Методы исследования и решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чистякова, Елена Викторовна

• Чистякова, Елена Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чистякова, Елена Викторовна

ВВЕДЕНИЕ

1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Постоянные матрицы и полуобратные к ним.

1.2 Пучки постоянных матриц.

1.3 Пучки переменных матриц.

1.4 Методы вычисления полуобратных матриц.

1.5 Необходимые сведения из теории интегральных и дифференциальных уравнений.

2 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1 Нелокальные теоремы существования для дифференциально-алгебраических уравнений.

2.2 Обобщения теоремы Хопфа о бифуркации рождения цикла и теоремы Боля.

2.3 Нелокальные теоремы существования вырожденных интегро-дифференциальных уравнений.

2.4 Разрешимость вырожденных интегро-дифференциальных систем индекса 1 в общем случае.

2.5 Теорема о разрешимости линейных интегро-дифференциальных уравнений, основанная на свойствах многопараметрических пучков матриц.

2.6 Теоремы разрешимости вырожденных интегро-дифференциальных уравнений со слабой особенностью в ядре.

3 НЕИТЕРАЦИОННЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

3.1 Методы Рунге-Кутта.

3.2 Многошаговые методы.

3.3 Методы решения уравнений индекса 2.

3.4 Регуляризирующие свойства разностных схем

3.5 Численные эксперименты.

4 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

4.1 Общие принципы формирования моделей электрических и гидравлических цепей.

4.2 Двухконтурная электрическая цепь.

4.3 Модель электрического генератора.

4.4 Двухконтурная гидравлическая цепь.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы исследования и решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений и их приложения»

1. Актуальность темы диссертации. Изучение многих процессов, происходящих в различных природных и технических системах, сводится к анализу их математических моделей. Часто такая модель является системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), разрешенной относительно старших производных искомой вектор-функции, описывающей изменение во времени (пространстве) тех или иных характеристик исследуемого процесса. Такие системы принято называть системами, приведенными к нормальной форме (форме Коши). При попытке учесть в модели балансовые соотношения, в частности, законы сохранения, системы ОДУ дополняются алгебраическими уравнениями и такие системы принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать в себя и интегральные уравнения. В этом случае мы получаем систему взаимосвязанных дифференциальных, алгебраических и интегральных уравнений типа Вольтерра, которые можно записать в виде системы интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей перед старшей производной искомой вектор-функции. Такие системы называют вырожденными интегро-дифференциальными системами или системами интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) с тождественно вырожденной главной частью. Исследования подобных систем стимулированы прежде всего наличием прикладных задач, сводящихся к ним [4, 7, 29, 47, 55]. В частности, наряду с хорошо изученными стационарными гидравлическими цепями, в последнее десятилетие большое значение приобретает моделирование нестационарных гидравлических цепей.

Диссертационная работа посвящена исследованию и разработке численных методов решения для вырожденных ИДУ, возникающих в теории нестационарных нелинейных гидравлических и электрических цепей.

2. Объект исследования. Исследуемые в диссертации системы уравнений можно записать в векторной форме следующим образом

A{t, х, Vx, v)x(t) + B(t, x, Vx, и) = 0, t G [0,1] = T, (В. 1) с начальными данными ж(0) = хо, {В. 2) где A(t,x,y,u) - (nxn)-матрица, B(t,x,y, v),K(t, s,x) - n-мерные вектор-функции, t

Vx = j K{t,s,x(s))ds -о оператор Вольтерра, x = x(t) - искомая вектор-функция, и 6 Я — (—vq, щ) ~ числовой параметр, xq - заданный вектор из R". Предполагается, что detA{t,x,y,u) = 0V(t,x,y,v) еТх QxUxM, (5.3)

Q = {x : \\x - :ro|| < pi}, U = {y : |M| < p2}, PuP2 € R1.

Под решением системы (B.l) мы будем понимать любую вектор-функцию x(t) G С1 (Г), которая обращает исходное уравнение в тождество. Кроме того, допускается, что матрица A(t,x,y,v) может быть нулевой.

