Компьютерное моделирование пьезопреобразователей и анализ их параметров методами конечных и граничных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, доктор физико-математических наук Балабаев, Сергей Михайлович

• Балабаев, Сергей Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Балабаев, Сергей Михайлович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Моделирование и анализ собственных колебаний пьезопреобразовате-лей методом конечных элементов без учета пьезоэффекта

1.1. МКЭ, его основные положения, преимущества и недостатки

1.2. Одномерные колебания бесконечной упругой пластины; метод Бубнова - Галеркина

1.3. Типы конечных элементов. Интерполяция скалярных и векторных величин

1.4. Основные соотношения метода конечных элементов для

анализа колебаний упругих тел

1.5. Численное интегрирование

1.6. Формирование глобальных матриц

1.7. Учет механических граничных условий и условий симметрии

1.8. Собственные колебания конечных упругих тел

1.9. Собственные колебания прямоугольника

1.10. Собственные колебания конечных цилиндров

1.11. Полуаналитический метод конечных элементов. Собственные колебания осциллирующего и изгибного цилиндров

1.12. Выводы

Глава 2. Моделирование и анализ собственных колебаний пьезопреобразовате-лей методом конечных элементов с учетом пьезоэлектрического и пьезомагнит-ного эффектов

2.1. Учет пьезоэлектрического эффекта в конечно-элементной модели пьезоэлектрического преобразователя

2.2. Формирование обобщенной элементной подынтегральной матрицы жесткости

2.3. Учет электрических граничных условий, конденсация

2.4. Режимы резонанса и антирезонанса. Динамический коэффициент электромеханической связи

2.5. Собственные колебания пьезопрямоугольника

2.6. Собственные колебания пьезоцилиндров с радиальной поляризацией

2.7. Собственные колебания пьезоцилиндров с осевой поляризацией

2.8. Влияние формы электродов на эффективность возбуждения собственных колебаний пьезоцилиндров

2.9. Моделирование пульсирующих колебаний тангенциально поляризованных оболочек вращения

2.10. Собственные колебания пьезоцилиндров с тангенциальной поляризацией

2.11. Учет пьезомагнитного эффекта в конечно-элементной модели пьезомагнитного преобразователя

2.12. Собственные колебания пьезомагнитного цилиндра с тороидальной обмоткой

2.13. Собственные колебания осциллирующего и изгибного пьезоцилиндров

2.14. Собственные колебания полых пьезоконусов

2.15. Анализ собственных колебаний пьезопреобразователя сложной конструкции

2.16. Выводы

Глава 3. Моделирование и анализ акустического излучения конечных пьезопреобразователей

3.1. Учет акустического излучения в конечно-элементной модели пьезопреобразователя в экране, постановка задачи

3.2. Определение матрицы импеданса акустического поля и узловых

сил, эквивалентных излучению

3.3. Определение частотных характеристик пьезопреобразователя и дальнего поля излучения

3.4. Анализ эффективности излучения пьезопластин конечных размеров

3.5. Методы учета акустического излучения пьезопреобразователей

без экрана

3.6. МГЭ. его основные положения, гфеимушества и недостатки

3.7. Комбинированный метод конечных и граничных элементов

для анализа пьезопреобразователей

3.8. Основные соотношения метода граничных элементов для

анализа осесимметричных пьезопреобразователей

3.9. Проверка программы метода граничных элементов по известным аналитическим результатам

3.10. Исключение погрешности решения метода граничных элементов на критических частотах

3.11. Сравнение результатов расчетов по комбинированному методу конечных и граничных элементов с известными теоретическими

и экспериментальными результатами

3.12. Анализ водозаполненного тангенциально поляризованного пьезоцилиндра

3.13. Анализ гидроакустической антенны из двух водозаполненных пьезоцилиндров

3.14. Анализ цилиндрического пьезопреобразователя с внутренним твердым заполнением

3.15. Анализ цилиндрического пьезопреобразователя с

внутренним стержнем

3.16. Анализ водозаполненной пьезокерамической оболочки

3.17. Анализ цилиндрического водозаполненного пьезопреобразователя

с внутренней упругой перегородкой

3.18. Выводы

Заключение

Приложение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерное моделирование пьезопреобразователей и анализ их параметров методами конечных и граничных элементов»

ВВЕДЕНИЕ

Пьезоэлектрические и пьезомагнитные преобразователи (ПЭП и ГТМП) являются важной частью многих самых различных гидроакустических систем, а также широко применяются в ультразвуковых установках, радиотехнике, автоматике, робототехнике, измерительной технике. Технические характеристики любой акустической системы в значительной степени зависят от основных параметров используемых в ней пьезопреобразователей (ПП). В настоящее время наибольшее распространение получили ПП, активный элемент которых выполнен из пьезоэлектрической или пьезомагнитной керамики; он может иметь различную геометрическую форму и размеры.

Полный анализ ПП произвольной формы и размеров содержит две основные задачи, которые фактически являются связанными, - анализ многомерных колебаний ПП с учетом пьезоэффеьсга и анализ акустического поля многомерными колебаниями ПП. Аналитические позволяют рассматривать только небольшой класс таких задач, используя различные приближенные модели теории колебаний и теории излучения. В монографии М-Д.Смарышева [117] отмечается: "В принципе задача об излучении или приеме звука антенной сводится к необходимости совместного решения двух задач - волновой и задачи о механических колебаниях преобразователей. Поэтому наиболее строгий метод должен состоять в совместном решении волнового уравнения, определяющего распространение звука в среде, и уравнения колебаний преобразователя. Однако в такой постановке задачу удается довести до конца только в простейших случаях. В связи с этим обычно для описания колебаний преобразователя пользуются упрощениями, позволяющими рассматривать преобразователь как механическую систему с сосредоточенными параметрами." В этом случае ПП заменяют классическими одномерными моделями, которые анализируются либо аналитическим методом, либо следующим из него методом эквивалентных схем. Одномерные модели не учитывают конечность нерезонансных размеров ПП и ограничиваются простей-

шими геометрическими формами: пластинами, стержнями, цилиндрами и сферами [1, 57, 63, 64,103-106, 113, 122, 126-128, 211].

Во многих практических случаях одномерная модель весьма далека от реального ПП, поэтому аналитические методы дают только приближенные значения основных параметров ПП, не позволяют учесть конструктивные особенности и выбрать оптимальные геометрические размеры. Одномерная модель предполагает также постоянство колебательной скорости на излучающей поверхности, что часто не соответствует фактической ситуации и приводит к большой погрешности при расчете характеристики направленности. В статье В.В.Мелешко [97] отмечено: "Экспериментальные данные, полученные в последние годы, наглядно свидетельствуют о том, что задание на поверхности излучателя равномерно распределенной колебательной скорости, не отражающей фактически реализуемой формы движения, приводит к существенным погрешностям в определении диаграммы направленности в дальнем поле".

Отметим также, что существующие аналитические методы, основанные на одномерной теории, неприменимы для исследования перспективных ПИ неканонической формы и усложненных конструкций, представляющих практический интерес, например, рассмотренных в данной работе цилиндрических ПП с внутренними пассивными элементами. Таким образом, ситуация в теории пьезопреобразователей аналогична с положением дел в гидроакустике в целом; так как по мнению известного сторонника численных методов В.Ю.Завадского, изложенному' в его монографии [62]: "В настоящее время даже минимальные требования гидроакустики выше максимальных возможностей метода нормальных волн и лучевого метода."

Ограниченные возможности аналитических методов приводят к тому, что многие вопросы разработки отечественных ПП сейчас можно решить только опытным путем, что связано с большими затратами времени и материалов. Вопрос об оптимальности конструкции при этом обычно остается открытым, так как часто невозможно исследовать все варианты. Компьютерное моделирование на основе метода конечных элементов (МКЭ) и метода граничных элеме-

нтов (МГЭ) позволяет анализировать реальную конструкцию при варьировании ее параметров и таким образом значительно ускорить и удешевить разработку высокоэффективных ПП. По этой причине автор работы солидарен с мнением уже упоминаемого В.Ю.Завадского [62]: "... необходимы своевременная смена научных концепций, разработки радикально новых теорий, математическое и численное моделирование в условиях наиболее близких к реальным. Становится необходимым не просто улучшать и усложнять прежние формулы, а принципиально изменять подход, переходя от чрезмерной, иногда парализующей всякий анализ (даже численный) сложности теоретических формул к простоте, ясности и своеобразной красоте алгоритмических решений, которые берут в основу простоту и красоту исходных уравнений математической физики."

Кратко рассмотрим ситуацию в аналитической теории колебаний ограниченных лтфугих тел без учета и с учетом пьезоэффекта. Анализ собственных частот и форм колебаний конечных однородных изотропных упругих тел (то есть без учета анизотропии и пьезоэффекта) был предметом исследования известных ученых прошлого: Дебая, Кри, Ламе, Лауэ, Лэмба, Похгаммера, Пуассона. Задача о колебаниях сферы оказалась единственной пространственной задачей, имеющей строгое решение [50]. Основные трудности связаны с тем, что конечное тело ограничено координатными поверхностями различных типов и поэтому не является гладким, а имеет линии (ребра), в которых существует неединственная нормаль. Это приводит к значительным трудностям при подборе решения, удовлетворяющего граничным условиям. Большие проблемы возникли при анализе собственных колебаний конечных круглых цилиндров. "Сложности в построении точных аналитических решений привели Лауэ (1925 г.) к парадоксальному заключению о том, что собственных колебаний цилиндра со свободной поверхностью вообще не существует" [50]. (Макс фон Лауэ (1879-1960 г.г.), немецкий физик, лауреат Нобелевской премии 1914 г.).

Трудности получения точных решений для упругих тел конечных разме-

ров стимулировали развитие приближенных теорий. К началу XX века приближенные решения были получены для пластин, мембран, стержней, оболочек; работы в этом направлении продолжаются и до настоящего времени. Аналитические методы для изотропных твердых тел развиты в работах В.Т.Гринченко и В.В.Мелешко [50]; Б.А.Касаткина [81-84]; Е.В.Именитовой, К.В.Чернышева, В.В.Шегай [72, 131]; Дж.Р.Хатчинсона а&НшсЫшюп) [174]; Р.Кумара (Д.Китаг) [192-194]; М.Румермана (М.Кшпегтап) [216] и многих других отечественных и зарубежных ученых. Однако, многолетние исследования в этом направлении привели лишь к частичному успеху для упругих тел простейшей геометрической формы без учета анизотропии и пьезоэффекха, причем применяемый математический аппарат достаточно сложен и неуниверсален. Обобщение же разработанных методов на пьезокерамику приводит к непреодолимым математическим трудностям. Отметим также, что анализ полученных результатов часто невозможен без разработки специализированных программ, иногда требующих корректировки алгоритма яри изменении размеров упругого тела. Следовательно, значительного прогресса в аналитическом направлении не ожидается.

Неодномерные приближенные аналитические модели с учетом пьезоэффекта, рассматривались в работах ЛЛ.Гутина [53]; В.Н.Лазуткина и А.И.Михайлова [90-94]; В.З.Партона и Б.А.Кудрявпева [103], а также в статьях зарубежных авторов [152, 166, 203, 212, 235, 236, 240]. Д.С.Друмхеллер и А.Калнинс (О.З.ОгшпЬеИег, А.Ка1шш, Университет Лехай, г.Бетлехем, Пенсильвания) [153] рассмотрели две низшие моды колебаний пьезоэлектрических цилиндров конкретных размеров с радиальной и осевой поляризацией на основе теории оболочек. Заметим, что допущения, принятые в этой теории, накладывают большие ограничения на возможные формы колебаний и, как будет показано в главе 2, не позволяют анализировать изгибные моды, поэтому полученная этим методом информация является неполной.

