Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шеметова, Вероника Владимировна

• Шеметова, Вероника Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шеметова, Вероника Владимировна

Обозначения и соглашения

Введение

1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Относительно сг-ограниченные операторы.

1.2 Аналитические группы уравнений соболевского типа

1.3 Банаховы многообразия и векторные поля.

1.4 Задача Штурма-Лиувилля на графе.

1.5 Квазистационарные траектории

1.6 Некоторые методы нелинейного функционального анализа.

1.6.1 Монотонные операторы.

1.6.2 Теорема о неявной функции.

2 ФАЗОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА

2.1 Уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной на графе.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Редукция к абстрактной задаче.

2.1.3 Морфология фазового пространства.

2.2 Уравнения Хоффа на графе.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Редукция к абстрактной задаче.

2.2.3 Морфология фазового пространства.

2.3 Уравнения Осколкова на графе.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Редукция к абстрактной задаче.

2.3.3 Морфология фазового пространства.

2.4 Уравнения Корпусова-Плетнера-Свешникова на графе.

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 Редукция к абстрактной задаче.

2.4.3 Морфология фазового пространства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах»

Постановка задач. Уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной

Л - А)щ = аАи моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в тре-щинновато-пористой среде [3], где параметры А 6 1, a G характеризуют среду. Нас интересует давление жидкости в случае, когда среда представляет собой связный пласт, имеющий слоистую структуру. Уравнение Хоффа

A ut + uxxt = аи + /Зи? моделирует выпучивание двутавровой балки [94]. Здесь параметр Л Е К+ соответствует нагрузке, а параметры a,j3 Е Ш характеризуют свойства материала, причем а(3 > 0. Искомая функция и = u(x,t) показывает отклонение балки от вертикали. Нас будет интересовать поведение конструкции из двутавровых балок, находящихся под постоянной нагрузкой. 0 Уравнение щ — seuxxt = vuxx — иих моделирует течение вязкоупругой несжимаемой жидкости по трубе. Это уравнение является одномерным аналогом системы Оскол-кова [42]

1 - аеу2Н = v у2 и - (и • V)и ~ VP + /, V ■ и = 0, описывающей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кель-вина-Фойгта, и представляет собой гибрид уравнений Бенджами-на-Бона-Махони и Бюргерса [84]. Наше внимание будет занимать случай, когда жидкость течет по трубопроводам.

Уравнение

Л - A)ut = аАи + fidiv(uVu) моделирует квазистационарные процессы в токопроводящих средах без дисперсии [29]. В центре нашего внимания будет случай, когда среда представляет собой несколько цилиндрических полупроводников, соединенных между собой в произвольном порядке.

Во всех приведенных выше ситуациях многомерное, вообще говоря, уравнение может быть сведено к одномерному уравнению, определенному на ориентированном графе. Процедура такой редукции описана в [95]. Не задерживаясь на деталях, мы сразу будем считать, что соответствующие одномерные уравнения определены на подходящих графах. Иными словами, пусть G = G(Q3; (£)-конечный связный ориентированный граф, где Я? = {Vi} - множество вершин, а (£ = {Ej} - множество дуг. Мы предполагаем,что каждая дуга имеет длину lj > 0 и толщину dj > 0. На графе G нас будут интересовать задачи с краевыми

Uj(0,t) = uk(lk,t), Ej, Ек € Еа(Ц) U E"{Vi)- (0.1) djUjX(0,t) — dkukx{lk,t) = 0; (0.2) Ej£E«{Vi) EkeE«(Vi) и начальными

Uj(a;,0) = Ujo(x), x e (0,lj) (0.3) условиями для уравнений

A Ujt — Ujxxt = OCUjxx, (0.4)

A Ujt + UjXXt = o>Uj + /Зир (0.5)

Ujt 3QUjxxt — VUjxx ItjUjx? (0-6)

Л Ujt - Ujxxt = OLUjxx + (3(UjUjx)x- (0.7)

Здесь через Ea^(Vi) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине V^. Условие (0.1) требует, чтобы все решения были непрерывными на вершинах графа; а (0.2) - аналог условия Кирхгоффа - в случае, когда граф состоит из единственной дуги с двумя вершинами, превращается в условие Неймана.

Целью диссертации является изучение однозначной разрешимости задачи (0.1)-(0.3) для уравнений (0.4)-(0.7). Как легко видеть, все уравнения имеют прикладной характер и относятся к уравнениям соболевского типа, составляющим обширную область неклассических уравнений математической физики [14]. Основная трудность при изучении начально-краевых задач для таких уравнений заключается в их принципиальной неразрешимости в случае, когда дифференциальный оператор "по пространственным переменным" при производной "по времени" необратим [87]. Отметим еще, что задача (0.1)-(0.3) для уравнений (0.4)-(0.7) рассматривается впервые.

Актуальность темы диссертации. Уравнения, не разрешенные относительно выделенной производной, впервые появились в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Затем время от времени интерес к таким уравнениям возникал в работах Ф.К.Г. Одквиста, С.В. Осеена, С.Г. Россби и многих других. Однако начало систематических исследований таких уравнений было положено в работе C.J1. Соболева [72], опубликованной в 1954 году. Результаты этой работы открыли новое направление, которое первоначально развивали ученики C.J1. Соболева - Р.А. Александрян [1], С.А. Галь-перн [16], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскин [30], Т.Н. Зеленяк [21] и многие другие.