Степень сложности уравнений вида (В.1) определяется с помощью характеристики, называемой индексом. По аналогии с [18], при дальнейшем изложении будем пользоваться следующим определением индекса для уравнений (В.1).

Определение В.1 Пусть существует квазилинейный дифференциальный оператор где Wj(.) - непрерывные в области определения уравнения (В.1) (пхп)-матрицы, Z = (х, х, - • •, х(к\ Vx, V\X, • • •, Vk-\x),

VjX = J-W-> = 0 такой, что

Qk о [A(t, х, Vx, u)x(t) + B(t, x, Vx, и)] ~ Â{t, x, Vx, v)x(t) + B{t, x, Vx, u) Vx(t) G Ck{T), причем detÂ(t,x,Vx,v) в области определения уравнения (В.1). Минимальное число к, при котором возможно данное равенство, назовем индексом уравнения (В.1).

Наряду с общим уравнением (В.1), в работе рассматриваются следующие частные случаи:

A{t,)x{t) + B{t,x,Vx) = 0 (5.4) и

A{t, )x{t) + B{t)x{t) + F(t, x, Vx) = 0, (B.5) a также случай, когда ядро оператора Вольтерра содержит слабую особенность и интегральный оператор имеет вид t

Vx = j(t- s)~aK(t, s)x(s)ds, 0 < a < 1. о

Естественно, чем более узок класс рассматриваемых систем по сравнению с (В.1), тем более сильные утверждения о свойствах изучаемой задачи можно сформулировать и доказать.

3. Цель работы. В диссертации были поставлены следующие задачи:

1) Получить условия разрешимости нелинейных вырожденных ИДУ и ДАУ на заданном конечном отрезке или на всей числовой оси.

2) Разработать и обосновать численные методы решения, которые не требуют использования итерационных процессов. Исследовать влияние возмущений входных данных на сходимость предлагаемых численных методов.

3) Провести исследования и численно решить системы уравнений, возникающих при моделировании нелинейных нестационарных электрических и гидравлических цепей.

4. Обзор литературы. Специалисты из прикладных областей столкнулись с необходимостью исследования и решения дифференциально-алгебраических уравнений и вырожденных интегро-дифференциальных уравнений значительно ранее, чем математики. Ими был решен ряд задач с использованием эвристических и не всегда математически строгих методов. В частности, при решении прикладных задач, исследователи предполагали существование нелокальных решений, опираясь на адекватность модели [4, 7, 29, 55]. С этой точки зрения, с приходом в данную область математиков существенных изменений не произошло. Несмотря на большое количество работ, посвященных дифференциально-алгебраическим и вырожденным интегро-дифференциальным уравнениям и опубликованных за последние 35 лет, начиная с первых работ [И, 13,86, 91, 93] и заканчивая такими обширными монографиями, как [94], ряд вопросов исследован недостаточно. Это вопросы нелокального существования решений нелинейных систем вида (В.1). Так, в настоящее время доказан ряд теорем существования решений для некоторых задач вида (В.1), (В.2). В частности, хорошо изучены ДАУ вида В(Ь,х) = 0. (Б.6)

Для них в [63], [81] были сформулированы и доказаны достаточные условия существования решений, имеющие, однако, только локальный характер в случае нелинейной вектор-функции х).

Следует отметить, что большое влияние на развитие теории вырожденных систем оказало замечание Ф.Р. Гантмахера [31, с. 348] о приложении теории матричных пучков к исследованию ДАУ с постоянными коэффициентами. На этой основе большой вклад в теорию ДАУ и численные методы их решения внес Ю.Е. Вояринцев. В монографиях [10,11,12] и серии работ основное внимание уделено взаимосвязи кронекеровой структуры пучков матриц коэффициентов, структуры общего решения ДАУ (В.6) и свойств численных методов. При проведении этих исследований широко использовался аппарат обобщенных обратных матриц: полуобратных и Дразина. В работе [13] впервые было исследовано влияние пучка матриц коэффициентов ХА + В на поведение численных методов и обнаружено интересное явление, возникающее при применении разностных методов для решения

ДАУ, названное позже пограничным слоем ошибок. Суть этого явления состоит в том, что в первых точках сетки отклонение разностного приближения от решения ДАУ стремится к бесконечности с порядком 0(1/ДА;~1) при стремлении шага сетки Л к нулю. Здесь к - индекс пучка матриц \А + В. Дальнейшие исследования ДАУ связано с понятиями критерия "ранг-степень" (см., например, [63]) и понятием центральной канонической формы ДАУ [84]. При этом все получаемые условия разрешимости носят строго локальный характер.

