Исследование эффективных динамических характеристик эмульсий и гранулированных сред, пропитанных жидкостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Гавриков, Александр Александрович

• Гавриков, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гавриков, Александр Александрович

Обозначения

Введение

1 Малые колебания эмульсии двух слабовязких сжимаемых жидкостей

1.1. История вопроса.

1.2. Метод двухмасштабной сходимости

1.3. Классификация эффективных моделей.

1.4. Малые колебания эмульсии.

1.5. Усредненная система.

1.6. Сходимость решения допредельной задачи к решению предельной.

1.6.1. Сильная сходимость решений.

1.7. Выводы.

2 Исследование спектра уравнения акустики.

2.1. Уравнения, возникающие в кинетической теории.

2.2. Одномерное уравнение акустики.

2.3. Спектральный анализ.

2.4. Основные типы спектральных структур.

2.5. Выводы.

3 Численное решение вспомогательной задачи на ячейке периодичности в двумерном случае.

3.1. Задание дискретных функций.

3.2. Вывод разностных уравнений.

3.3. Сравнение аналитических и численных решений.

3.4. Выводы.

4 Определение динамических характеристик гранулированных сред резонансным методом.

4.1. Постановка задачи для сосуда с акустически мягкими стенками и дном.

4.2. Определение динамической плотности.

4.3. Сравнение с экспериментальными данными.

4.4. Определение скорости звука.

4.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование эффективных динамических характеристик эмульсий и гранулированных сред, пропитанных жидкостью»

Актуальность работы обуславливается тем, что целый ряд факторов, таких как потребность в новых материалах, проблемы геологической разведки, акустики морского дна и многие другие стимулируют интерес к разработке моделей, описывающих физические процессы в неоднородных средах, составленных из фаз с различными реологическими свойствами. В частности, многие проблемы сейсмоакустики, например определение состава смеси жидкостей в скважинах, требуют решения обратной задачи нахождения характеристик (плотности, вязкости, концентрации) фаз по экспериментально полученному звуковому полю, для чего необходимо адекватно сформулировать прямую задачу построения акустического давления по известным параметрам среды. Известно также, что свойства (инерционность, упругость) комбинированных материалов существенно зависят от частот воздействия. Исследование данного вопроса имеет важное значение для механики неоднородных сред.

Цель работы состоит в исследование модели эмульсии двух слабовязких сжимаемых жидкостей, отличающейся введением малого параметра, расчет усредненных характеристик, спектральный анализ уравнения акустики эмульсии и определение динамических характеристик гранулированной среды, пропитанной жидкостью, резонансным методом.

Научная новизна работы состоит в следующем: доказана сильная сходимость по малому параметру разности скоростей и разности градиентов скоростей допредельной и предельной задач (исходной и усредненной) в рамках модели малых колебаний эмульсии двух слабовязких сжимаемых жидкостей [1]—[3], [7]-[9]. Проведен качественный спектральный анализ полученного интегро-дифференциального акустического уравнения [2]-[4], [8]—[12]. Создан метод численного расчета в плоском случае усредненных коэффициентов эмульсии, используемых в уравнении акустики [1]—[3], [8], [9]. Получены явные аналитические выражения для определения динамических инерционных и упругих характеристик гранулированной среды, пропитанной жидкостью [5], [6], [13], [14].

Научная и практическая значимость работы заключается в том, что полученные в диссертации результаты могут быть использованы при постановке и решении задач о распространении звука в эмульсиях и при определении плотности и скорости звука в насыщенном жидкостью грунте.

Достоверность и обоснованность результатов основываются на использовании строгих математических методов, сравнении численных результатов с аналитическими решениями и соответствии полученных аналитических формул экспериментальным данным.

Личное участие автора выразилось в формулировках и доказательствах выдвинутых утверждений, проведении численных экспериментов, обработке и анализе результатов вычислений и экспериментов, оформлении результатов.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных профильных научных конференциях и семинарах:

1) Международная конференция "The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations". Москва, 2008г.

2) Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. Москва, 2009г.

3) Международная конференция "Управление динамическими системами" , проходившая в рамках мультиконференции "Теория и системы управления". Москва, 2009г.

4) Международная миниконференция "Качественная теория дифференциальных уравнений". Москва, 2009г.

5) 52-я научная конференция МФТИ. Москва, 2009г.

6) Международная конференция "Seventh International Conference on Numerical Methods and Applications". Болгария, Боровец, 2010г.

7) 53-я научная конференция МФТИ. Москва, 2010г.

