Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Казак, Владимир Олегович

• Казак, Владимир Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казак, Владимир Олегович

Обозначения и соглашения

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Относительно сг-ограниченные операторы.

1.2 Аналитические группы операторов

1.3 Банаховы многообразия и векторные поля.

1.4 Функциональные пространства и дифференциальные операторы.

1.5 Квазистационарные траектории

2 Фазовые пространства уравнения Хоффа

2.1 Задача Коши - Дирихле.

2.2 Морфология фазового пространства задачи Коши - Дирихле для уравнения Хоффа

2.3 Фазовое пространство задачи Коши - Неймана для уравнения Хоффа.

3 Фазовые пространства обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова

3.1 Задача Коши - Дирихле.

3.2 Морфология фазового пространства задачи Коши - Дирихле.

3.3 Морфология фазового пространства задачи Коши -Неймана.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа»

Постановка задач. Пусть Q С Rn - ограниченная область с границей дО. класса С°°. В цилиндре Q х R рассмотрим задачу Коши - Дирихле и(х, 0) = щ(х), х € О, (0.1) и(х, t) = 0, (я, t)edtix R (0.2) для уравнений

Л + А)щ = аи + (3uz, (0.3) ut - азД ut — 1/Аи - К (и). (0.4)

Уравнение (0.3) в случае п = 1 получено Н. Дж. Хоффом [83] как модель выпучивания двутавровой балки. Функция и = и(х, t), х G t е R имеет физический смысл отклонения балки от положения равновесия. Параметр Л € R+ характеризуют нагрузку, т.е. сжимающую силу, которая принимается нами, как величина постоянная. Параметры а, (3 6 R+ характеризуют свойства материала.

Уравнение (0.4) получено А.П. Осколковым [44], оно моделирует широкий класс процессов, главным участником которых являются вязкоупругие жидкости [43]. Нелинейный член в (0.2) таков, что if(0) = 0, (К(и),и) > 0 ((•,•) - скалярное произведение в L2(Q,)). В частности, нелинейный член в (0.4) может иметь вид К(и) = y2m+i или — gh^ Вообще говоря, нелинейность может быть представлена рядом оо ате Щ. т=О

Параметры ае, v € характеризуют упругие и вязкие свойства жидкости соответственно.

Разрешимость задачи (0.1) - (0.3) впервые изучалась Н.А. Сидоровым и О.А. Романовой [62]. Ими же была отмечена принципиальная неразрешимость задачи (0.1) - (0.3) при произвольных начальных условиях. Затем задачей (0.1) - (0.3) занимался Г.А. Свиридюк [54], [56]. Он показал, что множество допустимых начальных значений для задачи (0.1) - (0.3) локально является банаховым С°°-многообразием. Наша цель - изучение морфологии множества допустимых начальных значений задачи (0.1) - (0.3), понимаемого как фазовое пространство уравнения (0.3).

Разрешимость задачи (0.1), (0.2), (0.4) исследовал А.П. Осколков [43], [44] при аэ, v G М+. Однако еще в в [2] отмечено, что отрицательные значения параметра ае не противоречат физическому смыслу задачи. Поэтому и в данном случае нашей целью является изучение морфологии фазового пространства уравнения (0.4) в случае, когда параметр ае G К— Частный случай уравнения (0.4) -уравнение Осколкова нелинейной фильтрации - рассмотрели Г.А.

Свиридюк и Н.А. Манакова [58]. Именно поэтому в диссертации уравнение (0.4) названо "обобщенным фильтрационным уравнением Осколкова".

Историография вопроса. История изучения разрешимости начальных и начально-краевых задач для уравнений неразрешенных относительно старшей производной по времени всходят к А. Пуанкаре (см. прекрасный обзор в монографии Г.В. Демиденко и С.В. Успенского [17]). Однако систематическое изучение корректности этих задач начато в классической работе C.JI. Соболева [64], в которой им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши - Дирихле для него. Работа C.JI. Соболева легла в основу научного направления, созданного трудами его учениковР.А; Александряном [60]," С.А. Гальперном [15], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскиным [30], Т.И. Зеле-няком [23] и многими другими. Эта работа инициировала работы В.Н. Врагова [13], А.И. Кожанова [28], [84] и С.Г. Пяткова [19] по неклассическим уравнениям математической физики.