Глубокие результаты получены в аналитической теории дифференциально-операторных уравнений с необратимым оператором в главной части с приложениями к уравнениям в частных производных [46, 95]. Для таких уравнений доказаны теоремы существования, разработаны асимптотические методы, построена теория обобщенных решений, изучены вопросы конвергентности и бифуркаций Андронова-Хопфа, в том числе в условиях групповой симметрии. Также изучены проблемы корректности, ветвления решения и регуляризации.

В работах Г. А. Свиридюка и его школы изучаются квазилинейные автономные системы вида

Ах + Вх = ф(х), где А и В - некоторые операторы, действующие в банаховых или топологических пространствах в предположении, что ядро оператора А нетривиально. При определенных предположениях относительно спектра пучка операторов ХА + В вводится понятие квазистационарного решения, т.е. решения, удовлетворяющего условию - Я)Вх + ф{х) = О, где / - единичный оператор, а, - оператор проектирования на пространство, в котором лежит нильпотентная часть оператора А. Доказаны локальные теоремы разрешимости.

Следует отметить, что нелокальная разрешимость ДАУ достаточно хорошо исследована для линейных автономных систем [79, 80, 98]. Разрешимость нелинейных автономных ДАУ в работе [43] основана на разбиении основного пространства на прямую сумму трех подпространств, что позволило получить необходимые и достаточные условия существования ненулевого решения системы, лежащего в окрестности нулевого решения (решение определяется в виде тригонометрического ряда).

Вырожденные ИДУ, включая так называемые уравнения Вольтерра IV рода [18] (также известные в литературе как алгебро-интегральные системы [87, 90]), имеющие вид t

A(t)x(t) +1 K(t, s)x(s)ds = f(t), t e T, det A{t) = 0 V* G Г, {B.7) о пока не привлекли столь пристального внимания, как ДАУ, но их изучение ведется рядом ученых. В частности, сотрудниками Н.А. Сидорова и им самим выполнен большой цикл работ по исследованию ИДУ с вырожденным оператором при старшей производной искомой вектор-функции в конечномерном и бесконечномерном случаях с упором на последний (см., например, работы [8, 50, 51, 56, 57, 76, 48] и приводимую там библиографию). В данном цикле работ основным приемом исследования линейных систем вида (В.1) является преобразование Шмидта, с помощью которого исходная задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра 1-го рода. Затем на преобразованную задачу налагается ряд условий, в рамках которых доказываются теоремы существования и единственности. В частности, предполагается, что j-ая производная ядра оператора Вольтерра по первому аргументу не вырожденна.

Уравнениям Вольтерра IV рода (В.7) посвящен цикл статей Булатова М.В. ([17, 18, 19, 20]). В данных работах получены критерии разрешимости уравнений с ядром типа свертки, введено понятие индекса, обоснована а-регуляризация. В работе [65] изучено уравнение Вольтерра IV рода вида (В.7). Доказана теорема о существовании и единственности решения, обоснован численный метод с аппроксимацией интеграла по формуле правых прямоугольников. В работе [22] проведены аналогичные исследования системы (В.7) для случая, когда A(t) = 0. В статье [16] впервые была доказана теорема о нелокальном существовании решения ИДУ с нелинейным ядром и вырожденной матрицей перед старшей производной искомой вектор-функции вида t

A{t)x{t) + B{t)x{t) + JK{t, s, x(s))ds = f(t), t <= T, det A{t) = 0. {B.8) о

Там же предложен и обоснован численный метод решения системы (В.8), основанный на неявном методе Эйлера и формуле левых прямоугольников.