8) X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Нижний Новгород, 2011. s

9) Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Нижний Новгород, 2011.

10) 54-я научная конференция МФТИ. Москва, 2011г.

По теме диссертации опубликована 13 печатных работ, в том числе 5 статей в журналах из перечня Высшей аттестационной комиссии РФ. Список работ приведен в конце автореферата.

Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 110 страниц, включая 30 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 77 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Гавриков, Александр Александрович

4.5. Выводы.

Построена механическая модель гранулированных сред, пропитанных несжимаемой жидкостью. Поставлена задача определения ее динамических характеристик: плотности и упругости. На основе адекватной математической модели аналитически вычисляются собственные частоты главной и более высоких мод гидроупругой системы и находятся их сдвиги по отношению к частотам невозмущенной системы (без наличия среды).

Резонансные кривые и величины сдвигов, определяемые высокоточными экспериментальными измерениями, позволяют найти динамическую плотность и скорость звука (упругость) в среде с относительно малой погрешностью. В качестве гидроакустических установок использовались резонаторы на основе прямоугольных сосудов с акустически мягкими стенками и дном. Сосуды заполнены несжимаемой жидкостью с открытой поверхностью (водой, керосином, нефтью и т.д.) и содержат образцы исследуемых гранулированных сред. Результаты имеют важное научно-познавательное и прикладное значение для гидроакустики гранулированных (пористых) сред, пропитанных жидкостью, наглядно демонстрируют зависимость характеристик неоднородных сред от частот воздействия и подтверждают пригодность модели акустически мягкого резонатора на основе прямоугольного сосуда.

Дальнейшие исследования могут направлены на определение дисси-пативных свойств сред, как это сделано, например, в [22] на экспериментальных установках в виде гидроакустических труб.

Следует отметить, что резонансным методом также можно исследовать эффективные характеристики эмульсий, если их гидростатические свойства позволяют разместить их на дне сосуда или на поверхности жидкости (см. выше тестовый эксперимент, в котором на свободной поверхности помещался керосин).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гавриков, Александр Александрович, 2012 год

1. Гавриков A.A. О малых колебаниях эмульсии двух слабовязких жидкостей // ПММ. Принята к печати.

2. Gavrikov A.A., Shamaev A.S. Some problems in acoustics of emulsions // Journal of Mathematical Sciences. 2011. V. 179. № 3. P. 415-436.

3. Гавриков A.A., Шамаев A.C. Некоторые вопросы акустики эмульсий // Докл. Академии Наук. 2010. Т. 434. № 1 С. 42-46.

4. Vlasov V.V., Gavrikov A.A., Ivanov S.A., Knyazkov D.Yu., Samarin V.A. and Shamaev A.S. Spectral properties of combined media // Journal of Mathematical Sciences. 2010. V. 164. № 6. P. 948-963.

5. Нестеров С. В., Акуленко JI. Д., Гавриков А. А. Определение динамической плотности гранулированной среды, пропитанной жидкостью // Докл. Академии Наук. 2011. Т. 436. № 6. С. 760-763.

6. Гавриков A.A. Определение динамических характеристик гранулированной среды, пропитанной жидкостью // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4. Ч. 2. С. 88-89.

7. Гавриков A.A. Динамический закон Дарси для смеси двух слабовязких жидкостей // Труды 54-й научной конференции МФТИ "Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе". М.: МФТИ, 2011.

8. Гавриков A.A., Шамаев A.C. Некоторые вопросы акустики эмульсий // Сборник трудов международной миниконференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения" . М.: Изд-во МЭСИ, 2010, с. 53-83.

9. Гавриков A.A., Шамаев A.C. Некоторые вопросы акустики эмульсий // Труды семинара имени И.Г. Петровского. 2011. Вып. 28. С. 114-146.

10. Власов В.В., Гавриков A.A., Иванов С.А., Князьков Д.Ю., Самарин В.А., Шамаев A.C. Спектральные свойства комбинированных сред // В сб. "Современные проблемы математики и механики" том 5, выпуск 1, Изд.МГУ 2009, стр.138-155.

11. Гавриков A.A. О спектре одного акустического уравнения // Труды 52-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" . Ч. III. Т. 1. М.: МФТИ, 2009.

12. Гавриков A.A. Определение скорости звука и модуля объемной упругости гранулированной среды, пропитанной жидкостью // Труды 53-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" . Ч. III. Т. 1. М.: МФТИ, 2010.