Независимо от этих результатов В. D. Coleman, R. J. Duffin и V.

J. Mizel [78] исследовали разрешимость задачи (0.5), (0.6) в одном / частном случае, имеющем важное прикладное значение. Они первыми обнаружили возможную принципиальную неразрешимость задачи при любом начальном значении. В дальнейшем их результаты были обобщены и развиты в работе Н. A. Levine [85]. Разрешимость задачи Коши и{ 0) = 0 (0.5) для абстрактного операторного дифференциального уравнения уравнения

Ьй = Ми (0.6) первыми начали изучать М.И. Вишик [11] и независимо от него С. Г. Крейн с учениками [33], [34]. В последних работах был детально изучен случай (L, ^-ограниченного оператора М при условии фредгольмовости оператора L. Показано, что фазовым пространством уравнения (0.6) служит некоторое подпространство в 11 коразмерности равной размерности М-корневого пространства оператора L. Все эти работы имеют сугубо теоретический характер и не содержат никаких приложений, как и тесно примыкающие к ним результаты И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [87].

Первым абстрактные уравнения вида (0.6) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать R. Е. Showalter [91], [89]. Он рассмотрел случай самосопряженного эллиптического оператора L, вырождающегося на некотором множестве ненулевой меры. R. Е. Showalter [90] и независимо от него Н. А. Сидоров со своими учениками [93] первыми начали изучать полулинейные уравнения вида

Lu = Ми + Щи) (0.7) с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.

К настоящему времени сложилось несколько практически непересекающихся подходов в обширной области, дверь в которую распахнул С. JI. Соболев. Эти подходы, объединенные только объектом исследования, изложены в ряде монографий [17], [19], [82], [87], [88], [93], вышедших буквально в последние шесть лет. В этих монографиях как абстрактные уравнения вида (0.6), (0.7) так и конкретные их интерпретации вида (0.3), (0.4) изучаются в различных аспектах.

Так в монографии R.E. Showalter [91] уравнения вида (0.6), (0.7) с самосопряженным оператором L редуцируются к стандартным уравнениям й = Su, , (0.8) u = Su + F(u), (0.9) определенными, однако, в полугильбертовом пространстве, т.е. пространстве, имеющем нехаусдорфову топологию. В монографии Г.В.

Демиденко и С.В. Успенского [17] методом интегральных представлений функций изучаются уравнения вида (0.6) и их обобщения, где L и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы по "пространственным" переменным. В монографии A. Favini и А. Yagi [82] уравнения (0.6), (0.7) редуцируются к дифференциальным включениям вида й G Su, (0.10) где многозначный линейный оператор S имеет однозначную резольвенту. В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова и С.В. Попова [19] развит подход, использующий пространства Понтрягина и пространства Крейна. В монографии Н.А. Сидорова, Б.В. Логинова, А.В. Синицина и М.А. Фалалеева [93] разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта к уравнениям вида (0.7) и их обобщениям. Наконец, в монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенко-ва [87] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле -Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

В заключение этого кратного исторического обзора скажем несколько слов о терминнологии. К настоящему времени классы уравнений вида (0.3), (0.4) или (0.6), (0.7) не имеют устоявшегося названия. Наряду с терминами "вырожденные дифференциальные уравнения" [82], [87] и "дифференциальные уравнения не разрешенные относительно старшей производной" [17], "неклассические диффернциально-операторные уравнения" [19] существуют термины "псевдопараболические" и "псевдогиперболические" уравнения [17], [29] и даже "уравнения не типа Коши - Ковалевской" [39]. В нашей диссертации мы будем поддерживать традицию, возникшую более полувека назад, и называть как абстактные уравнения вида (0.6), (0.7), так и их конкретные интерпретации вида (0.3), (0.4) уравнениями соболевского типа [60], [7], [30], [31], [43], [44], [70], [71] [86] и т.д. Заметим еще, что на важность изучения таких уравнений указывали И.Г. Петровский [45] и Ж.-Л. Лионе [39].