Уравнения Вольтерра IV рода со слабой особенностью в ядре в литературе практически не рассматривались. Известна только одна работа bulbrun, в которой рассматривается система интегральных уравнений IV рода. Для численного решения данной задачи авторами используется метод интегрирования произведений [97]. Вырожденные ИДУ со слабой особенностью в ядре в диссертации рассматриваются впервые. Для их исследования используется математический аппарат, подробно представленный в капитальной монографии [44].

Численные методы решения для различных частных случаев задач вида (1),(2) рассматриваются в большом числе работ. В частности, литература по численному решению ДАУ уже трудно обозрима (см., например, [81] и приводимую там библиографию). Одними из основных применяемых подходов к численному решению являются аналоги известных конечно-разностных схем, методов Рунге-Кутта и Розенброка. Помимо этого, имеются отличные от упомянутых направления, такие, как методы, разрабатываемые В.К. Горбуновым и его учениками, основанные на использовании нормальных сплайнов [33, 34, 88]. Оригинальный подход используется в работах A.A. Абрамова и его сотрудников, основанный на методе редукции [1].

В работах [15, 63] показано, что исследуемые задачи относятся к классу некорректных задач, в частности, сколько угодно малые возмущения входных данных могут приводить к сколь угодно большим возмущениям решения или к его отсутствию. Эту особенность ДАУ и вырожденных ИДУ следует учитывать при построении численных методов. Для подавления влияния возмущений входных данных разработаны различные методы регуляризации, связанные с именами А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, В.А. Морозова. По этому поводу существует обширная литература (см., например, [40, 53, 54, 92] и приводимые там библиографии).

Большой класс методов регуляризации основан на параметризации исходной задачи, что делает ее корректной. Для исследуемого в диссертации класса задач таким параметром является шаг дискретизации. Это свойство для исследования ряда задач и построения численных методов эффективно используется в [2, б]. Данное свойство также называют свойством саморегуляризации [2]. Регуляризирующие свойства разностных схем для нелинейных вырожденных ИДУ в диссертации рассмотрены впервые.

5. Методы исследования. В работе использованы результаты из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений типа Вольтерра, теории устойчивости, матричного анализа, теории конечно-разностных схем и некоторые варианты теоремы о неподвижной точке (метод Пикара), а также сведения из теории нестационарных нелинейных электрических и гидравлических цепей.

6. Апробация. Результаты, излагаемые в диссертации, докладывались на следующих конференциях:

• III Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии: управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", г. Иркутск - д. Ангасолка, 2003 г.

• IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 2003.

• III Всероссийская конференция (с международным участием и молодежной секцией) "Математика, информатика, управление", г. Иркутск, 2004 г.

• Международная конференция "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании": ВИТ-2004. Алматы - Новосибирск, 2004.

• V Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии: управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программировал ния", г. Иркутск - дАнгасолка, 2004 г.

• XLIII Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс", г. Новосибирск, 2005.

• XIII Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения", г. Северобайкальск, 2005 г.

• VII Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии: управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", г. Иркутск - с.п. Зеленый мыс, 2005 г.

Кроме того, диссертация докладывалась на лабораторных семинарах в ИДСТУ СО РАН, на объединенном семинаре в Институте прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток) под руководством д.ф.-м.н. JI.T. Ащепкова и на объединенном семинаре кафедры математического анализа и кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Иркутского государственного университета под руководством профессора H.A. Сидорова.

Работа поддержана грантами РФФИ, проекты № 04-01-00857, № 06-01-81013-Бела и 07-01-90000-Вьета.

7. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1) Доказаны нелокальные утверждения о разрешимости нелинейных ДАУ на заданном конечном отрезке.

2) Получены достаточные условия разрешимости ДАУ на всех числовой оси, сформулированные в виде аналогов теорем Боля и Хопфа.

3) Получены условия нелокальной разрешимости для вырожденных ИДС индекса 1 и 2, а также для вырожденных ИДС со слабой особенностью в ядре.

4) Доказана сходимость явных методов типа Рунге-Кутта для ДАУ индекса 1, преобразованных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной искомой вектор-функции. Получена оценка погрешности.