В статьях сотрудников отдела электроупругости Института механики Академии наук Украины А.М.Болкисева и Н.А.Шульги, опубликованных в

журнале "Прикладная механика", например, [32, 33] используется классический метод разделения переменных Фурье. Для этого подбираются "искусственные" краевые условия, при которых этот метод можно применять, в том числе, одновременное наличие электродов на цилиндрических поверхностях и торцах. Недостаток теоретических результатов в некоторой мере компенсировался экспериментальными исследованиями [2, 206,219, 231].

Лучшие результаты были получены вариационными методами. Р. Хол-ленд и ЕНЭрниссе (R.Holland, Е.Р.Еег Nisse, Лаборатория Сандиа, г.Альбукерке, Нью-Мексико) в работах [154, 167-169] применили вариационный метод Ритца для анализа собственных колебаний ПЭП конечных размеров и исследовали резонансные частоты, формы колебаний и динамические емкости прямоугольных и круглых пластин и прямоугольных параллелепипедов. В.Н.Лазуткин и А.И.Михайлов (Научно-исследовательский инженерный институт г.Балашиха) в статье [91] использовали этот метод для анализа колебаний цилиндров конечных размеров с осевой поляризацией и рассмотрели зависимости резонансных частот и динамических емкостей от длины цилиндра (первые четыре моды).

В вариационном методе решения для электрического потенциала и смещения ищутся в виде рядов по координатным функциям, которые должны наиболее полно приближаться к точному решению и зависят от геометрической формы ПЭП. Если область имеет неканоническую форму вариационный метод неприменим, так как нельзя подобрать систему координатных функций для всей области в целом. МКЭ представляет собой один из вариационно-разностных методов. Его большим преимуществом, по сравнению с обычными вариационными методами, является универсальность: МКЭ можно анализировать 1111 произвольной геометрической формы и размеров с любым типом поляризации и произвольной формой электродов с учетом пассивных элементов конструкции.

Высокая производительность современных ЭВМ (в том числе персональных компьютеров), а также перспективы их развития изменили соотношение между численными и аналитическими методами в пользу первых. Современные

численные методы, особенно МКЭ и МГЭ, следует считать наиболее эффективным и перспективным математическим аппаратом для анализа реальных 1111. Важными преимуществами МКЭ и МГЭ являются эффективность, относительная простота, универсальность: многие подпрограммы не зависят от геометрической формы ГШ, а также перспективность, связанная с дальнейшим совершенствованием компьютеров. Точность численных методов вполне удовлетворяет требованиям практики, особенно, если учитывать, что постоянные пьезокерамики нестабильны (разброс значений постоянных может достигать 20 %); совпадение численных результатов с экспериментальными измерениями хорошее. Таким образом, автор солидарен с мнением В.Ю.Завадского [62]: "Высокая производительность компьютеров изменила соотношение между вычислениями при использовании теоретических решений в виде формул для волновых задач и численными алгоритмами, схемами, разностными методами, применяемыми непосредственно к исходным уравнениям задачи. Конечно, формулы сохранили свое значение как более наглядные средства представления решения простых идеализированных задач. В то же время стало ясно, что в более сложных задачах необходимо использовать всю мощность компьютера и применять универсальные алгоритмы."

Первые работы по численному анализу ПЭП были опубликованы в Англии, Канаде, США и Японии в конце 60-х - начале 70-х годов. Одной из первых работ является статья П.Ллойда и М.Рэдвуда (Р.Ь1оус1, М.КесЬуооё, Университет Лондона, Англия) [201], которые применили метод конечных разностей (МКР). В статье Г.У.Мак-Магона (ОЛУ.МсМаЪоп, Атлантическое оборонное научно-исследовательское учреждение, г.Дартмут, Канада) [207] МКР рассчитаны две первые резонансные частоты изотропного круглого стержня конечной длины и представлены их зависимости от длины стержня.

В 1965 г. Г.М.Л.Глэдуэлл (0.М.Ь.01асЬ\-е11, Университет Ватерлоо, Канада) в докладе [159] впервые применил матричные методы структурного анализа к задачам акустики. Позже он вместе с соавторами исследовал МКЭ собственные колебания конечных упругих цилиндров и осесимметричных резо-

наторов [160-162].

Фундаментальные работы, давшие мощный толчок компьютерному моделированию ПЭП были выполнены в начале 70-х годов практически одновременно и независимо в США и Японии. В США работы в этом направлении были начаты корпорацией Дженерал дайнемикс в отделе электросудов (гХротон, Коннектикут) и продолжены в Военно-морском центре подводных исследований (г.Сан-Диего, Калифорния). Группой из восьми ученых: Х.Аллтс Т.Дж.Р.Хьюз, К.М.Вебман, Дж.Т.Хант, Р.Р.Смит, Д.Барач, М.Р.Книттель. Ч.С.Нихолс (Н.АШк, Т.Ш.Ни^ез, К.М.\УеЬтап, ГТ.Нип! К.Я.БгшШ, О.Вагаск М.К.КшИе1, С.З.МсЬоЬ) были получены фундамевпгальные результаты по применению МКЭ для анализа колебаний ПЭП, излучения и рассеяния звука конечными телами, кратко опубликованные в 1970-1975 годах в открытой печати в виде шести журнальных статей.

В статье [136] приведена в матричной форме система линейных алгебраических уравнений, описывающая пьезоэлектрический конечный элемент (КЭ), которая получена на основе вариационного принципа, обобщающего пришил минимума потенциальной энергии. В работе [137] рассмотрены результаты анализа свободных колебаний ПЭП в виде пьезоцилиндра с радиальной поляризацией и дополнительными массами, отмечено хорошее соответствие расчетов с экспериментом. В статье [234] анализируется сферический и цилиндрический тангенциально поляризованный ПЭП. Рассмотрены три первые моды колебаний пьезоцилиндра конкретных геометрических размеров (радиальная, изгибная, высотная). Изложен один из методов учета жидкой акустической нагрузки, основанный на применении граничного интегрального уравнения Гелъмгольца, фактически МГЭ, хотя сам этот термин в то время еще не сформировался, а был введен П.Бенерджи и Р.Баттерфилдом позже: в 1975 г. [142]. В этой работе поставлена и решена задача "стыковки" ранее разработанных программ: СШЕБ (Центр подводных исследований) и МАШКАМ (Дженерал дайнемикс). В статье содержится ошибочное мнение, что изгибная мода, которая плохо возбуждается в воздухе, хорошо возбуждается в воде. Это

заблуждение исправлено в комментарии авторов [190]. В работе [172] изложен иной способ учета жидкой акустической нагрузки на примере свободно-погруженного пьезоцилиндра: ближнее поле описывается жидкими КЭ, а дальнее поле - расходящимися сферическими волнами. Представлены экспериментальные и расчетные частотные характеристики комплексного электрического импеданса и диаграммы направленности для пьезоцилиндра конкретных размеров. Применение МКЭ к анализу акустического рассеяния от упругих структур рассмотрено в статье [173].

Объективности ради отметим, что не все более поздние работы других американских ученых сохранили первоначально высокий уровень. Например, в статье Дж.ФМак-Дермона (G.F.McDeaimorL Аэрокосмическая корпорация Goodyear, г.Акрон, Огайо) [205] рассмотрено добавление пьезоэлектрических свойств к структурным конечно-элементным программам. Статья содержи! подробно расписанные матрицы для трехмерных колебаний прямоугольных тел (операция известная и обычно опускаемая), ссылку на разработанную программу PIFEN и до сих пор невыполненные обещания о том, что в дальнейших публикациях будет приведен анализ нескольких ПЭП с помощью этой программы.

В Японии пионером МКЭ является Ю.Кагава (Y.Kagawa, Национальный университет Тояма). Учет пьезоэлектрического эффекта в конечно-элементной модели выполнен им совместно с Г.М.Л.Глэдуэллом [179]. Ю.Кагавой и Т.Ямабучи (T.Yamabuchi) сначала вдвоем, а потом и с сотрудниками, опубликованы фундаментальные работы по исследованию различных акустических устройств: акустических и электромеханических фильтров [177, 180], приборов на поверхностных волнах [182], электромеханических резонаторов, в том числе и с захватом энергии [178, 185], ПЭП [183, 184], передающе-излучающих систем с приложением полученных результатов к расчету рупоров, глушителей и громкоговорителей [186, 187] и т.д. В статье [184] для анализа составных осесимметричных ПЭП в жестком плоском экране, контактирующих с жидким полупространством, предложен комбинированный численно-аналитический метод. Последние работы этих ученых посвящены применению численных

методов в медицине, например, одна из последних статей [181], в которой построена модель речевого тракта человека.

Следующей довольно многочисленной группой ученых, внесшей определенный вклад в применение МКЭ, являются французские акустики. В статье [144] рассмотрен комбинированный метод: МКЭ и теория возмущений, который позволяет снизить затраты на вычисления. Комбинированный численно-аналитический метод (МКЭ и плоских волн) предложен в статье [150] и применен для анализа колебаний в воздухе ПЭП, изготовленного из столбика пьезоактивных элементов, присоединенной массы и металлического конуса. Обзор работ по использованию МКЭ к задачам акустики, выполненных фирмой Томсон-Синтра за 6 лет, дан в [241].

Конечно, основоположники применения численных методов проложили основные направления и расставили главные ориентиры, но они оетсшшш и большое поле деятельности продолжателям этих методов. И главной проблемой здесь является отсутствие программного обеспечения, поскольку ¿штору известны ссылки на существующие американские программы, вероятно, в свое время недоступные даже французским ученым, так как есть ссылки на значительно более поздние французские программы (MODULEF, только МО, 1986 г., авторский коллектив - 10 человек и ATTLA, авторский коллектив - 9 человек). Из этого следует, что им, как и автору, пришлось разрабатывать свои собственные алгоритмы и программы, что является весьма непростым и трудоемким делом, оцениваемым обычно (МКЭ и МГЭ) в несколько человеко-лет. В этом и заключается одна из причин недостаточного применения МКЭ и МГЭ в отечественной акустике. Сами же публикации по этим методам несколько своеобразны, так как носят в какой-то мере "рекламный" характер: их результаты весьма непросто повторить и использовать без соответствующего программного обеспечения.

В последующих работах французских ученых предложен комбинированный метод решения внешней акустической задачи, основанный на объединении известных подходов: интегрального уравнения и метода нулевого поля (Т-мат-

риц) [237]. В статье [143] моделирование излучающей структуры выполнено МКЭ с помощью окружения этой структуры конечной жидкой областью и использования дипольных демпфирующих элементов. Известны также и другие работы этих авторов, например, [138,139, 165].

В завершении "географического обзора" отметим более поздние работы Р.Лерча (КХегсЬ, Сименс АГ, г.Эрланген, Германия) [197-200]. Известно еще много других работ зарубежных авторов по МКЭ, выполненных, в основном, в США, Японии, Англии; некоторые из них, но, естественно, не все приведены в списке литературы, на часть этих работ будут даны ссылки в дальнейшем.

