Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Матвеева, Ольга Павловна

• Матвеева, Ольга Павловна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Матвеева, Ольга Павловна

Содержание

Обозначения и соглашения

Введение

1 Абстрактная задача Коши для полулинейного уравнения соболевского типа

1.1 Случай р-ограниченного оператора

1.2 Случай р-секториального оператора

2 Вязкоупругие жидкости ненулевого порядка

2.1 Модель динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости

2.2 Обобщенная модель динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости

2.3 Задача Тейлора для модели динамики ненулевого порядка

3 Термоконвекция вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка

3.1 Модель термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости

3.2 Обобщенная модель термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости

3.3 Вычислительный эксперимент для модели термоконвекции ненулевого порядка

Заключение

Список литературы

89

Обозначения и соглашения

1. Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например:

N — множество натуральных чисел, М — множество действительных чисел, М+ = { г в М : г > 0 }, С — множество комплексных чисел, О, — подмножества в Мп,

— пространства Соболева, Ьр(0,) — пространства Лебега,

— пространства Гельдера и т.д. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского алфавита, в особых случаях — строчными буквами греческого алфавита.

2. Множества операторов обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:

С{Ы\ З7) — множество линейных непрерывных операторов, действующих из банахова пространства Ы в банахово пространство

С1(Ы; Т) — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве Ы и действующих в пространство Т\

Ск(и; Т), к Е Ки {оо} — множество операторов, имеющих непрерывные производные Фреше порядка к, определенных на Ы и действующих в Т. Отметим, что вместо С{Ы]Ы), С1(Ы]Ы) и Ск(Ы;Ы) для краткости будем писать соответственно С(Ы), С1(Ы) и Ск(Ы).

Элементы множеств операторов обозначаются заглавными буквами

латинского алфавита.

Для линейного оператора L приняты следующие обозначения:

dorn L — область определения L,

im L — множество значений (образ) L,

ker L — ядро (нуль-пространство) L,

coimL — некоторое дополнение к ядру L,

p{L) — резольвентное множество L,

a(L) — спектр L.

3. Множество, снабженное какой-либо структурой ( как правило алгебраической или топологической), называется пространством.

4. Все рассуждения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении "спектральных" вопросов вводится их естественная комплексификация.

5. Все контуры ориентированы движением "против часовой стрелки" и ограничивают область, лежащую "слева" при таком движении. Если ориентация контура противоположна сказанной, то делаются специальные оговорки.

6. Буквами / и О (или цифрой 0) обозначаются соответственно "единичный" и "нулевой" операторы, области определения которых ясны из контекста.

7. Словом const обозначаются различные константы.

8. Символ • лежит в конце доказательства.

9. Во введении к дисертации используется бинарная нумерация формул, а в рамках всей диссертации — тернарная нумерация утверждений, замечаний и формул.

10. Основные результаты каждого параграфа называются теоремами. Вспомогательные результаты, необходимые при доказательстве теорем, называются леммами. Второстепенные результаты и возможные обобщения формулируются в замечаниях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка»

Введение

Постановка задач

Система уравнений

к

(1 - ае\72Ц = - (у ■ + ^ - Х7р + /,

О — V • г;, ^ (°л)

ди>1 -——

-т— = V + а/од, а; е 1 = 1, К т

моделирует динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта порядка К > 0 [43]. Функция V — (г>1, г>2, г>п), Щ — Уг{х,£), а; Е (Г2 С Мп , п = 2,3,4, — ограниченная область с границей дО, класса С°°) имеет физический смысл скорости течения, функция р = р(х, £) отвечает давлению жидкости. Параметры V Е М+ характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно. Па-

раметры ¡3i G Ш+ , I = 1, К, определяют время ретардации (запаздывания) давления. Для системы (0.1) рассмотрим задачу Коши — Дирихле

v(x,0) = v0{x), р(х,0) = р0(х),

wi(x, 0) = wi0(x), VxeCl, (0.2)

v(x, t) = 0, wi(x, t) = 0, 1 = 1, К, V(x, t) edil x R, и задачу Тейлора

v(x, 0) = vq(x), wi(x, 0) = Щ0(х) \/x G Q,

v{x, t) = 0, wi(x, t)= 0 V(z, t) G <92f2 x R, (0.3)

v{x,t), Wi(x, t) удовлетворяют условию периодичности на X Ж .

Система уравнений

к

(1 - А У2)^ = - (V ■ - ддв - Ур + /,

1=1

<

0 = У(У-и),

(0.4)

Ои!1 , --г

—— = V + ,агек_, 1 = 1, к

т

вь = азУ20 - V ■ Чв + у ■ д

моделирует эволюцию скорости V — (г>ь ..., г>п), У{ = Уг(х, ¿), градиента давления Vр = (р\,... ,РП),Р{ = Рг(х, £) и температуры в = в(х, £) несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта порядка к > 0 [28, 43]. Параметры ЛЕЕ, и Е М+ и эе Е М+ характеризуют свойства жидкости, д Е М.+ — ускорение свободного падения, вектор д = (0, ...,0,1) — орт в Параметры Д Е , I = 1, к определяют время ретардации (запаздывания) давления. Свободный член / = (/1,..., /„), fi= /¿(ж) отвечает внешнему воздействию на жидкость.

Рассмотрим разрешимость первой начально-краевой задачи

для системы (0.4). Здесь П С ]КП, п = 2,3,4 — ограниченная область с границей 80, класса С°°.

Аналогично ставятся начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений, обобщающих системы (0.1) и (0.4).

Все рассматриваемые модели сводятся к разрешимости задачи Коши

у(х, 0) = ь0(х), 0) = ги;0(ж),

0(х,О) = 6о(х),

у(х, ¿) = 0, и)1(х, Ь) = 0,

(0.5)

в(х, г) = о, У(х, 6 <90 х м+ , 1=1, к

и{ 0) = щ

(0.6)

для полулинейного уравнения соболевского типа

Ьй = Ми + F(u). (0.7)

Здесь U и J- — банаховы пространства, оператор L Е C{U; Т), то есть линеен и непрерывен (ker L ^ {0}), оператор М : domM —» J7, М Е Cl(U\ J7) линеен, замкнут и плотно определен в U, а оператор F : dorn F —> Т- нелинейный.

Уравнения вида (0.7) часто называют "соболевскими" [12, 34, 45, 50, 98, 99, 107], так как впервые начально-краевые задачи для линейных уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных по времени, начал изучать С.Л.Соболев, который одним из первых исследовал задачу Коши для уравнения

Autt + cu2uzz = 0,

моделирующего малые колебания вращающейся жидкости [80].