Немного позже и независимо от этих работ С.Г. Крейн и его ученики [32], [22] начали изучать абстрактные дифференциально-операторные уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором при выделенной производной. Для работ представителей этого направления характерно отсутствие приложений. В настоящее время в этом направлении активно и плодотворно работает И.В. Мельникова и ее ученики [36], [37], [38]. Первыми, кто абстрактные результаты начал иллюстрировать конкретными прикладными задачами, были R.E. Showalter [98], [99] и Н.А. Сидоров с учениками [69], [70], [71]. К этому же направлению можно отнести работы М.И. Вишика [13], A. Favini [90], [91], A. Yagi [92] и многих других.

К настоящему моменту в этой обширной области математического знания сложилось несколько направлений, зачастую имеющих пересечения только по объекту исследований. Исторически первая в этом жанре монография R.E. Showalter [100] посвящена изучению различных начальных задач для линейных

Ьй = Ми (0.8) и полулинейных

Ьй = Ми + N(u) (0.9) дифференциально-операторных уравнений, определенных в полугильбертовых (т.е. нехаусдорфовых) пространствах (см. по этому поводу [54]). Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами. В монографии В.Н. Врагова [14] впервые выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для уравнений вида (0.8), где L и М - дифференциальные операторы по пространственным переменным. В монографии А.И. Кожанова [26] вводятся в рассмотрение и изучаются уравнения составного типа, которые имеют вид (0.9).

В монографии Г.В. Демиденко, С.В. Успенского [89] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны так:

1-1

AoDltu + ]Г Ai-kDktu = /, jfc=0 где Ло, Ai,. • •, Ai - линейные дифференциальные операторы относительно х = (#1,., жп), Ао не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [15] теория монотонных операторов применяется при исследовании и приближенном решении краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые трактуются как операторные уравнения или операторные дифференциальные уравнения в рефлексивных банаховых пространствах.

В монографии A. Favini, A. Yagi [92] исследуется задача с начальными условиями

Mv = Lv + f(t), 0 <t<T, Mv( 0) = v0, в банаховом пространстве X, где М и L - замкнутые операторы в X, /(•) - непрерывная на [0, Т] функция со значениями в X, а г?о - заданный элемент из X. Для исследования этой задачи используются два метода - метод полугрупп и операционный метод.

Монография И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, С.В. Попова [97] посвящена исследованию краевых задач для неклассических дифференциально-операторных уравнений. Рассматривается вопрос о разрешимости уравнений вида

But + Lu = /, где L, В - самосопряженные (или диссипативные)' операторы в гильбертовом пространстве Е. Оператор В не знакоопределен или не обратим.

В монографии Н.А. Сидорова, В.И. Логинова, А.В. Синици-на, М.В. Фалалеева [101] рассматриваются как дифференциальное уравнение

B(t)xW(t) = A(t,x) + f(t), с начальными условиями x®(0) = xi, г = 0, l,.,iV- 1, где операторы B(t), A(t, х) определены в некоторой окрестности Q = {£, х\ |t| < р, ||z|| < R} и действуют из Е\ в Е2, Е^Еъ -банаховы пространства, В(0) - фредгольмов оператор, /(£) € Е2, так и сингулярные дифференциальные уравнения в частных производных в банаховых пространствах. Используя аппарат обобщенных жордановых цепей , фундаментальных операторов сингулярных интегро-дифференциальных выражений, теорию обобщенных функций, метод Некрасова-Назарова неопределенных коэффициентов, топологические методы, а ткаже методы полугрупп и групп операторов с ядрами, получены результаты, связанные с построением непрерывных и обобщенных решений таких задач для различных типов операторов B(t) и A(t,x).

Если пополнить этот впечатляющий список монографией Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова [9], в которой изучаются уравнения (0.8), (0.9) (и даже более общие) в конечномерных пространствах, то получится яркая картина разнообразия методов и результатов в этой новой области математики.

Разнообразие подходов определило разнообразие результатов и, к сожалению, разнообразие терминологии. Так в некоторых работах уравнения вида (0.8), (0.9) называются "псевдопараболичес-кими"[15], [89], [97], [27], "псевдогиперболическими"[89], [97], "вырожденными "[69], [92], [101] и даже "уравнениями не типа Коши-Ковалевской"[45], [35], [89]. Мы же будем придерживаться термина "уравнения соболевского типа" ("Sobolev type equations"), который в последнее время получает все большее распространение [1], [30], [41], [42], [56], [66], [98], [99]. Этим термином мы будем обозначать как абстрактные уравнения вида (0.8), (0.9), так и их конкретные интерпретации вида (0.4)-(0.7).

Данная диссертация лежит в русле научного направления, развиваемого Г.А. Свиридюком и его учениками. В работах этого направления изучается задача Коши гг(0) = щ (0.10) для линейных (0.8) и полулинейных (0.9) уравнений соболевского типа. Отметим, что хотя линейные результаты в этом направлении представлены лучше, оно началось с нелинейных работ [51], [52], [53]. Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнений (0.8), (0.9). Впервые термин "фазовое пространство" в данном контексте появился в работах [66], [65], где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений" [51], [52].

Перечислим сначала работы, в которых изучены фазовые пространства уравнений вида (0.8). Здесь прежде всего следует отметить работу Г.А. Свиридюка, в которой заложены основы теории относительно <т-ограниченных и относительно р-секториальных операторов и соответствующих им вырожденных разрешающих (полу)групп уравнения (0.8) [57]. Эта работа стала основой для многих глубоких исследований. Перечислим результаты учеников Г.А. Свиридюка в линейной ситуации.

