Исследование и численное решение некоторых классов вырожденных систем уравнений в частных производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гайдомак, Светлана Валерьевна

• Гайдомак, Светлана Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гайдомак, Светлана Валерьевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ АДС МЕТОДОМ

СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ

§1.1 Некоторые сведения о постоянных матрицах и их пучках

§1.2 Некоторые сведения о переменных матрицах и их пучках .3G

§1.3 Сходимость метода сплайн-коллокации для линейной АДС

§1.4 Сходимость метода сплайн-коллокации для квазилинейной АДС

§1.5 Основные результаты главы

ГЛАВА 2. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§2.1 Постановка задачи. Индекс системы

§2.2 Системы не типа Коши-Ковалсвской с постоянными коэффициентами. Теоремы существования .GO

§2.3 Теорема о существовании решения системы интегро-дифферепциальных уравнений.G

§2.4 Существование решения граничных задач для систем не типа Коши-Ковалевской с переменными коэффициентами.

§2.5 Основные результаты главы

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИРПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ВЫРОЖДЕННОЙ МАТРИЦЕЙ В ГЛАВНОЙ ЧАСТИ

§3.1 Метод прямых. Доказательство сходимости

§3.2 Метод сеток. Доказательство сходимости

§3.3 Численные эксперименты

§3.4 Решение прикладных задач

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и численное решение некоторых классов вырожденных систем уравнений в частных производных»

1. Предисловие

Одним из наиболее распространенных эффективных методов исследования в различных областях знаний: физики, биологии, экономики и т.д. является математическое моделирование. Математическая модель ориентирована на анализ изучаемых процессов и их прогнозирование. Часто модель представляет собой систему уравнений в частных производных, разрешенную относительно старшей производной искомой вектор-функции, описывающей изменение во времени и пространстве тех или иных характеристик исследуемого процесса. Такие системы принято называть системами, приведенными к нормальной форме (форме Коши-Ковалевской). При учете балансовых соотношений, в частности, законов сохранения, системы уравнений в частных производных дополняются алгебраическими связями. Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать и интегральные уравнения.

Данная работа посвящена исследованию систем, частным случаем которых являются взаимосвязанные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и алгебраических уравнений. В обш,ем случае это системы уравнений в частных производных с тождественно выроэюденными матрицами при производных искомой вектор-функции по врамени и пространственным переменным.

И.Г. Петровский считал изучение таких систем одной из наиболее важных задач теории уравнений в частных производных [38].

Скажем немного о терминологии. В нашей литературе такие системы называются системами не типа Коши-Ковалевской [26, 27, 60], системами не разрешенными относительно старшей производной [28] или уравнениями соболевского типа [40]. В зарубежной же литературе их чаще всего называют выроэюденными системами или дифференциально-алгебраическими уравнениями в частных производных [58,68,71,73,76-85,87-90,96]. В диссертации и работах автора употребляется термины: вырожденные системы или системы не типа Коши-Ковалевской.

Как известно [23], в теории уравнений в частных производных важнейшую роль играет характеристика, называемая типом уравнения или системы уравнений. Наиболее хорошо изучены типы, которые носят названия: гиперболический, параболический и эллиптический.

Помимо типа, вырожденные системы обладают еще одной важной характеристикой, называемой индексом. Под индексом понимается набор целочисленных параметров, указывающих на сложность внутренней структуры системы. Значения этих параметров обычно на единицу больше максимальных порядков частных производных входных данных, от которых зависит решение краевой задачи. В частности индекс описывает характер зависимости решения от малых возмущений входных данных. В известной автору отечественной литературе понятие индекса явно не вводится, но в записи решений эту роль играют параметры, называемые секториальностью оператора [40, 41, 47] или длиной жордановой цепочки [43, 44]. В зарубежной же литературе нет единого понимания индекса и существует большой набор определений [61,05,94,98]. В диссертации дается свое определение индекса, наиболее приспособленное к задачам, решаемым автором.