Целью работы является качественное исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка на основе теории разрешимости задачи (0.6), (0.7) и описание их фазовых пространств, а также проведение вычислительного эксперимента.

Актуальность темы диссертации

Известно, что, когда оператор L необратим (в частности, когда ker L ^ {0}), задача (0.6), (0.7) разрешима не для любого начального значения щ Е Ы. Поэтому актуальным является поиск таких допустимых начальных значений щ Е Ы, при которых задача (0.6), (0.7) однозначно разрешима. Такой случай возникает во всех перечисленных выше прикладных задачах, поэтому его изучение представляет несомненный

интерес. Впервые этот факт был отмечен в [97], а затем многие авторы неоднократно обращали внимание на это обстоятельство (см., например, [24, 25, 35, 92, 93, 112]).

Поиск множества допустимых начальных данных щ Е Ы привел Г.А.Свиридюка к созданию метода фазового пространства. Основы этого метода были заложены в [51], затем метод был развит в [57] и [82] .

При исследовании разрешимости задачи Коши для линейного однородного уравнения соболевского типа

Ьй = М и (0.8)

были введены в рассмотрение относительно спектрально ограниченные операторы (то есть такие операторы, относительный спектр которых ограничен) и соответствующие им группы разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.8) [56, 58, 110]. Очевидно, что класс относительно сг-ограниченных (то есть относительно спектрально ограниченных) операторов включает в себя операторы с ограниченным спектром вида Ь~1М в случае существования оператора Ь~1 Е С{Т\ Ы). Кроме того, были введены в рассмотрение относительно р-секториальные операторы, класс которых включает в себя секториальные операторы вида Ь~гМ в случае существования оператора Ь~1 Е и соответствующие им

разрешающие полугруппы операторов уравнения (0.8) [59, 63, 65] .

Используя указанный метод, удалось показать, что в ряде интересных с точки зрения приложений случаях [52, 53, 54, 55, 62, 66, 71] фазовым пространством автономных уравнений вида (0.7) служит банахово многообразие С°°-диффеоморфное образу разрешающей группы (полугруппы) уравнения (0.8). В случае линейного уравнения (0.8) фазовое

пространство просто совпадает с образом.

Укажем на принципиальное отличие данного подхода от метода слабых решений [78, 79], метода регуляризации [31, 32, 33] и метода дифференциальных включений [106, 107].

В настоящее время теория относительно сг-ограниченных (относительно р-секториальных) операторов и соответствующих им групп (полугрупп) операторов с ядрами интенсивно развивается. Основной целью этой теории является поиск условий, при которых фазовое пространство уравнения (0.8) совпадает с образом группы (полугруппы) разрешающих операторов. В существующем ныне обзоре [61], учебном пособии [76] и монографии [111] приведены основные известные к настоящему времени результаты теории относительно сг-ограниченных и р-секториальных операторов и соответствующих им групп и полугрупп разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.8). Некоторые направления развития этой теории намечены в [17, 19, 29, 36, 60, 86, 96].

Задача (0.6), (0.7) в автономном случае при р = 0 изучалась ранее Г.А.Свиридюком в его докторской диссертации [57] , в неавтономном случае при р > 0 Т.Г.Сукачевой [85] . В данной работе продолжены исследования, начатые в [57, 85], в ней впервые изучены автономные модели несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.

Заметим, что к задаче Коши (0.6) для уравнения (0.7) сводятся не только указанные выше задачи для систем (0.1), (0.4), но и многие другие начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы. К таким

моделям можно отнести уравнение Баренблатта — Желтова — Кочи-ной, описывающее фильтрацию жидкости в трещиновато-пористой среде; уравнение Буссинеска — Лява, моделирующее продольные волны в тонком упругом стержне с учетом поперечной инерции; уравнение, моделирующее эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости; уравнение Хоффа, моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки и др.

Таким образом, имеется класс конкретных прикладных задач, которые сводятся к абстрактной задаче (0.6), (0.7). Следовательно, исследование моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка является актуальной задачей.

Методы исследования

Основным методом исследования служит метод фазового пространства. Содержание указанного метода составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теории относительно р-секториальных операторов и аналитических полугрупп операторов, теории дифференцируемых банаховых многообразий.

Идея метода фазового пространства заключается в сведении автономного уравнения (0.7) к уравнению й = В(и), заданному не на всем Ы, а на некотором (гладком банаховом) многообразии, вложенном в Ы [71, 72], являющимся фазовым пространством этого уравнения в смысле Д.В. Аносова [2].

Основным инструментом исследования служит понятие относительно р-секториального оператора и вырожденных полугрупп операторов. То есть при исследовании математических моделей несжимаемых вязко-

упругих жидкостей используется полугрупповой подход, предложенный проф. Г.А.Свиридюком и развитый его учениками [61], [111].

Так как диссертация кроме качественных исследований содержит еще и результаты вычислительных экспериментов, здесь необходимо еще упомянуть метод Галеркина, лежащий в их основе.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести то, что впервые описаны фазовые пространства задачи Коши-Дирихле и первой начально-краевой задачи для моделей динамики несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка и соответствующих моделей термоконвекции, а также для задачи Тейлора модели динамики ненулевого порядка. Полученные результаты содержат исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, имеющих прикладной характер. Эти результаты могут учитываться при построении численных алгоритмов решения задач. Это было уже отмечено в конечномерном варианте линейной теории уравнений соболевского типа [40, 67, 68] .

Предложенный программный продукт может быть использован для нахождения численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей термоконвекцию несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.

Историография вопроса

Об уравнениях, не разрешенных относительно старшей производной, впервые упоминается в работах А. Пуанкаре. Систематически изучать начально-краевые задачи для уравнений вида (0.8), где L и М (возмож-

но, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по "пространственным" переменным, стал С. J1. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. В работе [80] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Эта работа легла в основу нового направления, которое первоначально развивалось учениками С. Л. Соболева - Р. А. Александря-ном [1], С. А. Гальперном [14], А. Г. Костюченко и Г. И. Эскиным [34], Т. И. Зеленяком [22] и другими. Работу в том же напрвлении продолжили В. Н. Врагов [И], А. И. Кожанов [31], [32] и С. Г. Пятков [18].

С.Л.Соболев, используя методы гильбертова пространства, установил корректность начально-краевой задачи для исследуемого им уравнения [80].

