Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Якупов, Максут Масновиевич

• Якупов, Максут Масновиевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Якупов, Максут Масновиевич

Содержание

Обозначения и соглашения

Введение

1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Относительно р-секториальные и относительно а -ограниченные операторы

1.2 Аналитические полугруппы операторов с ядрами

1.3 Банаховы многообразия и векторные поля

1.4 Интерполяционные пространства и задача К оши

1.5 Функциональные пространства

и дифференциальные операторы

2 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ДИНАМИКА ВЯЗКОУПРУГОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

2.1 Постановка задачи

2.2 Относительная а-ограниченность дифференциальных операторов

2.3 Квазистационарные траектории

2.4 Морфология фазового пространства

3 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНАЯ КОНВЕКЦИЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

3.1 Постановка задачи

3.2 Задача Коши для сингулярного уравнения

3.3 Морфология фазового пространства

Список литературы

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ

1. Множества, как правило обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например:

N — множество натуральных чисел;

М — множество действительных чисел;

С — множество комплексных чисел;

LP(Q) — пространства Лебега;

Wp(Q,) — пространства Соболева и т.д. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или, в особых случаях, греческого алфавитов. Например,

Span{</?1, ip2i • • • , фт}

обозначает линейную оболочку векторов (ръ, • • •, Рт-

2. Множества отображений множеств (т.е. множества операторов) обозночаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:

C(U]T) — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве U и действующих в пространство

С1{Ы]Т) — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве U и действующих в пространство Т\

C^iU^T) — множество операторов, имеющих непрерывные производные Фреше любого порядка, определенных на U и действующих в Отметим, что вместо С{Ы]Ы), С1(Ы]Ы) и C°°(U]U) ради краткости будем писать соответственно С{Ы), Cl(U) и C°°(U). Элементы множеств операторов мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Кроме того, символами I и CD мы будем обозначать соответственно "единичный" и "нулевой" one-

раторы, области определения которых ясны из контекста.

dorn А — область определения оператора А. im А — образ оператора А.

3. Все рассуждения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении "спектральных" вопросов вводится их естественная комплексификация. Все контуры ори-

55 "

ентированы движением против часовой стрелки и ограничивают область, лежащую "слева" при таком движении.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики»

ВВЕДЕНИЕ

Некоторые уравнения гидродинамики. Система уравнений Навье-Стокса

vt = vV2v - (v • V)v - Vp + f, 0 = V -v,

моделирует динамику вязкой несжимаемой жидкости. Здесь вектор-функции г; = (vhv2,...,vn), vk = vk(x,t) и / = (/i,/2, — ,/я), fk = fk(x) соответствуют векторам скорости и массовых сил, функция р = p(x,t), х = (х\,х2,..., соответствует давлению, а параметр v £ характеризует вязкость жидкости. Если в системе (0.1) положить п = 2 и считать область задания системы О С К2 односвязной, то посредством уравнений

дф дф ОХ 1 ОХ2

можно ввести в рассмотрение функцию тока ф = ф{хi,X2, t), определенную с точностью до аддитивной постоянной. Тогда систему (0.1) можно редуцировать к уравнению

моделирующему плоскопаралелъные течения вязкой несжимаемой жидкости.

К настоящему времени создан хорошо развитый математический аппарат для решения принципиальных вопросов о существовании и единственности начально-краевых задач для уравнений (0.1) и (0.2). Основной вклад в качественную теорию сделали O.A. Ладыженская [20] и Р. Темам [80]. Однако потребности практики, в частности, развитие производства пластмасс и усовершенствование добычи и транспортировки нефти, создали необходимость

модификации уравнений (0.1) и (0.2). Главной задачей стало введение в уравнения членов, которые характеризовали бы упругие свойства жидкости.

Одно из наиболее обоснованных решений этой задачи было предложено А.П. Осколковым. В своих работах ([34]-[44]) он рассмотрел многочисленные модификации системы Навье-Стокса, описывающие разнообразные свойства вязкоупругих жидкостей. Одной из первых им получена система уравнений

(1 - XV2)!* = - (и ■ V)« - V? + / ,

0 = V-V, 1 ' '

моделирующая динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка ([34], [41]). Здесь параметр х € М характеризует упругие свойства жидкости. Ясно, что если параметр х = 0? то система (0.3) превращается в систему (0.1).

Гибрид системы уравнений (0.3) и уравнения теплопроводности в приближении Обербека-Буссинеска [24] дает систему уравнений

(1 - xV2)г;í = - (у ■ V)« - Ур - д^Т , 0 = V • г;, (0.4)

Г* = 8\72Т -У-ЧТ-у-V,

моделирующую термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта. Здесь функция Т = Т(я,£) соответствует температуре жидкости, параметр 6 Е характеризует температуропроводность, д — ускорение свободного падения, вектор 7 = (0,...,0,1)€КП.

Предметом нашего интереса станут уравнения

(i _ = , W - ^^ + ^,

(0.6)

dQ = 5V2Q ^Q) <9ж д(х 1,2:2) дх\ '

моделирующие соответственно плоскопараллельные течения и

термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости.

Постановка задачи. Для уравнений (0.5) и (0.6) будут рассмотрены начально-краевые задачи, обеспечивающие корректность решения по Адамару. Затем каждая из этих задач будет редуцирована к задаче Коши

и(0) = щ (0.7)

для полулинейного операторного уравнения вида

Lü = Ми + N(u). (0.8)

Здесь операторы L G C(U\T), М 6 С{Ы\ J7) и N G C°°(UN\T), где U и Т — банаховы пространства, а Un = [ZYo,Wi]a, а € [0,1) — некоторое интерполяционное пространство Uq = Ы, а 1Л\ — это линеал dorn М, снабженный нормой графика 11| • || | = ||М-1| •

А.П. Осколков и его ученики ([34]-[49]), изучая начально-краевые задачи для уравнений вида (0.3), ограничивались случаем невырожденности оператора при производной по времени. Другими словами, они требовали положительность параметра Однако экспериментальные исследования [2] показали, что параметр х может принимать отрицательные значения. Поэтому ограничение X Е существенно снижает эвристическую ценность модели.

При отрицательных же значениях параметра х оператор при производной по времени может вырождаться, т.е. иметь нетривиальное ядро ker L ф {0}. В этом случае, как показали пионерские работы ([89], [94]), задача (0.7), (0.8) разрешима не при любых начальных значениях щ. Поясним это более подробно.