"География" же работ по применению МГЭ к задачам излучения и рассеяния звука упругими телами более широка: от США, Японии, европейских стран до Турции (Е.БокитасО и даже Индонезии (В.Боепагко, в соавторстве с учеными США). Поэтому отметим только большое количество недавних работ А.Ф.Сейберта с сотрудниками (А.Р.ЗеуЬей, Университет Кентукки, гЛексинг-тон) [224-230, 243], которые внесли большой вклад в решение задач излучения звука упругими телами произвольной формы и преодоление возникающих при этом трудностей. В списке литературы указаны и многие другие работы.

Необходимо заметить, что хотя количество статей, посвященных анализу акустического излучения конечных тел численными методами (в основном МГЭ) значительно, особенно в последние годы, работ, в которых рассматривается излучение 1111, совсем немного: фактически это уже упоминаемые статьи [143, 172, 184, 190, 234]. Подчеркнем, что речь идет о так называемых "сквозных" задачах (в терминологии автора статьи [41]), когда задано электрическое напряжение, а не скорость (или сила) на поверхности ПП, иначе говоря, учтен пьезоэффект.

Отметим еще две статьи, в которых для решения "сквозной" задачи использованы аналитические или численно-аналитические методы. В статье [41] И.В.Вовка (Институт гидромеханики Академии наук Украины, г.Киев) аналитическим методом частичных областей рассмотрено излучение звука конечной решеткой, состоящей из открытых цилиндрических оболочек (с уче-

том ряда \тгрощающих предположений). П.Х.Роджерс (P.H.Rogers, Технологический институт Джорджии, г.Атланта) в статье [215] разработал численно-аналитическую модель водозаполненного пьезоцилиндра с радиальной поляризацией. Для моделирования пьезоцилиндра использована теория оболочек, а для численного интегрирования граничного интегрального уравнения Гельм-гольца - известная программа SHIP (ранее созданная под его руководством в Военно-морской научно-исследовательской лаборатории г.Вашингтон). Как уже отмечалось, теория оболочек, а, следовательно, и предложенная комбинированная математическая модель, не учитывает изгибные моды, поэтому полученная на ее основе информация будет неполной. В главе 3 на основе разработанной автором комбинированной модели (МКЭ и МГЭ) водозаполненного пьезоцилиндра, свободной от ограничений, присущих моделям в статьях [41], [215], будет показано, что изгибная мода может значительно искажать частотные характеристики ПП и его диаграмму направленности.

Известно небольшое количество отечественных работ по применению МКЭ к анализу ПЭП. В работе [85] С .П.Ковалева, В.А.Кузьменко, Г.Г.Писарен-ко, В.МЧушко (Институт проблем прочности АН Украины, г.Киев) рассмотрено построение численного решения задач электроупругости на основе общего энергобаланса. Р.-И.Ю.Кажис и Л.Ю.Мажейка (Лаборатория ультразвука Каунасского политехнического института) изучили двумерные задачи по исследованию неоднородных акустических и электрических полей и нестационарного режима ПЭП [74-78]. В статьях [3, 5] А.М.Аллавердиева, Н.Б.Ахмедо-ва, ИИСтыриковича, М.С.Третьяка, Т.Д.Шермергора (Московский институт электронной техники, НПО "Уран", г.Санкт-Петербург, НИИ "Элпа", г.Зеленоград) рассмотрены колебания осесимметричного ПЭП и составного ПЭП, контактирующего с бесконечной жидкой средой. Известны и некоторые другие работы, часть из которых приведена в списке литературы.

Таким образом, из сопоставления количества и качества зарубежных и отечественных работ очевидно, что МКЭ и МГЭ еще не получили должного применения у отечественных исследователей. В то же время даже вполне дос-

тупные сейчас персональные компьютеры типа PC IBM позволяют решить многие довольно сложные задачи моделирования и анализа ПП в том числе и с учетом акустического излучения. Это дает возможность получить новые теоретические результаты, которые имеют также и большое практическое значение. На исследование этой актуальной проблемы и направлена данная диссертационная работа, в которой решены следующие основные задачи:

1. Разработан комбинированный метод конечных и граничных элементов для анализа ПП произвольной геометрической формы и размеров, который позволяет исследовать как собственные колебания ПП (собственные частоты, формы колебаний, динамический коэффициент электромеханической связи, входной электрический импеданс или проводимость), так и работу ПП с учетом акустического излучения (частотные характеристики, диаграмму направленности, распределения скорости и давления на излучающих поверхностях).

2. Выполнена программная реализация комбинированного метода конечных и граничных элементов для осесимметричных ГШ, состоящих из пьезоактивных и пассивных конструктивных элементов.

3. Разработана комбинированная численно-аналитическая компьютерная модель пьезомагнитного преобразователя с аналитическим учетом магнитного поля.

4. Разработана комбинированная численно-аналитическая компьютерная модель тангенциально поляризованной пьезооболочки вращения с аналитическим учетом электрического поля.

5. Выполнен полный анализ собственных колебаний (спектры собственных частот, формы колебаний, динамический коэффициент электромеханической связи) ПП произвольных размеров классических типов: пьезоэлектрических цилиндров с радиальной, осевой и тангенциальной поляризациями, пьезомагнитного цилиндра с тороидальной обмоткой и некоторых других, направленный, в частности, на оптимизацию геометрических размеров ПП, обеспечивающих максимальную эффективность преобразования энергии, а также на определение пределов применимости классических одномерных аналитических теорий.

6. Выполнен анализ и оптимизация геометрических размеров водозапол-ненного (свободно-погруженного) пьезоцилиндра с тангенциальной и радиальной поляризацией.

7. Выполнен анализ и оптимизация геометрических размеров ПП в виде тангенциально поляризованных пьезоцилиндров с внутренним пассивным заполнением и внутренним стержнем. Показано, что пьезоцилиндр с внутренним заполнением, выполненным из материала с небольшим акустическим сопротивлением, обладает широкополосной частотной характеристикой чувствительности излучения с двумя максимумами, то есть он является аналогом водозаполненного пьезоцилиндра.

8. Выполнен анализ и оптимизация размеров ПП усложненных конструкций на основе водозаполненного пьезоцилиндра: пьезоцилиндра с гшутрС1шш упругой сферической перегородкой и пьезоконуса. Показана возможность формирования при определенных размерах направленного излучения вдоль оси симметрии таких ПП с небольшим уровнем тыльного излучения. Можно получить диаграмму направленности по форме близкую к кардиоиде; такая диаграмма направленности может быть необходима для специальных гидроакустических устройств.

9. Выполнен анализ и оптимизация размеров цилиндрической гидроакустической антенны, состоящей из двух водозаполненных пьезоцилиндров с учетом их акустического взаимодействия.

10. Предложена некоторая модификация известного численно-аналитического метода Ю.Кагавы и Т.Ямабучи для анализа осесимметричных ПП в плоском жестком экране.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

В первой главе рассмотрено компьютерное моделирование и анатиз собственных колебаний ПП без учета пьезоэффекта. Изложены основные положения МКЭ для анализа собственных колебаний конечных упругих тел в изотропном и анизотропном приближениях. Эти соотношения являются исход-

нъгми для дальнейшего моделирования и анализа ГШ с учетом пьезоэлектрического и пьезомагнитного эффектов; рассмотрено соответствующее программное обеспечение. Решены задачи о собственных колебаниях конечных полых цилиндров для случая пульсирующего, осциллирующего и изгибного цилиндров; получены спектры собственных частот хтя цилиндров произвольных размеров. Обсуждена достоверность полученных результатов путем их сравнения с предельными аналитическими решениями и известными частными результатами для цилиндров конкретных размеров.

Во второй главе рассмотрено моделирование и анализ собственных колебаний ГШ с учетом пьезоэлектрического и пьезомагнитного эффектов. На основе вариационного принципа с использованием функции Лагранжа получена глобальная безразмерная система уравнении МКЭ. Рассмотрены новые положения МКЭ, появившиеся из-за введения пьезоэффекга,- учет электрических граничных условий и конденсация, определены режимы реэшаиса и антирезонанса и динамический коэффициент электромеханической связи (ДКС); изложено соответствующее программное обеспечение. Выполнен полный анализ собственных колебаний ПЭП в форме прямоугольника, полых пьезоцилиндров с радиальной и осевой поляризацией, осциллирующего и изгибного пьезоцилиндров. Разработаны компьютерные модели конечных тангенциально поляризованного пьезопшшндра и пьезомагнитного цилиндра с тороидальной обмоткой, выполнен их анализ. Полученные результаты имеют большое практическое значение, так как позволяют обосновать выбор оптимальных геометрических размеров ПП, обеспечивающих максимальный ДКС, а следовательно, максимальную эффективность преобразования энергии и широкополосность, а также оценить пределы применимости классических одномерных теорий. Обсуждена достоверность полученных результатов для пьезоцилиндров с тремя типами поляризации путем их сравнения с предельными аналитическими решениями, известными теоретическими и экспериментальными результатами. Исследован ПЭП сложной конструкции, состоящий из пьезоактивных и пассивных конструктивных элементов, который

нельзя проанализировать на основе одномерной теории.

В третьей главе рассмотрено моделирование и анализ вынужденных колебаний ПП с учетом пьезоэффекта и акустической нагрузки. Рассмотрен комбинированный численно-аналитический метод, удобный для моделирования ПП в экране. В этом случае конечный ПП моделируется с помощью МКЭ, а акустическое поле в жидкости описывается аналитически. Разработано программное обеспечение этого метода, выполнен анализ эффективности акустического излучения круглой пьезопластины конечных размеров, находящейся в плоском жестком экране. Рассмотрены основные положения МГЭ. Для анализа конечных ПП без экрана предложен комбинированный метод конечных и граничных элементов с учетом пьезоэффекта, разработано соответствующее программное обеспечение для расчета основных характеристик осесимметричных ПП. Обсужден вопрос об устранении погрешност МГЭ в комбинированном методе. Для этого использован ранее известный метод, а. также более простой и физически очевидный метод, основанный на введешго потерь; показано, что оба метода дают практически идентичные результаты.

Разработанное программное обеспечение комбинированного метода конечных и граничных элементов тщательно проверено по известным аналитическим, численным и экспериментальным результатам; получено хорошее соответствие во всех случаях. Таким образом, достоверность представленных в работе результатов является достаточно обоснованной.

Выполнен анализ и оптимизация геометрических размеров цилиндрического водозаполненного (свободно-погруженного) ПЭП с тангенциальной и радиальной поляризацией, а также гидроакустической антенны, состоящей из двух одинаковых водозаполненных пьезоцилиндров с учетом их акустического взаимодействия. Исследован цилиндрический ПЭП с внутренним твердым пассивным заполнением. Показано, что при заполнителе с малым акустическим сопротивлением такой ПЭП является аналогом водозаполненного пьезоцилинд-ра, то есть он имеет широкополосную частотную характеристику чувствительности излучения с двумя максимумами.

Выполнен анализ цилиндрического ПЭП с пассивным внутренним стержнем, изготовленным из материала с малым акустическим сопротивлением. Показана возможность формирования направленного излучения вдоль оси стержня при определенных геометрических размерах этого ПЭП. Исследованы ПЭП в виде водозаполненного пьезоцшшндра с внутренней упругой перегородкой и водозаполненного усеченного полого пьезоконуса. Рассмотрена возможность формирования направленного излучения вдоль оси симметрии этих ПЭП. Показано, что при определенных геометрических размерах ПЭП можно сформировать диаграмму" направленности с небольшим уровнем тыльного излучения, похожую на кардиоиду, что может быть необходимо для специальных гидроакустических устройств, например, донных маяков-ответчиков навигационных систем.