Первым абстрактные уравнения вида (0.8) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать Р. Е. Шоуолтер [105], [108]. Независимо от него М. И. Вишик [9] рассмотрел задачу Коши для уравнения (0.8) и разработал численные методы ее решения. Р. Е. Шоуолтер [108] и независимо от него Н. А. Сидоров со своими учениками [78], [79] первыми начали изучать полулинейные уравнения вида (0.7) с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.

Первыми, кто начал изучать разрешимость задачи Коши для абстрактного линейного операторного уравнения (0.8), были С. Г. Крейн [35] и его ученики. В их работах впервые было отмечено, что задача (0.6), (0.8) однозначно разрешима при всех начальных данных, лежащих в

некотором подпространстве U, причем ее решение при всех i G t также лежит в этом подпространстве. К этим работам примыкают результаты И. В. Мельниковой и ее учеников [42], [104].

Уравнения вида (0.7) и конкретные их интерпретации называют уравнениями соболевского типа [34], [44], [71], [103],[105], [111] . Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "вырожденные дифференциальные уравнения" [100], [104] и "дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной" [16], "неклассические дифференциально-операторные уравнения" [18], "псевдопараболические" и "псевдогиперболические" уравнения [16], [101] и "уравнения не типа Коши - Ковалевской" [38]. Уравнения соболевского типа являются самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики. Важность и необходимость создания общей теории уравнений вида (0.7), (0.8) отмечали И. Г. Петровский [47] и Ж.-Л. Лионе [39].

К абстрактной задаче (0.6), (0.7) можно редуцировать начально-краевые задачи для уравнений, описывающих движение вязкоупругих жидкостей, "которые способны к релаксации напряжений при деформировании или проявляют феномен задержанного развития деформаций после снятия напряжений "[46]. Связь тензора напряжений а и тензора скоростей деформаций D определяет тип жидкости. Соотношение между и и D, называемое определяющим или реологическим, имеет вид

l qI М дт

+ Е Xiw)a = 21/(1 + Е - Ре>

1 = 1 771=1

где {А/} 1 — 1, ■ ■ ■, Ь — времена релаксаций, {ает} т = 1, ..., М времена запаздывания , р — давление жидкости.

Простейшими из них являются жидкости Максвелла (Ь = 1, М = 0), жидкости Кельвина — Фойгта (Ь = 0, М = 1) и жидкости Олдройта (Ь = М — 1). В жидкостях Максвелла напряжения после прекращения движения уменьшаются как ехр(—¿Ах-1), в жидкостях Кельвина — Фойгта при снятии напряжений скорость деформации уменьшается как ехр(—а в жидкостях Олдройта наблюдается как экспоненциальное релаксирование напряжений, так и экспоненциальное запаздывание деформаций.

Подстановкой соответствующего реологического соотношения в уравнения движения несжимаемой жидкости

щ + (и- = Уст + /, V • и = 0

получена система, представляющая собой обобщение системы уравнений Навье — Стокса, в которую она переходит при Ь = М = 0.

А.П.Осколков [43] исследовал разрешимость в гельдеровых и соболевских пространствах начально-краевой задачи в цилиндре О х (0, Т)

и(х,0) = щ(х), х е П, «О, ¿)=0, (х, Ь) е дП х (0, Т)

для уравнения

(Л - У2Н = гЛ72гг -Vp + f) V • и = 0,

V — положительный параметр, Л > —\\ (Ах — наименьшее собственное число спектральной задачи — У2г> + Vр = Аг>, V • г; = 0, V = 0 на дП).

А.П.Осколков вместе с учениками [28] построил теорию глобальной разрешимости на [0, сю] начально-краевых задач для течений жидкостей

Олдройта (n = 2) и жидкостей Кельвина — Фойгта (п = 3), на основе которой возникла теория аттракторов и динамических систем, порождаемых этими начально-краевыми задачами.

А. П. Осколковым было предложено провести исследование моделей динамики жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, используя метод фазового пространства [71, 72]. Впервые такие исследования представлены в [82] и продолжены в [85]. Данная работа также посвящена изучению фазовых пространств моделей гидродинамики ненулевого порядка.

В настоящее время уравнения соболевского типа переживают пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. Вышло много монографий, целиком или частично посвященных уравнениям (0.7), (0.8).

В монографии Р. Е. Шоуолтера [108] рассматриваются уравнения (0.7), (0.8) с самосопряженным оператором L, определенными в полугильбертовом пространстве, т. е. пространстве, имеющем нехаусдорфову топологию.

В монографии Г. Е. Демиденко и С. В. Успенского [16] методом построения последовательностей приближенных решений и получения их оценок в соответствующих нормах изучена задача Коши и смешанная задача для уравнения

i-i

L0(Ds)Dltx + ^ L^k{Ds)Dktx = f(s, t) k=0

с квазиэллиптическим оператором Lq(Ds).

В монографии В.Р. Врагова [11] выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые за-

дачи для линейных уравнений (0.8) с дифференциальными операторами по пространственным переменным.

В монографии А. Фавини и А. Яги [100] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения ^ £ А{х) с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа (0.8) с (Ь, <т)-ограниченным оператором М в случае устранимой особой точки в бесконечности.

В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синицина и М. А. Фалалеева [109] разработаны приложения метода Ляпунова -Шмидта к полулинейным уравнениям и их обобщениям. Доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения (0.7) с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор Р (типа ограничений). Показано существование гу-периодического решения задачи Коши для неоднородного уравнения с замкнутыми плотно определенными операторами и ги-периодической неоднородностью.

В монографии И. В. Мельниковой и А. И. Филенкова [104] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления исходных пространств в прямые суммы ядра и образа оператора при производной по времени.

В монографии И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова и С. В. Попова [18] исследована разрешимость краевой нелокальной задачи для неоднородного уравнения (0.8), где операторы Ь,М - самосопряженные (или диссипа-тивные) операторы, определенные в гильбертовом пространстве. Полу-

чен результат о существовании сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (ортогональности) решение краевой задачи является гладким.

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [13] исследуется задача Коши для псевдопараболического уравнения (0.7) с равномерно липшиц-непрерывным и сильно монотонным оператором Ь и липшиц-непрерывным оператором Вольтерры М. Доказываются теоремы существования и единственности решений данной задачи, а также сходимость метода Галеркина.

Монография А.Г. Свешникова, А.Б. Алыпина, М.О. Корпусова, Ю.Д. Плетнера [48] посвящается проблемам глобальной и локальной разрешимости широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных, включая псевдопараболические уравнения и уравнения соболевского типа.