Вообще говоря, задача (0.7) для классического полулинейного

уравнения вида

и = Su + F(u). (0.9)

разрешима не при всех щ, а только при тех, которые лежат в

о

некотором линеале U плотном в пространстве U ([28], [84]). Как

о

правило, в качестве этого линеала U выбирается область определения оператора F, dorn F = \Uo,U\]a (= Un). В случае kerL ф {0} начальные значения щ даже для линейного (т.е. оператор N = О) уравнения (0.8) приходится выбирать из некоторого неплотного в U линеала.

Мы будем называть множество допустимых начальных значений щ (т.е. тех, которые обеспечивают корректность задачи (0.7), (0.8)) фазовым пространством уравнения (0.8). Если существует оператор L~l Е то уравнеие (0.8) тривиально редуциру-

ется к уравнению (0.9), и поэтому фазовым пространством уравне-

о

ния (0.8) будет служить уже упомянутый линеал U■ Нашей целью являетя описание морфологии (т.е. структуры, формы, строения) фазового пространства уравнения (0.8) в случае вырожденности оператора L, в частности, когда его ядро kerb ф {0}. Забегая вперед, отметим, что во всех трех случаях фазовые пространства окажутся простыми банаховыми С°°-многообразиями. Отметим еще, что термин "морфология" введен в обиход в [61].

Историография вопроса. Первым начально-краевые задачи для уравнений в частных производных, неразрешенной относительно старшей производной по времени, начал изучать C.JI. Соболев. В работе [69] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Эта работа легла в основу нового направления, которое первоначально развили ученики C.JI. Соболева P.A. Александрян [1]

и С.А. Гальперн [10]. Их исследования охватывали линейные дифференциальные уравнения вида

Lü = Ми , (0.10)

где L и М — дифференциальные операторы "по пространственным переменным".

Первым, кто начал изучать задачу (0.7) для абстрактного линейного операторного уравнения (0.10), были М.И. Вишик [7] и независимо от него С.Г. Крейн и его ученики ([13], [20]). В последних работах был детально изучен случай (L, <т)-ограниченного оператора L. Показано, что фазовым пространством уравнения (0.10) служит некоторое подпространство в U коразмерности равной размерности М-корневого пространства оператора L. Все работы ([7], [13], [20]) имеют сугубо теоретический характер и не содержат никаких приложений.

Первым абстрактные уравнения вида (0.10) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать R.E. Showalter [96]. Он рассмотрел случай самосопряженного эллиптического оператора L. вырождающегося на некотором множестве нулевой меры. R.E. Showalter [97] и независимо от него H.A. Сидоров со своими учениками [67] первыми начали изучать полулинейные уравнения вида (0.8) с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.

Отдавая честь первооткрывателю, мы будем называть как абстрактные уравнения вида (0.8) , так и конкретные их интерпретации вида (О.З)-(О.б) уравнениями соболевского типа. В дальнейшем всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "псевдопараболические уравнения" ([9], [16], [51], [98]), "уравнения типа Соболева" ([43], [44], [59], [60], [61], [63], [65]-[69], [62], [64], [95]),

"уравнения типа Соболева-Гальперина" ([17], [96]) и "уравнения не типа Коши-Ковалевской" ([26], [50]). Кроме того, мы считаем уравнения соболевского типа самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики [8]. Заметим еще, что важность и необходимость создания общей теории уравнений вида (0.8), (0.10) отмечали И.Г. Петровский [26] и Ж.-Л. Лионе [50].

Актуальность темы диссертации. В настоящее время уравнения соболевского типа изучаются в самых разнообразных аспектах. Прежде всего следует отметить работы P.A. Александряна [1] и Т.И. Зеленяка [12], а так же работы их учеников, в которых глубоко и основательно исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов, возникающих в уравнениях соболевского типа. Эти результаты следует считать непосредственным продолжением работы С.Л. Соболева [69].

Все остальные результаты по уравнениям соболевского типа можно весьма условно поделить на две части. К первой по традиции следует отнести работы, в которых объектом исследования являются уравнения и системы уравнений в частных производных вида (О.З)-(О.б), которые изучаются посредством коэрцитивных оценок. Основной результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы типа теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести результаты С.А. Гальперина [10], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскина [17], В.Н. Врагова [8], А.И. Кожанова [15] и многих других.

Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения вида (0.8), (0.10), а конкретные начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений вида (О.З)-(О.б) служат иллюстративны-

ми примерами общих абстрактных результатов. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова и ее ученики ([29]-[31]), Н.А. Сидоров и его ученики ([66]-[68]), R.E. Showalter [97], R.E. Showalter и M.Bohm [88], R.E. Showalter и E. Di Benedetto [90], A. Favini ([91], [92]), A. Favini и A. Yagi [93] и многие другие.

К этому же разделу следует отнести работы Г.А. Свиридюка и его учеников ([51]-[65]). В них тоже изучается однозначная разрешимость задачи Коши (0.7) для абстрактного операторного уравнения (0.8). Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнения (0.8). Впервые термин "фазовое пространство" в данном контексте появился в работах ([61], [62]), где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений" ([51], [53], [56], [60]).

Перечислим сначалоа работы, в которых фазовые пространства уравнений вида (0.8), (0.10) изучены наиболее полно. Прежде всего здесь следует отметить цикл работ Г.А. Свиридюка, в которых изучались фазовые пространства линейного уравнения (0.10). Отправной точкой послужила работа [52], в которой абстрактные результаты были приложены к начально-краевой задаче для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной

(А - A)vt = aAv + / ,

моделирующей движение жидкости, фильтрующейся в трещиновато-пористой среде. Затем эти результаты были развиты в работах ([59], [60]). Весьма краткий обзор этих результатов содержится в [64]. Здесь полностью изучены фазовые пространства уравнения (0.10) в случаях, когда оператор М (L, сг)-ограничен и (Ь,р)~ секториален.

Работа [64] стала основной для многих глубоких исследований. Среди всех отметим результаты В.Е. Федорова ([74], [75], [84]) в которых всесторонне изучены фазовые пространства уравнений (0.10) при условии (1/,р)-радиальности оператора М. В настоящее время эти результаты обобщают результаты А. Еауни и А. Yagi [93] и служат основой для многочисленных приложений [66].

Что же касается полулинейных уравнений соболевского типа (0.8), то здесь окончательные результаты получены лишь в случае дополнительных ограничений как на оператор Ь, так и на оператор М + N в правой части. Эти ограничения обусловлены видом объекта исследования — обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска

(А-ДЦ = Д(Н^) + /,

моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости. Впервые результаты о локальной структуре фазового пространства этого уравнения анонсированы в [51] (полное изложение см. в [56]). Затем эти результаты были развиты в [70], а окончательный вид приобрели в [70]. Из-за условий на оператор М + N типа условия монотонности все эти результаты лежат в прямом дополнении к результатам данной диссертации.