Несмотря на то, что в настоящий момент имеется весьма обширная литература, посвященная вопросам разрешимости начальных и краевых задач для вырожденных систем, вопросы обоснования численных методов разработаны слабо. Следует все же заметить, что большое развитие получило построение численных методов для конкретных систем не типа Коши-Ковалевской, имеющих большое прикладное значение: система уравнений Навье-Стокса, уравнения Соболева, Баренблатта-Кочиной.

Если система недостаточно изучена с математической точки зрения, то специалисты-прикладники применяют зачастую без обоснования аналоги неявных разностных схем, хорошо зарекомендовавших себя при решении систем с неособенными матрицами при производных искомой вектор-функции. В диссертации приведены примеры вырожденных систем, для которых отсутствует сходимость численных методов при выполнении классических критериев сходимости для невырожденных систем.

При выполнении практических расчетов без обоснования их достоверность иногда может быть подтверждена экспериментальными данными, что далеко не всегда осуществимо, хотя бы в виду дороговизны проведения эксперимента или его невозможности.

В связи с указанными выше трудностями, в диссертации получены условия разрешимости для некоторых классов вырожденных систем общего вида, которые по ряду свойств наиболее близки к системам гиперболического типа. Для их численного решения были обоснованы метод прямых и одна неявная разностная схема. Получены критерии сходимости численного процесса. Разработан комплекс программ, реализующий рассматриваемые в диссертации численные методы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения, набора графических иллюстраций численных решений и списка литературы. Во введении обоснована необходимость исследования систем не типа Коши-Ковалевской, приведены примеры из различных областей приложений, обрисована актуальность изучаемой проблемы, сделан анализ литературы по тематике диссертации. Первая глава посвящена вспомогательным результатам из теории матричных пучков, а также численным методам решения алгебро-дифференциальных систем (АДС). В главе 2 рассматриваются вопросы существования решения систем с постоянными и переменными матричными коэффициентами. В главе 3 изложены численные методы решения вырожденных систем уравнений в частных производных с доказательством теорем сходимости, анализируются результаты численных экспериментов, описан ряд прикладных задач, численное решение которых проводилось с помощью разработанного в среде Delphi 7.0 комплекса программ, предназначенного для решения АДС методом сплайн-коллокации и систем не типа Коши-Ковалевской методом прямых и сеточным методом. В заключении подводится итог проделанной работы и кратко сформулированы основные достижения.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Гайдомак, Светлана Валерьевна

§3.6 Основные результаты главы 3

Третья глава посвящена численному решению систем не типа Коши-Ковалев-ской с переменными матрицами коэффициентов индекса (1,1) и (1,0) методом прямых и методом сеток.

Основными результатами настоящей главы являются теоремы сходимости численных процессов.

Для системы индекса (1,1) справедлива следующая теорема сходимости метода прямых Теорема 3.6.1 Если для задачи (2.1.2)-(2.1.3)

1) выполнены условия теоремы 2.4.1;

2) начиная с некоторых г и h : т < г*, h < h* шаги по пространственной и временной переменным удовлетворяют условию < 1.

Тогда система (2.1.1) будет иметь решение i — 1,2,., N\, j = 1,2,., N2 и справедлива оценка ||u(xj,tk) — Щ,к\\ — 0(h) + 0(т) равномерно по всем

И для систем индекса (1,0).

Следствие 3.6.1 Если для задачи (2.1.2)-(2.1.3)

1) выполнены условия следствия 2.4.1;

2) начиная с некоторых г и h : г < г*, h < h* шаги по пространственной и временной переменным удовлетворяют условию < 1.

Тогда система (2.1.1) будет иметь решение щj, г — 1,2,iVi, j = 1,2,., N2 и справедлива оценка £/;) — Uj^W = 0(h) + 0(т) равномерно по всем

Получена также теорема о сходимости численного процесса по методу сеток для системы индекса (1,1)

Теорема 3.6.2 Если для задачи (2.1.2)-(2.1.3)

1) выполнены условия теоремы 2.4.1;

2) начиная с некоторых т и h : т < т*, h < h* шаги по пространственной и временной переменным удовлетворяют условию < 1.