Диссертация Т.А. Бокаревой [6] посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Коши (0.10) для операторного уравнения соболевского типа (0.9). В ее диссертации определены условия, необходимые и достаточные для существования фазовых пространств этого уравнения в случае, когда М - линейный, замкнутый, но L - ограниченный оператор, определены условия, достаточные для существования фазовых пространств этого уравнения в случае (£,р)-секториальности оператора М, изучены квазистационарные полутраектории и описаны фазовые пространства этого уравнения в случае, когда М - сильно (£,р)-секториален. Полученные результаты позволили исследовать начально-краевые задачи для линеаризованной системы типа реакции-диффузии и для модели движения несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка с термоконвекцией в приближении Обербека-Бус-синеска.

В диссертации J1.J1. Дудко [17] получены следующие новые результаты: доказаны достаточные условия (L, ^-ограниченности оператора М, доказан критерий (L, сг)-ограниченности оператора М в случае фредгольмовости оператора L, упрощено определение понятия (L, р)-секториального оператора, что привело к упроще нию теории операторов данного типа, установлена структура фазового пространства задачи Коши для линейного уравнения соболевского типа в случае относительно радиального оператора М, а также найдены необходимые и достаточные условия L-радиаль-ности оператора М.

В диссертации В.Е. Федорова [76] доказана достаточность некоторых из необходимых условий относительной сг-ограниченности в терминах аналитических групп операторов с ядрами, достаточность некоторых из необходимых условий относительной р-сек-ториальности в терминах аналитических полугрупп операторов с ядрами, найдены необходимые и достаточные условия относительной р-радиальности в терминах сильно непрерывных полугрупп операторов с ядрами. Полученные результаты приложены к исследованию фазового пространства уравнения в частных производных, моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости.

В диссертации А.А. Ефремова [18] исследована задача минимизации квадратичного функционала на решениях задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве, не разрешенного относительно производной. Рассмотрены случаи существования аналитической группы и аналитической полугруппы соответствующего однородного уравнения. Для выбранных пространства управлений и множества допустимых значений задачи Коши получены теоремы о существовании и единственности решения задачи минимизации. Абстрактные результаты использованы при исследовании аналогичных задач для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной и уравнения Дзекце-ра.

В диссертации А.В. Келлер [25] исследованы ограниченные решения линейного нестационарного неоднородного уравнения соболевского типа

Ьй — Ми + N(t)u + / и однозначной разрешимости задачи Коши (0.10) для этого уравнения. Выделен класс уравнений, для которых получены достаточные условия существования и единственности этой задачи, получены необходимые и достаточные условия ограниченности решения однородного (неоднородного стационарного) уравнения на полуоси (на всей оси). Абстрактные результаты применены к конкретным задачам математической физики для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной и эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, а также к сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

В диссертации Г.А. Кузнецова [33] найдены достаточные условия относительной сильной р-секториальности линейных операторов, доказан критерий сг-ограниченности относительно бирасщеп-ляющего и фредгольмова оператора, найдены достаточные условия относительной сильной р-радиальности линейных операторов. Эти результаты позволили исследовать разрешимость конкретных прикладных задач, сводящихся к абстрактной задаче Коши для линейного уравнения соболевского типа.

В диссертации С.А. Загребиной [19] найдены достаточные условия разрешимости задачи Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно ^-ограниченными и относительно р-секториальными операторами. Получены точные решения задачи Дирихле-Веригина для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной и линейного уравнения фильтрации жидкости со свободной границей, а также исследована задача Дирихле-Веригина для обобщенного уравнения Буссинеска.

Основным результатом диссертации С.В. Брычева [10] является построение численного алгоритма решения задачи Коши для линейного операторного уравнения соболевского типа, основанного на теории относительно сг-ограниченных и относительно р-радиальных операторов и вырожденных аналитических групп операторов. Полученный алгоритм был применен к расчету экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска Челябинской области.

В диссертации А.А. Замышляевой [20] найдены достаточные условия разрешимости задачи Коши для линейных уравнений соболевского типа высокого порядка с относительно полиномиально ограниченными пучками операторов. Получены точные решения начально-краевых задач для уравнений Буссинеска-Лява и de Gennes звуковых волн в смектиках.

Основным результатом диссертации В.О. Казака [24] являются достаточные условия существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений Хоффа и обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова.

Линейные результаты были подытожены в монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [102], которая инициировала дальнейшие исследования [49].

Успех линейной теории, обеспечившей многочисленные приложения, был обусловлен тем обстоятельством, что в случае линейного уравнения (0.8) фазовым пространством служит образ разрешающей (полу)группы, который в свою очередь является банаховым пространством. Поэтому в [56], [58] Г.А. Свиридюком был поставлен вопрос о поиске таких уравнений вида (0.9), фазовое пространство которых является простым банаховым многообразием, моделируемым образом разрешающей (полу)группы линеаризации уравнения (0.9). До сих пор удавалось получать лишь локальную информацию о фазовом пространстве (см. диссертацию Т. Г. Сукачевой [74], в которой приведен оригинальный метод получения такого сорта результатов, основанный на обобщении линейных результатов С.Г. Крейна и его учеников [32], [22]).