Из работ Г. А. Свиридюка, непосредственно примыкающих к теме диссертации, следует выделить работы ([52], [57]), в которых начато систематическое изучение фазовых пространств начально-краевой задачи для системы Осколкова (0.3) в зависимости от размерности ядра оператора при производной по времени. В дальнейшем эти результаты были развиты в ([61], [65]). Методом исследования здесь выступает стандартная техника проецирования задачи на подпространство соленоидальных функций ([21], [82]). Полученные здесь результаты носят либо частный (размерность

ядра не превосходит двух), либо локальный характер.

Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации являются достаточные условия существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. Заметим, что простыми мы будем называть многообразия, атлас которых состоит из единственной карты. Такие многообразия наименее отличаются от подпространств банаховых пространств и поэтому являются их первыми естественными обобщениями. Простые многообразия хороши еще и тем, что дают полную информацию о фазовом пространстве.

Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений (05), (0.6). Как отмечено выше, все эти задачи изучались и ранее, однако полученная информация являлась неполной. Установленная нами полнота фазовых пространств существенным образом обобщает эти результаты и потому носит окончательный характер. Отметим еще, что необходимость изучения именно простых фазовых пространств диктуется потребностями теории возмущений уравнений вида (0.8).

Методы исследования. Подражая классическим образцам ([28], [85]), мы исследуем задачу (0.7), (0.8), существенно опираясь на теорию относительно с-ограниченных и относительно р-секториальных операторов и порождаемыми ими аналитическими группами и полугруппами операторов с ядрами. Данная теория у нас служит аналогом классической теории полугрупп операторов в стандартном случае задачи (0.7), (0.9). Результаты этой теории помогут нам редуцировать сингулярное уравнение (0.10) к регулярному (0.9), определенному на фазовом пространстве. Для изучения фазового пространства мы используем классические методы нелинейного функционального анализа такие, как теорема о неявной функции и теория степени непрерывной вектор-функции.

При изучении начально-краевых задач для уравнений (0.4)-(0.6) мы используем стандартную технику, созданную на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных поизводных. Основы этой техники были заложены в классической монографии [80]. Современное состояние можно представить по монографиям ([22], [23], [26], [32], [83], [86]). Результаты гладкого нелинейного функционального анализа в их приложении к нелинейным уравнениям в частных производных взяты из [33].

Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме Введения состоит из четырех глав и Списка литературы. Отметим сразу, что Список литературы полностью отражает положение дел лишь в узкой области теории уравнений соболевского типа, непосредственно примыкающей к теме диссертации. В остальном Список отражает только личные вкусы и пристрастия автора и отнюдь не претендует на полноту.

Первая глава носит пропедевтический характер. В ней собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первых двух параграфах представлены основные факты теории относительно (Т-ограниченных и относительно р-секториальных операторов, а так же соответствующих аналитических группах и полугруппах операторов с ядрами. Все факты почерпнуты из работ Г.А. Свири-дюка [64], Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова ([74], [75]) и В.Е. Федорова ([84]). Изложение немного отличается от принятого ранее и отражает нашу точку зрения.

В третьем параграфе собраны основные факты теории гладких банаховых многообразий и векторных полей на них. Апофеозом этого параграфа следует считать классическую теорему Ко-ши в обобщенной формулировке. Доказательства этих результатов можно найти в фундаментальной монографии С. Ленга [25].

Четвертый параграф содержит результаты о разрешимости задачи Коши для линейных и полулинейных эволюционных уравнений. Здесь же представлена схема построения интерполяционных пространств, в основу которой положен непрерывно обратимый секториальный оператор S. Доказательства всех результатов содержатся в уникальной по изложению монографии Д. Хенри [85].

В последнем параграфе первой главы представлены основные результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Основное внимание здесь уделяется формализации понятия " дифференциальный оператор" в областях с границей класса С°°. В основном все результаты, касающиеся собственно дифференциальных операторов, взяты из богатой содержанием справочной монографии X. Трибеля [83]. Что же касается систем дифференциальных операторов, то результаты по ним взяты из многих источников. В числе последних укажем монографии O.A. Ладыженской [21] и Р. Темама [82].

Со второй главы начинается основное содержание диссертации. В ней приводится полное описание фазового пространства задачи Коши-Дирихле для уравнения (0.5). Основные результаты главы опубликованы в совместной работе [100], где научному руководителю принадлежит постановка задачи и общее руководство. Кроме того, эти результаты впервые были представлены на конференции [99].

В первом параграфе второй главы описывается редукция задачи Коши-Дирихле для уравнения (0.5) к абстрактной задаче (0.7), (0.8). Показано, что в случае х-1 0 сг(Л) уравнение (0.8) можно редуцировать к стандартной задаче (0.7), (0.9), существование и единственность решения которой вытекает из классической теоремы Коши. Во втором параграфе доказана (L, ^-ограниченность производной Фреше оператора М+iV в любой точке и 6 причем

точка оо оказывается устранимой особой точкой ¿-резольвенты оператора (М + Лг)'и.

Третий параграф содержит результаты, обобщающие работу Г.А. Свиридюка [61]. Отметим, что обобщения носят косметический характер и по существу касаются лишь определения квазистационарной траектории. В основном идеи доказательств принадлежат Г.А. Свиридюку, автор же использовал более изощренную по сравнению с [61] технику. Это позволило получить результат о разрешимости задачи (0.7), (0.8) в случае £

Последний параграф второй главы содержит основной результат — доказательство простоты фазового пространства уравнения (0.8). Подход, использованный здесь, основан на методе априорных оценок и теории степени непрерывного отображения. Несмотря на простоту идейной стороны доказательства, онооказалось достаточно сложным в техническом отношении, причем любые попытки упростить его пока безрезультатны.

Третья глава диссертации содержит результаты, тесно примыкающие к работе Г.А. Свиридюка [65]. Все результаты этой главы полностью опубликованы в [103] и доложены на конференции [102]. Здесь представлена морфология фазового пространства задачи Бенара для системы уравнений (0.6) и полностью доказаны некоторые результаты, анонсированы Г.А. Свиридюком в [65]. В идейном смысле результаты этой главы близки к результатам предыдущей главы, однако в техническом отношении существенно различны. Различие в технике обусловлено различием между динамическим и эволюционным характером рассматриваемых уравнений [54].

