Исследование математических моделей с феноменом неединственности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гильмутдинова, Альбина Фаритовна

• Гильмутдинова, Альбина Фаритовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гильмутдинова, Альбина Фаритовна

Обозначения и соглашения

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Относительно р-ограниченные операторы.

1.2 Относительно р-секториальные операторы

1.3 Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова.

1.4 Банаховы многообразия и векторные поля.

1.5 Функциональные пространства.

1.6 Полулинейные эволюционные уравнения

1.7 Некоторые результаты нелинейного функционального анализа.

2 Уравнение Корпусова—Плетнера—Свешникова

2.1 Квазистационарные траектории

2.2 Задача Шоуолтера - Сидорова.

2.3 Постановка задачи.

2.4 Морфология фазового пространства.

2.5 Несуществование и неединственность решения задачи Шоуолтера - Сидорова.

2.6 Результаты численных экспериментов.

3 Система уравнений Плотникова

3.1 Квазистационарные полутраектории.

3.2 Постановка задачи.

3.3 Единственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова

3.4 Неединственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова

3.5 Результаты численных экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей с феноменом неединственности»

Постановка задач

Пусть П с 1", и £ N - ограниченная область с границей дО, класса С°°. В области О, х К. рассмотрим уравнение

Л - = сЯ2и +(0.1.1) моделирующее метастабильпые процессы в жидком двухкомпонент-ном полупроводнике. Параметры а, /3, А б М характеризуют свойства полупроводника, причем если знаки параметров о: и (3 для нас безразличны, то о знаке А следует сказать особо ввиду его важности для дальнейшего. Параметр А = к/г2, где к - коэффициент электрической поляризуемости, а г2 - некоторая положительная постоянная отвечающая за другие свойства полупроводника. Так вот, квазистационарные процессы в полупроводниках возможны только при условии отрицательности коэффициента к. Причем именно в данном случае возможен пробой полупроводника, наблюдаемый экспериментально ([32], гл.2, п.1 и п.2).

Впервые уравнение (0.0.1) было получено в работе [21], поэтому в дальнейшем оно будет называться по имени авторов - уравнением Корпусова - Плетнера - Свешникова (уравнением КПС). В этой же работе была установлена однозначная разрешимость уравнения (0.0.1) при краевых условиях Дирихле на границе дО, х М и начальном условии вида

А - У2)(и(£, 0) - и0(ж)) = 0, ж е П, (0.1.2) 7 но только в случае положительности параметра Л, что влечет обратимость дифференциального оператора при производной по времени в уравнении КПС. Нашей задачей является качественное и численное исследование данной начально-краевой задачи при любых (в том числе и отрицательных) значениях параметра Л.

Кроме уравнения КПС в области О, х рассмотрим систему уравнений уг = Ау- Дги, 0 = V + Лги + бии - (Зии3, (0.1.3) представляющей один из вариантов модели фазового поля в рамках мезоскопической теории в предположении, что время релаксации равно нулю. Параметры (3 и 5 характеризуют фазовый переход, причем <5 = (2а£2)-1, где £ 6 М+ - поверхностное натяжение, а е - мера ширины зоны фазового перехода (так называемая длина взаимодействия) [75], [82], [84], [91]. Содержание и знак параметра (3 е К в дальнейшем несущественны, главное, что /3^0.

Поскольку систему уравнений (0.1.3) (с точностью до линейного изоморфизма, предложенного В.Е. Федоровым [62]) впервые построил, глубоко и обстоятельно изучал П.И. Плотников с учениками [30], [31], то в дальнейшем мы будем называть (0.1.3) системой уравнений Плотникова. В цитированных работах [30], [31] установлено существование решения начально-краевой задачи г>(ж,0) = г;0(ж), х е (0.1.4) ди с)ъи (-7^ +Лгу)(ж,г) = 0, (ж,г) едПх М+; (0.1.5) и поставлен вопрос о единственности решения. Нашей задачей является качественное и численное исследование разрешимости задачи (0.1.3)-(0.1.5) и единственности ее решения при различных значениях параметра 6.