Первый ответ на этот вопрос был дан в диссертации М.М. Яку-пова [82], в которой установлены простота фазового пространства начально-краевых задач для уравнения Осколкова моделирующего плоскопараллельную динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости, и различных его модификаций таких, как например, гибрид уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека-Буссинеска, моделирующий термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости (см. по этому поводу [55]). Основываясь на этих результатах, Г.А. Свири-дюк и В.О. Казак установили простоту фазового пространства начально-краевой задачи для уравнения Хоффа [61] и для обобщенной фильтрационной модели Осколкова [62], частный случай которой рассмотрен в [63]. Наработанная техника позволила рассмотреть случай [68], когда фазовое пространство не является простым, но состоит из двух простых компонент. Кроме того, результаты Г.А. Свиридюка и М.М. Якупова [67] уже нашли применение в теории оптимального управления [64]. Данная диссертация основывается на результатах цитированных работ и использует их методы.

Начало теории графов как математической дисциплины было положено J1. Эйлером в его знаменитом рассуждении о ке-нигсбергских мостах. Однако эта статья JI. Эйлера (1736 г.) на протяжении почти ста лет была единственной. В середине XIX века интерес к проблемам теории графов возродился. Этому способствовало развитие естественных наук (исследование электрических сетей, моделей кристаллов, структур молекул, развитие формальной логики). В XX веке теория графов неуклонно развивалась. Это связано с развитием теории игр, программирования, теории передачи сообщений, а также биологии и психологии. Вследствие этого развития предмет теории графов является очень обширным. Так в монографии [77] отмечены тесные контакты теории графов с топологией, теорией групп и теорией вероятностей. В

4] изложены применения теории графов при решении различных задач в области техники, экономики, социологии. В монографии

5] выделяются топологические, комбинаторные и прикладные аспекты теории графов, большое внимание уделяется алгоритмам решения задач теории графов. В монографии [40] затрагиваются вопросы, связанные с теорией потоков, играми, электрическими сетями.

Однако ни в одной из современных монографий по теории графов нет даже намека на задачи для уравнений в частных производных, определенных на графе. Краевые и начально-краевые задачи для уравнений в частных производных на графах начали изучать в конце прошлого века практически одновременно в разных регионах нашей планеты. S. Kosugi [95] рассмотрел задачу для полулинейного элиптического уравнения Au + f(u) = 0 inft(C), £ = оье(0, и = ас тГ(С) в тонкой сетевой области, которая вырождается в граф, исследовал предельное уравнение на графе.

С. Cattaneo [86] нашла явное решение уравнения теплопроводности дУ д2У dt ~ д2х2 на однородном дереве с ребрами положительной индуктивности, отождествленными с [0,1] и удовлетворяющими условию типа Кирх-гоффа.

G. Medolla, A.G. Setti [96] рассмотрели волновое уравнение df + £-Ъ)и = О опХ, где X - однородное дерево, £ - оператор Лапласа и Ъ - дно его L2 спектра.

F. Barra, P. Gaspard [83] рассмотрели классическую эволюцию частиц на графе с использованием непрерывного по времени оператора Фробениуса-Перрона

P'Flb, x] = J2 Рр& хШФ-% х]) {р}

Независимо от этих работ и впервые в России краевыми и начально-краевыми задачами для уравнений на графах начал заниматься Ю.В. Покорный со своими учениками. Так в [47] производится детальный анализ функции Грина для обыкновенного дифференциального уравнения на связном геометрическом графе Г с краевыми условиями, аналогичными условиям Дирихле: и\ат = 0.

В [44] определяется класс функций Г). И на графе Г рассматривается задача Дирихле

Lqu = f(feCa(T), 21 и\дт = о, решение которой ищется в С2(Г).

Первые итоги исследований школы Ю.В. Покорного подведены в монографии [48], где изучаются качественные свойства дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети, изучаются функция Грина, дифференциальные неравенства, осцилляци-онные спектральные свойства, излагается теория эллиптических уравнений на стратифицированных (ветвящихся) многообразиях.

Работы этой школы инициировали результаты А.И. Шафаре-вича [80], [81] по изучению обобщенных уравнений Прандтля-Мас-лова, заданных на графах, описывающих растянутые вихри в несжимаемой жидкости.

В [85] J. von Below на конечном связном ориентированном графе G рассмотрел уравнения реакции-диффузии

Ujt = Ujxx + f(uj), х е (0, lj),t € М+, (0-И) где /-гладкая функция общая для всех дуг Ej. Для уравнений (0.11) заданы условия (0.1), (0.2). J. von Below доказал однозначную разрешимость этой задачи в специально построенном функциональном пространстве.

В последнее время задача (0.1)-(0.2) для уравнений (0.11) привлекает внимание многих исследователей. Например, Е. Yanagida [103] исследовал устойчивость пространственно неоднородных установившихся состояний в системах реакции-диффузии на графе. Между тем было замечено, что в ряде случаев уравнения соболевского типа описывают процессы реакции-диффузии лучше, чем полулинейные параболические уравнения вида (0.11). Поэтому в [59] Г.А. Свиридюк рассмотрел задачу на графе G с краевыми условиями (0.1), (0.2) и начальными условиями (0.3) для уравнений соболевского типа

Xujt - Ujxxt = Ujxx + f(uj), (0.12) где параметр A G 1 одинаков для всех уравнений. Данная диссертация является непосредственным продолжением и развитием результатов этой работы.

Таким образом, изучение разрешимости начально-краевых задач для уравнений соболевского типа на графах является актуальным как с точки зрения теории уравнений на графах, так и с точки зрения теории уравнений соболевского типа.