В первом параграфе третьей главы представлена постановка задачи Бенера для системы (0.6), а также редукция этой задачи к задаче (0.7), (0.8). Основной результат этого параграфа — те-

орема о существовании единственного решения задачи (0.7), (0.8) в случае кет Ь = {0}. Второй параграф содержит теорему о существовании единственного решения задачи (0.7), (0.8) в случае кет Ь Ф {0}, а также некоторые вспомагательные утверждения. Третий параграф посвящен изложению основного результата главы — описанию морфологии фазового пространства задачи Бе-нара для системы (0.6). Показано, что и в этом случае фазовым пространством служит простое банахово С°°-многообразие, моделируемое образом аналитической полугруппы разрешающих операторов уравнения (0.10).

Благодарности. В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за постановки задач и стимулирующие дискуссии; коллективу кафедры математического анализа ЧелГУ за строгую, но конструктивную критику; коллективу Высшей школы бизнеса (особенно И.А. Поликарпову) за моральную поддержку; аспиранту Г.А. Кузнецову за помощь в наборе и размножении диссертации; своей жене Тамаре Юрьевне за веру и самоотверженность.

1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Относительно р-секториальные и относительно а -ограниченные операторы

Пусть U и Т - банаховы пространства, оператор L £ C{U\T\ а оператор М £ С1(Ъ1]Т). Обозначим через pL(M) = {¡i £ С : (f¿L — M)~l £ C(T',U)} L-резольвентное множество операторам, а через aL(M) = С \ pL(M) L-спектр оператора М. Как и в классическом случае, L-резольвентное множество всегда открыто, поэтому L-спектр оператора М всегда замкнут.

Пусть pL(M) ф 0, введем в рассмотрение оператор-функции

(pL - М)~\ Rft(M) = (fiL - M)~lL, L¿(M) = L(pL - M)~\

которые в дальнейшем будем называть L-резольвентой, правой и левой L-резольвентами оператора М соответственно. Справедлива

Теорема 1.1.1 Пусть pL{M) ф 0. Тогда L-резольвента, правая и левая L-резольвенты оператора М аналитичны в pL(M).

Пусть pL{M) ф 0 и р £ {0} U N- Введем в рассмотрение правую и левую

KdM) = П llm(M) = п ьЦм)

q=0 5=0

(L,p)~резольвенты оператора М соответственно.

Лемма 1.1.1 Пусть pL(M) ф 0. Тогда при любом р £ {0} U N ft) kerЩЫ(М) = keiR^p](M), imRfx¡p)(M) = im Д^М), (ü) kerLfAj>)(M) - kerLLM{M), imLfA>p)(M) = imLfM(M) при всех А = (A0, Ai,..., Ap) и p = (po,pu • • •, Цр) из (pL(M))p+í.

18

В дальнейшем нам потребуется более подробная информация об устройстве ядер и образов правой и левой (Ь,р)-резольвент оператора М. Для их описания введем новые понятия.

Пусть ker L ф {0}. Вектор </?о € kerL \ {0} будем называть собственным вектором оператора L. Упорядоченное множество • • •} называется цепочкой М-присоединенных векторов собственного вектора <£>о, если

Lipq+i = M(pq, q = 0,1,..., и cpq 0 kerL\{0}, q = 1,2,...

Порядковый номер вектора в цепочке будем называть его высотой. Линейную оболочку собственных и М-присоединенных векторов оператора L назовем его М-корневым линеалом. Если М-корневой линеал замкнут, то он называется М-корневым пространством оператора L.

Замечание 1.1.1 Если существует оператор М-1 Е С{Т\Ы), то М-присоединенные векторы, М-корневой линеал и М-корневое пространство оператора L совпадают соответственно с присоединенными векторами, корневым линеалом и корневым пространством оператора M~lL.

Цепочка М-присоединенных векторов может быть бесконечной. В частности, она может быть заполнена нулями, если (fQ Е ker L П ker М. Однако она будет конечной в случае существования такого М-присоединенного вектора (pq, что либо (pq ^ dorn М, либо M(pq 0 im L. Высоту q последнего М-присоединенного вектора в конечной цепочке будем называть ее длиной.

Теорема 1.1.2 Пусть pL(M) ф 0. Тогда при любом р Е {0} U N

(ъ) ker совпадает с линейной оболочкой множества

собственных и М-присоединенных векторов высоты не большей р оператора L;

(гг) ker L^p)(M) = {Mip : ip E ker ЩЫ{М) П domM}.

Следствие 1.1.1 В условиях теоремы 1.1.2 М-корневой линеал оператора L и корневой линеал правой L-резолъвенты оператора М совпадают.

Обозначим через Ы° ядро keiR^p)(M) (ker L^p)(M)), которое очевидно является подпространством. Через Lq (Mq) обозначим сужение оператора L (М) на Ы° (domMo = U° Г) domM). Как нетрудно убдиться, оператор Lq Е C{U{)] .7го), а оператор М0 Е СЦи0]?0), domMo =К° П domM.

Определение 1.1.1 Оператор М называется секториалъным степени р Е {0} U N относительно оператора L (короче, (L,p)~ секториалъным), если существуют константы К > 0, а Е К, в Е (7г/2,7г) такие, что сектор

S¡,o(M) = {/i Е С : |arg(// - а)| < 9, р ф а} С /(М),

причем

max{||^)P)(M)||£(z/),||L¿íP)(M)||w} < -

П \ßq - а|

д=0

при всех р, = (fiо, //i,..., /ip) Е (S^e(M))p+1.

Замечание 1.1.2 Если существует оператор L~l Е С(Т',Ы), то из секториальности оператора L~lM (или ML~l) следует (Ь,р)~ секториальность оператора М. При р = 0 справедливо и обратное утверждение.

Замечание 1.1.3 Не теряя общности, можно считать а = 0. Положим Sq9(M) = Sß(M).

Лемма 1.1.2 Пусть оператор М (Ь,р)-секториален. Тогда

(%) длины всех цепочек М-присоединенных векторов оператора Ь ограничены числом р;

(гг) кегЯЬШ{М) П ипД^М) = {0}, кегЬ^р)(М) П

гтЦ^М) = {0};

(ж) существует оператор Е С(Т0;Ы0).

Положим в = М0_1Ь0, Н = ЦМЦ1. Операторы в Е £(К°) и Я Е £(Т°) по построению.

Следствие 1.1.2 В условиях леммы 1.1.2 операторы и Н нилъ-потентны степени не выше р, если р Е N. Если р = 0, то С = О иН = О.

