«Математическое моделирование трёхмерных электромагнитных полей в средах с микровключениями конформными и неконформными конечноэлементными методами» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат наук Михайлова Екатерина Игоревна

• Михайлова Екатерина Игоревна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Михайлова Екатерина Игоревна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕДАХ И ЭФФЕКТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГОКОМПОНЕНТЫХ СРЕД

1.1. Гетерогенные среды естественного и искусственного происхождения. Эффективные характеристики гетерогенных сред

1.2. Численные методы решения прямой задачи моделирования электромагнитного поля

1.3 Метод конечных разностей

1.4 Метод конечных элементов

1.5 Метод моментов и его модификации

1.6 Неконформные и неполиномиальные модификации метода конечных элементов

1.7 Разрывный метод Галеркина

1.7.1 Разрывный метод Галеркина в сочетании с Nitsche методом

1.7.2 метод

ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Математическая модель

2.1.1. Система уравнений Максвелла

36

2.1.2. Уравнение Гельмгольца

2.2. Функциональные пространства. Комплекс де Рама

2.3. Вариационная постановка

2.4. Дискретная вариационная постановка конформного ВМКЭ

2.5. Дискретизация расчетной области

2.5.1. Конечные элементы и базисные функции

2.5.2. Базис Вебба 1- 3 порядков

2.5.3. Базис на основе полиномов Лежандра

2.5.4. Интерполяционный базис

2.5.5. Соленоидальный базис

2.6. Спектральные характеристики

2.7. Верификация метода на тестовой задаче с известным аналитическим решением

2.8. Точность вычисления «скачка» нормальной компоненты

2.9.Выбор решателя в зависимости от базиса и диапазона частот

Выводы по главе

ГЛАВА 3. НЕКОНФОРМНЫЕ МЕТОДЫ НА БАЗЕ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

3.1. Разрывный метод Галеркина. Дискретная вариационная постановка разрывного метода Галеркина

3.1.1. Верификация вычислительной схемы разрывного метода Галеркина на тестовой задаче с известным аналитическим решением

3.1.2. Влияние стабилизирующего коэффициента

3.1.3. Исследование на задаче с контрастными включениями в широком диапазоне частот

Выводы по разрывному методу Галеркина

3.2. Вычислительная схема на базе модифицированного многомасштабного

разрывного метода Галеркина

3.2.1. Постановка задачи на макроуровне

3.2.2. Постановка задачи на микроуровне

3.2.3. Вычисление элементов локальных матриц на макроуровне

3.2.4. Вычисление «скачков»

3.2.5. Вывод решения

3.3. Численные эксперименты

3.3.1. Численное исследование сходимости метода

3.3.2. Сравнение с ВМКЭ и разрывным методом Галеркина

3.3.3. Численный эксперимент в области с микровключениями

Выводы по главе

ГЛАВА 4. АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ТЕНЗОРНОЙ ЭФФЕКТИВНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЫ

4.1. Этапы нахождения эффективной характеристики среды

4.1.1. Решение прямой задачи

4.1.2. Определение эффективной характеристики среды

4.2. Решение задачи в анизотропной среде

4.3. Верификация алгоритма

4.4. Численный эксперимент

4.4.1. Исследование в средах с включениями

4.4.2. Область допустимых значений

4.4.3. Влияние формы и расположения включений внутри образца на эффективную характеристику среды

4.4.4. Эффективные электрические характеристики образцов флюидонасыщенных пористых и трещиноватых сред

Выводы по главе

ГЛАВА 5. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ

5.1. Программный комплекс VFEMmultybasis

5.2. Программный комплекс NCVFEM

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ A. БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. СВИДЕТЕЛЬСТВО О ГОСУДАРСТВЕННОЙ РЕГИСТРАЦИИ ПРОГРАММЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ В. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ, ВЫВЕДЕННАЯ ПО ЗАДАННОМУ ПРОФИЛЮ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему ««Математическое моделирование трёхмерных электромагнитных полей в средах с микровключениями конформными и неконформными конечноэлементными методами»»

ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования являются

- математические модели трехмерного электромагнитного поля, изменяющегося во времени по гармоническому закону, в гетерогенных средах естественного и искусственного происхождения;

- математические модели, описывающие электрические эффективные характеристики таких сред.

Предмет исследования - вычислительные схемы на базе конформного и неконформного метода Галеркина для решения задач электромагнетизма в частотной области в средах с микровключениями различной геометрии, расположенными регулярно или хаотично.

Актуальность темы исследования. В геофизических приложениях возникает необходимость определять эффективные электрические характеристики гетерогенных сред, описывающие многокомпонентные среды как макроскопически однородные. В частности, электрические и электромагнитные методы геофизических исследований скважин, такие как индукционный и диэлектрический каротаж, высокочастотный индукционный каротаж изопараметрических зондирований (ВИ-КИЗ) требуют знания эффективных электрофизических характеристик буровых растворов и горных пород. Ряд биологических приложений и разработка новых композитных материалов также требуют знания эффективных характеристик гетерогенных сред, так как макросвойства сред со сложной внутренней структурой могут значительно отличаться от свойств материалов, их образующих.

В аналитических методах (модель Drude, модель Lorentz, модель Cole-Cole и т.д.) эффективная электрическая характеристика рассматривается как скалярная функция частоты, что не позволяет учесть возможной анизотропии, возникающей в гетерогенной среде в результате взаимодействия включений. Гетерогенные среды обладают большим многообразием (по происхождению среды, по количеству компонент, по форме включений, по расположению включений внутри образца), в то

время как большинство аналитических методов нахождения эффективных характеристик ориентированы на конкретный тип геометрии неоднородностей и регулярное/периодическое расположение внутри вмещающей среды, что накладывает ограничения на их применение для гетерогенных сред с произвольной внутренней структурой. При исследовании сред естественного происхождения (горные породы, керны), отличающихся как геометрической, так и электрофизической много-масштабностью, такие ограничения существенны и могут приводить к нефизичным оценкам. Численное определение тензорных эффективных характеристик таких сред является актуальной проблемой вычислительной математики.

Определение эффективной характеристики среды в работе выполняется на основе решения прямой задачи моделирования электромагнитного поля в геометрически сложных расчетных областях. Решение прямой задачи моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей возникает во многих современных прикладных областях (геофизика, материаловедение, оптотехника и.т.д.). Большинство методов геоэлектрики требуют в том или ином виде знаний о распределении электромагнитного поля в пространстве. Вычислительные схемы на базе конформного векторного метода конечных элементов (ВМКЭ) достаточно эффективны, однако, имеют ряд ограничений при моделировании волновых процессов в областях с разномасштабными микровключениями. Известно, что для получения численного решения с адекватной точностью ВМКЭ на длину волны должно приходиться минимум девять тетраэдров (P. Monk). На высоких частотах, когда размеры расчетной области сопоставимы с длиной волны, происходит резкое увеличение конечноэлементной сетки и, следовательно, размерности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Наблюдается ухудшение спектральных характеристик СЛАУ. Возможности распараллеливания классического ВМКЭ ограничены.

Наличие в гетерогенных средах большого количества внутренних границ снижает эффективность конформных методов и требует применения вычислительных схем на базе неконформных методов.

При разработке вычислительных смех на базе неконформных методов важным является оптимальный выбор векторных базисных функций, от которых зависит точность получаемого решения и устойчивая работа метода в широком диапазоне частот. Также важен способ связи отдельных подобластей.

Цель работы: вычисление эффективных характеристик гетерогенных сред на основе результатов моделирования трехмерного электромагнитного поля в средах с контрастными микровключениями.

Задачи исследования:

1. Разработать численную схему гомогенизации электрических свойств гетерогенных сред;

2. Разработать вычислительные схемы на базе неконформного (разрывного) метода Галеркина и конформного ВМКЭ для моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей в расчетных областях со сложной внутренней структурой.

В соответствие с поставленной целью можно выделить следующие этапы исследования:

1. Исследовать иерархические, интерполяционные, соленоидальные векторные базисные функции 1-3 порядков при моделировании трехмерных электромагнитных полей конформным ВМКЭ, разрывным методом Галеркина, модифицированным многомасштабным разрывным методом Галеркина.

2. Исследовать 1Р постановки разрывного метода Галеркина в широком диапазоне частот и выбрать оптимальную из них.

3. Разработать вычислительную схему на базе ВМКЭ, разрывного метода Галеркина и многомасштабного метода для моделирования трехмерного гармонического электромагнитного поля в широком диапазоне частот в среде со сложной внутренней структурой.

4. Разработать алгоритм вычисления эффективной электрофизической характеристики гетерогенной среды с микровключениями.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм моделирования трехмерного электромагнитного поля в гармоническом режиме в гетерогенной среде на основе конформного ВМКЭ, разрывного метода Галеркина и многомасштабной идеологии с обоснованным выбором векторных базисных функций и оптимальной схемы разрывного метода Галеркина.

2. Алгоритм нахождения эффективной тензорной электрической характеристики гетерогенной среды.

Научная новизна.

1. Для рассмотренного класса задач электромагнетизма выполнен обоснованный выбор вычислительной схемы разрывного метода Галеркина и векторных базисных функций в зависимости от диапазона частот и контрастности электрофизических характеристик.

2. Разработана вычислительная схема на базе ВМКЭ, разрывного метода Галеркина и многомасштабного метода для моделирования электромагнитного поля в широком диапазоне частот в гетерогенных средах на неструктурированных симплициальных сетках.

3. Разработан алгоритм вычисления эффективной электрофизической характеристики среды в виде тензора второго ранга.

Личный вклад соискателя заключается в разработке и программной реализации вычислительных схем на основе ВМКЭ и разрывного метода Галеркина для моделирования трехмерных электромагнитных полей в гетерогенных средах с контрастными электрофизическими характеристиками включений и матрицы (вмещающей среды) в широком диапазоне частот. Соискателем выполнен анализ иерархических, интерполяционных и соленоидальных векторных базисных функций 1 -3 порядка. Выполнен анализ существующих вариационных постановок разрывного метода Галеркина в пространстве Н(ш^ О) для уравнения Гельмгольца. На основе выполненных исследований предложена модификация 1Р постановки разрывного метода Галеркина. Разработана вычислительная схема на базе модифицированного многомасштабного разрывного метода Галеркина. Соискатель принимал активное

участие в разработке и верификации алгоритма вычисления эффективных электрических характеристик среды. Все результаты численного моделирования в средах с включениями и в однородных изотропных средах, приведенные в диссертации, получены соискателем лично.

Степень достоверности. Достоверность результатов подтверждена стандартными для численных методов процедурами верификации, сравнением с опубликованными результатами и сравнением с результатами, полученными с применением программного комплекса EFMAC 2.0, разработанного научным сотрудником ИНГГ СО РАН кандидатом физико-математических наук Н.В. Штабель. Для верификации неконформных методов применяется классический ВМКЭ.

Методология и методы исследования. Математической моделью, описывающей поведение трехмерного электромагнитного поля в гармоническом режиме, является уравнение Гельмгольца с магнитными и электрическими краевыми условиями на границах расчетной области. Метод исследования - математическое моделирование конформным ВМКЭ и неконформными модификациями ВМКЭ в функциональном пространстве с частичной гладкостью Н(го^ О). Построение адаптивного симплициального сеточного разбиения выполняется внешним генератором сеток с открытым кодом Gmsh.