Методы исследования

Качественное исследование предложенных в предыдущем параграфе задач облегчается тем обстоятельством, что они обе в подходящим образом подобранных банаховых пространствах Яи^ редуцируются к полулинейному уравнению соболевского типа

Ьй = Ми+ N{4). (0.2.1)

К настоящему времени условия однозначной разрешимости задачи Коши и(0) = щ (0.2.2) для уравнения (0.2.1) достаточно хорошо изучены [89]. В частности если оператор М (Ь,р) - ограничен или сильно (Ь,р) - секториален, то пространства И и $ расщепляются в прямые суммы 11 = 11° ф М1, $ = т?0®!?1 так, что действия операторов Ь и М тоже расщепляются, т.е. Ь е и М е С1{а0,^°)ПС1{а1^1). Это обстоятельство дает возможность уравнение (0.2.1), где, возможно, кет Ь ф {0}, редуцировать к регулярному уравнению й = + (0.2.3) определенному, возможно, не на всем пространстве И, а только на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнения (0.2.1).

При исследовании задачи (0.2.1), (0.2.2) была получена ее однозначная разрешимость только в случае, если точка щ лежит в образе С°° - диффеоморфизма, определенного на области О1 С Я1 [36], [37]. Другими словами потребовалось, чтобы фазовое пространство локально было бы банаховым С°° - многообразием. Здесь же была сформулирована проблема изучения морфологии (т.е. структуры, строения, устройства) фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. К настоящему времени в этом направлении получен ряд интересных результатов. Именно показано, что в ряде прикладных задач [38], [41], [42], [44], [50], [51] фазовым пространством служит простое банахово С°° - многообразие, моделируемое i юдпространством Я1. Напомним, что банахово С°° - многообразие называется простым, если любой его атлас эквивалентен атласу, содержащему единственную карту. Другими словами, банахово С°° -многообразие является простым, если оно nri04TH"He отличается от подпространства II1.

Между тем в работах P.E. Шоуолтера [86] и независимо от него H.A. Сидорова [52], [53], [54] была поставлена и изучена новая начальная задача для уравнений вида (0.2.1)

L(u(0) - щ) = 0, (0.2.4) которая впоследствии стала называться задачей Шоуолтера - Сидорова. Очевидно, что если оператор L непрерывно обратим, то задача (0.2.4) для уравнения (0.2.1) корректна тогда, когда корректна задача (0.2.2). Наконец, нетрудно убедиться, что если оператор М (Ь, 0) - ограничен или (Ь, 0) - секториален, а фазовым пространством уравнения (0.2.1) служит простое банахово С°° - многообразие, то утверждение об эквивалентности задач (0.2.2) и (0.2.4) для уравнения (0.2.1) остается в силе.

Другое дело, если фазовое пространство уравнения (0.2.1) не является простым. Г.А. Свиридюком [34] показана возможная неединственность решения задачи Шоуолтера - Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа вида (0.2.1). Примеиив описанный выше метод фазового пространства к моделям (0.1.1) и (0.1.3), нам удалось подтвердить гипотезу Г.А. Свиридюка и установить неединственность их решений.

Кроме основного в данной диссертации метода фазового пространства мы широко используем, во-первых, теорию линейных уравнений соболевского типа и порождаемых ими вырожденных групп и полугрупп операторов [89]; во-вторых, такие мощные средства нелинейного функционального анализа как теорему о неявной функции (см. например, [28]) и теорему Вишика - Минти - Браудера (см. теорию монотонных операторов в [9]); в-третьих, теорему Коши как для случая векторных полей на банаховых многообразиях [24], так и для случая полулинейных эволюционных уравнений в банаховых пространствах [67]. И наконец, красной нитью через всю диссертацию проходит идеология теории особенностей Уитни [4], [73], [74].

Поскольку диссертация кроме качественных исследований содержит еще и результаты численных экспериментов, подтверждающих феномен неединственности решения моделей (0.1.1) и (0.1.3), здесь необходимо еще упомянуть метод Галеркина [7], лежащий в основе наших экспериментов.

Актуальность темы диссертации

Впервые уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, появились в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Первым, кто начал систематическое изучение начально-краевых задач для линейных уравнений вида (0.2.1), где Ь и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по "пространственным" переменным, а оператор N = О, был С. Л. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. В 1954 году в работе [55] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Результаты этой работы стали началом систематических исследований в данном научном направлении.