Обозначим через Ы1 (Т1) замыкание линеала (пи р)(М)) в норме пространства Ы (Т). В силу леммы 1.1.1 определение подпространств Ы1 и Т1 не зависит от /л =

Лемма 1.1.3 Пусть оператор М (Ь,р)-секториален. Тогда Дт^/Ш^М))^1*/ = и У и Е Ы1-

Ш^Ь^М))^1 f = 1 У/е^1.

В силу лемм 1.1.2 р) и 1.1.3 П Ы1 = {0} иЯпЯ = {0}. Обозначим через Ы (Р) замыкание линеала Ы° © Ы1 (Г® ф а через Ь\ {М\) сужение оператора Ь (М) ягьК1 (1А1С\&отМ). Легко видеть, что операторы Ь\ Е С(Ъ11]Р1), М\ Е С1(Ы1] Т1).

Теорема 1.1.3 Пусть оператор М (Ь,р)-секториален. Тогда

й = и° ® и1

Доказательство. Из леммы 1.1.3 вытекает существование

проектора Р = з- Вт (//^(М))^1 (Я = в - ШЫЦ{М)у+1)

В дальнейшем нас будет интересовать возможность распространения действия проектора Р (ф) на все пространство Ы {Т\ т.е. возможность расщепления Ы = 14° ®Ы1 {Т = Т^ ф Т1). Мы добьемся этого, ужесточая требования на операторы Ь и М. Однако уже сейчас возможность таких расщеплений дает следующая

Теорема 1.1.4 Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, а пространство Ы (Т) рефлексивно. Тогда Ы — Ы (Т = Т).

Определение 1.1.2 Оператор М называется

спектрально ограниченным относительно оператора Ь (короче, (Ь, а)-ограниченным), если

Замечание 1.1.4 Пусть существует оператор Ь 1 £ С{Т\Ы). Оператор М будет (Ь. <т)-ограниченным, если ограничен оператор Ь~1М (или МЬ'1).

Замечание 1.1.5 Пусть контур Г = {// £ С •' Н = г > а}, а оператор М (£, (т)-ограничен. Тогда имеют смысл интегралы типа Ф. Рисса

Эти интегралы определяют проекторы Р £ С(Ы) и ф £ которые расщепляют пространства Ы и Т в прямые суммы Ы = Ы° 0 Ы1 = причем подпространства Ык и к = 0,1

имеют тот же смысл, что и в теореме 1.1.3.

вдоль Ы0 (^о) на и1 [Т1). •

За > О V// £ С (Ы > р1(М)).

(1.1.1)

Обозначим через Lk (Л'Д.) сужение оператора L (М) на Ык (dorn Мк = Ык П dorn М), к = 0,1.

Теорема 1.1.5 Пусть оператор М (L, а)-ограничен. Тогда (ъ) операторы G C(Uk-Th), к = 0,1; (и) операторы М0 G Cl(U0;f°), Мг G C(Ul\Tl); (iii) существуют операторы Lf1 G C{J-l;Ul) и Mq1 G

Построим операторы б1 = Mq1Lo, Н = LqMq1, S = L^Mi, T = M\Lil. По теореме 1.5 G G Я G 5 G C(Ul),

T G

Следствие 1.1.3 5 условиях теоремы 1.1.5 операторы G и Н квазинилъпотентны.

(Напомним, что оператор А называется квазинилъпотентным, если его спектр сг(А) = {0}.)

Из теоремы 1.1.5 и следствия 1.1.3 вытекает возможность представления L-резольвенты оператора М рядом Лорана

(/iL - М)-1 = - Е ßkGkMö\l - Q) + Е /i-^*-1^1^ =

Ii—0

= - Е /itAf0-1fft(n-Q)+ Е v~kLilTk-lQ, k=о ¿=1

(1.1.2)

где ¡1 G С, И > а.

Определение 1.1.3 Пусть плотно определенный оператор М (L, сг)-ограничен. Точка оо называется

(i) устранимой особой точкой L-резольвенты оператора М, если оператор G = О (или Н = О);

(И) полюсом порядка р G N L-резольвенты оператора оператора М, если оператор Gp ф О и Gp+l = О (или Нр ф О и НР+1 = О);

(iii) существенно особой точкой L-резольвенты оператора М в остальных случаях.

В дальнейшем устранимую особую точку будем называть полюсом порядка нуль.

Замечание 1.1.6 Пусть оператор М (Ь, сг)-ограничен, причем оо - полюс порядка р Е {0}1Щ Тогда оператор М (Х,р)-секториален.

В дальнйшем нам потребуются некоторые частные случаи относительной сг-ограниченности. Предупредим заранее, что всюду в дальнейшем под фредгольмовым оператором мы понимаем непрерывный оператор индекса нуль.

Теорема 1.1.6 Пусть операторы Ь,М Е С{Ы]Т), причем оператор Ь — фредгольмов. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

({) Длина любой цепочки М-присоединенных векторов оператора Ь не превышает числа р Е {0} и N.

(и) Оператор М (£, сг)-ограничен, причем оо — полюс порядка не выше р Ь-резолъвенты оператора М.

Напомним, что оператор Ь Е С(Ы] Т) называется бирасщепля-ющим [4], если его ядро кег Ь и образ пп Ь дополняемы в пространствах Ы и Т соответственно. Обозначим через сокег£ = Т © Ш1Ь некоторе алгебраическое и топологическое дополнение к образу оператора Ь.

Теорема 1.1.7 Пусть операторы Ь,М Е С^Ы^Т), причем оператор Ь бирасщепляющий. Пусть

(%) подпространства кег Ь и сокегХ топлинейно изоморфны;

(И) длина любой цепочки М-присоединенных векторов равна в точности р Е {0}М.

Тогда оператор (Ь, а)-ограничен, причем оо — полюс порядка р Ь-резолъвенты оператора М.

В дальнейшем нам будет полезно следующее

Замечание 1.1.7 Пусть пространства Ы = Ы\ ХЫ2, Т = Т\ х Тч, а операторы

Ьг О \ „, ( Мх О , М =

® ь2) \ о м2

причем оператор М\ <т)-ограничен и оо-полюс порядка р\ Ь-резольвенты оператора М\, а оператор (Ь2,р2)-секторжа,л.ея. Тогда оператор М (Ь,р)~секториален, где р = тах{р1,р2}.

1.2 Аналитические полугруппы операторов с ядрами

Пусть операторы Ь £ С(Ъ1]Т), М £ С1(Ы] Т). Рассмотрим уравнение

Ьй = Ми. (1.2.1)

Пусть рь(М) ф 0, тогда уравнение (1.2.1) тривиально редуцируется к паре эквивалентных ему уравнений

В,%(М)й = (аЬ М)~1Мщ (1.2.2)

Ььа(М)} = М{аЬ - М)-1/, (1-2.3)

определенных на пространствах Ы и Т соответственно. Как нетрудно видеть,

(цЬ - М)~1М = цВ%{М) - I, М(рЬ - М)-1 = 1аЬ$(М) - Е.

Значит, операторы в правых частях можно считать ограниченными и определенными на пространствах Ы и Т соответственно. Поэтому рассмотрим уравнения (1.2.2) и (1.2.3) как конкретные интерпретации уравнения

Ab = Bv,

определенного на банаховом пространстве V, причем операторы А,В£ £(V). Решением у равнения (1.2.4) назовем вектор-функцию V G С°°(М+; V), удовлетворяющую (1.2.4).

Определение 1.2.1 Отображение V* G C°°(]R+; £(V)) называется полугруппой разрешающих операторов (разрешающей полугруппой) уравнения (1.2.4), если

(i) VV* = Vs+t при всех s, te R+;

(ii) v(t) = Vlv есть решение уравнения (1.2.4) при всех г; G V.

Полугруппа называется аналитической, если она аналитично продолжима в некоторый сектор, содержащий луч М+, и равномерно ограниченной, если

3C>0 VÎGM+ IIV*Иду) < С.

Теорема 1.2.1 Пусть оператор M (Ь,р)-секториален. тогда существуют аналитические и равномерно ограниченные разрешающие полугруппы уравнений (1.2.2) и (1.2.3).

Доказательство. Пусть Г С Sg{M) - контур такой, что arg// —?• ±(9 при \/i\ +оо, ¡i G Г. Тогда искомые полугруппы задаются интегралами типа Данфорда-Шварца

ut = biiv t е i1-2-5)

¿GK+ (1.2.6)

соответственно. •

Замечание 1.2.1 Полугруппа (1.2.5) является разрешающей полугруппой уравнения (1.2.1).

Если ker L ф {0}, то операторы U1 и F4 имеют ядра ker U* D ker R^(M) и kerF* Э ker Lj¡(M). Введем в рассмотрение ядро

ker Тr* = {v в V : V*v = 0 3 te R+}

и образ

im V* = {v e V : lim V*v = v} 1 t-+o+ J

разрешающей полугруппы {Vt : t 6 R+} уравнения (1.2.4).

Замечание 1.2.2 В силу аналитичности полугрупп (1.2.5) и (1.2.6) имеем ker?7* = ker ^ и kerF* = kerF* при любом t G М+.

Напомним определения подпространств Ык и к = 0,1 (см. следствие 1.1.1 и лемму 1.1.3).

Теорема 1.2.2 Пусть оператор М (Ь,р)-секториален. Тогда U° = ker U\ U1 = im U% = kerF\ = imF*.

Из теоремы 1.2.2, замечания 1.1.7 и теоремы 1.1.4 немедленно вытекает

Следствие 1.2.1 Пусть оператор М (Ь,р)-секториален, а пространства U u Т рефлексивны. Тогда U = ker U* © im U', F = ker F' ф imFV

Определение 1.2.2 Оператор J £ £(V) называется единицей полугруппы {Vf : t G ]R+}, если J = s — lim V1.

В условиях следствия 1.2.1 полугруппы (1.2.5) и (1.2.6) имеют единицы

Р = s - lim U\ Q = s - lim F\

0+ í—>о+ '

которые имеют тот же смысл, что и проекторы в теореме 1.1.3. Ужесточая требования на операторы L и М, получим существование этих единиц в общем случае.

Определение 1.2.3 Оператор M называется сильно (L,p)-секториалъным справа (слева) если он (Х,£>)-секториален и

\K JM)(XL - М)~1Ми\\и < C0I1f {U) Ми G dorn M

M п Ы

g=0

о

(существует плотный в Т линеал Т такой, что

W пЫ

q=О

при всех А,/¿о,//1, ...,/ipG Sfr(M).

Замечание 1.2.3 Если существует оператор L~l G C{T]W), а оператор L~lM (или ML~l) секториален, то оператор M сильно (1/,£>)-секториален справа и слева при любом р G {0} U N.

Теорема 1.2.3 Пусть оператор M сильно (L,р)-секториален справа (слева). Тогда существует единица полугруппы (1.2.5) ((1.2.6)).

Доказательство. Искомая единица U° (F°) получается как сильный предел

U0 = s — lim U* (F° = s- lim F*)

и совпадает с проектором Р (Q), построенным при доказательстве теоремы 1.1.3. •

Следствие 1.2.2 Пусть оператор M сильно (L,p)-секториален справа и слева. Тогда

(г) Vu eU LPu = QLu;

(гг) Vw G dorn M Pue dom M и M Pu = QMu.

Напомним, что через L\ (Mi) обозначено сужение оператора L (М) на U1 (Ы1 П dorn М). Из замечания 1.1.3 и леммы 1.1.2 (iii) вытекает существование оператора Mq 1 £ £(F°-,U0). Обратимся к поиску достаточных условий существования оператора L£

Определение 1.2.4 Оператор М называется сильно (L,p)-секториалъным, если он сильно {Х,р)-секториален слева и

\\Rlm(M)(\L - M)-l\\£(m < f

W п И

q=О

при всех А, /iQ, ßi,..., fj,p £ Sß(M) и некотором К > 0.

Замечание 1.2.4 Сильно (Х,р)-секториальный оператор М сильно (Х,р)-секториален справа. Если существует оператор L~l £ С(Т\Ы), а оператор L~lM (или ML~l) секториален, то оператор М сильно (1/,р)-секториален при любом р £ {0} U N-

Пусть оператор М (L,p)~секториален, а контур Г С S$(M) такой же, как в (1.2.5). Введем в рассмотрение семейство операторов

KtL = ^ij(iAL-M)-1e!ddfr i£R+. (1.2.7)

Лемма 1.2.1 Пусть оператор М (L,p)~секториален. Тогда

(г) семейство операторов {R\ : t £ ]R+} аналитичио в секторе {т £ С : | argr| < в - тг/2};

(ii) n\L = U\ т\ = Ff \/t £ R+;

(iii) nfs = изп\ = niF1 Vs,t £ M+.

Замечание 1.2.5 Сектор {г £ С : | arg г | < в — 7г/2} лежит в области аналитичности полугрупп (1.2.5) и (1.2.6).