Значимость работы. Разработанные программные комплексы VFEMmultybasis и NCVFEM применимы для решения задач электромагнетизма в широком диапазоне частот (от кГц до ГГц). VFEMmultybasis и NCVFEM эффективны при моделировании электромагнитных полей как при преобладании токов проводимости, так и при преобладании токов смещения, а также когда они сопоставимы. Разработанный алгоритм нахождения эффективной электрической характеристики позволяет определять ее в виде тензора второго ранга для среды с микровключениями произвольной формы и расположения внутри образца.

Апробация результатов. Основные положения диссертации докладывались и были одобрены на следующих конференциях: XI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным техноло-

гиям (Красноярск, 2010 г.); Всероссийская научная студенческая конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2010 г.); Новосибирская межвузовская научная студенческая конференция «Интеллектуальный потенциал Сибири» (Новосибирск, 2011 г.); Международная конференция «Разностные схемы и их приложения», посвященной 90-летию профессора В.С. Рябенького. (Москва, 2013 г.); Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений» (Новосибирск, 2013 г.); Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач», посвященная 85-летию со дня рождения академика А.С. Алексеева (Новосибирск, 2013 г.); Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов, посвященная 80-летию академика А.Э. Конторовича (Новосибирск, 2014 г.); Российская научно-техническая конференция «Обработка информации и математическое моделирование» (Новосибирск, 2014 г.); Международная конференция Забабахинские научные чтения (Снежинск, 2014 г.); International conference Advanced Mathematics, Computations and applications (Novosibirsk,

2014 г.); XX Всероссийская конференция, посвящ. памяти К.И. Бабенко «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (Абрау-Дюрсо, Новороссийск, 2014 г.); XII международная конференция актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-2014 (Новосибирск, 2014 г.), XV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Тюмень, 2014 г.), Международная конференция «Computational and Informational Technologies in Science, Engineering and Education» (Алматы, Казахстан, 2015 г.); и семинарах: семинар кафедры Вычислительных технологий Новосибирского государственного технического университета (Новосибирск, 2012 и 2014 гг.), объединенный семинар Института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики НГУ (Новосибирск, 2014 г.), семинар «Геометрия, топология и их приложения» Институт математики им. С.Л. Соболева (Новосибирск,

2015 г.), семинар по геоэлектрике ИНГГ СО РАН (Новосибирск, 2015 г.).

Научные исследования выполнены при поддержке ОФИ-М (грант 13-0512031) и интеграционного проекта СО РАН №98.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 работы, из них 2 в ведущих научных журналах из списка ВАК (Вестник НГУ. Математика, механика, информатика; Вычислительные технологии), 2 в рецензируемых журналах (Сборник научных трудов НГТУ, Труды XII международной конференции актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-2014), 1 в рецензируемом англоязычном издании (Scientific Research: Engineering), 18 в сборниках тезисов, трудах и материалах российских и международных конференций. Разработанная для ЭВМ программа VFEMmultybasis прошла процедуру государственной регистрации (№2015614077).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (208 источников) и 3 приложений. Основные результаты работы обобщены в заключении диссертации. Работа изложена на 164 страницах, включая 63 рисунка и 28 таблиц.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕДАХ И ЭФФЕКТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГОКОМПОНЕНТЫХ СРЕД

1.1. Гетерогенные среды естественного и искусственного происхождения. Эффективные характеристики гетерогенных сред

Гетерогенной средой обычно называют совокупность некоторых однородных фаз, образующих участки, каждый из которых является достаточно большим, чтобы рассматриваться как сплошной (гомогенный) [108]. К гетерогенным можно отнести широкий круг сред, материалов, смесей как естественного, так и искусственного происхождения.

Необходимость моделирования электромагнитных полей в естественных гетерогенных средах возникает в науках о земле, биологии и медицине. К таким средам относят горные породы и керны [156], в медицине - кости скелета, биологические ткани [48], имеющие пористую структуру. В науках о земле вводятся также понятия трещиноватых, пористых и трещиновато-пористых сред [198].

К искусственным в первую очередь относят композитные материалы и мета-материалы [4, 26] - материалы, имеющие сложную геометрическую структуру и разрывные электрофизические свойства. Физические характеристики таких материалов могут отличаться от характеристик материалов, из которых они изготовлены. Также к искусственным гетерогенным средам относятся анизотропные кристаллы, представляющие собой систему чередующихся слоев материалов с контрастными электрофизическими коэффициентами [29], оптоволоконные устройства [109] и волноводы сложной геометрии и внутренней структуры [76].

Рассматриваемые среды классифицируются по числу фаз или компонент. Они делятся на двухкомпонентные или двухфазные [3], состоящие из матрицы и включений, причем все включения имеют одинаковые физические свойства, и на более сложные многокомпонентные или многофазные [6], состоящие из матрицы и включений нескольких типов, различающихся между собой по своих физическим

характеристикам.

По форме включений большим разнообразием обладают и искусственные материалы, и естественные образцы. Включения в искусственных средах обладают большим разнообразием формы: сферические, цилиндрические, кубические, пластинки-резонаторы, разомкнутые кольца [3, 6, 178, 207] и т.д. Однако зачастую образцы искусственного происхождения имеют одинаковый габаритный размер включений и содержат включения какой-либо одной из форм.

Для сред естественного происхождения характерно наличие разномасштабных включений, расположенных хаотично. Причем разброс размеров включений значителен и может составлять несколько порядков. Для трещиноватых и трещиновато-пористых сред отмечается значительная разномасштабность продольных и поперечных размеров неоднородностей. В таких средах могут содержаться включения различной сложной формы.

По размеру включений гетерогенные среды можно разделить на макрокомпозиты (размер включения > 100 нм) и нанокомпозиты (от 1 до 100 нм).

Материалы матрицы и включений для гетерогенных сред обладают большой контрастностью электрофизических характеристик, что осложняет процедуру моделирования электромагнитного поля в этих объектах.

Взаимодействие между включениями, высокая контрастность физических характеристик подобластей, широкий диапазон частот, на которых выполняются исследования, сложная геометрия и наличие внутренних границ приводят к тому, что наведенные электромагнитные поля в гетерогенных средах обладают сложной конфигурацией, и каждая из решаемых в таких средах задач требует индивидуального подхода.

Для гетерогенных сред зачастую требуется знание эффективных свойств образца. Возникает вопрос, может ли многокомпонентная среда рассматриваться как макроскопически однородная, электрофизические свойства которой описываются некоторым эффективным параметром. Проблеме определения эффективных характеристик посвящен широкий круг исследований.

Для описания сред сложной конфигурации в частотном режиме наиболее широко известными и часто применяемыми на практике являются модели Drude, Lorentz, Debye и Cole-Cole [52, 187]. Диэлектрическая и магнитная проницаемости в этих моделях являются функциями частоты £(ю) и ^(ю). Модель Drude для £(ю) и ^(ю) имеет вид:

е(ю) = е0

Ц(ю) = Ц0

1

ю

Л

pe

ю( ю- ¡Ге)

2

1 -■

ю

pm

Ю(Ю- ir m )

е0ег ,

= Ц0 Ц

где ю , юрт - электрическая и магнитная плазменные частоты, Г е, Гт - частоты

pm

электрического и магнитного затухания, ю - частота внешнего воздействия. Модель ЬогеПг строится с учетом резонансных частот:

е(ю) = ес

Ц(ю) = Ц0

1 -

ю

ре

^ -ю20 - ireюУ

е0ег ,

1 -

ю

Л

pm

ю -юm о

ir „ю

= Ц0 Ц

где юе0, ют0 - электрическая и магнитная резонансные плазменные частоты, £о -диэлектрическая постоянная, ц0 - магнитная постоянная.

Модели Drude и Lorentz обычно применяются на высоких частотах. Моделью Lorentz описывают поведение метаматериалов и композитов на частотах, близких к резонансной частоте. Модель Drude используется для описания поведения металлов на оптических частотах, однако также может применяться для нахождения эффективных характеристик метаматериалов. В ряде случаев возможно использование смешанной модели, в которой £ вычисляется по модели Drude, а ^ по модели Lorentz. На низких частотах модель Lorentz дает некорректные результаты.

Модель Cole-Cole находит применение в моделировании биологических сред, полимеров и некоторых диэлектриков [195].

е(ю) = +

е„

с V-P . ю i —

V юг У

+i

е0ю

где - статическая диэлектрическая проницаемость (при частоте равной 0), -диэлектрическая проницаемость на высокой частоте, юг - частота релаксации, в -параметр рассеивания, ^ - статическая электропроводность.

Модель БеЬуе применяется для осреднения электрофизических свойств биологических тканей в медицинских приложениях, в геофизических приложениях для нахождения диэлектрической проницаемости почвы/пород/бурового раствора в широком диапазоне частот. Модифицированная форма осреднения для диэлектриков имеет вид

р — р е(ш) = ев+- '

1 + (/ют)' и для проводящих материалов

а

гг0ю

где т - время релаксации.

Между рассмотренными моделями устанавливаются определенные взаимосвязи. Модель Cole-Cole можно рассматривать как обобщение модели Debye [194] а модель Debye - как частный случай модели Lorentz при определенном выборе параметров [187].

Для моделей, применяемых на высоких частотах, целесообразно рассматривать электропроводность как функцию частоты а(ю).

Многие аналитические методы ориентированы только на постоянный ток и не позволяют получить адекватные результаты в гармоническом режиме [151].

Большинство предлагаемых в литературе моделей имеют жесткие ограничения на расположение включений внутри образца (регулярное расположение), на определенную форму включений (сферы, параллелепипеды и т.д.). Таким образом для применения таких моделей требуется в частности предварительное упрощение расчетной области, идеализация гетерогенной среды, например, замена произвольного включения сферическим (Рисунок 1.1). Данная идеализация может приводить к излишнему загрублению модели.

&тех11а > } СУте<Ла ^теска 1 /¿тесНа у ^тесНа

&\пс * //тс > (У™ I ёто/Лщсу ¿е/У» , (Те1у

7

Гетерогенная Геометрически Среда с эффективными

среда идеализированная электрофизическими

среда характеристиками

Рисунок 1.1 - Этапы применение аналитических методов нахождения эффективных характеристик среды

В [153] приведен численный метод нахождения эффективных характеристик среды, однако данный метод применим только для расчетных областей с периодическим расположением включений. Причем е и ц рассматриваются как скалярные величины. Скалярные модели не позволяют учесть взаимодействие между включениями, которое для композитных сред может оказывать значительное влияние на поведение электромагнитного поля внутри образца и эффективную характеристику среды.

В работе эффективная характеристика среды определяется как тензор второго ранга. Такой подход позволяет учесть взаимодействие между включениями внутри образца. Алгоритм строится на основе численного решения прямой задачи и не накладывает ограничений на расположение включений внутри расчетной области, на их форму, на диапазон частот, на характер возбуждения поля.