13. Levy Т. Propagation of waves in a mixture of fluids // Int. J. Eng. Sei. 1981. V. 19. т. P. 83-90.

14. Sanchez-Palencia E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory. Berlin: Springer, 1980 = Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

15. Auriault J.L., Lebaigue О. Acoustic waves in a mixture of fluids with capillary effects // Int. J. Eng. Sci. 1989. V. 27. №10. P. 1253-1265.

16. Auriault J.L., Boutin C. Waves in bubbly liquids with phase change 11 Int. J. Eng. Sci. 2001. V. 39. №5. P. 503-527.

17. Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмас-штабной сходимости // Мат.сб. 2000. Т. 191. №7. С. 31-72.

18. Fletcher C.A.J. Computational Techniques for Fluid Dynamics 2. Berlin: Springer, 1988. = Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 2. М.: Мир, 1991. 552 с.

19. Нестеров B.C. Вязко-инерционная дисперсия и затухание звука в суспензии высокой концентрации // Акуст. журнал. 1959. Т. 5. Вып. 3. С. 337-344.

20. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Исследование инерционных и упругих свойств пропитанных жидкостью гранулированных сред резонансным методом // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 145-156.

21. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

22. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993. 464 с.

23. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи сильно неоднородных упругих сред. М.: МГУ, 1990.

24. Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А., Шамаев А.С. Усреднение. Методы и некоторые приложения. Новосибирск: Изд. "Тамара Рожков-ская", 2007. 264 с.

25. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1944. Т.8. №4. С. 133-150.

26. Biot М. A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media // JASA. 1962. V.34. P. 1254-1264.

27. Gilbert R. P., Mikelic A. Homogenizing the acoustic properties of the seabed: Part I // Nonlinear Analysis. 2000. V.40. P. 185-212.

28. Nguetseng G. A General Convergence Result for a Functional Related to the Theory of Homogenization // SIAM J. Math. Anal. 1989. V.20. №3. P. 608-623.

29. Nguetseng G. Asymptotic analysis for a staff variational problem arising in mathematics // SIAM J. Math. Anal. 1990. V. 21. №6. P. 1396-1414.

30. Космодемьянский Д. А., Шамаев А. С. О некоторых спектральных задачах в пористых средах, насыщенных жидкостью // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. Т. 17. С. 88-109.

31. Мейерманов А. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмоакустики в упругих пористых средах // Сибирский Математический Журнал. 2007. Т. 48. № 3. С. 645667.

32. Шамаев А. С., Самарин В. А. О распространении акустических волн в среде, состоящей из вязкого жидкого и упругого материала // Современная математика и ее приложения. 2005. Т.35. С. 83-89.

33. Allaire G. Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal. 1992. V. 23. P. 1482-1518.

34. Allaire G., Damlamian A., Hornung U. Two-scale convergence on periodic surfaces and applications // Mathematical Modeling of Flow through Porous Media. Editors: A. Bourgeat, C. Carasso, S. Luckhaus, A. Mikelic. Singapore, 1995. P. 15-25.

35. Lukassen D., Nguetseng G., Wall P. Two-scale convergence // Intern. J. Pure and Appl. Math. 2002. V. 20. №1. P. 35-86.

36. Neuss-Radu M. Some extension of two-scale convergence // C. R. Acad. Sciences Paris. 1996. V. 322. seria I. P. 899-904.

37. Жиков В. В. О двухмасштабной сходимости // Труды семинара им. Петровского. 2003. Вып. 23. М.: Изд. МГУ. С. 149-187.

38. Шульга С. Б. Усреднение нелинейных вариационных задач с помощью двухмасштабной сходимости // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 2001. Т. 235. С. 1-8.

39. Акуленко Л. Д., Нестеров С. В. Динамическая модель пористой среды, заполненной вязкой жидкостью // Докл. Академии Наук. 2005. Т. 401. № 5. С. 630-633.

40. Акуленко Л. Д., Нестеров С. В. Инерционные и диссипативные свойства пористой среды, заполненной вязкой жидкостью // Изв. РАН МТТ. 2005. № 1. С. 109-119.

41. Акуленко Л. Д., Нестеров С. В. Упругие свойства гранулированной среды, пропитанной жидкостью // Изв. РАН МТТ. 2008. № 1. С. 3-16.

42. Gurtin М. Е., Pipkin А. С. A General Theory of Heat Conduction with Finite Wave Speeds // Arch. Rational Mechanics and Analysis. 1968. V. 31. P. 113-126.

43. Pandolfi L. The controllability of the Gurtin-Pipkin equation: a cosine operator approach // Appl. Math. Optim. 2005. V. 52. P. 143-165.