Лемма 1.2.2 Пусть оператор М сильно (L,p)-секториален

справа (слева). Тогда

(г) К\ = РП\ (П\ = n\Q) Vi Е М+; (гг) U1 = U 1тП{ (кетП{ = Vt Е М+).

t£z Ж-}-

Лемма 1.2.3 Пусть оператор М сильно (L^p)-секториален. Тогда семейство : t Е R+} равномерно ограничено.

Теорема 1.2.4 Пусть оператор М сильно (L^p)-секториален. Тогда существует оператор Z/f1 Е С(Т1\Ы1).

Доказательство Искомый оператор является сужением на Т1 сильного предела s — Y\mJR}L. •

Теперь пусть оператор М (L,p)~секториален. Тогда в силу теоремы 1.2.1 существуют аналитические полугруппы (1.2.5) и (1.2.6). Обозначим через {U{ : t Е М+} и {F{ : t Е К+} сужения этих полугрупп на подпространства U1 и Т1 соответственно. Из леммы 1.1.3 вытекает, что оператор L\ Е а оператор

Mi Е Cl{Ul]Tl). Предположим, что существует оператор Li1 Е C(Tl',Ul). Построим операторы S = LjxMi, dorn S = dorn Mi, и T = M\Lidorn Г = L\ [dorn 5]. Оба оператора замкнуты по построению. Как нетрудно видеть,

U\ = ^-.lv{pl-S)-le^dp, t Е М+,

2тгг л"

Ftl = ^-jT(tiI-T)-ie»tdfi, t Е М+,

причем

s - lim U\ = 1, s — lim F\ = I.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Якупов, Максут Масновиевич, 1998 год

Список литературы

[1] Александрии P.A. Спектральные свойства операторов порожденных системами дифференциальных уравнеий типа Соболева // Тр. ММО. i960. Т.9. С.455-505.

[2] Амфилохиев В.Б., Вайткунский Я.И., Мазаева Н.П., Хозор-ковский Я. С. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений // Тр. Лен. кораблестр. ин-та. 1975. Т.96. С.3-9.

[3] Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.

[4] Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов Ю.И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / / Успехи матем. наук. 1977. Т.32, N4. С.3-54.

[5] Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

[6] Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

[7] Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. 39(81):1. С.51-148.

[8] Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ, 1983.

[9] Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения.

М.: Мир, 1978.

[10] Галъперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // Тр. ММО. 1960. Т.9. С.401-403.

[11] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

[12] Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ. 1965.

[13] Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения и их примен. 1976. Т.14. С.21-39.

[14] Капитанский Л.В., Пилецкас К.Н. О некоторых задачах векторного анализа // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1984. Т.138. С.65-85.

[15] Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990.

[16] Кожанов А.И. О свойствах решений для одного класса псев-допараболлических уравнений // ДАН. 1992. Т.326, N5. С.781-786.

[17] Костюченко А.Г., Эскин Г.И. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперина // Труды Моск. матем. об-ва. 1961. Т.10. С.273-285.

[18] Красносельский М.А., Забройко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

[19] Крейн С. Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики // ДАН СССР. 1953. Т.93, N6. С.969-972.

[20] Крейн С.Г., Чернышов К.И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / / Препр. Ин-та математ. СО АН СССР. Новосибирск, 1979.

[21] Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2-ое изд. М.: Наука, 1970.

[22

[23

[24

[25

[26

[27

[28

Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

Ладыженская O.A., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения элиптического типа, 2-ое изд. М.: Наука, 1973.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, 3-е изд. М.: Наука, 1986.

Ленг С. Введение в теорию дифференциальных многообразий. Волгоград: Платон, 1997.

Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

Мельникова И.В., Альшанский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // ДАН. 1994. Т.336, N1. С.17-20.

[30] Мельникова И.В., Алыианский М.А. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы // ДАН. 1995. Т.343, N4. С.448-451.

[31] Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи матем. наук. 1994. Т.49, N6. С.111-150.

[32] Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

[33] Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.

[34] Осколков А.П. Некоторые модельные нестационарные системы в теории неньютоновой жидкостей // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1975. Т.127. С.32-57.

[35] Осколков А.П. Некоторые модельные нестационарные системы в теории неньютоновых жидкостей. II // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1979. Т.84. С.185-210.

[36] Осколков А.П. Некоторые модельные нестационарные системы в теории неньютоновых жидкостей. III // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1980. Т.96. С.205-232.

[37] Осколков А.П. Некоторые модельные нестационарные системы в теории неньютоновых жидкостей. IV // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1981. Т.110. С.141-162.

[38] Осколков А.П. К теории неустойчивых течений нелинейных вязкоупругих жидкостей. // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1983. Т.159. С.103-131.

[39] Осколков А.П. Неустойчивые течения вязкоупругих жидкостей // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1983. Т.159. С.103-131.

[40] Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения нелинейных вязкоупругих жидкостей // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1985. Т.147. С.110-119.

[41] Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1988. Т.179. С.126-164.

[42] Осколков А.П. Нелокальные задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1992. Т.197. С.120-158.

[43] Осколков А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1991. Т.198. С.31-48.

[44] Осколков А.П. К теории устойчивости решений полулинейных диссипативных уравнений типа С.Л. Соболева // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1992. Т.200. С.139-148.

[45] Осколков А.П., Ахматов М.М., Щадиев Р.Д. Нелокальные задачи для уравнений фильтрации неньютоновых жидкостей в пористых средах //Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1991. Т.189. С.82-100.

[46] Осколков А.П., Емельянова Д.В. Некоторые нелокальные задачи для двумерных уравнений движения жидкостей Олдройта // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1991. Т.189. С.101-121.

[47] Осколков А.П., Котсиолис A.A., Щадиев Р.Д. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных диссииативных уравнений типа Соболева // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1992. Т.199. С.91-113.

[48] Осколков А.П., Щадиев Р.Д. К теории глобальной разрешимости начально-краевых задач для уравнений движения жидкостей Олдройта и жидкостей Кельвина-Фойгта // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1990. Т.180. С.121-141.

[49] Осколков А.П., Щадиев Р.Д. Некоторые нелокальные задачи для модифицированных уравнений Навье-Стокса // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1991. Т.188. С.105-127.

[50] Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

[51] Свиридюк P.A. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболического уравнения // ДАН СССН. 1986. Т.289. N6. С.1315-1318.

[52] Свиридюк P.A. Задача Коши для линейного сингулярного уравнения типа Соболева // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, N12. С.2169-2171.