В заключении излагаются основные результаты выпож^ешшх исследований.

В приложении представлено разработанное программное обеспечение МКЭ и МГЭ: блок-схема программы комбинированного метода конечных и граничных элементов и тексты 31 подпрограммы на языке Фортран для РС ШМ и 2 программ, в которых используются эти подпрограммы.

21

Заключение диссертации по теме «Акустика», Балабаев, Сергей Михайлович

3.18. Выводы

1. Рассмотрен комбинированный численно-анатшический метод для анализа акустического излучения осесимметричных ПЭП в плоском жестком экране, выполнена его программная реализация. С помощью этого метода исследовано акустическое излучение пьезопласшны, находящейся в плоском жестком экране.

2. Рассмотрены основные положения МГЭ, разработано его программное обеспечение для осесимметричных ПЭП. Программа МГЭ проверена по задаче, имеющей точное решение, - излучению пульсирующей сферы. Получено хорошее соответствие численных результатов с аналитическими.

3. Разработан комбинированный метод конечных и граничных элементов с учетом пьезоэффекта для анализа вынужденных колебаний конечных ПП, находящихся в жидкости, выполнена программная реализация этого метода для осесимметричных ПЭП.

4. Расчеты по программе комбинированного метода проверены по известным численным и экспериментальным результатам для водозаполненных пьезоцютишров с тангенциальной и радиальной поляризацией. Показано, что результаты расчетов находятся в хорошем соответствии с экспериментом.

5. Рассмотрен вопрос об исключении погрешности решения МГЭ на критических частотах. Отмечено, что погрешность решения комбинированного метода можно исключить, используя известный метод. Кроме того, предложен довольно простой и физически очевидный способ устранения этой погрешности, основанный на введении потерь (комплексного волнового числа в жидкости). Показано, что с помощью предложенного метода можно получить практически идентичные результаты при анализе ПП по сравнению с известным более сложным классическим методом.

6. Выполнен анализ основных характеристик водозаполненных пьезоцилиндрое с тангенциальной и радиальной поляризацией. Определены оптимальные геометрические размеры этих ПЭП, при которых достигается наиболее равномерная широкополосная частотная характеристика чувствительности излучения. Показано, что изгибная мода может значительно искажать частотные характеристики и диаграмму направленности водозаполненного пьезоцилиндра. Обсуждены способы устранения влияния паразитной изпгбной моды.

7. Выполнен анализ гидроакустической антенны из двух одинаковых водозаполненных пьезоцилиндров с учетом их акустического взаимодействия. Показано, что акустическое взаимодействие между пьезоцилиндрами при малом расстоянии между ними приводит к значительному изменению распределений нормальной колебательной скорости и давления на излучающих поверхностях. Также показано, что акустическое взаимодействие может приводить к появлению паразитной антисимметричной моды, которая искажает частотные характеристики антенны и ее диаграмму направленности. Обсуждены способы устранения паразитной антисимметричной моды.

8. Исследован цилиндрический ПЭП с внутренним твердым заполнением. Показано, что при заполнении пьезоцилиндра материалом с малым акустическим сопротивлением он является аналогом водозаполненного пьезоцилиндра, то есть имеет широкополосную частотную характеристику с двумя максимумами. Определены оптимальные геометрические размеры такого ПЭП, обеспечивающие его наиболее равномерную широкополосную частотную характеристику.

9. Рассмотрен цилиндрический ПЭП с внутренним пассивным стержнем, выполненным из материала с небольшим акустическим сопротивлением. Показана возможность формирования направленного излучения вдоль оси стержня с небольшим уровнем бокового и тыльного излучения при определенных геометрических размерах ПЭП.

10. Исследован ПЭП в виде водозаполненного полого усеченного конуса (более общая задача по сравнению с водозаполненным пьезоцилиндром). Показано, что применение водозаполненного пьезоконуса в качестве гидроакустического излучатеж позволяет либо сформировать диаграмму направленности в виде, близком к кардиоиде, либо получил, почти ненаправленное излучение.

11. Выполнен анализ цилиндрического водозаполненного ПЭП с внутренней упругой перегородкой, представляющей собой часть сферы. Показано, что при определенных геометрических размерах формируется характеристика направленности с небольшим уровнем тыльного излучения, осевое сечение которой похоже на кардиоиду.

Основное содержание этой главы опубликовано в работах [13, 14, 17, 18, 247252].

273

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги, сформулируем основные результаты проведенных исследований.

1. Разработан комбинированный метод конечных и граничных элементов с учетом пьезоэффекта и аку стической нагрузки для анализа конечных пьезопреобразо-вателей произвольной геометрической формы и размеров. Он позволяет анализировать как собственные колебания пьезопреобразователей конечных размеров: частоты резонанса и ангарезонанса, динамический коэффициент электромеханической связи, формы колебаний, входной электрический импеданс или проводимость, так и вынужденные колебания конечного пьезопреобразовагеля, находящегося в жидкосд й,-частотные характеристики, диаграмму направленности, распределения скорости и давления на излучающих поверхностях.

2. Разработано программное обеспечение комбинированного метода конечных и граничных элементов для анализа конечных осесимметричных пьезопреобразователей, состоящих из пьезоактивных и пассивных конструктивных элементов; оно представлено блок-схемой, текстами 31 подпрограммы на языке Фортран для ГС IBM и 2 программ, в которых используются эти подпрограммы.

3. Разработана комбинированная численно-аналитическая компьютерная модель конечного пьезомагнишого преобразователя с аналитическим учетом магнитного поля; выполнена программная реализация этой модели для случая пьезомагнишого цилиндра с тороидальной обмоткой.

4. Разработана комбинированная численно-аналитическая модель конечной секционированной пьезооболочки вращения с аналитическим учетом электрического поля; выполнена программная реализация этой модели для тангенциально поляризованного пьезоцилиндра

5. Предложена модификация известного численно-аналитического метода Ю. Кагавы и Т. Ямабучи для анализа конечных осесимметричных пьезопреобразователей в плоском жестком экране, разработано соответствующее программное обеспечение и выполнен анализ эффективности акустического излучения круглой пьезопластины конечных размеров, находящейся в плоском жестком экране.

6. Рассмотрен вопрос об исключении погрешности решения метода граничных элементов на критических частотах. Показано, что эту погрешность в комбинированном методе конечных и граничных элементов можно исключить, используя известный метод. Кроме того, предложен простой и физически очевидный способ устранения этой погрешности, основанный на введении потерь в жидкости. Показано, что с помощью предложенного метода можно получить практически идентичные результаты по сравнению с более сложно реализуемым известным методом при анализе конечных пьезопреобразователей комбинированным методом.

7. Результаты расчетов по разработанным программам метода конечных элементов, метода граничных элементов и комбинированного метода конечных и граничных элементов тщательно проверены по известным аналитическим, численным и экспериментальным результатам для собственных и вынужденных колебштё пьезопреобразователей. Показано, что результаты расчетов находятся в хорошем соответствии с экспериментом и известными теоретическими результатами, поэтому представленные в диссертации результаты можно считать достаточно обоснованными. Более того, показано, что комбинированный метод конечных и граничных элементов дает лучшее соответствие с экспериментом, чем предложенный в статье [143] метод с использованием дипольных демпфирующих элементов, при анализе водозаполненно-го радиально поляризованного пьезоцилиндра.

8. Выполнен полный анализ собственных колебаний: спектров собственных частот, динамического коэффициента электромеханической связи, форм колебаний пьезопреобразователей произвольных размеров классических типов: пьезоэлектрических цилиндров с радиальной, осевой и тангенциальной поляризацией, пьезомагнит-ного цилиндра с тороидальной обмоткой и некоторых других. Определены пьезоак-тивные участки спектра, которые эффективно возбуждаются приложенным электрическим полем. Показано, что наличие пьезоактивных участков в спектре пьезоцилиндра зависит от типа его поляризации: радиальной, осевой или тангенциальной. Полученные результаты имеют большое практическое значение, так как позволяют оценить пределы применимости классических аналитических теорий (либо по отклонению резонансной частоты от соответствующего одномерного приближения, либо по отклонению динамического коэффициента электромеханической связи от соответствующего статического коэффициента связи, либо по отклонению реального распределения смещений от идеализированного одномерного) и обосновать выбор оптимальных геометрических размеров (или диапазона размеров) пьезопреобразователей, обеспечивающих максимальный динамический коэффициент электромеханической связи, а следовательно, максимальную эффективность преобразования энергии и максимальную широкополосность.

9. Выполнен анализ основных параметров водозаполненных пьезоциливдрок с тангенциальной и радиальной поляризацией. Определены их оптимальные геометрические размеры, при которых достигается наиболее равномерная широтшлоешя частотная характеристика чувствительности излучения. Показано, что шраэжшя изгибная мода может значительно искажать частотные характеристики и дашршму направленности водозаполненного пьезоцилиндра. Отмечено, что известные аналитические модели пьезоцшшндров, основанные на теории оболочек, не учитывают изшбную моду, поэтому на их основе нельзя получить достоверную информацию о цилиндрических пьезопреобразователях. Обсуждены способы устранения влияния паразитной изптбной моды.

10. Исследована гидроакустическая антенна из двух водозаполненных пьезоци-линдров с учетом их акустического взаимодействия. Показано, что акустическое взаимодействие между пьезоцилиндрами при малом расстоянии между ними приводит к значительному изменению распределений нормальной колебательной скорости и давления на излучающих поверхностях. Также показано, что акустическое взаимодействие может приводить к появлению паразитной антисимметричной моды, которая, как и изгибная мода, искажает частотные характеристики антенны и ее диаграмму направленности. Отмечено, что антисимметричная мода также не учитывается в известных аналитических моделях пьезоцилиндров, основанных на теории оболочек. Обсуждены способы устранения влияния этих паразитных мох

11. Рассмотрен цилиндрический пьезопреобразователь с внутренним твердым пассивным заполнением. Показано, что при заполнении пьезопилиндра материалом с малым акустическим сопротивлением он является аналогом водозаполненного пьезоцилиндра, так как имеет широкополосную частотную характеристику с двумя максимумами. Определены оптимальные геометрические размеры такого пьезопреобразовагеля, обеспечивающие его наиболее равномерную широкополосную частотную характеристику чувствительности излучения.

12. Исследован цилиндрический пьезопреобразователь с внутренним пассивным стержнем, выполненным из материала с малым акустическим сопрошжиегаем . Показана возможность формирования направленного излучения вдоль оси стержня о небольшим уровнем бокового и тыльного излучения при определенных гшметричсж» ких размерах этого пьезопреобразовагеля.

13. Рассмотрен пьезопреобразователь в виде водозаполненного полого усеченного пьезоконуса Показано, что применение водозаполненного пьезоконуса в качестве гидроакустического излучателя позволяет при определенных геометрических размерах либо сформировать диаграмму направленности в виде, близком к кардиоиде, либо получить почти ненаправленное излучение.