В монографии Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова [5] изучаются алгебро-дифференциальные неоднородные системы вида (0.7) с прямоугольной или вырожденной при всех £ 6 [0,Т] матрицей Ь(Ь).

Во всех рассмотренных монографиях отсутствует объяснение факта принципиальной неразрешимости задачи (0.6), (0.7) при произвольных начальных данных. Впервые данный факт был замечен в [97], [102], затем он отмечался многими авторами, одно из объяснений этого факта было представлено Г. А. Свиридюком и Т. Г. Сукачевой [71], [72] с точки зрения предложенного ими метода фазового пространства. Изучение начально-краевых задач для различных линейных и полулинейных уравнений соболевского типа сводится к изучению их фазовых пространств.

Последовательное применение метода фазового пространства к изучению уравнений вида (0.8) позволило не только построить стройную теорию вырожденных (полу)групп операторов, но и разработать приложения этой теории к задачам устойчивости и задачам оптимального управления.

Первые итоги этих исследований подведены в монографии Г. А. Сви-ридюка и В. Е. Федорова [111]. В эту монографию вошли результаты Т.А. Бокаревой [3], JI.JI. Дудко [17], А.В.Келлер [29], В.Е. Федорова [86], A.A. Ефремова [19], Г.А Кузнецова [36]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации С.А Загребиной [20], C.B. Брычева [6], A.A. Замышляевой [21], И.В. Бурлачко [7] и докторская диссертация В.Е. Федорова [90]. К настоящему времени В. Е. Федоров обобщил теорию вырожденных (полу)групп операторов на случай локально выпуклых пространств [87], [88], [89].

Изучение фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа начато Г. А. Свиридюком [49] в 1986 году для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска. Г. А. Свиридюком и M. М. Яку-повым [77] было изучено фазовое пространство уравнения Осколкова

(1-xV =

и доказано, что фазовое пространство является простым банаховым С°°-многообразием. В диссертации M. М. Якупова [96] была установлена простота фазового пространства задачи Коши - Бенара для гибрида уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека - Буссинеска, моделирующего плоскопараллельную термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости. Непосредственным про-

должением [77] являются работы [69] и [64], [70].

В рамках данного направления можно выделить диссертационные работы учеников Г. А. Свиридюка. В диссертации Т. А. Бокаревой [3] изучена морфология фазового пространства задачи (0.6), (0.7) в эволюционном случае. Найдены условия, при которых фазовое пространство содержит к- сборку Уитни. Абстрактные результаты были применены к системам, имеющим важное прикладное значение.

В диссертации JI. JT. Дудко [17] были найдены необходимые и достаточные условия относительной с-ограниченности линейных операторов.

В диссертации Г. А. Кузнецова [36] найдены достаточные условия относительной сильной р-секториальности и сильной р-радиальности линейных операторов, доказан критерий сг-ограниченности относительно бирасщепляющего и фредгольмова операторов.

Диссертация А. В. Келлер [29] посвящена экспоненциальным дихотомиям линейных однородных и ограниченным решениям линейных неоднородных уравнений соболевского типа.

В диссертации C.B. Брычева [6] построен новый численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (так называемых "систем леонтьевского типа", к которым относится знаменитая система Леонтьева "затраты - выпуск" с учетом запасов) .

В диссертации С. А. Загребиной [20] рассматривается задача Вери-гина для уравнения (0.7), которая обобщает классическую задачу Ко-ши (0.6). Здесь, как и во всех работах, абстрактные результаты богато проиллюстрированы прикладными задачами.

В диссертации А. А. Замышляевой [21] изучено фазовое пространство уравнения соболевского типа высокого порядка. Построено семейство вырожденных аналитических М, ^-функций.

В диссертации В. О. Казака изучены фазовые пространства обобщенного уравнения Осколкова и уравнения Хоффа [26].

H.A. Манакова в диссертации [40] исследует достаточные условия разрешимости задачи Шоуолтера-Сидорова оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений соболевского типа.

В диссертации В.В. Шеметовой [95] исследовалась разрешимость линейных и полулинейных уравнений соболевского типа, заданных на графах.

Диссертация О.Г. Китаевой [30] посвящена обобщению теоремы Адамара-Перрона для полулинейных уравнений соболеского типа.

В диссертации Д.Е. Шафранова [94] исследовалась разрешимость задачи Коши для линейных и полулинейных уравнений соболевского типа в пространствах /с—форм, определенных на гладких римановых многообразиях без края.

Диссертация А.Ф. Гильмутдиновой [15] посвящена качественному исследованию морфологии фазовых пространств уравнения Корпусова-Плетнера-Свешникова и системы уравнений Плотникова.

Краткое содержание диссертации

Настоящая диссертация посвящена качественному исследованию моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, а также содержит результаты вычислительного эксперимента. Работа, кроме введения и списка литературы, состоит из трех

глав. Список литературы содержит 130 наименований.

В первой главе в соответствии с [85] излагается теория разрешимости абстрактной задачи Коши (0.6) для полулинейного автономного уравнения соболевского типа (0.7). Результаты этой главы используются во второй и третьей главе при исследовании конкретных моделей гидродинамики.

В п. 1.1 рассматривается задача (0.6), (0.7) в случае, когда оператор М является {Ь,р)~ ограниченным относительно бирасщепляющего оператора Ь [4]. Здесь вводятся понятия решения задачи Коши для уравнения соболевского типа (0.7), фазового пространства, квазистационарной траектории уравнения (0.7), проходящей через точку ^о, и доказывается теорема 1.1.1 существования и единственности квазистационарной траектории уравнения (0.7).

Необходимость введения понятия "квазистационарная траектория" обусловлена тем, что решение задачи (0.6), (0.7) может быть неединственным. Отметим, что А.С.Зильберглейтом используется понятие квазистационарного решения [23].

В п. 1.2 рассматривается задача (0.6), (0.7) в предположении, что оператор М сильно (1/,р)-секториален.

В теореме 1.2.1 приводятся необходимые условия существования квазистационарных полутраекторий, а в теореме 1.2.2 — достаточные условия существования единственного решения задачи (0.6), (0.7), являющегося квазистационарной полутраекторией. Понятие квазистационарной полутраектории обобщает на эволюционный случай понятие квазистационарной траектории, которое вводилось в п. 1.1.

Результаты первой главы являются обобщением соответствующих результатов, полученных ранее для линейного абстрактного уравнения воронежскими [25, 35] и челябинскими [86] математиками. На их основе удалось изучить некоторые математические модели несжимаемых вяз-коупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевых порядков и получить для них теоремы существования единственного решения.