5) Доказана сходимость полуявных разностных методов, основанных на формуле дифференцирования назад и квадратурной формуле Адамса, для вырожденных ИДС и получена оценка погрешности.

6) Проведено исследование влияния возмущений входных данных на сходимость численных процессов и решен ряд прикладных задач связанных с моделированием нестационарных процессов в электрических и гидравлических цепях.

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя следующие разделы: введение, 4 главы, заключение, список литературы. Во введении обоснована актуальность направления исследований, обрисован класс задач, которые приводят к необходимости решать системы, содержащие дифференциальные, алгебраические и интегральные уравнения, а также дан обзор текущей литературы по теме диссертации. В главе 1 излагаются вспомогательные результаты об обобщенных обратных матрицах и пучках матриц, включая утверждения о свойствах переменных матриц и их пучков, а также некоторые полезные в дальнейшем сведения из функционального анализа. Глава 2 посвящена нелокальным теоремам существования для дифференциально-алгебраических и интегро-дифференциальных уравнений индекса 1 и 2. В главе 3 рассматриваются возможности численного решения изучаемых уравнений и систем, описываются препятствия, возникающие при применении для их решения методов Рунге-Кутта и Адамса с демонстрацией на примерах. Указываются способы построения эффективных численных методов. Построенные численные методы анализируются на устойчивость с к влиянию возмущений входных данных. В главе 4 содержится исследование и численное решение систем взаимосвязанных алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений, возникающих при математическом моделировании электрических и гидравлических цепей. В заключении кратко обсуждено возможное направление дальнейших исследований. Список использованной литературы включает в себя 98 ссылок и составлен в алфавитном порядке. Диссертация написана по материалам работ [23,24,60-69]. Необходимые заимствования из других источников отмечены ссылками и приводятся без доказательства.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чистякова, Елена Викторовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены законченные результаты о нелокальной разрешимости и непрерывной зависимости от параметров для ДАУ и вырожденных ИДУ индекса 1, а также для некоторых случаев вырожденных ИДУ индекса 2. Следует отметить, что в ряде приложений, в частности, в некоторых областях энергетики, появляются задачи, имеющие гораздо более высокий индекс, а следовательно, и более высокую степень сложности. Как правило, для решения таких задач используют построение и исследование продолженных систем, однако на практике данный метод применим далеко не всегда в силу своей общности. Кроме того, применение данного метода дает только локальные условия существования решения.

С точки зрения автора, наиболее перспективным в данном направлении является метод, основанный на анализе многопараметрических матричных пучков. Данный метод доказал свою эффективность при исследовании задач индекса 2, поскольку дает возможность получить достаточно конструктивные и легко проверяемые условия, обеспечивающие существование и единственность исследуемой задачи, а также сходимость применяемых численных методов.

Таким образом, это направление исследований имеет хорошие перспективы развития.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чистякова, Елена Викторовна, 2007 год

1. Абрамов A.A. О нелинейной самосопряженной спектральной задаче для одного класса дифференциально-алгебраических уравнений / A.A. Абрамов, К. Балла, В.И. Ульянова, Л.Ф. Юхно // ЖВМиМФ. - 2003. - Т. 43, № 3. - С. 399-410.

2. Апарцин A.C. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы / A.C. Апарцин. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1999. - 192 с.

3. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению / Ахиезер Н.И. -М.: гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1956. 248 с.

4. Ащепков Л.Т. К проблеме повышения живучести управляемых систем. Модели и методы исследования операций / Под ред. Б.А. Бельтюкова, В.П. Булатова. Новосибирск: Наука, 1988. - С. 69-85.

5. Бабушка И. Численные процессы решения дифференциальных уравнений / И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер. М.: Мир, 1969. - 368 с.

6. Бакушинский А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач / А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. М.: Наука, 1989. - 128 с.

7. Балышев O.A. Анализ переходных и стационарных процессов в трубопроводных системах (теоретические и экспериментальные аспекты) / O.A. Балышев, Э.А. Таиров. // Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. - 164 с.

8. Белов И.И. Задача Коши для линейных нагруженных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра с вырожденной матрицей при производной / И.И. Белов // Краевые задачи: Сб. науч. тр.- Иркутск: Иркутский гос. университет, 1997. С. 99-102.