14. Исследован цилиндрический водозаполненный пьезопреобразователь с внутренней упругой перегородкой, представляющей собой таль сферы. Рассмотрена возможность формирования направленного излучения вдоль оси симметрии этого пьезопреобразовагеля. Показано, что при определенных геометрических размерах пьезопреобразовагеля формируется характеристика направленности с небольшим уровнем тыльного излучения, осевое сечение которой по форме похоже на кардиоиду, что может быть необходимо для специальных гидроакустических устройств, например, донных маяков-ответчиков навигационных систем.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Балабаев, Сергей Михайлович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Акустические подводные низкочастотные излучатели/А.В. Римский-Корсаков, В.С.Ямщиков, В.И.Жулин, В.И.Рехтман. Л.: Судостроение, 1984. 184 с.

2. Ананьева А.А. Керамические приемники звука. М.: АН СССР, 1963.

178 с.

3. Аплавердиев А.М., Ахмедов Н.Б., Шермергор Т.Д. Исследование колебаний осесимметричных пьезокерамических преобразователей с помощью метода конечных элементов/Физ. основы микроэлектрон. М., 1986. С.20-29.

4. Аронов Б.С. Электромеханические преобразователи из пьезоэлектрической керамики Л.: Энергоатомиздат, 1990. 272 с.

5. Ахмедов Н.Б., Аплавердиев A.M., Третьяк М.С., Стырикович И.И. Расчет составного пьезоизлучателя, контактирующего с бесконечной жидкой средой/Физ. основы микроэлектрон, приборов. М., 1987. С.5-9.

6. Балабаев С.М. Анализ собственных колебаний пьезомагттных преобразователей методом конечных элементов//Акуст. журн. 1987. Т.ЗЗ. № 5. С.792-797.

7. Балабаев С.М. Анализ собственных колебаний тангенциально поляризованных пьезопреобразователей типа оболочки вращения/ Дальрыбвтуз: Владивосток, 1986. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 29.09.86. № 6875 - В86.

8. Балабаев С.М. Дифференциальные уравнения, описывающие колебания пьезопреобразователя в произвольной системе ортогональных криволинейных координат/Дальрыбвтуз: Владивосток, 1982. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 16.12.82. №6185-82.

9. Бачабаев С.М. Машинное моделирование колебаний конечных пьезокерамических пластин, находящихся в жидкости//Тез. докл. Всесоюз. конф. "Использование соврем, физич. методов в неразруш. иссл. и контроле." Хабаровск: ЦНТИ, 1987. С.114-115.

10. Балабаев СМ. Пьезопреобразователи типа однополостного гиперболоида вращения и их анализ методом конечных элементов//Тез. докл. Всесоюз. конф. "Использование соврем, физич. методов в неразруш. иссл. и контроле." Хабаровск: ЦНШ 1984. С.358-359.

11. Балабаев СМ. Собственные колебания пьезокерамических полых конусов/Антенны и преобразователи. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 1988. С.86-91.

12. Бачабаев СМ. Численный анализ трехмерных колебаний конечных пьезокерамических цилиндров/Яез. докл. Всесоюз. конф. "Использование соврем, физич. методов в неразруш. иссл. и контроле."Хабаровск: ЦНТИ, 1987. С.105-106.

13. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Акустическое излучение конечных пьезопреобразователей в экране//Акуст. журн. 1995. Т.41. № 2. С. 181-184.

14. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Анализ пьезопреобразователей комбинированным методом конечных и граничных элементов//Акуст. журн. 1996. Т.42. №2. С.172-178.

15. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Анализ собственных колебаний пьезокерамических цилиндров произвольных размеров//Прикл. механика. 1989. Т.25. № 10. С.37-41.

16. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Анализ собственных колебаний секционированных пьезокерамических цилиндров произвольных размеров//Акуст. журн. 1988. Т.34. № 1. С.165-167.

17. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Влияние погрешности комбинированного метода конечных и граничных элементов на результаты расчета основных характеристик пьезопреобразователей //Акуст. журн. 1997. Т.43. № 3. С.299-303.

18. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Компьютерное моделирование колебаний и излучения тел конечных размеров (методы конечных и граничных элементов). Владивосток: Дальнаука, 1996. 213 с.

19. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Машинное моделирование и численный

анализ собственных колебаний конечных пьезопреобразователей//Тез. докл. Всесоюз. конф. "Использование соврем, физич. методов в неразруш. иссл. и контроле." Хабаровск: ЦНТИ, 1987. С. 116-117.

20. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Применение метода конечных элементов для анализа собственных колебаний пьезомагнитных преобразователей /Даль-рыбвтуз: Владивосток, 1986. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 29.09.86. № 6874-В86.

21. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Собственные колебания конечных пьезоке-рамических шшиндров//Акуст. журн. 1990. Т.36. № 2. С.204-208.

22. Бачабаев С.М., Ивина Н.Ф. Собственные колебания пьезокерамичес-кнх цилиндров произвольных размеров с осевой поляризацией/Дальрыбвтуз: Владивосток, 1986. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 17.12.86. № 8646-В86.

23. Бачабаев С.М., Ивина Н.Ф. Численный анализ собственных колебаний пьезокерамических оболочек вращения/Акуст. журн. 1989. Т.35. № 3. С.391-395.

24. Бачабаев С.М., Ивина Н.Ф. Численный анализ собственных колебаний тангенциально поляризованных цилиндров Антенны и преобразователи. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 1988. С.134-141.

25. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф., Касаткин Б.А. Анализ пьезокерамических цилиндрических преобразователей произвольных размеров методом конечных элементов//Теория направл. и фокусир. акуст. систем//Тез. докл. Четвертая Дальневост. акуст. конф. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1986. С.86-88.

26. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф., Касаткин Б.А. Собственные колебания цилиндрических пьезопреобразователей произвольных размеров/Дальрыбвтуз: Владивосток, 1986. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 17.12.86. № 8645-В86.

27. Бачабаев СМ., Касаткин Б.А. Анализ цилиндрических пьезопреобразователей произвольных размеров методом конечных элементов/Акустические методы и средства исследования океана. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 1986. С.82-86.

28. Бачабаев СМ., Касаткин Б.А. Применение метода конечных элементов для расчета спектра собственных частот цилиндрических пьезопреобразова-телей произвольных размеров//Тез. докл. Всесоюз. конф. "Использование соврем, физич. методов в неразруш. иссл. и контроле." Хабаровск: ЦНТИ, 1984. С.356-357.

29. Бате К, Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. 447 с.

30. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.

31. Бобровницкий Ю.И., Томилина Т.М. Применение метода вспомогательных источников для расчета излучения ограниченных упругих тел//Акуст. журн. 1990. Т.36. № 4. С.591-598.

32. Болкисев А.М., Шулъга H.A. Вынужденные колебания пьезокерамичес-кого полого цилиндра (осевая поляризация)//Прикл. механика. 1985. Т.21. № 12. С.109-111.

33. Болкисев AM., Шулъга H.A. Вынужденные колебания иьезокерамичее-кого полого цилиндра (радиальная поляризация)//Прикл. механика. 1985. Т.21. №5. С.118-121.

34. Болотин Ю.И. Об одном решении пространственной задачи теории цилиндрических пьезокерамических преобразователей//Акуст. журн. 1984. Т.ЗО. № 4. С.432-437.

35. Борисенко Л.В., Савин В.Г., Шулъга H.A. Осесимметричные колебания радиально поляризованного пьезокерамического цилиндра// Прикл. механика. 1986. Т.22.М7. С.109-112.

36. Борисенко Л.В., Шулъга H.A. Электроупругие колебания секционированного пьезокерамического цилиндра с осевой поляризацией//Прикл. механика. 1990. Т.26. № 2. С.126-130.

37. Бреббия К., ТеллесЖ., ВроубелЛ. Методы граничных элементов. М.:

Мир, 1987. 524 с.

38. Бреббия К, Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. 248 с.

39. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.

40. Виноградова М.Б., Руденко О.В.. Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. 384 с.

41. Вовк И. В. Излучение звука конечной решеткой, состоящей из открытых цилиндрических пьезокерамических оболочек//Акуст. журн. 1992. Т.38. № 3. С.427-434.

42. Вовк КВ., Гринченко В. Т. Влияние изгибных деформаций накладки па звуковое поле стержневого преобразователя/УАкуст. журн. 1988. Т.34. № 5. С.812-819.

43. Воинов Б.А. Определение собственных частот прямоугольного электро-акустического преобразователя из пьезокерамики методом конечных разностей//Акуст. журн. 1994. Т.40. № 6. С.935-942.

44. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 430 с.

45. Гетман И.П., Курбатова Н.В. Об одном эффективном методе конечных элементов исследования планарных колебаний пьезоэлектрических пластин//Акуст. журн. 1994. Т.40. № 4. С.581-587.

46. Глазанов В.Е. О сопротивлении излучения водозаполненного цилинд-ра//Акуст. журн. 1989. Т.35. № 5. С.801-804.

47. Глозман И А. Пьезокерамика. М.: Энергия, 1972. 288 с.

48. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

49. Гринченко В.Т., Карлам В.Л.. Мелешко В.В., Улитко А.Ф. Исследование планарных колебаний прямоугольных пьезокерамических пластан/ЛТрикл. механика. 1976. Т.12. № 5. С.71-78.

50. Гринченко В. Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в

упругих телах. Киев: Наук, думка, 1981. 284 с.

51. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шулъга Н.А. Электроупругость. Киев: Наук, думка, 1989. 279 с.

52. Громадка T. II., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах. М.: Мир, 1990. 304 с.

53. Гутин Л.Я. Избранные труды. JL: Судостроение, 1977. 600 с.

54. Декчу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. 95 с.

55. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. 333 с.

56.ДиановД.Б., Козырев В.А., Кузъменко А.Г. Цилиндрический пьезокера-мический излучатель с внутренним заполнением/Основные задачи акустики в судостроении. Учебное пособие. 4.2. JL: Изд-во Лен. корабл. ин-та, 1969. С.64-72.

57. Домаркас В.К, Кажис Р.-И.Ю. Контрольно-измерительные пьезоэлектрические преобразователи. Вильнюс: Минтис, 1974. 255 с.

58. Евтютов А.П., Митько В.Б. Инженерные расчеты в гидроакустике. Л.: Судостроение, 1988. 288 с.

59. Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. Л.: Судостроение, 1984. 240 с.

60. Жуков В.Б. Расчет гидроакустических антенн по диаграмме направленности. Л.: Судостроение, 1977. 184 с.

61. Завадский В.Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. М.: Наука, 1972. 558 с.

62. Завадский В.Ю. Моделирование волновых процессов. М.: Наука, 1991.

248 с.

63. Залесский В.В. Анализ и синтез пьезоэлектрических преобразователей. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1971. 152 с.

64. Зеленка И. Пьезоэлектрические резонаторы на объемных и поверхнос-

тных акустических волнах. М.: Мир, 1990. 584 с.

65. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

544 с.

66. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

67. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974. 239 с.

68. Ивина Н.Ф. Анализ изгибных колебаний накладок четвертьволновых пьезопреобразователей/Методы и средства гидрофиз. иссл. океана. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 1992. С.96-100.

69. Ивина Н.Ф. Численный анализ собственных колебаний круглых пьезокерамических пластин конечных размеров//Акуст. журн. 1989. Т.35. ,К<> 4. С.667-673.

70. Ивина Н.Ф. Численный анализ собственных колебаний прямоугода-ных пьезопреобразователей в двумерном и трехмерном приближеатах//Гез. докл. Всесоюз. конф. "Использование соврем, физич. методов в неразруш. всед. и контроле." Хабаровск: ЦНТИ, 1987. С.175-176.