Во второй главе изучаются различные динамические модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка. Во всех этих моделях оператор М является (Ь,р)— ограниченным, причем любой вектор </? £ кег Ь \ {0} имеет точно один М-присоединенный вектор. Приведены полные описания фазовых пространств рассматриваемых задач.

В п. 2.1 исследуется задача Коши — Дирихле для системы уравнений, моделирующей движение несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка. П. 2.2 посвящен обобщенной модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка. В п. 2.3 впервые рассматривается задача Тейлора для системы уравнений, моделирующей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.

В третьей главе исследуются эволюционные модели вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина—Фойгта ненулевого порядка. П.п. 3.1 и 3.2 посвящены приложениям абстрактных результатов п. 1.2 к исследованию моделей термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта.

В п. 3.1 изучается автономная система термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка. В этой

ситуации оператор М является сильно (L, 1)-секториальным.

В п. 3.2 впервые рассматривается обобщенная задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка в автономном случае . Здесь оператор М также является сильно (L, 1)-секториальным. Дано полное описание фазового пространства указанной задачи.

П. 3.3 содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple и пример его применения.

Все нелинейные прикладные задачи, изученные во второй и третьей главах, в данной постановке рассматриваются впервые, и результаты, полученные для них, являются новыми.

Публикации

Все результаты диссертации своевременно опубликованы [113] - [130], причем работы [119], [124], [126], [128] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК по специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на VI межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые зада-чи"(Самара, 1996) [114], на конференции "Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия "(Челябинск, 1997) [115], на третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998) [116], на XII межвузовской научной конференции "Математические методы в технике и технологиях"(Великий Новгород, 1999) [117], на международной научно-методической конферен-

ции "Современные интеллектуальные технологии "(Великий Новгород, 2000) [118], на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"(Челябинск, 2002) [120], на международных научно-методических конференциях "Математика в вузе"( Петрозаводск, Великие Луки, 2003, 2010, 2011) [122, 125, 130], на XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2010) [123], на международной конференции "Физика и технические приложения волновых систем"(Челябинск, 2010) [127], на XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Казань, 2011) [129]. Также результаты докладывались и обсуждались на семинаре профессора Е.Ю. Панова в Новгородском государственном университете (Великий Новгород).

Работа поддержана программой "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)", проект № 2.1.1/2301.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Тамаре Геннадьевне Сукачевой за постоянное внимание к работе и многочисленные беседы, способствовавшие ее написанию, профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за постоянный интерес к данным исследованиям, профессору Евгению Юрьевичу Панову за поддержку и конструктивную критику, а также коллегам по работе за теплый микроклимат и моральную поддержку.

1. Абстрактная задача Коши для полулинейного уравнения соболевского типа

1.1. Случай р-ограниченного оператора

Пусть Ы и Т — банаховы пространства, операторы Ь £ С{Ы]Т) и М £ С°°(и; Т). Рассмотрим задачу Коши

«(0)=м0 (1.1.1)

для полулинейного уравнения соболевского типа

Ьй = М{и). (1.1.2)

Линейный оператор Ь : Ы —> Т называется бирасщепляющим [4], если его ядро кег Ь и образ т Ь дополняемы в пространствах Ы и Т соответственно. Пусть оператор Ь бирасщепляющий, обозначим через М'ио £ С(Ы\Т) производную Фреше оператора М в точке щ £ Ы и введем в рассмотрение цепочки М^ -присоединенных векторов оператора Ь, которые будем выбирать из некоторого дополнения сопл Ь = ЫЭкет Ь к ядру кег Ь. Введем в рассмотрение условие

(А1). Независимо от выбора соип£ любая цепочка М' -присоединенных векторов любого вектора (р £ кег Ь \ {0} содержит точно р элементов.

Обозначим через Ь сужение оператора Ь на сопп Ь. В силу теоремы Банаха о замкнутом графике оператор Ь : со\тЬ —»• \т.Ь —- топ-линейный изоморфизм. Положим Ы§ = кег Ь и построим множества Ыд = Ад[и§] , = 1, р, где А = Ь~1М'ио. Очевидно, множества К® С со1т Ь являются линейными пространствами, следовательно, образ

^ = М'и^Лр] есть тоже линейное пространство, причем ТрП'ипЬ = {0} (если выполнено (А1)). Введем в рассмотрение еще одно условие (А2). Ь = Т.

Обозначим через Сдр : Т —>• Тр проектор вдоль \шЬ ж построим оператор А = Ь~1(1 — С2р)М'иа . Заметим, что А[К^] = =

0, р — 1 , А\и®] = {0}. Отсюда следует, что

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Матвеева, Ольга Павловна

Заключение

В данной работе проведено качественное исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка и получены следующие основные результаты:

- изучена модель динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, получено описание фазового пространства задачи;

- изучена обобщенная модель динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, приведено описание фазового пространства этой задачи;

- исследована разрешимость задачи Тейлора для модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка и описано ее фазовое пространство;

- изучена модель термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости ненулевого порядка и ее фазовое пространство;

- описано фазовое пространство для обобщенной модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка;

- во всех моделях доказаны теоремы, дающие достаточные условия существования единственного решения соответствующих задач, являющиеся квазистационарными (полуТраекториями;

- разработан алгоритм численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей плоскопараллельную термоконвекцию несжимаемой вязкоупругой жидкости;

- разработана и реализована программа для персональных компьютеров нахождения численного решения для указанной выше задачи.

Таким образом, в работе качественно исследованы модели гидродинамики, что диктуется требованиями численного анализа, и представлен вычислительный эксперимент для модели термоконвекции. Невозможна разработка какого-либо алгоритма решения без точного указания множества, в котором находится решение задачи как траектория. Численный анализ конкретных моделей динамики вязкоупругих сред возможен только после решения принципиальных вопросов качественного анализа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Матвеева, Ольга Павловна, 2012 год

Список литературы

[1] Александрян, Р. А. Спектральные свойства операторов порожденных системами дифференциальных уравнений типа Соболева / Р. А. Александрян // Тр. ММО - 1960,- Т. 9,- С. 455-505.

[2] Аносов, Д. В. Фазовое пространство. Математическая энциклопедия / Д.В. Аносов // - М.: Советская энциклопедия, 1985.-Т.5.-С.587.

[3] Бокарева, Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. ... канд. физ.-мат. наук. / Т.А. Бокарева; РГПУ им. А.И.Герцена.-СПб, 1993. - 107 с.