В настоящее время теория уравнений соболевского типа переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. С.Л. Соболев, в основном, занимался линейными уравнениями, и его нынешние ученики и последователи составляют обширную и разветвленную научную школу [1], [15], [77], [78]. Наибольший прогресс был достигнут в области линейных уравнений соболевского типа, именно здесь находится большинство из вышедших монографий.

В монографии В.Н. Врагова [8] впервые выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для линейных уравнений вида (0.2.1), где Ь и М -дифференциальные операторы по пространственным переменным.

В монографии А. Фавини и А. Яги [76] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения хг € А(х) с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа вида (0.2.1), если М - (Ь, <т)-ограничеш1ый оператор в случае устранимой особой точки в бесконечности. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В монографии Г.В. Демиденко, С.В. Успенского [10] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны следующим образом:

1-1

До В\и + ^ А-кИ^и = /, к=0 где До, Д-1, ., Д/ - линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (х\,. ,хп), причем оператор До не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

Монография И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова и С. В. Попова [83] посвящена исследованию разрешимости краевой нелокальной задачи для неоднородного линейного уравнения (0.2.1), где операторы М - самосопряженные и определенные в гильбертовом пространстве. Доказано существование сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (условия ортогональности) решение краевой задачи является гладким.

В монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенкова [81] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А.И. Кожанов [79], в частности, рассматривает уравнения вида

I -А)щ = Ви + !{х^), где А и В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.

Несмотря на то, что большинство работ относятся к линейным уравнениям соболевского типа, исторически первой является монография P.E. Шоуолтера [86], в которой рассматриваются как линейные уравнения, так и полулинейные вида (0.2.1) дифференциально-операторные уравнения, определенные в полугильбертовых пространствах, т.е. пространствах, имеющих нехаусдорфову топологию. Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами.

Начиная с работ P.E. Шоуолтера стало принято как абстрактные уравнения вида (0.2.1), так и их конкретные интерпретации (например, (0.1.1), (0.1.3)) называть уравнениями соболевского типа. К настоящему времени данная терминология стала общепринятой [22], [29], [45], [46], [80], [85], [89]. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "вырожденные дифференциальные уравнения"[76], [81], "неклассические дифференциально-операторные уравнения"[83], "дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно старшей производной"[10], "псевдопараболичес-кие"и "псевдогиперболические"уравнения [10], [79] и "уравнения не типа Коши - Ковалевской"[25], [69]. Исследование подобных уравнений в первую очередь связано с исследованием задач гидромеханики, физики плазмы, физики атмосферы. [27]

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [9] теория монотонных операторов применяется при исследовании и приближенном решении краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые трактуются как операторные уравнения или операторные дифференциальные уравнения в рефлексивных банаховых пространствах.

В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синиципа и М. А. Фалалеева [87] изучены полулинейные уравнения и их обобщения. Разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта, а также доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения (0.1.2) с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор N (типа ограничений). Показано существование ги-периодического решения задачи Коши для неоднородного уравнения (0.1.2) с замкнутыми плотно определенными операторами и ^-периодической неоднородностью.

В монографии А.Г. Свешникова, A.B. Альшина, М.О. Корпусова, Ю.Д. Плетнера [32] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, как в классическом, так и в сильном и слабом обобщенном смыслах, широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных высоких порядков, включая псевдопараболические уравнения и уравнения соболевского типа. В случае локальной разрешимости для ряда классов задач получены двусторонние оценки времени разрушения решений. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы решений конкретных задач.

В монографии Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова [2] предметом изучения является алгебро-дифференциальные неоднородные системы вида (0.2.1) с прямоугольной или вырожденной при всех t G [0, Т] матрицей L(t). Доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для алгебро-дифференциальных систем вида (0.2.1) с регулярной и сингулярной парой постоянных (m х п)-матриц L и M [68].

Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свиридюком. В его совместной с В.Е. Федоровым монографии [89] вводятся и изучаются относительно спектрально ограниченные операторы и порождаемые ими разрешающие группы, выделяются достаточные (а в некоторых случаях и необходимые) условия относительно спектральной ограниченности. Также вводятся в рассмотрение относительно р - секториальные операторы и порождаемые ими аналитические разрешающие полугруппы и относительно р - радиальные операторы и порождаемые ими сильно непрерывные разрешающие полугруппы. В эту монографию вошли результаты Т.А. Бокаревой [3], JI.JI. Дудко [11], A.B. Келлер [19], В.Е. Федорова [61], A.A. Ефремова [12], Г.А. Кузнецова [23]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации С.А. Загребиной [13], C.B. Брычева [5], A.A. Замышляевой [14], И.В. Бурлачко [6] и докторская диссертация В.Е. Федорова [62].