Актуальность темы диссертации. На наш взгляд наиболее плодотворным (если считатьуже имеющиеся-приложения) - подходом к изучению уравнений соболевского типа является метод фазового пространства, основы которого заложены Г.А. Свиридюком и Т.Г. Сукачевой [56], [60]. Суть этого метода заключается в редукции сингулярного уравнения вида (0.6), (0.7) к регулярному уравнению вида (0.8) или (0.9) соответственно, определенному однако не на всем исходном пространстве, а на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое простраство исходного уравнения (разумеется это множество состоит из допустимых начальных значений).

В линейном случае (т.е. при рассмотрении уравнения (0.6)) метод фазового пространства привел к созданию теории вырожденных (полу)групп операторов. Именно, в своей диссертации Г.А. Свиридюк сформулировал понятие относительно сг-ограниченного оператора и построил разрешающую вырожденную аналитическую группу операторов уравнения (0.6) в случае, когда оператор М (L, сг)-ограничен [53]. Здесь же были сформулированы начальные понятия относительно р-секториальных операторов. В диссертациях Т.А. Бокаревой [6] и JI.JI. Дудко [18] линейные результаты диссертации Г.А. Свиридюка были обобщены и развиты на случай относительно р-секториальных операторов и вырожденных аналитических полугрупп. В диссертации В.Е. Федорова [67] построена теория относительно р-радиальных операторов и показаны следующие включения: относительно сг-ограни- С [относительно р-секто- С [относительно р-ради-ченные операторы] риальные операторы] альные операторы] порождают порождают порождают вырожденные аналити- С [вырожденные аналити- С [вырожденные Со-полу-ческие группы операто- ческие полугруппы one- группы], ров] раторов]

Во всех этих работах основной целью было доказательство того, что во всех рассматриваемых случаях фазовое пространство уравнения (0.6) совпадает с образом разрешающей вырожденной (полу)группы операторов, а побочной целью - получение аналогов классических теорем таких, как теорема Соломяка - Иосиды или теорема Хилле - Иосиды - Феллера - Филлипса - Миядеры. Некоторые из линейных результатов были обобщены в диссертации А.А. Замышляевой [22] на случай линейного уравнения соболевского типа высокого порядка

AvW = Bn~\vn~l + . + B0v, которое является абстрактным обобщением уравнений Россби длинных волн, Буссинеска - Лява продольных колебаний, Дежен звуковых волн в смектиках и многих других. ч Полученные линейные результаты уже нашли свои приложения. Так, в диссертации Г.А. Кузнецова [35] найдены достаточные условия относительных сильной р-секториальности и сильной р-радиальности линейных операторов, доказан критерий а-ограни-ченности относительно бирасщепляющего и фредгольмова операторов. Диссертация А.В. Келлер [26] посвящена экспоненциальным дихотомиям линейных однородных и ограниченным решения линейных неоднородных уравнений соболевского типа. Диссертация А.А. Ефремова [20] содержит исследование оптимального управления линейными уравнениями соболевского типа. В диссертации

С.В. Брычева [8] на основе результатов В.Е. Федорова [68] построен новый численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (так называемых "систем леонтьевского типа", к которым относится знаменитая системы Леонтьева "затраты - выпуск" с учетом запасов). Этот алгоритм доведен до конечного программного продукта, который нашел применение в администрации г. Еманжелинска Челябинской области. Причем алгоритм отличается от ставшими классическими аналогов Ю.Е. Бояринцева и В. Ф. Чистякова [5], В. Ф. Чистякова [74]. Наконец, в диссертации С.А. Загребиной [21] рассматривается задача Веригина для уравнения (0.6), которая обобщает классическую задачу Коши (0.5). Здесь, как и во всех работах абстрактные результаты богато проиллюстрированы прикладными задачами. К настоящему времени потенциал метода фазового пространства в линейных уравнениях соболевского типа еще далеко не исчерпан. Об этом свидетельствуют работы Г.А. Свиридюка и И.В. Бурлачко [57], В.Е. Федорова и М.В. Плехановой [69], В.Е. Федорова и О.А. Рузаковой [70], В.Е. Федорова и М.А. Сагадеевой [71].