[4] Борисович, Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера /Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин , Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. -1977. -Т.32, №4,- С.З - 54.

[5] Бояринцев, Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков.- Новосибирск: Наука, 1998.

[6] Брычев, С. В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. ... канд. физ.-мат. наук / С. В. Брычев; ЧелГУ. - Челябинск, 2002. -124 с.

[7] Бурлачко, И. В. Исследование оптимального управления системами леонтьевского типа: дис. ... канд. физ. - мат. наук/ И.В. Бурлачко; ЧелГУ. - Челябинск, 2005. - 122 с.

[8] Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин.- М.: Наука, 1969. - 527 с.

[9] Вишик, М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М. И. Вишик // Матем. сб.- 1956,- 39(81):1 - С. 51-148.

[10] Ворович, И. И Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости / И.И Ворович, В.И. Юдович // Матем. сб.- 1961.- Т.53,-вып.2.- С.393 - 428.

[11] Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов // Новосибирск: Новосибирский госуниверситет.- 1983.- 84 с.

[12] Габов, С. А. Об одном дифференциальном уравнении типа уравнения Соболева / С.А. Габов, В.А. Шевцов // ДАН СССР. -1984. -Т.286, №1,- С.14- 17.

[13] Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас.- М.: Мир, 1978.

[14] Галъперн, С. А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С. А. Гальперн // Тр. ММО.-1960.- Т. 9.- С. 401-423.

[15] Гилъмутдинова, А. Ф. Исследование математических моделей с феноменом неединственности: дис. ... канд. физ. - мат. наук / А. Ф. Гильмутдинова.-Челябинск, 2009. - 123 с.

[16] Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский-Новосибирск: Научная книга, 1998.

[17] Дудко, Л. Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Л. Л. Дудко.- Новгород, 1996.

[18] Егоров, И. Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И. Е. Егоров, С. Г. Пятков, С. В. Попов - Новосибирск: Наука, 2000.

[19] Ефремов, А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис. ... канд. физ.-матем. наук. / А.А Ефремов; Чел ГУ- Челябинск-1996 - 102 с.

[20] Загребина, С. А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. ... канд. физ.-мат. наук / С. А. Загребина.-Челябинск, 2002.

[21] Замышляева, А. А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук / А. А. Замышляева,- Челябинск, 2003.

[22] Зеленяк, Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными / Т. И. Зеленяк,- Новосибирск: НГУ, 1965.

[23] Зильберглейт, A.C. О квазистационарных решениях нелинейных автономных систем / A.C. Зильберглейт// Дифференц. уравн-1989.- Т.25, №10 - С.1807 - 1809.

[24] Зубова, С. П. О линейном дифференциальном уравнении с фред-гольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чер-нышов // Дифференц. уравнения и их применение - 1976.- Т. 14.-С.21 - 39.

[25] Зубова, С.П. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве, не разрешенных относительно производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышов // В сб. Методы решения операторных уравнений.-Воронеж-1978. -С.62 - 65.

[26] Казак, В. О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис. ... канд. физ. - мат. наук / В.О. Казак. -Челябинск, 2005. - 99 с.

[27] Капитанский, Л. В. О некоторых задачах векторного анализа/ JI.B. Капитанский, К.Н. Пилецкас// Записки научн. сем. ЛОМИ.-1984.- Т.138. -С.65 - 85.

[28] Каразеева, H.A. Об аттракторах и динамических системах, порождаемых начально-краевыми задачами для уравнений движения линейных вязкоупругих жидкостей /H.A. Каразеева, A.A. Котсиолис, А.П. Осколков // Препринт ЛОМИ им. В.А.Стеклова. Р.-10-88. — Ленинград, 1988. — 58 с.

[29] Келлер, А. В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. ... канд. физ.-мат. наук / А. В. Келлер.- Челябинск, 1997.

[30] Китаева, О. Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа: дис. ... канд. физ. - мат. наук / О.Г. Китаева. - Магнитогорск, 2006. - 111 с.

[31] Кожанов, А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка /А.И. Кожанов// ДАН СССР. - 1979. - Т.249, №3. -С.536 - 539.

[32] Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка/ А.И. Кожанов. — Новосибирск: НГУ, 1990. - 132 с.

[33] Кожа,нов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений/ А.И. Кожанов // ДАН СССР.- 1992.-Т.326, №5.- С.781 - 786.

[34] Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнения типа Соболева-Гальперна /А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Тр. Моск. матем. об-ва.-1961. - Т.9.- С.401 - 423.

[35] Крейн, С. .Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/С.Г. Крейн, К.И. Чернышов // Препринт ин-та математики СО АН СССР.- Новосибирск. -1979. -18 с.

[36] Кузнецов, Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. ... канд. физ.-матем. наук./Г.А. Кузнецов; ЧелГУ.-Челябинск, 1999.-105 с.

[37] Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий/С. Ленг. - М.: Мир, 1967. - 203 с.

[38] Лионе, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес,- М.: Мир, 1971.

[39] Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе,- М.: Мир, 1972.

[40] Манакова, H.A. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики : дис. ... канд. физ - мат. наук / H.A. Манакова; ЧелГУ. - Челябинск, 2005.-124 с.

[41] Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения/ Дж. Марсден, М. Мак-Кракен - М.: Мир, 1980.-368 с.

[42] Мельникова, И. В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И. В. Мельникова, М. А. Алынанский // ДАН,- 1994,- Т. 336, № 1,- С. 17-20.

[43] Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта /А.П. Осколков// Труды матем. ин-та АН СССР.- 1988. -№179,- С.126 - 164.

[44] Осколков, А. П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений ти-

па С. JT. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ,-1991,- Т. 198.- С. 31-48.

[45] Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л.Соболева/А.П. Осколков // Записки научн. семин. ЛОМИ,-1991.- Т.198 - С.31 - 48.

[46] Осколков, А.П. Об уравнениях движения линейных вязкоупругих жидкостей и уравнениях фильтрации жидкостей с запаздыванием /А.П. Осколков, М.М. Ахматов, A.A. Котсиолис// Зап. науч. семин. ЛОМИ АН СССР,- 1987,- Т.163- С. 132 - 136.

[47] Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский,- М.: Физматгиз, 1961.

[48] Свешников, Г.А. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Алынин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плет-нер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007, - 736 с.

[49] Свиридюк, Г. А. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболического уравнения / Г. А. Свиридюк // ДАН СССР-1986.- Т. 289.- № 6.- С. 1315-1318.