[53] Свиридюк Г.А. О многообразии решений одной задачи несжимаемой вязкоупругой жидкости // Дифференц. уравн. 1988. Т.24, N10. С.1846-1848.

[54] Свиридюк P.A. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений // ДАН СССР. 1989. Т.304, N2. С.301-304.

[55] Свиридюк Г.А. Об одной задаче Showalter // Дифференц. уравн. 1989. Т.25, N2. С.338-339.

[56] Свиридюк Г. А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска // Изв. ВУЗ. Матем. 1990. N2. С.55-61.

[57] Свиридюк Г.А. Об одной задаче динамики вязкоупругой жидкости // Дифференц. уравн. 1990. Т.26, N11. С. 1992-1998.

[58] Свиридюк Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязко-упругой несжимаемой жидкости // Изв. ВУЗ. Матем. 1990. N12. С. 65-70.

[59] Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН СССР. 1991. Т.318, N4. С.828-831.

[60] Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно секториальным оператором // ДАН. 1993. Т.329, N3. С.274-277.

[61] Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв. РАН, сер. матем. 1993. Т.57, N3. С.192-207.

[62] Свиридюк Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости // Изв. ВУЗ. 1994. N1. С.62-70.

[63] Свиридюк Г.А. Линейные уравния типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами // ДАН. 1994. Т.337, N5. С.581-584.

[64] Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи матем. наук. 1994. Т.49, N4. С.47-74.

[65] Свиридюк Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором // Алгебра и анализ. 1994. Т.6, N5. С. 252-272.

[66] Свиридюк Г.А., Апетова Т.В. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева // ДАН. 1993. Т.ЗЗО, N6. С.696-699.

[67] Свиридюк Г.А., Бокарева Т.А. Число Деборы и один класс полулинейных уравнений типа Соболева // ДАН СССР. 1991. Т.319, N5. С.1082-1086.

[68] Свиридюк Г.А., Бокарева Т.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева // Матем. заметки. 1994. Т.55, N3. С.3-10.

[69] Свиридюк Г.А., Климентъев М.В. Фазовые пространства уравнений типа Соболева с s-монотонными и сильно коэрцитивными операторами // Изв. ВУЗ. Матем. 1994. N11. С.75-82.

[70] Свиридюк Г.А., Семенова И.Н. Разрешимость неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Бусси-неска // Дифференц. уравн. 1988. Т.24, N9. С.1607-1611.

[71] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений типа Соболева / / Дифференц. уравн. 1990. Т.26, N2. С.250-258.

[72] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1990. Т.31, N5. С.109-119.

[73] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости // Матем. заметки. 1998. Т.63, N3. С.442-450.

[74] Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1995. Т.36, N5. С.1130-1145.

[75] Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами // Сиб. матем. журн. 1998. Т.39, N3. С.604-612.

[76] Сидоров H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией // Матем. заметки. 1984. Т.25, N4. С. 569-578.

[77] Сидоров H.A., Романова O.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. 1983. Т.19, N9. С.1516-1526.

[78] Сидоров H.A., Фалалеев М.В.Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, N4. С.726-728.

[79] Соболев C.JI. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. Т.18. С.3-50.

[80] Соболев С.Л. Применение функционального анализа к математической физике. JL: Наука, 1961.

[81] Солонников В.А. Об оценках тензоров Грина для некоторых краевых задач // ДАН СССР. 1960. Т.130, N5. С.988-991.

[82] Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

[83] Трибелъ X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

[84] Федоров В.Е. Группы и полугруппы операторов с ядрами. Учеб. пособие. Челябинск: ЧелГУ, 1998.

[85] Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

[86] Хатсон В., Пим Дж. Приложение функционального анализа к теории операторов. М.: Мир, 1983.

[87] Arendt W., Favini A. Integrated solutions to implicit diffrential equations // Rend. Sern. Mat. Univ. Pol. Torino. 1993. V.51, N4. P.315-329.

[88] Böhm M., Showalter R.E. Diffusion in fissured media // SIAM J. Math. Anal. 1985. V.16, N3. P.500-519.

[89] Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation ut = uxx — uxxt on strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V.19. P.100-116.

[90] Di Benedetto E., Showalter R.E. Implicit degenerate evolution equations and applications // SIAM J. Math. Anal. 1981. V.12, N5. P.731-751.

[91] Favini A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems // Rend. mat. 1979. V.12, N3-4. P.511-536.

[92] Favini A. An operational method for abstract degenerate evolution equations of hiperbolic type // Funct. Anal. 1988. V.76. P.432-456.

[93] Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations // Ann. Mat. Pure ed Appl. 1993. V.CLXIII. P.353-384.

[94] Levine H. A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Dut = -Au+F(u) U Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V. 51, N5. P.371-386.

[95] Lightbourne J.H.A. Partial functional equations of Sobolev type //J. Math. Anal. Appl. 1983. V.93, N2. P.328-337.

[96] Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type // Pacific J. Math. 1963. V.31, N3. P.787-794.

[97] Showalter R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type // SIAM J. Math. Anal. 1975. V.6, N1. P.25-42.

[98] Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. V.l, N1. P.l-26.

[99] Свиридюк Г.А., Якупов М.М. Плоскопараллельное течение вязкоупругих жидкостей // Матем. моделир. и краев, задачи. Тез. докл. Самара, 1996. С. 90-91.

[100] Свиридюк Г.А., Якупов М.М. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова // Дифференц. уравн. 1996. Т.32, N11. С.1538-1543.

[101] Свиридюк Г.А., Якупов М.М. Особенности фазовых пространств полулинейных уравнений типа Соболева // Алгоритмический анализ некорректных задач. Тез. докл. Всерос. конф., поев. пам. В.К. Иванова. Екатеринбург, 1998. С.225-226.

[102] Якупов М.М. Морфология простых фазовых пространств уравнений соболевского типа // Воронеж, вес. мат. школа "Совр. методы в теор. кр. задач". Тез. докл. Воронеж, 1998. С.218.

[103] Свиридюк Г.А., Якупов М.М. Морфология фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа // Третий сиб. конгресс по индустр. и приклад, матем. Тез. докл. Часть IV. Новосибирск, 1998. С.39.

[104] Якупов М.М. Фазовое пространство задачи Бенара для уравнений термоконвекции вязкоупругой жидкости // Воронеж, зим. мат. школа "Совр. методы в теор. кр. задач". Тез. докл. Воронеж, 1999. С.206.

[105] Якупов М.М. Фазовое пространство одной гидродинамической задачи // Рук. деп. ВИНИТИ. А-.ог.УЧ, ^ ЗИ - &