В предлагаемом алгоритме нахождения эффективной характеристики гетерогенной среды требуется определять напряженность электрического поля Е и ротор напряженности магнитного поля Н в произвольной точке расчетной области. Прямое моделирование трехмерного электромагнитного поля в гетерогенной среде является непростой задачей, для решения которой в настоящее время применяются различные как аналитические, так и численные методы. Аналитические решения можно получить в первую очередь для простых расчетных областей - однородных стандартных волноводных структур [2, 5, 8, 9, 139], некоторых типов антенн [50, 104, 105], витков с током и точечных источников в однородных средах [75].

Для геометрически сложных областей, с внутренними границами и подобластями с контрастными электрофизическими характеристиками, с разномасштабными включениями, аналитические методы неприменимы, и моделирование электромагнитных полей выполняется численными методами.

1.2. Численные методы решения прямой задачи моделирования электромагнитного поля

Численные методы можно разделить на конформные [142, 149, 150, 190] и неконформные методы [53, 59, 158, 170]. Конформные численные методы работают на сеточных разбиениях, причем на границах сеточных элементов (в узлах, на ребрах, на гранях) выполняются определённые условия непрерывности, зависящие от вводимых функциональных пространств и особенностей метода. Среди конформных численных методов для решения задач электромагнетизма наиболее активно используются метод конечных элементов [149, 150], разностные схемы [92, 189] и метод моментов [142, 190]. Однако каждый из названных методов ориентирован на определенный класс задач электромагнетизма.

Для задач электромагнетизма в гетерогенных средах, где наличие разномасштабных включений внутри образца приводит к появлению множества внутренних границ, применяются специальные неконформные методы. Они позволяют получать решение с требуемой точностью на более грубой сетке, чем конформные методы, и естественным образом распараллелить процесс вычислений.

Различают неконформность геометрическую и неконформность функциональную [53, 170]. Под геометрической неконформностью понимается использование несогласованных сеток для подобластей, конечных элементов различной геометрической формы, наличие «висячих» узлов в сетке. Функциональная несогласованность связана с введением на сеточном разбиении конечных элементов разных порядков. На уровне дискретной постановки вводятся конечномерные подпространства, не налагающих на функции каких-либо условие непрерывности (Рисунок 1.2). Некоторые методы сочетают оба виде неконформности.

в) Функциональная неконформность г) Геометрическая и функциональная некон-

формность

Рисунок 1.2 - Конформные и неконформные конечные элементы

Далее рассмотрим основные конформные и неконформные численные методы.

1.3 Метод конечных разностей

Метод конечных разностей ориентирован на внутренние задачи. Наряду с неоспоримыми достоинствами метода, такими как относительная простота реализации метода и построения сетки, даже в современных модификациях, имеет ряд серьезных недостатков. В классической постановке при решении задач с источником в большой расчетной области (например, задачи геоэлектрики и геофизического поиска) требуется значительное измельчение сетки по пространству, которое в сочетание с уменьшением шага по времени приводит к значительному росту как времени решения СЛАУ, так и объема оперативной памяти. Метод недостаточно гибок при работе с областями со сложной геометрией и гетерогенной внутренней структурой.

Для решения задач электромагнетизма во временной области применяются конечно-разностные методы во временной области (БЭТО). БЭТЭ метод впервые

был предложен K.S.Yee в 1966 году [204], позднее получил развитие в работах A.Taflove [47] и других авторов. В 1990-х годах показано, что использование классического FDTD на структурированных сеточных разбиениях на шаблонах низкого порядка для решения задач электромагнетизма не позволяет получить решение с достаточной точностью [68]. К тому же метод демонстрирует низкую эффективность при работе с объектами с криволинейными границами, в сложных областях на границе между материалами с разными электрофизическими характеристиками [93]. Для работы с криволинейными и внутренними границами предлагается вводить в предложенную схему K.S.Yee локальные модификации с двойной нумерацией узлов [92], локально измельчать сетку [79], повышать порядок схемы [189]. Однако большинство предлагаемых методов не позволяют в полной мере преодолеть данные недостатки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Михайлова Екатерина Игоревна, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баландин М.Ю. Векторный метод конечных элементов: Учеб.пособие / М.Ю. Баландин, Э.П. Шурина. - Новосибирск, НГТУ. - 2001.

2. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн / С.И. Баскаков. - М.: Высшая школа, 1992. - 416 с.

3. Вендик И.Б. Изотропный метаматериал на основе сегнетокерамических сферических включений / И.Б. Вендик, О.Г. Вендик, М.А. Одит // Физика твердого тела. - 2009. - Т. 51. - № 8. - С.1499-1503.

4. Виноградов А.П. К вопросу об эффективных параметрах метаматериалов /

A.П. Виноградов, А.В. Дорофеенко, С. Зухди //Успехи физических наук. - 2008. -Т. 178. - № 5. - С. 511-518.

5. Гончаренко А.М. Основы теории оптических волноводов / А.М. Гончаренко,

B.А. Карпенко. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 240 с.

6. Емец Ю.П. Дисперсия диэлектрической проницаемости трех- и четырехком-понентных матричных сред / Ю.П. Емец //Журнал технической физики. - 2003. -Т. 73. - № 3. - С. 42-53.

7. Еремин В.Н. Параллельная реализация математического моделирования процессов электромагнитного каротажа зондовым комплексом ВИКИЗ / В.Н. Еремин, О.В. Нечаев, Ш. Хаберхауэр, Н.Ю. Шокина, Э.П. Шурина // Вычислительные технологии. - 2007. - Т. 12. - № 6. - С. 18-33.

8. Ефимов И.Е. Волноводные линии передачи / И.Е. Ефимов, Г.А. Шермина. -М.: Связь, 1979. - 232 с.

9. Изюмова Т.И. Волноводы, коаксиальные и полосковые линии / Т.И. Изю-мова, В.Т. Свиридов. - М. : Энергия. - 1975. - 112 с.

10. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер. - Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы. - 1978.

11. Михайлова Е.И. Решение трехмерного векторного уравнения Гельмгольца (прямоугольный волновод) / Е.И. Михайлова // Современные проблемы технических наук: сб.тезисов докладов Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции «Интеллектуальный потенциал Сибири». - 2009. - Ч.1. - С. 59.

12. Михайлова Е.И. Решение трехмерного векторного уравнения Гельмгольца (прямоугольный волновод) / Е.И. Михайлова // Наука, технологии, инновации: материалы всероссийской научной студенческой конференции молодых ученых. -2009. - Ч.1. - С. 120.

13. Михайлова Е.И. Исследование спектральных свойств матриц векторных ко-нечноэлементных дискретизаций на базисных функциях третьего порядка / Е.И. Михайлова // Материалы XLVШ международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». - 2010. - Математика. - С. 214.

14. Михайлова Е.И. Решение уравнения Гельмгольца на различных векторных базисах третьего порядка / Е.И. Михайлова // Современные проблемы технических наук: сб. тезисов докладов Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции «Интеллектуальный потенциал Сибири». - 2010. - Ч.1. - С. 51.

15. Михайлова Е.И. Анализ спектральных свойств матриц векторных конечно-элементных дискретизаций на базисных функциях третьего порядка / Е.И. Михайлова // XI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. - Красноярск 2010. - С. 33.

16. Михайлова Е.И. Анализ векторных базисных функций третьего порядка на тетраэдральных разбиениях / Е.И. Михайлова // Наука, технологии, инновации: материалы всероссийской научной студенческой конференции молодых ученых. -Новосибирск 2010. - Ч.1. - С. 84.

17. Михайлова Е.И. Моделирование электромагнитного поля в волноводах с прямоугольным и круглым сечением / Е.И. Михайлова // XII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. - Новосибирск 2011. - С. 21.

18. Михайлова Е.И. Моделирование трехмерного электромагнитного поля в волноводах сложной геометрии / Е.И. Михайлова // Сборник научных трудов НГТУ. -2012. - С. 131-136.

19. Михайлова Е.И. Математическое моделирование высокочастотного электромагнитного поля в волноводных устройствах / Е.И. Михайлова, Э.П. Шурина // Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. - 2013. - Т. 13. - № 4. - С. 102118.

20. Михайлова Е.И. Моделирование трехмерного электромагнитного поля в областях с контрастными включениями / Е.И. Михайлова // Актуальные проблемы геологии нефти и газа Сибири: Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов, посвященной 80-летию академика А.Э. Конторовича.

- 2014. - С. 211-213

21. Михайлова Е.И. Решение уравнения Гельмгольца модифицированным неконформным методом Галеркина / Е.И. Михайлова, Э.П. Шурина // XV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Тюмень, 29-31 октября 2014 г.): Программа и тезисы докладов. - Тюмень. - 2014. - С. 41

22. Нечаев О.В. Использование векторного метода конечных элементов для численного решения квазистационарных уравнений Максвелла / О.В. Нечаев, Э.П. Шурина, М.П. Федорук //Вычислительные технологии. - 2004. - Т. 9. - №. 5.

- С. 73-81.

23. Орловская Н.В. Тензорный коэффициент электропроводности в геофизических приложениях / Н.В. Орловская, Э.П. Шурина, М.И. Эпов //Вычислительные технологии. - 2008. - Т. 13. - №. 1. - С. 99-112.

24. Савельев И.В. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика / И.В. Савельев. -Изд.2, перераб. - М.: Наука, 1982. - 496 с. - (Курс общей физики: в 3.т.; т.2).

25. Самарский А.А. Разностные схемы на нерегулярных сетках / А.А. Самарский, А.В. Колдоба, Ю.А. Повещенко, В.Ф. Тишкин, А.П. Фаворский - Минск. - 1996.

26. Украинец Е.А. Экранирующие свойства многослойных конструкций электромагнитных экранов на основе материалов с малоразмерными включениями металлов и жидких сред / Е.А. Украинец, Н.В. Колбун //Доклады БГУИР. - 2003. - Т. 1. - №. 4. - С. 118-122.

27. Федоренко Р.П. Об одном варианте метода конечных элементов / Р.П. Федо-ренко, Л.Г. Страховская //Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1979. - Т.19. - № 4. - С. 950-960.

28. Федорук М.П. Особенности математического моделирования сверхвысокочастотных электромагнитных полей / М.П. Федорук, Э.П. Шурина, Е.И. Михайлова // Тезисы докладов международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений». - 2013. - С. 276.

29. Фискинд Е.Э. Макроскопическая модель электрической анизотропии кристаллов / Е.Э. Фискинд //Печатается по решению редакционно-издательских советов Вятского государственного педагогического университета и Кировского областного института усовершенствования учителей. - 2000. - С. 55.

30. Харитонов А.М. О верификации и валидации моделей и методов численного моделирования пространственных течений / А.М. Харитонов // Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко. - 2011. - 7 с.

31. Шокин Ю.И. Современные многосеточные методы. Часть I. Многомасштабные методы: учеб. пособие / Ю.И. Шокин, Э.П. Шурина, Н.Б. Иткина. - Новосибирск. - 2009. - 64 с.

32. Шокин Ю.И. Современные сеточные методы: Многоуровневые методы. Применение многомасштабных методов. Учебное пособие / Ю.И. Шокин, Э.П. Шурина, Н.Б. Иткина. - Новосибирск: НГТУ. - 2012. - 100 с.

33. Шурина Э.П. Эффективный тензорный коэффициент среды с контрастными микровключениями в гармоническом режиме / Э.П. Шурина, Н.В. Штабель,

Е.И. Михайлова // Обработка информации и математическое моделирование. Российская научно-техническая конференция, Новосибирск. - 2014. - С.71-74.