Успех метода фазового пространства в линейном случае обусловлен тем фактом, что фазовое пространство уравнения (0.6) во всех рассмотренных случаях является аффинным многообразием, т.е. атлас такого многообразия эквивалентен атласу, содержащему единственную карту. В дальнейшем гладкие банаховы многообразия с атласом из единственной карты было принято называть простыми, и была сформулирована задача поиска полулинейных уравнений соболевского типа вида (0.7), фазовыми пространствами которых служат простые банаховы многообразия, причем эти многообразия моделируются образом вырожденной разрешающей (полу) группы линейного уравнения (0.6). Ожидалось, что поскольку такие уравнения в некотором смысле наиболее близки к линейным, то для них удастся получить соответствующие обобщения линейных результатов. Задача поиска полулинейных уравнений соболевского типа с простыми фазовыми пространствами была успешно решена в диссертации М;М. Якупова [75]/Здесь была установлена простота фазового пространства задачи Коши - Дирихле для уравнения Осколкова, моделирующего плоско параллельную динамику вязко-упругой жидкости, и задача Коши - Бенара для гибрида уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека - Буссинеска, моделирующего плоскопараллельную термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости. Эти результаты уже нашли применение в теории оптимального управления [59]. Все это говорит об актуальности задачи поиска и описания простых фазовых пространств полулинейный уравнений соболевского типа.

Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации являются достаточные условия существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. Заметим, что простыми мы будем называть многообразия, атлас которых состоит из единственной карты. Такие многообразия наименее отличаются от подпространств банаховых пространств и поэтому являются их первыми естественными обобщениями. Простые многообразия хороши еще и тем, что дают полную информацию о фазовом пространстве.

Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений (0.3), (0.4). Как отмечено выше, все эти задачи изучались и ранее, однако полученная информация являлась неполной. Установленная нами полнота фазовых пространств существенным образом обобщает эти результаты и потому носит окончательный характер. Отметим еще, что необходимость изучения именно простых фазовых пространств диктуется потребностями теории возмущений уравнений вида (0.7).

Методы исследования. Как сказано выше, основным методом исследования полулинейных уравнений соболевского типа в нашей диссертации служит метод фазового пространства. Поскольку этот метод изучения однозначной разрешимости задачи Коши (0.5) для полулинейного уравнений соболевского типа (0.7) сводит к поисф ку и описанию фазового пространства, то для решения последней задачи мы используем такие мощные средства нелинейного функционального анализа как теорему о неявной функции (см. например, JI. Ниренберг [42]), теорию степени непрерывных отображений (см. например, М.А. Красносельский [32], Л. Ниренберг [42]), теорию монотонных операторов, в особенности теорему Вишика -Минти - Браудера (см. X. Гаевский, К. Грегер, X. Захариас [14]). Во всех рассмотренных задачах фазовое пространство уравнения (0.7) моделируется образом разрешающей (полу)группы соответствую* щего ему линейного уравнения (0.6). Поэтому нам потребовались основные результаты теории вырожденных (полу) групп операторов (см. Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров [88]). И наконец, для построения векторных полей на фазовых пространствах, интегральные кривые которых являются решениями уравнения (0.7), нам потребовалась теория гладких банаховых многообразий (см. Н. Бурбаки [9], С. Ленг [37]).

Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме Вве-ч дения и Списка литературы содержит три главы. Список литературы включает 103 наименования работ отечественных и зарубежных авторов, составляющих базу диссертации.

Первая глава состоит из пяти параграфов, причем первые четыре параграфа носят пропедевтический характер. Они содержат ранее известные результаты, адаптированные к нашей ситуации. Так, п. 1 и п. 2 посвящены теории относительно сг-ограниченных операторов и порождаемых ими вырожденных аналитических групп операторов, (см. монографию Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [88]). В п. 3 собраны основные факты теории гладких банаховых многообразий и векторных полей на них. Апофеозом этого параграфа следует считать классическую теорему Коши в обобщенной формулировке. Доказательства этих результатов можно -найти в фундаментальной монографии С. Ленга [37]:—.