Методы исследования. Основным методом наших исследований является метод фазового пространства, обоснованный в работах [66], [65]. Суть его заключается в следующем: сначала начально-краевая задача (0.1)-(0.3) для конкретных уравнений (0.4)-(0.7) без потери общности сводится к задаче Коши (0.10) для либо линейного (0.8), либо полулинейного (0.9) уравнения соболевского типа. Техника такой редукции вполне стандартна, основы ее заложены в классической монографии C.JI. Соболева [73]. Основная трудность здесь - правильный подбор подходящих функциональных пространств.

Второй шаг применения метода заключается в редукции уравнений (0.8) и (0.9) к стандартным уравнениям и = Su 23 и й = Su + F(u)} соответственно, определенных, возможно, не на всем пространстве, а на некотором его подмножестве, понимаемом нами как фазовое пространство исходного (т.е. (0.8), (0.9)) уравнения. Возможность такой редукции обоснована в монографии Г.А. Свири-дюка и В.Е. Федорова [102]. Основная трудность - доказательства (L, а)-ограниченности оператора М и гладкости оператора N.

Последний шаг заключается в изучении фазового пространства. Здесь мы используем классические методы нелинейного анализа такие, как теорема о неявной функции и теорема Коши (см., например, [11], [34]) и теорию монотонных операторов (см., например, [15]). Основной результат - заключение о морфологии (т.е. структуре, форме, строении, устройстве) фазового пространства начально-краевой задачи для конкретного уравнения (0.4)-(0.7). Как правило, морфологию удается описать в терминах нелинейных фредгольмовых отображений (см. Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов [8]).

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость диссертации заключается в том, что впервые описаны фазовые пространства начально-краевых задач для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной, Хоффа, Осколкова и Корпу-сова-Плетнера-Свешникова, определенных на графах. Полученные результаты носят окончательный характер, т.е. содержат исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, носящих прикладной характер. В целом результаты диссертации реализуют программу исследований, намеченную Г.А. Свиридюком

7].

Практическая значимость заключается в том, что полученные результаты должны учитываться при проведении численных расчетов. Необходимость этого обстоятельства уже была отмечена в конечномерном варианте линейной теории уравнений соболевского типа [60], [12].

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на XIII межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2004), Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), XII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2005), VI Международной конференции, посвященной памяти академика М.А. Лаврентьева, "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005), Международной конференции "Нелинейные уравнения в частных производных" (Алушта, 2005), на семинаре кафедры математического анализа Магнитогорского государственного университета и на семинаре проф. Г.А. Свиридюка.

Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме Введения состоит из двух глав и Списка литературы. Сразу отметим, что Список литературы полностью отражает положение дел лишь в узкой пограничной области, непосредственно примыкающей к теме диссертации и находящейся на стыке теории уравнений соболевского типа и теории уравнений в частных производных на графах. В остальном Список отнюдь не претендует на полноту, а отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.

Первая глава носит пропедевтический характер. В ней содержатся все известные на данный момент факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первых двух параграфах представлены основные факты теории относительно сг-ограниченных операторов, а также соответствующих вырожденных аналитических группах операторов. Все факты почерпнуты из монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [102].

В третьем параграфе изложены основные факты теории гладких банаховых многообразий и векторных полей на них. Основным результатом этого параграфа следует считать классическую теорему Коши в обобщенной формулировке. Доказательства этих результатов можно найти в фундаментальной монографии С. Лен-га [34].

В четвертом параграфе приведены результаты по задаче Штурма-Лиувилля на графе. В основном все результаты почерпнуты из монографии Ю.В. Покорного и др. [48].

Пятый параграф первой главы содержит результаты, почерпнутые из работ Г.А. Свиридюка и В.О. Казака [61], [62]. Здесь сформулировано определение квазистационарной траектории, приведен пример, показывающий необходимость рассмотрения квазистационарных траекторий уравнения соболевского типа, изложен результат о разрешимости задачи (0.9), (0.10) в случае kerL ф {0}.

В шестом параграфе первой главы находятся некоторые результаты нелинейного функционального анализа: основные сведения из теории монотонных операторов, взятые из монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [15], и теорема о неявной функции [39].

Во второй главе содержатся основные результаты диссертации. В ней описаны фазовые пространства начально-краевых задач (0.1)-(0.3) для уравнений (0.4)-(0.7). Вторая глава состоит из четырех параграфов, каждый из которых построен следующим образом: постановка задачи на графе для соответствующего уравнения, редукция этой задачи к абстрактной задаче Коши для линейного, либо полулинейного уравнения соболевского типа, описание фазового пространства рассматриваемой задачи. В конце каждого параграфа приведено схематическое изображение фазового пространства.

Параграф 2.1 посвящен изучению фазового пространства начально-краевой задачи для уравнений Баренблатта-Желтова-Ко-чиной. В п. 2.1.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.4). В п.

2.1.2 проводится редукция задачи (0.1)-(0.3), (0.4) к задаче (0.8), (0.10). П. 2.1.3 содержит основной результат параграфа 2.1 - доказательство теоремы о существовании и единственности решения задачи (0.1)-(0.3), (0.4).

В параграфе 2.2 исследуется фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнений Хоффа. В п. 2.2.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Хоффа (0.5). В п. 2.2.2 проводится редукция задачи (ОЛ)-(О.З), (0.5) к задаче (0.9), (0.10). В п. 2.2.3 доказано, что фазовым пространством рассматриваемой задачи на графе является простое банахово С°°-многообразие.