34. Шурина Э.П. Моделирование электромагнитных полей в гармоническом режиме неконформными численными методами / Э.П. Шурина, Е.И. Михайлова // Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики: Тезисы докладов XX Всероссийской конференции, по-свящ. памяти К.И. Бабенко (Абрау-Дюрсо, Новороссийск, 15-20 сентября, 2014). -М.: Ин-т прикладной математики. - 2014. - С. 115.

35. Шурина Э.П. Эффективные тензорные характеристики гетерогенных сред / Э.П. Шурина, Н.В. Штабель, Е.И. Михайлова // Труды XII международной конференции актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-2014 (Новосибирск, 2-4 октября, 2014). - Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет. - 2014. - С. 164-169.

36. Эпов М.И. Моделирование высокочастотного трехмерного электромагнитного поля в областях с малыми включениями / М.И. Эпов, Э.П. Шурина, Е.И. Михайлова // Сборник научных трудов с международной конференции «Разностные схемы и их приложения», посвященной 90-летию профессора В.С. Рябенького. -2013. - С. 111-112.

37. Эпов М.И. Моделирование электромагнитного поля в неоднородных по электрофизическим свойствам средах / М.И. Эпов, Э.П. Шурина, Е.И. Михайлова // Тезисы пятой международной молодежной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач», посвященную 85-летию со дня рождения академика Анатолия Семеновича Алексеева Новосибирск, Академгородок, 8-13 октября 2013 года. - 2013. - С. 107.

38. Эпов М.И. Параллельные конечноэлементные вычислительные схемы в задачах геоэлектрики / М.И. Эпов, Э.П. Шурина, Д.А. Архипов //Вычислительные технологии. - 2013. - Т. 18. - №. 2. - С. 95-112.

39. Эпов М.И. Анализ вычислительных схем для моделирования электромагнитного поля в средах с контрастными включениями в широком диапазоне частот /

М.И. Эпов, Э.П. Шурина, Е.И. Михайлова // Вычислительные технологии. - Т.19.

- № 6. - 2014. - С. 108-121.

40. Эпов М.И. VFEMmultybasis: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015614077, авторы М.И. Эпов, Э.П. Шурина, Е.И. Михайлова; правообладатель: ИНГГ СО РАН; заявка №2015610992; поступила 19.02.15; зарегистрирована 06.04.15.

41. Эпов М.И. Модификации многомасштабного метода конечных элементов для решения задач электромагнетизма на постоянном и переменном токе / М.И. Эпов, Э.П. Шурина, Е.И. Михайлова, А.Ю. Кутищева // Совместный выпуск журналов «Вычислительные технологии» т.20 и «Вестник КазНУ» №2 3(86). - 2015.

- С.219-230.

42. Aarnes J. Multiscale discontinuous Galerkin methods for elliptic problems with multiple scales / J. Aarnes, B.O. Heimsund //Multiscale methods in science and engineering. - Springer Berlin Heidelberg. - 2005. - P. 1-20.

43. Abdulle A. The heterogeneous multiscale method / A. Abdulle, W. E, B. Engquist, E. Vanden-Eijnden // Acta Numerica. - 2012. - P. 1-87.

44. Ainsworth M. Hierarchic Finite Element Bases on Unstructured Tetrahedral Meshes / M.Ainsworthand, J. Coyle // Int. J. Num. Meth. Eng. - 2003. - Vol. 58. - № 14.

- P. 2103-2130.

45. Ainsworth M. A posteriori error estimation in finite element analysis / M. Ainsworth, J.T. Oden. - John Wiley & Sons. - 2011. - Vol. 37.

46. Albertz D. On the use of the new edge based A - A,T formulation for the calculation of time-harmonic, stationary and transient eddy current field problems / D. Albertz, G. Henneberger // Magnetics, IEEE Transactions on. - 2000. - Vol. 36. - № 4. - P. 818822.

47. Allen T. Advances in Computational Electrodynamics - The Finite Difference Time Domain Method / T. Allen //Norwood, MA: Artech House Inc. - 1998. - Vol. 15.

48. Amar M. Stability and memory effects in a homogenized model governing the electrical conduction in biological tissues / M. Amar, D. Andreucci, P. Bisegna, R. Gianni // Journal of Mechanics of Materials and Structures. - 2009. - Vol. 4. - № 2. - P. 211-223.

49. Arbogast T. A multiscale mortar mixed finite element method / T. Arbogast, G. Pencheva, M.F. Wheeler, I. Yotov // Multiscale Modeling & Simulation. - 2007. -Vol. 6. - № 1. - P. 319-346.

50. Balanis C.A. Antenna theory: A review / C.A. Balanis //Proceedings of the IEEE. - 1992. - Vol. 80. - № 1. - P. 7-23.

51. Bank R.F. Hierarchial Bases and the Finite Element Method / R.F. Bank // Department of Mathematics, University of California: Department of Mathematics.-1997.-43p.

52. Banks H.T. Estimation of Distributed Parameters in Permittivity Models of Composite Dielectric Materials Using Reflectance / H.T. Banks, J. Catenacci, S. Hu. - 2014. http: //www.ncsu.edu/crsc/reports/ftp/pdf/crsc-tr14-08. pdf

53. Barosan I. Application of mortar elements to diffuse-interface methods / I. Barosan, P.D. Anderson, H.E.H. Meijer //Computers & fluids. - 2006. - Vol. 35. - № 10. - P. 1384-1399.

54. Bassi F. High-order accurate discontinuous finite element solution of the 2D Euler equations / F. Bassi, S. Rebay //Journal of Computational Physics. - 1997. - Vol. 138. -№ 2. - P. 251-285.

55. Belytschko T. A review of extended/generalized finite element methods for material modeling / T. Belytschko, R. Gracie, G. Ventura //Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2009. - Vol. 17. - № 4. - P. 043001.

56. Bergman D.J. Macroscopic conductivity tensor of a three-dimensional composite with a one-or two-dimensional microstructure / D.J. Bergman, X. Li, Y.M. Strelniker // Physical Review B. - 2005. - Vol. 71. - № 3. - P. 035120.

57. Bermudez A. Numerical analysis of the electric field formulation of an eddy current problem / A. Bermudez, R. Rodriguez, P. Salgado // Comptes Rendus Mathematique. -

2003. - Vol. 337. - № 5. - P. 359-364.

58. Bermudez A. Numerical Analysis of Finite Element Methods for Eddy Current Problems. Applications to Electrode Simulation / A. Bermudez, R. Rodriguez, P. Salgado // Numerical Mathematics and Advanced Applications. - Springer Berlin Heidelberg. -

2004. - P. 3-19.

59. Bettess P. A numerical integration scheme for special finite elements for the Helm-holtz equation / P. Bettess, J. Shirron, O. Laghrouche, B. Peseux, R. Sugimoto, J. Trevel-yan //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2003. - Vol. 56. -№ 4. - P. 531-552.

60. Beuchler S. Sparsity optimized high order finite element functions on simplices / S. Beuchler, V. Pillwein, J. Schoberl, S. Zaglmayr - Springer Vienna. - 2012. - P. 2144.

61. Bossavit A. Solving Maxwell equations in a closed cavity, and the question of spurious modes / A. Bossavit //Magnetics, IEEE Transactions on. - 1990. - Vol. 26. - № 2.

- P. 702-705.

62. Bossavit A. «Hybrid» electric-magnetic methods in eddy-current problems / A. Bossavit // Computer methods in applied mechanics and engineering. - 1999. - Vol. 178. - № 3. - P. 383-391.

63. Brandt A. Multigrid methods in lattice field computations / A. Brandt // Nuclear Physics B-Proceedings Supplements. - 1992. - Vol. 26. - P. 137-180.

64. Brezzi F. Mimetic scalar products of discrete differential forms / F. Brezzi, A. Buffa, G. Manzini //Journal of Computational Physics. - 2014. - Vol. 257. - P. 12281259.

65. Buffa A. A justification of eddy currents model for the Maxwell equations / A. Buffa, H. Ammari, J.C. Nedelec //SIAM Journal on Applied Mathematics. - 2000. -Vol. 60. - № 5. - P. 1805-1823.

66. Butt H. FEM Modeling of Periodic Arrays of Multiwalled Carbon Nanotubes / H. Butt, T.D. Wilkinson, G.A.J. Amaratunga // Progress In Electromagnetics Research M. - 2012. - Vol. 22. - P. 1-12.

67. Caloz C. Metamaterials for high-frequency electronics / C. Caloz, T. Itoh // Proceedings of the IEEE. - 2005. - Vol. 93. - № 10. - P. 1744-1752.

68. Cangellaris A.C. Analysis of the numerical error caused by the stair-stepped approximation of a conducting boundary in FDTD simulations of electromagnetic phenomena / A.C. Cangellaris, D.B. Wright //Antennas and Propagation, IEEE Transactions on.

- 1991. - Vol. 39. - № 10. - P. 1518-1525.

69. Canouet N. Discontinuous Galerkin Time-Domain solution of Maxwell's equations on locally-refined nonconforming Cartesian grids / N. Canouet, L. Fezoui, S. Piperno // COMPEL. - 2005. - 17 p.

70. Casagrande R. DG Treatment of Non-Conforming Interfaces in 3D Curl-Curl Problems / R. Casagrande, C. Winkelmann, R. Hiptmair, J. Ostrowski // Seminar for Applied Mathematics, Switzerland. - 2014.

71. de Castro A.B. FEM for 3D eddy current problems in bounded domains subject to realistic boundary conditions. An application to metallurgical electrodes / A.B. de Castro, R. Rodriguez, P. Salgada //Archives of computational methods in engineering: state of the art reviews. - 2005. - Vol. 12. - № 1. - P. 67.

72. Catella A. An unconditionally stable discontinuous Galerkin method for solving the 2-D time-domain Maxwell equations on unstructured triangular meshes / A. Catella, V. Dolean, S. Lanteri //Magnetics, IEEE Transactions on. - 2008. - Vol. 44. - № 6. - P. 1250-1253.

73. Caldwell T.G. The magnetotelluric phase tensor / T.G. Caldwell, H.M. Bibby, C. Brown //Geophysical Journal International. - 2004. - Vol. 158. - № 2. - P. 457-469.

74. Cessenat O. Application of an ultra weak variational formulation of elliptic PDEs to the two-dimensional Helmholtz problem / O. Cessenat, B. Despres //SIAM journal on numerical analysis. - 1998. - Vol. 35. - № 1. - P. 255-299.

75. Cheng D.K. Field and wave electromagnetics / D.K. Cheng - New York : Addison-Wesley, 1989. - Vol. 2.

76. Chen Z. On finite element methods for inhomogeneous dielectric waveguides / Z. Chen, J. Yuan //JOURNAL OF COMPUTATIONAL MATHEMATICS-INTERNATIONAL EDITION-. - 2004. - Vol. 22. - № 2. - P. 188-199.

77. Cockburn B. Locally divergence-free discontinuous Galerkin methods for the Maxwell equations / B. Cockburn, F. Li, C.W. Shu //Journal of Computational Physics. -2004. - Vol. 194. - № 2. - P. 588-610.