71. Ивина Н.Ф., Бачабаев С.М. Использование метода конечных элементов для анализа и проектирования сложных пьезопреобразователей //Тез. докл. Всесоюз. школы по технич. средствам и методам освоения океана, т. 2. М.: Институт океанологии им. П.П.Ширшова, 1989. С.35.

72. Именитова Е.В., Чернышев КВ., Шегай В.В. О расчете свободных колебаний упругих цилиндров конечной длины//Докл. АН СССР. 1976. Т.229. №2. С.334-337.

73. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

74. Кажис Р.-И.Ю., Мажейка Л.Ю. Анализ нестационарного режима пьезопреобразователей конечных размеров методом конечных элементов //Акуст. журн. 1987. Т.ЗЗ. № 5. С.895-902.

75. Кажис Р.-И.Ю., Мажейка Л.Ю. Исследование переходных процессов в плоских пьезоизлучателях методом конечных элементов //Дефектоскопия. 1986. №12. С.3-11.

76. Кажис Р.-И.Ю., Мажейка Л.Ю. Исследование пьезопреобразователей с неоднородным электрическим полем в двумерном приближении//Дефектоско-пия. 1987. №6. С.34-40.

77. Кажис Р.-И.Ю., Мажейка Л.Ю. Расчет неоднородных электрических и акустических полей в измерительных пьезопреобразователях методом конечных элементов//Научн. тр. вузов Лит. ССР. Радиоэлектроника. 1983. Т. 19. № 1. С.25-35.

78. Кажис Р.-И.Ю., Мажейка Л.Ю. Расчет нестационарных электроакустических полей в измерительных пьезопреобразователях методом конечных элементов//Научн. тр. вузов Лит. ССР. Ультразвук. 1985. № 17. С. 3-13.

79. Каневский И.Н. Фокусирование звуковых и ультразвуковых волн. М.: Наука, 1977. 336 с.

80. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Михайленко В.В. Метод конечных элементов в связанных задачах термоэлектровязкоупругости //Прикл. механика. 1989. Т.25. № 2. С.19-28.

81. Касаткин Б.А. Идентификация и приближенный метод определения собственных частот резонатора произвольных размеров//Дефектоскопия. 1983. № 8. С.10-16.

82. Касаткин Б.А. Некоторые приближения в теории колебаний круглых пластин//Дальневост. акуст. сборник. 1975. Вып. 1. С. 155-165.

83. Касаткин Б.А. Расчет частоты основной моды колебаний круглых пластин и цилиндров произвольных размеров//Дефекгоскопия. 1978. № 12. С.73-78.

84. Касаткин Б.А., Матвиенко Ю.В. Методика расчета и анализ пшроко-полосности цилиндрических пьезопреобразователей произвольных размеров//

Дальневост. акуст. сборник. 1977. Вып. 3. С. 101-107.

85. Ковалев С.П., Кузъменко В.А.. Писаренко Г.Г., Чутко В.М. О построении численного решения задач электро\тфутости//Пробл. прочности. 1979. № 8. С. 90-92.

86. Колесников А.Е. Акустические измерения. Л.: Судостроение, 1983.

256 с.

87. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. 264 с.

88. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 832 с.

89. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. 328 с.

90. Лазуткин В.Н., Михайлов А.И. Динамика и эквивалентные электрические схемы пьезокерамических колец с аксиальной поляризацией//Акуст. журн. 1974. Т.20. № 4. С.582-586.

91. Лазуткин В.Н., Михайлов А.И. Колебания пьезокерамических цилиндров конечных размеров с поляризацией по высоте//Акуст. журн. 1976. Т.22. № 3. С.393-399.

92. Лазуткин В.Н., Михайлов А.И. Эквивалентная электрическая схема радиально колеблющегося диска//Акуст. журн. 1972. Т. 18. № 1. С.58-62.

93. Лазуткин В.Н., Михайлов А.И. Эквивалентные схемы радиально-поля-ризованных пьезокерамических колец/ Акуст. журн. 1974. Т.20. № 3. С.414-419.

94. Лазуткин В. Н., Цыганов Ю.В. Аксиально-симметричные колебания и электрический импеданц пьезокерамических колец с радиальной поляризаци-ей//Акуст. журн. 1971. Т.17. № 3. С.394-399.

95. Лепендин Л.Ф. Акустика. М.: Высш. школа, 1978. 448 с.

96. Математические методы и модели в решении прикладных и теоретических задач: Отчет о НИР/Дальрыбвгуз. Рыжкина Т.А., Балабаев С.М., № ГР

01840063311; Инв № 02860011868. Владивосток, 1985. 87 с. (С.28-58).

97. Мелешко В. В. Закономерности установившихся волновых процессов в конечных упругих телах и волноводах//Акуст. журн. 1984. Т.30. № 3. С.404-405.

98. Метод конечных элементов в механике твердых тел/Сахаров A.C. и др. Киев, Лейпциг, 1982. 480 с.

99. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. 216 с.

100. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Иностр. лит. Т.1, 1958. 930 с. Т.2, 1960. 886 с.

101. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.304 с.

102. Ооен Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

103. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 472 с.

104. Подводная акустика/Под ред. В.М. Альберса. М.: Мир, 1970. 496 с.

105. Подводные электроакустические преобразователи/Под ред. В.В.Бого-родского. Л.: Судостроение, 1983. 248 с.

106. Пьезокерамические преобразователи/Под ред. С.И.Пугачева. Л.: Судостроение, 1984. 256 с.

107. Разработка пакета прикладных программ для расчета основных характеристик измерительных пьезопреобразователей: Отчет о НИР (промеж.)/ Дальрыбвтуз. Балабаев С.М., № ГР 01830035587; Инв. № 02840034371. Владивосток, 1983. 86 с.

108. Разработка пакета прикладных программ для расчета основных характеристик измерительных пьезопреобразователей: Отчет о НИР (промеж.)/ Дальрыбвтуз. Балабаев С.М., № ГР 01830035587; Инв. № 02850035719. Владивосток, 1984. 94 с.

109. Разработка пакета прикладных программ для расчета основных характеристик измерительных пьезопреобразователей: Отчет о НИР (заключ.)/ Дальрыбвтуз. Балабаев С.М., № ГР 01830035587; Инв. № 02860043152. Владивосток, 1985. 155 с.

110. Расчет гидроакустических пьезопреобразователей: Отчет о НИР/ Дальрыбвтуз. Балабаев С.М., № ГР 81030552; Инв. № 02819011833. Владивосток, 1981. 61 с.

111. Рубанов И.Л. Излучение звука радиально колеблющимся отрезком трубы с кольцевой щелью//Акуст. журн. 1993. Т.39. № 2. С.350-356.

112. Рубанов И.Л., Свердлин ГМ. Излучение звука радиально колеблющимся отрезком трубы//Акуст. журн. 1990. Т.36. № 6. С.1071-1076.

ИЗ. Свердлин Г.М. Прикладная гидроакустика. JL: Судостроение, 1990.

320 с.

114. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мжр, 1979. 392 с.

115. Силъвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М: Мир, 1986. 232 с.

116. СкучикЕ. Основы акустики. М.: Мир, 1976. Т.1. 520 с. Т.2. 542 с.

117. Смарышев М.Д. Направленность гидроакустических антенн. Л.: Судостроение, 1973. 280 с.

118. Смарышев М.Д., Добровольский Ю.Ю. Гидроакустические антенны. Л.: Судостроение, 1984. 304 с.

119. Совершенствование и развитие математических дисциплин и методов в процессе подготовки квалифицированных специалистов: Отчет о НИР/Дальрыбвтуз. Рыжкина Т.А., Балабаев С.М., № ГР 01860118709; Инв. № 02870070587. Владивосток, 1987. 115 с. (С.9-39).

120. Справочник по гидроакустике А.П.Евтютов, А.Е.Колесников, Е.А.Ко-репин и др. Л.: Судостроение, 1988. 552 с.

121. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 352 с.

122. Сыркин JI.H. Пьезомагнитная керамика. JL: Энергия, 1980. 208 с.

123. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.

124. Томилина ТМ. Импеданс излучения полого цилиндрического излуча-теля//Акуст. журн. 1989. Т.35. № 1. С.122-125.

125. Угодников А.Г., Хуторянский ИМ. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во КГУ, 1986. 296 с.

126. Ультразвуковые преобразователи/Под ред. Е.Кикучи. М.: Мир, 1972.

424 с.

127. Ультразвуковые пьезопреобразователи для неразрушающего контроля/Под ред. И.Н.Ермолова. М.: Машиностроение, 1986. 280 с.

128. Физическая акустика/Под ред. У.Мэзона. М.: Мир, 1966. Т.1, ч.А.

592 с.

129. Физическая акустика/Под ред. У.Мэзона. М.: Мир, 1973. Т.5. 334 с.

130. Харкевич A.A. Избранные труды, т.1. Теория электроакустических преобразователей. Волновые процессы. М.: Наука, 1973. 400 с.

131. Чернышев КВ., Шегай В.В. Собственные колебания твердых цилиндров конечной длины//Акуст. журн. 1977. Т.23. № 4. С.627-631.

132. Шендеров E.JI. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

133. Шендеров E.JI. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989.

304 с.

134. Яворский Б.М., Детлаф A.A. Справочник по физике. М.: Наука, 1990.

624 с,

135. Яффе Б., Кук У., Яффе Г. Пьезоэлектрическая керамика. М.: Мир, 1974. 288 с.

136. Allik H., Hughes T.J.R. Finite element method for piezoelectric vibration// Int. Journ. Numer. Meth. Eng. 1970. V.2. № 2. P.151-157.

137. Allik H., Webman K.M., Hunt J. T. Vibrational response of sonar transducers using piezoelectric finite elements/'/Joum. Acoust. Soc. Am. 1974. V.56. № 6. P.1782-1791.

138. Assaad J., RavezM., Bruneel C. Application of the finite-element method for modeling backed transducers//Journ. Acoust. Soc. Am. 1996. V.100. № 5. P.3098-3103.

139. Assaad J., Decarpigny J.-N., Bruneel C., Bossut R, Hamonic B. Application of the finite element method to two-dimensional radiation problems//Joiim. Acoust. Soc. Am. 1993. V.94. № i. p.562-573.

140. Astley R.J. Wave envelope and infinite elements for acoustical radiation// Int. Joum. Numer. Meth. in Fluids. 1983. V. 3. № 5. P.507-526.

141. Astley RJ., Eversman W. Finite element formulations for acouuslical radiationZ/Journ. Sound and Vibr. 1983. V.88. № 1. P.47-64.

142. Banerjee P.K., Ahmad S., Wang HC. A new BEM formulation for the acoustic eigenfrequency analysis//Int. Journ. Numer. Meth. Eng. 1988. V.26. № 6. P.1299-1309.

143. Bossut R., Decarpigny J.-N. Finite element modeling of radiating structures using dipolar damping elements//Joum. Acoust. Soc. Am. 1989. V.86. № 4. P. 1234-1244.

144. Boucher D., LagierM.. Maerfeld C. Computation of the vibrational modes for piezoelectric array transducers using a mixed finite element-perturbation method// IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1981. V.28. № 5. P.318-330.