[50] Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк// Дифференц. уравн. - 1987,- Т.23, №12,- С.2168 - 2171.

[51] Свиридюк, Г.А. Некоторые математические задачи фильтрации и движения жидкостей: дис. ... канд. физ.-матем. наук./ Г.А. Свиридюк; ЛГПИ им. А.И.Герцена.-Ленинград , 1987.

[52] Свиридюк, Г.А. О многообразии решений одной задачи несжимаемой вязкоупругой жидкости/Г.А. Свиридюк // Дифференц. уравнения,- 1988.- Т.24, №10.- С. 1846 - 1848.

[53] Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости /Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. -1988.-№1. - С.74 - 79.

[54] Свиридюк, Г.А. Об одной задаче динамики вязкоупругой жидкос-ти/Г.А. Свиридюк // Дифференц. уравнения -1990 - Т.26, №11. -С.1992 - 1998.

[55] Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости/Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1990. - №12. - С.65 - 70.

[56] Свиридюк, Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором /Г.А. Свиридюк //ДАН СССР.-1991. - Т.318, №4. - С.828 - 831.

[57] Свиридюк, Г.А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах: дис. ... д-ра. физ.-мат. наук./Г.А. Свиридюк; ЧелГУ.-Челябинск, 1993. - 213 с.

[58] Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева/Г.А. Свиридюк // Изв. РАН. Сер. матем. -1993,- Т.57, №3,- С.192 - 207.

[59] Свиридюк, Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно секториальными операторами /Г.А. Свиридюк // Докл. РАН,- 1993.- Т.329, №3,- С.274 - 277.

[60] Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами/ Г. А. Свиридюк // Докл. РАН. - 1994. - Т.337, №5. - С.581 - 584.

[61] Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк// Успехи матем. наук - 1994 - Т.49, №4 - С.47 — 74.

[62] Свиридюк, Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Матем.- 1994.- №1-С.62 - 70.

[63] Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором /Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ - 1994,- Т.6, №5.- С.216 - 237.

[64] Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши - Дирихле для одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. В. Анкуди-нов // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39, № 11. - С. 1556-1561.

[65] Свиридюк, Г.А. Число Деборы и один класс полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.А. Бокарева// ДАН - 1991-Т.319, №5.- С.1082 - 1086.

[66] Свиридюк, Г.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева/Г.А. Свиридюк, Т.А. Бока-рева // Матем. заметки,- 1994,- Т.55, №3,- С.З - 10.

[67] Свиридюк, Г. А. Численное решение систем уравнений леонтьевс-кого типа / Г. А. Свиридюк, С. В. Брычев // Изв. вузов. Математика. 2003,- № 8.- С. 46-52.

[68] Свиридюк, Г. А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г. А. Свиридюк, И. В. Бур-лачко // ЖВМиМФ,- 2003.- Т. 43, № 11. С. 1677-1683.

[69] Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, В. О. Казак // Матем. заметки,- 2002,- Т. 71, № 2,- С. 292-297.

[70] Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Изв. вузов. Математика - 2003.-№ 9 - С. 36-41.

[71] Свиридюк, Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева /Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сиб. матем. журн. - 1990.- Т.31, №5.- С.109 - 119.

[72] Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений /Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. - 1990. -Т.26, №2. - С.250 - 258.

[73] Свиридюк, Г.А. Необходимые и достаточные условия относительной сг-ограниченности линейных операторов/ Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева , Л.Л. Дудко // Докл. РАН. -1995. -Т.345, №1,- С.25 - 27.

[74] Свиридюк, Г.А. Относительная сг-ограниченность линейных опера-торов/Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева, Л.Л. Дудко// Изв. вузов. Математика. - 1997. - №7(422).- С.68 - 73.

[75] Свиридюк, Г.А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева /Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. матсм. журн,- 1995. -Т.36, №5,- СИЗО - 1145.

[76] Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения соболевского типа /Г.А Свиридюк, В.Е. Федоров - Челябинск: ЧелГУ. - 2002 - 179 с.

[77] Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г. А. Свиридюк, М. М. Якупов // Дифферент уравн,- 1996,- Т. 32, № П.- С. 1538-1543.

[78] Сидоров, H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением /H.A. Сидоров, О.А Романова// Дифференц. уравнения.—1983-Т.19, т.- С.1516 - 1526.

[79] Сидоров, H.A. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев// Дифференц. уравнения,- 1987. -Т.23, №4-С.726 - 728.

[80] Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем,- 1954,- Т. 18.- С. 3-50.

[81] Солонников, В.А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида /В.А. Солонников// Тр. матем. ин-таим. В.А.Стеклова-1965. -Т.83 - С.З - 163.

[82] Сукачева, Т. Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа: дис. ... канд. физ.-мат. наук./Т.Г. Сукачева; НГПИ.- Новгород.- 1990.

[83] Сукачева, Т. Г. Об одной модели движения несжимаемой вязкоуп-ругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка/Т. Г. Сукачева// Дифференц. уравн. -1997.- Т.ЗЗ, №4.- С.552 - 557.

[84] Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка/Т.Г. Сукачева// Изв. вузов. Матем. -1998 - №3(430).-С.47 - 54.

[85] Сукачева, Т. Г. Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей: дис. ... д-ра физ. - мат. наук / Т.Г. Сукачева. -НовГУ. - Великий Новгород, 2004. -249 с.

[86] Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева: дис. ... канд. физ.-матем. наук./ В.Е. Федоров; ЧелГУ.-Челябинск, 1996.- 116 с.

[87] Федоров, В. Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. 2004.- Т. 40, № 5. С. 702-712.

[88] Федоров, В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Матем. сборник,- 2004,- Т. 195, № 8. С. 131-160.

[89] Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. матем. журн,- 2005.- Т. 46, № 2. С. 426-428.

[90] Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространствах: дис. ... д-ра физ. - мат. наук / В.Е. Федоров. - Челябинск, 2005. - 271 с.

[91] Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений/Д. Хенри. — М.: Мир, 1985. — 376 с.

[92] Чистяков, В. Ф. О свойствах квазилинейных вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений /В.Ф. Чистяков //В кн. Динамика нелинейных систем.-Новосибирск.-1983.-С.163-173.

[93] Чистяков, В.Ф. О понятии индекса сингулярной системы /В.Ф. Чистяков// В кн. Диф. уравнения и численные методы. — Новосибирск. - 1986,- С.123 - 128.

[94] Шафранов, Д.Е. Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразиях: дис. ... канд. физ. - мат. наук / Д.Е. Шафранов. - Челябинск, 2006. - 95 с.