78. Cockburn B. The development of discontinuous Galerkin methods / B. Cockburn, G.E. Karniadakis, C.W. Shu - Springer Berlin Heidelberg, 2000. - P. 3-50.

79. Collino F. Conservative space-time mesh refinement methods for the FDTD solution of Maxwell's equations / F. Collino, T. Fouquet, P. Joly //Journal of Computational Physics. - 2006. - Vol. 211. - № 1. - P. 9-35.

80. Crouzeix M. Conforming and nonconforming finite element methods for solving the stationary Stokes equations I / M. Crouzeix, P.A. Raviart //Revue française d'automatique, informatique, recherche opérationnelle. Mathématique. - 1973. - Т. 7. - № 3. - P. 33-75.

81. Dault D. The Generalized Method of Moments for Electromagnetic Boundary Integral Equations / D. Dault, N. Nair, J. Li, B. Shanker // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. - 2014. - Vol. 62. - № 6. - P. 3174 - 3188.

82. Dolean V. Optimized Schwarz method for solving time-harmonic Maxwell's equations discretized by a discontinuous Galerkin method / V. Dolean, S. Lanteri, R. Perrussel // IEEE Trans. on magnetics. - 2008. - Vol. 44. - № 6. - P. 954-957.

83. Douvalis V. Reduction of late time instabilities of the local-distorted nonorthogonal finite difference time domain method / V. Douvalis, Y. Hao, C.G. Parini //Antennas and Propagation Society International Symposium, 2002. IEEE. - IEEE, 2002. - Vol. 3.

- P. 628-631.

84. Weinan E. Heterogeneous multiscale methods: a review / E. Weinan, B. Engquist, X. Li, W. Ren, E. Vanden-Eijnden // Commun. Comput. Phys. - 2007. - Vol. 2. - № 3.

- P. 367-450.

85. Efendiev Y. Multiscale finite element methods for nonlinear partial differential equations / Y. Efendiev, T. Hou, V. Ginting //Comm. Math. Sci. - 2004. - Vol. 2. - № 4.

- P. 553-589.

86. Efendiev Y. Multiscale finite element methods: theory and applications / Y. Efendiev, T.Y. Hou - Springer Science & Business Media, 2009. - Vol. 4.

87. Elfverson D. Convergence of a discontinuous Galerkin multiscale method / D. Elfverson, E.H. Georgoulis, A. Malqvist, D. Peterseim //SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2013. - Vol. 51. - № 6. - P. 3351-3372.

88. Engquist B. Wavelet-based numerical homogenization with applications / B. Engquist, O. Runborg //Multiscale and multiresolution methods. - Springer Berlin Heidelberg, 2002. - P. 97-148.

89. Epov M.I. Elaboration and analysis of the effective tensor electrical and magnetic characteristics of heterogeneous medium with microinclusions / M.I. Epov, E.P. Shurina, N.V. Shtabel, E.I. Mikhailova // Zababakhin Scientific Talks International Conference june 02-06, 2014 Abstracts. - 2014. - P. 339.

90. Epov M.I. The medium with microinclusions: tensor effective characteristics of electrophysical properties / M.I. Epov, E.P. Shurina, N.V. Shtabel, E.I. Mikhailova // Abstracts International conference ADVANCED MATHEMATICS, COMPUTATIONS AND APPLICATIONS. - 2014. - P. 78.

91. Erlangga Y.A. On a robust iterative method for heterogeneous Helmholtz problems for geophysics applications / Y.A. Erlangga, C. Vuik, C.W. Oosterlee // Int. J. Numer. Anal. Model. v2. - 2005. - Vol. 2. - P. 197-208.

92. Fahs H. Preliminary investigation of a nonconforming discontinuous Galerkin method for solving the time-domain Maxwell equations / H. Fahs, L. Fezoui, S. Lanteri, F. Rapetti // Magnetics, IEEE Transactions on. - 2008. - Vol. 44. - № 6. - P. 1254-1257.

93. Fahs H. Development of a hp-like discontinuous Galerkin time-domain method on non-conforming simplicial meshes for electromagnetic wave propagation / H. Fahs // International Journal of Numerical Analysis and Modeling. - 2009. - Vol. 6. - № 2. - P. 193-216.

94. Farhat C. The discontinuous enrichment method / C. Farhat, I. Harari, L.P. Franca // Computer methods in applied mechanics and engineering. - 2001. - Vol. 190. - № 48.

- P. 6455-6479.

95. Farhat C. A discontinuous Galerkin method with Lagrange multipliers for the solution of Helmholtz problems in the mid-frequency regime / C. Farhat, I. Harari, U. Het-maniuk // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2003. - Vol. 192.

- № 11. - P. 1389-1419.

96. Fernandes P. Magnetostatic and electrostatic problems in inhomogeneous anisotropic media with irregular boundary and mixed boundary conditions / P. Fernandes,

G. Gilardi // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 1997. - Vol. 7. -№ 7. - P. 957-991.

97. Fernandes P. Vector potential formulation for magnetostatics and modelling of permanent magnets / P. Fernandes, I. Perugia // IMA journal of applied mathematics. - 2001.

- Vol. 66. - № 3. - P. 293-318.

98. Fortin M. A new approach for the FEM simulation of viscoelastic flows / M. Fortin, A. Fortin // Journal of non-newtonian fluid mechanics. - 1989. - Vol. 32. - № 3. - P. 295-310.

99. Fraysse V. A set of conjugate gradient routines for real and complex arithmetics / V. Fraysse, L. Giraud - Technical Report TR/PA/00/47, CERFACS, Toulouse, France, 2000. Public domain software availabe on www. cerfacs. fr/algor/Softs, 2000.

100. Garcia-Castillo L.E. Third-order Nedelec curl-conforming finite element / L.E. Garcia-Castillo, A.J. Ruiz-Genoves, M. Salazar-Palma // IEEE Trans. on magnetics. -2002. - Vol. 38. - № 5. - P. 2370-2372.

101. Geuzaine C. Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with built-in pre-and postprocessing facilities / C. Geuzaine, J.F. Remacle // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2009. - Vol. 79. - № 11. - P. 1309-1331.

102. Gibson W.C. The method of moments in electromagnetics / W.C. Gibson - CRC press, 2007.

103. Graglia R.D. Curl-conforming hierarchical vector bases for triangles and tetrahedra / R.D. Graglia, A.F. Peterson, F.P. Andriulli // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2011. - Vol. 59. - № 3. - P. 950-959.

104. Granet C. A smooth-walled spline-profile horn as an alternative to the corrugated horn for wide band millimeter-wave applications / C. Granet, G.L. James, R. Bolton, G. Moorey //Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. - 2004. - Vol. 52. - № 3.

- P. 848-854.

105. Granet C. Design of corrugated horns: a primer / C. Granet, G.L. James //Antennas and Propagation Magazine, IEEE. - 2005. - Vol. 47. - № 2. - P. 76-84.

106. Harrington R.F. Matrix methods for field problems / R.F. Harrington // Proceedings of the IEEE. - 1967. - Vol. 55. - № 2. - P. 136-149.

107. Harrington R.F. Field computation by moment methods / R.F. Harrington, J.L. Harrington - Oxford University Press, 1996.

108. Hashin Z. Theory of mechanical behavior of heterogeneous media / Z. Hashin -PENNSYLVANIA UNIV PHILADELPHIA TOWNE SCHOOL OF CIVIL AND MECHANICAL ENGINEERING, 1963. - Technical rept. no. 3.

109. Hazard C. On the absence of trapped modes in locally perturbed open waveguides / C. Hazard // IMA J Appl Math - 2014. doi: 10.1093/imamat/hxu046

110. Hesthaven J.S. High-order nodal discontinuous Galerkin methods for the Maxwell eigenvalue problem / J.S. Hesthaven, T. Warburton // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. -2004. - Vol. 362. - № 1816. - P. 493-524.

111. Hiptmair R. Symmetric coupling for eddy current problems / R. Hiptmair // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2002. - Vol. 40. - № 1. - P. 41-65.

112. Hiptmair R. Error analysis of Trefftz-discontinuous Galerkin methods for the time-harmonic Maxwell equations / R. Hiptmair, A. Moiola, I. Perugia // Mathematics of Computation. - 2013. - Vol. 82. - № 281. - P. 247-268.

113. Hollaus K. Nitsche-type Mortaring for Maxwell's Equations. / K. Hollaus, D. Feldengut, J. Schöberl, M. Wabro, D. Omeragic // Progress In Electromagnetics Research Symposium Proceedings, Cambridge, USA - 2010. - P. 397-402.

114. Hoppe R.H.W. Convergence analysis of an adaptive interior penalty discontinuous Galerkin method for the Helmholtz equation / R.H.W. Hoppe, N. Sharma // IMA Journal of Numerical Analysis. - 2012.

115. Hou T.Y. A multiscale finite element method for elliptic problems in composite materials and porous media / T.Y. Hou, X.H. Wu // Journal of computational physics. -1997. - Vol. 134. - № 1. - P. 169-189.

116. Houston P. A review of Discontinuous Galerkin methods for Maxwell's equations in frequency-domain / P. Houston, I. Perugia, D. Schotzau // ECCOMAS. 2004. P. 1-16.

117. Houston P. Mixed Discontinuous Galerkin Approximation of the Maxwell Operator / P. Houston, I. Perugia, D. Schotzau // SIAM J. Numer. Anal. - 2004. - Vol. 42. - № 1. - p. 434-459.

118. Huttunen T. Computational aspects of the ultra-weak variational formulation / T. Huttunen, P. Monk, J.P. Kaipio // Journal of Computational Physics. - 2002. - Vol. 182. - № 1. - P. 27-46.

119. Huttunen T. Solving Maxwell's equations using the ultra weak variational formulation / T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk // Journal of Computational Physics. - 2007. - Vol. 223. - № 2. - P. 731-758.

120. Jin J.M. Finite element analysis of antennas and arrays / J.M. Jin, D.J. Riley - John Wiley & Sons, 2009.

121. Jirousek J. Survey of Trefftz-type element formulations / J. Jirousek, A.P. Zielinski // Computers & structures. - 1997. - Vol. 63. - № 2. - P. 225-242.

122. Juanes R. A variational multiscale finite element method for multiphase flow in porous media / R. Juanes // Finite elements in analysis and design. - 2005. - Vol. 41. -№ 7. - P. 763-777.

123. Kangarlu A. Biological effects and health implications in magnetic resonance imaging / A. Kangarlu, P.M.L. Robitaille // Concepts in magnetic resonance. - 2000. - Vol. 12. - № 5. - P. 321-359.

124. Kanschat G. Robust smoothers for high order discontinuous Galerkin discretizations of advection-diffusion problems / G. Kanschat // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2008. - Vol. 218. - № 1. - P. 53-60.

125. Karahan M. Coupled electrical and thermal analysis of power cables using finite element method / M. Karahan, O. Kalenderli // VS Vikhrenko, Heat Transfer-Engineering Applications, InTech. - 2011. - P. 205-230.

126. Kettunen L. Formulation of the eddy current problems in multiply connected regions in terms of h / L. Kettunen, K. Forsman, A. Bossavit // International journal for numerical methods in engineering. - 1998. - Vol. 41. - № 5. - P. 935-954.