9. Березин И.С. Методы вычислений: в 2 т. /И.С. Березин, Н.П. Жидков.- М.: Наука, 1966. Т. 2. - 464 с.

10. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 1988. - 158 с.

11. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 1980. - 222 с.

12. Бояринцев Ю.Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН "Наука", 1996. - 261 с.

13. Бояринцев Ю.Е. Применение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев, В.М. Корсуков // Вопросы прикладной математики. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975. - С. 140-152.

14. Бояринцев Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. - 224 с.

15. Булатов М.В. Методы решения дифференциально-алгебраических и вырожденных интегральных систем. Дисс.докт. физ-мат. наук. Иркутск, 2002. - 244 с.

16. Булатов М.В. Об интегро-дифференциальных системах с вырожденной матрицей перед производной / М.В. Булатов // Дифференциальные уравнения. 2002. - Т.38, № 5. - С. 692-697.

17. Булатов М.В. Преобразования вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра / М.В. Булатов // Вычислительные технологии. 2000. - Т.5, № 4. - С. 22-30.

18. Булатов M.B. О нелинейных системах интегральных уравнений четвертого рода / М.В. Булатов // труды XI Байкальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". (5-12 июля 1998 г., Байкал) Иркутск, 1998. - Том 4. - С. 68-71.

19. Булатов М.В. Регуляризация вырожденных систем интегральных уравнений Вольтерра / М.В. Булатов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. - Т. 42, № 3. - С. 330-335.

20. Булатов М.В. Редукция вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра к невырожденным / М.В. Булатов // Изв. вузов. Математика. 1998. - № 11 (438). - С. 14-21.

21. Булатов М.В. О преобразовании алгебро дифференциальных систем уравнений / М.В. Булатов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1994.- Т.34, № 3. С.360-372.

22. Булатов М.В. Численное решение систем интегральных уравнений Вольтера 1-го рода / М.В. Булатов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. - Т. 38, № 4. - С. 607-610.

23. Булатов М.В. Об одном семействе матричных троек / М.В. Булатов // Ляпуновские чтения и презен-тация информационных технологий: материалы конф. Иркутск, 2002. - С.10.

24. Булатов М.В. Применение коллокационных методов для решения сингулярных линейных систем ОДУ / М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков // Модели и методы исследования операций. Новосибирск: Наука, 1988.- С. 164-170.

25. Булатов М.В. Численное решение интегро-дифференциальных систем с вырожденной матрицей перед производной многошаговыми методами / М.В. Булатов, Е.В. Чистякова // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т.42, № 9. - С. 1248-1255.

26. Васильева A.B. Интегральные уравнения / А.Б. Васильева, H.A. Тихонов. М.: Изд-во московского ун-та, 1989.

27. Влах И. Машинные методы анализа и проектирования электронных сехм / И. Влах, К. Сингхал. М.: Радио и связь, 1988. - 560 с.

28. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. М.: Наука, 1978. - 303 с.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, 1967. -576 с.

30. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.

31. Горбунов В.К. Метод нормальной сплайн-коллокации / В.К. Горбунов // ЖВМиМФ. 1989. - Т.29, № 2. - С.212-224.

32. Горбунов В.К. Метод нормальных сплайнов в вырожденных системах дифференциальных уравнений / В.К. Горбунов, В.В. Петрищев // Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск, 1997. -Вып. 3. - С.125-132.

33. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1970. - 536 с.

34. Демидович Б.П. Лекции по теории математической устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

35. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидо-вич, И.А. Марон. М.: Физматгиз, 1961. - 659 с.

36. Краснов M.JL Интегральные уравнения / M.JI. Краснов. М.: Наука, 1975. - 304 с.

37. Куликов Г.Ю. Численное решение задачи Коши для системы д ифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге-Кутта с нетривиальным предиктором / Г.Ю. Куликов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. - Т.38, № 1. - С. 68-84.

38. Лаврентьев М.М. Теория операторов и некорректные задачи / М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. - 702 с.