В рамках данного направления исторически первой была диссертация Т.Г. Сукачевой [59], в которой линейный метод C.B. Зубовой и К.И. Чернышева [16] был обобщен на полулинейную ситуацию исчерпывающим образом. В дальнейшем Т.Г. Сукачева сосредоточилась на исследовании задачи Коши для неавтономных полулинейных уравнений соболевского типа [45], [47], [48], [57], [58]. Следующим нелинейным исследованием стала диссертация М.М. Яку-иова [72], в которой установлена простота фазового пространства уравнения Осколкова и различных его модификаций. Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа посвящена диссертация В.О. Казака [17]. В диссертации H.A. Манаковой [26] исследовались достаточные условия разрешимости задачи Шоуолтера -Сидорова (0.1.5) оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений соболевского типа. Посредством метода Галер-кина в ней построены приближенные решения задач оптимального управления. В диссертации В.В. Шеметовой [71] исследовалась разрешимость линейных и полулинейных уравнений соболевского типа, заданных на конечных ориентированных графах. Диссертация О. Г. Китаевой [20] посвящена обобщению теоремы Адам ара-Перрона для полулинейных уравнений соболевского типа. В диссертации Д.Е. Шафранова [70] исследовалась разрешимость задачи Коши для линейных и полулинейных уравнений соболевского типа в пространствах к - форм, определенных на гладких римановых многообразиях без края.

Теоретическая и практическая значимость

Основное содержание диссертации - качественное исследование морфологии фазовых пространств двух неклассических задач математической физики, возникших в последнее время, - это уравнение Корпусова - Плетнера - Свешникова и система уравнений Плотникова. Впервые обнаружено, что фазовые пространства (при некоторых, критических, значениях параметров) расположены на многообразиях, имеющих особенности - складку и сборку Уитни соответственно. Установлена связь между наличием особенностей и единственностью решений физически осмысленной задачи ТТТоуол-тера - Сидорова, т.е. отмечены области начальных данных, при которых задача имеет одно, два или три решения. Полученные результаты носят окончательный характер, т.е. содержа/г исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, носящих прикладной характер. В целом результаты диссертации реализуют программу исследований, намеченную Г.А. Свиридюком.

Практическая же значимость заключается в том, что данные результаты должны учитываться при проведении численных расчетов. Необходимость этого обстоятельства уже была отмечена в конечномерном варианте линейной теории уравнений соболевского типа [26], [39], [40]. Проведенные нами численные эксперименты также подтверждают данную необходимость.

Апробация

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2005) [92], студенческой конференции ЧелГУ в 2005 году (г. Челябинск) [93], Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика посвященной тридцатилетию ЧелГУ (г. Челябинск, 2006) [101], Всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Самара, 2007) [95], Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И.Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения "(г. Новосибирск, 2007) [96], Международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (г. Стерлитамак, 2008)

98], Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева „Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (г. Новосибирск, 2008)

99]. Также результаты докладывались на семинаре по уравнениям соболевского типа профессора Г. А. Свиридюка в ЮУрГУ (г. Челябинск) и на семинаре чл.-корр. РАН И.А. Шишмарева в МГУ им. М.В. Ломоносова.

Краткое содержание диссертации

Диссертация, кроме введения и списка литературы, содержит три главы. Список литературы содержит 101 наименование.