127. Kevrekidis I.G. Equation-free, coarse-grained multiscale computation: Enabling mocroscopic simulators to perform system-level analysis / I.G. Kevrekidis, C.W. Gear, J.M. Hyman, P.G. Kevrekidid, O. Runborg, C. Theodoropoulos // Communications in Mathematical Sciences. - 2003. - Vol. 1. - № 4. - P. 715-762.

128. Koshiba M. Improved finite-element formulation in terms of the magnetic field vector for dielectric waveguides / M. Koshiba, K. Hayata, M. Suzuki // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on. - 1985. - Vol. 33. - № 3. - P. 227-233.

129. Koshiba M. A vector finite element method with the high-order mixed-interpolation-type triangular elements for optical waveguiding problems / M. Koshiba, S. Maruyama, E. Hirayama // Lightwave Technology, Journal of. - 1994. - Vol. 12. - №2 3. - P. 495-502.

130. Kraus J. Generalized hierarchical bases for discontinuous Galerkin discretizations of elliptic problems with highly varying coefficients / J. Kraus, S. Margenov // Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics: Department of Mathematics. - 2008. - 25 p.

131. Krysl P. Natural Hierarchical Refinement for Finite Element Methods / P. Krysl, E. Grinspun, P. Shroder // International Journal for Numerical Methods in Engineering.

- 2003. - Vol. 56. - № 8. - P. 1109-1124.

132. König M. Stretched-coordinate PMLs for Maxwell's equations in the discontinuous Galerkin time-domain method / M. König, C. Prohm, K. Busch, J. Niegemann // Optics express. - 2011. - Vol. 19. - № 5. - P. 4618-4631.

133. Lanteri S. Convergence of a discontinuous Galerkin scheme for the mixed timedomain Maxwell's equations in dispersive media / S. Lanteri, C. Scheid // IMA Journal of Numerical Analysis. - 2013. - Vol. 33. - № 2. - P. 432-459.

134. Lebedev V.I. Difference analogues of orthogonal decompositions, basic differential operators and some boundary problems of mathematical physics. II / V.I. Lebedev // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1964. - Vol. 4. - № 4.

- P. 36-50.

135. Lee J.F. Time-domain finite-element methods / J.F. Lee, R. Lee, A. Cangellaris // IEEE transactions on antennas and propagation. - 1997. - Vol. 45. - № 3. - P. 430-442.

136. Lesaint P. On a finite element method for solving the neutron transport equation / P. Lesaint, P.A. Raviart - Univ. Paris VI, Labo. Analyse Numérique, 1974. - P. 89-123.

137. Li L. Solution to 3-D electromagnetic problems discretized by a hybrid FEM/MOM method / L. Li, T.Z. Huang, G.H. Cheng, Y.F. Jing, Z.G. Ren, H.B. Li // Computer Physics Communications. - 2013. - Vol. 184. - № 1. - P. 73-78.

138. Li L. A hybridizable discontinuous Galerkin method combined to a Schwarz algorithm for the solution of 3D time-harmonic Maxwell's equation / L. Li, S. Lanteri, R. Per-russel // Journal of Computational Physics. - 2014. - Vol. 256. - P. 563-581.

139. Liapine A. Resonant cavities as beam position monitors / A. Liapine - Switzerland, 2004. - 94 p.

140. Lipnikov K. The mimetic finite difference method for the 3D magnetostatic field problems on polyhedral meshes / K. Lipnikov, G. Manzini, F. Brezzi, A. Buffa // Journal of Computational Physics. - 2011. - Vol. 230. - № 2. - P. 305-328.

141. Logan D.L. A First Course in the Finite Element Method - Fourth Edition / D.L. Logan - Ontario: Thomson, 2011.

142. Mackenzie A.I. Electromagnetic scattering from arbitrarily shaped dielectric bodies using paired pulse vector basis functions and method of moments / A.I. Mackenzie, S.M. Rao, M.E. Baginski // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. - 2009. -Vol. 57. - № 7. - P. 2076-2083.

143. Mikhailova E. Higher order hierarchical tetrahedral vector finite elements for electromagnetic modeling / E. Mikhailova // Progress through innovative technologies -2012. - P.69.

144. Monk P. Finite Element Methods for Maxwell's Equations / P. Monk - Oxford University Press. - 2003. - 465 p.

145. Montseny E. A Discontinuous Galerkin Method To Solve Maxwell Equations In Time Domain / E. Montseny, S. Pernet, X. Ferrieres, M. Zweers, G. Cohen, B. Pecqueux // ACES. - 2007. - 8 p.

146. Moya L. Temporal convergence of a locally implicit discontinuous Galerkin method for Maxwell's equations / L. Moya // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. - 2012. - Vol. 46. - № 05. - P. 1225-1246.

147. Nair N.V. Generalized method of moments: A flexible discretization scheme for integral equations using locally smooth surface approximations / N.V. Nair, B. Shanker,

L. Kempel // Microwaves, Communications, Antennas and Electronics Systems (COM-CAS), 2011 IEEE International Conference on. - IEEE, 2011. - P. 1-4.

148. Nechaev O.V. Multilevel iterative solvers for the edge finite element solution of the 3D Maxwell equation / O.V. Nechaev, E.P. Shurina, M.A. Botchev // Computers and mathematics with application. - 2008. - № 55. - P. 2346-2362.

149. Nedelec J.C. Mixed finite elements in R3 / J.C. Nedelec // Numer. Math. - 1980. -Vol. 35. - № 3. - P. 315-341.

150. Nedelec J.C. A new family of mixed finite elements in R3 / J.C. Nedelec // Nu-mer.Math. - 1986. - Vol. 50. - № 1. - P. 57-81.

151. Niyonzima I. Multiscale finite element modeling of nonlinear quasistatic electromagnetic problems: dis. / I. Niyonzima - Université de Liège, Belgique - 2014. - 132 p.

152. Oden J.T. Historical comments on finite elements / J.T. Oden //A history of scientific computing. - ACM, 1990. - P. 152-166.

153. Ouchetto O. Homogenization of structured electromagnetic materials and metamaterials / O. Ouchetto, S. Zouhdi, A. Bossavit, G. Griso, B. Miara, A. Razek // Journal of materials processing technology. - 2007. - Vol. 181. - № 1. - P. 225-229.

154. Overhauser A. Anomalous Effects in Simple Metals / A. Overhauser - John Wiley & Sons. - 2011.

155. Pardo E. Magnetic flux penetration and AC loss in a composite superconducting wire with ferromagnetic parts / E. Pardo // Superconductor Science and Technology. -2009. - Vol. 22. - № 3. - P. 034017.

156. Pellerin L. Applications of electrical and electromagnetic methods for environmental and geotechnical investigations / L. Pellerin // Surveys in Geophysics. - 2002. - Vol. 23. - № 2-3. - P. 101-132.

157. Peraire J. The Compact Discontinuous Galerkin (CDG) Method for Elliptic Problems / J. Peraire, P.O. Persson // SIAM J. Sci.Comput. - 2008. - Vol. 30. - № 4. - P. 1806-1824.

158. Perrey-Debain E. Plane-wave basis finite elements and boundary elements for three-dimensional wave scattering / E. Perrey-Debain, O. Laghrouche, P. Bettess, J. Tre-velyan // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 2004. - Vol. 362. - № 1816. - P. 561-577.

159. Perugia I. A mixed formulation for 3D magnetostatic problems: theoretical analysis and face-edge finite element approximation / I. Perugia // Numerische Mathematik. -1999. - Vol. 84. - № 2. - P. 305-326.

160. Perugia I. The hp-local discontinuous Galerkin method for low-frequency time-harmonic Maxwell equations / I. Perugia, D. Schotzau // Math. Comp. - 2003. - Vol. 72. - P. 1179-1214.

161. Pinto H.D. Implementation and experiments with the discontinuous Galerkin method for Maxwell's equations: dis. / H.D. Pinto - University of Illinois at Urbana-Champaign, 2009. - 81 p.

162. Quarteroni A. Domain decomposition methods for partial differential equations numerical mathematics and scientific computation / A. Quarteroni, A. Valli - New York : Oxford University Press. - 1999.

163. Rahman B.M.A. Penalty function improvement of waveguide solution by finite elements / B.M.A. Rahman, B.J. Davies // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on. - 1984. - Vol. 32. - № 8. - P. 922-928.

164. Rawle W.D. The Method of moments: a numerical technique for wire antenna design / W.D. Rawle // High Frequency Electronics. - 2006. - Vol. 5. - P. 42-47.

165. Reed W.H. Triangular mesh Methods for the Neutron transport equation / W.H. Reed, T.R. Hill // Los Alamos Report LA-UR-73-479. - 1973.

166. Richter G.R. The discontinuous Galerkin method with diffusion / G.R. Richter // Mathematics of computation. - 1992. - Vol. 58. - № 198. - P. 631-643.

167. Rieben R.N. A high order mixed vector finite element method for solving the time dependent Maxwell equations on unstructured grids / R.N. Rieben, G.H. Rodrigue, D.A. White // Journal of Computational Physics. - 2005. - Vol. 204. - № 2. - P. 490519.

168. Rodrigue G. A vector finite element time-domain method for solving Maxwell's equations on unstructured hexahedral grids / G. Rodrigue, D. White // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2001. - Vol. 23. - № 3. - P. 683-706.

169. Rodriguez A.A. Mixed finite element approximation of eddy current problems / A.A. Rodriguez, R. Hiptmair, A. Valli // IMA journal of numerical analysis. - 2004. -Vol. 24. - № 2. - P. 255-271.

170. Rosenberg D. Geophysical-astrophysical spectral-element adaptive refinement (GASpAR): Object-oriented h-adaptive fluid dynamics simulation / D. Rosenberg, A. Fournier, P. Fischer, A. Pouquet // Journal of Computational Physics. - 2006. - Vol. 215. - № 1. - P. 59-80.

171. Sarmany D. High-order finite element approximations of the Maxwell equations. Dissertation / D. Sarmany - University of Twente, the Netherlands. - 2010. - 142 p.

172. Sarmany D. Optimal penalty parameters for symmetric discontinuous Galerkin discretisations of the time-harmonic Maxwell equations / D. Sarmany, F. Izsak, J.J.W. van der Vegt // Journal of Scientific Computing. - 2010. - Vol. 44. - № 3. - P. 219-254.

173. Schoberl J. High order Nedelec elements with local complete sequence properties / J. Schoberl, S. Zaglmayr // COMPEL. - 2005. - Vol. 24. - № 2. - P.374-384.

174. Silvester P. Finite element solution of homogeneous waveguide problems / P. Silvester //Alta Frequenza. - 1969. - Vol. 38. - P. 313-317.

175. Shurina E. The Calculation of the Effective Tensor Coefficient of the Medium for the Objects with Microinclusions / E. Shurina, M. Epov, N. Shtabel, E. Mikhaylova // Engineering. - 2014. - Vol. 6. - № 03. - P. 101-112. doi: 10.4236/eng.2014.63014.

176. Shurina E.P. Effective tensor characteristics for heterogeneous media / E.P. Shurina, N.V. Shtabel, E.I. Mikhaylova // Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-2014): тр. 12 междунар. конф., Новосибирск, 2-4 окт. 2014 г. : в 7 т. - Новосибирск. - 2014. - Т. 1. - С. 611-616.