145. Challande P. Optimizing ultrasonic transducers based on piezoelectric composites using a finite-element method//IEEE Trans. Ultrason., Ferroelec. and Freq. Contr. 1990. V.37. № 3. P. 135-140.

146. Chen Pei-ticm. To solve the radiated acoustic field of free-flooded-ring

transducer with slow waveguide by the method of Helmholtz integral equations in the fonn of finite surface element//"IIl3Hci03 cio36ao, Acta acust." 1987. T.12. № 3. C.218-226.

147. Cowdrey D.R., Willis J.R. Application of the finite element method to the vibration of quartz plates//Journ. Acoust. Soc. Am. 1974. V.56. № 1. P.94- 98.

148. Craggs A. A finite element method for damped acoustic systems: an application to evaluate the performance of reactive mufflers//Journ. Sound and Vibr. 1976. V.48. № 3. P.377-392.

149. Cunefare K.A., Koopmann G., Brod K. A boundary element method for acoustic radiation valid for all wavenumbers//Journ. Acoust. Soc. Am. 1989. V.85. № 1. P.39-48.

150. Decarpigny J.-N., Debus J.C., Tocquet B., Boucher D. In air analysis of piezoelectric Tonpilz transducers in a wide frequency band using a mixed finite element-plane wave method//Journ. Acoust. Soc. Am. 1985. V.78. № 5. P.1499-1507.

151. Dokumaci E. A study of the failure of numerical solutions in boimclaty element analysis of acoustic radiation problems//Journ. Sound and Vibr. 1990. VJ.39. № 1. P.83-97.

152. Drenkow P.W., Long C.F. Radial vibration of a thick-shell hollow piezo-ceramic sphere//Acta mech. 1967. V.3. № 1. P. 13-21.

153. Drumheller D.S., Kalnins A. Dynamic shell theory for ferroelectric cera-mic//Journ. Acoust. Soc. Am. 1970. V.47. № 5. P.1343-1353.

154. Eer Nisse E.P. Variational method for electroelastic vibration analysis// IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1967. V. 14. № 1. P.153-160.

155. Everstine G.C., Henderson F.M. Coupled finite element/boundary element approach for fluid-structure interaction//Journ. Acoust. Soc. Am. 1990. V.87. № 5. P.1938-1947.

156. Fyfe K.R., Coyette J.-P.G., van Vooren P.A. Acoustic and elasto-acoustic analysis using finite element and boundary element methods//Journ. Sound and Vibr.

1991. V.25.№12. P. 16-22.

157. Fyfe K.R., Ismail F., Sas P. Failure of a reported exterior overdetermination technique to resolve acoustic boundary element method (BEM) critical frequenci-es//Journ. Acoust. Soc. Am. 1991. V.89. № 1. P.444-445.

158. Gegges E., Porter J., Tang Y. A boundary-element approach to finite-element radiation problems//Joum. Audio Eng. Soc. 1987. V.35. № 4. P.211-229.

159. Gladwell G.M.L. A finite element method for acoustics//5 Congr. Internal Acoust. 1965. V.l. № L33. 4 p.

160. Gladwell G.M.L., Tahbildar U.C. Finite element analysis of the axisym-metric vibrations of cylinders//Journ. Sound and Vibr. 1972. V.22. № 2. P. 143-157.

161. Gladwell G.M.L., Vuay D.K. Natural frequencies of free finite-length circular cylinders//Journ. Sound and Vibr. 1975. V.42. № 3. P.387-397.

162. Gladwell G.M.L., Vuay D.K. Vibration analysis of axisymmetrie resonators//Journ. Sound and Vibr. 1975. V.42. № 2. P.137-145.

163. Goransson J.P.E., Davidsson C.F. A three dimensional infinite element for wave propagation//Journ. Sound and Vibr. 1987. V. 115. № 3. P.556-559.

164. Guo N., Cawley P. Measurement and prediction of the frequency spectrum of piezoelectric disks by modal analysis//Journ. Acoust. Soc. Am. 1992. V.92. № 6. P.3379-3388.

165. Hamonic B., Debus J.C., Decarpigny J.-N., Boucher D., Tocquet B. Analysis of a radiating thin-shell sonar transducer using the finite-element method// Joum. Acoust. Soc. Am. 1989. V.86. № 4. P. 1245-1253.

166. Haskins J.F., Walsh J.L. Vibrations of ferroelectric cylindricall shells with transwerse isotropy. 1. Radially polarised case/Joum. Acoust. Soc. Am. 1957. V.29. № 6. P.729-734.

167. Holland R. Contour extensional resonant properties of rectangular piezoelectric plates//IEEE Trans. Sonics and Ultrasoics. 1968. V.15. № 2. P.97-105.

168. Holland R. Resonant properties of piezoelectric ceramic rectangular paral-

lelepipeds//Joum. Acoust. Soc. Am. 1968. V.43. № 5. P.988-997.

169. Holland R., Eer Nisse E.P. Design of resonant piezoelectric devices. Cambridge: The M.I.T. Press, 1969. 258 p.

170. Hossak J.A., Hayward G. Finite-element analysis of 1-3 composite transducers//TEEE Trans. Ultrason., Ferroelec. and Freq. Contr. 1991. V.38. № 6. P.618-629.

171. Hughes T.J.R. Some current trends in finite element research//Appl. Mech. Rev. 1980. V.33. № 11. P.1467-1477.

172. Hunt J. T., Knittel M.R., Barach D. Finite element approach to acoustic radiation from elastic structures//Joura. Acoust. Soc. Am. 1974. V.55. № 2. P.269-280.

173. Hunt J.T. KnittelM.R., Nichols C.S., Barach D. Finite-element approach to acoustic scattering from elastic structures//Journ. Acoust. Soc. Am. 1975. ¥.57. № 2. P.287-299.

174. Hutchinson J.R. Axisymmetric vibrations of a free finite-length roc!//Jowm. Acoust. Soc. Am. 1972. V.51. № 1. P.233-240.

175. Jeans R, Mathews I.C. A unique coupled boundary element/finite element method for the elastoacoustic analysis of fluid-filled thin shells // Journ. Acoust. Soc. Am. 1993. V.94. № 6. P.3473-3479.

176. Jeans R.A., Mathews I.C. Solution of fluid-structure interaction problems using a coupled finite element and variational boundary element technique//Joum. Acoust. Soc. Am. 1990. V.88. № 5. P.2459-2466.

177. Kagawa Y. A new approach to analysis and design of electromechanical filters by finite-element technique//Journ. Acoust. Soc. Am. 1971. V.49. № 5. P.1348-1356.

178. Kagawa Y, Arai H. Yakuwa K. Okuda S., Shirai K. Finite element simulation of energy-trapped electromechanical resonators//Journ. Sound and Vibr. 1975. V.39. № 3. P.317-335.

179. Kagawa Y., Gladwell G.M.L. Finite element analysis of flexure-type vibra-

tors with electrostrictive transducers//IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1970. V.17. № 1. P.41-49.

180. Kagawa Y., Omote T. Finite-element simulation of acoustic filters of arbitrary profile with circular cross section/Joum. Acoust. Soc. Am. 1976. V.60. № 5. P.1003-1013.

181. Kagawa Y, Shimoyama H. Yamabuchi T., Murai 71, Takarada K. Boundary element models of the vocal tract and radiation field and their response charac-teristics//Journ. Sound and Vibr. 1992. V.157. № 3. P.385-403.

182. Kagawa Y, Yamabuchi T. A finite element approach to electromechanical problems with an application to energy-trapped and surface-wave devices/AEBK Trans. Sonics and Ultrasonics. 1976. V.23. te 4. P.263-272.

183. Kagawa Y., Yamabuchi T. Finite-element approach for a piezoelectric circular rod//EEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1976. V.23. № 6. P.379-385.

184. Kagawa Y., Yamabuchi T. Finite element simulation of a composite piezoelectric ultrasonic transducer//IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1979. V.26. №2. P.81-88.

185. Kagawa Y., Yamabuchi T. Finite element simulation of two-dimensional electromechanical resonators//IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1974. V.21. № 4. P.275-283.

186. Kagawa Y., Yamabuchi T., Yoshikawa T., Ooie S., Kyouno N., Shindou T. Finite element approach to acoustic transmission radiation system and application to horn and silencer design//Joum. Sound and Vibr. 1980. V.69. № 2. P.207-228.

187. Kagawa Y., Yamabuchi I.. Sugihara K, Shindou T. A finite element approach to a coupled structural-acoustic radiation system with application to loudspeaker characteristic calculation Joum. Sound and Vibr. 1980. V.69. № 2. P.229-243.

188. Kielczynski P.J., Pajewski JF., Sialewski M. Ring piezoelectric transducers radiating ultrasonic energy into the air//TEEE Trans. Ultrason., Ferroelec. and Freq.

Contr. 1990. V.37. № 1. p.38-43.

189. Kirkup S.M., Henwood D.J. Computational solution of acoustic radiation problems by Kussmaul's b.e.m.//Journ. Sound and Vibr. 1992. V.158. № 2. P.293-305.

190. Knittel M.R., Nichols C.S., Smith R.R., Barach D. Comments on "Finite element analysis of acoustically radiating structures with applications to sonar transdu-cers7/Joum. Acoust. Soc. Am. 1974. V.56. № 6. P. 1905-1907.

191. KoshibaM. A note on the use of symmetric and antisymmetric conditions in the finite-element analysis of acoustic waveguides//IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1983. V.30. № 6. P.370-374.

192. Kumar R. Axially symmetric vibrations of a finite, isotropic, solid circular cylinder, immersed in an acoustic medium //Acustica. 1967. V.19. № 1. P.21-26.

193. Kumar R. Axially symmetric vibrations of finite cylindrical shells of various wall thickness//Acustica. 1976. V.34. № 5. P.281-288.

194. Kumar R. Purely radial vibrations of an infinite, isoropic, composite, hollow cvlinder//Acustica. 1966. Y.17. № 1. P.47-50.

195. Kyouno N., Sakai S., Morita S., Yamabuchi T., Kagawa Y. Acoustic radiation of a hom loudspeaker by the finite element method-acoustic characteristics of a horn loudspeaker with an elastic diaphragm//Journ. Audio Eng. Soc. 1982. V.30, № 12. P.896-905.

196. Lee P.C.Y., Zee C., Brebbia C.A. Thickness shear, thickness twist, and flexural vibrations of rectangular AT-cut quartz plates with patch electrodes//Journ. Acoust. Soc. Am. 1982. V.72. № 6. P.1855-1862.

197. Lerch R. Finite element analysis of piezoelectric transducers//IEEE Ultrason. Symp., Chicago, HI., Oct. 2-5, 1988: Proc. V.l-2. Pittsburgh (Pa). 1988. P.643-654.

198. Lerch R. Finite element modelling of membrane sensors surrounded by gaseous or fluid media//Acustica. 1991. V.73. № 2. P.107-113.

199. Lerch R. Piezoelectric and acoustic finite elements as tools for the develop-

ment of electroacoustic transducers//Siemens Forsch. und Entwicklungsber. 1988. V.17. № 6. P.284-290.

200. Lerch R, Kaarmann H. Three-dimensional finite element analysis of piezoelectric media//IEEE Ultrason. Symp., Denver, Colo., Oct. 14-16, 1987: Proc. V.2. N.Y. 1987. P.853-858.