Первая глава состоит из семи параграфов и содержит формулировки теорем и определения, которые используются для получения основных результатов диссертации. Первый и второй параграфы содержат сведения из [89]. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р - ограниченных операторах. Во втором параграфе вводятся определения решения, фазового пространства, аналитических разрешающих полугрупп и групп операторов, теоремы о существовании аналитических разрешающих полугрупп и групп операторов для линейных уравнений вида (0.2.1), а также определения и теоремы об относительно р - секториальных операторах. В третьем параграфе содержатся определение решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1) и теорема существования и единственности решения обобщенной задачи Шоуолтера Сидорова для уравнения (0.2.1) [49]. В четвертом параграфе рассматриваются следующие определения: карты, атласа, банахова Ск - многообразия, касательного расслоения Ск - многообразия, векторного поля и теорема Коши [24]. В пятом параграфе определяются пространства Соболева [56], пространства с негативной и позитивной нормами и приводятся теоремы вложения Соболева и Кондра-шова - Реллиха [60], [66]. В шестом параграфе рассматриваются две теоремы вложения, вводятся определение решения задачи Коши для полулинейного эволюционного уравнения и теорема существования и единственности этого решения [67]. Седьмой параграф содержит сведения из [9], [28], а именно определения радиально непрерывного, монотонного, коэрцитивного оператора, теорему Вишика - Минти —

Браудера, определение и свойства производной Фреше, теорему о неявной функции, а также определение к - сборки Уитни [90].

Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена вопросам несуществования и неединственности решения задачи Шоуолтера-Сидорова для уравнения Корпусова - Плетнера - Свешникова. В первом параграфе вводятся понятия решения задачи Коши для уравнения соболевского типа (0.2.1), фазового пространства, квазистаци-опарной траектории уравнения (0.2.1), проходящей через точку и доказывается теорема существования и единственности квазистационарной траектории уравнения (0.2.1.), проходящей через точку щ. Во втором параграфе содержатся определение решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1), доказаны теоремы существования и единственности задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1) в случае тривиального и нетривиального ядра оператора Ь, но простого, фазового пространства, а также приведен пример в случае непростого фазового пространства. В третьем параграфе рассмотрено уравнение Корпусова - Плетнера - Свешникова. Подобраны функциональные пространства, при которых уравнение (0.1.1) можно редуцировать к абстрактному уравнению (0.2.1). Доказана (Ь, 0) - ограниченность оператора М и бесконечная диффе-ренцируемость оператора N. В четвертом параграфе доказывается теорема о фазовом пространстве уравнения (0.1.1) в случаях тривиального и нетривиального ядер. В пятом параграфе доказывается теорема о том, когда задача Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.1.1) имеет ровно одно, два различных и ни одного решения. Шестой параграф содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple 12.0. и пример его применения.

Третья глава состоит из пяти параграфов и посвящена вопросу неединственности решения задачи Шоуолтера - Сидорова для системы уравнений Плотникова. В первом параграфе строятся интерполяционные пространства, вводятся определения квазистационарной полутраектории уравнения (0.2.1), проходящей через точку щ, решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1), доказывается теорема существования и единственности квазистационарной полутраектории уравнения (0.2.1), проходящей через точку Uq и теорема существования и единственности решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.2.1). Также здесь построены два примера, один в случае простого фазового пространства, в другом -фазовое пространство представляет собой сборку Уитни. Во втором параграфе рассмотрена система уравнений Плотникова. Подобраны функциональные пространства, при которых систему уравнений (0.1.3) можно редуцировать к абстрактному уравнению (0.2.1). Доказана (L, 0) - секториальность оператора М и бесконечная диф-ферепцируемость оператора N. В третьем параграфе доказывается теорема существования и единственности задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.1.3). В четвертом параграфе доказывается теорема о фазовом пространстве уравнения (0.1.3) и теорема о том, когда Шоуолтера - Сидорова для уравнения (0.1.3) имеет ровно одно и три различных решения. Пятый параграф содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple 12.0. и пример его применения.

Публикации

Все результаты диссертации своевременно опубликованы [92] -[101], причем работа [100] опубликована в журнале, включенном в список ВАК по специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.

Благодарности

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Свиридюку за неоценимую помощь в работе над диссертацией; коллективу кафедры уравнений математичексой физики ЮУрГУ за ценные советы и конструктивную критику. Особую благодарность выражаю моей семье: маме Гульсине Минабутдиновне за самоотверженность и понимание, мужу Эльдару Рафаильевичу, папе Фариту Файзелхаковичу и брату Альберту Фаритовичу за поддержку и веру в успех.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гильмутдинова, Альбина Фаритовна, 2008 год

1. Белоносов, В. С. Качественные свойства одной математической модели вращающейся жидкости / В. С. Белоносов, Т. И. Зеленяк // Сиб. журн. индустр. мат. - 2002. - 5:4 - С.3 13.