177. Solin P. Higher-order finite element methods / P. Solin, K. Segeth, I. Dolezel -CRC Press. - 2004. - 408 p.

178. Soukoulis C.M. Past achievements and future challenges in the development of three-dimensional photonic metamaterials / C.M. Soukoulis, M. Wegener // Nature Photonics. - 2011. - Vol. 5. - № 9. - P. 523-530.

179. Strouboulis T. The generalized finite element method / T. Strouboulis, K. Copps, I. Babuska // Computer methods in applied mechanics and engineering. - 2001. - Vol. 190. - № 32. - P. 4081-4193.

180. Strouboulis T. The generalized finite element method for Helmholtz equation: theory, computation, and open problems / T. Strouboulis, I. Babuska, R. Hidajat // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2006. - Vol. 195. - № 37. - P. 47114731.

181. Strouboulis T. Partition of unity method for Helmholtz equation: q-convergence for plane-wave and wave-band local bases / T. Strouboulis, R. Hidajat //Applications of Mathematics. - 2006. - Vol. 51. - № 2. - P. 181-204.

182. Sukumar N. Modeling holes and inclusions by level sets in the extended finite-element method / N. Sukumar, D.L. Chopp, N. Moes, T. Belytschko // Computer methods in applied mechanics and engineering. - 2001. - Vol. 190. - № 46. - P. 6183-6200.

183. Sun W. A transparent metamaterial to manipulate electromagnetic wave polarizations / W. Sun, Q. He, J. Hao, L. Zhou // Optics letters. - 2011. - Vol. 36. - № 6. - P. 927-929.

184. Suter E. A subdomain multilevel approach for the efficient MoM analysis of large planar antennas / E. Suter, J.R. Mosig // Microwave and Optical Technology Letters. -2000. - Vol. 26. - № 4. - P. 270-277.

185. Tai X.C. A discrete de Rham complex with enhanced smoothness / X.C. Tai, R. Winther // Calcolo. - 2006. - Vol. 43. - № 4. - P. 287-306.

186. Tausch J. Improved integral formulations for fast 3-D method-of-moments solvers / J. Tausch, J. Wang, J. White // Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, IEEE Transactions on. - 2001. - Vol. 20. - № 12. - P. 1398-1405.

187. Teixeira F.L. Time-domain finite-difference and finite-element methods for Maxwell equations in complex media / F.L. Teixeira // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. - 2008. - vol. 56. - № 8. - P. 2150-2166.

188. Tezaur R. The discontinuous enrichment method for medium-frequency Helmholtz problems with a spatially variable wavenumber / R. Tezaur, I. Kalashnikova, C. Farhat // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2014. - Vol. 268. - P. 126140.

189. Turkel E. On the construction of a high order difference scheme for complex domains in a Cartesian grid / E. Turkel, A. Yefet // Applied Numerical Mathematics. - 2000.

- Vol. 33. - № 1. - P. 113-124.

190. Tzoulis A. A hybrid FEBI-MLFMM-UTD method for numerical solutions of electromagnetic problems including arbitrarily shaped and electrically large objects / A.Tzou-lis, T.F. Eibert // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. - 2005. - Vol. 53. -№ 10. - P. 3358-3366.

191. Vanden-Eijnden E. Fast Communications: Numerical techniques for multi-scale dynamical systems with stochastic effects / E. Vanden-Eijnden // Communications in Mathematical Sciences. - 2003. - Vol. 1. - № 2. - P. 385-391.

192. da Veiga L.B. High-order nodal mimetic discretizations of elliptic problems on polygonal meshes / L.B. da Veiga, K. Lipnikov, G. Manzini // Submitted to SIAM J. Numer. Anal.(also IMATI-CNR Technical Report 32PV10/30/0, 2010). - 2010.

193. da Veiga L.B. Basic principles of virtual element methods / L.B. da Veiga, F. Brezzi, A. Cangiani, G. Manzini, L.D. Marini, A. Russo // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2013. - Vol. 23. - № 01. - P. 199-214.

194. Von Hippel A.R. Dielectric materials and applications / A.R. Von Hippel - Artech House on Demand. - 1954. - Vol. 2.

195. Vrba J. Temperature and Frequency Dependent Empirical Models of Dielectric Properties of Sunflower and Olive Oil / J. Vrba, D. Vrba // RADIOENGINEERING. -2013. - Vol. 22. - № 4. - P. 1281.

196. Wang H. Application of hierarchical higher-order tangential vector finite elements in a hybrid FEM/MoM method / H. Wang, C. Guo, T.H. Hubing // APPLIED COMPUTATIONAL ELECTROMAGNETICS SOCIETY JOURNAL. - 2003. - Vol. 18. - № 1.

- P. 1-11.

197. Ward B.G. Bend performance-enhanced photonic crystal fibers with anisotropic numerical aperture / B.G. Ward // Optics Express. - 2008. - Vol. 16. - № 12. - P. 85328548.

198. Watanabe N. Lower-dimensional interface elements with local enrichment: application to coupled hydro-mechanical problems in discretely fractured porous media / N. Watanabe, W. Wang, J. Taron, U.J. Görke, O. Kolditz // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2012. - Vol. 90. - № 8. - P. 1010-1034.

199. Webb J.P. Hierarchal scalar and vector tetrahedra / J.P. Webb // IEEE Transactions on magnetics- 1993. - Vol. 29. - № 2. - P. 1495-1498.

200. Webb J.P. Hierarchal vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral finite elements / J.P. Webb // IEEE Trans. on antennas and propagation. -1999. - Vol. 47. - № 8. - P. 1244-1253.

201. Weinan E. Heterogeneous multiscale methods: a review / E. Weinan, B. Engquist, X. Li, W. Ren, E. Vanden-Eijnden // Commun. Comput. Phys. - 2007. - Vol. 2. - № 3.

- P. 367-450.

202. Wellford L.C. Discontinuous finite-element approximations for the analysis of shock waves in nonlinearly elastic materials / L.C. Wellford, J.T. Oden // Journal of Computational Physics. - 1975. - Vol. 19. - № 2. - P. 179-210.

203. Wheeler M.F. An elliptic collocation-finite element method with interior penalties / M.F. Wheeler // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1978. - Vol. 15. - № 1. - P. 152-161.

204. Yee K.S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media / K.S. Yee // IEEE Trans. Antennas Propag. - 1966.

- Vol. 14. - № 3. - P. 302-307.

205. Yioultsis T.V. Development and implementation of second and third order vector finite elements in various 3-D electromagnetic field problems / T.V. Yioultsis, T.D. Tsi-boukis // Magnetics, IEEE Transactions on. - 1997. - Vol. 33. - № 2. - P. 1812-1815.

206. Zaghdani A. An hp-Discontinuous Galerkin method for the time dependent Maxwell's equations / A. Zaghdani, C. Daveau // soumisa NUMPDE.-2007. - Vol. 96. - 5 p.

207. Zhang Y. Multiscale numerical algorithm for 3D Maxwell's equations with memory effects in composite materials / Y. Zhang, L. Cao, W. Allegretto, Y. Lin // Int. J. Numer. Anal. Model. Ser. A. v1. - 2011. - P. 41-57.

208. Zhang Y. Multi-scale discontinuous Galerkin method for solving elliptic problems with curvilinear unidirectional rough coefficients / Y. Zhang, W. Wang, J. Guzman, C.W. Shu // Journal of Scientific Computing. - 2014. - Vol. 61. - № 1. - P. 42-60.

155

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ Базисные функции Вебба.

Таблица А.1 - Бё§е-функции

1 порядок, ротор- 1 порядок, гради- 2 порядок,гради- 3 порядок, гради-

ные ентные ентные ентные

ХУХ—ХУХ ХУХ + ХУХ У(ХХ(Х — X)) У(ХХ(Х — X)')

ХУХ—ХУХ ХУХ + ХУХ У(ХХ(Х — X)) У(ХХ (Х—Х )2)

ХУХ—ХУХ ХУХ + ХУХ У(ХХ(Х —X)) У(ХХ(Х — X)2)

ХУХ — ХУХ ХУХ + ХУХ У(ХХ(Х — ХХ> У(ХХ(Х —Х3)2)

ХУХ — ХУХ ХУХ + ХУХ У(ХХ(Х — Х4)) У(ХХ(Х —Х4)2)

ХУХ — ХУХ ХУХ + ХУХ У(ХХ(Х — X)) У(ХХ(Х —^)2)

Таблица А.2 - Расе-функции

2 порядок, роторные 2 порядок, градиентные 3 порядок, роторные 3 порядок,градиентные

—2ХХУХ + ХХУХ + ХХУХ У( XXX) ХХ( — X) УХ3 У(ХХХ (Х—Х))

—2ХХУХ + ХХУХ + ХХУХ У( XXX) ХХ (Х — Х) У^ У(ХХХ (Х—Х))

—2ХХУХ + ХХУХ + ХХУХ У( XXX) ХХ (Х — Х) УХ У(ХХХ(Х — X))

—2ХХУХ + ХХУХ + ХХУХ У( XXX) ХХ( — А,2) УХ4 У(ХХХ(Х — X))

—2ХХУХ + ххух + ХХУХ ХХ( Х — X) УХ У(ХХХ(Х — X))

—2ХХУХ + ХХУХ + ХХУХ ХХ( X — X) УХ У(ХХХ(Х — X))

—2ХХУХ + ХХУХ + ХХУХ ХХ (Х — Х) УХ У(ХХХ(Х — X))

—2ХХУХ + ХХУХ + ХХУХ ХХ( Х — X) ух ХХ (Х — Х) УХ ХХ (Х — Х) УХ ХХ( X — X) УХ ХХ (Х — Х) УХ У(ХХХ(Х — X))

Таблица А.3 - Уо1ише-функции

3 порядок, роторные 3 порядок, градиентные

хххух У( ХХХХ)

хххух

хххух

Базисные функции на основе полиномов Лежандра

Таблица А. 4 - Бё§е-функции

1 порядок, роторные 1 порядок, градиентные 2 порядок, градиентные 3 порядок, градиентные

ХУХ2-Х2УХ У(-2ХХ) У(2ХХ (Х2-Х )) у (-2X1X2 (х2 - 3X1X2+Х2))

ХУХ3-Х3УХ У(-2ХХ ) У(2ХХ (X -X )) у(-2хх (Х2 - зх^ +х2))

ХУХ4-Х4УХ У(-2^1^4) У(2^1X4(^4 -x)) У(-2Х1Х4(Х?- ЗХ1Х4 +Х2))

Х2УХ3 - Х3УХ2 У(-2^2 x) У(2^2^З(ХЗ -Х2)) У(-2Х2Х3 (Х2 - 3Х2Х3 + Х3))

Х2УХ4 - Х4УХ2 У(-2^2 Х4) У^ХДХ, -Х2)) у(-2Х2Х4 (Х2 - ЗХ2Х4+Х2))

Х3УХ4 - Х4УХ3 У (-2Х3Х4) У(2X3X4(Х4 -Х3)) у(-2х3х4 (Х2 - Зх3х +х2))

Таблица А. 5 - Расе-функции

2 порядок, роторные 2 порядок, градиентные 3 порядок, градиентные

(х2ух -ХУХ2 )Х3 У(-2ХХХ) У(-2ХХХ (X -X -X))

У(-2ХХ )Х3 + 2ХХ2УХ3 У (-2X1X2X3) У(2ХХХ (X -X))

(х2ух -хух2 )Х4 У (-2X1X3X4) У^Х^^ -х -Х2))

У(-2ХХ )Х + 2ХХ2УХ4 У (-2X2 Х3Х4) У(2X1X2X4 (Х2 -Х1))

(Х3УХ -ХУХ3 )Х4 У (-2X1X3X4 (Х4-Х1 -Хз))

У(-2ХХ )Х + 2ХХ3УХ4 У(2ХХХ (Х-Х))

(хЗуХ2 ^Ух) У(-2X2X3X4(Х4 - Х2 - хЗ))

У(-2Х2Х3 )Х + 2Х2Х3УХ4 У(2X2X3X4 (хз -Х2))

3 порядок, роторные

X (X - X - Х2 )У(-2ХХ) + 2Х1Х2У(Х3 (X - X - Х2))

ХУ(2ХХ2 (Х2 - \ )) - 2ХХ (Х2 - \ )УХ

(Х2УХ - ХУХ2 )Х (X - X - X )

X (X - X - X )У(-2ХХ) + 2Х1Х2У(Х (X - X - Х2))

Х4У(2ХХ2 (X - X )) - 2ХХ (Х2 - ^ )УХ

X (X - X - X )У(-2ХХ ) + 2Х1Х3У(Х (X - X - Х3 ))

Х4У(2ХХ (Х3 - ^ )) - 2ХХ (Х3 - \ )УХ

(Х3УХ - ХУ X )Х (X - X - X )

X (X - X - Х3 )У(-2Х2Х3 ) + 2Х2ХУ(Х4 (X - Х2 - Х3 ))

Х4У(2Х2Х3 (Х3 - Х2)) - 2Х2Х3 (X - X )УХ

(Х3УХ2 - Х2УХ3 )Х4 (X - X - X )

3

4

Таблица А. 6 - Уо1ише-функции

3 порядок, роторные 3 порядок, градиентные

У(—2ХХ )ХХ + 2ХХХУХ — 2ХХХУХ У(—2ХХХХ)

У(—2ХХ )ХХ + 2ХХХУХ + 2ХХХУХ

((УХ — ХУХ )ХХ4

Интерполяционные базисные функции Edge-функции

(45Х3 — 45X2 + 9Х )УХ + (—45Х2Х + 30ХХ — 3Х2 )УХ

(45X3 — 45X2 + 9Х )УХ + (—45Х2Х + 30ХХ — 3Х )УХ

(45X3 — 45X2 + 9Х )УХ + (—45Х2Х + 30ХХ — 3Х4 )УХ

(45Х3 — 45X2 + 9Х )УХ + (—45Х2Х + 30ХХ — 3Х )УХ

(45Х3 — 45X2 + 9Х )УХ + (—45Х2Х + 30Х2Х4 — 3Х4 )УХ

(45X3 — 45X2 + 9Х )УХ + (—45Х2Х + 30ХХ — 3Х4 )УХ

(45Х3 + 180Х2Х + 45ХХ 2 — 75Х2 — 90ХХ + 24Х )УХ +

+(—45Х3 — 180Х2Х — 45ХХ + 75Х 2 + 90ХХ — 24Х )УХ (45Х3 +180Х12Х3 + 45ХХ2 — 75Х2 — 90ХХ + 24Х )УХ + +(—45Х — 180Х 2Х — 45Х3Х 2 + 75Х32 + 90ХХ — 24Х3 )УХ (45Х3 + 180Х2Х + 45ХХ 2 — 75X2 — 90ХХ + 24Х )УХ + +(—45X3 — 180Х2Х — 45ХХ2 + 75Х 2 + 90Х4Х — 24Х )УХ (45X3 + 180Х2Х + 45Х2Х 2 — 75Х 2 — 90ХХ + 24Х )УХ + +(—45X3 — 180Х2Х — 45ХХ 2 + 75X2 + 90ХХ — 24Х )УХ (45X3 +180Х2Х + 45ХХ 2 — 75Х 2 — 90ХХ + 24Х )УХ + +(—45X3 — 180Х 2Х — 45ХХ 2 + 75Х 2 + 90Х4Х2 — 24Х )УХ (45X3 + 180Х2Х + 45ХХ 2 — 75X2 — 90ХХ + 24Х3 )УХ + +(—45X3 — 180Х2Х — 45ХХ? + 75Х 2 + 90ХХ — 24Х4 )УХ (—45X3 + 45X2 — 9Х )УХ + (45Х2Х — 30ХХ + 3Х )УХ (—45X3 + 45X2 — 9Х )УХ + (45Х2Х — 30ХХ + 3Х )УХ (—45X3 + 45X2 — 9Х )УХ + (45Х2Х — 30ХХ + 3Х4 )УХ (—45X3 + 45X2 — 9Х )УХ + (45Х2Х — 30Х2Х + 3Х )УХ (—45X3 + 45X2 — 9Х )УХ + (45Х2Х — 30Х2Х4 + 3Х4 )УХ (—45X3 + 45X2 — 9Х )УХ + (45Х2Х — 30ХХ + 3Х )УХ

Еяее-функции

(—270ХХ2 + 90ХХ )УХ + (90Х2Х — 30ХХ )УХ + (180ХХХ — 30ХХ )ух2 (—270ХХ2+90ХХ )УХ + (90Х22—30ХХ )УХ + (180ХХХ—30ХХ )ух2

■270X2X2 + 90XX)VX3 + (90X2X3 - 30XX)VX + (180XXX - 30XX)VXt -270XX2 + 90XX)VX + (90X2X2 - 30XX)VX + (180X3XX - 30XX)VXt

-270XX2 + 90XX )vx2+(90x2x2 - 30XX )vx + (180XXX - 30XX )vx3 ■270XX2+90x2x3 )vx+(90X2X! - 30XX )vx2 + (180XXX - 30XX )vx3 ■270XX2 + 90XX)VX + (90X2X4 - 30X2X4)VX + (180XXX - 30XX)VX2 -270XX2 + 90X4X2)VX + (90X2X1 - 30XX )VX + (180XXX - 30X4X)VX2

■270XX2+90XX )vx4+(9ox2x4 - 3oxx )vx2 + (180XXX - 3ox2x4 )VX ■270XX2+90XX )vx2+(9ox2x2 - 3oxx )VX + (180XXX - 3ox4x2 )vxt -270XX2+9oxx )vx2 + (9ox2x2 - 3ox4x2 )VX + (180XXX - 3oxx )vx4

270X2X2 + 90X2X4)VX + (90X2X1 - 30XX )VX + (180X2X4X - 30XX)VX4 ■270XX2 + 90XX)VX + (90X2X4 - 30X3X4)VX + (180XXX - 30XX)VX -270XX2 + 90X4X3)VX + (90X2X! - 30XX)VX + (180XXX - 30XX)VX -270XX2 + 90XX)VX4 + (90X2X4 - 30XX)VX + (180X3XX - 30XX)VXi ■270XX2 + 90XX )vx3 +(90x2x3 - 30XX )vx4 + (180XXX - 30XX )vxt -270XX2+90XX )vx3 + (90x2x3 - 30XX )vx + (180XXX - 30Xtx )vx4

-270XX2 + 90X3X4)VX + (90X2X! - 30XX)VX + (180XXX - 30X3X )VX4 270X2X2 + 90X2X3)VX + (90X2X4 - 30X3X4 )VX2 + (180XXX - 30X2X4 )VX 270XX2 + 90X4X3)VX2 + (90X2X2 - 30X3X2 )VX4 + (180XXX - 30X4X2 )VX

3x4 , ^wv^v^-vl I v-'^'YI 1

2 + 90X2X3)VX4 + (90X2X4 3ox3x4) т x2 1 (l8Gx2xзx4 3ox2x4) т x3

2+ 90X4X3)VX2 + (90X2x2 30x3x2)^x4 , (180x4x3x2 30x4x2)^x3

-270X3X2 + 90X3X2)VX4 + (90X2X4 - 30X2X4)VX + (180X3X2X4 - 30X3X4 )VX2 270XX2 + 90X4X2)VX3 + (90X22 - 30X2X3)VX4 + (180XXX - 30X4X3)VX2 270X2X2 + 90X2X4)VX3 + (90X22 - 30X4X3)VX + (180X2X4X3 - 30X2X3)VX4

-270X3X2 + 90X3X4 )vx2 + (9ox2x2 - 3ox4x2 )vx+(180X3X4X2 - 30X3X2 )vx4

Volume-функции

540X3X3X4 vx - 180XXXVX - 180XXXVX - 180XXXVX 540XXXVX - 180XXXVX - 180XXXVX - 180X3X2X^X4 540XXXVX - 180X4X2X3VX - 180XXXiVX -180X^3X2vx4

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. СВИДЕТЕЛЬСТВО О ГОСУДАРСТВЕННОЙ РЕГИСТРАЦИИ ПРОГРАММЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ В. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ, ВЫВЕДЕННАЯ ПО ЗАДАННОМУ ПРОФИЛЮ

а) проводящие включения, частота f = 100 кГц

б) диэлектрические включения, частота f = 100 кГц

в) проводящие включения, частота f = 7 ГГц

г) диэлектрические включения, частота f = 100 кГц

Рисунок В.1 - Действительная компонента Еъ, выведенная по профилю X (у = 0,03; ъ = 0,0111) через центры включений.

а) Частота f = 10 кГц

б) Частота f = 10 ГГц

Рисунок В.2 - Действительная компонента Еъ, выведенная по профилю X (у = 0,0055; ъ = 0,011) через центры включений. Включения расположены регулярно

а) Частота f = 10 кГц

б) Частота f = 10 ГГц

Рисунок В.3 - Действительная компонента Еъ, выведенная по профилю X (у = 0,0055; ъ = 0,011). Включения расположены нерегулярно

а) Частота f = 10 кГц

б) Частота f = 10 ГГц

Рисунок В.4 - Действительная компонента Еъ, выведенная по профилю X (у = 0,0055; ъ = 0,011). Параллелепипеидальные включения расположены нерегулярно

а) Частота f = 10 кГц

б) Частота f = 10 ГГц

Рисунок В.5 - Действительная компонента Ех, выведенная по профилю У (х = 0,005; ъ = 0,014). Водонасыщенная трещиноватая среда

а) Частота f = 10 кГц

б) Частота f = 10 ГГц

Рисунок В.6 - Действительная компонента Ex, выведенная по профилю У (х = 0,005; ъ = 0,014). Нефтенасыщенная трещиноватая среда

а) Частота f = 10 кГц

б) Частота f = 2,25 ГГц

Рисунок В.7 - Действительная компонента Ex, выведенная по профилю У (х = 0,005; ъ = 0,011) через центры включений. Водонасыщенная пористая среда

а) Частота f = 10 кГц

б) Частота f = 2,25 ГГц

Рисунок В.8 - Действительная компонента Ех, выведенная по профилю У (х = 0,005; ъ = 0,067) над включениями. Водонасыщенная пористая среда