В параграфе 2.3 изучается фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнений Осколкова. В п. 2.3.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Осколкова (0.6). В п. 2.3.2 проводится редукция задачи (0.1)-(0.3), (0.6) к задаче (0.9), (0.10). В п. 2.3.3 доказано, что фазовое пространство этой задачи состоит из двух связных компонент, каждая из которых является простым банаховым С°°-многообразием.

В параграфе 2.4 проводится исследование начально-краевой задачи для уравнений Корпусова-Плетнера-Свешникова. В п. 2.4.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Корпусова-Плетнера-Свешникова (0.7). В п. 2.4.2 проводится редукция задачи (ОЛ)-(О.З), (0.7) к задаче (0.9), (0.10). В п. 2.4.3 доказано, что фазовое пространство этой задачи содержит объединение двух компонент, каждая из которых является гладким банаховым С°°-многообразием.

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность своему начному руководителю профессору Г.А. Свиридюку за неоценимую помощь в работе над диссертацией. Кроме того, автор считает своим приятным долгом поблагодарить заведующую кафедрой математического анализа профессора Т.К. Плышевскую за ценные советы и моральную поддержку, а также коллективы кафедр математического анализа МаГУ и ЧелГУ за ряд полезных пожеланий, способствовавших усовершенствованию работы. Особую благодарность автор выражает своим родным: маме Лидии Федоровне и мужу Андрею Викторовичу за веру в успех.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шеметова, Вероника Владимировна, 2005 год

1. Александрян, Р.А. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа Соболева / Р.А. Александрян // Тр. ММО- 1.60,- Т.9.-С.455-505.

2. Амфилохиев, В.Б. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений / В.Б. Амфилохиев, Я.И. Вайт-кунский, Н.П. Мазаева, Я.С. Хозорковский // Тр. Ленингр. кораблестр. ин-та,- 1975.- Т.96.- С.3-9.

3. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // ПММ I960.- Т.24, № 5,- С.58-73.

4. Басакер, Р. Конечные сети и графы / Р. Басакер, Т. Саати.-М.: Наука, 1974 368 с.

5. Белов, В.В. Теория графов / В.В. Белов, Е.М. Воробьев, В.Е. Шаталов.- М.: Высшая школа, 1976.- 392 с.

6. Бокарева, Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Т.А. Бокарева; РГПИ им. А.И.Герцена.- СПб, 1993.- 107 с.

7. Бокарева, Т.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева / Т.А. Бокарева, Г.А. Свиридюк // Мат. заметки 1994 - Т.55, № 3-С.3-10.

8. Борисович, Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук 1977.- Т.32, № 4 - С.3-54.

9. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков.- Новосибирск: Наука, 1998.- 224 с.

10. Брычев, С.В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / С.В. Брычев; ЧелГУ,- Челябинск, 2002.- 124 с.

11. Бурбаки, Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / Н. Бурбаки.- М.: Мир, 1975.

12. Бурлачко, И.В. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / И.В. Бурлачко, Г.А. Свиридюк // ЖВМиМФ.-2003.- Т.43, № 11,- С.1677-1688.

13. Вишик, М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод ихрешения / М.И. Вишик // Мат. сб.- 1956.- Т.38, № 1 С.51-148.

14. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов Новосибирск: НГУ, 1983.- 179 с.

15. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Гре-гер, К. Захариас М.: Мир, 1978 - 336 с.

16. Гальперн, С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С.А. Гальперин // Тр. ММО.- I960.- Т.9.- С.401-403.

17. Дудко, JI.JT. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / JI.J1. Дудко; Новгород, гос. ун-т.- Новгород, 1996.- 88 с.

18. Ефремов, А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.А. Ефремов; ЧелГУ.- Челябинск, 1998110 с.

19. Загребина, С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / С.А. Загребина; ЧелГУ.- Челябинск, 2002.- 100 с.

20. Замышляева, А.А. Исследование одного класса уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. канд. физ.-мат.наук: 01.01.02 / А.А. Замышляева; ЧелГУ.- Челябинск, 2003.- 101 с.

21. Зеленяк, Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными /Т.И. Зеленяк.- Новосибирск: НГУ, 1965,- 183 с.

22. Зубова, С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их примен,-1976.- № 14.- С.21-39.

23. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида.- М.: Мир, 1967.

24. Казак, В.О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис,. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.О. Казак; ЧелГУ.- Челябинск, 2005.- 99 с.

25. Келлер, А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.В. Келлер; ЧелГУ,- Челябинск, 1997.- 115 с.

26. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов.- Новосибирск: НГУ, 1990,- 132 с.

27. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // ДАН.-1992.- Т.326, № 5.- С.781-786.

28. Копытин, А.В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми ребрами / А.В. Копытин, B.J1. Прядиев // Вестник ВГУ, Серия физика, математика,- 2001.- №1.- С.106-109.

29. Корпусов, М.О. Квазистационарные процессы в проводящих средах без дисперсии / М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников // ЖВМиМФ.- 2000.- Т.4, № 8.- С.1237-1249.

30. Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Тр. ММО.- 1961.- Т. 10.- С.273-285.

31. Крейн, С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1971,- 275 с.

32. Крейн, С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышев.- Новосибирск, 1979.- (Препринт Ин-та матем. СО АН СССР).

33. Кузнецов, Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Г.А. Кузнецов; ЧелГУ.- Челябинск, 1999.- 105 с.

34. Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг.- Волгоград: Платон, 1997.- 203 с.

35. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе М.: Мир, 1972.

36. Мельникова, И.В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И.В. Мельникова, М.А. Алынан-ский // ДАН,- 1994,- Т.36, № 1.- С. 17-20.

37. Мельникова, И.В. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы / И.В. Мельникова, М.А. Аль-шанский // ДАН,- 1995.- Т.343, № 4.- С.448-451.

38. Мельникова, И.В. Интегрированные полугруппы и С-полу группы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач / И. В. Мельникова, А.И. Филинков // Успехи матем. наук.- 1994.- Т.49, № 6.- С.111-150.

39. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг М.: Мир, 1965.- 232 с.

40. Оре, О. Теория графов / О. Ope.- М.: Наука, 1980.- 336 с.

41. Осколков, А.П. К теории жидкостей Фойгта / А.П. Осколков // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.- 1980.- Т.96.- С.233-236.

42. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теорииуравнений типа С.Л.Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. семинаров ЛОМИ,- 1991.- Т.198 С.31-48.

43. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных диссипативных уравнений типа С.Л. Соболева /А.П. Осколков, А.А. Котсиолис, Р.Д. Щадиев // Зап. науч. семинаров ЛОМИ,- 1992,- Т. 199.- С.91-113.

44. Пенкин, О.М. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Мат. заметки.- 1996.- Т.59, № 5.- С.777-780.

45. Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский.- М.: Физматгиз, 1961.

46. Покорный, Ю.В. О нелинейной краевой задаче на графе / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев // Дифференц. уравнения,- 1998.- Т.34, № 5.- С.629-637.

47. Покорный, Ю.В. О функции Грина задачи Дирихле на графе / Ю.В. Покорный, И.Г. Карелина // Докл. АН СССР.-1991,- Т.318, № 3.- С.542-544.

48. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев и др.].- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.- 272 с.

49. Рузакова, О.А. Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / О.А. Рузакова; ЧелГУ.- Челябинск, 2004.- 110 с.

50. Свиридюк, Г.А. Линейные соболевские уравнения / Г.А. Свиридюк; ЧелГУ.- Челябинск, 1985.- 49 е.- Библиогр.: назв. Деп. в ВИНИТИ 1985, № 4265.

51. Свиридюк, Г.А. Многообразие решений одного нелинейного псевдопараболического уравнения / Г.А. Свиридюк // ДАН СССР.- 1986.- Т.289, № 6.- С.1315-1318.

52. Свиридюк, Г.А. Многообразия решений одного класса эволюционных и динамических уравнений /Г.А. Свиридюк // ДАН СССР.- 1989,- Т.304, № 2.- С.301-304.

53. Свиридюк, Г.А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска /Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика 1989 - № 2 - С.55-61.

54. Свиридюк, Г.А. Об одной задаче Showalter / Г.А. Свиридюк // Дифференц. уравнения 1989- Т.25, № 2 - С.338-339.

55. Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вяз-коупругой несжимаемой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика 1990,- № 12.- С.65-70.

56. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. РАН, сер. матем,- 1993.- Т.57, № 3.- С. 192-207.

57. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Усп. мат. наук.- 1994.- Т.49, № 4 С.47-74.

58. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ.- 1994.- Т.6, № 2.- С.216-237.

59. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Некласс, уравн. матем. физики.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002,- С.221-225.

60. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Изв. вузов. Математика 2003.- № 8.- С.46-52.

61. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Мат. заметки.- 2002.- Т.71, № 2.- С.292-297.

62. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для одной обобщенной модели Осколкова / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Сиб. мат. журн 2003 - Т.44, № 5.- С.1124-1131.

63. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Изв. вузов. Математика.- 2003.- № 9,- С.36-41.

64. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова /Г.А. Свиридюк, М.В. Плеханова // Дифферент уравнения,- 2002,- Т.38, № 7 С.997-998.

65. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифферент уравнения.- 1990,- Т.26, № 2.- С.250-258.

66. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сиб. мат. журн.- 1990.- Т.31, № 5.- С.109-119.

67. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г.А. Свиридюк, М.М. Якупов // Дифференц. уравнения.- 1996.- Т.32, № 11.- С.1538-1543.

68. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для одного неклассического уравнения /Г.А. Свиридюк, А.В. Анкудинов // Дифференц. уравнения,- 2003.-Т.39, № П.- С.1556-1561.

69. Сидоров, Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н.А. Сидоров // Мат. заметки.- 1984,- Т.25, № 4.- С.569-578.

70. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференц. уравнения.-1983.- Т.19, № 9.- С.1516-1526.

71. Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения.-1987,- Т.23, № 4.- С.726-728.

72. Соболев, C.JI. Об одной новой задаче математической физики / C.JI. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем 1954-Т.18 - С.3-50.

73. Соболев, C.J1. Применение функционального анализа к математической физике / C.JI. Соболев.- JL: Наука, 1961.

74. Сукачева, Т.Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Т.Г. Сукачева; НГПИ Новгород, 1990.- 112 с.

75. Трибель, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель.-М.: Мир, 1980.- 664 с.

76. Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.Е. Федоров; ЧелГУ.- Челябинск, 1996,- 116 с.

77. Харари, Ф. Теория графов / Ф. Харари.- М.: Мир, 1973304 с.

78. Хатсон, В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим М.: Мир, 1983.

79. Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн.- М.: Мир, 1985.280 с.

80. Шафаревич, А.И. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, сосредоточенные в малой окрестности кривой / А.И. Шафаревич // Дифференц. уравнения.- 1998.- Т.34, № 8.- С.1119-1130.