2. Боярипцев, Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков,- Новосибирск: Наука, 1998.- 224 с.

3. Бокарева, Т. А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. . канд. физ.-мат. наук / Т. А. Бокарева; ЛГПИ им. А.И. Герцена,- СПб., 1993,- 107 с.

4. Бокарева, Т. А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева / Т. А. Бокарева, Г. А. Свиридюк // Матем. заметки.- 1994,- Т. 55, № 3 С. 3-10.

5. Брычев, С. В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. В. Брычев; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2002,- 124 с.

6. Бурлачко, И. В. Исследование оптимального управления системами уравнений леонтьевского типа: дис. канд. физ.-мат. наук / И. В. Бурлачко; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 2005.122 с.

7. Вайнберг, М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг.-М.: Наука, 1972,- 415 с.

8. Врагов, В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В. Н. Врагов.- Новосибирск: НГУ, 1983.- 179 с.

9. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас М.: Мир, 1978 - 336 с.

10. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский Новосибирск: Науч. кн., 1998 - 438 с.

11. Дудко, Л. Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. . канд. физ.-мат. наук / Л. Л. Дудко.- Новгород, 1996.88 с.

12. Ефремов, А. А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. А. Ефремов; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 1996.102 с.

13. Загребина, С. А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. А. Загребина; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2002.- 100 с.

14. Замышляева, А. А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. А. Замышляева; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2003 101 с.

15. Зеленяк, Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными / Т. И. Зеленяк.- Новосибирск, 1970. 164 с.

16. Зубова, С. П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С. П. Зубова, К. И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их применение. 1976. - N14. - С.21-39.

17. Казак, В. О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. О. Казак.- Челябинск, 2005.- 99 с.

18. Квадарос, Б. О разрешимости задачи Коши для вырожденного квазилинейного дифференциального уравнения / Б. Квадарос // Литовский мат. сб.- 1980.- Т. 20, № 3.- С. 51-55.

19. Келлер, А. В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. В. Келлер Челябинск, 1997.- 115 с.

20. Китаева, О. Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / О. Г. Китаева.-Магнитогорск, 2006.- 111 с.

21. Корпусов, М. О. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии /Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г.// Журн. вычислит, мат. и мат. физики.-2000.- Т. 4, № 8,- С. 1237-1249.

22. Костюченко, А. Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна / А. Г. Костюченко, Г. И. Эскин // Тр. Моск. матем. об-ва.- 1961.- Т. 10.- С. 273-285.

23. Кузнецов, Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. . канд. физ.-мат. наук / Г. А. Кузнецов; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 1999.- 105 с.

24. Ленг, С. Введение в теорию дифференциальных многообразий / С. Ленг.- Волгоград: Платон, 1997.- 203 с.

25. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе М.: Мир, 1972.- 587 с.

26. Манакова, Н. А. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис. . канд. физ.-мат. наук / Н. А. Манакова; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2005.- 124 с.

27. Маслов, В. П. Уравнения одномерного баротропного газа / В. П. Маслов, П. П. Мосолов.-М.: Наука,1990. 216 с.

28. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг,- М.: Мир, 1977,- 232 с.

29. Осколков, А. П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ,- 1991.- Т. 198.- С. 31-48.

30. Плотников П. И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П. И. Плотников , В. Н. Старовойтов // Дифференц. уравнения 1993.- Т. 29, № 3.- С. 461-471.

31. Плотников П. И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П. И. Плотников , А. В. Кле-пачева // Сиб. мат. журн.- 2001,- Т. 42, № 3,- С. 651-669.

32. Свешников А. Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.-736 с.

33. Свиридюк, Г. А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г. А. Свиридюк // ДАН СССР.- 1989.- Т. 304, № 2.- С. 301-304.

34. Свиридюк, Г. А. Об одной задаче 81юл*гоИ;ег / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения,- 1989.- Т. 25, № 2.- С. 338-339.

35. Свиридюк, Г. А. Разрешимость задачи термоконвекции вяз-коупругой несжимаемой жидкости / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика 1990 - № 12 - С. 65-70.

36. Свиридюк, Г. А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк // Изв. РАН, сер. матем,- 1993.- Т. 57, № 3,- С. 192-207.

37. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ,- 1994.- Т. 6, № 5,- С. 252-272. .

38. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши Дирихле для одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. В. Анкудинов // Дифференц. уравнения - 2003 - Т. 39, № 11. С. 1556 -1561.

39. Свиридюк, Г. А. Численное решение систем уравнений леон-тьевского типа / Г. А. Свиридюк, С. В. Брычев // Изв. вузов. Математика. 2003,- № 8.- С. 46-52.

40. Свиридюк, Г. А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г. А. Свиридюк, И. В. Бурлачко // Журн. вычислит, мат. и мат. физики.- 2003.Т. 43, №11- С. 1677-1683.

41. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, В. О. Казак // Мат. заметки,- 2002,- Т. 71, № 2- С. 292-297.

42. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для одной обобщенной модели Осколкова / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Сиб. мат. журн.- 2003.- Т.44, № 5,- С.1124-1131.

43. Свиридюк, Г. А. Неустойчивое инвариантное многообразие уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, О. Г. Китаева // Мат. заметки,- 2006.-Т. 79, № 2,- С. 440-444.

44. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Изв. вузов. Математика,- 2003.-№ 9,- С. 36-41.

45. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Сиб. мат. журн,- 1990.- Т. 31, № 5.- С. 109-119.

46. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева //Дифференц. уравнения.- 1990.- Т. 26, № 2,- С. 250-258.

47. Свиридюк, Г. А. Медленные многообразия одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г.Сукачева // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. математика, механика,-1991.- № 1 С. 3-20.

48. Свиридюк, Г. А. О разрешимости нестационарной задачи динамики вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Мат. заметки. 1998. - Т.63, N5. - С.442-450.

49. Свиридюк, Г. А. Линейные уравнения соболевского типа: учеб. пособие / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров.- Челябинск: ЧелГУ, 2003. 179 с.

50. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г. А. Свиридюк, В. В. Шеметова //Изв. вузов. Математика,- 2005.- № 10.- С. 47-52.

51. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г. А. Свиридюк, М. М. Якупов // Дифференц. уравнения,- 1996.- Т. 32, № 11 С. 1538-1543.

52. Сидоров, И. А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н. А. Сидоров // Мат. заметки,- 1984,- Т. 25, № 4,- С.569-578.

53. Сидоров, И. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров, О. А. Романова //Дифференц. уравнения.- 1983.Т. 19, № 9.- С. 1516-1526.

54. Сидоров, Н. А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения 1987.- Т. 23, № 4,- С. 726-728.

55. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем,- 1954,- Т. 18-С. 3-50.

56. Соболев С. Л. Применение функционального анализа к математической физике / С. Л. Соболев.- Л.: Наука, 1961.- 255 с.

57. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоуиругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т. Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика 1998.- № 3,- С. 47-54.

58. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения 2000.- Т. 36, № 8 - С. 11061112.

59. Сукачева, Т. Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / Т. Г. Сукачева. Новгород: НГПИ, 1990.-112 с.

60. Трибелъ, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель.- М.: Мир, 1980.- 664 с.

61. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп уравнений типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. Е. Федоров.- Челябинск, 1996.- 104 с.

62. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространств: дис. . д-ра физ.-мат. наук / В. Е. Федоров.- Челябинск, 2005.- 271 с.

63. Федоров, В. Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов / В. Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. Математика.- 2003,- Т. 67, № 4.- С. 171-188.

64. Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. матем. журн.- 2005.- Т. 46, № 2,-С. 426-428.

65. Федоров, В. Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вестн. ЮУр-ГУ. 2008,- № 15(115).- С. 89-99.

66. Хатпеон, В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим М.: Мир, 1983 - 432 с.

67. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри М.: Мир, 1985.- 376 с.

68. Чистяков, В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука, 1996,- 278 с.

69. Чистяков, В. Ф. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской / В. Ф. Чистяков, О. В. Бормотова // Журн. вычислит, мат. и мат. физики.- 2004.Т. 44, № 8.- С. 1380-1387. № 4,- С. 18-29.

70. Якупов, M. М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики: дис. . канд. физ.-мат. наук / M. М. Якупов; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 1999 83 с.

71. Berger M. S. Folds and cups in Banach spaces, with applications to nonlinear partial differential equations. I /М. S. Berger, P. T. Church, J. G. Timorian // Indiana Univ. Math. J 1985.-V. 34, № 1,- P. 1-19.