[95] Шеметова, В.В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах: дис. ... канд. физ. - мат. наук / В.В Шеметова. -Магнитогорск, 2005. - 109 с.

[96] Якупов, М. М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики: дис. ... канд. физ.-мат. наук / М. М. Якупов,- Челябинск, 1999.

[97] Coleman, В. D. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation щ = uxx — uxxt on a strip / B. D. Coleman, R. J. Duffin, V. J. Mizel // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1965.- V. 19,- P. 100-116.

[98] Demidenko, G. V. Lp-theory of boundary value problems for Sobolev type equations /G.V. Demidenko// Part. Diff. Eq. Banach center publ-- Warzava.-V.27.- 1992,- P.101 - 109.

[99] Favini, A. Sobolev type equations /А. Favini// Part. Diff. Eq. Banach center publ. - Warzava.-V.27.- 1992,- P.101 — 109.

[100] Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi.- New York, Basel, Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999.

[101] Kozhanov, A. I. Composite type equations and inverse problems / A. I. Kozhanov- VSP: Zeist, 1999.

[102] Levine, H.A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Dut = —Au + F(u) /H.A. Levine// Arch. Rat. Mech. Anal.- 1973. -V.51, №5.- P.371 - 386.

[103] Lightbourne, J. H. A. Partial functional equations of Sobolev type / J. H. A. Lightbourne //J. Math. Anal. Appl.- 1983.- V. 93, № 2,-P. 328-337.

[104] Melnikova, I. V. Abstract Cauchy problems: three approaches. Chapman and Hall / I. V. Melnikova, A. Filinkov.- CRC, Boca Raton, FL, 2001.

[105] Showalter, R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R. E. Showalter // Pacific J. Math.- 1963.- V. 31, № 3,- P. 787-794.

[106] Showalter, R.E. Pseudoparabolic partial differential equations /R.E. Showalter, T.W. Ting // SIAM J. Math. Anal. -1970.- V.l, №1,- P.l-26.

[107] Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I (II)/R.E. Showalter // Appl. Anal.- 1975,- V.5, №1.- P.15 - 22 ( №2,- P.81 - 89).

[108] Showalter, R. E. Hilbert space methods for partial differential equations / R. E. Showalter- Pitman, London, San Francisco, Melbourne, 1977.

[109] Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev-Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002.

[110] Sviridyuk, G.A. Relaxation Effects of Dynamics of Semilinear Sobolev Type Equation/G.A. Sviridyuk // CDQ-IV, Rousse'89- Bulgaria. -1989.- P.470.

[111] Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators/G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht: VSP, 2003.- 228 p.

[112] Ting, T. W. Certain non-steady flows of second order fluids/ T.W. Ting // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1963. -V.14, №1,- P.28 - 57.

[113] Сукачева, Т.Г. Об одной нестационарной задаче динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Деп. ВИНИТИ 17.04.96. №1262 -В96. - Новгород. -16 с.

[114] Матвеева, О.П. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка /О.П. Матвеева // Матем. моделирование и краевые задачи.: труды VI межвуз. конференции. 29-31 мая 1996 г.- 4.2. -Самара, 1996 - С.65-66.

[115] Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраектории в нестационарной модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева// Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия: тезисы докладов.-Челябинск,- 1997,- С.27.

[116] Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраектории в нестационарной задаче термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкое-

ти высокого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева// Неклассические уравнения математической физики: Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), посвященный памяти С.Л.Соболева (Новосибирск, 22-27 июня 1998г.)- Новосибирск: Изд-во Ин-та математики,- 1998.- С.96-105.

[117] Сукачева, Т.Г. Теория неавтономных уравнений соболевского типа и ее приложения /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-12.: сборник трудов международной конференции. -1999. -Великий Новгород.-Т. 1.- С.64.

[118] Матвеева, О.П. Нестационарная задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости / О.П. Матвеева // Математика в вузе. Современные интеллектуальные технологии.: материалы научно-методической конференции - Великий Новгород.- 2000 -С.152.

[119] Сукачева, Т.Г. Задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Изв. вузов. Математика - 2001. - №11(474). -С.46-53.

[120] Матвеева, О. П. Об одной модели динамики жидкости Кельвина-Фойгта /О.П. Матвеева // Дифференциальные и интегральные уравнения. Матем. модели.: тезисы докладов междун. конференции 4-8 февраля 2002,- Челябинск. -2002,- С.68.

[121] Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраектории одного класса полулинейных уравнений соболевского типа /Т.Г. Сукачева,

О.П. Матвеева // Уравнения соболевского типа.: сборник научных работ,- Челябинск,- 2002,- С.116-137.

[122] Сукачева, Т.Г. О некоторых моделях движения вязкоупругих несжимаемых жидкостей /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева// Математика в вузе.: материалы международной научно-методической конференции. -Петрозаводск.- июнь 2003. - Санкт-Петербург,- 2003.-С.186-187.

[123] Матвеева, О. П. Задача Тейлора для модели несжимаемой вязкоуп-ругой жидкости ненулевого порядка /О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Обозрение прикладной и промышленной математики.-М.,-2010.-Т.17, выпуск 3.-С.445.

[124] Матвеева, О. П. Квазистационарные траектории задачи Тейлора для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка /О.П. Матвеева //Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование.- 2010.- выпуск 5,-№16(192).- С.39-47.

[125] Матвеева, О. П. О задаче Тейлора для модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта /О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева //Математика в вузе.: труды XXII международной научно-методической конференции.- Петрозаводск. 29 июня-02 июля,- 2010 .- С.126-128.

[126] Сукачева, Т.Г. Об однородной модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Вестн. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2010. - №5(21) - С. 33-41.

[127] Матвеева, О. П. Задача Тейлора для обобщенной модели вязкоуп-ругой несжимаемой ненулевого порядка /О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Физика и технические приложения волновых систем.: материалы IX международной конференции. 13-17 сентября.-Челябинск: Изд-во ЧелГУ. - 2010.-С. 193-194.

[128] Матвеева, О.П. Фазовое простраство обобщенной однородной модели термоконвекции / О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование-2011-выпуск 8, - №17(234).- С. 62-69.

[129] Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраектории в однородной модели термоконвекции ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева / / Обозрение прикладной и промышленной математики-М., - 2011. - Т.18, выпуск 2. - 4.2. - С.332-333.

[130] Матвеева, О. П. Обобщенная однородная модель термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости / О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Математика в вузе.: труды XXIII международной научно-методической конференции,- Великие Луки. 29 июня-03 июля.-2011.- С.147-148.