В п. 4 первой главы представлены основные результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Основное внимание здесь уделено формализации понятия "дифференциальный оператор" в областях с границей класса С°°. В основном все результаты, касающиеся собственно дифференциальных операторов, взяты из богатой содержанием справочной монографии X. Трибеля [66].

П. 5 содержит результаты, обобщающие работу Г.А. Свиридюка [54], в которой методом Ляпунова - Шмидта исследована задача (0.5), (0.7) в случае, когда оператор L - фредгольмов. Предложенная нами абстрактная схема основана на других принципах и может быть использована даже если оператор L не является фредголь-мовым. Наша схема основана на понятии квазистационарной траектории, которое обобщает понятие стационарной траектории. Основной результат здесь - формулировка и доказательство теоремы о существовании и единственности квазистационарной траектории полулинейного уравнения соболевского типа, проходящей через наперед заданную точку. Доказательство базируется на классической теореме Коши о сечениях векторных полей на гладких банаховых многообразиях.

Вторая глава состоит из трех параграфов и содержит исследование фазовых пространств уравнения Хоффа. П.1 второй главы проводится редукция задачи (0.1)—(0.3) к задаче (0.5), (0.7). Здесь активно используется теория функциональных пространств и дифференциальных операторов из п. 1.4. Основные результаты здесь - доказательства (L, ^-ограниченности оператора М и включения N G С00^;^). В заключении п. 2.1 приводятся основные понятия теории степени непрерывного отображения, взятые из J1. Нирен-берга [42] и адаптированные к нашей ситуации. П. 2 второй главы посвящен изучению морфологии (т.е. строению, структуры) фазового пространства задачи (0.1) - (0.3). Здесь содержится один из основных результатов диссертации - доказательство простоты фазового пространства задачи Коши - Дирихле для уравнения Хоффа. Доказательство потребовало привлечения таких методов нелинейного функционального анализа, как теория степени непрерывного отображения, теорема о неявной функции, теорема Коши для гладких векторных полей на банаховых многообразиях. Завершается п.2 замечанием, в котором обсуждается "геометрический смысл" полученных результатов. Именно, показывается, что 2-сборка Уит-ни на самом деле является 0-сборкой Уитни (терминологию см. в [7]). В п.З второй главы изучается фазовое пространство задачи Коши - Неймана для уравнения Хоффа. Основной результат здесь - простота фазового пространства этой задачи. Поскольку исследования аналогичны предыдущему случаю, то все доказательства приводятся с заметными сокращениями.

Третья глава состоит из трех параграфов и включает в себя исследование фазовых пространств обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова. В п.1 третьей главы проводится редукция задачи (0.1), (0.2), (0.4) к задаче (0.5), (0.7). Здесь используется теория дифференциальных операторов в функциональных пространствах и теоремы вложения Соболева, почерпнутые из п. 1.4. Основные результаты п.1 - доказательство (L, ^-ограниченности оператора М, s-монотонности и сильной коэрцитивности оператора N. Кроме того, здесь приводятся необходимые сведения теории монотонных операторов, в частности, теорема Вишика - Минти -Браудера. П.2 третьей главы содержит один из основных результатов диссертации - доказательство простоты фазового пространства задачи (0.1), (0.2), (0.4). Доказательство этого факта существенно использует понятия теории монотонных операторов, разработанные Г.А. Свиридюком [47], [49], [50] и представленные в п.1. В п. 3 третьей главы содержится доказательство простоты фазового пространства задачи Коши - Неймана для обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова. Поскольку исследования аналогичны случаю задачи Коши - Дирихле, то все доказательства приводятся с заметными сокращениями.

Апробация. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на VI Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (2000 г., г. Новосибирск), Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (2000 г., г. Одесса), Международных школах-семинарах по геометрии и анализу в (2000 г., 2004 г., г. Ростов-на-Дону), Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (2001 г., г. Екатеринбург), студенческих конференциях Челябинского государственного университета в 2001 и 2002 году (г. Чел ябинск), на Весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (2004 г., г. Воронеж). Также результаты докладывались на семинаре проф. Г.А.Свиридюка в Челябинском государственном университете (г. Челябинск).

Кроме того, данное исследование поддержано грантами Минобразования РФ ЖА.03-2.8-83, Минобразования РФ и Правительства Челябинской области и стипендией Законодательного собрания г. Челябинска для студентов (2000 г.)