201. Lloyd P., Redwood M. Finite-difference method for the investigation of the vibrations of solids and the evaluation of the equivalent-circuit characteristics of piezoelectric resonators/ZJourn. Acoust. Soc. Am. 1966. V.39. № 2. P.346-361.

202. Locke S., Kunkel H.A., Pikeroen B. Finite element modelling of piezoelectric ceramic disks//IEEE Ultrason. Symp., Denver, Colo., Oct. 14-16, 1987: Proc. V.2. N.Y. 1987. P.701-706.

203. Martin G.E. Vibrations of longitudinally polarized ferroelectric cylindrical tubes//Joum. Acoust. Soc. Am. 1963. V.35. № 4. P.510-520.

204. McCollum M.D., Siders C.M. Modal analysis of a structure in a compressible fluid using a finite element/boundary element approach//Journ. Acoust. Soc. Aim. 1996. V.99. № 4. P. 1949-1957.

205. McDearmon G.F. The addition of piezoelectric properties to structural finite element programms by matrix manipulation//Journ. Acoust. Soc. Am. 1984. V.76. № 3. P.666-669.

206. McMahon G. W. Experimental study of the vibrations of solid, isotropic, elastic cylinders//Journ. Acoust. Soc. Am. 1964. V.36. № 1. P.85-92.

207. McMahon G.W. Finite-difference analysis of the vibrations of solid cylinders//Journ. Acoust. Soc. Am. 1970. V.48. № 1. P.307-312.

208. McMahon G.W. Performance of open ferroelectric ceramic cylinders in underwater transducers//Journ. Acoust. Soc. Am. 1964. V.36. № 3. P.528-533.

209. Mindlin R.D. High frequency vibrations of piezoelectric crystal plates//Int. Journ. Solids Structures. 1972. V.8. P.895-906.

210. Naillon M., BesnierF., Coursant R.H. Finite element analysis of narrow

piezoelectric parallelepiped vibrations energetical coupling modeling//IEEE Ultrason. Symp., Atlanta, Ga. 31 Oct.-2 Nov., 1983: Proc. V.2. New York, N.Y. 1983. P.773-777.

211. OnoeM., Jumonji H. Useful formulas for piezoelectric ceramic resonators and their application to measurement of parameters//Journ. Acoust. Soc. Am. 1967. V.41. № 4. P.974-980.

212. Onoe M, Tiersten H.F. Resonant frequencies of finite piezoelectric ceramic vibrators with high electromechanical coupling//TEEE Trans. Ultrason. Eng. 1963. V.10.№ 1. P.32-39.

213. Ostergaard D.F., Pawlak T.P. Three-dimensional finite elements for analyzing piezoelectric structures//IEEE Ultrason. Symp., Williamsburg, Va., Nov. 1719, 1986: Proc. V.2. N.Y. 1986. P.639-644.

214. Ramamurti V., Pattabiraman J. Free vibrations of circular cylindrical shells//Journ. Sound and Vibr. 1976. V.48. № 1. P.137-155.

215. Rogers P.H. Mathematical model for a free-flooded piezoelectric cylinder transducer//Journ. Acoust. Soc. Am. 1986. V.80. № 1. P.13-18.

216. Rumermcm M, Raynor S. Natural frequencies of finite circular cylinders in axially symmetric longitudinal vibration//Journ. Sound and Vibr. 1971. V.15. № 4. P.529-543.

217. Sabbagh H.A. Calculation of electroacoustic sensitivity of radially polarized ferroelectric cylinders by normal-mode methods//Journ. Acoust. Soc. Am. 1977. V.61. № 5. P.l 133-1146.

218. Saiga N., Kajitani K., Suzuki T. Finite element simulation of local vibration of a piezoelectric plate considering energy losses//Jap. Journ. Appl. Phys. 1983. V.22. Suppl. 22-3. P.33-35.

219. Sakuma S., Shinada 71, Ueha S., Mori E. Vibrations in circular ring type transducers//Jap. Journ. Appl. Phys. Letters. 1983. V.22. № 1. P. 10-12.

220. SalomonssonG., Mandersson B. On ultrasound transducers with curved

surface for improvement of lateral resolution//IEEE Trans. Ultrason., Ferroelec. and Freq. Contr. 1986. V.33. № 6. P.740-746.

221. Sandberg G., Goransson P. A symmetric finite element formulation for acoustic fluid-structure interaction analysis//Joum. Sound and Vibr. 1988. V. 123. № 3. P.507-515.

222. Sato J., Kawabuchi M., Fukumoto A. Dependence of the electromechanical coupling coefficient on the width-to-thickness ratio of plank-shaped piezoelectric transducers used for electronically scanned ultrasound diagnostic systems//Journ. Acoust. Soc. Am. 1979. V.66. № 6. P.1609-1611.

223. Schenck HA. Improved integral formulation for acoustic radiation problems//Joum. Acoust. Soc. Am. 1968. V.44. № 1. P.41-58.

224. Seybert A.F., Cheng C.Y.R., Wu T.W. The solution of coupled interior/ exterior acoustic problems using the boundary element method//Journ. Acoust. Soc. Am. 1990. V.88. № 3. P.1612-1618.

225. Seybert A.F., Rengarajan T.K. The high-frequency radiation of sound from bodies of arbitrary shape//Trans. ASME: Joum. Vibr., Acoust., Stress and Reliab. Des. 1987. V.109. P.381-387.

226. Seybert A.F., Rengarajan T.K. The use of CHIEF to obtain unique solutions for acoustic radiation using boundaiy integral equations//Journ. Acoust. Soc. Am. 1987. V.81. № 5. P. 1299-1306.

227. Seybert A.F., Soenarko B., Rizzo F.J., Shippy D.J. An advanced computational method for radiation and scattering of acoustic waves in three dimensions// Joum. Acoust. Soc. Am. 1985. V.77. № 2. P.362-368.

228. Seybert A.F., Soenarko B., Rizzo F.J., Shippy D.J. Application of BIE method to sound radiation problems using an isoparametric element//Trans. ASME: Joum. Vibr., Acoust., Stress and Rehab. Des. 1984. V.106. № 3. P.414-420.

229. Seybert A.F., Soenarko B., Rizzo F.J., Shippy D.J. A special integral equation formulation for acoustic radiation and scattering for axisymmetric bodies and

boundary conditions//Journ. Acoust. Soc. Am. 1986. V.80. № 4. P.1241-1247.

230. SeybertA.F., Wu T.W., WuX.F. Radiation and scattering of acoustic waves from elastic solids and shells using the boundary element method//Journ. Acoust. Soc. Am. 1988. V.84. № 5. P.1906-1912.

231. Shaw E.A.G. On the resonant vibrations of thick barium titanate disks// Journ. Acoust. Soc. Am. 1956. V.28. № 1. P.38-50.

232. Shimizu H., Kondo T. Finite element analysis of axisymmetric piezoelectric vibrator//Joum. Acoust. Soc. Jap. 1985. V.6. № 4. P.297-307.

233. Silvester P.P., Lowther D.A., Carpenter C.J., Wyatt E. A. Exterior finite elements for two-dimensional field problems with open boundaries//Proc. 1EE. 1977. V.124. № 12. P.1267-1270.

234. Smith R.R., Hunt J.Т., Barach D. Finite element analysis of acoustically radiating structures with applications to sonar transducers//Journ. Acoust. Soc. Am. 1973. У.54. № 5. P.1277-1288.

235. Stephenson C.V. Higher modes of radial vibrations in short, hollow cylinders of barium titanate//Journ. Acoust. Soc. Am. 1956. V.28. № 5. P.928-929.

236. Stephenson С. V. Radial vibrations in short, hollow cylinders of barium titanate//Journ. Acoust. Soc. Am. 1956. V.28. № 1. P.51-56.

237. Stupfel В., Lavie A., Decarpigny J.-N. Combined integral equation formulation and null-field method for the exterior acoustic problem//Journ. Acoust. Soc. Am. 1988. V.83. № 3. P.927-941.

238. Tiersten H.F. Hamilton's principle for linear piezoelectric media//Proc. IEEE, Letters. 1967. V.55. № 8. P.1523-1524.

239. Tomikawa Y., MiuraH., DongS.B. Analysis of electrical equivalent circuit elements of piezo-tuning forks by the finite element method//IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1978. V.25. №> 4. P.206-212.

240. Toupin R.A. Piezoelectric relations and the radial deformation of a polarized sphericall shelMourn. Acoust. Soc. Am. 1959. V.31. № 3. P.315-318.

241. Vanderborck G. Applications des elements finis en acoustique sous-marine: du materiau a rantenne//Revue technique Thomson-CSF. 1985. V.17. № 4. P.663-729.

242. Wilkinson J.P.D. Dynamics of magnetostrictive ring transducers// Journ. Acoust. Soc. Am. 1971. V.49. № 5. P.1551-1560.

243. Wu T.W., Seybert A.F. A weighted residual formulation for the CHIEF method in acoustics//Journ. Acoust. Soc. Am. 1991. V.90. № 3. P.1608-1614.

244. Yen Т., DiMaggio F. Forced vibrations of submerged spheroidal shells// Joum. Acoust. Soc. Am. 1967. V.41. № 3. P.618-626.

245. ZalesakJ.F., Rogers P.H. Low frequency radiation characteristics of free-flooded ring transducers with applications to a low frequency directional hydrophone// Journ. Acoust. Soc. Am. 1974. V.56. Ш 4. P.1052-1058.

246. Балабаев C.M., Касаткин Б Л. Численный анализ дисперсионных соотношений нормальных волн пьезоэлектрического волновода типа пластаны с электродами на торцах//Дефектоскопия. 1984. № 6. С.20-23.

247. Ивина Н.Ф., Балабаев СМ. Применение комбинированного метода конечных и граничных элементов к анализу акустических преобразователей// Докл. Российской гидроак. конф. "Соврем, состояние и перспективы развития теории и прикл. вопросов гидроакустики". Владивосток: ТОВВМУ им.С.О.Ма™ карова, 1996. С.84-87.

248. Балабаев С.М. Компьютерное моделирование и анализ цилиндрического пьезопреобразователя с внутренним заполнением//Сборн. докл. ХХХХ Всерос. межвуз. науч.-техн. конф. "Фундам. и прикл. вопросы физики и матем. "Владивосток: ТОВВМУ им.С.О.Макарова, 1997. Т. 1, ч. 2. С.29-31.

249. Бачабаев С.М. Анализ аку стического излучения водозаполненной пьезокерамической оболочки//Сборн. докл. ХХХХ Всерос. межвуз. науч.-техн. конф. "Фундам. и прикл. вопросы физики и матем." Владивосток: ТОВВМУ им.С.О.Макарова, 1997. Т. 1, ч. 2. С.34-36.

250. Бачабаев С.М., Ивина Н.Ф. Акустическое излучение водозаполненно-го пъезолилиндра с внутренней упругой перегородкой//Сборн. докл. ХХХХ Всерос. межвуз. науч.-техн. конф. "Фундам. и прикл. вопросы физики и матем." Владивосток: ТОВВМУ им.С.О.Макарова, 1997. Т. 1, ч. 2. С.32-33.

251. Бачабаев С.М. Акустическое излучение цилиндрического пьезопре-образователя с внутренним стержнем//Акуст. журн. 1998. Т.44. № 2. С. 155-159.

252. Балабаев С.М. Компьютерное моделирование и анализ основных параметров цилиндрической гидроакустической антенны//Акуст. журн. 1998. Т.44. № 1. С.5-10.