39. Меренков А.П. Теория гидравлических цепей / А.П. Меренков, В.Я. Хасилев. М.: Наука, 1985. - 277 с.

40. Мишина А.П. Высшая алгебра (линейная алгебра, многочлены, общая алгебра) / А.П. Мишина, И.В. Проскуряков. М.: Физматгиз, 1962. -300 с.

41. Моисеев Д.С. Необходимые и достаточные условия существования периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производной / Д.С. Моисеев. Деп. в ВИНИТИ 22.02.2005, № 258-В2005.

42. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

43. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свири-дюк // Успехи мат. наук. 1994. - Т. 49, № 4. - С.47-74.

44. Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. РАН. Сер. Математика. 1993. - Т 57, № 3. - С. 192-202.

45. Серов Е.П.Динамика парогенераторов / Е.П. Серов, Б.П. Корольков. М.: Энергоиздат, 1981. - 408 с.

46. Сидоров H.A. А-присоединенные множества линейных операторов и их приложения к дифференциальным уравнениям / H.A. Сидоров // Методы оптимизации и исследование операций: Краевые задачи. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984. - С. 169-184.

47. Сидоров H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров, O.A. Романова // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, № 9. - С. 1516-1526.

48. Сидоров H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / H.A. Сидоров // Математические заметки. 1984. - Т.35, Вып. 4. - С. 569-579.

49. Сидоров H.A. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т.23, № 4. - С.

50. Тен М.Я. Приближенное решение линейных интегральных уравнений Вольтерра I рода: дис.канд.физ.-мат.наук. Иркутск:СО РАН СССР, 1985.

51. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Наука, 1986. - 288 с.

52. Тихонов А.Н. Нелинейные некорректные задачи / А.Н. Тихонов, A.C. Леонов, А.Г. Ягола. М.: Наука. Физматлит, 1995. - 312 с.

53. Ушаков Е.И. Статическая устойчивость электрических систем / Е.И. Ушаков. Новосибирск: Наука, 1988. - 273 с.

54. Фалалеев М.В. Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // В кн.: Методы оптимизации. Новосибирск: Наука, 1992. - С. 185-184.

55. Фалалеев М.В. Обобщенные функции и действия над ними. Учебное пособие / М.В. Фалалеев. Иркутск: Иркутский гос. университет, 1996. -81 с.

56. Федоров В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Мат. сб. 2004. - Т.195, № 8. - С. 131-160.

57. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г.М. Фихтенгольц. СПб.: Издательство "Лань", 1997.- Т.2. 800 с.

58. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. М.: Мир, 1990.- 512 с.

59. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. М.:- Мир, 1989.- 565 с.

60. Хэссард Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн; пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 280 с.

61. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 1996. - 278 с.

62. Чистяков В.Ф. О методах численного решения и исследования сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Авто-реф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.07 / В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1985. - 25 с.

63. Чистяков В.Ф. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и их интегральных аналогах / В.Ф. Чистяков // Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск: Наука, 1987. - С. 231-239.

64. Чистякова Е.В. Неитерационные методы решения нелинейных дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 / Е.В. Чистякова // Оптимизация, управление, интеллект. 2004. - № 2(8). - С. 232-241.

65. Чистякова Е.В. Нелокальная теорема существования решений алгебро-дифференциальных систем /Е.В. Чистякова // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий: материалы конф. (24-26 декабря 2003 г., Иркутск).- Иркутск, 2003. С. 90.

66. Чистякова Е.В. О решении некоторых классов вырожденных интегро-дифференциальных систем / Е.В. Чистякова // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий: материалы конф. (24-26 декабря 2003 г., Иркутск). Иркутск, 2003. - С. 89.

67. Чистякова Е.В. О свойствах некоторых классов вырожденных интегро-дифференциальных систем / Е.В. Чистякова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тезисы докладов Всерос. конф. (2-6 февраля 2004 г., Екатеринбург). Екатеринбург, 2004. - С. 23.

68. Чистякова Е.В. К вопросу о существовании периодических решений у дифференциально-алгебраических систем / Е.В. Чистякова, В.Ф. Чистяков // Сибирский журнал индустриальной математики. 2006. -Т.9, № 3. - С. 148-158.