Публикации. Все результаты диссертации своевременно опуб-« ликованы [95] - [104]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно. Результаты, выносимые на защиту.

1. Разработка метода фазового пространства в случае, когда фазовое пространство содержит только квазистационарные траекто рии.

2. Описание фазовых пространств основных начально-краевых задач для уравнения Хоффа.

3. Описание фазовых пространств основных начально-краевых задач для обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова.

Благодарности. В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за чуткое руководство и стимулирующие дискуссии. Автор так же выражает огромную благодарность Вячеславу Леонидовичу Охотни-кову за понимание и помощь при выходе из возникавших затруднений. Кроме того, автор благодарен коллективу кафедры математического анализа Челябинского государственного университета за конструктивную критику, а так же маме Елене Владимировне за веру и самоотверженность;.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казак, Владимир Олегович, 2005 год

1. Александрян Р. А. Спектральные свойства операторов порожденных системами дифференциальных уравнений типа Соболева // Тр. ММО. 1.60. Т.9. С.455-505.

2. Амфилохиев В. В., Войтпкунский Я.И., Мазаева Н.П., Ходорковский Я.С. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений // Тр. Лен. кораблестр. ин-та. 1975. Т.96. С.3-9.

3. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.

4. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов Ю.И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера // Успехи матем. наук. 1977. Т.32, №4. С.3-54.

5. Бояртцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифферен-циальные системы: методы решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998.

6. Бокарева Т.Л. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1993.

7. Бокарева Т.А., Свиридюк Г.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева // Мат. заметки. 1994. Т. 55, №3. С. 3-10.

8. Брычев С.В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2002.

9. Бурбаки Н. Дифференциальные и аналитические многообразия. Сводка результатов. М: Мир, 1975.

10. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

11. Вишик М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. 39(81):1. С.51-148.

12. Войтпкунский Я.И., Амфилохиев В.Б., Ходорковский Я.С. Уравнения движения жидкости с учетом ее релаксационных свойств // Тр. Ленингр. кораблестр. ин-та. 1970. Т. 69. С. 1624.

13. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ, 1983.

14. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

15. Галъперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // Тр. ММО. I960. Т.9. С.401-403.

16. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

17. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998.

18. Дудко Л.Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Новгород, 1996.

19. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

20. Ефремов А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева. Дис. канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1996.

21. Загребина С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости. Дне. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2002.

22. Замышляева А.А. Исследование одного класса линейныхчуравнений соболевского типа высокого порядка Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2003.

23. Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ. 1965.

24. Квадарос Б. О разрешимости задачи Коши для вырожденного квазилинейного дифференциального уравнения // Литовский мат. сб. 1980. Т. 20, №3. С. 51-55.

25. Квадарос Б., Мационис И. Задача Коши для вырожденного дифференциального уравнения // Литовский мат. сб. 1975. Т.15, №2. С.121 -131.

26. Келлер А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1997.

27. Клемент Ф., Хейманс X., Ангенент С., Дуйн К. ван, Пах-тер Б. де. Однопараметрические полугруппы. М.: Мир, 1992.

28. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990.

29. Кожанов А. И. Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами // Вест. Челяб. ун-та. Сер. мат. и мех. 1999. С.31-47.

30. Костюченко А.Г., Эскин Г.И. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна // Труды Моск. матем. об-ва. 1961. Т.10. С.273-285.

31. Котсиолис А.А., Осколков А.П., Щадиев Р.Д. Нелокальные задачи для класса нелинейных диссипативных уравнений типа C.JI. Соболева // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1992. Т. 199. С. 91-113.

32. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

33. Крейн С. Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики // ДАН СССР. 1953. Т.93, №6. С.969-972.

34. Крейн С. Г., Чернышов К. И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Препр. Ин-та математ. СО АН СССР. Новосибирск, 1979.

35. Кузнецов Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999.с

36. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязчкой несжимаемой жидкости, 2-ое изд. М.: Наука, 1970.

37. Лет С. Введение в теорию дифференциальных многообразий. Волгоград: Платон, 1997.

38. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

39. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачиг