W. Analysis of the heterogeneous multiscale method for elliptic homogenization problems Text. / W. E, P. Ming, P. Zhang // Journal of the American Mathematical Society. 2004. - Vol. 18. - no. 1. - P. 121-156.

42. Efendiev Y.R. Accurate multiscale finite element methods for two-phase flow simulations Text. / Y.R. Efendiev, V. Ginting, T. Hou et al. //J. Comput. Phys. 2006. - Vol. 220. - P. 155-174.

43. Efendiev Y.R. Multiscale finite element methods: Theory and applications Text. / Y.R. Efendiev, T.Y. Hou. Springer, New York, 2009. - p. 234.

44. Efendiev Y.R. Convergence of a nonconforming multiscale finite element method Text. / Y.R. Efendiev, T.Y. Hou, X.-H. Wu // SIAM J. Numer. Anal. 2000. - Vol. 37. - no. 3. - R 888-910.

45. Galanin M. Fedorenko finite superelement method and its applications Text. / M. Galanin, S. Lazareva, E. Savenkov // Computational methods in applied mathematics. 2007. - Vol. 7. - no. 1. - P. 3-24.

46. Gilbert A. A Comparison of Multiresolution and Classical One-dimensional Homogenization Schemes Text. / A. Gilbert // Applied and computational harmonic analysis. 1998. - Vol. 5. - P. 1-35.

47. Glover P.W. A modified Archie's law for two conducting phases Text. / P.W. Glover, M.J. Hole, J. Pous // Earth and Planetary Science Letters. -2000. Vol. 180. - P. 369-383.

48. Harter T. Effective conductivity of periodic media with cuboid inclusions Text. / T. Harter, C. Knudby // Advances in Water Resources. 2004. -Vol. 27. - P. 1017-1032.

49. Hashin Z. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials Text. / Z. Hashin, S. Shtrikman // Journal of Applied Physics. 1962. - Vol. 33. - no. 10. - P. 3125-3131.

50. Horstemeyer M. Multiscale Modeling: A Review Text. / M. Horstemeyer; Ed. by J. Leszczynski, M. Shukla. Springer Science Business Media B.V., 2009. - P. 87-135.

51. Hou T.Y. A Multiscale Finite Element Method for Elliptic Problems in Composite Materials and Porous Media Text. / T.Y. Hou, X.-H. Wu // Journal of Computational Physics. 1997. - Vol. 134. - P. 169-189.

52. Hou T.Y. Convergence of a multiscale finite element method for elliptic problems with rapidly oscillating coefficients Text. / T.Y. Hou, X.-H. Wu, Z. Cai // Mathematics of Computation. 1999. - Vol. 68. - no. 227. - P. 913943.

53. Hou T.Y. Removing the cell resonance error in the multiscale finite element method via a Petrov-Galerkin formulation Text. / T.Y. Hou, X.-H. Wu, Y. Zhang // Comm. Math. Sci. 2004. - Vol. 2. - no. 2. - P. 185-205.

54. Hughes T.J. Multiscale phenomena: Green's functions, the Dirichlet-to-Neumann formulation, subgrid scale models, bubbles and the origins of stabilized methods Text. / T.J. Hughes // Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg.- 1995. Vol. 127. - P. 387-401.

55. Hughes T.J. Stabilized Methods for Compressible Flows Text. / T.J. Hughes, G. Scovazzi, T.E. Tezduyar //J. Sci. Comput. 2010. - Vol. 43. - P. 343-368.

56. Jenny P. Multi-scale finite-volume method for elliptic problems in subsurface flow simulation Text. / P. Jenny, S. Lee, H. Tchelepi // Journal of Computational Physics. 2003. - Vol. 187. - P. 47-67.

57. Karkkainen K. Analysis of a Three-Dimensional Dielectric Mixture with Finite Difference Method Text. / K. Karkkainen, A. Sihvola, K. Nikoskinen // IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing.- 2001. Vol. 39. - no. 5. - P. 1013-1018.

58. Kosturski N. Numerical Homogenization of Bone Microstructure Text. / N. Kosturski, S. Margenov; Ed. by I. Lirkov, S. Margenov, J. Wasniewski.- Springer, 2010. Vol. 5910 of Lecture Notes in Computer Science. -P. 140-147.

59. Kristensson G. Homogenization of spherical inclusions Text. / G. Kristensson // Progress In Electromagnetics Research. 2003. -Vol. 42,- P. 1-25.

60. Lee S. Finite difference simulation of geologically complex reservoirs with tensor permeabilities Text. / S. Lee, L. Durlofsky, M. Lough et al. // SPERE k E. 1998. - P. 567-574.

61. Lee S. Implementation of a flux continuous finite-difference method for stratigraphic, hexahedron grids Text. / S. Lee, H. Tchelepi, P. Jenny et al. // SPE J. 2002. - P. 269-277.

62. Matache A.-M. Two-Scale FEM for Homogenization Problems: Tech. Rep. Text. / A.-M. Matache, C. Schwab. Seminar for Applied Mathematics, ETH-Zentrum, 2001.

63. Ming P. Numerical methods for multiscale elliptic problems Text. / P. Ming, X. Yue // Journal of Computational Physics. 2006. - Vol. 214. - P. 421-445.

64. Oden J.T. Estimation of Local Modeling Error and Goal-Oriented Adaptive Modeling of Heterogeneous Materials; Part I : Error Estimates and Adaptive Algorithms Text. / J.T. Oden, K. Vemaganti // J. Comp. Physics. 2000.- Vol. 164. P. 22-47.

65. Pavliotis G.A. Multiscale methods: Averaging and Homogenization Text. / G.A. Pavliotis, A.M. Stuart. Springer, 2007. - p. 307.

66. Picasso M. Multiscale algorithm with pathces of finite elements Text. / M. Picasso, J. Rappaz, V. Rezzonico // Commun. Numer. Meth. Engng.- 2008. Vol. 24. - P. 477-491.

67. Runborg O. Wavelets and Wavelet Based Numerical Homogenization Text. / O. Runborg; Ed. by B. Engquist, P. Lotstedt, O. Runborg. Springer, 2009.- Vol. 66 of Lecture Notes in Computational Science and Engineering. -P. 195-235.

68. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems Text. / Y. Saad. -Philadelphia: SIAM, 2003. p. 447.

69. Sangalli G. Capturing small scales in elliptic problems using a residual-free bubbles finite element method Text. / G. Sangalli // Multiscale Model. Simul. 2003. - Vol. 1. - P. 485-503.

70. Sihvola A. Electromagnetic Mixing Formulas and Applications Text. / A. Sihvola. London: Institution of Electrical Engineers, 1999.

71. Zhang H. A new multiscale computational method for elasto-plastic analysis of heterogeneous materials Text. / H. Zhang, J. Wu, J. Lv // Comput. Mech.- 2011. Vol. 49. - no. 2. - P. 149-169.