44. Sanchez-Hubert J. Asymptotic study of the macroscopic behavior of a solid-liquid mixture // Math. Methods Appl. Sci. 1980. V.2. P. 1-18.

45. Bedford A., Drumheller D.S. Theories of immiscible and structured mixtures // Int. J. Eng. Sci. 1983. V. 21. №8. P. 863-960.

46. Нигматулин P.И. Динамика многофазных сред. 4.1. М: Наука, 1987. 464 с.

47. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.2. М: Наука, 1987. 360 с.

48. Бахвалов Н.С. К вопросу о скорости звука в смесях // Докл. Академии Наук СССР. 1979. Т. 25. №6. С. 1345-1348.

49. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Оценка погрешности осреднения динамики малых возмущений сильнонеоднородных смесей // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34. №3. С. 395-414.

50. Сандраков Г. В. Влияние вязкости на осцилляции в некоторых линеаризованных задачах гидродинамики // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71. №6. С. 119-182.

51. Молотков Л. А. Исследование скоростей распространения волн в смесях жидкостей // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2006. Т.332. С. 149-162.

52. Wood А.В. A Text Book of Sound. New York: Macmillan, 1941. 578 P.

53. Lee M.W., Hutchinson D.R., Collett T.S., Dillon W.P. Seismic velocities for hydrate-bearing sediments using weighted equation // J. Geophys. Res. 1996. V. 101. № B9. P. 20347-20358.

54. Pearson C., Murphy J., Hermes R. Acoustic and Resistivity Measurements on Rock Samples Containing Tetrahydrofuran Hydrates // J. Geophys. Res. 1986. V. 91. № B14. P. 14132-14138.

55. Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А. С. Разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике // Докл. Академии Наук. 2010. Т. 434. №1. С. 12-15.

56. Исакович М.А. Общая акустика. М: Наука, 1973. 496 с.

57. Власов В. В., Раутиан Н. А., Шамаев А. С. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике // Современная математика. Фундаментальные направления. 2011. 39 С. 36-65.

58. Милославский А. В. Спектральные свойства операторного пучка, возникающего в вязкоупругости // Деп. в Укр. ВИНИТИ 17.07.87 (1225-87).

59. Vlasov V. V., Wu J. Solvability and Spectral Analysis of Abstract Hyperbolic Equations with Delay //J. Func. Differential Equations. 2009. V. 16. № 4. P. 751-768.

60. Власов В. В., Медведев А. Д. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории I // Итоги науки и техн. Сер. Совр. мат. Фундамент, напр. 2008. Т. 30. С. 3-173.

61. Палин В.В., Радкевич Е.В. Законы сохранения и их гиперболические регуляризации // Современные проблемы математики и механики. Т.1. Дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 2009.

62. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 391 с.

63. Вабенко К. И. Об асимптотике собственных значений линеаризованных уравнений Навье-Стокса // Докл. Академии Наук СССР. 1982. Т.263. т. С. 521-525.

64. Metivier G. Valeurs propres des opeerateurs definis sur la restriction de systems variationnels a des sous-espases //J. Math. Pures Appl. 1978. V. 57. P. 133-156.

65. Wesseling P. Principles of Computational Fuid Dynamics. Berlin: Springer, 2001. 652 p.

66. Ferziger J.H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer, 2002. 423 p.

67. Versteeg H.K., Malalasekera W. Introduction to Computational Fluid Dynamics. The Finite Volume Method. Harlow: Longman Scient. and Tech., 1995. 257 p.

68. Fletcher C.A.J. Computational Techniques for Fluid Dynamics 1. Berlin: Springer, 1988. = Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 1. М.: Мир, 1991. 504 с.

69. Laptev V. Numerical Solution of Coupled Flow in Plain and Porous Media. PhD Thesis. Kaiserslautern, 2004. 135 p.

70. Чичканов С.В., Шамсуллин А.И., Мягченков В.А. Влияние размеров частиц дисперсной фазы прямых эмульсий нефти на величину эффекта Томса // Вестн. КНИТУ, 2005. №1. С.296-303.

71. Скучик Е. Основы акустики. В 2-х т. Т. 1. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 618 с.

72. Лейбензон Л. С. Собрание трудов. Т. 2. Подземная гидрогазодинамика. М.: Изд-во АН СССР, 1953. 544 с.

73. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.; Л.: Гостоптехиздат, 1949. 628 с.

74. Терцаги К. Строительная механика грунта на основе его физических свойств. М.; Л.: Госстройиздат, 1933. 391 с.