81. Шафаревич, А.И. Обощенные уравнения Прандтля-Маслова на графах, описывающие растянутые вихри в несжимаемой жидкости / А.И. Шафаревич // Докл. РАН.- 1998.- Т.358, № 6.- С.752-755.

82. Якупов, М.М. Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.М. Якупов; ЧелГУ.- Челябинск, 1999.- 87 с.

83. Barra, F. Classical dynamics on graphs / F. Barra, P. Gaspard // Phys. Rev. E 2001.- 63.- № 6, p.2 - P.066215/1-066215/22.

84. Cattaneo, C. The spread of the potential on a homogeneous tree / C.Cattaneo // Ann. mat. pura ed appl.- 1998.- № 175.-P.29-57.

85. Coleman, B.D. Instability, uniqness and nonexistence theorems for the equation щ = uxx — uxxt on a strip / B.D. Coleman, R.J. Duffin, V.J. Mizel // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1965.- Vol.19-P.100-116.

86. Cowling, M. Estimates for functions of the Laplace operator on homogeneous trees / M. Cowling, S. Meda, A.G. Setti // Trans. Amer. Math. Soc- 2000,- Vol.352, № 9.- P.4271-4293.

87. Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii.- New York-Basel: Marcel Dekker, Inc., 2003 490 c.

88. Favini, A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems / A. Favini // Rend. Mat 1979- Vol. 12.-P.511-536.

89. Favini, A. Degenerate and singular evolution equations in Banach spaces / A. Favini // Math. Ann 1985 - Vol.273-P. 17-44.

90. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi.- New York-Basel: Marcel Dekker, Inc., 1999.- 283 c.

91. Hale, J.K. Reaction-diffusion equations on thin domains / J.K. Hale, G. Raugel // J. Math. Pures Appl 1991.- Vol.71.- P.33-95.

92. Hoff, N.J. Creep buckling / N.J. Hoff // Aeron.- Quarterly 7.1956.- № 1 P.l-20.

93. Kosugi, S. A semilinear elliptic equation in a thin network-shaped domain / S. Kosugi // J. Math. Soc. Jap.- 2000.-Vol.52, № 3,- P.672-697.

94. Medolla, G. The wave equation on homogeneous trees / G. Medolla, A.G. Setti // Ann. mat. pura ed appl 1999.- № 176-P.l-27.

95. Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyatkov.- Utrecht-Boston: VSP, 2002.

96. Showalter, R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R.E. Showalter // Pacific. J. Math.- 1963-Vol.31, № 3.- P.787-793.

97. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I (II) / R.E. Showalter // Appl. Anal.- 1975.- Vol.5, № 1,- P. 15-22 (№ 2,-P.81-99).

98. Showalter, R.E. Hilbert Space Methods for Partial Differential equations / R.E. Showalter.- Pitman: London-San Francisco-Melbourne, 1977.- 238 c.

99. Lyapunov-Schmidt method in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev- Dordrecht Harbour: Kluwer Academic publishers, 2002,- 548 c.

100. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov.-Utrecht-Boston: VSP, 2003.- 216 c.

101. Yanagida, E. Stability of nonconstant steady states in reaction-diffusion systems on graphs / E. Yanagida // Japan J. Induct. Appl. Math.- 2001.- Vol.18.- P.25-42.

102. Свиридюк, Г. А. Об уравнениях Хоффа на графах / Г. А. Сви-ридюк, В.В. Шеметова // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды XIII межвуз. конф. 29-31 мая 2003.-Самара, 2003.- С.149-151.

103. Свиридюк, Г.А. Уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной на графе / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Вестник МаГУ. Математика Вып.4 - Магнитогорск: МаГУ, 2003 - С. 129139.

104. Шеметова, В.В. Фазовое пространство уравнений Хоффа на графе / В.В. Шеметова // Воронежская зимняя математическая школа-2004 Воронеж: ВорГУ, 2004.- С. 112-114.

105. Шеметова, В.В. Об уравнениях Баренблатта-Желтова-Кочиной на графе / В.В. Шеметова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тезисы докладов Всерос. конф,-Екатеринбург, 2004.- С.240-241.

106. Шеметова, В.В. О фазовом пространстве уравнений Хоффа на графе / В.В. Шеметова // Международная школа-семинар по геометрии и анализу.- Ростов-на-Дону, 2004.-С.281-282.

107. Шеметова, В.В. О фазовом пространстве одной неклассической модели / В.В. Шеметова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции Воронеж: ВГУ, 2005.- С.251.

108. Шеметова, В.В. Об одной неклассической модели / В.В. Шеметова // Тезисы докладов XII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2005".- Москва: МГУ, 2005.- С.75-76.

109. Шеметова, В.В. Уравнения Корпусова-Плетнера-Свешнико-ва на графе / В.В. Шеметова // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. Тезисы докладов Межд. конф.- Новосибирск, 2005 С.91-92.

110. Шеметова, В.В. Фазовые пространства одного класса уравнений соболевского типа на графах / В.В. Шеметова // Вестник МаГУ. Математика Вып.8.- Магнитогорск: МаГУ, 2005,- С.149-164.

111. Shemetova, V.V. The phase space of Oskolkov equations on the graph / V.V. Shemetova // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Alushta, Ukraine, September 17-23, 2005.- Donetsk, 2005.- P.92.

112. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Изв. вузов. Математика.- 2005.- №11- С.47-52.