69. Чистякова Е.В. О вырожденных интегро-дифференциальных уравнениях индекса 2 / Е.В. Чистякова // Математическое моделирование и информационные технологии: материалы VIII школы-семинара молодых ученых. Иркутск, 2006. - С. 172-174.

70. Шароглазов B.C. О некоторых свойствах решений вырожденных дифференциальных уравнений / B.C. Шароглазов // Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений: Сб. научн. тр. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1993. - С. 89-96.

71. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных: в 2 т. / Г.Е. Шилов. М.: Наука, 1972. - 622 с.

72. Шлапак Ю.Д. О приводимости линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных / Ю.Д. Шлапак // Мат. физика. 1997. - Вып. 21. - С. 60-64.

73. Щеглова А. А. Устойчивость линейных алгебро-дифференциальных систем /А.А. Щеглова, В.Ф. Чистяков // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39, № 8. - С. 1-11.

74. Brenan К.Е. Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations / K.E. Brenan, S.L. Campbell, L.R. Petzold. SIAM. Philadelphia, 1996.

75. Brunner H. On singular systems of integral equations with weakly singular kernels / H. Brunner, M. Bulatov // Proceedings of 11th Baikal International School-Seminar. July 5-12. Irkutsk, 1998. - Vol. 4. - pp. 64-67.

76. Bulatov M.V. Numerical Solution of Singular Systems of Integral Differential Equations / M.V. Bulatov, E.V. Chistyakova // Proc. Intern. Conf. on Computational Math. Novosibirsk, 2004. - Vol. 2. - P. 813-817.

77. Campbell S.L. Canonical forms and solvable systems of differential equations / S.L. Campbell, L.R. Petzold // SIAM J.Alg. and Descrete Methods. 1983. - N 4. - Pp. 517-521.

78. Dolezal V. Dynamics of linear systems / V. Dolezal. Prague: Academia, 1967.

79. Gear C.W. The simultaneous numerical solution of differential algebraic equations / C.W. Gear // IEEE Trans. Curcuit Theory, CT-18. 1971. -Pp. 89-95.

80. Gear C.W. Differential algebraic equations, indices, and integral algebraic equations / C.W. Gear // SIAM J. Numer. Anal. 1990. - N 27. - Pp. 1527-1534.

81. Gorbunov V.K. Development of the normal spilne method for linear intego-differential equations / V.K. Gorbunov, V.V. Perischev, V.Y. Sviridov // Proc. ICCS-2003. Part II. Springer, 2003.

82. Hairer E. The numerical solution of differential-algebraic system by Runge-Kutta methods / E. Hairer, C. Lubich, M. Roche // Rep. CH-1211. Dept. de Mathemat., Universite de Geneve, Switzerland, 1988.

83. Morozov V.A. Methods of solution of ill-posed problems: algorithmic aspect / V.A. Morozov, A.I. Grebennikov. M.: Moscow University Press, 2005.- 326 pp.

84. Rheinboldt W.C. Differential-algebriac systems as differential equations on manifolds / W.C. Rheinboldt // Math. Comp. 1984. - Vol. 43, N 168. -Pp. 473-482.

85. Raiber P.T. Theoretical and numerical analysis of differential algebaric equations. Handbook of Numerical Analysis: Vol. VIII / P.T. Raiber, W.C. Rheinboldt. Amsterdam, 2002.

86. Sidorov N. Lyapunov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. Kluwer Academic Publishers, 2002.

87. Silverman L.M., Bucy R.S. Generalizations of theorem of Dolezal / L.M. Silverman, R.S. Bucy // Math.System Theory. 1970. - N 4 - p.67-77.

88. Weiss R. A Product Integration Method for a Class of Singular First Kind Volterra Equations / R. Weiss, R.S. Anderssen // Numer. Math. 1972.- Vol. 18, N 2. pp. 442-456.

89. Yasir K.H. Association of SIB points with non-degenerate equilibria of the extended DAE system / K.H. Yasir, Du Dongyun, Tang Yun // Tsinghua Sci. and Technol. 2003. - Vol. 8, N5. - pp. 568-572.