72. Berger M. S. Folds and cups in Banach spaces, with applications to nonlinear partial differential equations. II /M. S. Berger, P. T. Church, J. G. Timorian // AMS 1988.- V. 307, № 1,- P. 227-244.

73. Cahn I. W. Free energy of a nonuniform system. 1. Interfacial free energy /1. W. Cahn, I. E. Hillard // J. Chem. Physics.- 1958-V. 28,- P. 258-267.

74. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi.- N. Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999,- 236 pp.

75. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. I / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994,- V. 4, № 1.- P. 18-51.

76. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. II / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994,- V. 4, № 2- P. 16-53.

77. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov-Utrecht: VSP, 1999.- 171 p.

78. Lightbourne, J. H. A. Partial functional equations of Sobolev type / J. H. A. Lightbourne // J. Math. Anal. Appl- 1983.- V. 93, № 2.- P. 328-337.

79. Melnikova I. V. The Cauchy problem. Three approaches Monograhps and Surveys in Pure and Applied Mathematics / I. VMelnikova, A. L. Filinkov.- London; N.Y.; Washington, 2001.- 240 P

80. Miranville A. Exponential attractors for the Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions / A. Miranville, S. Zelik // Math. Meth. Appl. Sci. 2005. - № 28. - P. 709-735.

81. Pyatkov, S. G. Operator theory. Nonclassical problems / S. G. Pyatkov.- Utrecht; Boston; Tokyo: VSP, 2002.

82. Racke R. The Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions / R. Racke, S. Zheng // Adv. Diff. Eqns. 2003. -№ 8.-P. 83-110.

83. Showalter, R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R. E. Showalter // Pacific J. Math 1963.- V. 31, № 3-P. 787-794.

84. Showalter, R. E. Hilbert space methods for partial differential equations / R. E. Showalter.- Pitman; London; San Francisco; Melbourne, 1977.-152 pp.

85. Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev.-Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002,548 pp.

86. Stefany G. Asymptotic behavior of a phase-field system with dynamic boundary conditions / G. Stefany, A. Miranville // 2006,- P. 149-170.

87. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov.-Utrecht: VSP, 2003.- 216 pp.

88. Whithey, H. Mappings of the plane into the plane / H. Whithey //Ann. Math.- 1955,- V. 62.- P. 374-410.

89. Wu H. Convergence to the equilibrium for the Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions / H. Wu, S. Zheng // J. Diff. Eqns. 2004. - № 204. - P. 511-531.

90. Карамова, А. Ф. (Гильмутдинова А. Ф.) Складка фазового пространства уравнения двухкомпонентной полупроводниковой плазмы / А. Ф. Карамова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. науч. конф. — Воронеж, 2005.- С. 110.

91. Карамова, А. Ф. (Гильмутдинова А. Ф.) О складке фазового пространства уравнения Корпусова Плетнера - Свешникова / А. Ф. Карамова // Студент и научно-техн. прогресс: тез. докл. науч. студ. конф. - Челябинск, 2005,- С. 6.

92. Гилъмутдинова А. Ф. О простоте фазового пространства системы уравнений Кагиналпа / А. Ф. Гильмутдинова // Вестн. МаГУ. Математика. Магнитогорск, 2006.- С. 5-16.

93. Гилъмутдинова А. Ф. Фазовое пространство системы уравнений Кагиналпа / А. Ф. Гильмутдинова // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. науч. конф.- Самара, 2007,- С. 39.

94. Гилъмутдинова А. Ф. О неединственности решений задачи Шоуолтера Сидорова для одной модели Плотникова / А. Ф. Гильмутдинова // Вестн. СамГУ. - 2007.-№ 9/1- С. 85-90.

95. Свиридюк, Г. А. О складке фазового пространства одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. Ф. Карамо-ва (А. Ф. Гильмутдинова) // Дифференц. уравнения.- 2005.Т. 41, № 10.- С. 1400-1405.

96. Свиридюк, Г. А. Неединственность решений системы уравнений Кагиналпа. / Г. А. Свиридюк, А. Ф. Гильмутдинова // Математика. Механика. Информатика: тез. докл. Всерос. науч. конф., Челябинск, 19-22 сентября 2006 г.- Челябинск, 2006.-С. 28.