Тогда система (2.1.1) будет иметь решение Uij, i = 1,2,., j = 1, 2,., N2 и справедлива оценка \ \и(х{, tj) — — 0(h) + О(т) равномерно по всем i,j. И для системы индекса (1,0). Следствие 3.6.2 Если для задачи (2.1.2)-(2.1.3)

1) выполнены условия следствия 2.4.1;

2) начиная с некоторых т и h : т < т*, h < h* шаги по пространственной и временной переменным удовлетворяют условию < 1.

Тогда система (2.1.1) будет иметь решение и^, г = 1,2,., N\, j = 1,2,., N2 и справедлива оценка \ \u(xi, tj) — = 0(h) + 0(т) равномерно по всем

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проделанная в диссертации работа является началом исследования линейных систем не относящихся к типу Коши-Ковалевской, поскольку рассмотрены вопросы существования решения лишь для систем индекса (1,0) и (1,1). В диссертации обоснованы метод прямых и метод сеток для численного решения вырожденных систем уравнений в частных производных, которые хорошо себя зарекомендовали при решении систем указанных выше индексов. Изложенные в диссертации результаты можно насколько расширить: ввиду равноправия в системе (2.1.1) переменных х и t теоремы 2.4.1, 3.1.1, 3.2.1 можно переформулировать с выделенной переменной х.

Но в целом следует отметить, что:

В диссертации приведен пример П. 7 из введения, показывающий, что системы индекса (1,0) и (1,1), в частности, системы, удовлетворяющие двойному критерию "ранг-степень", фактически исчерпывают классы систем, для которых гарантированно сходится метод прямых и указанная выше неявная схема. Поэтому построение численных методов для систем (2.1.1) индекса (1,2) и выше требует совершенно иных подходов, основанных на методах, использующих продолженные системы или метод наименьших квадратов. Исходя из опыта изучения АДС, можно ожидать, что для любой разностной схемы моэюно указать пример, при решении которого численный процесс неустойчив.

Во многих приложениях приходится иметь дело с квазилинейными системами уравнений в частных производных sdu .ди .

Л(х, t,u)— + В{х, + С(х, и) = 0, det A(x,t,u) = 0 V(M) е U, где А(х, t, и), В(х, t, и) - (п х п)-матрицы с элементами, зависящими от переменных х, i и от искомой функции и = u(x,t), C(x)t,u) - n-мерная вектор-функция. Поэтому была разработана соответствующая программа, обеспечивающая численное решение таких систем и проведены успешные эксперименты. При расчете коэффициентов, значения искомой функции брались с предыдущего слоя. Было рассмотрено некоторое количество тестовых задач. Поэтому в дальнейшем необходимо теоретически исследовать вопрос сходимости метода прямых и метода сеток для квазилинейных систем.

Намечены подходы к исследованию систем с несколькими пространственными переменными.

Также создана экспериментальная программа по решению смешанной граничной задачи для гиперболической системы с разнонаправленными характеристиками методом прямых ди ди

А{х, £)— + В{х, £)— + С(х, t)u = f{x, £), u(xtt0) = ф{х), u(x0,t)=Tpi(£), u(X,t) = ip2(t). det A(x, £) = 0 V(x, t) e U.

Для решения на каждом слое вырожденной системы ОДУ применялся метод "стрельбы". Проведенные эксперименты нуждаются в теоретическом обосновании.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гайдомак, Светлана Валерьевна, 2005 год

1. Березин М.В., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т. 2.

2. Бормотова О.В., Чистяков В.Ф. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т.44, N 8. С.1380-1387.

3. Бормотова О.В., Гайдомак С.В., Чистяков В.Ф. О разрешимости вырожденных систем дифференциальных уравнений в частных производных // Изв. высших учебн. заведений. Математика. 2005. N 4.

4. Бояринцев Ю.Е. Применение обобщенных обратных матриц к решению и исследованию систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка // Методы оптимизации и исследование операций. Иркутск, 1984. С. 123-141.

5. Бояринцев Ю.Е., Бояринцева Т.П. Замечание о неявной разностной схеме, аппроксимирующей систему уравнений Стокса // Численные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1983. С. 127131.

6. G) Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы численного решения и исследования. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998.

7. Булатов М.В. Об одном семействе матричных троек // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002. С. 10.

8. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Применение коллокационных методов для решения сингулярных линейных систем ОДУ // Модели и методы исследования операций. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. С. 164-170.

9. Булатов М.В. Методы решения дифференциально-алгебраических и вы-роэ1сдениых систем: Дис. д.ф.-м.н., 05.13.18. Иркутск: ИГУ, 2002.

10. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. О вырожденных линейных системах дифференциальных уравнений в частных производных // Современные проблемы механики жидкости и газа: Тез. докл. V Всесоюзной школы-семинара. Иркутск: Иркутский ВЦ СО АН СССР, 1990. С. 77.

11. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1978.

12. Гайдомак С.В. О существовании решений системы дифференциальных уравнений не типа Коши-Ковалевской. II // Всесибирский конгресс женщин математиков. 2002. С. 46-47.

13. Гайдомак С.В. О заменах переменных в системах не типа Коши-Ковалевской // Междунар. конф. молодых ученых по мат. моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2002. С. 20-21.

14. Гайдомак С.В. К вопросу о разрешимости систем не типа Коши-Ковалевской j] Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002. С. 15.

15. Гайдомак С.В. К вопросу о существовании решений системы не типа Коши-Ковалевской // Тр. второй Восточно-Сиб. зональной межвузовской коиф. ио математике и проблемеа её преподавания в вузе. Иркутск, 2003. С. 14-17.

16. Гайдомак С.В., Чистяков В.Ф. О системах не типа Коши-Ковалевской индекса (1,к) // Вычислительные технологии. 2005. Т.10, N 2. С.45-59.

17. Гайдомак С.В., Чистяков В.Ф. О разрешимости систем уравнений не типа Коши-Ковалевской с переменными коэффициентами // Тез. докл. Второй Междунар. конф. "Функциональные пространства. Проблемы математического образования". М., 2003. С. 149-151.

18. Гайдомак С.В., Чистяков В.Ф. Нормализация систем дифференциальных уравнений не типа Коши-Ковалевской // Материалы Междунар. конф. "Математика её приложения и мат. образование". Улан-Уде, 2002. С. 138-145.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

20. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

21. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1988.

22. Дезин А.А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач. М.: Наука, МАИК "Наука/Интерпериодика", 2000. 175 с. (Тр. МИ АН; Т. 229)

23. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998. 438 с. ил.

24. Демиденко Г.В., Матвеева И.И. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши-Ковалевской // Тр. ин-та математики СО РАН. 1994. Т. 26. С. 42-76.

25. Демиденко Г.В., Матвеева И.И. Об одном классе краевых задач для систем Соболева // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН СССР, 1989. С. 54-78.

26. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

27. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной j j Дифференц. уравнения и их применение. 1976. Т. 14. С. 21-39.

28. Крейн С.Г., Чернышов К.И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Препринт. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1979.

29. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1970. Т. II. 420 с.

30. Левин А.А. Выбор корректного усреднения в моделях с сосредоточенными параметрами j j Системы исследования в энергетике. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2004.

31. Мельникова И.В., Альшинский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // ДАН. 1994. Т. 336, N 1. С. 17-20.

32. Мельникова И.В., Альшинский М.А. Обобщенная коректность задачи Коши и нтегрированные полугруппы // ДАН. 1995. Т. 334, N 4. С. 448451.

33. Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49. С. 111-150.

34. Накоряков В.Е., Покусаев В.Г., Шрейбер И.Р. Распространение волн в газо- и паро- жидкостных средах. Новосибирск, 1983.

35. Петровский И.Г. Избранные труды. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. М.: Наука, 1987.

36. Рущинский В.М. Пространственные линейные и нелинейные модели котлогенераторов // Вопросы идентификации и моделирования. 1968. С. 8-15.

37. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного операторного уравнения типа Соболева с неположительным оператором при производной // Дифферент уравнения. 1987. Т. 23, N 10. С. 1823-1826.

38. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, N 4. С. 47-74.

39. Сидоров Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией j j Мат. заметки. Т. 95, N 4. С. 569-576.

40. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений // Дифферент уравнения. 1983. Т. 19, N 9. С. 1516-1526.

41. Сидоров Н.А., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифферент уравнения. 1987. Т. 23, N 4. С. 726-728.

42. Сидоров Ф.А., Шапаев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

43. Таиров Э.А., Запов В.В. Интегральная модель нелинейной динамики парогенерирующего канала на основе аналитических решений // ВАНТ. Сер.: Физика ядерных реакторов. 1991. Вып. 3. С. 14-20.

44. Федоров В.Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12. Вып. 3. С. 173-200.

45. Федоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространствах : Дис. д.ф.-м.н., 01.01.01, 01.01.02. Челябинск: ЧГУ, 2005.

46. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М., JL: Гостехтеоретиздат, 1948. 432 с.

47. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи: Пер. с англ. М.: Мир, 1999. 685 с.

48. Чистяков В.Ф. О классификации систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами не типа Коши-Ковалевской // Ляпу-новские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002. С. 37.

49. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН "Наука", 1996.

50. Чистяков В.Ф., Гайдомак С.В. О существовании нормализатора для системы дифференциальных уравнений не типа Коши-Ковалевской // Ля-пуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2001. С. 32.

51. Чистяков В.Ф., Гайдомак С.В. О численных экспериментах по решению систем не типа Коши-Ковалевской индекса (1, Л:) методом прямых // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2003. С. 85-88.

52. Чистяков В.Ф., Гайдомак С.В. Метод прямых для систем не типа Коши-Ковалевской // Современные методы качественной теории краевых задач: Понтрягинские чтения XV. Воронеж, 2004. С. 22-23.

53. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциалъных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 2003.

54. Шилов Г.И. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Изд-во МГУ, 1984. 208 с.

55. Яненко Н.Н. Теориия совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных // Тр. IV Всесоюз. мат. съезда. Л., 1964. Т. 2.

56. Яненко Н.Н. Избранные труды. Математика. Механика. М.: Наука, 1991.

57. Янов С.И. О задаче Коши для одного класса систем не типа 'Коши-Ковалевской // Функциональный анализ и математическая физика. Новосибирск: Ип-т математики АН СССР. Сиб. отд-ние, 1987. С. 125-139.

58. Arnold М. A note on the uniform perturbation index // Preprint. 1995.

59. Bolim M., Showalter R.E. Diffusion in fissured medial // SIAM J. Math. Anal. 1985. V. 16, N 3. P. 500-519.

60. Byrne G.D., Schiesser G.D. Recent Developments in Numerical Methods and Software for ODEs/DAEs/PDEs. World Scientific, 1991.

61. Campbell S.L. DAE Approximations of PDE Modeled Control Problems // Proc. IEEE Mediterranean Symposium on New Directions in Control and Automation. Greate. 1994. P. 407-414.

62. Campbell S.L., Marzalek W. The Index of Infinite Dimensional Implicit System I/ Mathematical and Computer Modelling of System. 1999. V. 5, N 1. P. 18-42.

63. Coleman B.D., Duffin R.J., Mized V.J. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation du/dt = д2и/дх2 — d3u/dx2t on strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V. 19. P. 100-116.

64. Favini A. Laplace trancform method for a class of degenerate evolution problems // Rend. Math. Roma, 1979. V. 12. P. 511-536.

65. G8. Favini A. Abstract potential operators and spectral methods for a class of degenerate evolution problems // J. Piff. Eqns. 1981. V. 39. P. 212-225.

66. G9. Favini A. An operational method for abstract degenerate evolution equations ofhiperbolic type // J. Funct. Anal. 1988. V. 76. P. 432-456.

67. Favini A., Yagi A. Maltivalued linear operators and degenerate evolutions // Ann. Mat. pur. ed appl. 1993. V. CLXII. P. 353-384.

68. Favini A., Yagi A. Abstract second order differential equations with applications // Funkc. Ekvac. 1995. V. 38, N 1. P. 81-99.

69. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. N.Y.: Marcel Dekker, 1999.

70. Jens Lang. Adaptive multilevel solution of nonlinear parabolic PDE Systems // Theory, Algorithm and Application. Berlin: Springer, 2000.

71. Gunther M., Rentrop P. PDAE-Netzwerkmodelle in der elektrischen schallungssimulation // Preprint 99/3. Universitet Karlsruhe, IWRMMM, 1999.

72. Luclit W., Strehmal K., Eichler-Liebenow C. Indexes and special discretization methods for linear partial differential algebraic equations // BIT. 1999. V. 39, N 3. P. 484-512.

73. Kurina G.A. Singular perturbations of control problems with equation of state not solved for the derivative (a survey) // J. of Computer and System Sciences International. 1993. V. 31, N 6. P. 17-45.

74. Levine H.A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Ddu/dt = — Au + F(u) // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V. 51, N5. P. 371-386.

75. Leung A.W. Systems of Nonlinear Partial Differential Equations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1989.

76. Lucht W., Strehmel K. Discretization based indices for semilinear partial differential algebraic equations // Appl. Numer. Math. 1998. V. 28. P. 371386.

77. Lucht W., Strehmel K., Eichler-Liebenow C. Linear partial differential algebraic equations. Part I: Indexes, consistent boundery, initial conditions // Report 17. Fachbereich Mathematik und Informatik. Martin-Luther-Universitat. Halle, 1997.

78. Lucht W., Strehmel K., Eichler-Liebenov C. Linear partial differential algebraic equations. Part II: Numerical solution // Report 18. Fachbereich Mathematik und Informatik. Martin-Luther-Universitat. Halle, 1997.

79. Marszalek W. Analysis of partial differential algebraic equations: PhD thesis. North Carolina State University. Raleigh (NC), 1997.

80. Marsialek N., Trzaska Z.W. Analysis of implicit hyperbolic multivariable Systems // Appl. Math. Modeling. 1995. V. 19. P. 400-410.

81. Pilips K.G. Higher Order Moving Finite Element Methods for Systems Described by Partial Differential-Algebraic Equations: PhD thesis. Dept. of Chemical Engineering, Imperial College of Science, Technology, and Medicine. London, 1990.

82. Ping Lin. A sequential regularization method for time-dependet incompressible Novier-Stoks equations // SIAM J. Numer. Anal. 1997. V. 34, N 3. P. 1051-1071.

83. Simeon B. Modeling a Hexible slider crank mechanism by a mixed system of DAEs and PDEs // Math. Modeling of Systems. 1996. N 2. P. 1-18.

84. Showalter R.E. Existance and representation theorems for a semilinear Sobolev equation in Banach spase // SIAM J. Math. Anal. 1972. V. 3, N 3. P. 527-543.

85. Showalter R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type // SIAM J. Math. Anal. 1975. V. 6, N 1. P. 25-42.

86. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type // Pacific J. Math. 1963. V. 31, N 3. P. 787-793.

87. Showalter R.E. The Sobolev type equations. I,II // Appl. Anal. 1975. V. 5, N 1. P. 15-22; N 2. P. 81-99.

88. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. V. 1, N 1. P. 1-26.

89. Simeon B. Modelling a flexible slider crank mechanism by a mixed system of PAEs and PDEs // Math. Modelling Syst. 1996. V. 2, N 1. P. 1-18.

90. Soderlind G. Remarks on the stability of high-index DAEs with respect to parametric perturbations // Coputing. 1992. V. 49. P. 303-314.

91. Ting T.W. Certain non-steady Hows of second-order fluids // Arch. Rat. Mecli. Anal. 1963. V. 14, N 1. P. 28-57.

92. Thomas J.Wi, Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. N.Y.: Springer-Verlag, 1995.

93. Trzaska Z., Marsialek M. Singular distributed parametr systems // IEE Proc. Control Theory and Appl. 1993. V. 140. P. 305-308.

94. Wade S. Martinson and Paul I. Barton. A differentiation index for partial differential-algebraic equations // SIAM J. Sci. Сотр. 2000. V. 21, N 6. P. 2295-2316.

95. Weickert J. Novier-Stokes equations as a differential-algebraic systems // Preprint SFB 393/96-08. Technische Universitat Chemnitz-Zwickan, 1996.